Išraiškų transformavimas naudojant logaritmų savybes, pavyzdžius, sprendinius. Reiškių konvertavimas logaritmais, pavyzdžiai, sprendimai Eksponentinių ir logaritminių išraiškų konvertavimas pavyzdžiai

pagrindinės savybės.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

tuo pačiu pagrindu

log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2 pavyzdys Raskite x if

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritmų formulės. Logaritmai yra sprendimų pavyzdžiai.

Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau visa išraiška „apversta“, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti tokią galią x (), kuriai esant lygybė yra teisinga

Pagrindinės logaritmo savybės

Aukščiau pateiktos savybės turi būti žinomos, nes jų pagrindu beveik visos problemos ir pavyzdžiai sprendžiami remiantis logaritmais. Likusios egzotiškos savybės gali būti išvestos matematiškai manipuliuojant šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuojant logaritmų sumos ir skirtumo formules (3.4) tenka susidurti gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dviženklė.
Dešimties bazinis logaritmas paprastai vadinamas baziniu dešimties logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš protokolo matyti, kad pagrindai protokole nėra surašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio pagrindas yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra 2,7 ir du kartus už Levo Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus dviejų bazių logaritmas yra

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal priklausomybę

Aukščiau pateiktos medžiagos pakanka, kad galėtumėte išspręsti daugybę problemų, susijusių su logaritmais ir logaritmais. Siekdamas įsisavinti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Paimkite išraiškų logaritmą

1 pavyzdys
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pagal savybes 3,5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumų savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

Iš pažiūros sudėtinga išraiška, naudojanti daugybę taisyklių, supaprastinama iki formos

Logaritmo verčių radimas

2 pavyzdys Raskite x if

Sprendimas. Skaičiavimui taikome 5 ir 13 savybes iki paskutinio termino

Pakeisti įraše ir apraudoti

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkite kintamojo logaritmą, kad užrašytumėte logaritmą per terminų sumą

Tai tik pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, išplėsime jūsų žinias kitai ne mažiau svarbiai temai - logaritminėms nelygybėms ...

Pagrindinės logaritmų savybės

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau visa išraiška „apversta“, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei. Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Priimtinas logaritmo diapazonas (ODZ).

Dabar pakalbėkime apie apribojimus (ODZ - leistinų kintamųjų verčių sritis).

Prisimename, kad, pavyzdžiui, kvadratinės šaknies negalima paimti iš neigiamų skaičių; arba jei turime trupmeną, tai vardiklis negali būti lygus nuliui. Yra panašūs logaritmų apribojimai:

Tai yra, tiek argumentas, tiek bazė turi būti didesni už nulį, o bazė negali būti lygi.

Kodėl taip?

Pradėkime nuo paprasto: sakykime taip. Tada, pavyzdžiui, skaičius neegzistuoja, nes nesvarbu, kokį laipsnį keliame, jis visada pasirodo. Be to, jis neegzistuoja niekam. Bet tuo pat metu jis gali būti lygus bet kam (dėl tos pačios priežasties – lygus bet kokiam laipsniui). Todėl objektas nedomina, o jis buvo tiesiog išmestas iš matematikos.

Šiuo atveju turime panašią problemą: bet kokiu teigiamu laipsniu - tai, bet jo apskritai negalima pakelti į neigiamą laipsnį, nes padalijimas iš nulio duos (primenu).

Kai susiduriame su pakėlimo iki trupmeninės galios problema (kuri vaizduojama kaip šaknis:. Pavyzdžiui, (tai yra), bet neegzistuoja.

Todėl neigiamas priežastis lengviau išmesti, nei su jomis susipainioti.

Na, kadangi bazė a mums yra tik teigiama, tai kad ir kokiu laipsniu ją pakeltume, visada gausime griežtai teigiamą skaičių. Taigi argumentas turi būti teigiamas. Pavyzdžiui, jo nėra, nes jis jokiu būdu nebus neigiamas skaičius (ir net nulis, todėl jo irgi nėra).

Jei kyla problemų su logaritmais, pirmiausia reikia užsirašyti ODZ. Pateiksiu pavyzdį:

Išspręskime lygtį.

Prisiminkite apibrėžimą: logaritmas yra galia, iki kurios reikia pakelti bazę, kad būtų gautas argumentas. Ir pagal sąlygą šis laipsnis yra lygus: .

Gauname įprastą kvadratinę lygtį: . Ją išsprendžiame naudodami Vietos teoremą: šaknų suma lygi, o sandauga. Lengva pasiimti, tai yra skaičiai ir.

Bet jei iškart imsite ir atsakyme užsirašykite abu šiuos skaičius, už užduotį galite gauti 0 balų. Kodėl? Pagalvokime, kas atsitiks, jei šias šaknis pakeisime į pradinę lygtį?

Tai aiškiai klaidinga, nes bazė negali būti neigiama, tai yra, šaknis yra „trečioji šalis“.

Norėdami išvengti tokių nemalonių triukų, turite užsirašyti ODZ dar prieš pradedant spręsti lygtį:

Tada, gavę šaknis ir, iš karto išmetame šaknį ir parašome teisingą atsakymą.

1 pavyzdys(pabandykite tai išspręsti patys) :

Raskite lygties šaknį. Jei yra kelios šaknys, atsakyme nurodykite mažesnę.

Sprendimas:

Pirmiausia parašykime ODZ:

Dabar prisimename, kas yra logaritmas: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautum argumentą? Antroje. Tai yra:

Atrodytų, kad mažesnė šaknis yra lygi. Bet taip nėra: pagal ODZ šaknis yra trečioji šalis, tai yra, tai visai nėra šios lygties šaknis. Taigi lygtis turi tik vieną šaknį: .

Atsakymas: .

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą bendrai:

Pakeiskite antrąją lygybę vietoj logaritmo:

Ši lygybė vadinama pagrindinė logaritminė tapatybė. Nors iš esmės ši lygybė tiesiog parašyta kitaip logaritmo apibrėžimas:

Tai galia, kurią reikia pakelti, kad gautum.

Pavyzdžiui:

Išspręskite šiuos pavyzdžius:

2 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas:

Prisiminkite taisyklę iš skyriaus:, tai yra, didinant laipsnį iki galios, rodikliai padauginami. Taikome:

3 pavyzdys

Įrodyk tai.

Sprendimas:

Logaritmų savybės

Deja, užduotys ne visada tokios paprastos – dažnai pirmiausia reikia supaprastinti išraišką, suvesti ją į įprastą formą ir tik tada bus galima skaičiuoti reikšmę. Lengviausia tai padaryti žinant logaritmų savybės. Taigi išmokime pagrindines logaritmų savybes. Įrodysiu kiekvieną iš jų, nes bet kurią taisyklę lengviau įsiminti, jei žinai, iš kur ji kilusi.

Reikia atsiminti visas šias savybes; be jų neįmanoma išspręsti daugumos logaritmų problemų.

O dabar apie visas logaritmų savybes plačiau.

1 nuosavybė:

Įrodymas:

Leisk tada.

Turime: , h.t.d.

2 savybė: logaritmų suma

Logaritmų su ta pačia baze suma yra lygi sandaugos logaritmui: .

Įrodymas:

Leisk tada. Leisk tada.

Pavyzdys: Raskite išraiškos reikšmę: .

Sprendimas:.

Ką tik išmokta formulė padeda supaprastinti logaritmų sumą, o ne skirtumą, todėl šių logaritmų negalima iš karto sujungti. Bet jūs galite padaryti priešingai – „sulaužyti“ pirmąjį logaritmą į dvi dalis: Ir štai žadėtas supaprastinimas:
.
Kam to reikia? Na, pavyzdžiui: ką tai svarbu?

Dabar tai aišku.

Dabar palengvink sau:

Užduotys:

Atsakymai:

3 savybė: logaritmų skirtumas:

Įrodymas:

Viskas lygiai taip pat, kaip 2 dalyje:

Leisk tada.

Leisk tada. Mes turime:

Pavyzdys iš paskutinio punkto dabar dar paprastesnis:

Sudėtingesnis pavyzdys: . Atspėk, kaip nuspręsti?

Čia reikia pažymėti, kad mes neturime vienos formulės apie logaritmus kvadratu. Tai kažkas panašaus į posakį – to negalima iš karto supaprastinti.

Todėl nukrypkime nuo logaritmų formulių ir pagalvokime, kokias formules dažniausiai naudojame matematikoje? Jau nuo 7 klasės!

Tai -. Jūs turite priprasti prie to, kad jie yra visur! Ir eksponentinėse, ir trigonometrinėse, ir neracionaliose problemose jie randami. Todėl juos reikia atsiminti.

Jei atidžiai pažvelgsite į pirmąsias dvi sąlygas, paaiškės, kad tai kvadratų skirtumas:

Atsakymas patikrinti:

Supaprastink save.

Pavyzdžiai

Atsakymai.

4 savybė: eksponento išvedimas iš logaritmo argumento:

Įrodymas: Ir čia taip pat naudojame logaritmo apibrėžimą: tegul, tada. Turime: , h.t.d.

Šią taisyklę galite suprasti taip:

Tai reiškia, kad argumento laipsnis perkeliamas į logaritmą kaip koeficientas.

Pavyzdys: Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas: .

Spręskite patys:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

5 savybė: eksponento išvedimas iš logaritmo pagrindo:

Įrodymas: Leisk tada.

Turime: , h.t.d.
Prisiminkite: nuo pagrindu laipsnis pateikiamas kaip atvirkščiai numeris, skirtingai nei ankstesniu atveju!

6 savybė: eksponento išvedimas iš bazės ir logaritmo argumento:

Arba jei laipsniai vienodi: .

7 nuosavybė: perėjimas prie naujos bazės:

Įrodymas: Leisk tada.

Turime: , h.t.d.

8 savybė: logaritmo bazės ir argumento keitimas:

Įrodymas: Tai ypatingas 7 formulės atvejis: jei pakeičiame, gauname: , p.t.d.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

4 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Mes naudojame logaritmų Nr. 2 savybę - logaritmų su ta pačia baze suma lygi sandaugos logaritmui:

5 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas:

Mes naudojame logaritmų Nr. 3 ir Nr. 4 savybę:

6 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas:

Naudojant nuosavybės numerį 7 – eikite į 2 bazę:

7 pavyzdys

Raskite išraiškos reikšmę.

Sprendimas:

Kaip jums patinka straipsnis?

Jei skaitote šias eilutes, vadinasi, perskaitėte visą straipsnį.

Ir tai šaunu!

Dabar pasakykite mums, kaip jums patinka straipsnis?

Ar išmokote spręsti logaritmus? Jei ne, kokia problema?

Parašykite mums toliau pateiktuose komentaruose.

Ir taip, sėkmės egzaminuose.

Vieningo valstybinio egzamino ir OGE metu ir apskritai gyvenime

Užduotis B7 pateikia išraišką, kurią reikia supaprastinti. Rezultatas turi būti įprastas skaičius, kurį galima įrašyti atsakymų lape. Visos išraiškos sąlygiškai suskirstytos į tris tipus:

logaritminis,
Demonstracija,
Kombinuotas.

Eksponentinės ir logaritminės išraiškos gryna forma beveik nerandamos. Tačiau svarbu žinoti, kaip jie apskaičiuojami.

Apskritai, problema B7 išspręsta gana paprastai ir yra gana prieinama vidutiniam absolventui. Aiškių algoritmų trūkumą kompensuoja jo standartas ir vienodumas. Jūs galite išmokti išspręsti tokias problemas tiesiog per daug mokymų.

Logaritminės išraiškos

Didžioji dauguma B7 uždavinių turi viena ar kita forma logaritmus. Ši tema tradiciškai laikoma sudėtinga, nes ji paprastai nagrinėjama 11 klasėje - masinio pasiruošimo baigiamiesiems egzaminams eroje. Todėl daugelis absolventų turi labai miglotą supratimą apie logaritmus.

Tačiau šioje užduotyje niekam nereikia gilių teorinių žinių. Sutiksime tik paprasčiausius posakius, kuriems reikia tiesių samprotavimų ir kuriuos galima įvaldyti savarankiškai. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti, kad galėtumėte dirbti su logaritmais:

Be to, reikia mokėti pakeisti šaknis ir trupmenas laipsniais su racionaliuoju rodikliu, kitaip kai kuriose išraiškose tiesiog nebus ką ištraukti iš po logaritmo ženklo. Pakeitimo formulės:

Užduotis. Rasti išraiškos reikšmes:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Pirmosios dvi išraiškos konvertuojamos kaip logaritmų skirtumas:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Norėdami apskaičiuoti trečiąją išraišką, turėsite pasirinkti laipsnius - tiek bazėje, tiek argumente. Pirmiausia suraskime vidinį logaritmą:

Tada - išorinis:

Tokios konstrukcijos kaip log a log b x daugeliui atrodo sudėtingos ir nesuprantamos. Tuo tarpu tai tik logaritmo logaritmas, t.y. log a (log b x ). Pirmiausia apskaičiuojamas vidinis logaritmas (įdėkite log b x = c ), o tada išorinis: log a c .

eksponentinės išraiškos

Eksponentine išraiška vadinsime bet kokią formos a k konstrukciją, kur skaičiai a ir k yra savavališkos konstantos, o a > 0. Darbo su tokiomis išraiškomis metodai yra gana paprasti ir nagrinėjami 8 klasės algebros pamokose.

Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti. Šių formulių taikymas praktikoje, kaip taisyklė, nesukelia problemų.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Jei susiduriama su sudėtinga išraiška su galiomis ir neaišku, kaip prie jos priartėti, naudojama universali technika - skaidymas į pirminius veiksnius. Dėl to dideli skaičiai laipsnių bazėse pakeičiami paprastais ir suprantamais elementais. Tada belieka taikyti aukščiau pateiktas formules - ir problema bus išspręsta.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmes: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Sprendimas. Visas galių bazes išskaidome į pirminius veiksnius:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinuotos užduotys

Jei žinote formules, visos eksponentinės ir logaritminės išraiškos išsprendžiamos pažodžiui vienoje eilutėje. Tačiau B7 uždavinyje laipsnius ir logaritmus galima derinti, kad susidarytų gana stiprios kombinacijos.

Dabar pažvelgsime į reiškinių, turinčių logaritmus, transformaciją bendruoju požiūriu. Čia analizuosime ne tik reiškinių transformaciją naudojant logaritmų savybes, bet nagrinėsime reiškinių transformaciją bendrais logaritmais, kuriuose yra ne tik logaritmai, bet ir laipsniai, trupmenos, šaknys ir kt. Kaip įprasta, visą medžiagą pateiksime su būdingais pavyzdžiais su išsamiais sprendimų aprašymais.

Puslapio naršymas.

Išraiškos su logaritmais ir logaritminės išraiškos

Veiksmų su trupmenomis atlikimas

Ankstesnėje pastraipoje išanalizavome pagrindines transformacijas, kurios atliekamos su atskiromis trupmenomis, turinčiomis logaritmus. Žinoma, šias transformacijas galima atlikti su kiekviena atskira trupmena, kuri yra sudėtingesnės išraiškos dalis, pavyzdžiui, vaizduojanti panašių trupmenų sumą, skirtumą, sandaugą ir koeficientą. Tačiau be darbo su atskiromis trupmenomis, tokio pobūdžio išraiškų transformavimas dažnai apima atitinkamų veiksmų su trupmenomis atlikimą. Toliau apsvarstysime taisykles, pagal kurias šie veiksmai atliekami.

Nuo 5-6 klasių žinome taisykles, pagal kurias . Straipsnyje bendras operacijų su trupmenomis vaizdas mes išplėtėme šias taisykles nuo įprastų trupmenų iki bendrosios formos A/B trupmenoms, kur A ir B yra kai kurios skaitinės, pažodinės arba išraiškos su kintamaisiais, o B yra identiškai nulis. Aišku, kad trupmenos su logaritmais yra ypatingi bendrųjų trupmenų atvejai. Ir šiuo atžvilgiu aišku, kad veiksmai su trupmenomis, kurių įrašuose yra logaritmų, atliekami pagal tas pačias taisykles. Būtent:

Norėdami pridėti arba atimti dvi trupmenas su tais pačiais vardikliais, atitinkamai pridėkite arba atimkite skaitiklius, o vardiklį palikite tą patį.
Norėdami pridėti arba atimti dvi trupmenas su skirtingais vardikliais, turite jas suvesti į bendrą vardiklį ir atlikti atitinkamus veiksmus pagal ankstesnę taisyklę.
Norint padauginti dvi trupmenas, reikia parašyti trupmeną, kurios skaitiklis yra pradinių trupmenų skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardklių sandauga.
Norint padalyti trupmeną iš trupmenos, dalijamąją trupmeną reikia padauginti iš daliklio atvirkštinės vertės, tai yra, iš trupmenos, kurios skaitiklis ir vardiklis yra pertvarkyti.

Štai keli pavyzdžiai, kaip atlikti operacijas su trupmenomis, kuriose yra logaritmų.

Pavyzdys.

Atlikite veiksmus su trupmenomis, kuriose yra logaritmų: a), b) , in) , G) .

Sprendimas.

a) Sudėtinių trupmenų vardikliai akivaizdžiai yra vienodi. Todėl pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo taisyklę pridedame skaitiklius, o vardiklį paliekame tą patį: .

b) Čia vardikliai yra skirtingi. Todėl pirmiausia reikia suvesti trupmenas į tą patį vardiklį. Mūsų atveju vardikliai jau pateikiami kaip sandaugai, o mums belieka paimti pirmosios trupmenos vardiklį ir pridėti prie jo trūkstamus veiksnius iš antrosios trupmenos vardiklio. Taigi gauname bendrą formos vardiklį . Šiuo atveju atimtos trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, naudojant papildomus veiksnius atitinkamai logaritmo forma ir išraiška x 2 ·(x+1). Po to belieka atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, o tai nėra sunku.

Taigi sprendimas yra:

c) Yra žinoma, kad trupmenų dauginimo rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra vardklių sandauga, todėl

Nesunku pastebėti, kad tai įmanoma frakcijos sumažinimas dviem ir dešimtainiu logaritmu, todėl turime .

d) Nuo trupmenų dalybos pereiname prie daugybos, trupmeną-daliklį pakeisdami jo abipuse. Taigi

Gautos trupmenos skaitiklis gali būti pavaizduotas kaip , iš kurio aiškiai matomas bendras skaitiklio ir vardiklio koeficientas - koeficientas x, juo galite sumažinti trupmeną:

Atsakymas:

a), b) , in) , G) .

Reikėtų atsiminti, kad veiksmai su trupmenomis atliekami atsižvelgiant į veiksmų atlikimo tvarką: pirmiausia daugyba ir padalijimas, tada sudėjimas ir atėmimas, o jei yra skliaustų, tada pirmiausia atliekami veiksmai skliausteliuose.

Pavyzdys.

Atlikite veiksmus su trupmenomis .

Sprendimas.

Pirma, sudedame trupmenas skliausteliuose, po to atliksime dauginimą:

Atsakymas:

Šiuo metu belieka garsiai pasakyti tris gana akivaizdžius, bet kartu svarbius dalykus:

Reiškių konvertavimas naudojant logaritmų savybes

Dažniausiai išraiškų transformavimas logaritmais apima tapatybių, išreiškiančių logaritmo apibrėžimą, naudojimą ir . Pavyzdžiui, nurodant pagrindinę logaritminę tapatybę a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, išraišką x−5 log 5 7 galime pavaizduoti kaip x−7 ir perėjimo į formulę. naujas rąsto pagrindas , kur a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 leidžia pereiti iš išraiškos į skirtumą 1−lnx .

Šaknų, galių, trigonometrinių tapatybių ir kt. savybių taikymas.

Išraiškose su logaritmais, be pačių logaritmų, beveik visada yra galių, šaknų, trigonometrinių funkcijų ir kt. Aišku, kad norint transformuoti tokias išraiškas, kartu su logaritmų savybėmis gali prireikti ir laipsnių, šaknų ir kt. Atskirai išanalizavome kiekvieno savybių bloko taikymą posakių transformavimui, nuorodas į atitinkamus straipsnius rasite svetainės skiltyje www.svetainės išraiškos ir jų transformacija. Čia parodysime kelių pavyzdžių apie savybių naudojimą kartu su logaritmais sprendimą.

Pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką .

Sprendimas.

Pirma, transformuokime išraiškas su šaknimis. Pradinės išraiškos ODZ kintamajame x (kuris mūsų atveju yra teigiamų realiųjų skaičių rinkinys) galite pereiti nuo šaknų prie laipsnių su trupmeniniais eksponentais, o tada naudoti laipsnių dauginimo su tomis pačiomis bazėmis savybę: . Šiuo būdu,

Dabar mes atstovaujame skaitiklį formoje (tai leidžia atlikti laipsnio savybę laipsnyje, jei reikia, pamatyti išraiškų transformaciją naudojant laipsnių savybes, taip pat skaičiaus vaizdavimą, leidžiantį pakeisti sinuso ir sinuso kvadratų sumą to paties argumento kosinusas su vienetu. Taigi vienetą gauname po logaritmo ženklu A, Kaip žinote, vienybės logaritmas lygus nuliui.

Parašykime atliktas transformacijas:

Nulis kube yra nulis, todėl pereiname prie išraiškos .

Trupmena, kurios skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui (mūsų atveju tai tiesa, nes nesunku pagrįsti, kad natūraliojo logaritmo ženklu raiškos reikšmė skiriasi nuo vieneto) lygi nuliui. . Šiuo būdu,

Tolesnės transformacijos atliekamos remiantis nelyginio laipsnio šaknies nustatymu iš neigiamo skaičiaus: .

Kadangi 2 15 yra teigiamas skaičius, galime pritaikyti šaknų savybes, kurios lemia galutinį rezultatą: .

Atsakymas: