Raskite linijomis apriboto sukimosi kūno tūrį internete. Kaip apskaičiuoti sukimosi kūno tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą
Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Meistras raštingas ir greita technologija braižymą galima atlikti naudojant mokymo medžiaga ir grafikų geometrinės transformacijos. Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje.
Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių programų apibrėžtasis integralas Galite apskaičiuoti figūros plotą, apsisukimo kūno tūrį, lanko ilgį, apsisukimo paviršiaus plotą ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!
Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:
– aplink abscisių ašį;
– aplink ordinačių ašį.
Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, jis sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema, ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.
Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.
plokščia figūra aplink ašį
1 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.
Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Tai yra Kinijos priminimas ir toliau šiuo momentu Aš nebestojau.
Piešinys čia yra gana paprastas:
Norima plokščia figūra nuspalvinta mėlyna spalva, būtent ta, kuri sukasi aplink ašį.Dėl sukimosi gaunama šiek tiek kiaušiniška skraidanti lėkštė, simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ką nors paaiškinti žinyne, todėl judame toliau.
Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį?
Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:
Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.
Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.
Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.
Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: , taigi integralas visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.
Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:
Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.
Atsakymas: 
Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.
2 pavyzdys
Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Panagrinėkime dar du sudėtingos užduotys, su kuriais taip pat dažnai susiduriama praktikoje.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir
Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:
Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.
Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.
Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .
Apsvarstykite figūrą, kuri yra apskritimu žalias. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .
Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.
Sukimosi kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę: 
1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:
2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:
3) Norimo apsisukimo kūno tūris: 
Atsakymas: 
Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.
Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip: 
Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.
Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, vidutinis žmogus per visą gyvenimą išgeria 18 ploto kambario ekvivalentą. kvadratinių metrų, kurios, priešingai, atrodo per mažos apimties.
Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai ugdo, kaip sakė humoristas, supratimą ir moko ieškoti originalumo. nestandartiniai sprendimai problemų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.
Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:
4 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Taisyklingai nubraižykite grafikus trigonometrinės funkcijos, priminsiu pamokos medžiagą apie grafikų geometrinės transformacijos: jei argumentas yra padalintas iš dviejų: , tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.
Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį
Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Užduotis apskaičiuoti apsisukimo kūno aplink ordinačių ašį tūrį taip pat yra gana dažnas svečias. bandymai. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).
Rekomenduoju visiems, net visiškiems manekenams. Be to, antroje pastraipoje išmokta medžiaga suteiks neįkainojamos pagalbos skaičiuojant dvigubus integralus.
5 pavyzdys
Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .
1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.
Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!
Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.
1) Padarykime piešinį:
Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.
Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.
Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
- segmente 
;
- segmente.
Štai kodėl:
Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau problemai „geresnes“ funkcijas.
Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.
Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:
To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:
Tai lengviau su tiesia linija:
Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: 
. Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.
! Pastaba: Turėtų būti nustatytos integravimo išilgai ašies ribos griežtai iš apačios į viršų!
Vietos radimas:
Todėl segmente: 
Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.
Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių: 
Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.
Atsakymas:
2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidarantį sukant šią figūrą aplink ašį.
Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:
Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.
Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.
Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.
Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .
Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.
Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.
Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę: 
Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.
Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau 
, o ne pirmiausia pakelti integrandą į 4 laipsnį.
Atsakymas: 
Tačiau ne liguistas drugelis.
Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu.
6 pavyzdys
Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.
1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).
Visas dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.
Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!
Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą?
Be to plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą svarbiausias temos pritaikymas yra apskaičiuojant apsisukimo kūno tūrį. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: jūs turite mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas . Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Kompetentingus ir greitus diagramų sudarymo būdus galite įvaldyti pasitelkę metodinę medžiagą . Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje. .
Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų; naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą. kūnas ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!
Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:
– aplink x ašį; – aplink ordinačių ašį.
Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, jis sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema , ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.
Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.
1 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.
Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, apribotą linijomis, ir nepamirškite, kad lygtis apibrėžia ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą . Tai yra kinų priminimas, ir šiuo metu aš daugiau nesigilinsiu.
Piešinys čia yra gana paprastas:
Norima plokščia figūra nudažyta mėlyna spalva, būtent ta, kuri sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė, kuri yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ieškoti žinyno, todėl judame toliau.
Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį?
Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:
Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.
Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.
Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą riboja parabolės grafikas viršuje. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.
Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje yra kvadratinė: taigi revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.
Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę: 
Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.
Atsakymas: 
Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.
2 pavyzdys
Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink figūros, apribotos linijomis, ašį,
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos, ir
Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis ,,,, nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:
Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.
Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.
Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį.
Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Pažymėkime jo tūrį.
Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.
Sukimosi kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:
1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:
2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:
3) Norimo apsisukimo kūno tūris:
Atsakymas:
Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.
Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:
Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.
Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (ne tas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.
Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, parašyta jo dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.
Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:
4 pavyzdys
Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis,, kur.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, pateikiamos praktiškai paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai nubraižyti trigonometrinių funkcijų grafikus; jei argumentas padalintas iš dviejų: tada grafikai ištempiami išilgai ašies du kartus. Pabandykite surasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles ir tiksliau užbaigti piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.
Kūno, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, tūrio apskaičiavimas
Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Apskaičiuojant ordinačių ašį besisukančio kūno tūrį taip pat gana dažnas svečias bandomajame darbe. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).
5 pavyzdys
Pateikta plokščia figūra, apribota linijomis ,,.
1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos. 2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.
Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!
Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.
1) Padarykime piešinį:
Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.
Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.
Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą
. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma: – segmente 
; - segmente.
Štai kodėl:
Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau problemai „geresnes“ funkcijas.
Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.
Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:
To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:
Tai lengviau su tiesia linija:
Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Be to, segmente tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: 
. Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.
! Pastaba: turi būti nustatytos integravimo ribos išilgai ašiesgriežtai iš apačios į viršų !
Vietos radimas:
Todėl segmente: 
Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.
Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:
Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.
Atsakymas:
2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidarantį sukant šią figūrą aplink ašį.
Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:
Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.
Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.
Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.
Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį.
Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir žymime gauto apsisukimo kūno tūriu.
Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.
Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę: 
Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.
Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau 
, o ne pirmiausia pakelti integrandą į 4 laipsnį.
3 apibrėžimas. Revoliucijos kūnas yra kūnas, gaunamas sukant plokščią figūrą aplink ašį, kuri nesikerta su figūra ir yra vienoje plokštumoje su ja.
Sukimosi ašis gali kirsti figūrą, jei ji yra figūros simetrijos ašis.
2 teorema.
, ašis 
ir tiesūs segmentai 
Ir 
sukasi aplink ašį 
. Tada gauto sukimosi kūno tūrį galima apskaičiuoti naudojant formulę
(2)
Įrodymas.
Tokiam korpusui skerspjūvis su abscisėmis 
yra spindulio apskritimas 
, Reiškia 
o formulė (1) duoda reikiamą rezultatą.
Jeigu figūrą riboja dviejų ištisinių funkcijų grafikai 
Ir 
, ir linijos segmentai 
Ir 
, ir 
Ir 
, tada sukdami aplink x ašį gauname kūną, kurio tūris
3 pavyzdys.
Apskaičiuokite toro tūrį, gautą sukant apskritimą, kurį riboja apskritimas 
aplink abscisių ašį.
R 
sprendimą.
Nurodytą apskritimą riboja funkcijos grafikas 
ir iš viršaus – 
. Šių funkcijų kvadratų skirtumas:
Reikalingas tūris
(integrando grafikas yra viršutinis puslankis, todėl aukščiau parašytas integralas yra puslankio plotas).
4 pavyzdys.
Parabolinis segmentas su pagrindu 
, ir aukštis 
, sukasi aplink pagrindą. Apskaičiuokite gauto kūno (Cavalieri „citrinos“) tūrį.
R 
sprendimą.
Mes pastatysime parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Tada jos lygtis 
, ir 
. Raskime parametro reikšmę 
:
. Taigi, reikalingas tūris:
3 teorema.
Tegu kreivinė trapecija, apribota tolydžios neneigiamos funkcijos grafiku 
, ašis 
ir tiesūs segmentai 
Ir 
, ir 
, sukasi aplink ašį 
. Tada gauto sukimosi kūno tūrį galima rasti pagal formulę
(3)
Įrodinėjimo idėja.
Mes padaliname segmentą 
taškais 
, į dalis ir nubrėžkite tiesias linijas 
. Visa trapecija bus suskaidyta į juosteles, kurios gali būti laikomos maždaug stačiakampiais su pagrindu 
ir aukštis 
.
Supjaustome gautą cilindrą, sukdami tokį stačiakampį išilgai jo generatrix ir išskleidžiame. Gauname „beveik“ gretasienį su matmenimis: 
,
Ir 
. Jo tūris 
. Taigi, revoliucijos kūno tūriui turėsime apytikslę lygybę
Norint gauti tikslią lygybę, reikia pereiti prie ribos 
. Aukščiau parašyta suma yra integrali funkcijos suma 
, todėl riboje gauname integralą iš (3) formulės. Teorema įrodyta.
1 pastaba.
2 ir 3 teoremose sąlyga 
galima praleisti: (2) formulė paprastai nejautrina ženklui 
, o formulėje (3) pakanka 
pakeistas 
.
5 pavyzdys.
Parabolinis segmentas (bazė 
, aukštis 
) sukasi aplink aukštį. Raskite gauto kūno tūrį.
Sprendimas.
Padėkime parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Ir nors sukimosi ašis kerta figūrą, ji – ašis – yra simetrijos ašis. Todėl turime atsižvelgti tik į dešinę segmento pusę. Parabolės lygtis 
, ir 
, Reiškia 
. Turime tūriui:
Užrašas 2.
Jei kreivinės trapecijos kreivinė riba nurodyta parametrinėmis lygtimis 
,
,
Ir 
,
tada galite naudoti formules (2) ir (3) su pakaitalu 
įjungta 
Ir 
įjungta 
kai pasikeičia t iš 
prieš 
.
6 pavyzdys.
Figūrą riboja pirmasis cikloido lankas 
,
,
, ir x ašį. Raskite kūno tūrį, gautą sukant šią figūrą aplink: 1) ašį 
; 2) kirviai 
.
Sprendimas.
1) Bendroji formulė 
Mūsų atveju:
2) Bendroji formulė 
Mūsų figūrai:
Kviečiame mokinius patiems atlikti visus skaičiavimus.
3 pastaba.
Tegul lenktas sektorius ribojamas ištisine linija 
ir spinduliai 
,
, sukasi aplink polinę ašį. Gauto kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę.
7 pavyzdys.
Kardioidu ribojamos figūros dalis 
, guli už rato ribų 
, sukasi aplink polinę ašį. Raskite gauto kūno tūrį.
Sprendimas.
Abi linijos, taigi ir figūra, kurią jos riboja, yra simetriškos polinės ašies atžvilgiu. Todėl reikia atsižvelgti tik į tą dalį, kuriai 
. Kreivės susikerta ties 
Ir
adresu 
. Be to, skaičius gali būti laikomas dviejų sektorių skirtumu, todėl tūris gali būti apskaičiuojamas kaip dviejų integralų skirtumas. Mes turime:
Užduotys už savarankišką sprendimą.
1. Apskrito atkarpa, kurios pagrindas 
, aukštis 
, sukasi aplink pagrindą. Raskite sukimosi kūno tūrį.
2. Raskite apsisukimo paraboloido tūrį, kurio bazė 
, o aukštis yra 
.
3. Figūra, kurią riboja astroidas 
,
sukasi aplink abscisių ašį. Raskite gauto kūno tūrį.
4. Paveikslas apribotas linijomis 
Ir 
sukasi aplink x ašį. Raskite sukimosi kūno tūrį.
Integralų naudojimas sukimosi kūnų tūriams rasti
Praktinis matematikos naudingumas yra dėl to, kad be
dėl specifinių matematinių žinių sunku suprasti įrenginio ir naudojimo principus moderni technologija. Kiekvienas žmogus savo gyvenime turi atlikti gana sudėtingus skaičiavimus, naudoti įprastai naudojamą įrangą, žinynuose rasti reikiamas formules, kurti paprastus problemų sprendimo algoritmus. IN šiuolaikinė visuomenė vis daugiau reikalaujančių specialybių aukštas lygis išsilavinimas siejamas su tiesioginiu matematikos taikymu. Taigi matematika studentui tampa profesiniu požiūriu reikšmingu dalyku. Pagrindinis vaidmuo formuojant algoritminį mąstymą tenka matematikai, kuri ugdo gebėjimą veikti pagal duotą algoritmą ir konstruoti naujus algoritmus.
Nagrinėjant temą apie integralo panaudojimą skaičiuojant revoliucijos kūnų tūrius, siūlau pasirenkamųjų klasių mokiniams apsvarstyti temą: „Susisukimo kūnų tūriai naudojant integralus“. Žemiau pateikiamos metodinės rekomendacijos nagrinėjant šią temą:
1. Plokščios figūros plotas.
Iš algebros kurso žinome, kad praktinio pobūdžio problemos atvedė į apibrėžtojo integralo sąvoką..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, susidarantį sukantis kreivinei trapecijai aplink Ox ašį, ribojamą lūžio linija y=f(x), Ox ašies, tiesių x=a ir x=b, apskaičiuojame naudojant formulę
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3.Cilindro tūris.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kūgis gaunamas sukant stačiąjį trikampį ABC (C = 90) aplink Ox ašį, ant kurios yra kojelė AC.
Segmentas AB yra tiesėje y=kx+c, kur https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Tegul a=0, b=H (H yra kūgio aukštis), tada Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.
5.Nupjauto kūgio tūris.
Nupjautą kūgį galima gauti sukant stačiakampę trapeciją ABCD (CDOx) aplink Ox ašį.
Atkarpa AB yra tiesėje y=kx+c, kur 
, c=r.
Kadangi tiesė eina per tašką A (0;r).
Taigi tiesi linija atrodo taip https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Tegul a=0, b=H (H yra nupjauto kūgio aukštis), tada https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 
.
6. Kamuolio tūris.
Rutulį galima gauti sukant apskritimą su centru (0;0) aplink Ox ašį. Puslankis, esantis virš Ox ašies, pateikiamas lygtimi
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
Tema: „Apsisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“
Pamokos tipas: sujungti.
Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.
Užduotys:
įtvirtinti gebėjimą atpažinti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių figūrų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;
susipažinti su trimatės figūros samprata;
išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;
skatinti vystymąsi loginis mąstymas, kompetentinga matematinė kalba, tikslumas konstruojant brėžinius;
ugdyti domėjimąsi dalyku, operuotis matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą ir atkaklumą siekiant galutinio rezultato.
Per užsiėmimus
I. Organizacinis momentas.
Linkėjimai nuo grupės. Perduokite mokiniams pamokos tikslus.
Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Gyveno kartą išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Laikydamas rankose drugelį, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavijas, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir jis galvoja: „Jei gyvasis pasakys, aš ją užmušiu, o mirusysis sakys, aš ją paleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“.
Todėl šiandien dirbkime vaisingai, pasisemkime naujų žinių, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime tolimesniame gyvenime ir praktinėje veikloje.“Viskas jūsų rankose“.
II. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.
Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atlikime užduotį „Pašalinkite papildomą žodį“.
(Mokiniai pasako papildomą žodį.)
Teisingai "Diferencialas". Pabandykite likusius žodžius pavadinti vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)
Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.
Pratimas. Atkurkite spragas. (Mokinys išeina ir su žymekliu užrašo reikiamus žodžius.)
Darbas sąsiuviniuose.
Niutono-Leibnizo formulę išvedė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643-1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646-1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.
Panagrinėkime, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines problemas.
1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą 
Sprendimas: Sukurkime funkcijų grafikus koordinačių plokštumoje . Pasirinkime figūros sritį, kurią reikia rasti.
III. Naujos medžiagos mokymasis.
Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)
Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)
Kosmose, žemėje ir viduje Kasdienybė Sutinkame ne tik plokščias figūras, bet ir erdvines, tačiau kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui: planetos, kometos, meteorito ir kt. tūris.
Apie tūrį žmonės galvoja ir statydami namus, ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir būdai, o kiek jie tikslūs ir pagrįsti – kitas klausimas.
1612 metai buvo labai vaisingi Austrijos miesto Linco, kuriame gyveno žymus astronomas Johannesas Kepleris, gyventojams, ypač vynuogėms. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį.
Taigi apžvelgti Keplerio darbai pažymėjo viso tyrimų srauto, kuris baigėsi kulminacija, pradžią Paskutinis ketvirtis XVII a dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo Leibnicas. Nuo to laiko kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.
Šiandien jūs ir aš užsiimsime tokia praktine veikla, todėl
Mūsų pamokos tema: „Sukimosi kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“.
Sužinosite apie revoliucijos kūno apibrėžimą, atlikdami šią užduotį.
„Labirintas“.
Pratimas. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.
IVTūrių skaičiavimas.
Naudodami apibrėžtą integralą galite apskaičiuoti konkretaus kūno, ypač apsisukimo kūno, tūrį.
Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant lenktą trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)
Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas naudojant vieną iš formulių:
1.
aplink OX ašį.
2. 
, jei kreivosios trapecijos sukimasis aplink operacinės stiprintuvo ašį.
Mokiniai surašo pagrindines formules į sąsiuvinį.
Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimus.
1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ordinačių ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Sprendimas.
Atsakymas: 1163 cm3.
2. Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink x ašį y = , x = 4, y = 0.
Sprendimas.
V. Matematikos simuliatorius.
2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama
B) funkcija,
B) diferenciacija.
7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:
D/Z. Naujos medžiagos konsolidavimas
Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y = x2, y2 = x.
Sukurkime funkcijos grafikus. y = x2, y2 = x. Paverskime grafiką y2 = x į formą y = .
Turime V = V1 - V2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos tūrį:
Išvada:
Apibrėžiamasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, nepakeičiamas sprendžiant praktines problemas.
Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.
Plėtra šiuolaikinis mokslas neįsivaizduojama nenaudojant integralo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!
VI. Įvertinimas.(Su komentarais.)
Didysis Omaras Khayyamas - matematikas, poetas, filosofas. Jis skatina mus būti savo likimo šeimininkais. Pasiklausykime ištraukos iš jo kūrinio:
Sakote, šis gyvenimas yra viena akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.
