Eigenschaften der Summe der Wurzeln. Arithmetische Quadratwurzel und ihre Eigenschaften

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

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Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr ausgeglichen sind ...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche existieren Wurzelformeln was sind Root-Eigenschaften, und was Sie damit alles machen können.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln sind im Wesentlichen dasselbe. Formeln für Quadratwurzelnüberraschend wenig. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man viele Formeln aller Art schreiben, aber für das praktische und souveräne Arbeiten mit Wurzeln reichen nur drei. Der Rest dieser drei Flüsse. Obwohl sich viele Leute in den drei Grundformeln verlieren, ja ...

Beginnen wir mit dem einfachsten. Da ist sie:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt ...

Übrigens habe ich noch ein paar interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finde seine Seite. Angenommen, die Seitenlänge eines Quadrats ist x Dezimeter. Dann ist der Bereich der Site x² Quadratdezimeter... Da diese Fläche bedingt 81 dm² beträgt, dann x² = 81. Die Seitenlänge des Quadrats ist eine positive Zahl. Die positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems war es erforderlich, die Zahl x zu finden, deren Quadrat 81 ist, dh die Gleichung zu lösen x² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: x 1 = 9 und x 2 = - 9, da 9² = 81 und (- 9) ² = 81. Beide Zahlen 9 und - 9 heißen Quadratwurzeln von 81.

Beachten Sie, dass eine der Quadratwurzeln x= 9 ist eine positive Zahl. Sie heißt arithmetische Quadratwurzel von 81 und wird mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl ein heißt eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist ein.

Zum Beispiel sind 6 und - 6 die Quadratwurzeln von 36. In diesem Fall ist 6 die arithmetische Quadratwurzel von 36, da 6 eine nicht negative Zahl und 6² = 36 ist. Die Zahl - 6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetik Quadratwurzel von der Zahl ein wie folgt bezeichnet: √ A.

Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet; ein- wird als radikaler Ausdruck bezeichnet. Ausdruck √ ein lesen also: arithmetische Quadratwurzel einer Zahl A. Zum Beispiel √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen klar ist, dass es kommtüber die arithmetische Wurzel sagen sie kurz: "die Quadratwurzel von ein«.

Das Finden der Quadratwurzel einer Zahl wird als Quadratwurzelextraktion bezeichnet. Diese Aktion ist die Umkehrung des Quadrierens.

Jede Zahl kann quadriert werden, aber man kann nicht aus jeder Zahl Wurzeln bilden. Zum Beispiel können Sie die Quadratwurzel der Zahl - 4 nicht ziehen. Wenn eine solche Wurzel existiert, dann bezeichnen Sie sie mit dem Buchstaben x, würden wir eine falsche Gleichheit х2 = - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ ein macht nur Sinn, wenn ein 0. Die Definition einer Quadratwurzel kann kurz wie folgt geschrieben werden: √ ein 0, (√ein)² = ein... Gleichheit (√ ein)² = ein Gültig für ein 0. Um also sicherzustellen, dass die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl ein ist gleich B, d.h. dass √ ein =B, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, B² = A.

Quadratwurzel des Bruchs

Rechnen wir mal. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und prüfen Sie, ob die Gleichheit gilt.

Als und dann ist die Gleichheit wahr. So, .

Satz: Wenn ein≥ 0 und B> 0, d. h. die Wurzel des Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es ist zu beweisen, dass: und .

Seit ein≥0 und √ B> 0, dann.

Durch die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren, und die Definition einer Quadratwurzel der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Berechnen Sie nach dem bewiesenen Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie, dass , wenn ein ≤ 0, B < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Rechnen.

Quadratwurzeln umrechnen

Entfernen eines Faktors aus dem Wurzelzeichen. Der Ausdruck sei gegeben. Wenn ein≥ 0 und B≥ 0, dann können wir nach dem Produktwurzelsatz schreiben:

Eine solche Transformation nennt man Herausnahme eines Faktors aus dem Wurzelzeichen. Schauen wir uns ein Beispiel an;

Berechnen bei x= 2. Direkte Substitution x= 2 zu einem radikalen Ausdruck führt zu komplexen Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, indem zuerst die Faktoren aus dem Wurzelzeichen entfernt werden:. Setzen wir nun x = 2 ein, erhalten wir :.

Wenn also der Faktor unter dem Wurzelzeichen entfernt wird, wird der Wurzelausdruck in Form eines Produkts dargestellt, bei dem ein oder mehrere Faktoren Quadrate nicht negativer Zahlen sind. Dann wird der Produktwurzelsatz angewendet und die Wurzel aus jedem Faktor extrahiert. Betrachten Sie ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren aus dem Wurzelzeichen in den ersten beiden Termen entfernen, wir erhalten :. Wir betonen, dass die Gleichheit nur gültig für ein≥ 0 und B≥ 0. wenn ein < 0, то .

Unterricht und Präsentation zum Thema:
"Eigenschaften einer Quadratwurzel. Formeln. Beispiele für Lösungen, Probleme mit Antworten"

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Quadratwurzeleigenschaften

Wir studieren weiterhin Quadratwurzeln. Heute werden wir die Haupteigenschaften der Wurzeln betrachten. Alle grundlegenden Eigenschaften sind intuitiv und stimmen mit allen Operationen überein, die wir zuvor durchgeführt haben.

Eigenschaft 1. Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

Es ist üblich, irgendwelche Eigenschaften zu beweisen, lass es uns tun.
Sei $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $. Dann beweisen wir, dass $ x = y * z $ ist.
Lassen Sie uns jeden Ausdruck quadrieren.
Wenn $ \ sqrt (a * b) = x $, dann $ a * b = x ^ 2 $.
Wenn $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $ ist, dann erhält man durch Quadrieren beider Ausdrücke: $ a = y ^ 2 $, $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $, dh $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. Wenn die Quadrate zweier nicht negativer Zahlen gleich sind, dann sind auch die Zahlen selbst, wie erforderlich, gleich.

Aus unserer Eigenschaft folgt beispielsweise $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

Bemerkung 1. Die Eigenschaft gilt auch für den Fall, dass mehr als zwei nicht negative Faktoren unter der Wurzel liegen.
Eigentum 2. Wenn $ a≥0 $ und $ b> 0 $ gilt, dann gilt folgende Gleichheit: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

Das heißt, die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.
Nachweisen.
Lassen Sie uns die Tabelle benutzen und unsere Eigenschaft kurz beweisen.

Beispiele für die Verwendung der Eigenschaften von Quadratwurzeln

Beispiel 1.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Lösung.
Natürlich können wir einen Taschenrechner nehmen, alle Zahlen unter der Wurzel multiplizieren und die Quadratwurzeloperation durchführen. Und wenn Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, was tun?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Antwort: 495.

Beispiel 2. Berechne: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

Lösung.
Wir stellen die Wurzelzahl als unechten Bruch dar: $ 11 \ frac (14) (25) = \ frac (11 * 25 + 14) (25) = \ frac (275 + 14) (25) = \ frac (289) (25) $.
Verwenden wir Eigenschaft 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3,4 $.
Antwort: 3.4.

Beispiel 3.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Lösung.
Wir können unseren Ausdruck direkt auswerten, aber wir können ihn fast immer vereinfachen. Versuchen wir dies.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Also $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Antwort: 32.

Leute, bitte beachten Sie, dass für die Operationen der Addition und Subtraktion von radikalen Ausdrücken keine Formeln existieren und die folgenden Ausdrücke nicht korrekt sind.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

Beispiel 4.
Berechnen Sie: a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; b) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
Lösung.
Die oben dargestellten Eigenschaften funktionieren sowohl von links nach rechts als auch in umgekehrter Reihenfolge, d. h.:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
Lassen Sie uns damit unser Beispiel lösen.
a) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

B) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

Antwort: a) 16; b) 2.

Eigentum 3. Wenn $ a≥0 $ und n eine natürliche Zahl ist, dann gilt die Gleichheit: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

Zum Beispiel. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ und so weiter.

Beispiel 5.
Berechnen Sie: $ \ sqrt (129600) $.

Lösung.
Die uns präsentierte Zahl ist ziemlich groß, zerlegen wir sie in Primfaktoren.
Wir haben: $ 129600 = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ oder $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Antwort: 360.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

1. Berechnen Sie: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Berechnen Sie: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. Berechnen Sie: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Berechnen Sie:
a) $ \ Quadrat (128 * \ Quadrat (8)) $;
b) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf arithmetische Operationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung, und in den Berechnungen, die sie aktiv verwendet haben verschiedene Eigenschaften diese Operationen, zum Beispiel a + b = b + a, an-bn = (ab) n usw.

Dieses Kapitel führt eine neue Operation ein – das Ziehen der Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich zu verwenden, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Wir führen folgende Notation ein: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! SPRACHE: Gleichheit" width="120" height="25 id=">!}.

Genau so werden wir den nächsten Satz formulieren.

(Eine kurze Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: die Wurzel eines Bruchs ist gleich Bruch aus den Wurzeln oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal bringen wir nur kurze Anmerkung Beweis, und Sie versuchen, die entsprechenden Kommentare zu machen, ähnlich denen, die die Essenz des Beweises von Satz 1 bildeten.

Bemerkung 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, besonders wenn man einen Taschenrechner zur Hand hat: Multipliziere die Zahlen 36, 64, 9 und ziehe dann die Quadratwurzel des resultierenden Produkts. Sie müssen jedoch zugeben, dass die oben vorgeschlagene Lösung eher kulturell aussieht.

Bemerkung 4. Bei der ersten Methode haben wir die Berechnungen „frontal“ durchgeführt. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) und verwendet die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Bemerkung 5. Einige Hitzköpfe bieten manchmal diese Lösung für Beispiel 3:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen - das Ergebnis ist nicht dasselbe wie in unserem Beispiel 3. Der Punkt ist, dass es keine Eigenschaft gibt https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! SPRACHE: Aufgabe" width="148" height="26 id=">!} Es gibt nur Eigenschaften, die sich auf die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln beziehen. Seien Sie vorsichtig und achten Sie nicht auf Wunschdenken.

Zum Abschluss des Abschnitts bemerken wir noch eine eher einfache und gleichzeitig wichtige Eigenschaft:
wenn a> 0 und n - natürliche Zahl, dann

Transformieren von Ausdrücken, die die Quadratwurzeloperation enthalten

Bis jetzt haben Sie und ich nur Transformationen durchgeführt rationale Ausdrücke, dazu die Wirkungsregeln auf Polynomen und algebraische Brüche, Formeln für die abgekürzte Multiplikation usw. In diesem Kapitel haben wir eine neue Operation eingeführt - die Operation des Ziehens der Quadratwurzel; wir haben das gefunden

wobei, erinnern Sie sich, a, b nicht-negative Zahlen sind.

Diese verwenden Formeln, können Sie verschiedene Transformationen an Ausdrücken durchführen, die die Quadratwurzeloperation enthalten. Betrachten wir mehrere Beispiele, und in allen Beispielen gehen wir davon aus, dass die Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 3. Führe einen Multiplikator unter das Quadratwurzelzeichen ein:

Beispiel 6... Ausdruckslösung vereinfachen. Lassen Sie uns sequentielle Transformationen durchführen:

Dieser Artikel ist eine Sammlung detaillierter Informationen zum Thema Stammeigenschaften. In Anbetracht des Themas werden wir mit Eigenschaften beginnen, alle Formulierungen studieren und Beweise liefern. Zur Vertiefung des Themas betrachten wir die Eigenschaften des n-ten Grades.

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Root-Eigenschaften

Wir sprechen über Eigenschaften.

Eigentum multiplizierte Zahlen ein und B, die als Gleichheit a b = a b dargestellt wird. Es kann als Faktoren dargestellt werden, positiv oder gleich Null a 1, a 2,…, a k als a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
aus dem Quotienten a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 kann er auch in dieser Form a b = a b geschrieben werden;
Eigentum aus einer Potenz einer Zahl ein mit geradem Exponenten a 2 m = a m für eine beliebige Zahl ein, zum Beispiel eine Eigenschaft aus dem Quadrat der Zahl a 2 = a.

In jeder der vorgestellten Gleichungen können Sie die Teile vor und nach dem Bindestrich stellenweise vertauschen, zum Beispiel wird die Gleichheit a b = a b in a b = a b umgewandelt. Gleichheitseigenschaften werden häufig verwendet, um komplexe Gleichungen zu vereinfachen.

Der Beweis der ersten Eigenschaften basiert auf der Definition der Quadratwurzel und der Gradeigenschaften mit natürlichen Exponenten. Zur Begründung der dritten Eigenschaft ist auf die Definition des Moduls einer Zahl zu verweisen.

Der erste Schritt besteht darin, die Eigenschaften der Quadratwurzel a b = a b zu beweisen. Gemäß der Definition ist zu berücksichtigen, dass a b eine Zahl ist, positiv oder gleich Null, die gleich ist ein b beim Aufrichten in einem Quadrat. Der Wert des Ausdrucks a b ist positiv oder gleich Null als Produkt nicht negativer Zahlen. Die Eigenschaft des Grades der multiplizierten Zahlen ermöglicht es Ihnen, Gleichheit in der Form (a b) 2 = a 2 b 2 darzustellen. Nach der Definition der Quadratwurzel a 2 = a und b 2 = b gilt a b = a 2 b 2 = a b.

In ähnlicher Weise kann man das anhand des Produkts beweisen k Multiplikatoren a 1, a 2,…, a k gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Faktoren. Tatsächlich ist a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Aus dieser Gleichheit folgt a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um das Thema zu festigen.

Beispiel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 und 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Es gilt die Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten zu beweisen: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Mit der Eigenschaft können Sie die Gleichheit a: b 2 = a 2: b 2 und a 2: b 2 = a: b schreiben, wobei a: b eine positive Zahl oder gleich Null ist. Dieser Ausdruck wird zum Beweis.

Zum Beispiel 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 und 3 0, 121 = 3 0, 121.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Quadratwurzel des Quadrats einer Zahl. Es kann als Gleichheit geschrieben werden als a 2 = a Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, mehrere Gleichungen für im Detail zu betrachten a 0 und bei ein< 0 .

Offensichtlich gilt für a ≥ 0 die Gleichheit a 2 = a. Beim ein< 0 die Gleichheit a 2 = - a wird wahr sein. Tatsächlich in diesem Fall - a> 0 und (-a) 2 = a 2. Daraus kann geschlossen werden, dass a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 2

5 2 = 5 = 5 und – 0,36 2 = – 0,36 = 0,36.

Die bewiesene Eigenschaft wird helfen, a 2 m = a m zu rechtfertigen, wobei ein- echt, und m-natürliche Zahl. Tatsächlich ermöglicht Ihnen die Eigenschaft, eine Macht zu erhöhen, die Macht zu ersetzen ein 2 m² Ausdruck (m) 2, dann a 2 m = (a m) 2 = a m.

Beispiel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 und (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Zuerst müssen Sie die Haupteigenschaften der Wurzeln des n-ten Grades berücksichtigen:

Eigenschaft aus dem Produkt der Zahlen ein und B, die positiv oder gleich Null sind, als Gleichheit a b n = a n b n ausgedrückt werden kann, gilt diese Eigenschaft für das Produkt k Zahlen a 1, a 2,…, a k als a 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
aus einer gebrochenen Zahl hat die Eigenschaft a b n = a n b n, wobei ein- jede reelle Zahl, die positiv oder gleich Null ist, und B- positive reelle Zahl;
Für alle ein und sogar Indikatoren n = 2 m a 2 m 2 m = a, und für ungerade n = 2 m - 1 die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a gilt.
Extraktionseigenschaft aus a m n = a n m, wobei ein- eine beliebige Zahl, positiv oder gleich Null, n und m- natürliche Zahlen, diese Eigenschaft kann auch dargestellt werden als. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · Nk;
Für jedes nicht negative a und willkürlich n und m, die natürlich sind, können Sie auch die faire Gleichheit bestimmen a m n · m = a n;
Eigentumsabschluss n von der Macht der Zahl ein, die positiv oder gleich Null ist, in natürlichem Grad m definiert durch die Gleichheit a m n = a n m;
Vergleichseigenschaft mit denselben Indikatoren: für beliebige positive Zahlen ein und B so dass ein< b , die Ungleichung a n< b n ;
Vergleichseigenschaft mit die gleichen Zahlen unter der Wurzel: wenn m und n - natürliche Zahlen, die m> nein, dann um 0 < a < 1 die Ungleichung a m> a n ist wahr, und für a> 1 bin< a n .

Die oben angegebenen Gleichheiten gelten, wenn die Teile vor und nach dem Gleichheitszeichen vertauscht sind. Sie können als solche verwendet werden. Dies wird häufig beim Vereinfachen oder Konvertieren von Ausdrücken verwendet.

Der Beweis der obigen Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition, den Eigenschaften des Grades und der Definition des Moduls einer Zahl. Diese Eigenschaften müssen nachgewiesen werden. Aber alles ist in Ordnung.

Zunächst beweisen wir die Eigenschaften der n-ten Wurzel des Produkts a b n = a n b n. Für ein und b was sind positiv oder gleich Null , auch der Wert a n · b n ist positiv oder gleich Null, da er eine Folge der Multiplikation nicht negativer Zahlen ist. Die Eigenschaft des Produkts in natürlichem Grad erlaubt uns, die Gleichheit a n b n n = a n n b n n zu schreiben. Nach Definition der Wurzel n-ten Grades a n n = a und b n n = b, also a n b n n = a b. Die resultierende Gleichheit ist genau das, was nachgewiesen werden musste.

Diese Eigenschaft wird für das Produkt ähnlich bewiesen k Faktoren: für nicht negative Zahlen a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Hier sind einige Beispiele für die Verwendung der root-Eigenschaft n-ter Grad vom Produkt: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 und 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

Beweisen wir die Eigenschaft der Wurzel des Quotienten a b n = a n b n. Beim a 0 und b> 0 die Bedingung a n b n ≥ 0 ist erfüllt und a n b n n = a n n b n n = a b.

Lassen Sie uns Beispiele zeigen:

Beispiel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 und 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

Für nächster Schritt es ist notwendig, die Eigenschaften des n-ten Grades von der Zahl bis zum Grad zu beweisen n... Wir stellen dies dar als die Gleichheit a 2 m 2 m = a und a 2 m - 1 2 m - 1 = a für jede reelle ein und natürlich m... Beim a 0 wir erhalten a = a und a 2 m = a 2 m, was die Gleichheit a 2 m 2 m = a beweist, und die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a ist offensichtlich. Beim ein< 0 wir erhalten a = - a bzw. a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Die letzte Umwandlung der Zahl ist gemäß der Eigenschaft des Abschlusses gerecht. Dies ist der Beweis für die Gleichheit a 2 m 2 m = a, und a 2 m - 1 2 m - 1 = a wird wahr sein, da wir für einen ungeraden Grad betrachten - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 für jede Zahl C, positiv oder gleich Null.

Um die erhaltenen Informationen zu konsolidieren, betrachten Sie mehrere Beispiele, die die Eigenschaft verwenden:

Beispiel 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 und (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

Beweisen wir die folgende Gleichheit a m n = a n · m. Dazu müssen Sie die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen und danach stellenweise a n · m = a m n ändern. Es wird bedeuten richtiger Eintrag... Für ein, was positiv ist oder gleich null , aus der Form a m n ist eine Zahl positiv oder gleich Null. Wenden wir uns der Eigenschaft der Erhöhung eines Grades zu einem Exponenten und ihrer Definition zu. Sie können verwendet werden, um Gleichheiten in der Form a m n n · m = a m n n m = a m m = a zu transformieren. Dies beweist die Eigenschaft der Wurzel aus der betrachteten Wurzel.

Andere Eigenschaften werden ähnlich bewiesen. Wirklich, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · Nk =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · Nk =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · Nk =. ... ... = a n k n k = a.

Zum Beispiel 7 3 5 = 7 5 3 und 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Lass es uns beweisen nächste Immobilie ein m n m = ein n. Dazu muss gezeigt werden, dass a n eine Zahl ist, positiv oder gleich Null. Potenziert ist n m gleich bin... Wenn die Zahl ein positiv oder gleich Null ist, dann n-ter Grad von unter ein eine Zahl positiv oder gleich Null ist. In diesem Fall gilt je nach Bedarf a n · m n = a n n m.

Um die gewonnenen Erkenntnisse zu festigen, betrachten Sie einige Beispiele.

Beweisen wir folgende Eigenschaft - die Eigenschaft einer Wurzel eines Grades der Form a m n = a n m. Offensichtlich für a 0 der Grad a n m ist eine nicht negative Zahl. Außerdem ist es n-ter Grad ist bin, tatsächlich, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Damit ist die Eigenschaft des betrachteten Abschlusses nachgewiesen.

Beispiel: 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Es ist zu beweisen, dass für alle positiven Zahlen ein und b die Bedingung ein< b ... Betrachten Sie die Ungleichung a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ein< b ... Daher ein n< b n при ein< b .

Geben wir zum Beispiel 12 4< 15 2 3 4 .

Betrachten Sie die Wurzeleigenschaft n-ten Grad. Zuerst müssen wir uns den ersten Teil der Ungleichung ansehen. Beim m> nein und 0 < a < 1 wahr a m> a n. Angenommen a m ≤ a n. Die Eigenschaften vereinfachen den Ausdruck zu a n m · n a m m · n. Dann ist nach den Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung a n m n m n ≤ a m m n m n erfüllt, d. h. ein n ≤ ein m... Der erhaltene Wert bei m> nein und 0 < a < 1 stimmt nicht mit den obigen Eigenschaften überein.

Auf die gleiche Weise kann man beweisen, dass für m> nein und a> 1 die Bedingung ein m< a n .

Um die obigen Eigenschaften zu konsolidieren, betrachten Sie mehrere konkrete Beispiele... Betrachten Sie Ungleichungen mit bestimmten Zahlen.

Beispiel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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