Apskaičiuokite kūno, besisukančio aplink x ašį, tūrį. Integruotas veiksme

Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Išmokite kompetentingi ir greita technika diagramas galima atlikti naudojant mokymo medžiaga ir geometrinių grafikų transformacijos. Bet, tiesą sakant, pamokoje ne kartą kalbėjau apie piešinių svarbą.

Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių programų, naudodamiesi apibrėžtuoju integralu galite apskaičiuoti figūros plotą, apsisukimo kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą. rotacija ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Atstovaujama? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

- aplink abscisių ašį;
- aplink y ašį.

Šiame straipsnyje bus aptariami abu atvejai. Ypač įdomus antrasis sukimo būdas, sukeliantis daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu prie figūros ploto radimo problema, ir pasakys, kaip rasti sritį antruoju būdu – išilgai ašies. Net ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

plokščia figūra aplink ašį

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant figūrą, apribotas linijomis, aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, apribotą tiesėmis , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį . Kaip padaryti piešinį racionaliau ir greičiau, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Tai yra Kinijos priminimas ir toliau Šis momentas Aš nebestojau.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra nuspalvinta mėlyna spalva, būtent ši figūra sukasi aplink ašį.. Sukimosi rezultate gaunama tokia šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė, kuri yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, tačiau tingus ką nors nurodyti žinyno knygoje, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

Formulėje prieš integralą turi būti skaičius. Taip atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Kaip nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas, manau, nesunku atspėti iš baigto brėžinio.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą iš viršaus riboja parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: , taigi integralas visada yra neneigiamas, kas yra gana logiška.

Apskaičiuokite apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme būtina nurodyti matmenį – kubinius vienetus. Tai yra, mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl būtent kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t.t., tiek mažų žalių žmogeliukų tavo vaizduotė telpa į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, kurią riboja linijos , ,

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Apsvarstykite dar du sudėtingas užduotis su kuriais dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: brėžinyje nupieškite plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai sukasi aplink ašį, gaunama tokia siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas kaip kūno tūrio skirtumas.

Pirma, pažvelkime į figūrą, kuri yra raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį kaip .

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apskritimu žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai priimamas trumpiau, maždaug taip:

Dabar pailsėkime ir pakalbėkime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Įdomi geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, vidutinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria skysčio, kurio tūris yra 18 kambario ploto. kvadratinių metrų, kuris, priešingai, atrodo per mažas.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo pati geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai plėtoja, kaip sakė humoristas, samprotavimą ir moko ieškoti originalumo. nestandartiniai sprendimai problemų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanitarams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau bespontanišką pramogą, erudicija ir platus bendravimo žvilgsnis yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Sutvarkykite grafiką teisingai trigonometrinės funkcijos, prisiminkite pamokos medžiagą apie grafikų geometrinės transformacijos: jei argumentas dalijasi iš dviejų: , tai grafikai ištempiami išilgai ašies du kartus. Pageidautina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Užduotis apskaičiuoti apsisukimo kūno aplink y ašį tūrį taip pat yra gana dažnas svečias. kontrolinis darbas. Praeinant bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis būdas – integracija išilgai ašies, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimą. Tai taip pat turi praktinę prasmę! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome savo personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).

Rekomenduoju perskaityti visiems, net visiškiems manekenams. Be to, asimiliuota antrosios pastraipos medžiaga bus neįkainojama pagalba apskaičiuojant dvigubus integralus.

5 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrą pastraipą, pirmiausia būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Atlikime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija apibrėžia viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama pamokoje. Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
- segmente ;
- segmente.

Štai kodėl:

Kuo šiuo atveju negerai įprastas sprendimas? Pirma, yra du integralai. Antra, šaknys po integralais, o šaknys integraluose nėra dovana, be to, galima susipainioti keičiant integralų ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra mirtini, bet praktiškai viskas yra daug liūdniau, aš tiesiog pasiėmiau „geresnes“ užduotis.

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perėjimas prie atvirkštinių funkcijų ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pereiti prie atvirkštinių funkcijų? Grubiai tariant, jūs turite išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia panagrinėkime parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Su tiesia linija viskas lengviau:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Be to, segmente tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: Reikėtų nustatyti integravimo ribas išilgai ašies griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip aš atlikau integraciją, tai racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunamas pradinis integrandas, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra „svyrantis drugelis“, kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti apsisukimo kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad apsisukimo kūno tūris turėtų būti rastas kaip skirtumas tarp tūrių.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Sukame figūrą, apvestą žaliai, aplink ašį ir pažymime ją per gauto apsisukimo kūno tūrį.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo ji skiriasi nuo ankstesnėje pastraipoje pateiktos formulės? Tik laiškais.

O štai integracijos privalumas, apie kurį jau seniai kalbėjau, daug lengviau rasti nei pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei ta pati plokščia figūra bus pasukta aplink ašį, atsiras visiškai kitoks apsisukimo kūnas, kitokio, natūraliai, tūrio.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijų , ir ašis .

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį .
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Norintys taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip užbaigdami 1 punkto testą). Bet jei, kartoju, sukite plokščią figūrą aplink ašį, tada gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu garsu, beje, teisingą atsakymą (taip pat tiems, kurie mėgsta spręsti).

Pilnas dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas pamokos pabaigoje.

O, ir nepamirškite pakreipti galvą į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integraciją!

Pamokos tipas: kombinuotas.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

• įtvirtinti gebėjimą pasirinkti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių formų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;
• susipažinti su trimatės figūros samprata;
• išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;
• prisidėti prie vystymosi loginis mąstymas, kompetentinga matematinė kalba, brėžinių konstravimo tikslumas;
• ugdyti domėjimąsi dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą, atkaklumą siekiant galutinio rezultato.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Grupinis sveikinimas. Pamokos tikslų perdavimas mokiniams.

Atspindys. Rami melodija.

Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Buvo išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Suspaudęs drugelį rankose, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavija, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir pats galvoja: „Jei gyvasis pasakys, aš ją užmušiu, o mirusysis – išleisiu“. Išminčius susimąstęs atsakė: "Viskas tavo rankose". (Pristatymas.Skaidrė)

– Todėl šiandien dirbkime vaisingai, įgykime naują žinių bagažą, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime vėlesniame gyvenime bei praktinėje veikloje. "Viskas tavo rankose".

II. Anksčiau išmoktos medžiagos kartojimas.

Apžvelgsime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atlikime užduotį „Pašalinkite perteklinį žodį“.(Skaidr.)

(Studentas eina į ID su trintuko pagalba pašalina papildomą žodį.)

- Teisingai "Diferencialas". Pabandykite įvardinti likusius žodžius vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)

- Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

„Matematinė krūva“.

Pratimas. Atkurti leidimus. (Mokinys išeina ir rašikliu užrašo reikiamus žodžius.)

– Pranešimą apie integralų taikymą išgirsime vėliau.

Darbas sąsiuviniuose.

– Niutono-Leibnico formulę sukūrė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643–1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646–1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra ta kalba, kuria kalba pati gamta.

– Apsvarstykite, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines užduotis.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Sukurkime funkcijų grafikus koordinačių plokštumoje . Pasirinkite figūros sritį, kurią norite rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

- Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (skaidr.) (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (skaidr.) (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

erdvėje, žemėje ir viduje Kasdienybė susitinkame ne tik su plokščiomis figūromis, bet ir su trimatėmis, bet kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui, planetos, kometos, meteorito ir kt.

– Pagalvokite apie tūrį ir namų statybą bei vandens pylimą iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kitas dalykas – kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti.

Studento žinutė. (Tyurina Vera.)

Austrijos miesto Linco, kuriame gyveno tuomet garsus astronomas Johannesas Kepleris, gyventojams 1612 metai buvo labai vaisingi, ypač vynuogėms. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį. (2 skaidrė)

– Taigi svarstomi Keplerio darbai žymėjo viso tyrimų srauto pradžią, kurio kulminacija buvo Paskutinis ketvirtis XVII a dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Leibnizo diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Nuo to laiko dydžių kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

– Taigi šiandien užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Revoliucijos kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“. (skaidr.)

- Sužinosite revoliucijos kūno apibrėžimą atlikę šią užduotį.

„Labirintas“.

labirintas ( Graikiškas žodis) reiškia perėjimą į požemį. Labirintas – tai sudėtingas takų, praėjimų, kambarių, bendraujančių tarpusavyje, tinklas.

Tačiau apibrėžimas „sudužo“, buvo užuominų strėlių pavidalu.

Pratimas. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

Skaidrė. „Instrukcijų kortelė“ Tūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti kūno, ypač apsisukimo, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant kreivinę trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal vieną iš formulių:

1. aplink x ašį.

2. , jei kreivinės trapecijos sukimasis aplink y ašį.

Kiekvienas mokinys gauna mokymo kortelę. Mokytojas pabrėžia pagrindinius dalykus.

Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimą.

Apsvarstykite ištrauką iš garsiosios A. S. Puškino pasakos „Pasaka apie carą Saltaną, jo šlovingą ir galingą sūnų princą Gvidoną Saltanovičių ir gražiąją princesę Lebedą“. (4 skaidrė):

…..
Ir atnešė girtą pasiuntinį
Tą pačią dieną užsakymas yra:
„Caras įsako savo bojarams,
Negaišdamas laiko,
Ir karalienė ir palikuonys
Slapta įmestas į vandenų bedugnę.
Nėra ką veikti: bojarai,
Apraudojęs suvereno
Ir jaunoji karalienė
Į jos miegamąjį atėjo minia.
Paskelbė karališkąją valią -
Jos ir jos sūnaus likimas yra blogas,
Garsiai perskaitykite dekretą
Ir tuo pačiu karalienė
Jie įkišo mane į statinę su sūnumi,
Meldėsi, riedėjo
Ir jie įleido mane į okianą -
Taip įsakė caras Saltanas.

Koks turi būti statinės tūris, kad joje tilptų karalienė ir jos sūnus?

– Apsvarstykite šias užduotis

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink y ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Atsakymas: 1163 cm 3 .

Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink abscisę y = , x = 4, y = 0.

IV. Naujos medžiagos tvirtinimas

2 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukant žiedlapį aplink x ašį y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Nubraižykime funkcijos grafikus. y=x2, y2=x. Tvarkaraštis y 2 = x transformuoti į formą y= .

Mes turime V \u003d V 1 - V 2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos garsumą

– Dabar pažiūrėkime į radijo stoties bokštą Maskvoje Šabolovkoje, pastatytą pagal nuostabaus rusų inžinieriaus, garbės akademiko V. G. Šuchovo projektą. Jį sudaro dalys – revoliucijos hiperboloidai. Be to, kiekvienas iš jų pagamintas iš tiesių metalinių strypų, jungiančių gretimus apskritimus (8, 9 pav.).

- Apsvarstykite problemą.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant hiperbolės lankus aplink savo įsivaizduojamą ašį, kaip parodyta Fig. 8, kur

kubas vienetų

Grupinės užduotys. Mokiniai traukia burtus su užduotimis, piešiami ant vatmano popieriaus, vienas iš grupės atstovų gina darbą.

1 grupė.

Pataikyk! Pataikyk! Dar vienas hitas!
Į vartus atskrenda kamuolys – BALL!
Ir tai yra arbūzo rutulys
Žalia, apvali, skani.
Geriau atrodyk – koks kamuolys!
Jis sudarytas iš apskritimų.
Supjaustykite apskritimais arbūzą
Ir paragaukite jų.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink OX ašį funkcijos, kurią riboja

Klaida! Žymė neapibrėžta.

- Pasakyk man, prašau, kur mes susitinkame su šia figūra?

Namas. užduotis 1 grupei. CILINDRAS (skaidr.) .

"Cilindras - kas tai?" Paklausiau tėčio.
Tėvas nusijuokė: cilindras yra kepurė.
Norėdami turėti teisingą idėją,
Cilindras, tarkime, yra skardinė.
Garlaivio vamzdis yra cilindras,
Vamzdis ir ant mūsų stogo,

Visi vamzdžiai yra panašūs į cilindrą.
Ir aš pateikiau tokį pavyzdį -
Mano mylimas kaleidoskopas
Negalite nuo jo atitraukti akių.
Jis taip pat atrodo kaip cilindras.

- Pratimas. Namų darbas nubraižyti funkciją ir apskaičiuoti garsumą.

2-oji grupė. KŪGIS (skaidr.).

Mama pasakė: Ir dabar
Apie kūgį bus mano istorija.
Stargazer aukšta kepuraite
Skaičiuoja žvaigždes ištisus metus.
KŪGIO – žvaigždžių stebėtojo kepurė.
Toks jis ir yra. Supratau? Viskas.
Mama buvo prie stalo
Ji supylė aliejaus į butelius.
- Kur yra piltuvas? Nėra piltuvo.
Žiūrėk. Nestovėk nuošalyje.
- Mama, aš nepajudėsiu iš vietos,
Papasakok daugiau apie kūgį.
- Piltuvas yra laistytuvo kūgio formos.
Nagi, greitai susirask mane.
Aš negalėjau rasti piltuvo
Bet mama padarė maišelį,
Apvyniokite kartoną aplink pirštą
Ir mikliai susegtas sąvarželiu.
Aliejus liejasi, mama džiaugiasi
Kūgis išėjo kaip tik.

Pratimas. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink x ašį

Namas. užduotis II grupei. PIRAMIDĖ(skaidr.).

Pamačiau paveikslėlį. Šiame paveikslėlyje
Smėlio dykumoje yra PIRAMIDĖ.
Viskas piramidėje yra nepaprasta,
Jame yra tam tikra paslaptis ir paslaptis.
Spasskaya bokštas Raudonojoje aikštėje
Ir vaikai, ir suaugusieji yra gerai žinomi.
Pažvelkite į bokštą - paprastos išvaizdos,
Kas ant jos? Piramidė!

Pratimas. Namų darbas nubraižykite funkciją ir apskaičiuokite piramidės tūrį

– Apimtys įvairūs kūnai apskaičiavome pagal pagrindinę kūnų tūrių formulę naudodami integralą.

Tai dar vienas patvirtinimas, kad apibrėžtasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas.

– Dabar pailsėkime.

Susirask porą.

Skamba matematinė domino melodija.

„Kelias, kurio jis pats ieškojo, niekada nebus pamirštas...“

Tiriamasis darbas. Integralo taikymas ekonomikoje ir technologijoje.

Testai stipriems besimokantiems ir matematikos futbolas.

Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

BET) neapibrėžtas integralas,

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Apskaičiuokite apsisukimų kūnų tūrius.

Atspindys.

Refleksijos priėmimas formoje cinquain(penkios eilutės).

1 eilutė - temos pavadinimas (vienas daiktavardis).

2 eilutė - temos aprašymas trumpai, du būdvardžiai.

3 eilutė – veiksmo šioje temoje aprašymas trimis žodžiais.

4 eilutė - keturių žodžių frazė, parodo požiūrį į temą (visas sakinys).

5 eilutė yra sinonimas, pakartojantis temos esmę.

1. Apimtis.
2. Apibrėžtasis integralas, integruojama funkcija.
3. Statome, sukame, skaičiuojame.
4. Kūnas, gautas sukant kreivinę trapeciją (aplink jos pagrindą).
5. Revoliucijos kūnas (3D geometrinis kūnas).

Išvada (skaidr.).

• Tam tikras integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, kuris yra nepakeičiamas indėlis sprendžiant praktinio turinio problemas.
• Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.
• Plėtra šiuolaikinis mokslas neįsivaizduojamas be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!

Įvertinimas. (Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas yra matematikas, poetas ir filosofas. Jis ragina būti savo likimo šeimininkais. Klausykite ištraukos iš jo kūrinio:

Sakote, kad šis gyvenimas yra tik akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.

Integralų naudojimas norint rasti revoliucijos kietųjų dalelių tūrius

Praktinis matematikos naudingumas yra dėl to, kad be

dėl specifinių matematinių žinių sunku suprasti įrenginio ir naudojimo principus moderni technologija. Kiekvienas žmogus savo gyvenime turi atlikti gana sudėtingus skaičiavimus, naudoti įprastai naudojamą įrangą, rasti reikiamas formules žinynuose ir sudaryti paprastus problemų sprendimo algoritmus. AT šiuolaikinė visuomenė reikia daugiau specialybių aukštas lygis išsilavinimas siejamas su tiesioginiu matematikos taikymu. Taigi moksleiviui matematika tampa profesiniu požiūriu reikšmingu dalyku. Pagrindinis vaidmuo formuojant algoritminį mąstymą tenka matematikai, ji ugdo gebėjimą veikti pagal duotą algoritmą ir kurti naujus algoritmus.

Nagrinėjant temą apie integralo panaudojimą skaičiuojant apsisukimų kūnų tūrius, siūlau pasirenkamųjų klasių mokiniams apsvarstyti temą: „Apsisukimo kūnų tūriai naudojant integralus“. Štai keletas gairių, kaip spręsti šią temą:

1. Plokščios figūros plotas.

Iš algebros kurso žinome, kad praktinės problemos paskatino apibrėžto integralo koncepciją..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Norėdami rasti sukimosi kūno, susidarančio sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos lūžio linija y=f(x), Ox ašies, tiesių x=a ir x=b, tūrį, apskaičiuojame pagal formulę

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Cilindro tūris.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kūgis gaunamas sukant stačiakampį trikampį ABC(C=90) aplink Ox ašį, ant kurios guli kojelė AC.

AB segmentas yra tiesėje y=kx+c, kur https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Tegul a=0, b=H (H yra kūgio aukštis), tada Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Nupjauto kūgio tūris.

Nupjautą kūgį galima gauti sukant stačiakampę trapeciją ABCD (CDOx) aplink Ox ašį.

Atkarpa AB yra tiesėje y=kx+c, kur , c=r.

Kadangi tiesė eina per tašką A (0; r).

Taigi tiesi linija atrodo taip https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Tegul a=0, b=H (H yra nupjauto kūgio aukštis), tada https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Kamuolio tūris.

Rutulį galima gauti sukant apskritimą su centru (0;0) aplink x ašį. Puslankis, esantis virš x ašies, pateikiamas lygtimi

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Išskyrus plokščios figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą (žr. 7.2.3.) svarbiausias temos pritaikymas yra apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: reikia mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas, n Taip pat reikalingi stiprūs braižybos įgūdžiai. Apskritai integralų skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų; naudodamiesi apibrėžtuoju integralu galite apskaičiuoti figūros plotą, apsisukimo kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą. kūnui ir daug daugiau. Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Atstovaujama? ... Dabar šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

- aplink x ašį ;

- aplink y ašį .

Pažvelkime į abu atvejus. Ypač įdomus antrasis sukimo būdas, sukeliantis daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

Kūno tūrio, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, apskaičiavimas JAUTIS

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, lėktuve XOY būtina sukurti figūrą, apribotą linijomis, nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį. Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra nuspalvinta mėlyna spalva, būtent ji sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama tokia šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė su dviem aštriomis smailėmis ašyje. JAUTIS, simetriškas ašies atžvilgiu JAUTIS. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, pažiūrėkite į žinyną.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį? Jei kūnas susidaro sukantis aplink ašįJAUTIS, jis mintyse yra padalintas į lygiagrečius mažo storio sluoksnius dx kurios yra statmenos ašiai JAUTIS. Viso kūno tūris akivaizdžiai lygus tokių elementarių sluoksnių tūrių sumai. Kiekvienas sluoksnis, kaip apvalus citrinos griežinėlis, yra žemo cilindro aukščio dx ir su pagrindo spinduliu f(x). Tada vieno sluoksnio tūris yra pagrindo ploto π sandauga f 2 iki cilindro aukščio ( dx), arba π∙ f 2 (x)∙dx. O viso revoliucijos kūno plotas yra elementariųjų tūrių suma arba atitinkamas apibrėžtas integralas. Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

.

Kaip nustatyti integravimo ribas „a“ ir „be“, nesunku atspėti iš baigto brėžinio. Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą iš viršaus riboja parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje. Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies JAUTIS. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje yra kvadratinė: f 2 (x), taigi, revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, kas yra gana logiška. Apskaičiuokite apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

.

Kaip jau minėjome, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme būtina nurodyti matmenį – kubinius vienetus. Tai yra, mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl būtent kubinis vienetų? Nes tai pati universaliausia formulė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t.t., tiek mažų žalių žmogeliukų tavo vaizduotė telpa į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno, susidarančio sukantis aplink ašį, tūrį JAUTIS figūra apribota linijomis , , .

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , , ir .

Sprendimas: Piešinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis x= 0 nurodo ašį OY:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS pasirodo plokščias kampinis bagelis (poveržlė su dviem kūginiais paviršiais).

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas kaip kūno tūrio skirtumas. Pirma, pažvelkime į figūrą, kuri yra raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS todėl susidaro nupjautas kūgis. Šio nupjauto kūgio tūrį pažymėkime kaip V 1 .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksime šią figūrą aplink ašį JAUTIS, tada taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Pažymime jo tūrį V 2 .

Akivaizdu, kad garsumo skirtumas V = V 1 - V 2 yra mūsų „spurgos“ tūris.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai priimamas trumpiau, maždaug taip:

Tema: „Apsisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“

Pamokos tipas: sujungti.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

įtvirtinti gebėjimą pasirinkti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių formų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;

susipažinti su trimatės figūros samprata;

išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;

skatinti loginio mąstymo, kompetentingos matematinės kalbos ugdymą, brėžinių konstravimo tikslumą;

ugdyti domėjimąsi dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą, atkaklumą siekiant galutinio rezultato.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Grupinis sveikinimas. Pamokos tikslų perdavimas mokiniams.

Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Buvo išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Suspaudęs drugelį rankose, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavija, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir jis pats galvoja: „Jei gyvasis pasakys, aš ją užmušiu, jei miręs sakys, išleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“.

Todėl šiandien dirbkime vaisingai, įgykime naują žinių bagažą, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime vėlesniame gyvenime bei praktinėje veikloje.„Viskas jūsų rankose“.

II. Anksčiau išmoktos medžiagos kartojimas.

Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atliksime užduotį „Ištrinti papildomą žodį“.

(Mokiniai pasako papildomą žodį.)

Teisingai "Diferencialas". Pabandykite įvardinti likusius žodžius vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)

Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

Pratimas. Atkurti leidimus. (Mokinys išeina ir žymekliu užrašo reikiamus žodžius.)

Darbas sąsiuviniuose.

Niutono-Leibnizo formulę sukūrė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643-1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646-1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.

Apsvarstykite, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines užduotis.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Koordinačių plokštumoje sukonstruokime funkcijų grafikus . Pasirinkite figūros sritį, kurią norite rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

Kosmose, žemėje ir kasdieniame gyvenime sutinkame ne tik plokščias figūras, bet ir erdvines, bet kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui: planetos, kometos, meteorito ir kt. tūris.

Apie tūrį jie galvoja statydami namus ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kitas dalykas – kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti.

Austrijos miesto Linco, kuriame gyveno tuomet garsus astronomas Johannesas Kepleris, gyventojams 1612 metai buvo labai vaisingi, ypač vynuogėms. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį.

Taigi svarstyti Keplerio darbai žymėjo viso tyrimų srauto pradžią, kurio kulminacija buvo paskutiniame XVII amžiaus ketvirtyje. dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Leibnizo diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Nuo to laiko dydžių kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

Taigi šiandien užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Revoliucijos kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“.

Sužinosite apie revoliucijos kūno apibrėžimą, atlikdami šią užduotį.

„Labirintas“.

Pratimas. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

IVTūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti kūno, ypač apsisukimo, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant kreivinę trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal vieną iš formulių:

1. aplink x ašį.

2. , jei kreivinės trapecijos sukimasis aplink y ašį.

Mokiniai surašo pagrindines formules į sąsiuvinį.

Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimą.

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink y ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Sprendimas.

Atsakymas: 1163 cm3.

2. Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink abscisių ašį y = , x = 4, y = 0.

Sprendimas.

V. Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

A) neapibrėžtas integralas

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Naujos medžiagos tvirtinimas

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y=x2, y2=x.

Nubraižykime funkcijos grafikus. y=x2, y2=x. Grafas y2 = x transformuojamas į formą y = .

Turime V = V1 - V2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos tūrį:

Išvada:

Apibrėžiamasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, kuris yra nepakeičiamas indėlis sprendžiant praktinio turinio problemas.

Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.

Šiuolaikinio mokslo raida neįsivaizduojama be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!

VI. Įvertinimas.(Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas – matematikas, poetas, filosofas. Jis ragina būti savo likimo šeimininkais. Klausykite ištraukos iš jo kūrinio:

Sakote, kad šis gyvenimas yra tik akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.