Dviejų skaičių dalinio šaknis. Kaip rasti kvadratinę šaknį? Savybės, šaknų ištraukimo pavyzdžiai

Matematika atsirado tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save laikyti savarankišku pasaulio vienetu. Noras matuoti, lyginti, skaičiuoti tai, kas tave supa, yra vienas iš pagrindinių mūsų dienų mokslų. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos dalelės, kurios leido susieti skaičius su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl jų abstrakcijos), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai iš jos dingo.“ visi skaičiai“. koncepcija " Kvadratinė šaknis„pasirodė tuo metu, kai jį buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plotmę.

Kur viskas prasidėjo

Pirmasis paminėjimas apie šaknį, kuri yra Šis momentasžymimas √, buvo užfiksuotas Babilono matematikų darbuose, padėjusiuose pagrindus šiuolaikinei aritmetikai. Žinoma, jos mažai kuo panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. Jie išvedė apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip išgauti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė √2 išvedimo procesą, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose skaitmenų.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio objektas buvo tiriamas ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio negalima ištraukti šaknies be likučio, duoda neracionalų rezultatą. .

Kilmė Šis terminas siejamas su arabišku skaičiaus vaizdavimu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip ir augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galite atsekti modelį - viskas, kas turi „šaknį“, yra priebalsė, nesvarbu, ar tai ridikas, ar radikulitas).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad buvo paimta savavališko skaičiaus a kvadratinė šaknis, jie parašė R 2 a. Įprasta modernus vaizdas„erkė“ √ atsirado tik XVII amžiuje Renė Dekarto dėka.

Mūsų dienos

Matematine prasme skaičiaus y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas lygus y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas svarbi tik aritmetinei šaknei, nes ji reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

IN bendras atvejis, kuris veikia nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad meilė matematikai tik stiprėjo tobulėjant mokslui, atsiranda įvairių meilės jai apraiškų, kurios neišreiškiamos sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais reiškiniais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos tokiu principu: dieną ir mėnesį nurodantys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taigi, kitą kartą šią šventę švęsime 2016 m. balandžio 4 d.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik viskas matematines išraiškas turi geometrinį pagrindą, šis likimas neaplenkė √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - kol išvesties liekana yra mažesnė už atimtą vienetą arba net lygi nuliui. Judėjimų skaičius galiausiai taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadratinę šaknį iš 25:

Kitas nelyginis skaičius yra 11, o likusi dalis yra: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Panagrinėkime elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jo tvarkaraštis atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, siekiant palengvinti sudėtingų išraiškų skaičiavimą, kartais naudojama kvadratinės šaknies rašymo galios forma: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu atvaizdas, nes jo dėka kvadratinė šaknis vaizduojama kaip įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakeitimas yra raidžių sqrt derinys.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip gauti lyginę neigiamo skaičiaus šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl šios priežasties kvadratinės lygtys buvo išspręstos net su neigiamu diskriminantu. C kalboje kvadratinei šakniai svarbios tos pačios savybės kaip ir R, tik pašalinami radikalinės išraiškos apribojimai.

Šis straipsnis yra išsamios informacijos, susijusios su šaknų savybių tema, rinkinys. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami konsoliduoti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šaknų savybės

Mes kalbėsime apie savybes.

1. Nuosavybė padauginti skaičiai a Ir b, kuri vaizduojama kaip lygybė a · b = a · b. Jis gali būti pavaizduotas faktorių forma, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. iš koeficiento a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, jis gali būti parašytas ir tokia forma a b = a b;
3. Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, ypatybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a.

Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b paverčiama kaip a · b = a · b. Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.

Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybėmis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.

Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnių savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 = a ir b 2 = b, tada a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Panašiu būdu tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus produktui kvadratinės šaknys nuo šių veiksnių. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.

1 pavyzdys

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška taps įrodymu.

Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30,121 = 30,121.

Panagrinėkime skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .

Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

5 2 = 5 = 5 ir - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m, kur a– tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, galios didinimo savybė leidžia mums ją pakeisti a 2 m išraiška (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.

3 pavyzdys

3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

N-osios šaknies savybės

Pirmiausia turime atsižvelgti į pagrindines n-osios šaknų savybes:

1. Savybė iš skaičių sandaugos a Ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a · b n = a n · b n , ši savybė galioja sandaugai k skaičių a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b– teigiamas realusis skaičius;
3. Bet kuriam a ir net rodikliai n = 2 m a 2 · m 2 · m = a yra teisinga, o nelyginė n = 2 m − 1 galioja lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Išgavimo iš a m n = a n m savybė, kur a– bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n Ir m yra natūralūs skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota formoje. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n Ir m, kurios yra natūralios, taip pat galime apibrėžti teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
6. Laipsnio savybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūraliajai galiai m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
7. Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a Ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
8. Palyginkite savybes, kurios turi tie patys skaičiai po šaknimi: jei m Ir n – natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 nelygybė a m > a n yra teisinga, o kada a > 1įvykdė m< a n .

Aukščiau pateiktos lygybės galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra sukeistos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant arba transformuojant išraiškas.

Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.

1. Pirmiausia įrodykime sandaugos a · b n = a n · b n n-osios šaknies savybes. Dėl a Ir b , kuris yra teigiamas arba lygus nuliui , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių padauginimo pasekmė. Produkto savybė natūraliajai galiai leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n-tasis laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.

Šią savybę panašiai galima įrodyti ir gaminiui k daugikliai: neneigiamiems skaičiams a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 Ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .

Parodykime pavyzdžius:

4 pavyzdys

8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Dėl Kitas žingsnis reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Įsivaizduokime tai kaip lygybę a 2 m 2 m = a ir a 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kuriai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal galios savybę. Būtent tai įrodo lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bus teisinga, nes nelyginis laipsnis laikomas - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.

Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės naudojimo pavyzdžių:

5 pavyzdys

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Įrodykime tokią lygybę a m n = a n m . Norėdami tai padaryti, turite sukeisti skaičius prieš ir po lygybės ženklo a n · m = a m n . Tai reikš teisingas įrašas. Dėl a, kuri yra teigiama arba lygus nuliui , a m n formos skaičius yra teigiamas arba lygus nuliui. Panagrinėkime savybę pakelti galią į galią ir jos apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tai įrodo nagrinėjamos šaknies šaknies savybę.

Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Įrodykime kitas turtas a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m lygus esu. Jei numeris a yra teigiamas arba lygus nuliui, tada n– laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Šiuo atveju a n · m n = a n n m , ką ir reikėjo įrodyti.

Siekdami įtvirtinti įgytas žinias, pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1. Įrodykime tokią savybę – a m n = a n m formos laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad kai a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n toji galia lygi esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo nagrinėjamo laipsnio savybę.

Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Būtina įrodyti, kad bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b sąlyga tenkinama a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .

Pavyzdžiui, duokime 12 4< 15 2 3 4 .

1. Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia reikia atsižvelgti į pirmąją nelygybės dalį. At m > n Ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, kad a m ≤ a n. Savybės leis supaprastinti išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada, atsižvelgiant į laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes, galioja nelygybė a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tai yra, a n ≤ a m. Gauta vertė m > n Ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.

Lygiai taip pat galima įrodyti, kad kada m > n Ir a > 1 sąlyga a m yra teisinga< a n .

Norėdami įtvirtinti pirmiau minėtas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Pažvelkime į nelygybes naudodami konkrečius skaičius.

6 pavyzdys

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad mes kalbame apie apie aritmetinę šaknį jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis iš A«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint užtikrinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .

Apie trupmenos pakėlimo laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , Jei A ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies konversija

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:

Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažiūrėkime į pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, radikali išraiška pavaizduojama sandaugos forma, kurioje vienas ar keli veiksniai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Tą lygybę akcentuojame galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .