Решаване на системи за линейни уравнения. Системи за поддръжка. Системи с общо решение. Частни решения. Как да намерим общо и частно решение на система от линейни уравнения
Помислете за първоначално случая, когато броят на уравненията е равен на броя на променливите, т.е. m \u003d n. След това системната матрица е квадратна и нейният детерминант се нарича система за определяне на системата.
Обратен метод на матрицата
Помислете за обща форма на системата на уравнения AH \u003d с не-дегенератна квадратна матрица А. В този случай има обратна матрица А -1. Домашно отляво на двете части на A -1. Получаваме A -1 AH \u003d A -1 V. от тук Ex \u003d A -1 B и
Последното равенство е матрична формула за намиране на решаване на такива системи на уравнения. Използването на тази формула получи името на метода на матрицата за връщане
Например, чрез решаване на този метод следната система:
;
В края на системното решение можете да проверите, замествате намерените стойности в уравнението на системата. В същото време те трябва да се обръщат към вярно равенство.
За разглеждания пример проверете:
Метод за решаване на системи от линейни уравнения с квадратна матрица с помощта на роботни формули
Нека n \u003d 2:
Ако двете части на първото уравнение се умножат по 22 и двата от втория са включени (-А 12) и след това сгъват получените уравнения, тогава ще изключим от променливата система към променливата 2. По същия начин е възможно да се изключи променливите 1 (умножаване на двете части от първото уравнение на (-21) и двете части на втория - Na 11). В резултат на това получаваме системата:
Изразяване в скоби е определяща системна система
Обозначаваме
След това системата ще приеме формата:
От получената система следва, че ако определянето на системата е 0, системата ще бъде съвместна и дефинирана. Единственото му решение може да бъде изчислено от формулите:
Ако \u003d 0, a 1 0 и / или 2 0, тогава системните уравнения ще вземат тип 0 * x 1 \u003d 2 и / OR0 * x 1 \u003d 2. В този случай системата ще бъде непълна.
В случая, когато \u003d 1 \u003d 2 \u003d 0, системата ще бъде съвместна и неопределена (ще има безкрайни настройки), тъй като тя приема формата:
Крамера Теорема(Доказателство пропускане). Ако детерминанта на системата Matrix може да се нулира, тогава системата има единичен разтвор, определен от формулите:
,
където j е детерминанта на матрицата, получена от матрицата и подмяната на J-та колона с колона от свободни членове.
Горните формули се наричат cramer Formulas..
Като пример, по този метод, системата, която преди това е била решена по метода на връщащата матрица:
Недостатъци на разглежданите методи:
1) значителна сложност (изчисляване на детерминантите и намирането на матрицата за връщане);
2) Ограничен обхват (за системи с квадратна матрица).
Реалните икономически ситуации са по-често моделирани от системи, в които броят на уравненията и променливите е доста значителен, с уравнения, по-големи от променливите на практика, следващият метод е по-често срещан.
Метод Гаус (метод за последователно изключване на променливи)
Този метод се използва за решаване на линейните уравнения на системата с N променливи като цяло. Неговата същност трябва да бъде приложена към удължена матрица на система от еквивалентни трансформации, с която системата на уравненията се превръща във формата, когато решенията стават лесни за намиране (ако има такива).
Това е форма, в която лявата горна част на системата матрицата ще бъде стъпало. Това се постига, като се използват същите техники, с които са получили стъпаловидна матрица, за да определят ранга. В този случай елементарните трансформации се използват за удължена матрица, която ще доведе до еквивалентна система на уравнения. След това разширената матрица приема формата:
Получаването на такава матрица се нарича директен инсултметод на Гаус.
Нареце от съответната система на уравнения на стойностите на променливите се нарича връщанеметод на Гаус. Помисли за това.
Имайте предвид, че последното (M - R) на уравненията ще разгледа:
Ако поне един от числата 
не е равно на нула, тогава съответното равенство ще бъде невярно и цялата система е непълна.
Следователно, за всяка съвместна система 
. В този случай, последният (M - R) на уравнения за всякакви стойности на променливите ще бъде самоличността на 0 \u003d 0 и те не могат да бъдат взети под внимание при решаването на системата (просто изхвърлете съответните редове).
След това системата ще приеме формата:
Разгледайте в началото на случая, когато r \u003d n. След това системата ще приеме формата:
От последното уравнение на системата можете недвусмислено да намерите x R.
Знаейки X R, тя може да бъде недвусмислено изразена от R -1. След това, от предишното уравнение, познаването на R и R -1, може да бъде изразено от R -2 и др. Dox 1.
Така в този случай системата ще бъде съвместна и дефинирана.
Сега разгледайте случая, когато r
От това уравнение можете да изразявате основната променлива x r чрез несъответстващи:
Последното уравнение ще разгледа:
Заместването му в нея вместо X R, полученият израз може да бъде експресиран от основната променливаxR -1 чрез не-прекъсване. И т.н. към променливитеX 1. За да получите системно решение, можете да приравните не-беконови променливи към произволни стойности и след това да изчислите основните променливи съгласно получените формули. Така в този случай системата ще бъде съвместна и несигурна (имат безкрайни решения).
Например, чрез решаване на системата на уравнения:
Точките на основните променливи ще бъдат извикани основасистеми. Комбинацията от колони от коефициенти с тях също ще се обади основа(основни колони), или база незначителна.системни матрици. След това решението на системата, в която всички небразни променливи са нула, ние ще се обадим основно решение.
В предишния пример, основното решение ще (4/5; -17/5; 0; 0) (променливи X 3 и X 4 (С1 и С2) са равни на нула и основните променливи X 1 и X 2 се изчисляват чрез тях). За да се принесе пример за неочаквано решение, е необходимо да се приравнят х 3 и х 4 (С1 и С2) към произволни числа, неравномерно в същото време, и да се изчислят останалите променливи чрез тях. Например, с 1 \u003d 1 и от 2 \u003d 0, получаваме неразкрит разтвор - (4/5; -12/5; 1; 0). Заместването е лесно да се увери, че и двете решения са верни.
Очевидно е, в неопределена система на не-бекон решения, може да има безкрайно много. Колко основни решения могат да бъдат? Всеки ред от преобразуваната матрица трябва да съответства на една основна променлива. Общо, в задачата на името, но основните струни -R. Следователно броят на всички видове комплекти от основни променливи не може да надвишава броя на комбинациите от BOV 2. Може да е по-малко от 
Тъй като не винаги е възможно да се конвертира системата към този вид, така че този конкретен набор от променливи да е основен.
Какъв е този вид? Това е форма, когато матрицата, образувана от колоните на коефициентите в тези променливи, ще бъде пристъпила и тя ще се състои от платформа. Тези. Рангът на матрицата на коефициента с тези променливи трябва да бъде равен. Не може да има повече, тъй като броят на колоните е еквивалентен. Ако се окаже, че е по-малко, това показва линейната зависимост на колоните с променливи. Такива колони не могат да бъдат основа.
Помислете какви други основни решения могат да бъдат намерени в горния пример. За да направите това, помислете за всякакви комбинации от четири променливи в две основни. Ще има такива комбинации 
Освен това един от тях (x 1 и x 2) вече е разгледан.
Вземете променливите X 1 и X 3. Ние намираме ранга на матрицата на коефициентите за тях:
Тъй като е равно на две, те могат да бъдат основни. Ние приравняваме не-беконови променливи X 2 и x 4 до нула: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. След това, от формулата X 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4, следва, че x 1 \u003d 4 / 5, и от формулата x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 следва, че x 3 \u003d x 2 +17/5 \u003d 17 / 5. Така получаваме основен разтвор (4/5; 0; 17/5; 0).
По същия начин е възможно да се получат основни разтвори за основни променливи X 1 и X 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); X 2 и X 4 - (0; -9; 0; 4); X 3 и X 4 - (0; 0; 9; 4).
Променливите X 2 и X 3 в този пример не могат да се приемат като основни, тъй като рангът на съответната матрица е равен на един, т.е. По-малко от две:
.
Друг подход към определението за това дали е възможно или да не създава основа за някои променливи. В решаването на примера в резултат на това превръщането на системата матрица към стъпалото се появява, той е под формата:
Изборът на чифт променливи е възможно да се изчислят съответните непълнолетни на тази матрица. Лесно е да се уверите, че за всички двойки, с изключение на x 2 и x 3, те не са равни на нула, т.е. Колоните са линейно независими. И само за колони с променливи X 2 и X 3 
Какво говори за линейната им зависимост.
Разгледайте друг пример. Ние решаваме системата на уравнения
Така уравнението, съответстващо на третата линия на последната матрица, е противоречиво - това е довело до неправилно равенство 0 \u003d -1, следователно, тази система е неразбираема.
Йордан-Гаус 3 Това е разработването на метода Гаус. Неговата есенция е, че разширената система на системата се превръща във формата, когато коефициентите на действителната форма образуват една матрица с точност на пренареждане на редове или колони 4 (където системата на системата матрица).
По този метод системата:
Помислете за разширена система за система:
В тази матрица изберете един елемент. Например, коефициентът при X 2 в третото ограничение 5. Ще успеем в останалите редове в тази колона стояха нули, т.е. Ще направим блока за колона. В процеса на трансформации ще се обадим това колонаразрешаване(водещ, ключ). Трета граница (трета линия) Ще се обадим също допустим. Себе си елементкойто стои на пресечната точка на разрешените низове и колона (тук това устройство) също се нарича разрешаване.
Първият ред сега струва коефициента (-1). За да получите нула на мястото си, аз ще умножа третия ред на (-1) и ще извадя резултата от първия ред (т.е. просто сложете първия ред с третата).
Във втория ред има коефициент 2. За да получите нула на мястото си, умножете третия ред на 2 и извадете резултата от първия низ.
Резултатът от трансформацията ще изглежда:
От тази матрица ясно се вижда, че една от първите две ограничения може да бъде изтрита (съответните линии са пропорционални на, т.е. тези уравнения се следват). Излезте, например, второто:
Така че в новата система две уравнения. Получава се една колона (втора), а устройството тук стои във втория ред. Спомням си, че второто уравнение на новата система ще съответства на основната променлива x 2.
Изберете основната променлива за първия ред. Това може да бъде всяка променлива, с изключение на X 3 (защото при X 3 в първото ограничение е нулевият коефициент, т.е. наборът от променливи X 2 и X 3 тук не могат да бъдат основни). Можете да вземете първата или четвъртата променлива.
Изберете x 1. След това елементът за разделителна способност ще бъде 5, а двете части на уравнението за преструктуриране ще трябва да бъдат разделени на пет, за да се получи единица в първата колона.
Ще постигнем в останалите линии (т.е. във втория ред) в първата колона стоеше нула. Тъй като сега във втория ред не е нула, и 3 е необходимо да се извадят от втория ред елементите на преобразуваната първа линия, умножена по 3:
От получената матрица е възможно директно извличане на едно основно решение, приравняващи небрани променливи до нула и основни за свободните членове в съответните уравнения: (0.8; -3.4; 0; 0). Можете също така да изтеглите общи формули, изразяващи основни променливи чрез не-прекъсване: x 1 \u003d 0.8 - 1.2x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1.6x 4. Тези формули описват всички безкрайни комплекти от системни разтвори (приравняват X 3 и X 4 до произволни числа, могат да бъдат изчислени X 1 и X 2).
Имайте предвид, че същността на трансформациите на всеки етап от метода на Йордан-Гаус е както следва:
1) Разрешаването на низ беше разделено на разрешената точка, за да влезе на място единица,
2) От всички останали редове, преобразуваната резолюция се изважда, умножена по елемента, който стоеше в този ред в колоната за преструктуриране, за да се получи на място на този елемент нула.
Помислете отново за преобразуваната удължена система за система:
От този запис е ясно, че рангът на матрицата на системата А е равен на R.
В хода на аргументите открихме, че системата ще бъде съвместно тогава и само когато 
. Това означава, че разширената матрица на системата ще разгледа:
Чрез изхвърляне на нулеви линии, ние получаваме, че рангът на удължена система матрица също е равен на r.
Теоремата на Каперера Капера. Системата на линейни уравнения се координира тогава и само когато рангът на системата матрицата е равен на ранга на разширена матрица на тази система.
Спомнете си, че рангът на матрицата е равен на максималния брой линейно независими линии. От това следва, че ако рангът на удължена матрица е по-малък от броя на уравненията, уравненията на системата са линейно зависими, а един или повече от тях могат да бъдат изключени от системата (тъй като те са линейна комбинация от оставащ). Системата на уравненията ще бъде линейно независима, ако степента на удължената матрица е равна на броя на уравненията.
В същото време, за съвместни системи на линейни уравнения, може да се твърди, че ако пръстенът на матрицата е равен на броя на променливите, системата има едно решение и ако е по-малко от броя на променливите , системата е неопределена и има безкрайно много решения.
1 Например, оставете пет реда в матрицата (първоначалния ред на струните - 12345). Необходимо е да се промени вторият низ и петата. За втората линия се намира в петата, "преместена" надолу, ние сменим съседните линии в последователно три пъти: втората и третата (13245), втората и четвъртата (13425) и втората и петата (13452). След това петата линия попада в секунда в източника матрицата, е необходимо да се "премества" петият низ само с две последователни промени: петият и четвърти редове (13542) и петата и третата (15342).
2 комбинации от n от r 
те се обаждат на броя на всички различни R-елементи на подгрупа от N-елемент (различни комплекта се считат за тези, които имат различен елемент от елемента, поръчката за подбор не е важна). Той се изчислява по формулата: 
. Припомнете значението на знака "!" (факториален): 
0!=1.)
3Poscolka Този метод е по-чест от най-вече разглеждания метод Гаус и по своята същност е комбинация от пряко и обратно движение на метода Гаус, той понякога се нарича метод Гаус, като намалява първата част от името.
46 Пример 
.
5 Ако в матрицата на системата нямаше единици, би било възможно например да се разделят и двете части на първото уравнение за двама, а след това първият коефициент ще се превърне в такъв; или подобно
Продължаваме да разбираме системите на линейни уравнения. Досега сме обмислили системи, които имат едно решение. Такива системи могат да бъдат решени по никакъв начин: за метод за заместване("Училище"), според формулите за робели, метода на матрицата, от Гаус. Въпреки това, още два случая са широко разпространени на практика, когато:
1) системата е непълна (не решения);
2) Системата има безкрайно много решения.
За тези системи се използват най-универсалните на всички решения - метод на Гаус. Всъщност отговорът ще доведе и "училище", но в по-висша математика е обичайно да се използва Гаусов метод за последователно изключване на неизвестно. Тези, които не са запознати с алгоритъма на метода Гаус, моля, първо изследвайте урока метод на Гаус
Елементарните трансформации на самите матрици - точно същотоРазликата ще бъде в края на решението. Първожнете няколко примера, когато системата няма решения (непоследователни).
Пример 1.
Какво е непосредствено в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Има такава теорема, която твърди: "Ако броят на уравненията в системата е по-малък от броя на променливите, след това системата е или неразбираема или има безкрайно много решения. " И остава само за да разберем.
Началото на решението е напълно обичайно - ние пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации, които го даваме на етапа на изгледа:
(един). На лявата горна стъпка трябва да получим (+1) или (-1). В първата колона няма такива номера, така че пермутацията на редовете няма да даде нищо. Устройството трябва да бъде организирано самостоятелно и може да се извършва по няколко начина. Записахме се така. Към първия ред добавете трета линия, умножена по (-1).
(2). Сега получаваме две нула в първата колона. Към втората линия добавете първия низ, умножен по 3. към третия ред, добавете първия, умножен по 5.
(3). След завършване на преобразуването винаги е препоръчително да се види дали е невъзможно да се опростят получените линии? Мога. Разделяме втория низ на 2, в същото време получаваме необходимото (-1) на втората стъпка. Разделяне на третия ред (-3).
(четири). Към третия ред добавете втори низ. Вероятно всички обърнаха внимание на лоша линия, която се оказа в резултат на елементарни трансформации:
. Ясно е, че не може да бъде.
Всъщност пренапишете получената матрица
обратно към системата от линейни уравнения:
Ако се получи низ от типа в резултат на елементарни трансформации къдетоλ - номер, различен от нула, тогава системата е неразбираема (не решения).
Как да запишете крайната задача? Необходимо е да се напише фразата:
"В резултат на елементарни трансформации се получава низ от изгледа, където λ ≠ 0 " Отговор: "Системата няма решения (непълна)."
Моля, обърнете внимание, че в този случай няма обратен ход на алгоритъма Гаус, няма решения и няма какво да се намери.
Пример 2.
Решаване на системата от линейни уравнения 
Това е пример за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.
Ние отново ви напомняме, че вашето решение на решението може да се различава от нашия ход на решението, методът Гаус не посочва недвусмислен алгоритъм, върху процедурата за действия и за самите действия е необходимо да се отгатне във всеки отделен случай.
Друга техническа характеристика на разтвора: Елементарните трансформации могат да бъдат прекратени незабавноВеднага щом се появи редът, къде λ ≠ 0 . Помислете за условен пример: Да предположим, че след първата трансформация матрицата се оказа
.
Тази матрица все още не е показана на стъпката, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи низ от изгледа λ ≠ 0 . Трябва незабавно да отговорите на системата е непълна.
Когато системата от линейни уравнения няма решения - това е почти подарък за ученика, с оглед на това, което се получава кратко решение, понякога буквално в 2-3 действия. Но всичко в този свят е балансирано и задачата, в която системата има безкрайно много решения - просто по-дълго.
Пример 3:
Решаване на системата от линейни уравнения
Има 4 уравнения и 4 неизвестни, така че системата може да има единственото решение или да няма решения или да има безкрайно много решения. Каквото и да беше, но методът на Гаус във всеки случай ще ни доведе до отговора. В това и неговата гъвкавост.
Стартирайте отново стандарт. Пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации, които го даваме на стъпката:
Това е всичко и се страхувахте.
(един). Моля, обърнете внимание, че всички числа в първата колона са разделени на 2, така че два и два пъти ни подхождат на лявата горна стъпка. Вторият ред добавя първия низ, умножен по (-4). Към третия ред добавете първия низ, умножен по (-2). Към четвъртата линия добавете първия низ, умножен по (-1).
Внимание!Много хора могат да имат изкушение от четвъртата линия sUBTRACT. Първи низ. Можете да направите това, но не е необходимо, опитът показва, че вероятността от грешки в изчисленията се увеличава няколко пъти. Само ние добавяме: към четвъртата линия добавете първия низ, умножен по (-1) - точно!
(2). Последните три линии са пропорционални, две от тях могат да бъдат изтрити. Тук отново трябва да покажете повишено вниманиеНаистина ли е пропорционално на линиите? За презастраховане тя няма да бъде излишно да се умножи втория низ на (-1), а четвъртата линия е разделена на 2, което води до три еднакви линии. И само след това отстранете две от тях. В резултат на елементарните трансформации, удължената система на системата се дава на стъпален вид:
Когато правите задача в преносим компютър, е желателно видимост да направите същите марки с молив.
Пренаписваме съответната система на уравнения: 
"Обичайното" единствено решение на системата тук и не мирише. Без добър низ, където λ ≠ 0, също не. Така че, това е третият остатъчен случай - системата има безкрайно много решения.
Безкрайният набор от решения на системата е написан накратко под формата на т.нар система за общо решение.
Общото решение на системата ще намери с помощта на обратното движение на метода Гаус. За системи за уравнения с безкрайни решения се появяват нови концепции: "Основни променливи" и "Безплатни променливи". Първо определяме какви променливи сме основаи какви променливи - безплатно. Не е необходимо да се изяснят условията на линейната алгебра, достатъчно е да се помни, че има такива основни променливи и безплатни променливи.
Основните променливи винаги "седят" строго по стълбите на матрицата. В този пример основните променливи са Х. 1 I. х. 3 .
Всички безплатни променливи са всички останалото Променливи, които не са получили стъпките. В нашия случай има две от тях: Х. 2 I. х. 4 - безплатни променливи.
Сега имате нужда всичкоосновни променливи Експрес само презбезплатни променливи. Обратното движение на алгоритъма Гаус традиционно работи под. От второто уравнение на системата, ние изразяваме основната променлива х. 3:
Сега разглеждаме първото уравнение: 
. Първо заменяме изразяването на израза:
Остава да изрази основната променлива х. 1 чрез безплатни променливи Х. 2 I. х. 4:
В резултат на това се оказа какво ви трябва - всичко основни променливи ( х. 1 I. х. 3) изразено само презбезплатни променливи ( х. 2 I. х. 4):
Всъщност общото решение е готово:
.
Как да коригираме общото решение? Първо, свободните променливи се записват в цялостното решение "сам по себе си" и строго на техните места. В този случай свободните променливи Х. 2 I. х. 4 трябва да бъдат записани във втората и четвъртата позиция:
.
Получените изрази за основни променливи И очевидно трябва да записвате в първата и третата позиция:
От общото решение на системата, можете да намерите безкрайно много частни решения. Много е просто. Безплатни променливи х. 2 I. х. 4 се наричат \u200b\u200bтака, защото могат да бъдат дадени всички крайни стойности. Най-популярните стойности са нулеви стойности, тъй като конкретното решение е най-лесният начин.
Заместващ ( х. 2 = 0; х. 4 \u003d 0) Като цяло получаваме едно от индивидуалните решения:
или е определено решение, съответстващо на безплатна променлива при стойности ( х. 2 = 0; х. 4 = 0).
Друга сладка двойка са единици, заместител ( х. 2 \u003d 1 и х. 4 \u003d 1) В общото решение:
, т.е. (-1; 1; 1; 1) - друго конкретно решение.
Лесно е да се види, че системата на уравненията има безкрайно много решения Така че като безплатна променлива можем да дадем . \\ T стойности.
Всекичастното решение трябва да отговаря за всеки Уравнение на системата. Това се основава чрез "бърза" проверка на коректността на решението. Вземете, например, частен разтвор (-1; 1; 1; 1) и го заменете в лявата част на всяко уравнение на източника:
Всичко трябва да се събере. И с всяко лично решение, което сте получили - всичко трябва да бъде прехвърлено.
Строго говорене, проверка на частно решение понякога мамене, т.е. Някои конкретни решения могат да задоволят всяко уравнение на системата и самата обща решения действително е установена неправилно. Ето защо, преди всичко, повече основател и надежден за проверка на общото решение.
Как да проверите полученото общо решение 
?
Лесно е, но по-скоро изисква дълги трансформации. Трябва да вземете изрази основа Променливи в този случай 
И и ги замени в лявата част на всяко уравнение на системата.
В лявата част на първото уравнение на системата:
Получава се дясната част на първоначалното първосно уравнение.
От лявата страна на второто уравнение на системата:
Получава се дясната част на първоначалното второ уравнение на системата.
И по-нататък - на лявата част на третото и четвъртото уравнение на системата. Тази проверка е по-дълга, но гарантира сто процента коректност на цялостното решение. Освен това някои задачи изискват обща проверка на решението.
Пример 4:
Решете системата на Гаус. Намерете общо решение и две частни. Направете проверка на общо решение.
Това е пример за независимо решение. Тук, между другото, броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните и затова е ясно, че системата ще бъде или непълна или с безкрайни решения.
Пример 5:
Решаване на системата от линейни уравнения. Ако системата има безкрайно много решения, намиране на две специализирани решения и прави обща проверка на решението
Решение: Ние пишем разширената матрица на системата и, с помощта на елементарни трансформации, ние го даваме на стъпката:
(един). Вторият ред е добавящ първия низ. Към третия ред добавете първия низ, умножен по 2. до четвъртата линия, добавете първия низ, умножен по 3.
(2). Към третия ред добавяме втора линия, умножена по (-5). Към четвъртата линия добавете втори низ, умножен по (-7).
(3). Третата и четвъртата линии са еднакви, премахваме една от тях. Ето една красота:
Основните променливи седит на стъпките, следователно - основни променливи.
Безплатна променлива, която не е получила стъпките тук само само :.
(четири). Връщане. Изразявайте основните променливи чрез безплатната променлива:
От третото уравнение:
Помислете за второто уравнение и заменете израза върху него:
, 
, ,
Помислете за първото уравнение и заместващи изрази, открити в него и:
По този начин, общото решение в една безплатна променлива х. 4:
Още веднъж, как се случи това? Безплатна променлива х. 4 самотни седи в легитимата си четвърто място. Получените изрази за основни променливи, както и на техните места.
Незабавно извършване на обща проверка на решението.
Заместваме основните променливи в лявата част на всяко уравнение на системата:
Съответните десни части от уравненията бяха получени, поради това бе открито верно общо решение.
Сега от откритото общо решение 
Получаваме две частни решения. Всички променливи се изразяват тук чрез единствения. безплатна променлива X. четири. Няма нужда да счупите главата си.
Нека бъде х. 4 \u003d 0, тогава 
- първото частно решение.
Нека бъде х. 4 \u003d 1, тогава 
- друго частно решение.
Отговор: Общо решение: . Частни решения:
и.
Пример 6:
Намерете общо решение на система от линейни уравнения.
Проверка на общото решение вече е направено, отговорът може да бъде доверен. Вашето решение на решението може да се различава от нашето решение. Основното е да съвпадате с общите решения. Вероятно много от тях са забелязали неприятщ момент в решенията: много често, с обратния курс на метода Гаус, трябваше да се забъркваме с обикновените фракции. На практика това е вярно, случаите, в които няма фракции - те са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени морално и най-важното, технически.
Нека да се спрем върху характеристиките на решението, което не се среща в разширените примери. Като цяло, системата понякога може да включва постоянна (или константи).
Например, общо решение :. Тук една от основните променливи е равна на постоянен номер :. Няма нищо екзотично, което се случва. Очевидно в този случай всяко определено решение ще съдържа пет в първата позиция.
Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Въпреки това, методът на Гаус работи в най-тежките условия. Тя трябва да бъде спокойно да бъде ръководена от удължена система за система до етапна стъпка според стандартния алгоритъм. Такава система може да бъде несъвместима, може да има безкрайно много решения и, достатъчно странно, може да има едно решение.
Ще повторим в съветите ви - за да се чувстваме удобно при решаването на системата от метода Гаус, трябва да запълните ръката и да прекъснете поне дузина системи.
Решения и отговори:
Пример 2:
Решение:Пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации, които го даваме на стъпална форма.
Извършени елементарни трансформации:
(1) Първите и третите линии са променяли местата.
(2) Вторият ред добави първия низ, умножен по (-6). Към третия ред добавите първия низ, умножен по (-7).
(3) към третия ред добави втората низ, умножена по (-1).
В резултат на елементарни трансформации, ред тип където λ ≠ 0 . Така че системата е неразбираема.Отговор: няма решения.
Пример 4:
Решение:Пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации, които го даваме на стъпката:
Преобразуване изпълнено:
(един). Към втория ред първият низ, умножен до 2. Към третия ред, първият низ, умножен по 3.
За втората стъпка няма никой И трансформацията (2) е насочена към получаването му.
(2). Към третия ред добавите втория низ, умножен по -3.
(3). Вторият с третите линии се променя на места (пренарежда получената -1 на втората стъпка)
(четири). Третият ред добави втори низ, умножен по 3.
(пет). В първите две линии променят знака (умножен по -1), третата линия е разделена на 14.
Връщане:
(един). Тук - основни променливи (които на стъпките) и. \\ t - безплатни променливи (които не са получили стъпките).
(2). Изразяват основните променливи чрез безплатни променливи:
От третото уравнение: .
(3). Помислете за второто уравнение: , Частни решения:
Отговор: Общо решение: 
Комплексни номера
В този раздел ще въведем концепцията интегриран номер, Обмисли алгебрийски, тригонометрични и индикативна формаинтегриран номер. И също така да научат как да извършват действия със сложни числа: добавка, изваждане, умножение, разделяне, изграждане и добив на корена.
За да овладеят интегрираните номера, не се изискват някои специални познания от хода на по-висшата математика, а материалът е дори ученик. Достатъчно е да може да изпълнява алгебрични действия с "обикновените" числа и да си спомни тригонометрията.
Първо извикайте "обикновените" числа. В математиката те се наричат разнообразие от валидни номераи обозначени с писмото R,или r (удебеляване). Всички валидни номера седит на познат цифров директ:
Компанията на реалните числа е много пешеходец - тук и цели числа и фракции и ирационални номера. В същото време всяка точка на числената ос задължително съответства на някакъв валиден номер.
Системите за уравнения са широко използвани в икономическата индустрия в математическото моделиране на различни процеси. Например, когато решават задачи за управление и производство, логистични маршрути (транспортна задача) или поставяне на оборудване.
Системите за уравнение се използват не само в областта на математиката, но и физика, химия и биология, при решаването на проблеми за намиране на номера на населението.
Системата от линейни уравнения се отнасят до две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, в която всички уравнения ще бъдат лоялни равенства или доказват, че няма последователност.
Линейно уравнение
Уравненията на формата AX + by \u003d C се наричат \u200b\u200bлинейни. Обозначения X, Y са неизвестни, трябва да се намери стойността, B, A - коефициенти с променливи, С е свободен член на уравнението.
Решението е уравнението чрез изграждането на своя график ще има формата на права линия, всички точки на които са полином.
Видове линейни уравнения
Примери за системи за линейни уравнения с две променливи X и Y се считат за най-прости.
F1 (x, y) \u003d 0 и F2 (x, y) \u003d 0, където F1,2 - функции, (x, y) - променливи функции.
Решаване на системата на уравнения - това означава намиране на такива стойности (x, y), в която системата се превръща в вярно равенство или установява, че подходящите стойности на x и y не съществуват.
Двойка стойност (x, y), записана под формата на координатите на точките, се нарича решение на система от линейни уравнения.
Ако системите имат едно общо решение или решение, те не съществуват, те се наричат \u200b\u200bеквивалентни.
Единните системи на линейните уравнения са десната част на системата, която е нула. Ако веднага след знака "Равенство" отчасти или изразени от функция, такава система е хетерогенна.
Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за примера на система от линейни уравнения с три променливи или повече.
Започвайки със системи, учениците предполагат, че броят на уравненията трябва непременно да съвпада с броя на неизвестното, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има много от тях.
Прости и сложни методи за решаване на системи за уравнения
Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи, всички методи се основават на цифрови разтвори. В училищния курс на математиката тези методи са описани подробно като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графичен и матричен метод, решаване на метода Гаус.
Основната задача в преподаването на начини за решаване е да преподава правилно системата и да намери оптималния алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо не е да се управляват системата за правилата и действията за всеки метод, но да се разберат принципите на прилагане на метод или друг
Решаването на примери за системи за линейни уравнения 7 клас на средното училище е доста проста и обяснена в много подробни. Във всеки учебник по математика този раздел е достатъчно внимание. Решаването на примери за системи за линейни уравнения от Гаус и Крамер се изследва по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.
Решаване на системи чрез заместване
Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива през втората. Изразът е заместен в оставащото уравнение, след което води до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата
Представяме решението на пример за система от линейни уравнения от 7 клас чрез метод на заместване:
Както може да се види от примера, променливата x се експресира от F (x) \u003d 7 + y. Полученият израз, заместен в 2-ра уравнението на системата на място X, помогна да се получи една променлива Y в 2-ра уравнението. Решението на този пример не причинява затруднения и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.
Решете пример за система от линейно заместване уравнения не винаги е възможно. Уравненията могат да бъдат сложни и изразът на променливата чрез второто неизвестно ще бъде твърде обемист за по-нататъшно изчисление. Когато системата неизвестна в системата, повече от 3 решения за заместване също са нецелесъобразни.
Разтвор на примера на система от линейни нехомогенни уравнения:
Разтвор, използващ алгебрично добавяне
При търсене на системи за решаване, методът на добавяне произвежда наземно добавяне и умножаване на уравнения за различни номера. Крайната цел на математическите действия е уравнението с една променлива.
За приложения на този метод практиката е необходима и наблюдение. Решаване на системата от линейни уравнения по метода на добавяне с броя на променливата 3 и по-трудно. Алгебричното добавяне е удобно използвано, когато в уравненията присъстват фракции и десетични знаци.
Алгоритъм за решения:
- Умножете двете части на уравнението за един вид номер. В резултат на аритметично действие, един от коефициентите с променлива трябва да бъде равен на 1.
- Монтирайте произтичащия израз и намерете някой от неизвестните.
- Заменете стойността, получена в второто уравнение на системата за търсене на оставащата променлива.
Решението за въвеждането на нова променлива
Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.
Методът се използва за опростяване на едно от уравненията, влизайки в нова променлива. Новото уравнение се решава спрямо въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на първоначалната променлива.
От примера може да се види, че вмъкването на нова променлива T е успяла да намали първото уравнение на системата до стандартен квадрат три-шок. Можете да решите полином, като намирате дискриминацията.
Необходимо е да се намери стойността на дискриминатора съгласно известната формула: D \u003d B2 - 4 * A * C, където D е желаният дискриминант, В, А, С - полиномни множители. В даден пример, a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d 39, следователно, d \u003d 100. Ако дискриминацията е по-голяма от нула, тогава решенията са две: t \u003d -b ± √d / 2 * а, ако дискриминацията е по-малка от нула, тогава разтворът е един: x \u003d -b / 2 * a.
Решението за получените в резултат на това системи се разглежда по метода на добавяне.
Метод на решаване на визуална система
Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът е да се изгради върху координатната ос на графиките на всяко уравнение в системата. Координатите на пресичането на кривите и ще бъдат общо решение на системата.
Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи за линейно уравнение с визуален начин.
Както може да се види от примера, за всеки директ са изградени две точки, стойностите на променливата X са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите x, стойностите за y са намерени за y : 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) са маркирани на графиката и свързани с линията.
Трябва да се повторят действията за второто уравнение. Точката на пресичане на пресечната точка е решението на системата.
В следващия пример е необходимо да се намери графичен разтвор на система от линейни уравнения: 0.5x-y + 2 \u003d 0 и 0.5x-y - 1 \u003d 0.
Както може да се види от примера, системата няма разтвор, защото графиките са успоредни и не се пресичат по цялата дължина.
Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при изграждането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги трябва да изграждате график.
Матрицата и нейните сортове
Матриците се използват за кратък запис на системата от линейни уравнения. Матрицата се нарича таблица със специален тип, изпълнен с числа. N * m има n - струни и m - колони.
Матрицата е квадрат, когато броят на колоните и редове е помежду си. Матрицата - векторът се нарича матрица на една колона с безкрайно възможен брой редове. Матрицата с единици от един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича единична.
Обратната матрица е такава матрица, когато се умножава първоначалните завои в един, такава матрица съществува само за оригиналния квадрат.
Правила за превръщане на система от уравнения в матрицата
Във връзка със системите на уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични номера, едно уравнение е един ред от матрицата.
Матричният низ се нарича nonzerol, ако поне един елемент от линията не е нула. Следователно, ако е в някое от уравненията, броят на променливите варира, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на неизвестното неизвестно.
Колоните на матрицата трябва стриктно да съвпадат с променливите. Това означава, че коефициентите на променливата X могат да бъдат записани само в една колона, например, първия коефициент на неизвестен Y - само във втория.
Когато се умножи матрицата, всички елементи на матрицата се умножават по номера.
Опции за намиране на матрица за връщане
Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 \u003d 1 / | K |, където K -1 е матрицата на връщане, и | K | - определянето на матрицата. | K | Не трябва да е нула, след това системата има решение.
Детерминантата се изчислява лесно за "две-две" матрица, е необходимо само да се умножат всякакви елементи диагонално. За опцията "три до три" има формула | K | \u003d A 1 B2C3 + A 1 B3С2 + АЗЗ 1С2 + А2 В3С 1 + А2 В1С 3 + A 3 B2C 1. Можете да използвате формулата и можете да си спомните, че трябва да вземете един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редиците на елементите да не се повтарят в работата.
Решаване на примери за системи от линейни уравнения по метода на матрицата
Методът Matrix за намиране на разтвор позволява да се намалят обемисти записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.
В пример НМ, коефициентите на уравненията, матрицата - вектор X N - променливи, и B n - свободни членове.
Решаване на системи от Гаус
В най-висшата математика методът на Гаус се изследва заедно с метода на Cramer и системата за намиране на решения на системи също се нарича Gauss - Cramer решение. Тези методи се използват при задаване на променливи системи с голям брой линейни уравнения.
Методът Гаус е много подобен на решенията с помощта на замествания и алгебрично добавяне, но по-систематично. През учебната година решението на Гауса се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата на формата на обърнат трапеца. Чрез алгебрични трансформации и замествания има стойност от една променлива в едно от уравнението на системата. Второто уравнение е експресия с 2 неизвестни, но 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.
След като приведе системата на горната форма, допълнителното решение се намалява до последователното заместване на известни променливи в уравнението на системата.
В училищните учебници за степен 7, пример за решаване на метода Гаус е описан, както следва:
Както може да се види от примера, в етап (3) две уравнения 3x 3 -2x 4 \u003d 11 и 3x 3 + 2x4 \u003d 7. Разтворът на някое от уравненията ще позволи една от променливите х n.
Теорема 5, която е посочена в текста, казва, че ако една от уравненията на системата е еквивалентна на еквивалента, получената система също ще бъде еквивалентна на оригинала.
Методът Гаус е труден за възприемането на учениците от гимназията, но е един от най-интересните начини за разработване на седем пътни деца, които са записани в задълбочена проучвателна програма в математически и физически класове.
За простота изчислението се извършва, както следва:
Коефициентите на уравненията и свободните елементи се записват под формата на матрица, където всяка линия на матрицата е свързана с една от системните уравнения. разделя лявата част на уравнението отдясно. Римските цифри показват броя на уравненията в системата.
Първо, напишете на матрицата, която трябва да работи, тогава всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да извършва необходимите алгебрични действия, докато резултатът се постигне.
В резултат на това трябва да се получи матрица, при която един от диагоналите струва 1, и всички други коефициенти са нула, т.е. матрицата води до един тип. Не трябва да забравяте да изчислите с номера на двете части на уравнението.
Този метод за запис е по-малко тромав и позволява да не се разсейва от прехвърлянето на множество неизвестни.
Безплатно ползване на какъвто и да е начин за решаване ще изисква грижи и определен опит. Не се прилагат всички методи. Някои начини за търсене на решения са по-предпочитани в другата област на дейностите на хората, докато други съществуват в учебни цели.
Проучване на система от линейни ангебрични уравнения (слава) към единици означава да разберете, тази система има решение или не са. Е, ако има решения, тогава посочете колко от тях.
Ще се нуждаем от информация от тема "Системата на линейните алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична форма на запис." По-специално, ние се нуждаем от такива понятия като матрицата на системата и разширена система за система, тъй като точно от тях е да опишат теоремата на теоремата Kappeli. Както обикновено, системната матрица ще бъде обозначена с буквата $ a $, а разширената система на системата е буквата $ widetilde (a) $.
Теоремата на Каперера Капера
Системата на линейните алгебрични уравнения се координира тогава и само ако рангът на системата матрицата е равен на ранга на разширена система матрица, т.е. $ Arg a \u003d rang pidetdilde (a) $.
Позволете ми да ви напомня, че системата се нарича съвместно, ако има поне едно решение. Теоремата на Capera-Capelli казва, че ако $ rang a \u003d rang widetilde (a) е там; Ако $ зябнал Widetilde (A) $, тогава този наклон няма решения (непълни). Отговорът на въпроса за броя на тези решения оказва следствие от теорерът Kronkener-Capelli. В текста на последиците се използва буквата $ n $, която е равна на броя на променливите на дадения наклон.
Последица от теоремата на Kepekenen-Capeleie
- Ако $ зябете neq Rang Widetilde (A) $, тогава славята е непълна (не решения).
- Ако $ зрея a \u003d изглаждане на widetilde (a)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Ако $ vang a \u003d rang pidetilde (a) \u003d n $, тогава наклонът е дефиниран (има точно едно решение).
Имайте предвид, че формулираната теорема и следствието от него не посочват как да се намери решение на славята. С тяхната помощ можете да разберете само ако тези решения съществуват или не, и ако има, тогава колко.
Пример №1.
Разгледайте $ лява (начална (подравнена) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 \u003d 17; \\ t & -x_1 + 2; \\ t ) Вдясно. $, За да се обединят. Ако славята е споделена, посочете броя на решенията.
За да разберете наличието на решения на дадената слава, ние използваме теоремата Caperera caperera. Ние ще се нуждаем от матрица от $ a $ system и разширена матрица на системата $ по системата (A) $ пишете:
$$ a \u003d left (начало (array) (CCC) -3 и 9 & -7 - -1 & 2 & -4 end (масив) отдясно); \\ t Widetilde (a) \u003d лява (начална (масива) (CCC | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ t Край (масив) вдясно). $$.
Необходимо е да се намери $] $ и $ Rang WideTilde (A) $. За това има много начини, някои от които са изброени в раздела "Матрица". Обикновено се използват два метода за изследване на такива системи: "изчисляване на степента на матрицата по дефиниция" или "изчисляване на степента на матрицата по метода на елементарните трансформации".
Метод номер 1. Изчисляване на редиците по дефиниция.
Според дефиницията рангът е най-високият ред на малцинствената матрица, сред която има поне една друга, освен нула. Обикновено, проучването започва с непълнолетни на първия ред, но тук е по-удобно да започнете незабавно към изчисляването на миньора на третия ред на матрицата $ A $. Елементите на третия ред непълнолетен са на пресечната точка на три линии и три колони на разглежданата матрица. Тъй като матрицата $ a $ съдържа само 3 реда и 3 колони, незначителни от третия ред на матрицата $ a $ е идентификатор на матрицата $ a $, т.е. $ Delta a $. За да се изчисли детерминанта, ние прилагаме формула № 2 от темата "Формули за изчисляване на детерминантите на втората и третата поръчка":
$$ Delta A \u003d ляво | Начало (array) (CCC) -3 &-9 & -7 - -1 & 2 & -4 end (масив) отдясно | \u003d -21. $$.
Така че, има малък от третия ред на матрицата $ A $, което не е равно на нула. Малък от четвъртия ред е невъзможно да се компилира, тъй като изисква 4 реда и 4 колони, и в $ 1 $ 3 линии и 3 колони. Така че, най-високата порядъка на малцинствената матрица $ a $, сред която има поне една не-нула, е 3. Следователно $ arg a \u003d $ 3.
Също така трябва да намерим $ Rang Widetilde (A) $. Нека да разгледаме структурата на матрицата от $ isetilde (A) $. До линията в $ ici plisetilde matrix (a) $ има елементи от $ a $ matrix и открихме, че $ delta a neq 0 $. Следователно матрицата от $ ubicle (A) $ е незначителна трета поръчка, която не е равна на нула. Непълнолетните на четвъртия ред на матрицата $ jidetilde (a) $ не можем да композираме, така че заключаваме: $ \\ t
Тъй като $ rang a \u003d rang pidetilde (a) $, след това според теоремата Klekeker-Capeli, системата се използва съвместно, т.е. Има решение (поне едно). За да посочите броя на решенията, ние отчитаме, че нашият наклон съдържа 3 неизвестни: $ x_1 $, $ x_2 $ и $ x_3 $. От броя на неизвестните $ n \u003d $ 3, ние правим заключението: $ \\ t IE. Той има едно решение.
Задачата е решена. Какви недостатъци и ползи са този метод? Да започнем с, да говорим за професионалистите. Първо, трябваше да намерим само един определящ фактор. След това незабавно стигнахме до броя на решенията. Обикновено стандартните типични изчисления са дадени системи на уравнения, които съдържат три неизвестни и имат едно решение. За такива системи този метод е много удобен, защото предварително знаем, че има решение (в противен случай примерът няма да бъде в стандартното изчисление). Тези. Трябва само да покажем присъствието на решения на най-бързия начин. Второ, изчислената стойност на матрицата на системата на системата (т.е. $ delta a $) е полезна след: когато решавате посочената система от системата за управление или с обратна матрица.
Въпреки това, методът за изчисляване на ранга по дефиниция е нежелателен, за да се прилага, ако матрицата на $ a $ система е правоъгълна. В този случай е по-добре да се прилага вторият метод, който ще бъде обсъден по-долу. Освен това, ако $ delta a \u003d $ 0, ние няма да можем да кажем нещо за броя на решенията, дадени на нехомогенния наклон. Може би безкрайният брой решения има наклон и може би не един. Ако $ DELTA A \u003d 0 $ изисква допълнително проучване, което често е обемист.
Обобщение до казаното, отбелязвам, че първият метод е добър за тези слава, чиято матрична квадратна система. В същото време самата слава съдържа три или четири неизвестни и взети от стандартни типични изчисления или тестова работа.
Метод номер 2. Изчисляване на ранг чрез елементарни трансформации.
Този метод е описан подробно в съответната тема. Ние ще изчислим парцала от матрицата от $ ice (A) $. Защо точно matrix $ widetilde (a) $, не $ a $? Факт е, че $ a $ matrix е част от $ \\ t ранг.
Началото (подравнено) & plisetilde (a) \u003d lete (начало (array) (CCC | c) -3 &-9 & 17 & -1 & -4 & 9 & - 2 & 19 & -42 End (масив) дясно) дясното радство, ляво | текст (променяме първата и втората линия) Arda fardara ard (начало (array) (CCC | c) -1 &-2 & 9 &- 3 & -7 & / 17 & - 42 End (масив) отдясно) начало (масив) (л) phantom (0) \\ t + 4 cdot i край (масив) дясното радство \\ t (Array) (ccc | c) -1 &-2 & 3 & 3 & -10 ed (масив) дясно) начало (масив) (l) фантом (0) \\ t Phantom (0) iii-2 cdot II край (масив) дясно радост, ляво (начало (масив) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ t & 3 & -10 край (масив) вдясно) край (подравнен)
Ние ръководихме $ icidilde (A) $ до трапецовидна форма. На главния Дагонал на получената матрица $ лява (начална (масива) (CCC | c) -1 & 2 & -4 & 9 & 3 &--10 край (масив) вдясно) $ Има три ненулеви елемента: -1, 3 и -7. Заключение: рангът на матрицата $ jidetilde (a) $ е 3, т.е. $ Rang Widetilde (A) \u003d $ 3. Осъществяване на реализации с елементи от матрицата $ jidetilde (A) $ Ние едновременно преобразувахме и елементите на матрицата $ A $, разположени до линията. $ A $ matrix се дава и на трапецовиден вид: $ лява (започва (array) (CCC) -1 & 2 & -4 0 & 3 & 5 \\ t (Масив) вдясно) $. Заключение: Рангът на матрицата $ A $ също е 3, т.е. $ 7 A \u003d $ 3.
Тъй като $ rang a \u003d rang pidetilde (a) $, след това според теоремата Klekeker-Capeli, системата се използва съвместно, т.е. има решение. За да посочите броя на решенията, ние отчитаме, че нашият наклон съдържа 3 неизвестни: $ x_1 $, $ x_2 $ и $ x_3 $. От броя на неизвестните $ n \u003d $ 3, ние правим изхода: $ \\ t (A) \u003d n $, следователно, според последствията от теоремата Cappelli, системата е дефинирана, т.е. Той има едно решение.
Какви са предимствата на втория начин? Основното предимство е неговата гъвкавост. Няма значение за нас дали матрицата е квадрат или не. В допълнение, ние всъщност проведохме трансформациите на прякото движение на метода Гаус. Тя остава само няколко действия и можем да получим решение на тази слава. Честно казано, вторият начин, по който харесвам колкото повече, но изборът е въпрос на вкус.
Отговор: Посочената слава се споделя и дефинира.
Пример номер 2.
Разгледайте $ лява (начална (подравнена) (в съответствие) и x_1-x_2 + 2x_3 \u003d -1; \\ t & -x_1 + 2x_2-3x_3 \u003d 3; \\ t 2; & 3x_1-2x_2 + 5x_3 \u003d 1; End (подравнен) надясно. $ За единици.
Намирането на редиците на системата MATRIX и разширена система на системата ще бъде методът на елементарните трансформации. Удължена система за система: $ jidetilde (a) \u003d лява (започва (марка) (CCC | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ t -1 & -1 & -1 \\ t &-3 & 2 &-3 и -3 и -4 край (масив) вдясно) $. Намерете необходимите редици, конвертирате удължена система за система:
Една удължена система матрица се показва на стъпал. Ако матрицата се дава на стъпална форма, тогава нейният ранг е равен на броя на ненулевите линии. Следователно, $ arg a \u003d $ 3. Матрицата $ a $ (до ред) е показана на трапецовидната форма и нейният ранг е 2, $ arg a \u003d $ 2.
Тъй като $ vang \\ t, тогава според теоремата на Konecker-Chapel, системата е непълна (т.е. без решения).
Отговор: Системата е неразбираема.
Пример номер 3.
Разгледайте $ ubl (начало (подравнено) и 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 \u003d 42; \\ t & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 \u003d 17; ; \\ T & -5x_1 + 17x_4-4x_5 \u003d -90; \\ t-12 + 23x_1-17x_5 \u003d 132. Край (подравнен) надясно. $ За единици.
Удължената система на системата има формата: $ plisetilde (a) \u003d ляво (начало (array) (CCCCC | в) 2 и 0 & -5 & 3 & 42 \\ t 2 и 17 - -1 & -11 & -1 & -90 \\ t -17 & 23 & 15 & 15 и 15 и 15 & Дясно) $. Променяме първата и втората линия на тази матрица към първия елемент от първия ред, $ лява (започват (array) (CCCCC | в) 1 & -2 & 3 & 2 & 17 \\ t &--5 & 11 & 42-7 & -64 & -5 & -909 & -5 & -5 & -90 9 & -90 \\ t 23 и 0 и 15 & 132 End (масив) вдясно) $.
Ние доведохме удължена система на системата и системата матрица в трапецовидна форма. Рангът на разширена система матрица е три, рангът на системата матрицата също е равен на три. Тъй като системата съдържа $ n \u003d $ 5 неизвестни, т.е. $ Rang Widetilde (a) \u003d звън< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Отговор: Системата е несигурна.
Във втората част ще анализираме примери, които често са включени в типични изчисления или тестови работи по висша математика: изследвания на единици и решаване на наклон в зависимост от стойностите на включените в него параметри.
Пример 1.. Намерете общо решение и определено системно решениеРешение Изпълняваме с помощта на калкулатора. Отблъскваме разширената и основната матрица: 
Пунктираната линия е разделена от основната матрица А. На върха пишем неизвестни системи, като се има предвид възможната пермутация на компонентите в системните уравнения. Определяне на ранга на удължена матрица, в същото време откриваме ранга и основната. В матрицата В, първата и втората колони са пропорционални. От двете пропорционални колони в базовия непълнолетен, само един може да се получи, така че ще бъдем прехвърлени, например, първата колона за пунктирана линия с обратен знак. За системата това означава прехвърлянето на членове от X 1 в дясната част на уравненията. 
Ние даваме матрицата в триъгълната форма. Ние ще работим само с струни, тъй като размножаването на матричния низ е различно от нула, а добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението към същия номер и добавяне с друго уравнение, което не променя системните решения. Работим с първия ред: умножете първия низ от матрицата (-3) и добавете втория и третия ред от своя страна. След това първия низ, за \u200b\u200bда се умножи (-2) и добавете към четвъртата. 
Следователно втората и третата линия са пропорционални, следователно една от тях, като втората, може да бъде изтрита. Тя е еквивалентна на преминаването на второто уравнение на системата, тъй като това е следствие от третата. 
Сега работим с втория ред: Умножете го (-1) и добавете към третия. 
Непълнолетно лице, заобиколено от пунктирана линия, има най-висок ред (от евентуални миньори) и е различен от нула (е равен на продукта на елементите, обърнати към основния диагонал) и този малък принадлежи както на основната матрица, така и разширен, следователно Ranga \u003d rangb \u003d 3.
Незначителен 
е основен. Тя включва коефициенти при неизвестно X 2, X 3, X 4, което означава неизвестно X 2, X 3, X 4 - зависими и X 1, X 5 са \u200b\u200bбезплатни.
Ние трансформираме матрицата, оставяйки само основното масло (което съответства на параграф 4 от горния алгоритъм на разтвора). 
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на източника и има формата
Като изключваме неизвестни, ние намираме: 
, ,
Получени връзки, изразяващи зависими променливи X 2, x 3, x 4 през свободното x 1 и x 5, т.е. те са намерили общо решение: 
Даване на всякакви стойности с безплатни неизвестни, получаваме всякакви индивидуални решения. Ще намерим две частни решения:
1) Нека x 1 \u003d x 5 \u003d 0, след това x 2 \u003d 1, x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 3;
2) Поставете x 1 \u003d 1, x 5 \u003d -1, след това x 2 \u003d 4, x 3 \u003d -7, x 4 \u003d 7.
По този начин открихме два разтвора: (0.1, -3,3,0) - едно решение, (1.4, -7.7, -1) - друго решение.
Пример 2.. Разгледайте съвместимостта, намерете общо и едно специално системно решение 
Решение. Пренаредете първото и второ уравнение, за да имате устройство в първото уравнение и напишете матрицата Б. 
Получаваме нули в четвъртата колона, работещи с първия низ: 
Сега получаваме нули в третата колона, използвайки втората линия: 
Третата и четвъртата линии са пропорционални, така че един от тях може да бъде изтрит, без да се променя ранг:
Третата линия за умножаване на (-2) и добавете към четвъртата: 
Виждаме, че редиците на основните и удължените матрици са равни на 4, а ранг съвпада с броя на неизвестните, следователно, системата има едно решение:
;
x 4 \u003d 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Пример 3.. Разгледайте системата за споделяне и намерете решение, ако съществува. 
Решение. Ние съставяме разширена система за система. 
Пренареждаме първите две уравнения, така че в горния ляв ъгъл 1:
Умножаване на първия низ (-1), сгънете го с третата: 
Ще умножа втората линия на (-2) и ще добавя към третата: 
Системата е неразбираема, тъй като в основната матрица се получава низ, състоящ се от нули, който е съставен при ранг и в разширената матрица, последният низ ще остане, т.е. r b\u003e r a.
Задачата. Разгледайте тази система на уравнения за единици и го разрешете със средства за матрица.
Решение
Пример. Доказване на съвместимостта на система от линейни уравнения и го разрешават по два начина: 1) от метода Гаус; 2) метод на Cramer. (Отговор за въвеждане във формуляра: X1, X2, X3)
Решение: DOC: DOC: XLS
Отговор: 2,-1,3.
Пример. Линейни уравнения на системата Dana. Докаже своята съвместимост. Намерете общо системно решение и едно конкретно решение.
Решение
Отговор:x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 \u003d 2 + x 4 - 3x 5
Задачата. Намерете общото и частно решение на всяка система.
Решение. Ние изследваме тази система на теоремата Клекекер-Капели.
Отблъскваме разширената и основната матрица:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1. | x 2. | x 3. | x 4. | x 5. |
Тук матрицата А е подчертана в удебелен шрифт.
Ние даваме матрицата в триъгълната форма. Ние ще работим само с струни, тъй като размножаването на матричния низ е различно от нула, а добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението към същия номер и добавяне с друго уравнение, което не променя системните решения.
Умножавам първата линия на (3). Умножете 2-ри низ на (-1). Добавете 2-ри низ към 1-ви:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножете 2-ри ред (2). Умножете трета линия на (-3). Добавете трета линия към втория:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножете 2-ри низ на (-1). Добавете 2-ри низ към 1-ви:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Специализираният малък има най-висок ред (от евентуални миньори) и се различава от нула (той е равен на продукта от елементи на обратен диагонал) и този малък принадлежи както на основната матрица, така и удължена, затова звънене (a) \u003d зрение ( Б) \u003d 3. Тъй като рангът на основната матрица е равен на удължения ранг, системата е съвместна.
Това незначително е основно. Тя включва коефициенти при неизвестно X 1, X 2, X 3, което означава неизвестно X 1, X 2, X 3 - зависими (основни) и X 4, X 5 са \u200b\u200bбезплатни.
Ние трансформираме матрицата, оставяйки само основния малък ляв ляв.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1. | x 2. | x 3. | x 4. | x 5. |
27x 3 \u003d.
- x 2 + 13x 3 \u003d - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 \u003d 1 - 3x 4 + 2x 5
Като изключваме неизвестни, ние намираме:
Получени отношения, изразяващи зависими променливи X 1, x 2, x 3 през свободното x 4, x 5, което е намерено общо решение:
x 3 \u003d 0
x 2 \u003d 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 \u003d - 1 + 3x 4 - 8x 5
несигуренкато Той има повече от едно решение.
Задачата. Решават уравнения на системата.
Отговор: x 2 \u003d 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 \u003d 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Даване на всякакви стойности с безплатни неизвестни, получаваме всякакви индивидуални решения. Системата е несигурен
