Ижил тэнцүү илэрхийллийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Ижил илэрхийлэл хөрвүүлэлтүүд
Тоог нэмэх, үржүүлэх үндсэн шинж чанарууд.
Нэмэлтийн нүүлгэн шилжүүлэх шинж чанар: нийлбэрийн утга нь нөхцлийн орлуулахаас өөрчлөгдөхгүй. Ямар ч a ба b тоонуудын хувьд тэгш байдал
Нэмэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны нийлбэр дээр гурав дахь тоог нэмэхийн тулд эхний тоонд хоёр, гурав дахь тоог нэмж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал
Үржүүлгийн нүүлгэн шилжүүлэх шинж чанар: бүтээгдэхүүний үнэ цэнэ нь хүчин зүйлийн сэлгэснээс өөрчлөгддөггүй. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал
Үржүүлэх хосолсон шинж чанар: хоёр тооны үржвэрийг гурав дахь тоогоор үржүүлэхийн тулд эхний тоог хоёр, гурав дахь тоогоор үржүүлж болно.
Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал
Хуваарилах шинж чанар: тоог нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд тухайн тоог гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэгтгэж болно. Ямар ч a, b, c тоонуудын хувьд тэгш байдал
Нэмэлтийн нүүлгэн шилжүүлэх, нэгтгэх шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: ямар ч нийлбэрээр та нэр томъёог хүссэнээрээ өөрчилж, дур мэдэн бүлэг болгон нэгтгэж болно.
Жишээ 1 1.23 + 13.5 + 4.27 нийлбэрийг бодъё.
Үүний тулд эхний нэр томъёог гуравдахьтай хослуулах нь тохиромжтой. Бид авах:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Үржүүлгийн шилжүүлэн суулгах болон хослуулах шинж чанаруудаас дараахь зүйлийг дурдвал: аливаа бүтээгдэхүүнд та хүчин зүйлсийг хүссэнээрээ өөрчилж, тэдгээрийг дур мэдэн бүлэг болгон нэгтгэж болно.
Жишээ 2 1.8 · 0.25 · 64 · 0.5 бүтээгдэхүүний утгыг олъё.
Эхний хүчин зүйлийг дөрөв дэх, хоёр дахь хүчин зүйлийг гурав дахь хүчин зүйлтэй хослуулснаар бид дараахь зүйлийг авах болно.
1.8 0.25 64 0.5 = (1.8 0.5) (0.25 64) = 0.9 16 = 14.4.
Энэ тоог гурав ба түүнээс дээш гишүүний нийлбэрээр үржүүлэхэд хуваарилах шинж чанар мөн үнэн болно.
Жишээлбэл, a, b, c, d тоонуудын хувьд тэгш байдал
a (b + c + d) = ab + ac + ad.
Хасах тоог хассан тоон дээр эсрэг тоог нэмснээр хасахыг нэмэх замаар сольж болно гэдгийг бид мэднэ.
Энэ нь тоон илэрхийлэлийг зөвшөөрдөг a-b төрөл a ба -b тоонуудын нийлбэрийг авч үзэх, a + bcd хэлбэрийн тоон илэрхийллийг a, b, -c, -d гэх мэт тоонуудын нийлбэр гэж үзнэ. Үйлдлүүдийн авч үзсэн шинж чанарууд нь ийм нийлбэрт мөн хүчинтэй байна. .
Жишээ 3 3.27-6.5-2.5 + 1.73 илэрхийллийн утгыг ол.
Энэ илэрхийлэл нь 3.27, -6.5, -2.5, 1.73 тоонуудын нийлбэр юм. Нэмэх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна: 3.27-6.5-2.5 + 1.73 = (3.27 + 1.73) + (- 6.5-2.5) = 5 + (- 9) = -4.
Жишээ 4 Бүтээгдэхүүнийг тооцоолъё 36 · ().
Үржүүлэгчийг тоонуудын нийлбэр ба - гэж үзэж болно. Үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.
Баримтлал
Тодорхойлолт. Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд харгалзах утга нь тэнцүү хоёр илэрхийлэлийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт. Хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдлыг identity гэж нэрлэдэг.
x = 5, y = 4 үед 3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллийн утгыг ол.
3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,
3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.
Бид ижил үр дүнд хүрсэн. Түгээх шинж чанараас харахад хувьсагчийн аль ч утгын хувьд 3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллийн харгалзах утгууд тэнцүү байна.
Одоо 2x + y ба 2xy илэрхийллүүдийг авч үзье. x = 1, y = 2-ын хувьд тэд тэнцүү утгыг авна:
Гэсэн хэдий ч та x ба y-ийн утгыг зааж өгч болно, ингэснээр эдгээр илэрхийллийн утгууд тэнцүү биш байх болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 3, y = 4, тэгвэл
3 (x + y) ба 3x + 3y илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү боловч 2x + y ба 2xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.
3 (x + y) = x + 3y тэгшитгэл нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.
Жинхэнэ тооны тэгш байдлыг мөн адилтгал гэж үздэг.
Тиймээс, ижил төстэй байдал нь тоон дээрх үйлдлийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг тэгш байдал юм.
a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),
ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.
Баримтлалын бусад жишээг дурдаж болно:
a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),
a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.
Ижил илэрхийлэл хөрвүүлэлтүүд
Нэг илэрхийлэлийг үүнтэй ижил тэнцүү өөр илэрхийллээр солихыг нэрлэдэг ижил хувиргалтэсвэл зүгээр л илэрхийллийг хувиргах замаар.
Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарт үндэслэн гүйцэтгэдэг.
X, y, z утгуудаар өгөгдсөн xy-xz илэрхийллийн утгыг олохын тулд та гурван алхам хийх хэрэгтэй. Жишээлбэл, x = 2.3, y = 0.8, z = 0.2-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.
xy-xz = 2.3 0.8-2.3 0.2 = 1.84-0.46 = 1.38.
Хэрэв бид xy-xz илэрхийлэлтэй ижил x (y-z) илэрхийлэлийг ашиглавал энэ үр дүнг зөвхөн хоёр алхам хийснээр олж авах боломжтой.
xy-xz = 2.3 (0.8-0.2) = 2.3 0.6 = 1.38.
Бид xy-xz илэрхийллийг ижил тэнцүү x (y-z) илэрхийллээр сольж тооцооллыг хялбаршуулсан.
Илэрхийллийн ижил төстэй хувиргалтыг илэрхийллийн утгыг тооцоолох, бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Ижил өөрчлөлтүүдийн заримыг аль хэдийн хийсэн, жишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог багасгах, хашилтыг өргөжүүлэх. Эдгээр хувиргалтыг гүйцэтгэх дүрмийг эргэн санацгаая.
ийм нэр томъёог өгөхийн тулд та тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлэх хэрэгтэй;
хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол нэр томьёо бүрийн тэмдгийг хаалтанд хийж, хаалтыг орхиж болно;
хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол хаалтанд орсон нэр томьёо бүрийн тэмдгийг өөрчлөх замаар хаалтыг орхиж болно.
Жишээ 1 5x + 2x-3x нийлбэрээр ижил төстэй нэр томъёог өгье.
Бид ийм нэр томъёог багасгах дүрмийг ашиглана:
5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.
Энэ хувиргалт нь үржүүлгийн тархалтын шинж чанарт суурилдаг.
Жишээ 2 2a + (b-3c) илэрхийлэлд байгаа хаалтыг дэлгэ.
Хашилтын өмнө нэмэх тэмдэг тавих дүрмийг хэрэглэх нь:
2a + (b-3c) = 2a + b-3c.
Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь нэмэхийн хосолсон шинж чанарт суурилдаг.
Жишээ 3 a- (4b-c) илэрхийлэлд байгаа хаалтыг дэлгэ.
Хаалтуудын өмнө хасах тэмдгээр тэлэх дүрмийг ашиглая:
a- (4b-c) = a-4b + c.
Гүйцэтгэсэн хувиргалт нь үржүүлэхийн тархалтын шинж чанар болон нэмэхийн хослолын шинж чанарт суурилдаг. Үүнийг үзүүлье. Бид энэ илэрхийлэлд хоёр дахь нэр томъёог (4b-c) бүтээгдэхүүн (-1) (4b-c) хэлбэрээр илэрхийлнэ:
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).
Заасан үйлдлийн шинж чанаруудыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.
Энэ нийтлэлд эхний тайлбарыг өгдөг өвөрмөц байдлын тухай ойлголт... Энд бид таних тэмдгийг тодорхойлж, ашигласан тэмдэглэгээг танилцуулж, мэдээжийн хэрэг таних тэмдгийн янз бүрийн жишээг өгдөг.
Хуудасны навигаци.
Баримтлал гэж юу вэ?
Материалын танилцуулгыг эхлэх нь логик юм өвөрмөц байдлын тодорхойлолтууд... Ю.Н.Макарычевын 7-р ангийн алгебрийн сурах бичигт таних тэмдгийн тодорхойлолтыг дараах байдлаар өгсөн болно.
Тодорхойлолт.
Баримтлал- хувьсагчийн аливаа утгын хувьд энэ нь тэгш байдал үнэн; Аливаа хүчин төгөлдөр тоон тэгшитгэл нь мөн адил юм.
Энэ тохиолдолд ирээдүйд энэ тодорхойлолтыг тодорхой болгох болно гэдгийг зохиогч нэн даруй зааж өгдөг. Энэхүү сайжруулалт нь хувьсах хэмжигдэхүүн ба OVS-ийн зөвшөөрөгдөх утгын тодорхойлолттой танилцсаны дараа 8-р ангид явагдана. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна.
Тодорхойлолт.
Баримтлал- эдгээр нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлүүд, түүнчлэн тэдгээрт багтсан хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд үнэн тэнцүү байна.
Тэгэхээр яагаад 7-р ангид хувьсах хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохдоо хувьсагчдын аль нэг утгын тухай ярьж, 8-р ангид хувьсагчийн ODZ-ийн утгын талаар ярьж эхэлдэг вэ? 8-р анги хүртэл ажлыг зөвхөн бүхэл тоон илэрхийллээр (ялангуяа мономиал ба олон гишүүнт) гүйцэтгэдэг бөгөөд тэдгээрт багтсан хувьсагчийн аливаа утгыг утга учиртай болгодог. Тиймээс, 7-р ангид бид хувьсагчийн аль ч утгын хувьд ижил төстэй байдал нь үнэн зөв тэгш байдал гэж хэлдэг. Мөн 8-р ангид хувьсагчийн бүх утгын хувьд биш, зөвхөн ODZ-ийн утгуудын хувьд аль хэдийн утга учиртай илэрхийллүүд гарч ирдэг. Тиймээс бид хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд үнэн зөв ижил төстэй байдлын тэгш байдал гэж нэрлэж эхэлдэг.
Тэгэхээр таних чанар онцгой тохиолдолтэгш байдал. Өөрөөр хэлбэл аливаа ижил төстэй байдал нь тэгш байдал юм. Гэхдээ тэгш байдал бүр нь ижил төстэй байдал биш, зөвхөн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнээс хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн зөв тэгш байдал юм.
Биеийн тэмдэг
Тэнцүү байдлын тэмдэглэгээнд "=" хэлбэрийн тэнцүү тэмдгийг ашигладаг бөгөөд зүүн ба баруун талд зарим тоо эсвэл илэрхийлэл байдаг. Хэрэв бид энэ тэмдэг дээр өөр хэвтээ шугам нэмбэл бид үүнийг авна таних тэмдэг"≡", эсвэл үүнийг бас нэрлэдэг таних тэмдэг.
Баримтлалын тэмдгийг бид зөвхөн тэгш эрх биш, харин ижил төстэй байдалтай тулгараад байгааг онцлон тэмдэглэх шаардлагатай үед л ашигладаг. Бусад тохиолдолд ижил төстэй байдлын тэмдэглэгээ нь тэгш байдлын хэлбэрээс ялгаатай биш юм.
Баримт бичгийн жишээ
Удирдах цаг нь болсон таних тэмдгүүдийн жишээ... Эхний догол мөрөнд өгөгдсөн таних тэмдгийн тодорхойлолт нь үүнд тусална.
Тоон тэгшитгэл 2 = 2 бөгөөд эдгээр тэгшитгэл нь үнэн бөгөөд аливаа жинхэнэ тоон тэгш байдал нь тодорхойлсноор ижил төстэй байдлын жишээ юм. Тэдгээрийг 2≡2 гэж бичиж болно.
2 + 3 = 5 ба 7−1 = 2 · 3 хэлбэрийн тоон тэгшитгэлүүд нь эдгээр тэгшитгэлүүд үнэн тул ижил төстэй байдал юм. Энэ нь 2 + 3≡5 ба 7−1≡2 · 3.
Тэмдэглэгээнд зөвхөн тоо төдийгүй хувьсагчдыг агуулсан таних тэмдгүүдийн жишээнүүд рүү шилжье.
3 (x + 1) = 3 x + 3 тэгшитгэлийг авч үзье. Х хувьсагчийн аль ч утгын хувьд нэмэхийн хувьд үржүүлэхийн тархалтын шинж чанараас шалтгаалан бичсэн тэгш байдал нь үнэн байдаг тул анхны тэгш байдал нь ижил төстэй байдлын жишээ юм. Өөр нэг таних жишээ энд байна: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, энд x ба y хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын муж нь бүх хосоос (x, y) бүрдэнэ, энд x ба y нь тэгээс бусад тоонууд юм.
Гэхдээ x + 1 = x - 1 ба a + 2 b = b + 2 a тэгшитгэлүүд нь ижил утгатай биш, учир нь эдгээр тэгшитгэл нь буруу байх хувьсагчийн утгууд байдаг. Жишээлбэл, x = 2-ын хувьд x + 1 = x − 1 тэгшитгэл нь 2 + 1 = 2−1 гэсэн хуурамч тэгшитгэл болж хувирдаг. Түүнчлэн x хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд x + 1 = x − 1 тэгш байдал огтхон ч хүрдэггүй. Хэрэв бид a ба b хувьсагчийн өөр утгыг авбал a + 2 b = b + 2 a тэгшитгэл буруу тэгшитгэл болж хувирна. Жишээлбэл, a = 0 ба b = 1-ийн хувьд бид 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0 буруу тэгшитгэлд хүрнэ. Тэгш байдал | x | = x, энд | x | - x хувьсагч нь мөн адил бус, учир нь энэ нь x-ийн сөрөг утгуудын хувьд үнэн биш юм.
Хамгийн алдартай таних тэмдэгүүдийн жишээ бол sin 2 α + cos 2 α = 1 ба лог a b = b юм.
Энэ өгүүллийн төгсгөлд математикийн хичээлийг судлах явцад бид ижил төстэй шинж чанаруудтай байнга тулгардаг гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Тоо бүхий үйлдлүүдийн өмчийн бүртгэл нь таних тэмдэг юм, жишээлбэл, a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0, a + (- a) = 0. Мөн таних тэмдэг нь мөн
§ 2. Ижил илэрхийлэл, өвөрмөц байдал. Илэрхийллийн ижил хувиргалт. Бие даасан байдлын баталгаа
x хувьсагчийн өгөгдсөн утгуудын 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгыг ол. Үр дүнг хүснэгтэд бичье.
Та x хувьсагчийн өгөгдсөн утга бүрийн хувьд 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утгууд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно. 2 (x - 1) = 2x - 2 хасахтай холбоотой үржүүлгийн тархалтын шинж чанараар. Иймд x хувьсагчийн бусад утгын хувьд 2 (x - 1) 2x - 2 илэрхийллийн утга мөн тэнцүү байх болно. бие биедээ. Ийм илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, 2x + 3x ба 5x илэрхийллүүд нь ижил утгатай тул x хувьсагчийн утга бүрийн хувьд эдгээр илэрхийллүүд нь ижил утгатай болно. ижил утгууд(энэ нь 2x + 3x = 5x тул нэмэхэд хамаарах үржүүлгийн хуваарилах шинж чанараас гардаг).
Одоо 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүдийг авч үзье. Хэрэв x = 1 ба b = 1 бол эдгээр илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү байна.
3x + 2y = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Гэсэн хэдий ч та эдгээр илэрхийллийн утга нь хоорондоо тэнцүү биш байх x ба y утгыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, хэрэв x = 2; y = 0, тэгвэл
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6.5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Тиймээс 3x + 2y ба 5xy илэрхийллийн харгалзах утга нь хоорондоо тэнцүү биш хувьсагчдын утгууд байдаг. Тиймээс 3x + 2y ба 5xy илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш юм.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн ижил төстэй байдал нь ялангуяа тэнцүү байна: 2 (х - 1) = 2х - 2 ба 2х + 3х = 5х.
Тоон дээрх үйлдлүүдийн мэдэгдэж буй шинж чанарыг агуулсан тэгш байдал бүрийг таних тэмдэг гэнэ. Жишээлбэл,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;
ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.
Мөн адил тэгш байдал байдаг:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Хэрэв бид -5x + 2x - 9 илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог багасгавал 5x + 2x - 9 = 7x - 9 болно. Энэ тохиолдолд 5x + 2x - 9 илэрхийллийг 7x - 9 илэрхийллээр сольсон гэж тэд хэлдэг. энэ нь үүнтэй ижил юм.
Хувьсагчтай илэрхийллийн ижил хувиргалтыг тоон дээрх үйлдлийн шинж чанарыг ашиглан гүйцэтгэдэг. Ялангуяа хашилтыг тэлэх, ижил төстэй нэр томъёо барих гэх мэт ижил төстэй өөрчлөлтүүд.
Илэрхийллийг хялбарчлах, өөрөөр хэлбэл зарим илэрхийллийг бичлэгээс богино байх ижил тэнцүү илэрхийллээр солих үед ижил хувиргалтыг хийх шаардлагатай.
Жишээ 1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:
1) -0.3 м ∙ 5n;
2) 2 (3х - 4) + 3 (-4х + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2б) + (3б - а).
1) -0,3 м ∙ 5н = -0,3 ∙ 5мн = -1,5 мин;
2) 2 (3х 4) + 3 (-4 + 7) = 6 х - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2б) + (3б - а) = 2 + 5а - а + 2 б + 3 б - а= 3a + 5b + 2.
Тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотлохын тулд (өөрөөр хэлбэл ижил төстэй байдлыг батлахын тулд илэрхийллийн ижил хувиргалтыг ашиглана.
Бие махбодийг дараахь аргуудын аль нэгээр нотолж болно.
- зүүн талынх нь ижил төстэй өөрчлөлтийг хийж, улмаар баруун талын хэлбэрт оруулах;
- түүний баруун талын ижил төстэй өөрчлөлтийг хийж, улмаар зүүн талын хэлбэрт оруулах;
- түүний хоёр хэсгийн ижил хувиргалтыг хийж, ингэснээр хоёр хэсгийг ижил илэрхийлэл болгон өсгөнө.
Жишээ 2. Тодорхойлолтыг нотлох:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4а = 5 (2а - 3б) - 7 (2а - 5б);
3) 2 (3х - 8) + 4 (5х - 7) = 13 (2х - 5) + 21.
Хэсэг
1) Бид энэ тэгш байдлын зүүн талыг хувиргана:
2х - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.
Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын зүүн талын илэрхийлэл нь баруун талын хэлбэрт шилжсэн бөгөөд ингэснээр энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.
2) Бид энэ тэгш байдлын баруун талыг өөрчилдөг:
5 (2а - 3б) - 7 (2а - 5б) = 10а - 15 б - 14а + 35 б= 20b - 4a.
Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын баруун талыг зүүн талын хэлбэр болгон бууруулж, энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг нотолсон.
3) Энэ тохиолдолд тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг хоёуланг нь хялбарчилж, үр дүнг харьцуулах нь тохиромжтой.
2 (3х - 8) + 4 (5х - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13 (2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.
Ижил өөрчлөлтүүдээр тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг ижил хэлбэрт оруулав: 26x - 44. Тиймээс энэ тэгш байдал нь ижил төстэй байдал юм.
Ямар илэрхийллийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг вэ? Ижил илэрхийллийн жишээг өг. Ямар тэгш байдлыг ижилсэл гэж нэрлэдэг вэ? Биеэ тодорхойлох жишээг өг. Илэрхийллийг таних хувиргалт гэж юу вэ? Өөрийгөө хэрхэн батлах вэ?
- (Амаар) Эсвэл ижил тэнцүү илэрхийллүүд байна уу:
1) 2a + a ба 3a;
2) 7x + 6 ба 6 + 7x;
3) x + x + x ба x 3;
4) 2 (x - 2) ба 2х - 4;
5) m - n ба n - m;
6) 2a ∙ p ба 2p ∙ a?
- Илэрхийлэл нь:
1) 7x - 2x ба 5x;
2) 5а - 4 ба 4 - 5а;
3) 4м + n ба n + 4м;
4) a + a ба 2;
5) 3 (a - 4) ба 3a - 12;
6) 5м ∙ n ба 5м + n?
- (Амаар) нь худлаа шинж чанар юм:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7p - 1 = -1 + 7p;
3) 3 (x - y) = 3x - 5y?
- Нээлттэй хаалт:
- Нээлттэй хаалт:
- Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:
- Зарим илэрхийлэлийг нэрлэ, ижил илэрхийллүүд 2a + 3a.
- Үржүүлгийн орлуулах болон холбох шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлээ хялбарчлаарай:
1) -2.5 x ∙ 4;
2) 4p ∙ (-1.5);
3) 0.2 x ∙ (0.3 гр);
4) - x ∙<-7у).
- Илэрхийлэлийг хялбарчлах:
1) -2p ∙ 3.5;
2) 7a ∙ (-1.2);
3) 0.2 x ∙ (-3y);
4) - 1 м ∙ (-3n).
- (Амаар) Илэрхийллийг хялбарчлах:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7а - 3б + 2а + 3б;
4) 4а ∙ (-2б).
- Ижил төстэй нэр томъёог нэгтгэх:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;
4) 5 - 7 секунд + 1,9 г + 6,9 секунд - 1,7 г.
1) 4 (5х - 7) + 3х + 13;
2) 2 (7 - 9а) - (4 - 18а);
3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);
4) - (3м - 5) + 2 (3м - 7).
- Хашилтыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог багасгана:
1) 3 (8а - 4) + 6а;
2) 7p - 2 (3p - 1);
3) 2 (3х - 8) - 5 (2х + 7);
4) 3 (5м - 7) - (15м - 2).
1) x = 2.4 бол 0.6 x + 0.4 (x - 20);
2) a = 10 бол 1.3 (2a - 1) - 16.4;
3) 1.2 (м - 5) - 1.8 (10 - м) хэрэв m = -3.7;
4) 2x - 3 (x + y) + 4y, хэрэв x = -1 бол у = 1.
- Илэрхийлэлийг хялбарчилж, утгыг нь олоорой:
1) 0.7 x + 0.3 (x - 4) хэрэв x = -0.7;
2) 1.7 (y - 11) - b = 20 бол 16.3;
3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1) хэрэв a = -1;
4) 5 (m - n) - m = 1.8 бол 4м + 7n; n = -0.9.
- Хэн болохыг нотлох:
1) - (2х - у) = у - 2х;
2) 2 (x - 1) - 2x = -2;
3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;
4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).
- Хэн болохыг нотлох:
1) - (m - 3n) = 3n - м;
2) 7 (2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);
4) 4 (м - 3) + 3 (м + 3) = 7м - 3.
- Гурвалжны нэг талын урт нь см, нөгөө хоёр талынх нь урт нь түүнээс 2 см урт байна. Гурвалжны периметрийг илэрхийлэл болгон бичээд илэрхийллийг хялбарчлаарай.
- Тэгш өнцөгтийн өргөн нь х см, урт нь өргөнөөсөө 3 см урт байна. Тэгш өнцөгтийн периметрийг илэрхийлэл болгон бичиж, илэрхийллийг хялбарчлаарай.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5м - ((n - м) + 3n);
3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));
4) 5x - (2х - ((y - x) - 2y));
5) (6а - б) - (4 а - 33б);
6) - (2.7 м - 1.5 н) + (2н - 0.48 м).
- Хашилтыг өргөжүүлж, илэрхийллийг хялбаршуулна уу:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12м - ((а - м) + 12а);
3) 5 нас - (6 нас - (7 нас - (8 нас - 1)));
6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).
- Хэн болохыг нотлох:
1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);
2) - (- 3p) - (- (8 - 5p)) = 2 (4 - d);
3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).
- Хэн болохыг нотлох:
1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);
2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Илэрхийллийн утга гэдгийг батал
1.8 (м - 2) + 1.4 (2 - м) + 0.2 (1.7 - 2м) нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй.
- Хувьсагчийн дурын утгын хувьд илэрхийллийн утга болохыг батал
a - (a - (5a + 2)) - 5 (а - 8)
ижил тоо.
- Дараалсан гурван тэгш тооны нийлбэр нь 6-д хуваагддаг болохыг батал.
- Хэрэв n нь натурал тоо бол -2 (2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) илэрхийллийн утга тэгш тоо болохыг батал.
Давталтын дасгалууд
- 1.6 кг жинтэй хайлш нь 15% зэс агуулдаг. Энэ хайлшанд хэдэн кг зэс байгаа вэ?
- 20 гэсэн тоо хэдэн хувьтай байна вэ?
1) дөрвөлжин;
- Жуулчин 2 цаг алхаж, 3 цаг дугуй унасан байна. Жуулчин нийтдээ 56 км замыг туулсан. Жуулчны дугуй унаж байсан хурд нь түүний алхсан хурдаас 12 км/цаг их бол түүнийг ол.
Залхуу оюутнуудад зориулсан сонирхолтой даалгавар
- Хотын аварга шалгаруулах хөлбөмбөгийн тэмцээнд 11 баг оролцож байна. Баг бүр бусадтайгаа нэг тоглолт хийдэг. Тэмцээний аль ч мөчид энэ мөчид тэгш тооны тоглолт хийсэн эсвэл ганц ч тоглож амжаагүй баг байгааг батал.
Бид ижил төстэй байдлын тухай ойлголтыг авч үзсэний дараа ижил төстэй илэрхийлэлүүдийн судалгааг үргэлжлүүлж болно. Энэ нийтлэлийн зорилго нь энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, аль илэрхийлэл нь бусадтай адилхан болохыг жишээгээр харуулах явдал юм.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ижил тэгш илэрхийллүүд: Тодорхойлолт
Ижил тэгш илэрхийллийн тухай ойлголтыг ихэвчлэн сургуулийн алгебрийн хичээлийн хүрээнд ижил төстэй байдлын тухай ойлголттой хамт судалдаг. Нэг сурах бичгээс авсан үндсэн тодорхойлолтыг энд оруулав.
Тодорхойлолт 1
Яг адилхан тэнцүүБие биедээ ийм илэрхийлэл байх бөгөөд тэдгээрийн утга нь бүрэлдэхүүнд багтсан хувьсагчийн боломжит утгуудын хувьд ижил байх болно.
Түүнчлэн, ижил утгатай тохирч байвал ийм тоон илэрхийлэл нь ижил тэнцүү гэж тооцогддог.
Энэ бол хувьсагчийн утга өөрчлөгдөхөд утга нь өөрчлөгддөггүй бүхэл тоон илэрхийлэлд тохирсон нэлээд өргөн тодорхойлолт юм. Гэсэн хэдий ч дараа нь энэ тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай болж байна, учир нь бүхэл тооноос гадна тодорхой хувьсагчдад утгагүй бусад төрлийн илэрхийлэл байдаг. Энэ нь хувьсах хэмжигдэхүүний тодорхой утгыг хүлээн зөвшөөрөх ба хүлээн зөвшөөрөхгүй байх тухай ойлголтыг бий болгож, зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг тодорхойлох хэрэгцээг бий болгодог. Илүү нарийн тодорхойлолтыг томъёолъё.
Тодорхойлолт 2
Ижил тэгш илэрхийллүүдТэдгээрийн бүрэлдэхүүнд багтсан хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгуудын утгууд нь хоорондоо тэнцүү илэрхийллүүд юм. Тоон илэрхийлэл нь ижил утгатай бол өөр хоорондоо ижил тэнцүү байх болно.
"Аливаа хүчинтэй хувьсагчийн утгын хувьд" гэсэн хэллэг нь хоёр илэрхийлэл нь утга учиртай байх хувьсагчийн бүх утгыг илэрхийлнэ. Бид дараа нь ижил төстэй илэрхийллийн жишээг өгөхдөө энэ байр суурийг тайлбарлах болно.
Та мөн дараах тодорхойлолтыг зааж өгч болно.
Тодорхойлолт 3
Тэнцүү тэнцүү илэрхийллүүд нь зүүн ба баруун талд нэг ижил төстэй байдалд байрлах илэрхийллүүд юм.
Бие биетэйгээ ижил төстэй илэрхийллийн жишээ
Дээрх тодорхойлолтуудыг ашиглан ийм илэрхийллийн цөөн хэдэн жишээг авч үзье.
Тоон илэрхийллүүдээс эхэлцгээе.
Жишээ 1
Тиймээс 2 + 4 ба 4 + 2 нь хоорондоо ижил тэнцүү байх болно, учир нь үр дүн нь тэнцүү байх болно (6 ба 6).
Жишээ 2
Үүний нэгэн адил 3 ба 30 илэрхийлэл нь ижил тэнцүү байна: 10, (2 2) 3 ба 2 6 (сүүлийн илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд та зэрэглэлийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй).
Жишээ 3
Гэхдээ 4 - 2 ба 9 - 1 илэрхийлэл нь утга нь өөр тул тэнцүү биш байх болно.
Шууд үгийн жишээнүүд рүү шилжье. A + b ба b + a нь ижил тэнцүү байх бөгөөд энэ нь хувьсагчийн утгаас хамаарахгүй (энэ тохиолдолд илэрхийллийн тэгш байдлыг нэмэхийн шилжилтийн шинж чанараар тодорхойлно).
Жишээ 4
Жишээлбэл, хэрэв a нь 4, b нь 5 бол үр дүн нь хэвээр байх болно.
Үсгүүдтэй ижил тэнцүү илэрхийллийн өөр нэг жишээ бол 0 x y z ба 0 юм. Энэ тохиолдолд хувьсагчдын утга ямар ч байсан, 0-ээр үржүүлснээр 0-ийг өгнө. Тэгш бус илэрхийлэл нь 6 x ба 8 x байна, учир нь тэдгээр нь ямар ч x-ийн хувьд тэнцүү биш юм.
Хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын мужууд давхцаж байгаа тохиолдолд жишээлбэл, a + 6 ба 6 + a эсвэл ab 0 ба 0, эсвэл x 4 ба x гэсэн илэрхийлэлд, мөн илэрхийллийн утгууд нь хоорондоо давхцдаг. ямар ч хувьсагчийн хувьд тэнцүү байх болно, тэгвэл ийм илэрхийллийг ижил тэнцүү гэж үзнэ. Тэгэхээр a-ийн дурын утгын хувьд a + 8 = 8 + a, мөн a b 0 = 0 байна, учир нь дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд эцэст нь 0 гарна. x 4 ба x илэрхийллүүд нь [0, + ∞) интервалаас аль ч х-ийн хувьд ижил тэнцүү байх болно.
Гэхдээ нэг илэрхийлэл дэх хүчинтэй байдлын хүрээ нь нөгөөгийнхээс өөр байж болно.
Жишээ 5
Жишээлбэл, x - 1 ба x - 1 x x гэсэн хоёр илэрхийлэл авъя. Тэдгээрийн эхнийх нь х-ийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь бүхэл бүтэн бодит тоонуудын багц, хоёр дахь нь тэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багц байх болно, учир нь бид хуваагчдаа 0-ийг авна. , мөн ийм хуваагдал тодорхойлогдоогүй байна. Эдгээр хоёр илэрхийлэл нь хоёр тусдаа талбайн огтлолцолоос үүссэн нийтлэг мужтай байдаг. x - 1 x x ба x - 1 илэрхийлэл нь 0-ээс бусад хувьсагчийн бодит утгын хувьд утга учиртай болно гэж бид дүгнэж болно.
Бутархайн үндсэн шинж чанар нь мөн x - 1 x x ба x - 1 нь 0 биш ямар ч x-ийн хувьд тэнцүү байх болно гэж дүгнэх боломжийг олгодог. Энэ нь зөвшөөрөгдөх утгуудын нийтлэг мужид эдгээр илэрхийлэл нь бие биетэйгээ ижил тэнцүү байх болно гэсэн үг бөгөөд ямар ч бодит x-ийн хувьд ижил тэгш байдлын талаар ярих боломжгүй юм.
Хэрэв бид нэг илэрхийллийг үүнтэй ижил төстэй өөр илэрхийллээр солих юм бол энэ үйл явцыг таних өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Энэ үзэл баримтлал нь маш чухал бөгөөд бид энэ талаар тусдаа өгүүллээр дэлгэрэнгүй ярих болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу
Тодорхой байдлын талаархи ойлголттой болсны дараа танил тал руугаа шилжих нь логик юм. Энэ өгүүлэлд бид ижил төстэй илэрхийлэл гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахаас гадна аль илэрхийлэл нь ижил тэнцүү, аль нь биш болохыг жишээн дээр ашиглах болно.
Хуудасны навигаци.
Ижил тэнцүү илэрхийлэл гэж юу вэ?
Ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг ижил төстэй байдлын тодорхойлолттой зэрэгцүүлэн өгсөн болно. Энэ нь 7-р ангийн алгебрийн хичээл дээр тохиолддог. Зохиолч Ю.Н.Макарычевын 7 ангийн алгебрийн сурах бичигт дараахь томъёоллыг өгсөн болно.
Тодорхойлолт.
Тэдгээрт багтсан хувьсагчдын аль ч утгын утгууд нь тэнцүү илэрхийллүүд юм. Ижил утгатай тоон илэрхийллийг мөн адил тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Энэхүү тодорхойлолтыг 8-р анги хүртэл ашигладаг бөгөөд бүхэл тоон илэрхийлэлд хүчинтэй, учир нь тэдгээрт орсон хувьсагчдын аль ч утгыг ойлгох болно. Мөн 8-р ангид ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг боловсронгуй болгосон. Энэ нь яагаад холбоотой болохыг тайлбарлая.
8-р ангид бусад төрлийн илэрхийллийг судалж эхэлдэг бөгөөд энэ нь бүхэл тоон илэрхийллээс ялгаатай нь хувьсагчийн зарим утгын хувьд утгагүй байж болно. Энэ нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх ба хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй утгуудын тодорхойлолт, хувьсагчийн ODZ-ийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг нэвтрүүлэх, үүний үр дүнд ижил төстэй илэрхийлэлүүдийн тодорхойлолтыг тодруулахыг шаарддаг.
Тодорхойлолт.
Эдгээрт орсон хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын утгууд нь тэнцүү хоёр илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг. ижил тэнцүү илэрхийллүүд... Ижил утгатай хоёр тоон хэллэгийг мөн адил тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Ижил тэнцүү илэрхийллийн энэхүү тодорхойлолтод "тэдгээрт орсон хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд" гэсэн хэллэгийн утгыг тодруулах нь зүйтэй. Энэ нь ижил тэнцүү илэрхийлэл нь нэгэн зэрэг утга учиртай хувьсагчийн бүх утгыг илэрхийлдэг. Бид дараагийн догол мөрөнд жишээн дээр үндэслэн энэ санааг тодруулах болно.
А.Г.Мордковичийн сурах бичигт ижил тэнцүү илэрхийллийн тодорхойлолтыг арай өөрөөр өгсөн болно.
Тодорхойлолт.
Ижил тэгш илэрхийллүүдБаримтлалын зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийлэл юм.
Энэ болон өмнөх тодорхойлолтуудын утга учир нь давхцаж байна.
Ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээ
Өмнөх догол мөрөнд оруулсан тодорхойлолтууд нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээ.
Адилхан тэнцүү тооны илэрхийллүүдээс эхэлцгээе. 1 + 2 ба 2 + 1 тоон илэрхийллүүд нь 3 ба 3-ын тэнцүү утгатай тохирч байгаа тул ижил тэнцүү байна. Мөн 5 ба 30: 6 илэрхийллүүд нь (2 2) 3 ба 2 6 илэрхийллүүдтэй ижил тэнцүү байна (сүүлийн илэрхийлэлүүдийн утгууд хүчинтэй тэнцүү). Гэхдээ 3 + 2 ба 3−2 тоон илэрхийллүүд нь 5 ба 1 гэсэн утгатай тохирч байгаа тул тэнцүү биш байна.
Одоо бид хувьсагчтай ижил тэнцүү илэрхийллийн жишээг өгөх болно. Эдгээр нь a + b ба b + a илэрхийлэл юм. Үнэн хэрэгтээ, a ба b хувьсагчийн аль ч утгын хувьд бичсэн илэрхийллүүд нь ижил утгыг авдаг (энэ нь тооноос хамаарна). Жишээлбэл, a = 1 ба b = 2-ын хувьд бид a + b = 1 + 2 = 3 ба b + a = 2 + 1 = 3 байна. a ба b хувьсагчийн бусад утгуудын хувьд бид эдгээр илэрхийллийн ижил утгыг авдаг. 0 x y z ба 0 илэрхийллүүд нь x, y, z хувьсагчдын аль ч утгын хувьд ижил тэнцүү байна. Гэхдээ 2 x ба 3 x илэрхийлэл нь ижил тэнцүү биш, учир нь жишээлбэл, x = 1 үед тэдгээрийн утга тэнцүү биш байна. Үнэхээр x = 1-ийн хувьд 2 x илэрхийлэл нь 2 1 = 2, 3 x илэрхийлэл нь 3 1 = 3-тай тэнцүү байна.
Илэрхийлэл дэх хувьсагчдын хүчинтэй утгуудын хүрээ давхцаж байвал жишээ нь a + 1 ба 1 + a, эсвэл ab · 0 ба 0, эсвэл болон, эдгээр илэрхийллийн утгууд нь ижил байна. Эдгээр хэсгүүдийн хувьсагчийн бүх утгууд, тэгвэл энд бүх зүйл тодорхой байна - эдгээр илэрхийлэл нь тэдгээрт багтсан хувьсагчдын бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд ижил байна. Тиймээс a + 1≡1 + a нь ямар ч a, a · b · 0 ба 0 илэрхийллүүд нь a ба b хувьсагчийн аль ч утгын хувьд ижил тэнцүү бөгөөд илэрхийллүүд нь бүх x-ийн хувьд ижил тэнцүү байна; ed. С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008 .-- 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
