Sudėtingi skaičiai

Įsivaizduojamas ir kompleksiniai skaičiai. Abscisė ir ordinatė

kompleksinis skaičius. Konjuguoti kompleksinius skaičius.

Operacijos su kompleksiniais skaičiais. Geometrinis

kompleksinių skaičių vaizdavimas. sudėtinga plokštuma.

Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas. trigonometrinis

kompleksinių skaičių forma. Operacijos su kompleksu

skaičiai trigonometrine forma. Moivre formulė.

Pagrindinė informacija apie įsivaizduojamas ir kompleksiniai skaičiai yra pateikti skyriuje „Įsivaizduojami ir kompleksiniai skaičiai“. Šių naujo tipo skaičių poreikis atsirado sprendžiant atvejo kvadratines lygtisD< 0 (здесь Dyra kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio panaudojimo, todėl buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie labai plačiai naudojami įvairiose fizikos srityse.

ir technologijos: elektrotechnika, hidro- ir aerodinamika, tamprumo teorija ir kt.

Sudėtingi skaičiai parašyti taip:a+bi. Čia a ir b – realūs skaičiai , a i – įsivaizduojamas vienetas. e. i 2 = –1. Skaičius a paskambino abscisė, a b – ordinatėkompleksinis skaičiusa + b.Du kompleksiniai skaičiaia+bi ir a-bi paskambino konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Pagrindinės sutartys:

1. Tikrasis skaičiusataip pat galima parašyti formojekompleksinis skaičius:+ 0 i arba a - 0 i. Pavyzdžiui, įrašai 5 + 0i ir 5-0 ireiškia tą patį skaičių 5 .

2. Kompleksinis skaičius 0 + bipaskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašymasbireiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiaia+bi irc + dilaikomi lygiaverčiais, jeia = c ir b = d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Papildymas. Kompleksinių skaičių sumaa+bi ir c + divadinamas kompleksiniu skaičiumi (a+c ) + (b+d ) aš .Šiuo būdu, kai pridedama kompleksiniai skaičiai, jų abscisės ir ordinatės pridedami atskirai.

Šis apibrėžimas atitinka įprastų daugianario taisykles.

Atimtis. Skirtumas tarp dviejų kompleksinių skaičiųa+bi(sumažintas) ir c + di(atimtas) vadinamas kompleksiniu skaičiumi (a-c ) + (b-d ) aš .

Šiuo būdu, atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandaugaa+bi ir c + di vadinamas kompleksiniu skaičiumi.

(ac-bd ) + (ad+bc ) aš .Šis apibrėžimas kyla iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+bi ir c + diturėtų daugintis kaip algebrinė dvinariai,

2) skaičius ituri pagrindinę savybę:i 2 = – 1.

PAVYZDYS ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbti

du konjuguoti kompleksiniai skaičiai yra lygūs tikrajam

teigiamas skaičius.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičiųa+bi (dalomas) į kitąc + di(daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičiųe + fi(pokalbis), kurį padauginus iš daliklioc + di, dėl ko gaunamas dividendasa + b.

Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+i ) : (2 – 3 i) .

Sprendimas. Perrašykime šį santykį į trupmeną:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3i

Ir atlikę visas transformacijas gauname:

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė Areiškia skaičių -3, taškąB yra skaičius 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates su vienodomis mastelėmis abiejose ašyse. Tada kompleksinis skaičiusa+bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmis a ir ordinatė b (žr. pav.). Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

modulis kompleksinis skaičius vadinamas vektoriaus ilgiuOP, vaizduojantis kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulisa+bižymimas | a+bi| arba laiškas r

Kompleksiniai skaičiai yra minimalus mums žinomų realiųjų skaičių išplėtimas. Esminis jų skirtumas tas, kad atsiranda elementas, kuris kvadratu duoda -1, t.y. aš, arba.

Bet kurį kompleksinį skaičių sudaro dvi dalys: tikras ir įsivaizduojamas:

Taigi akivaizdu, kad realiųjų skaičių aibė sutampa su kompleksinių skaičių, kurių įsivaizduojama dalis nulinė, aibe.

Populiariausias kompleksinių skaičių rinkinio modelis yra įprasta plokštuma. Pirmoji kiekvieno taško koordinatė bus jo tikroji dalis, o antroji – įsivaizduojama. Tada pačių kompleksinių skaičių vaidmuo bus vektoriai, kurių pradžia yra taške (0,0).

Operacijos su kompleksiniais skaičiais.

Tiesą sakant, jei atsižvelgsime į kompleksinių skaičių aibės modelį, intuityviai aišku, kad dviejų kompleksinių skaičių sudėjimas (atimtis) ir daugyba atliekami taip pat, kaip ir atitinkamos operacijos su vektoriais. Be to, turime omenyje vektorių kryžminę sandaugą, nes šios operacijos rezultatas vėl yra vektorius.

1.1 Papildymas.

(Kaip matote, ši operacija tiksliai atitinka )

1.2 Atimtis, panašiai atliekama pagal šią taisyklę:

2. Daugyba.

3. Padalinys.

Jis apibrėžiamas tiesiog kaip atvirkštinė daugybos operacija.

trigonometrinė forma.

Kompleksinio skaičiaus z modulis yra toks dydis:

,

akivaizdu, kad tai vėlgi yra tiesiog vektoriaus (a,b) modulis (ilgis).

Dažniausiai kompleksinio skaičiaus modulis žymimas kaip ρ.

Paaiškėjo, kad

z = ρ(cosφ+isinφ).

Tai tiesiogiai išplaukia iš kompleksinio skaičiaus rašymo trigonometrinės formos. formules :

Paskutinė formulė vadinama De Moivre formulė. Formulė gaunama tiesiogiai iš jos. n-oji kompleksinio skaičiaus šaknis:

taigi kompleksinio skaičiaus z yra n-osios šaknys.

Pamokos planas.

1. Organizacinis momentas.

2. Medžiagos pristatymas.

3. Namų darbai.

4. Pamokos apibendrinimas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

II. Medžiagos pristatymas.

Motyvacija.

Realiųjų skaičių aibės išplėtimas susideda iš to, kad prie realių skaičių pridedami nauji skaičiai (įsivaizduojami). Šių skaičių įvedimas yra susijęs su tuo, kad neįmanoma išskirti šaknies iš neigiamo skaičiaus realiųjų skaičių aibėje.

Sudėtinio skaičiaus sąvokos įvedimas.

Įsivaizduojami skaičiai, kuriais papildome realiuosius skaičius, rašomi kaip bi, kur i yra įsivaizduojamas vienetas ir i 2 = - 1.

Remdamiesi tuo, gauname tokį kompleksinio skaičiaus apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius yra formos išraiška a+bi, kur a ir b yra realūs skaičiai. Šiuo atveju tenkinamos šios sąlygos:

a) Du kompleksiniai skaičiai a 1 + b 1 i ir a 2 + b 2 i lygus tada ir tik tada a 1 = a 2, b1=b2.

b) Kompleksinių skaičių sudėjimas nustatomas pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Kompleksinių skaičių daugyba nustatoma pagal taisyklę:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebrinė kompleksinio skaičiaus forma.

Kompleksinio skaičiaus rašymas formoje a+bi vadinama kompleksinio skaičiaus algebrine forma, kur a- tikroji dalis bi yra įsivaizduojama dalis ir b yra tikrasis skaičius.

Sudėtingas skaičius a+bi laikomas lygiu nuliui, jei jo tikroji ir menamoji dalys yra lygios nuliui: a=b=0

Sudėtingas skaičius a+bi adresu b = 0 laikomi tikru skaičiumi a: a + 0i = a.

Sudėtingas skaičius a+bi adresu a = 0 vadinamas grynai įsivaizduojamu ir žymimas bi: 0 + bi = bi.

Du kompleksiniai skaičiai z = a + bi ir = a – bi, kurie skiriasi tik įsivaizduojamos dalies ženklu, vadinami konjuguotais.

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais algebrine forma.

Su kompleksiniais skaičiais algebrine forma galima atlikti šias operacijas.

1) Papildymas.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių suma z 1 = a 1 + b 1 i ir z 2 = a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, kurio tikroji dalis lygi realiųjų dalių sumai z1 ir z2, o menamoji dalis yra įsivaizduojamų skaičių dalių suma z1 ir z2, tai yra z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Skaičiai z1 ir z2 vadinami terminais.

Sudėtiniai skaičiai turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Sudėtingas skaičius -a -bi vadinamas kompleksinio skaičiaus priešingumu z = a + bi. Kompleksinis skaičius, priešingas kompleksiniam skaičiui z, pažymėta -z. Kompleksinių skaičių suma z ir -z lygus nuliui: z + (-z) = 0

1 pavyzdys: pridėti (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Atimtis.

Apibrėžimas. Atimti iš kompleksinio skaičiaus z1 kompleksinis skaičius z2 z, ką z + z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių skirtumas egzistuoja ir, be to, yra unikalus.

2 pavyzdys: atimti (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Daugyba.

Apibrėžimas. Kompleksinių skaičių sandauga z 1 =a 1 +b 1 i ir z 2 \u003d a 2 + b 2 i vadinamas kompleksiniu skaičiumi z, apibrėžta lygybe: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Skaičiai z1 ir z2 vadinami veiksniais.

Kompleksinių skaičių dauginimas turi šias savybes:

1º. Komutatyvumas: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociatyvumas: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 yra tikrasis skaičius.

Praktiškai kompleksiniai skaičiai dauginami pagal taisyklę, kad suma dauginama iš sumos ir atskiriama tikroji ir menama dalis.

Toliau pateiktame pavyzdyje apsvarstykite sudėtingų skaičių dauginimą dviem būdais: pagal taisyklę ir padauginus sumą iš sumos.

3 pavyzdys: padauginkite (2 + 3i) (5–7i).

1 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 būdas. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Padalijimas.

Apibrėžimas. Padalinkite kompleksinį skaičių z1 iki kompleksinio skaičiaus z2, reiškia rasti tokį kompleksinį skaičių z, ką z z 2 = z 1.

Teorema. Kompleksinių skaičių koeficientas egzistuoja ir yra unikalus, jei z2 ≠ 0 + 0i.

Praktiškai kompleksinių skaičių koeficientas randamas skaitiklį ir vardiklį padauginus iš vardiklio konjugato.

Leisti z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, tada

.

Toliau pateiktame pavyzdyje atliekame padalijimą pagal formulę ir daugybos iš vardiklio konjugato taisyklę.

4 pavyzdys. Raskite koeficientą .

5) Didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio.

a) Įsivaizduojamos vienybės galios.

Pasinaudojus lygybe i 2 \u003d -1, nesunku apibrėžti bet kokią teigiamą sveikąjį įsivaizduojamo vieneto galią. Mes turime:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 ir tt

Tai rodo, kad laipsnio reikšmės aš n, kur n- teigiamas sveikasis skaičius, periodiškai kartojamas, kai rodiklis padidėja 4 .

Todėl norėdami padidinti skaičių i iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio padalykite eksponentą iš 4 ir stačias i laipsniui, kurio rodiklis yra dalybos liekana.

5 pavyzdys Apskaičiuokite: (i 36 + i 17) ir 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Kompleksinio skaičiaus didinimas iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio atliekamas pagal dvinario didinimo iki atitinkamos laipsnio taisyklę, nes tai yra ypatingas identiškų kompleksinių veiksnių dauginimo atvejis.

6 pavyzdys Apskaičiuokite: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.