Diskretusis atsitiktinis dydis ir jo skaitinės charakteristikos. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai

Viena iš svarbiausių tikimybių teorijos sąvokų yra sąvoka atsitiktinis kintamasis.

Atsitiktinis yra vadinami dydžio, kuri, atlikus testus, įgauna tam tikras galimas reikšmes, kurios iš anksto nežinomos ir priklauso nuo atsitiktinių priežasčių, į kurias negalima iš anksto atsižvelgti.

Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis X, Y, Z arba lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis su dešiniuoju indeksu ir reikšmėmis, kurios gali įgyti atsitiktines reikšmes - atitinkamas mažas lotyniškos abėcėlės raides x, y, z ir tt

Atsitiktinio dydžio sąvoka yra glaudžiai susijusi su atsitiktinio įvykio samprata. Ryšys su atsitiktiniu įvykiu slypi tame, kad tam tikros skaitinės reikšmės priėmimas atsitiktiniu dydžiu yra atsitiktinis įvykis, kuriam būdinga tikimybė .

Praktikoje yra du pagrindiniai atsitiktinių dydžių tipai:

1. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai;

2. Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai.

Atsitiktinis dydis yra atsitiktinių įvykių skaitmeninė funkcija.

Pavyzdžiui, atsitiktinis dydis yra taškų, numestų metant kauliuką, skaičius arba atsitiktinai iš tiriamosios grupės pasirinkto mokinio ūgis.

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai vadinami atsitiktiniais dydžiais, kurie ima tik vienas nuo kito nutolusias reikšmes, kurias galima surašyti iš anksto.

Paskirstymo įstatymas(paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias tiriamojo dydžio skaitines charakteristikas (pavyzdžiui, jo vidutinę vertę ir galimą nuokrypį nuo jos), kad būtų galima atsakyti į užduotą klausimą. Panagrinėkime pagrindines skaitines diskrečiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinamas bet koks santykis , nustatant ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir atitinkamų tikimybių .

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima pavaizduoti kaip lenteles:

			…	…
			…	…

Visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybių suma lygi vienetui, t.y.

Galima pavaizduoti paskirstymo dėsnį grafiškai: ant abscisių ašies nubraižytos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, o ordinačių ašyje - šių reikšmių tikimybės; susidarę taškai sujungiami atkarpomis. Sukonstruota polilinija vadinama paskirstymo daugiakampis.

Pavyzdys. Medžiotojas, turintis 4 šovinius, šaudo į žaidimą iki pirmojo smūgio arba išnaudojami visi šoviniai. Tikimybė pataikyti į pirmąjį šūvį yra 0,7, su kiekvienu sekančiu šūviu ji sumažėja 0,1. Surašyti medžiotojo sunaudotų šovinių skaičiaus paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Kadangi medžiotojas, turėdamas 4 šovinius, gali padaryti keturis šūvius, tada atsitiktinis dydis X- medžiotojo sunaudotų šovinių skaičius gali būti 1, 2, 3, 4. Norėdami rasti atitinkamas tikimybes, pristatome įvykius:

- „Pataik, kada aš - omo šūvis “;

- „praleisk aš -šūvis “, įvykiai ir yra poros nepriklausomi.

Atsižvelgiant į problemos būklę, turime:

Taikant nepriklausomų įvykių daugybos teoremą ir nenuoseklių įvykių sudėties teoremą, randame:

(medžiotojas pataikė į taikinį pirmu šūviu);

(medžiotojas antru šūviu pataikė į taikinį);

(medžiotojas trečiu šūviu pataikė į taikinį);

(medžiotojas pataikė į taikinį ketvirtu šūviu, arba nepataikė visus keturis kartus).

Patikrinkite: – tiesa.

Taigi atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X atrodo kaip:


	0,7	0,18	0,06	0,06

Pavyzdys. Darbuotojas valdo tris mašinas. Tikimybė, kad pirmos mašinos nereikės reguliuoti per valandą, yra 0,9, antrosios – 0,8, trečiosios – 0,7. Sudarykite mašinų, kurias reikės pakoreguoti per valandą, paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Atsitiktinė vertė X- mašinų, kurias reikia reguliuoti per valandą, skaičius gali būti 0,1, 2, 3. Norėdami rasti atitinkamas tikimybes, pristatome įvykius:

- “i- mašiną reikės sureguliuoti per valandą “;

- “i- staklių nereikės reguliuoti per valandą “.

Pagal problemos sąlygą turime:

, .

1 apibrėžimas

Atsitiktinis kintamasis $ X $ vadinamas diskrečiu (nepertraukiamu), jei jo reikšmių aibė yra begalinė arba baigtinė, bet skaičiuojama.

Kitaip tariant, dydis vadinamas diskrečiu, jei jo reikšmes galima sunumeruoti.

Atsitiktinį kintamąjį galite apibūdinti naudodami paskirstymo dėsnį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, kurios pirmoje eilutėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės didėjančia tvarka, o antroje eilutėje yra atitinkamos jų tikimybės. vertės:

1 paveikslas.

kur $ р1 + р2 + ... + рn = 1 $.

Ši lentelė yra diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymas.

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių rinkinys yra begalinis, tada eilutė $ р1 + р2 + ... + рn + ... $ susilieja ir jos suma bus lygi $ 1 $.

Grafiškai galima pavaizduoti diskretinio atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo dėsnį, kuriam (stačiakampėje) koordinačių sistemoje konstruojama polilinija, kuri nuosekliai jungia taškus su koordinatėmis $ (xi; pi), i = 1,2, . .. n $. Skambinta linija paskirstymo daugiakampis.

2 pav.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti analitiškai (naudojant formulę):

$ P (X = xi) = \ varphi (xi), i = 1,2,3 ... n $.

Veiksmai pagal atskiras tikimybes

Sprendžiant daugelį tikimybių teorijos uždavinių, būtina atlikti diskretinio atsitiktinio dydžio padauginimo iš konstantos, dviejų atsitiktinių dydžių pridėjimo, padauginimo ir atėmimo iki laipsnio operacijas. Tokiais atvejais būtina laikytis šių atsitiktinių diskrečiųjų kintamųjų taisyklių:

3 apibrėžimas

Daugybos būdu Diskretusis atsitiktinis kintamasis $ X $ konstantoje $ K $ vadinamas diskrečiuoju atsitiktiniu dydžiu $ Y = KX, $ kuris nustatomas pagal lygybes: $ y_i = Kx_i, \ \ p \ left (y_i \ right) = p \ kairėje (x_i \ dešinėje) = p_i, \ \ i = \ eilutėje (1, \ n). $

4 apibrėžimas

Iškviečiami du atsitiktiniai dydžiai $ x $ ir $ y $ nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgijo antrasis dydis.

5 apibrėžimas

Suma du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $ X $ ir $ Y $ vadinami atsitiktiniu dydžiu $ Z = X + Y, $ nustatomas lygybėmis: $ z_ (ij) = x_i + y_j $, $ P \ kairėje (z_ (ij) ) \ right) = P \ left (x_i \ right) P \ left (y_j \ right) = p_ip "_j $, $ i = \ overline (1, n) $, $ j = \ overline (1, m) $ , $ P \ kairė (x_i \ dešinė) = p_i $, $ P \ kairė (y_j \ dešinė) = p "_j $.

6 apibrėžimas

Daugybos būdu du nepriklausomi diskretieji atsitiktiniai dydžiai $ X $ ir $ Y $ vadinami atsitiktiniu dydžiu $ Z = XY, $ nustatoma pagal lygybes: $ z_ (ij) = x_iy_j $, $ P \ kairėje (z_ (ij) \ dešinėje) = P \ kairėje ( x_i \ dešinėje) P \ kairėje (y_j \ dešinėje) = p_ip "_j $, $ i = \ overline (1, n) $, $ j = \ overline (1, m) $, $ P \ left (x_i \ right ) = p_i $, $ P \ left (y_j \ right) = p "_j $.

Atsižvelkime į tai, kad kai kurie produktai $ x_ (i \ \ \ \ \) y_j $ gali būti lygūs vienas kitam. Šiuo atveju sandaugos pridėjimo tikimybė yra lygi atitinkamų tikimybių sumai.

Pavyzdžiui, jei $ x_2 \ \ y_3 = x_5 \ \ y_7, \ $, $ x_2y_3 $ (arba to paties $ x_5y_7 $) tikimybė bus $ p_2 \ cdot p "_3 + p_5 \ cdot p" _7. $

Tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma sumai. Jei $ x_1 + \ y_2 = x_4 + \ \ y_6, $, tada tikimybė $ x_1 + \ y_2 $ (arba ta pati $ x_4 + \ y_6 $) bus lygi $ p_1 \ cdot p "_2 + p_4 \ cdot p" _6 .$

Letnm atsitiktiniai dydžiai $ X $ ir $ Y $ pateikiami paskirstymo dėsniais:

3 pav.

Kur $ p_1 + p_2 + p_3 = 1, \ \ \ p "_1 + p" _2 = 1. $ Tada sumos $ X + Y $ pasiskirstymo dėsnis turės formą

4 pav.

Ir produkto $ XY $ platinimo dėsnis turės formą

5 pav.

Paskirstymo funkcija

Paskirstymo funkcija taip pat pateikia išsamų atsitiktinio dydžio aprašymą.

Geometriškai pasiskirstymo funkcija paaiškinama kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $ X $ įgaus reikšmę, kuri skaičių tiesėje atvaizduojama tašku, esančiu kairėje taško $ x $ pusėje.

Galima išskirti dažniausiai pasitaikančius diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnius:

Binominio skirstymo dėsnis
Poisson platinimo dėsnis
Geometrinio pasiskirstymo dėsnis
Hipergeometrinio skirstinio dėsnis

Pateiktiems diskrečiųjų atsitiktinių dydžių skirstiniams jų reikšmių tikimybių, taip pat skaitinių charakteristikų (matematinių lūkesčių, dispersijos ir kt.) skaičiavimas atliekamas pagal tam tikras „formules“. Todėl labai svarbu žinoti šiuos skirstinių tipus ir pagrindines jų savybes.

1. Binominio skirstinio dėsnis.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui $ X $ taikomas tikimybių pasiskirstymo dvinario dėsnis, jei jis įgyja reikšmes $ 0, \ 1, \ 2, \ \ taškai, \ n $ su tikimybėmis $ P \ kairėje (X = k \ dešinėje ) = C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ kairėje (1-p \ dešinėje)) ^ (nk) $. Tiesą sakant, atsitiktinis kintamasis $ X $ yra įvykio $ A $ atvejų skaičius $ n $ nepriklausomuose bandymuose. Atsitiktinio dydžio $ X $ tikimybių skirstinio dėsnis:

$ \ pradėti (masyvas) (| c | c |)
\ hline
X_i & 0 & 1 & \ taškai & n \\
\ hline
p_i & P_n \ kairė (0 \ dešinė) & P_n \ kairė (1 \ dešinė) & \ taškai & P_n \ kairė (n \ dešinė) \\
\ hline
\ pabaiga (masyvas) $

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra $ M \ left (X \ right) = np $, dispersija yra $ D \ left (X \ right) = np \ left (1-p \ right) $.

Pavyzdys ... Šeima augina du vaikus. Atsižvelgdami į berniuko ir mergaitės gimimo tikimybę, lygią $ 0,5 $, raskite atsitiktinio dydžio $ \ xi $ pasiskirstymo dėsnį - berniukų skaičių šeimoje.

Tegul atsitiktinis dydis $ \ xi $ yra berniukų skaičius šeimoje. Reikšmės, kurias gali užimti $ \ xi: \ 0, \ 1, \ 2 $. Šių reikšmių tikimybes galima rasti pagal formulę $ P \ left (\ xi = k \ right) = C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ left (1-p \ right)) ^ (nk ) $, kur $ n = 2 $ - nepriklausomų bandymų skaičius, $ p = 0,5 $ - įvykio atsiradimo tikimybė $ n $ bandymų serijoje. Mes gauname:

$ P \ kairė (\ xi = 0 \ dešinė) = C ^ 0_2 \ cdot (0,5) ^ 0 \ cdot (\ kairė (1-0,5 \ dešinė)) ^ (2-0) = (0, 5) ^ 2 = 0,25; $

$ P \ kairė (\ xi = 1 \ dešinė) = C ^ 1_2 \ cdot 0,5 \ cdot (\ kairė (1-0,5 \ dešinė)) ^ (2-1) = 2 \ cdot 0,5 \ cdot 0,5 = 0,5; $

$ P \ kairė (\ xi = 2 \ dešinė) = C ^ 2_2 \ cdot (0,5) ^ 2 \ cdot (\ kairė (1-0,5 \ dešinė)) ^ (2-2) = (0, 5) ^ 2 = 0,25 USD

Tada atsitiktinio dydžio $ \ xi $ pasiskirstymo dėsnis yra reikšmių $ 0, \ 1, \ 2 $ ir jų tikimybių atitikimas, tai yra:

$ \ pradėti (masyvas) (| c | c |)
\ hline
\ xi & 0 & 1 ir 2 \\
\ hline
P (\ xi) ir 0,25 ir 0,5 ir 0,25 \\
\ hline
\ pabaiga (masyvas) $

Pasiskirstymo dėsnio tikimybių suma turi būti lygi $ 1 $, tai yra $ \ sum _ (i = 1) ^ (n) P (\ xi _ ((\ rm i))) = 0,25 + 0,5 + 0, 25 = 1 USD.

Tikėtis $ M \ kairė (\ xi \ dešinė) = np = 2 \ cdot 0,5 = 1 $, dispersija $ D \ kairė (\ xi \ dešinė) = np \ kairė (1-p \ dešinė) = 2 \ cdot 0,5 \ cdot 0,5 = 0,5 $, standartinis nuokrypis $ \ sigma \ kairėn (\ xi \ dešinėn) = \ sqrt (D \ kairėn (\ xi \ dešinėn)) = \ sqrt (0,5 ) \ apytiksliai 0,707 $.

2. Puasono pasiskirstymo dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $ X $ gali turėti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes $ 0, \ 1, \ 2, \ \ dots, \ n $ su tikimybėmis $ P \ left (X = k \ right) = (( (\ lambda) ^ k ) \ per (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

komentuoti... Šio skirstinio ypatumas yra tas, kad remiantis eksperimentiniais duomenimis randame $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $ įverčius, jei gauti įverčiai yra arti vienas kito, tada turime pagrindo teigti, kad atsitiktiniam dydžiui galioja Puasono skirstinio dėsnis.

Pavyzdys ... Atsitiktinių dydžių, kuriems taikomas Puasono skirstymo įstatymas, pavyzdžiai gali būti: automobilių, kuriuos rytoj bus aptarnaujama degalinėje, skaičius; pagamintų gaminių nekokybiškų gaminių skaičius.

Pavyzdys ... Gamykla į bazę išsiuntė 500 USD produktų. Tikimybė, kad gaminys bus sugadintas gabenant, yra 0,002 USD. Raskite atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo dėsnį, lygų sugadintų gaminių skaičiui; kuri yra lygi $ M \ kairė (X \ dešinė), \ D \ kairė (X \ dešinė) $.

Tegul diskretinis atsitiktinis kintamasis $ X $ yra sugadintų gaminių skaičius. Toks atsitiktinis dydis paklūsta Puasono skirstinio dėsniui su parametru $ \ lambda = np = 500 \ cdot 0,002 = 1 $. Reikšmių tikimybės yra $ P \ left (X = k \ right) = (((\ lambda) ^ k) \ over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$ P \ kairė (X = 0 \ dešinė) = ((1 ^ 0) \ virš (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$ P \ kairė (X = 1 \ dešinė) = ((1 ^ 1) \ virš (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$ P \ kairė (X = 2 \ dešinė) = ((1 ^ 2) \ virš (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$ P \ kairė (X = 3 \ dešinė) = ((1 ^ 3) \ virš (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$ P \ kairė (X = 4 \ dešinė) = ((1 ^ 4) \ virš (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$ P \ kairė (X = 5 \ dešinė) = ((1 ^ 5) \ virš (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$ P \ kairė (X = 6 \ dešinė) = ((1 ^ 6) \ virš (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$ P \ kairė (X = k \ dešinė) = (((\ lambda) ^ k) \ virš (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo dėsnis:

$ \ pradėti (masyvas) (| c | c |)
\ hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\ hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\ lambda) ^ k) \ virš (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\ hline
\ pabaiga (masyvas) $

Tokio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija yra lygūs vienas kitam ir yra lygūs parametrui $ \ lambda $, tai yra $ M \ left (X \ right) = D \ left (X \ right) = \ lambda = 1 USD.

3. Geometrinio skirstinio dėsnis.

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis $ X $ gali turėti tik natūralias reikšmes $ 1, \ 2, \ \ dots, \ n $ su tikimybėmis $ P \ left (X = k \ right) = p (\ left (1-p) \ dešinėje)) ^ (k-1), \ k = 1, \ 2, \ 3, \ \ taškai $, tada jie sako, kad toks atsitiktinis dydis $ X $ paklūsta geometriniam tikimybių pasiskirstymo dėsniui. Tiesą sakant, atrodo, kad geometrinis pasiskirstymas yra Bernoulli bandymai prieš pirmąją sėkmę.

Pavyzdys ... Atsitiktinių dydžių su geometriniu pasiskirstymu pavyzdžiai gali būti: šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį; prietaiso bandymų skaičius prieš pirmąjį gedimą; monetų metimų skaičius prieš atsitrenkiant į pirmąsias galvas ir kt.

Atsitiktinių dydžių, kuriems taikomas geometrinis pasiskirstymas, matematinė prognozė ir dispersija yra atitinkamai $ M \ kairė (X \ dešinė) = 1 / p $, $ D \ kairė (X \ dešinė) = \ kairė (1-p \ dešinė) ) / p ^ 2 USD.

Pavyzdys ... Žuvies kelyje į neršto vietą yra 4 USD šliuzas. Tikimybė, kad žuvys praeis per kiekvieną vartą, yra $ p = 3/5 $. Sukurkite atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo eilutę - žuvų pravažiuotų šliuzų skaičių prieš pirmąjį sulaikymą prie šliuzo. Raskite $ M \ kairę (X \ dešinę), \ D \ kairę (X \ dešinę), \ \ sigma \ kairę (X \ dešinę) $.

Tegul atsitiktinis dydis $ X $ yra žuvų pravažiuotų šliuzų skaičius prieš pirmąjį sustojimą prie šliuzo. Tokiam atsitiktiniam dydžiui galioja geometrinis tikimybių skirstinio dėsnis. Reikšmės, kurias gali gauti atsitiktinis kintamasis $ X, yra: $ 1, 2, 3, 4. Šių reikšmių tikimybės apskaičiuojamos pagal formulę: $ P \ left (X = k \ right) = pq ^ (k-1) $, kur: $ p = 2/5 $ - tikimybė, kad žuvis bus išgauta per šliuzą, $ q = 1-p = 3/5 $ - tikimybė, kad žuvis praeis pro šliuzą, $ k = 1, \ 2, \ 3, \ 4 $.

$ P \ kairėn (X = 1 \ dešinėn) = ((2) \ virš (5)) \ cdot (\ kairėn (((3) \ virš (5)) \ dešinėn)) ^ 0 = ((2) \ virš (5)) = 0,4; $

$ P \ kairė (X = 2 \ dešinė) = ((2) \ virš (5)) \ cdot ((3) \ virš (5)) = ((6) \ virš (25)) = 0,24; $

$ P \ kairėn (X = 3 \ dešinėn) = ((2) \ virš (5)) \ cdot (\ kairėn (((3) \ virš (5)) \ dešinėn)) ^ 2 = ((2) \ virš (5)) \ cdot ((9) \ virš (25)) = ((18) \ virš (125)) = 0,144; $

$ P \ kairėn (X = 4 \ dešinėn) = ((2) \ virš (5)) \ cdot (\ kairėn (((3) \ virš (5)) \ dešinėn)) ^ 3 + (\ kairėn (( (3) \ virš (5)) \ dešinė)) ^ 4 = ((27) \ virš (125)) = 0,216. $

$ \ pradėti (masyvas) (| c | c |)
\ hline
X_i ir 1 ir 2 ir 3 ir 4 \\
\ hline
P \ kairė (X_i \ dešinė) ir 0,4 ir 0,24 ir 0,144 ir 0,216 \\
\ hline
\ pabaiga (masyvas) $

Tikėtina vertė:

$ M \ kairė (X \ dešinė) = \ suma ^ n_ (i = 1) (x_ip_i) = 1 \ cdot 0,4 + 2 \ cdot 0,24 + 3 \ cdot 0,144 + 4 \ cdot 0,216 = 2,176. $

Sklaida:

$ D \ kairė (X \ dešinė) = \ suma ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2 =) 0,4 \ cdot (\ kairė (1–2 176 \ dešinė)) ^ 2 + 0,24 \ cdot (\ kairė (2–2 176 \ dešinė)) ^ 2 + 0,144 \ cdot (\ kairė (3–2 176 \ dešinė)) ^ 2 + $

$ + \ 0,216 \ cdot (\ kairė (4–2,176 \ dešinė)) ^ 2 \ apytiksliai 1,377. $

Standartinis nuokrypis:

$ \ sigma \ kairė (X \ dešinė) = \ kvadratas (D \ kairė (X \ dešinė)) = \ kvadratas (1 377) \ maždaug 1 173. $

4. Hipergeometrinio skirstinio dėsnis.

Jei $ N $ objektai, tarp kurių $ m $ objektai turi nurodytą savybę. Atsitiktinai, negrąžinant, yra nuskaitoma $ n $ objektų, tarp kurių yra $ k $ objektų, turinčių nurodytą savybę. Hipergeometrinis skirstinys leidžia įvertinti tikimybę, kad imtyje esantys objektai tiksliai $ k $ turi tam tikrą savybę. Tegul atsitiktinis kintamasis $ X $ yra objektų skaičius imtyje su nurodyta savybe. Tada atsitiktinio dydžio $ X $ reikšmių tikimybės:

$ P \ kairė (X = k \ dešinė) = ((C ^ k_mC ^ (n-k) _ (N-m)) \ virš (C ^ n_N)) $

komentuoti... HYPERGEOMET statistinė funkcija $ f_x $ Function Wizard programoje Excel suteikia galimybę nustatyti tikimybę, kad tam tikras skaičius testų bus sėkmingas.

$ f_x \ iki $ statistiniai$\ iki $ HIPERGEOMETA$\ iki $ Gerai... Pasirodys dialogo langas, kurį reikia užbaigti. Grafike Numeris_sample_samples nurodome $ k $ reikšmę. Mėginio_dydis yra lygus $ n $. Grafike # populiacijos_sėkmė nurodome $ m $ reikšmę. Populiacijos_dydis yra lygus $ N $.

Diskretaus atsitiktinio dydžio $ X $ matematinė prognozė ir dispersija, atsižvelgiant į geometrinio skirstymo dėsnį, yra atitinkamai lygi $ M \ kairė (X \ dešinė) = nm / N $, $ D \ kairė (X \ dešinė) = ((nm \ kairė (1 - ((m) \ virš (N))) \ dešinė) \ kairė (1 - (n) \ virš (N)) \ dešinė)) \ virš (N-1)) $.

Pavyzdys ... Banko kredito skyriuje dirba 5 aukštąjį finansinį išsilavinimą turintys ir 3 aukštąjį teisinį išsilavinimą turintys specialistai. Banko vadovybė nusprendė kvalifikacijos kelti 3 specialistus, atrinkusius atsitiktine tvarka.

a) Paskirstyti aukštąjį finansinį išsilavinimą turinčių specialistų, kurie gali būti nukreipti į profesinį tobulėjimą, skaičių;

b) Raskite šio skirstinio skaitines charakteristikas.

Tegul atsitiktinis dydis $ X $ yra specialistų, turinčių aukštąjį finansinį išsilavinimą, skaičius tarp trijų atrinktų. Vertės, kurias gali gauti $ X, yra: 0, \ 1, \ 2, \ 3 $. Šis atsitiktinis kintamasis $ X $ yra paskirstytas hipergeometriniame skirstinyje su parametrais: $ N = 8 $ - populiacijos dydis, $ m = 5 $ - sėkmingų agregatų skaičius, $ n = 3 $ - imties dydis, $ k = 0 , \ 1, \ 2, \ 3 $ - sėkmingų atrankos skaičius. Tada tikimybes $ P \ kairėje (X = k \ dešinėje) $ galima apskaičiuoti pagal formulę: $ P (X = k) = (C_ (m) ^ (k) \ cdot C_ (Nm) ^ (nk) \ virš C_ ( N) ^ (n)) $. Mes turime:

$ P \ kairė (X = 0 \ dešinė) = ((C ^ 0_5 \ cdot C ^ 3_3) \ per (C ^ 3_8)) = ((1) \ virš (56)) \ apytiksliai 0,018; $

$ P \ kairė (X = 1 \ dešinė) = ((C ^ 1_5 \ cdot C ^ 2_3) \ per (C ^ 3_8)) = ((15) \ virš (56)) \ apytiksliai 0,268; $

$ P \ kairė (X = 2 \ dešinė) = ((C ^ 2_5 \ cdot C ^ 1_3) \ per (C ^ 3_8)) = ((15) \ virš (28)) \ apytiksliai 0,536; $

$ P \ kairė (X = 3 \ dešinė) = ((C ^ 3_5 \ cdot C ^ 0_3) \ per (C ^ 3_8)) = ((5) \ virš (28)) \ apytiksliai 0,179. $

Tada atsitiktinio dydžio $ X $ pasiskirstymo eilutė:

$ \ pradėti (masyvas) (| c | c |)
\ hline
X_i ir 0 ir 1 ir 2 ir 3 \\
\ hline
p_i ir 0,018 ir 0,268 ir 0,536 ir 0,179 \\
\ hline
\ pabaiga (masyvas) $

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $ X $ skaitines charakteristikas pagal bendrąsias hipergeometrinio skirstinio formules.

$ M \ kairė (X \ dešinė) = ((nm) \ virš (N)) = ((3 \ ctaškas 5) \ virš (8)) = ((15) \ virš (8)) = 1 875. $

$ D \ kairė (X \ dešinė) = ((nm \ kairė (1 - ((m) \ virš (N)) \ dešinė) \ kairė (1 - ((n) \ virš (N)) \ dešinė)) \ virš (N-1)) = ((3 \ cdot 5 \ cdot \ left (1 - (5) \ over (8)) \ right) \ cdot \ left (1 - (3) \ over (8 )) \ dešinėje)) \ virš (8-1)) = ((225) \ virš (448)) \ maždaug 0,502. $

$ \ sigma \ kairė (X \ dešinė) = \ sqrt (D \ kairė (X \ dešinė)) = \ kvadratas (0,502) \ apytiksliai 0,7085. $

Paslaugos tikslas... Internetinis skaičiuotuvas naudojamas atsitiktinio dydžio X – atliktų eksperimentų skaičiaus – pasiskirstymo lentelei sudaryti ir apskaičiuojant visas serijos charakteristikas: matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį. Ataskaita su sprendimu sudaroma Word formatu.

1 pavyzdys. Urnoje baltas smėlis juodi rutuliai. Kamuoliukai iš urnos išimami atsitiktinai, negrįžtant, kol pasirodo baltas rutulys. Kai tik tai įvyksta, procesas sustoja.
Šio tipo užduotys yra susijusios su geometrinio skirstinio sudarymo užduotimi.

2 pavyzdys. Du Trys šauliai paleidžia vieną šūvį į taikinį. Tikimybė, kad jį pataikys pirmasis šaulys , Antras - ... Nubraižykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – smūgių į taikinį skaičių.

2a pavyzdys. Šaulys paleidžia du tris keturis šūvius. Tikimybė pataikyti atitinkamą šūvį yra , ... Pirmą kartą praleidus šaulys tolimesnėse varžybose nedalyvauja. Nubraižykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – smūgių į taikinį skaičių.

3 pavyzdys. Partijoje detales brokuotas standartas. Inspektorius atsitiktinai ištraukia detales. Nubraižykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį - sugedusių dalių skaičių imtyje.
Panaši užduotis: Krepšelyje yra m raudonų ir n mėlynų kamuoliukų. Atsitiktinai nupieškite k kamuoliukus. Nubraižykite DSV X pasiskirstymo dėsnį – mėlynų rutuliukų atsiradimą.
žiūrėkite kitų sprendimų pavyzdžius.

4 pavyzdys. Tikimybė, kad įvykis įvyks vieno bandymo metu, yra ... Pagaminta bandymai. Nubraižykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – įvykio pasikartojimų skaičių.
Panašios užduotys šio tipo paskirstymui:
1. Nubraižykite smūgių keturiais šūviais atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį, jei tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8.
2. Moneta apverčiama 7 kartus. Raskite herbo pasikartojimų skaičiaus matematinį lūkestį ir dispersiją. Padarykite paskirstymo lentelę X – herbo atsiradimo kartų skaičius.

1 pavyzdys. Mestos trys monetos. Tikimybė numesti emblemą vienu metimu yra 0,5. Nubraižykite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį – išmestų emblemų skaičių.
Sprendimas.
Tikimybė, kad nenukrito nei vienas herbas: P (0) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125
P (1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P (2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Tikimybė, kad nukrito trys emblemos: P (3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnis:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Patikrinkite: P = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

2 pavyzdys. Tikimybė vienam šauliui vienu šūviu pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,8, antrajam šauliui - 0,85. Šauliai paleido vieną šūvį į taikinį. Atsižvelgdami į tai, kad atskirų šaulių pataikyti į taikinį yra nepriklausomi įvykiai, suraskite įvykio A tikimybę – tiksliai vienas smūgis į taikinį.
Sprendimas.
Apsvarstykite įvykį A – vienas smūgis į taikinį. Galimos šio įvykio parinktys yra šios:

Pirmasis šaulys pataiko, antrasis šaulys nepataiko: P (A / H1) = p 1 * (1-p 2) = 0,8 * (1-0,85) = 0,12
Pirmasis šaulys nepataikė, antrasis šaulys pataikė į taikinį: P (A / H2) = (1-p 1) * p 2 = (1-0,8) * 0,85 = 0,17
Pirmoji ir antroji strėlės pataikė į taikinį nepriklausomai viena nuo kitos: P (A / H1H2) = p 1 * p 2 = 0,8 * 0,85 = 0,68

Tada įvykio A tikimybė – tiksliai vienas smūgis į taikinį, bus lygi: P (A) = 0,12 + 0,17 + 0,68 = 0,97

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 ... Loterijoje išleista 100 bilietų. Buvo žaidžiamas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X paskirstymo dėsnį – galimo pelno kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti yra 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir už laimėjimą 50 USD. - p 3 = 0,01. Taigi:


	0,89	0,10	0,01

Lengva valdyti:.

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį, iš anksto susipažinusį su reklama. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus pasiskirstymo seką.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą p = 0,6. Kur: q = 1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sukurkite platinimo seriją:


p i		0,24

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio skirstiniu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per įtampos šuolių tinkle.

Sprendimas. Apsvarstykite Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad į n bandymų įvykis A pasirodys tiksliai k kartą: , arba:


	q n					p n

V Grįžkime prie problemos.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 = 0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 = 1 - vieno elemento gedimas;

x 2 = 2 - dviejų elementų gedimas;

x 3 = 3 - visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tada q = 1 - p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Kontrolė: .

Todėl ieškomas paskirstymo įstatymas:


	0,729	0,243	0,027	0,001

4 problema... Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi ... Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelis

bandymų (masinių bandymų), kurių kiekviename įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų, skaičius: , kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Mes randame, tada reikiamą tikimybę: .

5 problema... Šaudant iki pirmo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 - p). Bandymai baigiasi, kai tik įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks atliekant k-ąjį testą, nustatoma pagal formulę:. Čia p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4 k = 3. Todėl.

6 problema... Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite numatomą vertę.

Sprendimas. ...

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė.

7 problema... Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. čia .

Dydžio X kvadrato pasiskirstymo dėsnis 2 :

X 2

Norimas dispersija:.

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema... Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

			10m

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galima pasakyti arba - jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba - jo matematinė lūkestis yra 6,4 m su nuokrypiu m. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinė vertė X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą X reikšmė įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. ... Mūsų atveju ir todėl