Atsitiktinio dydžio x dispersijos apskaičiavimo formulė. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Sugrupuotiems duomenims likutinė dispersija- grupės vidaus dispersijų vidurkis:

Kur σ 2 j yra j-osios grupės dispersija grupės viduje.

Nesugrupuotiems duomenims likutinė dispersija yra aproksimacijos tikslumo matas, t.y. regresijos tiesės aproksimacija pirminiams duomenims:
čia y(t) yra prognozė pagal tendencijos lygtį; y t – pradinė dinamikos eilė; n yra taškų skaičius; p – regresijos lygties koeficientų skaičius (aiškinamųjų kintamųjų skaičius).
Šiame pavyzdyje jis vadinamas nešališkas dispersijos įvertinimas.

1 pavyzdys. Trijų vienos asociacijos įmonių darbuotojų pasiskirstymas pagal tarifų kategorijas apibūdinamas šiais duomenimis:

Darbuotojo darbo užmokesčio kategorija	Darbuotojų skaičius įmonėje
	įmonė 1	įmonė 2	3 įmonė
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Apibrėžkite:
1. sklaida kiekvienai įmonei (vidinė dispersija);
2. vidinės grupės dispersijų vidurkis;
3. tarpgrupinė sklaida;
4. bendroji dispersija.

Sprendimas.
Prieš pradedant spręsti problemą, būtina išsiaiškinti, kuri funkcija yra efektyvi, o kuri faktorinė. Nagrinėjamame pavyzdyje efektyvi ypatybė yra „Tarifo kategorija“, o faktorinė – „Įmonės numeris (pavadinimas).
Tada turime tris grupes (įmones), kurioms reikia apskaičiuoti grupės vidurkį ir grupės vidaus dispersijas:

Įmonė	grupės vidurkis,	dispersija grupės viduje,
1	4	1,8

Vidutinės grupės dispersijų vidurkis ( likutinė dispersija) apskaičiuojamas pagal formulę:

kur galima paskaičiuoti:
arba:

tada:
Bendra dispersija bus lygi: s 2 \u003d 1,6 + 0 \u003d 1,6.
Bendrą dispersiją taip pat galima apskaičiuoti naudojant vieną iš šių dviejų formulių:

Sprendžiant praktines problemas, dažnai tenka susidurti su ženklu, kuris ima tik dvi alternatyvias vertybes. Šiuo atveju jie kalba ne apie konkrečios ypatybės reikšmės svorį, o apie jos dalį visumoje. Jei populiacijos vienetų, turinčių tiriamą požymį, dalis yra pažymėta " R", o neturintis - per" q“, tada dispersiją galima apskaičiuoti pagal formulę:
s2 = p×q

2 pavyzdys. Remdamiesi šešių brigados darbuotojų produkcijos duomenimis, nustatykite tarpgrupinę dispersiją ir įvertinkite darbo pamainos įtaką jų darbo našumui, jei bendra dispersija yra 12,2.

Darbo brigados Nr	Darbinė produkcija, vnt.
	pirmoje pamainoje	2-oje pamainoje
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Sprendimas. Pradiniai duomenys

X	f1	f2	f 3	f4	f5	f6	Iš viso
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Iš viso	31	33	37	37	40	38

Tada turime 6 grupes, kurioms reikia apskaičiuoti grupės vidurkį ir grupės vidaus dispersijas.
1. Raskite kiekvienos grupės vidutines vertes.







2. Raskite kiekvienos grupės vidutinį kvadratą.







Skaičiavimo rezultatus apibendriname lentelėje:

Grupės numeris	Grupės vidurkis	Vidinė grupės dispersija
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Vidinė grupės dispersija apibūdina tiriamo (rezultato) bruožo kitimą (variaciją) grupėje, veikiant visiems veiksniams, išskyrus veiksnį, kuriuo grindžiamas grupavimas:
Grupės viduje esančių dispersijų vidurkį apskaičiuojame pagal formulę:


4. Tarpgrupinė dispersija apibūdina tiriamo (rezultato) požymio kitimą (variaciją) veikiant veiksniui (faktoriniam požymiui), kuriuo grindžiamas grupavimas.
Tarpgrupinė dispersija apibrėžiama taip:

kur


Tada

Bendra dispersija charakterizuoja tiriamo (rezultato) požymio kitimą (variaciją) veikiant visiems be išimties veiksniams (faktoriniams požymiams). Pagal uždavinio sąlygą jis lygus 12,2.
Empirinis koreliacinis ryšys matuoja, kiek viso gauto požymio svyravimo sukelia tiriamas veiksnys. Tai koeficientinės dispersijos santykis su bendra dispersija:

Mes nustatome empirinį koreliacijos ryšį:

Ryšiai tarp požymių gali būti silpni arba stiprūs (glaudūs). Jų kriterijai vertinami Chaddock skalėje:
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 Mūsų pavyzdyje ryšys tarp Y veiksnio X yra silpnas
Determinacijos koeficientas.

Apibrėžkime determinacijos koeficientą:

Taigi 0,67 % svyravimo atsiranda dėl bruožų skirtumų, o 99,37 % – dėl kitų veiksnių.
Išvestis: šiuo atveju darbuotojų išeiga nepriklauso nuo darbo konkrečioje pamainoje, t.y. darbo pamainos įtaka jų darbo našumui nėra reikšminga ir atsiranda dėl kitų veiksnių.

3 pavyzdys. Remiantis vidurkiu darbo užmokesčio ir nukrypimus nuo jo vertės kvadratu dviem darbuotojų grupėms, raskite bendrą dispersiją taikydami nuokrypių pridėjimo taisyklę:

Sprendimas:
Vidurkis skirtumų grupės viduje

Tarpgrupinė dispersija apibrėžiama taip:


Bendra dispersija bus: 480 + 13824 = 14304

Pagrindiniai statistikos kitimo apibendrinimo rodikliai yra dispersijos ir vidurkis standartinis nuokrypis.

Sklaida tai aritmetinis vidurkis kiekvienos požymio reikšmės nuokrypiai nuo bendro vidurkio kvadratu. Dispersija paprastai vadinama vidutiniu nuokrypių kvadratu ir žymima  2 . Priklausomai nuo pradinių duomenų, dispersija gali būti apskaičiuojama pagal aritmetinį vidurkį, paprastą arba svertinį:

 nesvertinė (paprastoji) dispersija;

 svertinė dispersija.

Standartinis nuokrypis yra absoliučių matmenų apibendrinanti charakteristika variacijos bruožas visumoje. Jis išreiškiamas tais pačiais vienetais kaip ir ženklas (metrais, tonomis, procentais, hektarais ir kt.).

Standartinis nuokrypis yra kvadratinė šaknis nuo dispersijos ir žymimas :

 nesvertinis standartinis nuokrypis;

 svertinis standartinis nuokrypis.

Standartinis nuokrypis yra vidurkio patikimumo matas. Kuo mažesnis standartinis nuokrypis, tuo aritmetinis vidurkis geriau atspindi visą reprezentuojamą populiaciją.

Prieš apskaičiuojant standartinį nuokrypį, apskaičiuojama dispersija.

Svertinės dispersijos apskaičiavimo procedūra yra tokia:

1) nustatyti aritmetinį svertinį vidurkį:

2) apskaičiuokite variantų nuokrypius nuo vidurkio:

3) kiekvieno varianto nuokrypį nuo vidurkio padėkite kvadratu:

4) padauginkite nuokrypius kvadratu iš svorių (dažnių):

5) apibendrinti gautus darbus:

6) gauta suma padalinama iš svorių sumos:

2.1 pavyzdys

Apskaičiuokite aritmetinį svertinį vidurkį:

Nuokrypių nuo vidurkio reikšmės ir jų kvadratai pateikti lentelėje. Apibrėžkime dispersiją:

Standartinis nuokrypis bus lygus:

Jei šaltinio duomenys pateikiami kaip intervalas platinimo serija , tada pirmiausia turite nustatyti atskirą funkcijos reikšmę ir tada taikyti aprašytą metodą.

2.2 pavyzdys

Parodykime duomenų apie kolūkio pasėlių ploto pasiskirstymą pagal kviečių derlių intervalų eilučių dispersijos apskaičiavimą.

Aritmetinis vidurkis yra:

Apskaičiuokime dispersiją:

6.3. Sklaidos apskaičiavimas pagal individualių duomenų formulę

Skaičiavimo technika dispersija sudėtingas, o didelės parinkčių ir dažnių vertės gali būti sudėtingos. Skaičiavimai gali būti supaprastinti naudojant dispersijos savybes.

Dispersija turi šias savybes.

1. Kintamo požymio svorių (dažnių) sumažėjimas arba padidėjimas tam tikru kartų skaičiumi sklaidos nekeičia.

2. Kiekvienos funkcijos reikšmės sumažinimas arba padidinimas ta pačia pastovia verte BET dispersija nesikeičia.

3. Kiekvienos funkcijos reikšmės sumažinimas arba padidinimas tam tikrą skaičių kartų k atitinkamai sumažina arba padidina dispersiją k 2 kartus standartinis nuokrypis  į k kartą.

4. Požymio dispersija, palyginti su savavališka verte, visada yra didesnė už dispersiją, palyginti su aritmetiniu vidurkiu, skirtumo tarp vidutinių ir savavališkų reikšmių kvadratu:

Jeigu BET 0, tada gauname tokią lygybę:

y., požymio dispersija yra lygi skirtumui tarp požymio reikšmių vidurkio kvadrato ir vidurkio kvadrato.

Skaičiuojant dispersiją, kiekviena savybė gali būti naudojama atskirai arba kartu su kitomis.

Dispersijos apskaičiavimo procedūra yra paprasta:

1) nustatyti aritmetinis vidurkis :

2) padėkite aritmetinį vidurkį kvadratu:

3) kiekvieno serijos varianto nuokrypį padėkite kvadratu:

X i 2 .

4) Raskite variantų kvadratų sumą:

5) padalykite variantų kvadratų sumą iš jų skaičiaus, t.y. nustatykite vidutinį kvadratą:

6) nustatyti skirtumą tarp požymio vidutinio kvadrato ir vidurkio kvadrato:

3.1 pavyzdys Turime šiuos duomenis apie darbuotojų produktyvumą:

Atlikime šiuos skaičiavimus:

Sklaida statistikoje randama kaip atskiros objekto reikšmės kvadrate . Priklausomai nuo pradinių duomenų, jis nustatomas pagal paprastas ir svertines dispersijos formules:

1. (nesugrupuotiems duomenims) apskaičiuojamas pagal formulę:

2. Svertinis dispersija (variacijų serijai):

kur n yra dažnis (pakartojamumo koeficientas X)

Dispersijos nustatymo pavyzdys

Šiame puslapyje aprašomas standartinis dispersijos radimo pavyzdys, taip pat galite peržiūrėti kitas jo nustatymo užduotis

1 pavyzdys. Turime šiuos duomenis apie 20 mokinių grupę korespondencijos skyrius. Reikia statyti intervalų serijos ypatybės pasiskirstymą, apskaičiuokite požymio vidutinę reikšmę ir ištirkite jos dispersiją

Sukurkime intervalų grupavimą. Nustatykime intervalo diapazoną pagal formulę:

kur X max yra didžiausia grupavimo požymio reikšmė;
X min yra mažiausia grupavimo požymio reikšmė;
n yra intervalų skaičius:

Priimame n=5. Žingsnis yra toks: h \u003d (192–159) / 5 \u003d 6,6

Padarykime intervalų grupavimą

Tolesniems skaičiavimams sudarysime pagalbinę lentelę:

X'i yra intervalo vidurys. (pvz., intervalo vidurys 159 – 165,6 = 162,3)

Vidutinis mokinių augimas nustatomas pagal aritmetinio svertinio vidurkio formulę:

Sklaidą nustatome pagal formulę:

Dispersijos formulę galima konvertuoti taip:

Iš šios formulės išplaukia, kad dispersija yra skirtumas tarp pasirinkimų kvadratų vidurkio ir kvadrato bei vidurkio.

Sklaida viduje variacijų serija vienodais intervalais pagal momentų metodą galima apskaičiuoti taip, naudojant antrąją dispersijos savybę (visas parinktis padalijus iš intervalo reikšmės). Dispersijos apibrėžimas, apskaičiuojamas momentų metodu, pagal šią formulę užima mažiau laiko:

kur i yra intervalo reikšmė;
A - sąlyginis nulis, kurį patogu naudoti didžiausio dažnio intervalo viduryje;
m1 yra pirmosios eilės momento kvadratas;
m2 - antros eilės momentas

(jei statistinėje visumoje požymis pasikeičia taip, kad yra tik du vienas kitą paneigiantys variantai, tai toks kintamumas vadinamas alternatyviu) gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

Šioje dispersijos formulėje pakeitę q = 1- p, gauname:

Dispersijos rūšys

Bendra dispersija matuoja bruožo kitimą visoje populiacijoje kaip visumoje, veikiant visiems šį kitimą sukeliantiems veiksniams. Jis lygus atskirų požymio x reikšmių nuokrypių nuo bendros vidutinės reikšmės x vidutiniam kvadratui ir gali būti apibrėžta kaip paprasta dispersija arba svertinė dispersija.

charakterizuoja atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, atsirandanti dėl neįvertintų veiksnių įtakos ir nepriklausoma nuo grupavimą pagrindžiančio ženklo faktoriaus. Tokia dispersija yra lygi X grupės bruožo atskirų verčių nuokrypių nuo aritmetinio grupės vidurkio vidutiniam kvadratui ir gali būti apskaičiuojama kaip paprasta dispersija arba kaip svertinė dispersija.

Šiuo būdu, dispersijos rodikliai grupės viduje bruožo kitimas grupėje ir nustatomas pagal formulę:

kur xi - grupės vidurkis;
ni yra vienetų skaičius grupėje.

Pavyzdžiui, grupės vidaus dispersijos, kurios turi būti nustatytos tiriant darbuotojų kvalifikacijos įtaką darbo našumo lygiui parduotuvėje, rodo kiekvienos grupės produkcijos svyravimus, kuriuos sukelia visi galimi veiksniai (techninė būklėįranga, įrankių ir medžiagų prieinamumas, darbuotojų amžius, darbo intensyvumas ir kt.), išskyrus kvalifikacinės kategorijos skirtumus (grupėje visi darbuotojai turi vienodą kvalifikaciją).

Vidurkis dispersijų grupės viduje atspindi atsitiktinumą, ty tą svyravimų dalį, kuri įvyko veikiant visiems kitiems veiksniams, išskyrus grupavimo veiksnį. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

Tai apibūdina sistemingą gauto bruožo kitimą, kuris atsiranda dėl bruožo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė, įtakos. Jis lygus grupės vidurkių nuokrypių nuo bendrojo vidurkio vidutiniam kvadratui. Tarpgrupinė dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

Nuokrypių pridėjimo taisyklė statistikoje

Pagal dispersijos pridėjimo taisyklė bendra dispersija yra lygi grupės vidaus ir tarpgrupinių dispersijų vidurkių sumai:

Šios taisyklės prasmė yra ta, kad bendra dispersija, atsirandanti veikiant visiems veiksniams, yra lygi dispersijų, atsirandančių veikiant visiems kitiems veiksniams, ir dispersijos, atsirandančios dėl grupavimo veiksnio, sumai.

Naudojant dispersijų pridėjimo formulę, iš dviejų žinomų dispersijų galima nustatyti trečiąjį nežinomąjį, taip pat spręsti apie grupavimo požymio įtakos stiprumą.

Dispersijos savybės

1. Jei visos atributo reikšmės sumažinamos (padidinamos) ta pačia pastovia reikšme, tai nuo to dispersija nepasikeis.
2. Jei visos požymio reikšmės sumažinamos (padidinamos) tiek pat kartų n, tai dispersija atitinkamai sumažės (padidės) n^2 kartus.

Kartu su požymio kitimo visoje populiacijoje tyrimu dažnai reikia atsekti kiekybinius požymio pokyčius grupėse, į kurias suskirstyta populiacija, taip pat tarp grupių. Šis variacijos tyrimas pasiekiamas atliekant skaičiavimus ir analizę įvairių rūšių dispersija.
Atskirkite bendrąją, tarpgrupinę ir vidinę dispersiją.
Bendra dispersija σ 2 matuoja bruožo kitimą visoje populiacijoje, veikiant visiems veiksniams, sukėlusiems šį kitimą, .

Tarpgrupinė dispersija (δ) apibūdina sistemingą variaciją, t.y. tiriamo požymio dydžio skirtumai, atsirandantys veikiant bruožui faktoriui, kuriuo grindžiamas grupavimas. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:
.

Dispersija grupės viduje (σ) atspindi atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, atsirandanti veikiant neatsižvelgtiems veiksniams ir nepriklausoma nuo bruožo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:
.

Vidurkis skirtumų grupės viduje: .

Yra įstatymas, jungiantis 3 sklaidos tipus. Bendra dispersija yra lygi tarpgrupinių ir tarpgrupinių dispersijų vidurkių sumai: .
Šis santykis vadinamas dispersijos pridėjimo taisyklė.

Analizėje plačiai naudojamas matas, kuris yra dispersijos tarp grupių santykis bendroje dispersijoje. Jis turi pavadinimą empirinis determinacijos koeficientas (η 2): .
Empirinio determinacijos koeficiento kvadratinė šaknis vadinama empirinis koreliacijos koeficientas (η):
.
Jis apibūdina atributo, kuriuo grindžiamas grupavimas, įtaką gauto požymio kitimui. Empirinis koreliacijos santykis svyruoja nuo 0 iki 1.
Jo praktinį panaudojimą parodysime sekančiame pavyzdyje (1 lentelė).

1 pavyzdys. 1 lentelė - NPO „Ciklonas“ vieno cecho dviejų darbuotojų grupių darbo našumas

Apskaičiuokite bendrus ir grupių vidurkius ir dispersijas:

Pradiniai vidinės ir tarpgrupinės sklaidos vidurkio skaičiavimo duomenys pateikti lentelėje. 2.
2 lentelė
Skaičiavimas ir δ 2 dviem darbuotojų grupėms.

Darbuotojų grupės	Darbuotojų skaičius, asm.	Vidutinis, det./shift.	Sklaida
Išlaikė techninį mokymą	5	95	42,0
Techniškai neapmokytas	5	81	231,2
Visi darbininkai	10	88	185,6

Paskaičiuokime balus. Vidutinis skirtumų grupės viduje:
.
Tarpgrupinė dispersija

Bendra dispersija:
Taigi empirinis koreliacijos santykis: .

Kartu su kiekybinių požymių kitimu galima pastebėti ir kokybinių požymių kitimą. Šis kitimo tyrimas atliekamas apskaičiuojant šių tipų dispersijas:

Akcijos dispersija grupės viduje nustatoma pagal formulę

kur n i– vienetų skaičius atskirose grupėse.
Tiriamo požymio dalis visoje populiacijoje, kuri nustatoma pagal formulę:
Trys dispersijos tipai yra tarpusavyje susiję taip:
.

Šis dispersijų santykis vadinamas požymio dalies dispersijos sudėjimo teorema.

Tačiau vien šios savybės studijuoti neužtenka atsitiktinis kintamasis. Įsivaizduokite du šaulius, kurie šaudo į taikinį. Vienas šaudo taikliai ir pataiko arti centro, o kitas... tiesiog linksminasi ir net nesitaiko. Bet juokingiausia tai vidurio rezultatas bus lygiai toks pat kaip ir pirmojo šaulio! Šią situaciją sąlyginai iliustruoja šie atsitiktiniai dydžiai:

„Snaiperio“ matematinis lūkestis yra lygus , tačiau „įdomiam žmogui“: - jis taip pat lygus nuliui!

Taigi reikia kiekybiškai įvertinti, kiek išsibarstę kulkos (atsitiktinio dydžio reikšmės), palyginti su taikinio centru (laukimas). gerai ir išsibarstymas iš lotynų kalbos išvertus tik kaip dispersija .

Pažiūrėkime, kaip tai apibrėžta. skaitinė charakteristika ant vieno iš 1 pamokos dalies pavyzdžių:

Ten radome nuviliančius matematinius šio žaidimo lūkesčius, o dabar turime apskaičiuoti jo dispersiją, kuri žymimas skersai .

Išsiaiškinkime, kiek „išsibarstę“ laimėjimai/pralaimėjimai, palyginti su vidutine verte. Akivaizdu, kad tam turime apskaičiuoti skirtumai tarp atsitiktinio dydžio reikšmės ir ji matematinis lūkestis:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Dabar lyg ir reikia susumuoti rezultatus, bet toks būdas nėra geras – dėl to, kad svyravimai į kairę vienas kitą panaikins su svyravimais į dešinę. Taigi, pavyzdžiui, „mėgėjų“ šaulys (pavyzdys aukščiau) skirtumai bus , o pridėjus jie duos nulį, todėl negausime jokio jo šaudymo sklaidos įvertinimo.

Norėdami išvengti šio susierzinimo, apsvarstykite moduliai skirtumai, bet techninių priežasčių požiūris įsitvirtino, kai jie yra kvadratiniai. Patogiau sprendimą išdėstyti lentelėje:

Ir čia reikia skaičiuoti svertinis vidurkis kvadratinių nuokrypių vertė. Kas tai? Tai jų tikėtina vertė, kuris yra sklaidos matas:

– apibrėžimas dispersija. Iš apibrėžimo iš karto aišku, kad dispersija negali būti neigiama- atkreipkite dėmesį į praktiką!

Prisiminkime, kaip rasti lūkestį. Padauginkite skirtumus kvadratu iš atitinkamų tikimybių (Lentelės tęsinys):
- vaizdžiai tariant, tai yra „traukos jėga“,
ir apibendrinkite rezultatus:

Ar nemanote, kad laimėjimų fone rezultatas pasirodė per didelis? Teisingai – mes žaidėme kvadratu, o norėdami grįžti į savo žaidimo dimensiją, turime išgauti Kvadratinė šaknis. Ši vertė vadinama standartinis nuokrypis ir žymimas graikiška raide „sigma“:

Kartais ši reikšmė vadinama standartinis nuokrypis .

Kokia jo prasmė? Jei nuo matematinio lūkesčio nukrypstame į kairę ir į dešinę standartiniu nuokrypiu:

– tada šiame intervale bus „koncentruotos“ labiausiai tikėtinos atsitiktinio dydžio reikšmės. Ką mes iš tikrųjų matome:

Tačiau atsitiko taip, kad analizuodami sklaidą beveik visada naudokite dispersijos sąvoką. Pažiūrėkime, ką tai reiškia žaidimų atžvilgiu. Jei šaulių atveju kalbame apie smūgių „tikslumą“ taikinio centro atžvilgiu, tai čia sklaida apibūdina du dalykus:

Pirma, akivaizdu, kad didėjant rodikliams didėja ir dispersija. Taigi, pavyzdžiui, jei padidinsime 10 kartų, tada matematinis lūkestis padidės 10 kartų, o dispersija padidės 100 kartų (kai tik tai kvadratinė vertė). Tačiau atkreipkite dėmesį, kad žaidimo taisyklės nepasikeitė! Pasikeitė tik įkainiai, grubiai tariant, statydavome 10 rublių, dabar 100.

Antras, įdomesnis dalykas, yra tas, kad dispersija apibūdina žaidimo stilių. Psichiškai nustatykite žaidimo įkainius tam tikru lygiu, ir pažiūrėkite, kas čia:

Mažos dispersijos žaidimas yra atsargus žaidimas. Žaidėjas linkęs rinktis patikimiausias schemas, kur vienu metu per daug nepralaimi/laimi. Pavyzdžiui, raudona/juoda sistema ruletėje (žr. 4 straipsnio pavyzdį atsitiktiniai dydžiai) .

Didelės dispersijos žaidimas. Ji dažnai vadinama dispersijažaidimas. Tai nuotykių kupinas arba agresyvus žaidimo stilius, kai žaidėjas pasirenka „adrenalino“ schemas. Prisiminkime bent "Martingale", kuriame rizikuojamos sumos yra didesnės nei ankstesnės pastraipos „tylus“ žaidimas.

Situacija pokeryje yra orientacinė: yra vadinamųjų ankštusžaidėjai, kurie linkę būti atsargūs ir „purtyti“ dėl savo žaidimas reiškia (bankroll). Nenuostabu, kad jų bankrotas mažai svyruoja (maža dispersija). Ir atvirkščiai, jei žaidėjas turi didelę dispersiją, tada jis yra agresorius. Jis dažnai rizikuoja, daro didelius statymus ir gali sulaužyti didžiulį banką ir sugriauti.

Tas pats vyksta Forex ir panašiai – pavyzdžių yra daug.

Be to, visais atvejais nesvarbu, ar žaidimas yra už centą, ar už tūkstančius dolerių. Kiekvienas lygis turi mažos ir didelės dispersijos žaidėjus. Na, už vidutinį laimėjimą, kaip prisimename, „atsakingas“ tikėtina vertė.

Tikriausiai pastebėjote, kad dispersijos nustatymas yra ilgas ir kruopštus procesas. Bet matematika dosni:

Sklaidos nustatymo formulė

Ši formulė tiesiogiai išvedami iš dispersijos apibrėžimo, ir mes nedelsdami jį išleidžiame į apyvartą. Nukopijuosiu plokštę su mūsų žaidimu iš viršaus:

ir surastas lūkestis .

Dispersiją apskaičiuojame antruoju būdu. Pirmiausia suraskime matematinį lūkestį – atsitiktinio dydžio kvadratą. Autorius matematinio lūkesčio apibrėžimas:

Tokiu atveju:

Taigi, pagal formulę:

Kaip sakoma, pajusk skirtumą. Ir praktiškai, žinoma, geriau taikyti formulę (nebent sąlyga reikalauja kitaip).

Įvaldome sprendimo ir projektavimo techniką:

6 pavyzdys

Raskite jo matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Ši užduotis randama visur ir, kaip taisyklė, neturi prasmės.
Galite įsivaizduoti kelias lemputes su skaičiais, kurios su tam tikra tikimybe užsidega beprotnamyje :)

Sprendimas: Pagrindinius skaičiavimus patogu apibendrinti lentelėje. Pirmiausia viršutinėse dviejose eilutėse įrašome pradinius duomenis. Tada apskaičiuojame produktus, tada ir galiausiai sumas dešiniajame stulpelyje:

Tiesą sakant, beveik viskas yra paruošta. Trečioje eilutėje buvo nupieštas paruoštas matematinis lūkestis: .

Sklaida apskaičiuojama pagal formulę:

Ir galiausiai standartinis nuokrypis:
– asmeniškai aš dažniausiai apvalinu iki 2 skaitmenų po kablelio.

Visus skaičiavimus galima atlikti skaičiuotuvu, o dar geriau - „Excel“:

Čia sunku suklysti :)

Atsakymas:

Norintys gali dar labiau supaprastinti savo gyvenimą ir pasinaudoti mano teikiamomis galimybėmis skaičiuotuvas (demo versija), kuris ne tik akimirksniu išspręs šią užduotį, bet ir statyti teminė grafika (greitai ateik). Programa gali parsisiųsti bibliotekoje– jei atsisiuntėte bent vieną mokomoji medžiaga arba gauti Kitas būdas. Ačiū už paramą projektui!

Pora užduočių savarankiškam sprendimui:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite ankstesnio pavyzdžio atsitiktinio dydžio dispersiją pagal apibrėžimą.

Ir panašus pavyzdys:

8 pavyzdys

Diskretus atsitiktinis kintamasis pateikiamas pagal savo paskirstymo dėsnį:

Taip, atsitiktinio dydžio reikšmės gali būti gana didelės (pavyzdys iš tikro darbo), o čia, jei įmanoma, naudokite Excel. Kaip, beje, 7 pavyzdyje - greičiau, patikimiau ir maloniau.

Sprendimai ir atsakymai puslapio apačioje.

2-osios pamokos dalies pabaigoje išanalizuosime dar vieną tipišką užduotį, galima sakyti net nedidelį rebusą:

9 pavyzdys

Diskretus atsitiktinis dydis gali turėti tik dvi reikšmes: ir , ir . Yra žinomos tikimybės, matematinės lūkesčiai ir dispersija.

Sprendimas: Pradėkime nuo nežinomos tikimybės. Kadangi atsitiktinis dydis gali turėti tik dvi reikšmes, tada atitinkamų įvykių tikimybių suma:

ir nuo tada .

Belieka rasti..., lengva pasakyti :) Bet va, prasidėjo. Pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą:
- pakeiskite žinomas reikšmes:

- ir nieko daugiau iš šios lygties negalima išspausti, išskyrus tai, kad galite ją perrašyti įprasta kryptimi:

arba:

Apie tolimesnius veiksmus, manau, galite spėti. Sukurkime ir išspręskime sistemą:

Dešimtainės- tai, žinoma, yra visiška gėda; padauginkite abi lygtis iš 10:

ir padalinti iš 2:

Taip geriau. Iš 1 lygties išreiškiame:
(tai lengviausias būdas)- pakaitalas 2-oje lygtyje:

Mes statome kvadratu ir padaryti supaprastinimus:

Mes dauginame iš:

Kaip rezultatas, kvadratinė lygtis, suraskite jo diskriminaciją:
- puikus!

ir gauname du sprendimus:

1) jei , tada ;

2) jei , tada.

Pirmoji verčių pora atitinka sąlygą. NUO didelė tikimybė viskas teisinga, bet vis dėlto užsirašykime paskirstymo dėsnį:

ir atlikti patikrinimą, būtent, rasti lūkesčius: