Pamoka „Algebrinės trupmenos, racionalios ir trupmeninės išraiškos. Kurios išraiškos yra vientisos

"Pamoka polinominė" - Ir atlikite testą: 2. Atlikite daugianarių dauginimą: 4. Atlikite daugianario A (x) padalijimą iš B (x). 3. Faktoriumi daugianario. 1. Sudarykite ir atimkite daugianarius: P (x) = -2x3 + x2 -x -12 ir Q (x) = x3 -3x2 -4x + 1. Veiksmai su daugianariais. 15 pamoka.

„Konvertuokite sveiko skaičiaus išraišką į polinomą“ - ugdykite mokinių skaičiavimo įgūdžius. Pristatykite visos išraiškos sampratą. Visų išraiškų konvertavimas. Polinomai ir ypač monomai yra išraiškos. Pratinkite mokinius pateikti panašius terminus. Sveikų skaičių išraiškų pavyzdžiai yra šios išraiškos: 10y? + (3x + y) (x? -10y?), 2b (b? -10c?) - (b? + 2c?), 3a? - (a (a + 2c)) / 5 + 2.5ac.

"Daugianarių daugyba" --x6 + 3x7-2x4 + 5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3 + 3x2 + 5x -6. Pristatymas. Polinomo padėties numeris. Daugianarių dauginimas naudojant padėties skaičių. Ryabovas Pavelas Jurjevičius. Vadovas: Kaleturina A.S.

„Standartinio tipo daugianaris“ - Standartinis daugianario tipas. Pavyzdžiai. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Polinomų pridėjimas. Pasirengimas s / r Nr. 6. Žodynas. 2 skyriaus 1b punktas. Polinomams, turintiems vieną raidę, pagrindinis terminas yra unikaliai nustatytas. Patikrinkite save. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

„Daugianariai“ - monomalas laikomas daugianariu, susidedančiu iš vieno nario. Išskirkite bendrą veiksnį. Algebra. Daugiakalbiai. Padauginkite daugianarį a + b iš daugianario c + d. Monomo ir daugianario sandauga Monomijos dauginimas iš daugianario. 2 ir -7 terminai, kuriuose nėra raidės dalies, yra panašūs terminai. Polinomo 4xz -5xy + 3x -1 nariai yra 4xz, -5xy, 3x ir -1.

„Pamokos faktoringas“ - FSO taikymas. Sutrumpintos daugybos formulės. Pamokos tema: Atsakymai: 1 variantas: b, d, b, d, c; 2 variantas: a, d, c, b, a; 3 variantas: c, c, c, a, b; 4 variantas: d, d, c, b, d. Taigi kaip? Išskirkite bendrą veiksnį. 3. Užbaikite faktoringą: Grupinis darbas: pašalinkite bendrą veiksnį. 1. Užbaikite faktorizavimą: a).

Sveikasis skaičius yra matematinė išraiška, sudaryta iš skaičių ir pažodinių kintamųjų, naudojant sudėjimą, atimtį ir daugybą. Be to, sveikieji skaičiai apima išraiškas, apimančias padalijimą iš bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį.

Sveikų skaičių išraiškos pavyzdžiai

Žemiau yra keletas išraiškų pavyzdžių:

1,12 * a ^ 3 + 5 * (2 * a -1);

2,7 * b

3,4 * y- ((5 * y + 3) / 5) -1;

Trupmeninės išraiškos

Jei išraiškoje yra padalijimas pagal kintamąjį arba kita išraiška, kurioje yra kintamasis, tada tokia išraiška nėra sveikasis skaičius. Ši išraiška vadinama trupmenine. Duokim pilnas apibrėžimas trupmeninė išraiška.

Frakcinė išraiška yra matematinė išraiška, kurioje, be pridėjimo, atėmimo ir daugybos operacijų, atliekamų skaičiais ir abėcėlės kintamaisiais, taip pat dalijimu skaičiumi, kuris nėra lygus nuliui, taip pat yra padalijimas pagal išraiškas su abėcėlės kintamaisiais.

Dalinių išraiškų pavyzdžiai:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

2,7 / (x + 3)

3,4 * x- ((5 * y + 3) / (5-y)) +1;

Dalinės ir sveikos išraiškos sudaro dvi dideles aibes matematinės išraiškos... Jei sujungsime šias aibes, gausime naują aibę, kuri vadinama racionaliomis išraiškomis. Tai yra, racionalios išraiškos yra visos ir trupmeninės išraiškos.

Mes žinome, kad sveikųjų skaičių išraiškos turi prasmę bet kokioms į jas įeinančių kintamųjų reikšmėms. Tai išplaukia iš to, kad norint rasti sveiko skaičiaus išraiškos vertę, būtina atlikti veiksmus, kurie visada yra įmanomi: sudėjimas, atimtis, daugyba, padalijimas iš skaičiaus, kuris nėra nulis.

Trupmeninės išraiškos, skirtingai nei visos, gali neturėti prasmės. Kadangi yra padalijimo kintamuoju operacija arba išraiška, kurioje yra kintamųjų, ši išraiška gali išnykti, tačiau jos negalima padalyti iš nulio. Kintamųjų, kurių trupmeninė išraiška turės prasmę, vertės vadinamos galiojančiomis kintamųjų reikšmėmis.

Racionali trupmena

Vienas iš ypatingų racionalių išraiškų atvejų bus trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tokiai matematikos daliai yra ir pavadinimas - racionalioji trupmena.

Racionali trupmena bus prasminga, jei jos vardiklis nebus lygus nuliui. Tai yra, visos kintamųjų, kurių trupmenos vardiklis yra nulis, vertės bus tinkamos.

Dėl algebros kurso žinoma, kad visos išraiškos reikalauja transformacijos, kad būtų patogesnis sprendimas. Sveikų skaičių išraiškų apibrėžimas prisideda prie to, kad pradėti identiškos transformacijos... Išraišką paversime polinomu. Baigdami analizuosime keletą pavyzdžių.

Sveikųjų skaičių išraiškų apibrėžimas ir pavyzdžiai

1 apibrėžimas

Sveiko skaičiaus išraiškos- tai skaičiai, kintamieji ar išraiškos su pridėjimu ar atėmimu, kurie rašomi kaip galia su natūraliu eksponentu, kurie taip pat turi skliaustelius ar skyrius, išskyrus nulį.

Remdamiesi apibrėžimu, turime sveikųjų skaičių išraiškų pavyzdžių: 7, 0, - 12, 7 11, 2, 73, - 3 5 6 ir pan., Ir formos kintamieji a, b, p, q, x, z yra išraiškos. Po jų transformacijos sumos, skirtumai, produktai, išraiškos įgis formą

x + 1.5 y 3 2 3 7 - 2 y - 3, 3 - x y z 4, - 6 7, 5 (2 x + 3 y 2) 2 - - (1 - x) (1 + x) (1 + x 2 )

Jei išraiškoje yra padalijimas iš nulio nulio formos x: 5 + 8: 2: 4 arba (x + y): 6, tada padalijimą galima žymėti naudojant trupmeninę juostą, pvz., X + 3 5 - 3, 2 x + 2. Svarstant x formos išraiškas: 5 + 5: x arba 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c, matyti, kad tokios išraiškos negali būti vientisos, nes pirmojoje yra padalijimas pagal kintamąjį x , o antrame - išraiškai su kintamuoju.

Polinomas ir monomija yra visos išraiškos, su kuriomis susiduriame mokykloje dirbdami racionalūs numeriai... Kitaip tariant, visos išraiškos neapima neracionalių trupmenų. Kitas pavadinimas yra neracionalios išraiškos.

Kokios yra sveikųjų skaičių išraiškų transformacijos?

Sprendžiant išraiškas, jos laikomos pagrindinėmis identiškomis transformacijomis, skliaustelių išplėtimu, grupavimu ir panašumo sumažinimu.

1 pavyzdys

Išskleiskite skliaustus ir įveskite panašius terminus 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b).

Sprendimas

Pirmiausia turite taikyti skliaustelių išplėtimo taisyklę. Mes gauname formos išraišką 2 (a 3 + 3 a b - 2 a) - 2 a 3 - (5 a b - 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 ( - 2 a) - 2 a 3 - 5 ab + 6 a - b = = 2 a 3 + 6 ab - 4 a - 2 a 3 - 5 a B + 6 a - b

Tada galime pateikti panašius terminus:

2 a 3 + 6 a b - 4 a - 2 a 3 - 5 a b + 6 a - b = (2 a 3 - 2 a 3) + (6 a b - 5 ab) + ( - 4 a + 6 a) - b = 0 + ab + 2 a - b = ab + 2 a - b.

Sumažinus juos, gauname a b + 2 a - b formos polinomą.

Atsakymas: 2 (a 3 + 3 a b - 2 a) - 2 a 3 - (5 a b - 6 a + b) = a b + 2 a - b.

2 pavyzdys

Atlikite transformacijas (x - 1): 2 3 + 2 (x 2 + 1): 3: 7.

Sprendimas

Esamą padalijimą galima pakeisti daugyba, bet atvirkštinis skaičius... Tada būtina atlikti transformacijas, po kurių išraiška įgis formą (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7. Dabar turėtume pradėti mažinti panašias sąvokas. Mes tai suprantame

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Atsakymas: (x - 1): 2 3 + 2 (x 2 + 1): 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42.

3 pavyzdys

Perrašykite išraišką 6 x 2 y + 18 x y - 6 y - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) kaip produktą.

Sprendimas

Įvertinus išraišką, aišku, kad pirmieji trys terminai turi bendrą veiksnį, kurio forma yra 6 · y, kuris turėtų būti išimtas iš skliaustų transformacijos metu. Tada mes tai gauname 6 x 2 y + 18 x y - 6 y - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x - 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Matome, kad gavome dviejų formų 6 y (x 2 + 3 x - 1) ir (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) išraiškų skirtumą su bendru koeficientu x 2 + 3 x - 1, kuris turi būti išimtas iš skliaustų. Mes tai suprantame

6 y (x 2 + 3 x - 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x - 1) (6 y - (x 3 + 4 x) )

Išplėsdami skliaustus, turime formos (x 2 + 3 · x - 1) · (6 · y - x 3 - 4 · x) išraišką, kurią reikėjo rasti pagal sąlygą.

Atsakymas:6 x 2 y + 18 x y - 6 y - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x - 1) 6 y - x 3 - 4 x)

Identiškos transformacijos reikalauja griežtai laikytis veiksmų tvarkos.

4 pavyzdys

Konvertuoti išraišką (3 2 - 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Sprendimas

Pirmiausia atlikite skliausteliuose nurodytus veiksmus. Tada mes turime tai 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2... Po transformacijų išraiška įgauna formą 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8. Yra žinoma, kad 2 3 = 8 ir (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, tada galime prieiti prie formos išraiškos 8 x 8 + 4 x: 8. Antrasis terminas reikalauja padalijimo pakeisti daugyba iš 4 x: 8... Sujungę veiksnius, gauname tai

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Atsakymas:(3 2 - 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x.

Konvertavimas į polinomą

Dauguma sveikųjų skaičių išraiškų konvertuojamos į daugianarius vaizdus. Bet kuri išraiška gali būti pavaizduota kaip daugianaris. Bet kurią išraišką galima laikyti polinomais, sujungtais aritmetiniais ženklais. Bet koks veiksmas su daugianariais lemia polinomą.

Kad išraiška būtų pavaizduota kaip daugianaris, būtina atlikti visas operacijas su daugianariais pagal algoritmą.

5 pavyzdys

Pavaizduokite kaip daugianarį 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)).

Sprendimas

Šioje išraiškoje pradėkite transformacijas nuo 4 x - x (15 x + 1) formos išraiškos ir, kaip taisyklė, pradžioje atlikite dauginimą ar padalijimą, o tada pridėkite arba atimkite. Padauginkite - x iš 15 x + 1, tada gausime 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2... Pateikta išraiška bus 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Toliau reikia pakelti polinomą iki 2 -osios galios 2 x - 1, gauname formos išraišką (2 x - 1) 2 = (2 x - 1) (2 x - 1) = 4 x 2 + 2 x ( - 1) - 1 2 x - 1 ( - 1) = = 4 x 2 - 4 x + 1

Dabar galite eiti peržiūrėti 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Pažvelkime į daugybą. Galima pastebėti, kad 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 ir (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

tada galite pereiti prie formos išraiškos (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Atliekame papildymą, po kurio prieiname prie išraiškos:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3 + 3 x - 15 x 2 = = (4 x 3 - 4 x 3) + (16 x 2 - 15 x 2) + ( - 13 x + 3 x) + ( - 2 + 3) = = 0 + x 2 - 10 x + 1 = x 2 - 10 x + 1.

Iš to išplaukia, kad pirminė išraiška turi formą x 2 - 10 x + 1.

Atsakymas: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Daugybės dauginimas ir eksponavimas rodo, kad norint paspartinti transformacijos procesą, būtina naudoti sutrumpintas daugybos formules. Tai padeda užtikrinti, kad veiksmai būtų atliekami racionaliai ir teisingai.

6 pavyzdys

Konvertuoti 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n).

Sprendimas

Iš kvadrato formulės gauname (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, tada sandauga (m - 2 n) (m + 2 n) yra lygi m ir 2 n kvadratų skirtumui, todėl m 2 - 4 n 2... Mes suprantame, kad pradinė išraiška įgauna formą 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 - 4 N 2) = = 16 m 2 + 16 mn + 4 n 2 + m 2 - 4 n 2 = 17 m 2 + 16 mn

Atsakymas: 4 (2 m + n) 2 + (m - 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Kad transformacija nebūtų per ilga, nurodyta išraiška turi būti paversta standartine forma.

7 pavyzdys

Supaprastinkite rodinio išraišką (2 a (- 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2) + (5 a b (- 3) b 2)

Sprendimas

Dažniausiai nepateikiami daugianariai ir monomai standartinis vaizdas todėl jūs turite atlikti transformacijas. Reikėtų konvertuoti, kad gautumėte tokią išraišką - 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) - 15 a b 3... Norint atnešti panašius, pirmiausia reikia atlikti daugybą pagal sudėtingos išraiškos transformavimo taisykles. Mes gauname formos išraišką

- 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) - 15 a b 3 = = - 12 a 4 b - 30 a 3 b 3 + (2 a 3 b + ab) (6 a + 15 b 2) - 15 ab 3 = = - 12 a 4 b - 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 ab 3 - 15 ab 3 = = ( - 12 a 4 b + 12 a 4 b) + ( - 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 - 15 ab 3) = 6 a 2 b

Atsakymas: (2 a (- 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2) + + (5 ab (- 3) b 2) = 6 a 2 b

Jei pastebėjote teksto klaidą, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

„Algebrinės trupmenos, racionalios ir trupmeninės išraiškos“.

Pamokos tikslai:

Švietimas: algebrinės trupmenos sąvokos įvedimas, racionalios ir trupmeninės išraiškos, leistinų verčių diapazonas,

Vystantis: įgūdžių ugdymas kritinis mąstymas, savarankiška informacijos paieška, tyrimo įgūdžiai.

Edukacinis: sąmoningo požiūrio į darbą ugdymas, bendravimo įgūdžių formavimas, savigarbos formavimas.

Užsiėmimų metu

1. Laiko organizavimas:

Sveikinimai. Pamokos temos paskelbimas.

2. Pamokos motyvacija.

Vokiečiai turi posakį „pataikyti“, o tai reiškia patekti į aklavietę, sunkią situaciją. Tai paaiškinama ilgas laikas operacijos su daliniais skaičiais, kurios kartais vadinamos „skaldytomis linijomis“, buvo laikomos labai sunkiomis.

Tačiau dabar įprasta atsižvelgti ne tik į skaitines, bet ir į algebrines trupmenas, kurias ir padarysime šiandien.

Sėkmė nėra tikslas. Šis judėjimas

T. Greičiau.

3. Pagrindinių žinių atnaujinimas.

Priekinė apklausa.

Kas yra sveikųjų skaičių išraiškos? Iš ko jie pagaminti? Sveika skaičiaus išraiška prasminga bet kokioms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms.

Pateikite pavyzdžių.

Kas yra trupmena?

Ką reiškia atšaukti trupmeną?

Ką reiškia faktorizuoti?

Kokius skaidymo būdus žinote?

Koks yra sumos (skirtumo) kvadratas?

Kuo skiriasi kvadratai?

4. Naujos medžiagos mokymasis.

8 klasėje taip pat susipažinsime su trupmeninėmis išraiškomis.

Jie skiriasi nuo sveikųjų skaičių tuo, kad juose yra padalijimo kintama išraiška veiksmas.

Jei algebrinė išraiška susideda iš skaičių ir kintamųjų, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, eksponavimo su natūraliu eksponentu ir padalijimo veiksmus ir naudojant dalijimąsi išraiškomis su kintamaisiais, tai vadinama trupmenine išraiška.

Trupmeninės išraiškos yra beprasmės, kai kintamos reikšmės, dėl kurių vardiklis lygus nuliui.

Leistinų verčių diapazonas (ODZ) algebrinė išraiška vadinkite visų šioje išraiškoje esančių raidžių reikšmių rinkinių rinkinį.

Sveikos ir trupmeninės išraiškos vadinamos racionaliomis išraiškomis

atskira racionalios išraiškos rūšis yra racionalioji trupmena. Tai trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai.

Kurios iš išraiškų yra sveikos, kurios trupmeninės? (arba # 1)

5. Fizinės minutės

6. Naujos medžiagos tvirtinimas.

Išspręskite # 2, 3 (1), 5 (1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7 (1).

7. Savarankiškas darbas mokiniai (grupėse).

Išspręskite Nr. 3 (2), 5 (2, 5, 8, 12), 7 (2).

8. Atspindys.

Ar pamokos medžiaga jums buvo sunki?

Kuriame pamokos etape buvo sunkiausia, lengviausia?

Ką naujo išmokote pamokoje? Ko išmokote?

Ar pamokoje dirbote iš visų jėgų?

Kaip emociškai jautėtės pamokoje?

D / z: išmokite 1 punktą, klausimus p.7, išspręskite Nr. 4, 6, 8.

Kriauklė.

Kiekviena grupė sukuria sinchronizavimą su žodžiu „frakcija“.

Jei žinote trupmenas

Norėdami tiksliai suprasti jų prasmę,

Net ir sunki užduotis taps lengva.

Sveikų skaičių išraiškos pavyzdžiai

Žemiau yra keletas išraiškų pavyzdžių:

1,12 * a ^ 3 + 5 * (2 * a -1);

3,4 * y- ((5 * y + 3) / 5) -1;

Trupmeninės išraiškos

Jei išraiškoje yra padalijimas pagal kintamąjį arba kita išraiška, kurioje yra kintamasis, tada tokia išraiška nėra sveikasis skaičius. Ši išraiška vadinama trupmenine. Pateiksime išsamų trupmeninės išraiškos apibrėžimą.

Frakcinė išraiška yra matematinė išraiška, kurioje, be pridėjimo, atėmimo ir daugybos operacijų, atliekamų skaičiais ir abėcėlės kintamaisiais, taip pat dalijimu skaičiumi, nelygiu nuliui, taip pat yra padalijimas pagal išraiškas su abėcėlės kintamaisiais.

Dalinių išraiškų pavyzdžiai:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

3,4 * x- ((5 * y + 3) / (5-y)) +1;

Dalinės ir sveikos išraiškos sudaro du didelius matematinių išraiškų rinkinius. Jei sujungsime šias aibes, gausime naują aibę, kuri vadinama racionaliomis išraiškomis. Tai yra, racionalios išraiškos yra visos ir trupmeninės išraiškos.

Mes žinome, kad sveikųjų skaičių išraiškos turi prasmę bet kokioms į jas įeinančių kintamųjų reikšmėms. Tai išplaukia iš to, kad norint rasti sveiko skaičiaus išraiškos vertę, būtina atlikti veiksmus, kurie visada yra įmanomi: sudėjimas, atimtis, dauginimas, padalijimas iš skaičiaus, kuris nėra nulis.

Racionali trupmena

Vienas iš ypatingų racionalių išraiškų atvejų bus trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tokiai matematikos daliai yra ir pavadinimas - racionalioji trupmena.

Racionali trupmena bus prasminga, jei jos vardiklis nebus nulis. Tai yra, visos kintamųjų, kurių trupmenos vardiklis yra nulis, vertės bus tinkamos.