Хоёр тооны харьцаа. Та квадрат язгуурыг хэрхэн олох вэ? Шинж чанар, үндэс олборлох жишээ

Математик нь хүн өөрийгөө ухамсарлаж, өөрийгөө ертөнцийн бие даасан нэгж гэж тодорхойлж эхэлснээр үүссэн. Таны эргэн тойронд байгаа зүйлийг хэмжих, харьцуулах, тооцоолох хүсэл эрмэлзэл нь бидний цаг үеийн суурь шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог. Эхэндээ эдгээр нь тоонуудыг физик илэрхийлэлтэй холбох боломжийг олгодог анхан шатны математикийн бөөмс байсан бөгөөд хожим нь дүгнэлтийг зөвхөн онолын хувьд (хийсвэрлэлийн улмаас) гаргаж эхэлсэн боловч хэсэг хугацааны дараа нэгэн эрдэмтний хэлснээр " Математик бүх тоо алга болоход нарийн төвөгтэй байдлын дээд хязгаарт хүрсэн." "Үзэл баримтлал" Квадрат язгуур"Энэ нь тооцооллын хавтгайгаас давж, ямар ч асуудалгүйгээр эмпирик мэдээллээр нөөцлөх боломжтой үед гарч ирсэн.

Энэ бүхэн хэрхэн эхэлсэн

Үндэсний тухай анхны дурдагдсан зүйл Энэ мөч√ гэж тэмдэглэсэн нь орчин үеийн арифметикийн үндэс суурийг тавьсан Вавилоны математикчдын бүтээлүүдэд тэмдэглэгдсэн байдаг. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь одоогийн хэлбэрийг санагдуулахгүй байсан - тэр үеийн эрдэмтэд анх удаа том хэмжээтэй шахмалуудыг ашигласан. Харин МЭӨ II мянганы үед. NS. тэд квадрат язгуурыг хэрхэн гаргаж авахыг харуулсан ойролцоогоор тооцооллын томъёог гаргаж авсан. Доорх зурган дээр Вавилоны эрдэмтэд √2 дүгнэлт хийх үйл явцыг сийлсэн чулууг харуулсан бөгөөд хариултын зөрүү нь зөвхөн арав дахь бутархайн дотор л олдсон тул маш зөв болсон.

Үүнээс гадна гурвалжны талыг олох шаардлагатай бол нөгөө хоёр нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд үндэсийг ашигласан. За тэгээд квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ үндсийг нь гаргаж авахаас холдохгүй.

Вавилоны бүтээлүүдийн зэрэгцээ уг өгүүллийн объектыг Хятадын "Есөн ном дахь математик" бүтээлд судалсан бөгөөд эртний Грекчүүд язгуурыг үлдэгдэлгүйгээр гаргаагүй аливаа тоо нь үндэслэлгүй үр дүнг өгдөг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ.

Гарал үүсэл энэ нэр томъёоныАраб хэл дээрх тооны төлөөлөлтэй холбоотой: Эртний эрдэмтэд дурын тооны квадрат нь ургамал шиг үндэснээс ургадаг гэж үздэг. Латин хэлээр энэ үг нь радикс шиг сонсогддог (та хэв маягийг ажиглаж болно - "үндэс" семантик ачаалалтай, улаан лууван эсвэл радикулит эсэхээс үл хамааран бүх зүйл гийгүүлэгч байдаг).

Дараагийн үеийн эрдэмтэд энэ санааг авч, Rx гэж нэрлэжээ. Жишээлбэл, 15-р зуунд дурын a тооны квадрат язгуурыг гаргаж авсан гэдгийг харуулахын тулд R 2 a гэж бичжээ. Зуршилтай орчин үеийн үзэл бодол"Хачиг" - зөвхөн 17-р зуунд Рене Декартын ачаар гарч ирсэн.

Бидний өдрүүд

Математикийн хувьд y-ийн квадрат язгуур нь квадрат нь у болох z тоо юм. Өөрөөр хэлбэл z 2 = y нь √y = z-тэй тэнцүү байна. гэхдээ энэ тодорхойлолтЭнэ нь илэрхийллийн сөрөг бус утгыг илэрхийлдэг тул зөвхөн арифметик язгуурт хамааралтай. Өөрөөр хэлбэл, √y = z, энд z нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна.

В ерөнхий тохиолдол, алгебрийн үндсийг тодорхойлох үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд илэрхийллийн утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Тиймээс z 2 = y ба (-z) 2 = y тул бидэнд: √y = ± z эсвэл √y = | z | байна.

Шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикт дурлах нь улам бүр нэмэгдсээр байгаа тул түүнд зууралдсан, хуурай тооцоогоор илэрхийлэгдэхгүй олон янзын илрэлүүд гарч байна. Жишээлбэл, Пи тооны өдөр гэх мэт сонирхолтой үзэгдлүүдийн зэрэгцээ язгуурын баярыг тэмдэглэдэг. Зуун жилд есөн удаа тэмдэглэдэг бөгөөд дараах зарчмын дагуу тодорхойлогддог: өдөр, сарыг дарааллаар нь харуулсан тоонууд нь тухайн жилийн квадрат язгуур байх ёстой. Тиймээс дараагийн удаад энэ баярыг 2016 оны дөрөвдүгээр сарын 4-нд тэмдэглэхээр болжээ.

Талбай дээрх квадрат язгуурын шинж чанарууд R

Бараг бүх математик илэрхийллүүдгеометрийн суурьтай, энэ хувь тавилан өнгөрөөгүй бөгөөд y талбайтай квадратын тал гэж тодорхойлогддог √y.

Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ?

Хэд хэдэн тооцооллын алгоритмууд байдаг. Хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг нэлээд төвөгтэй нь ердийн арифметик тооцоолол бөгөөд дараах байдалтай байна.

1) сондгой тоонуудыг язгуур нь шаардлагатай тооноос хасч, гаралтын үлдэгдэл нь хасагдсан эсвэл бүр тэгээс бага болтол нь хасагдана. Хөдөлгөөний тоо эцэст нь шаардлагатай тоо болно. Жишээлбэл, 25-ын квадрат язгуурыг тооцоолох:

Дараагийн сондгой тоо нь 11, бидэнд дараах үлдэгдэл байна: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Ийм тохиолдлын хувьд Тейлорын цуврал өргөтгөл байдаг:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, энд n нь 0-ээс хооронд хэлбэлздэг.

+ ∞ ба | y | ≤1.

z = √y функцийн график дүрслэл

R бодит тоонуудын талбар дээр y нь тэгээс их буюу тэнцүү байх z = √y энгийн функцийг авч үзье. Түүний график дараах байдалтай байна.

Муруй нь гарал үүслээс ургаж, заавал цэгийг (1; 1) огтолдог.

R бодит тоонуудын талбар дээрх z = √y функцийн шинж чанарууд

1. Үзэж буй функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг орсон).

2. Харгалзан авч буй функцийн утгын хүрээ нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг, дахин орно).

3. Функц хамгийн бага утгыг (0) зөвхөн (0; 0) цэг дээр авна. Хамгийн дээд утга байхгүй.

4. z = √y функц тэгш сондгой ч биш.

5. z = √y функц нь үечилсэн биш.

6. z = √y функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох ганц цэг байна: (0; 0).

7. z = √y функцийн графикийн огтлолцох цэг нь мөн энэ функцийн тэг юм.

8. z = √y функц тасралтгүй өсдөг.

9. z = √y функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг тул график нь координатын эхний өнцгийг эзэлдэг.

z = √y функцийн хувилбарууд

Математикийн хувьд нарийн төвөгтэй илэрхийллийн тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд тэд заримдаа квадрат язгуурыг бичих хүчний хэлбэрийг ашигладаг: √y = y 1/2. Энэ сонголт нь жишээлбэл, функцийг хүчирхэг болгоход тохиромжтой: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Энэ арга нь интегралаар ялгах сайн дүрслэл юм, учир нь үүний ачаар квадрат язгуур нь ердийн чадлын функцээр илэрхийлэгддэг.

Мөн програмчлалын хувьд √ тэмдгийг орлуулах нь sqrt үсгийн хослол юм.

Тооцоолоход шаардлагатай ихэнх геометрийн томъёонд багтсан тул квадрат язгуур нь энэ хэсэгт маш их эрэлт хэрэгцээтэй байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоолох алгоритм нь өөрөө нэлээд төвөгтэй бөгөөд рекурс (өөрийгөө дууддаг функц) дээр суурилдаг.

Нарийн төвөгтэй талбар дахь квадрат язгуур C

Математикчдыг сөрөг тооноос тэгш язгуур гаргах тухай асуудал зовоодог байсан тул ерөнхийдөө энэ өгүүллийн сэдэв нь С комплекс тоонуудын талбарыг нээхэд түлхэц болсон юм. Маш сонирхолтой шинж чанараараа тодорхойлогддог төсөөллийн i нэгж ингэж гарч ирэв: квадрат нь -1 байна. Үүний ачаар сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэлүүд шийдлийг олж авсан. C хэл дээр R-тэй ижил шинж чанарууд нь квадрат язгуурт хамааралтай бөгөөд цорын ганц зүйл бол хязгаарлалтыг радикал илэрхийллээс хассан явдал юм.

Энэ нийтлэл нь үндсэн шинж чанаруудын сэдэвтэй холбоотой дэлгэрэнгүй мэдээллийн цуглуулга юм. Сэдвийг авч үзэхийн тулд бид шинж чанаруудаас эхэлж, бүх томъёоллыг судалж, нотлох баримтуудыг өгөх болно. Сэдвийг бататгахын тулд бид n-р зэргийн шинж чанарыг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Үндэс шинж чанарууд

Бид үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ярих болно.

1. Өмч үржүүлсэн тоо аболон б, энэ нь a · b = a · b тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ. Үүнийг эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү хүчин зүйлээр илэрхийлж болно a 1, a 2,…, a k a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
2. a хэсгээс: b = a: b, a ≥ 0, b> 0, үүнийг мөн энэ хэлбэрээр бичиж болно a b = a b;
3. Тооны хүчнээс гарах өмч атэгш илтгэгчтэй a 2 m = a m аль ч тооны хувьд ажишээлбэл, a 2 = a тооны квадратаас авсан шинж чанар.

Үзүүлсэн тэгшитгэлийн аль нэг дээр та зураасны өмнөх ба дараа хэсгүүдийг хооронд нь сольж болно, жишээлбэл, a b = a b тэгшитгэл нь b = a b болж хувирна. Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг хялбарчлахад тэгш байдлын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний шинж чанаруудын нотолгоо нь квадрат язгуур болон байгалийн илтгэгчтэй градусын шинж чанаруудын тодорхойлолт дээр суурилдаг. Гурав дахь шинж чанарыг нотлохын тулд тооны модулийн тодорхойлолтод хандах шаардлагатай.

Эхний алхам бол a b = a b квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах явдал юм. Тодорхойлолтын дагуу a b нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү тоо бөгөөд энэ нь тэнцүү байх болно гэж үзэх шаардлагатай. a bбосгох үед дөрвөлжинд. a b илэрхийллийн утга нь сөрөг бус тоонуудын үржвэрийн хувьд эерэг буюу тэгтэй тэнцүү байна. Үржүүлсэн тооны зэрэглэлийн шинж чанар нь тэгш байдлыг (a b) 2 = a 2 b 2 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Квадрат язгуурын тодорхойлолтоор a 2 = a ба b 2 = b байвал a b = a 2 b 2 = a b болно.

Үүнтэй адилаар үүнийг бүтээгдэхүүнээс баталж болно күржүүлэгчид a 1, a 2,…, a kбүтээгдэхүүнтэй тэнцэх болно квадрат үндэсэдгээр хүчин зүйлсээс. Үнэн хэрэгтээ, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Энэ тэгшитгэлээс харахад a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

Сэдвийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ба 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Хэмжилтийн арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах шаардлагатай: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Энэ шинж чанар нь a: b 2 = a 2: b 2, a 2: b 2 = a: b тэгшитгэлийг бичих боломжийг олгодог бөгөөд a: b нь эерэг тоо эсвэл тэгтэй тэнцүү байна. Энэ илэрхийлэл нь нотлох баримт болно.

Жишээлбэл, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 ба 3 0, 121 = 3 0, 121.

Тооны квадратын квадрат язгуурын шинж чанарыг авч үзье. Үүнийг 2 = a гэж тэнцүү гэж бичиж болно. Энэ шинж чанарыг батлахын тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай. a ≥ 0болон цагт а< 0 .

a ≥ 0-ийн хувьд a 2 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 a 2 = - a тэгшитгэл үнэн болно. Үнэндээ энэ тохиолдолд - a> 0ба (- a) 2 = a 2. a 2 = a, a ≥ 0 - a, a гэж дүгнэж болно< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

5 2 = 5 = 5 ба - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.

Батлагдсан өмч нь 2 м = а м, хаана гэдгийг зөвтгөхөд тусална а- бодит ба м- натурал тоо. Үнэн хэрэгтээ, хүчийг нэмэгдүүлэх өмч нь хүчийг солих боломжийг олгодог нь 2 милэрхийлэл (а м) 2, дараа нь a 2 м = (а м) 2 = a м.

Жишээ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ба (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

n-р язгуурын шинж чанарууд

Эхлээд та n-р зэргийн үндэсийн үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1. Тоонуудын үржвэрийн өмч аболон б, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэж болно a b n = a n b n, энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүнд хүчинтэй байна. ктоо a 1, a 2,…, a k a 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n гэж;
2. бутархай тооноос a b n = a n b n шинж чанартай, энд а- эерэг буюу тэгтэй тэнцүү аливаа бодит тоо, ба б- эерэг бодит тоо;
3. Дурын хувьд атэр ч байтугай үзүүлэлтүүд n = 2 м a 2 м 2 м = a, мөн сондгой n = 2 м - 1 a 2 м - 1 2 м - 1 = a тэгшитгэлийг хангана.
4. a m n = a n m-ээс олборлох шинж чанар, энд а- эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү дурын тоо; nболон м- натурал тоонууд, энэ шинж чанарыг мөн хэлбэрээр илэрхийлж болно. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · N k;
5. Ямар ч сөрөг биш a болон дурын хувьд nболон м, байгалийн юм, энэ нь бас шударга тэгш байдлыг тодорхойлох боломжтой a m n · m = a n;
6. Эд хөрөнгийн зэрэг nтооны хүчнээс а, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, байгалийн зэрэгтэй м a m n = a n m тэгшитгэлээр тодорхойлогддог;
7. Ижил үзүүлэлттэй харьцуулах шинж чанарууд: аливаа эерэг тоонуудын хувьд аболон бтиймэрхүү а< b , тэгш бус байдал a n< b n ;
8. Харьцуулах өмч байгаа ижил тооүндэс дор: хэрэв мболон n -натурал тоонууд m> n, дараа нь цагт 0 < a < 1 a m> a n тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд хувьд a> 1а м< a n .

Дээр өгөгдсөн тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн өмнөх болон дараах хэсгүүдийг сольсон тохиолдолд хүчинтэй байна. Тэдгээрийг ийм байдлаар ашиглаж болно. Энэ нь хэллэгийг хялбарчлах эсвэл хөрвүүлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндэсний дээрх шинж чанаруудын нотолгоо нь тооны тодорхойлолт, зэрэглэлийн шинж чанар, модулийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь батлагдсан байх ёстой. Гэхдээ бүх зүйл эмх цэгцтэй байна.

1. Юуны өмнө a b n = a n b n үржвэрийн n-р язгуурын шинж чанарыг батална. Учир нь аболон б альбайна эерэг буюу тэгтэй тэнцүү , a n · b n утга нь мөн эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, учир нь энэ нь сөрөг бус тоонуудын үржлийн үр дагавар юм. Бүтээгдэхүүний байгалийн зэрэглэлийн шинж чанар нь a n b n n = a n n b n n тэгшитгэлийг бичих боломжийг бидэнд олгодог. Үндэсний тодорхойлолтоор n-р зэрэгтэй a n n = a ба b n n = b, тиймээс a n b n n = a b. Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал нь нотлох шаардлагатай байсан зүйл юм.

Энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүний хувьд ижил төстэй нотлогдсон кхүчин зүйлс: сөрөг бус тоонуудын хувьд a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Root шинж чанарыг ашиглах зарим жишээ энд байна n-бүтээгдэхүүнээс -р зэрэг: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ба 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

1. a b n = a n b n хэсгийн язгуурын шинж чанарыг баталъя. At a ≥ 0болон b> 0 a n b n ≥ 0 нөхцөл хангагдах ба a n b n n = a n n b n n = a b.

Жишээнүүдийг үзүүлье:

Жишээ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ба 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Учир нь дараагийн алхамтооноос зэрэг хүртэлх n-р зэргийн шинж чанарыг батлах шаардлагатай n... Бид үүнийг ямар ч бодит хувьд a 2 м 2 м = a ба 2 м - 1 2 м - 1 = a тэнцүү гэж төлөөлдөг. амөн байгалийн м... At a ≥ 0бид a = a ба 2 м = a 2 м-ийг олж авдаг бөгөөд энэ нь a 2 m 2 m = a тэнцүү болохыг баталж, a 2 m - 1 2 m - 1 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 бид тус тусад нь a = - a ба 2 м = (- a) 2 м = a 2 м-ийг авна. Тооны сүүлчийн хувиргалт нь зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу хүчинтэй байна. Энэ нь a 2 м 2 м = a, 2 м - 1 2 м - 1 = a тэнцүү болохыг баталж байгаа зүйл бөгөөд сондгой градусын хувьд бид - c 2 м - 1 = - c 2 м - 1 гэж үздэг. дурын тооны хувьд в,эерэг буюу тэгтэй тэнцүү.

Хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэхийн тулд үл хөдлөх хөрөнгийг ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ба (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Дараах a m n = a n · m тэгшитгэлийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд та тэнцүү тэмдгийн өмнөх ба дараа нь a n · m = a m n гэсэн газруудын тоог өөрчлөх хэрэгтэй. гэсэн утгатай болно зөв оруулга... Учир нь а,энэ нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү байна , a m n хэлбэрээс эерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү байна. Зэрэг нэмэхийн шинж чанар, түүний тодорхойлолтод хандъя. Тэдгээрийг a m n n · m = a m n n m = a m m = a хэлбэрээр тэгшитгэлийг хувиргахад ашиглаж болно. Энэ нь язгуураас язгуур авч үзэж буй шинж чанарыг нотолж байна.

Бусад шинж чанарууд нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Үнэхээр, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

Жишээлбэл, 7 3 5 = 7 5 3 ба 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Баталцгаая дараагийн өмч a m n m = a n. Үүнийг хийхийн тулд n нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү тоо гэдгийг харуулах шаардлагатай. Хүчин чадалд өргөхөд n m тэнцүү байна а м... Хэрэв тоо аэерэг буюу тэгтэй тэнцүү бол n-дээрээс аэерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү Энэ тохиолдолд шаардлагатай бол a n · m n = a n n m.

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэхийн тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

1. Дараах шинж чанарыг баталъя - a m n = a n m хэлбэрийн түвшний язгуурын шинж. Мэдээжийн хэрэг, төлөө a ≥ 0 a n m зэрэг нь сөрөг бус тоо юм. Түүнээс гадна, түүний n-р зэрэгтэй а мүнэхээр, a n m n = a n m n = a n n m = a m. Энэ нь авч үзэж буй зэрэглэлийн шинж чанарыг нотолж байна.

Жишээлбэл, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Аливаа эерэг тоонуудын хувьд үүнийг батлах шаардлагатай аболон b нөхцөл а< b ... a n тэгш бус байдлыг авч үзье< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b ... Иймээс a n< b n при а< b .

Жишээлбэл, 12 4-ийг өгье< 15 2 3 4 .

1. Үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзээрэй n--р зэрэг. Тэгш бус байдлын эхний хэсгээс эхлэх шаардлагатай. At m> nболон 0 < a < 1 үнэн a m> a n. a m ≤ a n гэж бодъё. Шинж чанарууд нь a n m · n ≤ a m m · n гэсэн илэрхийллийг хялбарчлах болно. Дараа нь байгалийн илтгэгчтэй градусын шинж чанарын дагуу a n m n m n ≤ a m m n m n тэгш бус байдал хангагдана, өөрөөр хэлбэл, a n ≤ a m... Хүлээн авсан утга m> nболон 0 < a < 1 дээрх шинж чанаруудтай таарахгүй байна.

Үүнтэй адилаар хүн үүнийг баталж чадна m> nболон a> 1нөхцөл a m< a n .

Дээрх шинж чанаруудыг нэгтгэхийн тулд хэд хэдэн зүйлийг анхаарч үзээрэй тодорхой жишээнүүд... Тодорхой тоонуудыг ашиглан тэгш бус байдлыг авч үзье.

Жишээ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Нэг квадрат талбай нь 81 дм². Түүний талыг ол. Дөрвөлжингийн хажуугийн урт нь гэж бодъё NSдециметр. Дараа нь сайтын талбай байна NS² квадрат дециметр... Нөхцөлөөр бол энэ талбай нь 81 дм² байна NS² = 81. Квадрат талын урт нь эерэг тоо. Квадрат нь 81 бол эерэг тоо нь 9. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат нь 81 байх х тоог олох, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байв. NS² = 81. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. х 1 = 9 ба х 2 = - 9, учир нь 9² = 81 ба (- 9) ² = 81. 9 ба - 9 тоог хоёуланг нь 81-ийн квадрат язгуур гэнэ.

Квадрат язгууруудын нэг гэдгийг анхаарна уу NS= 9 эерэг тоо. Үүнийг 81 тооны арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг ба √81 гэж тэмдэглэсэн тул √81 = 9 байна.

Тооны арифметик квадрат язгуур аквадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм а.

Жишээлбэл, 6 ба - 6 нь 36-ын квадрат язгуур юм. Энэ тохиолдолд 6 нь сөрөг бус тоо бөгөөд 6² = 36 тул 6 нь 36-ын арифметик квадрат язгуур юм. - 6 нь арифметик язгуур биш юм.

Тооны арифметик квадрат язгуур адараах байдлаар тэмдэглэнэ: √ а.

Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг; а- радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Илэрхийлэл √ аунших Тиймээс: тооны арифметик квадрат язгуур а.Жишээлбэл, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Энэ нь тодорхой болсон тохиолдолд ирдэгАрифметик язгуурын талаар тэд товчхондоо: "квадрат язгуур а«.

Тооны квадрат язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур олборлолт гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын эсрэг үйлдэл юм.

Ямар ч тоог квадрат болгож болох ч тоо бүрээс квадрат язгуур гаргаж болохгүй. Жишээлбэл, та тооны язгуурыг гаргаж авах боломжгүй - 4. Хэрэв ийм язгуур байсан бол үүнийг үсгээр тэмдэглэнэ. NS, зүүн талд сөрөг бус тоо, баруун талд сөрөг тоо байгаа тул бид буруу х2 = - 4 тэгшитгэл авах болно.

Илэрхийлэл √ аүед л утга учиртай a ≥ 0. Квадрат язгуурын тодорхойлолтыг дараах байдлаар товч бичиж болно: √ a ≥ 0, (√а)² = а... Тэгш байдал (√ а)² = а-д хүчинтэй a ≥ 0. Иймд сөрөг бус тооны квадрат язгуур байгаа эсэхийг шалгах атэнцүү байна б, өөрөөр хэлбэл, тэр √ а =б, та дараах хоёр нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. b ≥ 0, б² = а.

Бутархайн квадрат язгуур

Тооцоод үзье. √25 = 5, √36 = 6 гэдгийг анхаарч, тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгана уу.

Учир нь болон, Дараа нь тэгш байдал нь үнэн юм. Тэгэхээр, .

Теорем:Хэрэв а≥ 0 ба б> 0, өөрөөр хэлбэл бутархайн үндэс нь хуваагчийн язгуурт хуваагдсан тооны язгууртай тэнцүү байна. Үүнийг батлах шаардлагатай: ба .

√ оноос хойш а≥0 ба √ б> 0, тэгвэл.

Бутархайг зэрэглэлд хүргэх шинж чанар болон квадрат язгуурын тодорхойлолтоор теорем батлагдсан. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Батлагдсан теоремоор тооцоол .

Хоёр дахь жишээ: Үүнийг батал , хэрэв а ≤ 0, б < 0. .

Өөр нэг жишээ: Тооцоол.

.

Квадрат язгуурыг хөрвүүлэх

Үндэс тэмдэгээс хүчин зүйлийг хасаж байна. Илэрхийлэлийг өгье. Хэрэв а≥ 0 ба б≥ 0 бол үржвэрийн язгуур теоремоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Ийм хувиргалтыг үндсэн тэмдгээс хүчин зүйл авах гэж нэрлэдэг. Жишээ авч үзье;

Тооцоолох NS= 2. Шууд орлуулалт NS= 2 нь радикал илэрхийлэл нь нарийн төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Эдгээр тооцооллыг язгуур тэмдгээс хүчин зүйлийг эхлээд хасснаар хялбарчилж болно. Одоо x = 2-ыг орлуулахад бид: болно.

Тиймээс, язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйлийг арилгахдаа радикал илэрхийлэл нь нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйл нь сөрөг бус тооны квадратууд болох бүтээгдэхүүн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Дараа нь бүтээгдэхүүний язгуур теоремыг хэрэглэж, хүчин зүйл бүрээс үндсийг гаргаж авна. Нэг жишээг авч үзье: Эхний хоёр гишүүний язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлсийг хасаж А = √8 + √18 - 4√2 илэрхийллийг хялбаршуулбал : болно. тэгш эрхтэй гэдгийг бид онцолж байна -д л хүчинтэй а≥ 0 ба б≥ 0. хэрэв а < 0, то .