Die Eigenschaften der Quadratwurzel sind Addition. Eigenschaften von Quadratwurzeln

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf arithmetische Operationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung, und in den Berechnungen, die sie aktiv verwendet haben verschiedene Eigenschaften diese Operationen, zum Beispiel a + b = b + a, an-bn = (ab) n usw.

Dieses Kapitel stellt eine neue Operation vor - extrahieren Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich zu verwenden, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Wir führen folgende Notation ein: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! SPRACHE: Gleichheit" width="120" height="25 id=">!}.

Genau so werden wir den nächsten Satz formulieren.

(Eine kurze Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: die Wurzel eines Bruchs ist gleich Bruch aus den Wurzeln oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal bringen wir nur kurze Anmerkung Beweis, und Sie versuchen, die entsprechenden Kommentare zu machen, ähnlich denen, die die Essenz des Beweises von Satz 1 bildeten.

Bemerkung 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, besonders wenn man einen Taschenrechner zur Hand hat: Multipliziere die Zahlen 36, 64, 9 und ziehe dann die Quadratwurzel des resultierenden Produkts. Sie müssen jedoch zugeben, dass die oben vorgeschlagene Lösung eher kulturell aussieht.

Bemerkung 4. Bei der ersten Methode haben wir die Berechnungen „frontal“ durchgeführt. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) und verwendet die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Bemerkung 5. Einige Hitzköpfe bieten manchmal diese Lösung für Beispiel 3:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen - das Ergebnis ist nicht dasselbe wie in unserem Beispiel 3. Der Punkt ist, dass es keine Eigenschaft gibt https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! SPRACHE: Aufgabe" width="148" height="26 id=">!} Es gibt nur Eigenschaften, die sich auf die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln beziehen. Seien Sie vorsichtig und achten Sie nicht auf Wunschdenken.

Zum Abschluss des Abschnitts bemerken wir noch eine eher einfache und gleichzeitig wichtige Eigenschaft:
wenn a> 0 und n - natürliche Zahl, dann

Transformieren von Ausdrücken, die die Quadratwurzeloperation enthalten

Bis jetzt haben Sie und ich nur Transformationen durchgeführt rationale Ausdrücke, dazu die Wirkungsregeln auf Polynomen und algebraische Brüche, Formeln für die abgekürzte Multiplikation usw. In diesem Kapitel haben wir eine neue Operation eingeführt - die Operation des Ziehens der Quadratwurzel; wir haben das gefunden

wobei, erinnern Sie sich, a, b nicht-negative Zahlen sind.

Diese verwenden Formeln, können Sie verschiedene Transformationen an Ausdrücken durchführen, die die Quadratwurzeloperation enthalten. Betrachten wir mehrere Beispiele, und in allen Beispielen gehen wir davon aus, dass die Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 3. Führe einen Multiplikator unter das Quadratwurzelzeichen ein:

Beispiel 6... Ausdruckslösung vereinfachen. Lassen Sie uns sequentielle Transformationen durchführen:

Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finde seine Seite. Angenommen, die Seitenlänge eines Quadrats ist x Dezimeter. Dann ist der Bereich der Site x² Quadratdezimeter... Da diese Fläche bedingt 81 dm² beträgt, dann x² = 81. Die Seitenlänge des Quadrats ist eine positive Zahl. Die positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems war es erforderlich, die Zahl x zu finden, deren Quadrat 81 ist, dh die Gleichung zu lösen x² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: x 1 = 9 und x 2 = - 9, da 9² = 81 und (- 9) ² = 81. Beide Zahlen 9 und - 9 heißen Quadratwurzeln von 81.

Beachten Sie, dass eine der Quadratwurzeln x= 9 ist eine positive Zahl. Sie heißt arithmetische Quadratwurzel von 81 und wird mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl ein heißt eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist ein.

Zum Beispiel sind 6 und - 6 die Quadratwurzeln von 36. In diesem Fall ist 6 die arithmetische Quadratwurzel von 36, da 6 eine nicht negative Zahl und 6² = 36 ist. Die Zahl - 6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl ein wie folgt bezeichnet: √ A.

Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet; ein- wird als radikaler Ausdruck bezeichnet. Ausdruck √ ein lesen also: arithmetische Quadratwurzel einer Zahl A. Zum Beispiel √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen klar ist, dass es kommtüber die arithmetische Wurzel sagen sie kurz: "die Quadratwurzel von ein«.

Das Finden der Quadratwurzel einer Zahl wird als Quadratwurzelextraktion bezeichnet. Diese Aktion ist die Umkehrung des Quadrierens.

Jede Zahl kann quadriert werden, aber man kann nicht aus jeder Zahl Wurzeln bilden. Zum Beispiel können Sie die Quadratwurzel der Zahl - 4 nicht extrahieren. Wenn eine solche Wurzel existierte, dann bezeichne sie mit dem Buchstaben x, würden wir eine falsche Gleichheit х2 = - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ ein macht nur Sinn, wenn ein 0. Die Definition einer Quadratwurzel kann kurz wie folgt geschrieben werden: √ ein 0, (√ein)² = ein... Gleichheit (√ ein)² = ein Gültig für ein 0. Um also sicherzustellen, dass die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl ein ist gleich B, d.h. dass √ ein =B, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, B² = A.

Quadratwurzel des Bruchs

Rechnen wir mal. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und prüfen Sie, ob die Gleichheit gilt.

Als und dann ist die Gleichheit wahr. So, .

Satz: Wenn ein≥ 0 und B> 0, d. h. die Wurzel des Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es ist zu beweisen, dass: und .

Seit ein≥0 und √ B> 0, dann.

Durch die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren, und die Definition einer Quadratwurzel der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Berechnen Sie nach dem bewiesenen Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie, dass , wenn ein ≤ 0, B < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Rechnen.

.

Quadratwurzeln umrechnen

Entfernen eines Faktors aus dem Wurzelzeichen. Der Ausdruck sei gegeben. Wenn ein≥ 0 und B≥ 0, dann können wir nach dem Produktwurzelsatz schreiben:

Eine solche Transformation wird als Herausnahme eines Faktors aus dem Wurzelzeichen bezeichnet. Schauen wir uns ein Beispiel an;

Berechnen bei x= 2. Direkte Substitution x= 2 zu einem radikalen Ausdruck führt zu komplexen Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, indem zuerst die Faktoren aus dem Wurzelzeichen entfernt werden:. Setzen wir nun x = 2 ein, erhalten wir :.

Wenn also der Faktor unter dem Wurzelzeichen entfernt wird, wird der Wurzelausdruck in Form eines Produkts dargestellt, bei dem ein oder mehrere Faktoren Quadrate nicht negativer Zahlen sind. Dann wird der Produktwurzelsatz angewendet und die Wurzel aus jedem Faktor extrahiert. Betrachten Sie ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren aus dem Wurzelzeichen in den ersten beiden Termen entfernen, wir erhalten :. Wir betonen, dass die Gleichheit nur gültig für ein≥ 0 und B≥ 0. wenn ein < 0, то .

Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was Sie umgibt - das war die Grundlage einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage. Zunächst waren dies Teilchen der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verbinden, später wurden Schlussfolgerungen nur theoretisch (wegen ihrer Abstraktheit) vorgelegt, aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte, „Mathematik“ erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen verschwanden." Das Konzept der "Quadratwurzel" erschien zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Berechnungsebene hinausgingen.

Wie alles begann

Die erste Erwähnung einer Wurzel, die ist dieser Moment als √ bezeichnet, wurde in den Werken babylonischer Mathematiker aufgezeichnet, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich ähnelten sie nicht der aktuellen Form - die Wissenschaftler dieser Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie haben eine ungefähre Berechnungsformel entwickelt, die zeigt, wie die Quadratwurzel gezogen wird. Das Foto unten zeigt einen Stein, auf dem die babylonischen Wissenschaftler den Schlussprozess √2 eingraviert haben, und dieser erwies sich als so richtig, dass die Diskrepanz in der Antwort nur an der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn die Seite eines Dreiecks gefunden werden musste, sofern die anderen beiden bekannt sind. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen kommt man nicht um das Ziehen der Wurzel herum.

Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch im chinesischen Werk "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, deren Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis liefert .

Herkunft dieses Begriffs verbunden mit der arabischen Darstellung der Zahl: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (Sie können ein Muster verfolgen - alles, was eine "Wurzel"-Semantik hat, ist Konsonant, sei es Rettich oder Radikulitis).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und nannten sie Rx. Im 15. Jahrhundert schrieben sie beispielsweise R 2 a, um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl a gezogen wurde. Gewohnheitsmäßig moderne Ansicht"tick" - erschien erst im 17. Jahrhundert dank Rene Descartes.

Unsere Tage

Mathematisch ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 = y ist äquivalent zu √y = z. aber diese Definition nur relevant für arithmetische Wurzel da es den nicht-negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y = z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

V Allgemeiner Fall, die zur Bestimmung der algebraischen Wurzel dient, kann der Wert des Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Da z 2 = y und (-z) 2 = y gilt also: √y = ± z oder √y = |z |.

Aufgrund der Tatsache, dass die Liebe zur Mathematik mit der Entwicklung der Wissenschaften nur zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Verbundenheit mit ihr, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so amüsanten Phänomenen wie dem Tag der Zahl Pi auch die Quadratwurzelfeiertage gefeiert. Sie werden in hundert Jahren neunmal gefeiert und nach dem folgenden Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Quadratwurzeleigenschaften auf dem Körper R

Fast alles mathematische Ausdrücke eine geometrische Grundlage haben, dieses Schicksal ist nicht vorüber und √y, die als Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig auch ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) ungerade Zahlen werden von der Zahl abgezogen, deren Wurzel wir wiederum brauchen, bis der Rest am Ausgang kleiner als die subtrahierte oder sogar Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich die erforderliche Anzahl. Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 25:

Die nächste ungerade Zahl ist 11, wir haben den folgenden Rest: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylor-Reihenentwicklung:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, wobei n Werte von 0 bis annimmt

+ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z = √y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z = √y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Seine Grafik sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und schneidet notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z = √y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist wieder eingeschlossen).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z = √y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z = √y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z = √y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z = √y ist auch der Nullpunkt dieser Funktion.

8. Die Funktion z = √y wächst stetig.

9. Die Funktion z = √y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Varianten der Funktion z = √y

In der Mathematik verwenden sie manchmal die Potenzform der Quadratwurzel, um die Berechnung komplexer Ausdrücke zu erleichtern: √y = y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differentiation mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Anzumerken ist, dass in diesem Bereich die Quadratwurzel sehr gefragt ist, da sie in den meisten für Berechnungen benötigten geometrischen Formeln enthalten ist. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Quadratwurzel in einem komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Körpers der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl zu erhalten. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: ihr Quadrat ist -1. Aus diesem Grund erhalten quadratische Gleichungen und mit einer negativen Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel dieselben Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Restriktionen aus dem Wurzelausdruck entfernt wurden.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Materialien in Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr ausgeglichen sind ...")

In der vorherigen Lektion haben wir es herausgefunden was ist Quadratwurzel... Es ist Zeit herauszufinden, welche existieren Wurzelformeln was sind Root-Eigenschaften, und was Sie damit alles machen können.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln sind im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man viele Formeln aller Art schreiben, aber für das praktische und souveräne Arbeiten mit Wurzeln reichen nur drei. Der Rest dieser drei Flüsse. Obwohl sich viele Leute in den drei Grundformeln verlieren, ja ...

Beginnen wir mit dem einfachsten. Da ist sie:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

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