Was sind identisch gleiche Brüche. Identische Transformationen von Ausdrücken, ihre Typen
Thema "Identitätsnachweise"Klasse 7 (KRO)
Lehrbuch Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Lernziele
Lehrreich:
die Konzepte "identisch gleiche Ausdrücke", "Identität", "identische Transformationen" vertraut zu machen und zunächst zu festigen;
über Möglichkeiten des Identitätsnachweises nachdenken, zur Entwicklung von Fähigkeiten zum Identitätsnachweis beitragen;
die Assimilation des Gelernten durch die Studierenden zu überprüfen, die Fähigkeiten zu formen, das Gelernte für die Wahrnehmung des Neuen anzuwenden.
Entwicklung:
Entwickeln Sie eine literarische mathematische Sprache der Schüler (bereichern und komplizieren Sie) Wortschatz bei Verwendung spezieller mathematischer Begriffe),
Denken entwickeln,
Pädagogisch: Sorgfalt, Genauigkeit, Richtigkeit der Aufzeichnung der Lösung der Übungen zu erziehen.
Unterrichtstyp: Neues Material lernen
Während des Unterrichts
1 . Zeit organisieren.
Hausaufgabenkontrolle.
Fragen zu Hausaufgaben.
Analyse der Lösung an der Tafel.
Mathe ist gefragt
Du kannst nicht ohne sie leben
Wir lehren, wir lehren, Freunde,
Woran erinnern wir uns vom Morgen?
2 ... Lass uns ein Aufwärmen machen.
Additionsergebnis. (Summe)
Wie viele Zahlen kennen Sie? (Zehn)
Ein Hundertstel der Zahl. (Prozent)
Ergebnis der Division? (Privatgelände)
Die kleinste natürliche Zahl? (eins)
Ist es möglich, beim Teilen natürlicher Zahlen Null zu erhalten? (Nein)
Was ist die größte negative ganze Zahl. (-eins)
Durch welche Zahl lässt sich nicht teilen? (0)
Das Ergebnis der Multiplikation? (Arbeiten)
Ergebnis der Subtraktion. (Unterschied)
Die Verschiebungseigenschaft der Addition. (Durch die Neuordnung der Terme ändert sich die Summe nicht)
Die Reiseeigenschaft der Multiplikation. (Das Produkt ändert sich nicht durch Permutation der Multiplikatoren)
Erlernen eines neuen Themas (Definition mit Schreiben in ein Notizbuch)
Finden Sie den Wert der Ausdrücke für x = 5 und y = 4
3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27
3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27
Wir haben das gleiche Ergebnis erhalten. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y gleich sind.
Betrachten wir nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x = 1 und y = 2 nehmen sie gleiche Werte an:
Sie können jedoch Werte für x und y angeben, sodass die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn zum Beispiel x = 3, y = 4, dann
Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden identisch gleich genannt.
Die Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x + y und 2xy sind nicht identisch.
Die Gleichheit 3 (x + y) und 3x + 3y gilt für alle Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt.
Definition: Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.
Echte Zahlengleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet. Wir haben uns bereits mit Identitäten getroffen. Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Handlungen auf Zahlen ausdrücken (Schüler kommentieren jede Eigenschaft und sprechen sie aus).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac
Nennen Sie andere Beispiele für Identitäten
Definition: Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Ausdruckstransformation bezeichnet.
Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt.
Identische Transformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Sie haben bereits einige identische Transformationen durchgeführt, beispielsweise das Umsetzen ähnlicher Begriffe oder das Erweitern von Klammern.
5 ... Nr. 691, Nr. 692 (mit der Aussprache der Regeln zum Öffnen von Klammern, Multiplikation von negativen und positiven Zahlen)
Identitäten für die Wahl einer rationalen Lösung:(Frontalarbeit)
6 ... Zusammenfassung der Lektion.
Der Lehrer stellt Fragen, und die Schüler beantworten sie nach Belieben.
Welche zwei Ausdrücke sind identisch gleich? Nenne Beispiele.
Welche Gleichheit nennt man Identität? Gib ein Beispiel.
Welche identischen Transformationen kennen Sie?
7. Hausaufgaben. Lernen Sie die Definitionen, geben Sie Beispiele für identische Ausdrücke (mindestens 5), schreiben Sie sie in ein Notizbuch
Beim Studium der Algebra sind wir auf die Konzepte eines Polynoms (zum Beispiel ($ yx $, $ \ 2x ^ 2-2x $ usw.) und eines algebraischen Bruchs (zum Beispiel $ \ frac (x + 5 ) (x) $, $ \ frac (2x ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \ \ frac (xy) (yx) $ usw.) Die Ähnlichkeit dieser Konzepte besteht darin, dass sowohl in Polynomen als auch in algebraische Brüche gibt es Variablen und Zahlenwerte, arithmetische Aktionen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung. Der Unterschied zwischen diesen Konzepten besteht darin, dass in Polynomen keine Division durch eine Variable stattfindet, aber in algebraischen Brüchen kann die Division durch eine Variable getan werden.
Sowohl Polynome als auch algebraische Brüche werden in der Mathematik als rationale algebraische Ausdrücke bezeichnet. Aber Polynome sind ganze rationale Ausdrücke und algebraische Brüche sind gebrochene rationale Ausdrücke.
Sie können einen ganzen algebraischen Ausdruck aus einem fraktional-rationalen Ausdruck erhalten, indem Sie die identische Transformation verwenden, die in diesem Fall die Haupteigenschaft des Bruchs ist - die Reduzierung von Brüchen. Schauen wir uns das in der Praxis an:
Beispiel 1
Transformation durchführen: $ \ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $
Lösung: Diese fraktional-rationale Gleichung kann transformiert werden, indem die Haupteigenschaft der fraktionalen Reduktion verwendet wird, d.h. Dividieren von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl oder einen anderen Ausdruck als $ 0 $.
Dieser Bruch kann nicht sofort gelöscht werden, es ist notwendig, den Zähler umzuwandeln.
Wir transformieren den Ausdruck in den Zähler des Bruchs, dazu verwenden wir die Formel für das Quadrat der Differenz: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 = ((a-b)) ^ 2 $
Der Bruch sieht aus wie
\ [\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) = \ frac (\ links (x-2 \ rechts) (x-2)) (x-2) \]
Jetzt sehen wir, dass Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben - dies ist der Ausdruck $ x-2 $, mit dem wir den Bruch aufheben
\ [\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) = \ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) = \ frac (\ links (x-2 \ rechts) (x-2)) (x-2) = x-2 \]
Nach der Reduktion haben wir das Original bekommen gebrochener rationaler Ausdruck$ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ ist ein Polynom $ x-2 $ geworden, d.h. ganz rational.
Achten wir nun darauf, dass die Ausdrücke $ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ und $ x-2 \ $ nicht für alle Werte der Variablen als identisch angesehen werden können, da damit der fraktionale rationale Ausdruck existiert und um das Polynom $ x-2 $ reduziert werden konnte, darf der Nenner des Bruchs nicht gleich $ 0 $ sein (sowie der Faktor, um den wir stornieren. dieses Beispiel Nenner und Faktor sind gleich, dies ist jedoch nicht immer der Fall).
Die Werte der Variablen, bei denen der algebraische Bruch existiert, werden als zulässige Werte der Variablen bezeichnet.
Stellen wir eine Bedingung an den Nenner des Bruchs: $ x-2 ≠ 0 $, dann $ x ≠ 2 $.
Daher sind die Ausdrücke $ \ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ und $ x-2 $ für alle Werte der Variablen identisch, außer für $ 2 $.
Definition 1
Identisch gleich Ausdrücke sind solche, die für alle zulässigen Werte der Variablen gleich sind.
Eine identische Transformation ist jede Ersetzung des ursprünglichen Ausdrucks durch einen identischen gleichen. Solche Transformationen umfassen das Ausführen von Aktionen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Heraussetzen eines gemeinsamen Faktors aus Klammern, Casting algebraische Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, Reduktion algebraischer Brüche, Reduktion ähnlicher Terme usw. Es ist zu beachten, dass eine Reihe von Transformationen, wie z. B. Reduzierung, Reduzierung solcher Terme, die zulässigen Werte der Variablen ändern können.
Techniken zum Identitätsnachweis
Bringen Sie die linke Seite der Identität mit den Identitätstransformationen auf die rechte oder umgekehrt
Reduzieren Sie beide Seiten auf denselben Ausdruck mit identischen Transformationen
Verschieben Sie Ausdrücke in einem Teil des Ausdrucks in einen anderen und beweisen Sie, dass die resultierende Differenz $ 0 $ . ist
Welche der oben genannten Methoden zum Nachweis einer bestimmten Identität zu verwenden ist, hängt von der ursprünglichen Identität ab.
Beispiel 2
Beweise die Identität $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Lösung: Um diese Identität zu beweisen, verwenden wir die erste der oben genannten Methoden, nämlich die linke Seite der Identität in ihre Gleichheit mit der rechten umzuwandeln.
Betrachten Sie die linke Seite der Identität: $ \ ((a + b + c)) ^ 2-2 (ab + ac + bc) $ - es ist die Differenz zweier Polynome. In diesem Fall stellt das erste Polynom das Quadrat der Summe von drei Termen dar. Um die Summe mehrerer Terme zu quadrieren, verwenden wir die Formel:
\ [((a + b + c)) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Dazu müssen wir die Zahl mit einem Polynom multiplizieren. Denken Sie daran, dass wir dazu den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern mit jedem Term des Polynoms in Klammern multiplizieren müssen. Dann erhalten wir:
$ 2 (ab + ac + bc) = 2ab + 2ac + 2bc $
Kehren wir nun zum ursprünglichen Polynom zurück, es wird die Form annehmen:
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $
Bitte beachten Sie, dass das "-" Zeichen vor der Klammer steht, was bedeutet, dass beim Öffnen der Klammern alle Zeichen, die in den Klammern standen, vertauscht werden.
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $
Bei ähnlichen Bedingungen erhalten wir, dass die Monome $ 2ab $, $ 2ac $, $ \ 2bc $ und $ -2ab $, $ - 2ac $, $ -2bc $ gegenseitig vernichtet werden, d.h. ihre Summe ist gleich $ 0 $.
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Durch identische Transformationen erhalten wir also identischer Ausdruck auf der linken Seite der ursprünglichen Identität
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) = \ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck zeigt, dass die ursprüngliche Identität wahr ist.
Beachten Sie, dass in der ursprünglichen Identität alle Werte der Variablen zulässig sind, was bedeutet, dass wir die Identität mit identischen Transformationen nachgewiesen haben, und dies gilt für alle zulässigen Werte der Variablen.
Grundeigenschaften der Addition und Multiplikation von Zahlen.
Die Verschiebungseigenschaft der Addition: Der Wert der Summe ändert sich nicht durch die Permutation der Terme. Für beliebige Zahlen a und b gilt die Gleichheit
Kombinationseigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, können Sie die Summe der zweiten und dritten zur ersten Zahl addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Die Verschiebungseigenschaft der Multiplikation: Der Wert des Produkts ändert sich nicht durch die Permutation der Faktoren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Kombinationseigenschaft der Multiplikation: Um das Produkt zweier Zahlen mit der dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.
Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Verteilungseigenschaft: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, können Sie diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt die Gleichheit
Aus den verschiebbaren und kombinativen Eigenschaften der Addition folgt: In jeder Summe können Sie die Terme beliebig neu anordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.
Beispiel 1 Berechnen wir die Summe 1,23 + 13,5 + 4,27.
Dazu ist es zweckmäßig, den ersten Term mit dem dritten zu kombinieren. Wir bekommen:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Aus den transponierbaren und kombinatorischen Eigenschaften der Multiplikation folgt: In jedem Produkt können Sie die Faktoren beliebig neu anordnen und beliebig zu Gruppen zusammenfassen.
Beispiel 2 Finden wir den Wert des Produkts 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.
Kombinieren wir den ersten Faktor mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten, erhalten wir:
1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.
Die Verteilungseigenschaft gilt auch, wenn die Zahl mit der Summe von drei oder mehr Termen multipliziert wird.
Zum Beispiel gilt für alle Zahlen a, b, c und d die Gleichheit
a (b + c + d) = ab + ac + ad.
Wir wissen, dass die Subtraktion durch Addition ersetzt werden kann, indem die entgegengesetzte Zahl zur subtrahierten Zahl zur subtrahierten Zahl addiert wird:
Dies ermöglicht einen numerischen Ausdruck a-b . eingeben betrachte die Summe der Zahlen a und -b, der numerische Ausdruck der Form a + bcd gilt als Summe der Zahlen a, b, -c, -d usw. Die betrachteten Eigenschaften von Einwirkungen gelten auch für solche Summen .
Beispiel 3 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 3,27-6,5-2,5 + 1,73.
Dieser Ausdruck ist die Summe der Zahlen 3,27, -6,5, -2,5 und 1,73. Anwenden der Additionseigenschaften erhalten wir: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (-6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.
Beispiel 4 Berechnen wir das Produkt 36 · ().
Den Multiplikator kann man sich als Summe der Zahlen und - vorstellen. Mit der Verteilungseigenschaft der Multiplikation erhalten wir:
36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.
Identitäten
Definition. Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte für beliebige Werte der Variablen gleich sind, werden als gleich gleich bezeichnet.
Definition. Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt, wird als Identität bezeichnet.
Finden Sie die Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y bei x = 5, y = 4:
3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,
3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.
Wir haben das gleiche Ergebnis erhalten. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y gleich sind.
Betrachten Sie nun die Ausdrücke 2x + y und 2xy. Für x = 1, y = 2 nehmen sie gleiche Werte an:
Sie können jedoch Werte für x und y angeben, damit die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn zum Beispiel x = 3, y = 4, dann
Die Ausdrücke 3 (x + y) und 3x + 3y sind identisch, aber die Ausdrücke 2x + y und 2xy sind nicht identisch.
Die Gleichheit 3 (x + y) = x + 3y, wahr für alle Werte von x und y, ist eine Identität.
Echte Zahlengleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.
Identitäten sind also Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen ausdrücken:
a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),
ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.
Andere Beispiele für Identitäten können angeführt werden:
a + 0 = a, a + (-a) = 0, a-b = a + (- b),
a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.
Konvertierungen identischer Ausdrücke
Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation des Ausdrucks bezeichnet.
Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen durchgeführt.
Um den Wert des Ausdrucks xy-xz anhand der Werte von x, y, z zu ermitteln, müssen Sie drei Schritte ausführen. Zum Beispiel für x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2 erhalten wir:
xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.
Dieses Ergebnis kann durch Ausführen von nur zwei Schritten erhalten werden, wenn wir den Ausdruck x (y-z) verwenden, der mit dem Ausdruck xy-xz identisch ist:
xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck xy-xz durch den identisch gleichen Ausdruck x (y-z) ersetzt haben.
Identische Transformationen von Ausdrücken werden häufig verwendet, um die Werte von Ausdrücken zu berechnen und andere Probleme zu lösen. Einige der identischen Transformationen wurden bereits durchgeführt, beispielsweise die Reduzierung ähnlicher Terme, die Erweiterung von Klammern. Erinnern wir uns an die Regeln für die Durchführung dieser Transformationen:
Um solche Terme anzugeben, müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gesamten Buchstabenteil multiplizieren.
wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei das Vorzeichen jedes Begriffs in Klammern eingeschlossen bleibt;
Steht vor den Klammern ein Minuszeichen, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird.
Beispiel 1 Geben wir ähnliche Terme in der Summe 5x + 2x-3x an.
Wir werden die Regel der Reduzierung solcher Bedingungen anwenden:
5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.
Diese Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation.
Beispiel 2 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b-3c).
Anwenden der Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Pluszeichen vorangestellt ist:
2a + (b-3c) = 2a + b-3c.
Die durchgeführte Transformation basiert auf der kombinativen Eigenschaft der Addition.
Beispiel 3 Erweitern Sie die Klammern im Ausdruck a- (4b-c).
Verwenden wir die Regel zum Erweitern von Klammern, denen ein Minuszeichen vorangestellt ist:
a- (4b-c) = a-4b + c.
Die durchgeführte Transformation basiert auf der Verteilungseigenschaft der Multiplikation und der Kombinationseigenschaft der Addition. Zeigen wir es. Wir stellen in diesem Ausdruck den zweiten Term - (4b-c) als Produkt (-1) (4b-c) dar:
a-(4b-c) = a + (-1) (4b-c).
Durch Anwenden der angegebenen Aktionseigenschaften erhalten wir:
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.
Dieser Artikel bietet eine Initiale Vorstellung von Identitäten... Hier definieren wir eine Identität, führen die verwendete Notation ein und geben natürlich verschiedene Beispiele für Identitäten.
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Was ist Identität?
Es ist logisch, die Präsentation des Materials mit zu beginnen Definitionen von Identität... Im Lehrbuch von Yu. N. Makarychev, Algebra für 7 Klassen, wird die Definition einer Identität wie folgt angegeben:
Definition.
Identität- Dies gilt für alle Werte der Variablen. jede gültige numerische Gleichheit ist auch eine Identität.
In diesem Fall weist der Autor sofort darauf hin, dass diese Definition in Zukunft klargestellt wird. Diese Verfeinerung findet in Klasse 8 statt, nachdem man sich mit der Definition der zulässigen Werte von Variablen und OVS vertraut gemacht hat. Die Definition wird so:
Definition.
Identitäten- Dies sind echte numerische Gleichheiten sowie Gleichheiten, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gelten.
Warum sprechen wir bei der Definition einer Identität in der 7. Klasse über alle Werte der Variablen und in der 8. Klasse beginnen wir, über die Werte der Variablen aus ihrer ODZ zu sprechen? Bis Klasse 8 wird ausschließlich mit ganzzahligen Ausdrücken (insbesondere mit Monomen und Polynomen) gearbeitet, und sie sind für beliebige Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Daher sagen wir in der 7. Klasse, dass Identität eine Gleichheit ist, die für alle Werte der Variablen gilt. Und in der 8. Klasse tauchen Ausdrücke auf, die bereits nicht für alle Werte von Variablen Sinn machen, sondern nur für Werte aus deren ODZ. Daher beginnen wir, Identitäten Gleichheiten zu nennen, die für alle zulässigen Werte der Variablen wahr sind.
Identität ist also besonderer Fall Gleichstellung. Das heißt, jede Identität ist eine Gleichheit. Aber nicht jede Gleichheit ist eine Identität, sondern nur eine solche Gleichheit, die für beliebige Werte von Variablen aus ihrem zulässigen Wertebereich gilt.
Identitätszeichen
Es ist bekannt, dass in der Notation von Gleichheiten ein Gleichheitszeichen der Form "=" verwendet wird, links und rechts davon einige Zahlen oder Ausdrücke. Wenn wir diesem Zeichen eine weitere horizontale Linie hinzufügen, erhalten wir Identitätszeichen"≡", oder wie es auch genannt wird Identitätszeichen.
Das Identitätszeichen wird normalerweise nur verwendet, wenn betont werden muss, dass wir nicht nur mit Gleichheit, sondern mit Identität konfrontiert sind. In anderen Fällen unterscheidet sich die Notation von Identitäten nicht von der Form von Gleichheiten.
Beispiele für Identitäten
Es ist Zeit zu führen Beispiele für Identitäten... Dabei hilft uns die Definition von Identität im ersten Absatz.
Numerische Gleichheiten 2 = 2 und sind Beispiele für Identitäten, da diese Gleichheiten wahr sind und jede wahre numerische Gleichheit per Definition eine Identität ist. Sie können als 2≡2 und geschrieben werden.
Numerische Gleichheiten der Form 2 + 3 = 5 und 7−1 = 2 · 3 sind ebenfalls Identitäten, da diese Gleichungen wahr sind. Das heißt, 2 + 3≡5 und 7−1≡2 · 3.
Kommen wir zu Beispielen für Identitäten, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen in ihrer Notation enthalten.
Betrachten Sie die Gleichheit 3 (x + 1) = 3 x + 3. Für jeden Wert der Variablen x gilt die geschriebene Gleichheit aufgrund der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Addition, daher ist die ursprüngliche Gleichheit ein Beispiel für Identität. Hier ist ein weiteres Identitätsbeispiel: y (x − 1) ≡ (x − 1) x: x y 2: y, hier setzt sich der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x und y aus allen Paaren (x, y) zusammen, wobei x und y beliebige Zahlen außer Null sind.
Aber die Gleichheiten x + 1 = x − 1 und a + 2 b = b + 2 a sind keine Identitäten, da es Werte von Variablen gibt, für die diese Gleichheiten falsch sind. Für x = 2 wird beispielsweise die Gleichheit x + 1 = x − 1 zur falschen Gleichheit 2 + 1 = 2−1. Außerdem wird die Gleichheit x + 1 = x − 1 für keinen Wert der Variablen x erreicht. Und die Gleichheit a + 2 b = b + 2 a wird zu einer falschen Gleichheit, wenn wir unterschiedliche Werte der Variablen a und b annehmen. Für a = 0 und b = 1 erhalten wir beispielsweise die falsche Gleichheit 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Die Gleichheit | x | = x, wobei | x | - Variable x, ist auch keine Identität, da sie für negative Werte von x nicht gilt.
Beispiele der bekanntesten Identitäten sind sin 2 α + cos 2 α = 1 und a log a b = b.
Abschließend möchte ich anmerken, dass wir im Mathematikstudium ständig auf Identitäten stoßen. Die Eigenschaftsdatensätze von Aktionen mit Zahlen sind Identitäten, zum Beispiel a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 und a + (- a) = 0. Auch die Identitäten sind
Identische Konvertierungen stellen die Arbeit dar, die wir mit numerischen und literalen Ausdrücken sowie Ausdrücken, die Variablen enthalten, ausführen. Wir führen alle diese Transformationen durch, um den ursprünglichen Ausdruck in eine Form zu bringen, die für die Lösung des Problems geeignet ist. Wir werden die Haupttypen identischer Transformationen in diesem Thema betrachten.
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Identische Konvertierung eines Ausdrucks. Was ist das?
Zum ersten Mal begegnen wir dem Konzept von identisch transformiert, wir befinden uns im Algebra-Unterricht in der 7. Klasse. Gleichzeitig lernen wir zunächst den Begriff der identisch gleichen Ausdrücke kennen. Lassen Sie uns die Konzepte und Definitionen verstehen, um das Thema verständlicher zu machen.
Definition 1
Identische Konvertierung eines Ausdrucks- Dies sind Aktionen, die mit dem Ziel durchgeführt werden, den ursprünglichen Ausdruck durch einen Ausdruck zu ersetzen, der dem Original identisch ist.
Oft wird diese Definition in abgekürzter Form verwendet, wobei das Wort „identisch“ weggelassen wird. Es wird davon ausgegangen, dass wir in jedem Fall die Transformation des Ausdrucks so durchführen, dass ein mit dem ursprünglichen Ausdruck identischer Ausdruck erhalten wird, und dies braucht nicht gesondert hervorgehoben zu werden.
Lass uns veranschaulichen diese Definition Beispiele.
Beispiel 1
Wenn wir den Ausdruck ersetzen x + 3 - 2 zu einem identischen Ausdruck x + 1, dann führen wir die identische Transformation des Ausdrucks x + 3 - 2.
Beispiel 2
Ersetzen von Ausdruck 2 a 6 durch Ausdruck ein 3 Ist die identische Transformation, während die Ersetzung des Ausdrucks x auf Ausdruck x 2 ist keine identische Transformation, da die Ausdrücke x und x 2 sind nicht identisch.
Wir machen Sie auf die Schreibform von Ausdrücken aufmerksam, wenn Sie identische Transformationen durchführen. Normalerweise schreiben wir den ursprünglichen Ausdruck und den resultierenden Ausdruck als Gleichheit. Das Schreiben von x + 1 + 2 = x + 3 bedeutet also, dass der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 reduziert wurde.
Die sequentielle Ausführung von Aktionen führt uns zu einer Kette von Gleichheiten, die aus mehreren identischen Transformationen hintereinander besteht. Wir verstehen also die Notation x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x als sequentielles Ausführen von zwei Transformationen: Zuerst wurde der Ausdruck x + 1 + 2 in die Form x + 3 gebracht, und es - zu die Form 3 + x.
Identische Transformationen und ODU
Eine Reihe von Ausdrücken, die wir in der 8. Klasse zu lernen beginnen, sind nicht für alle Werte der Variablen sinnvoll. Um in diesen Fällen identische Transformationen durchzuführen, müssen wir auf den Bereich der zulässigen Werte von Variablen (ADV) achten. Das Durchführen identischer Transformationen kann die ODZ unverändert lassen oder eingrenzen.
Beispiel 3
Beim Springen vom Ausdruck a + (-b) zum Ausdruck a - b variabler Bereich ein und B Bleibt das selbe.
Beispiel 4
Von Ausdruck x zu Ausdruck wechseln x 2 x führt zu einer Einengung des zulässigen Wertebereichs der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, aus der Null ausgeschlossen wurde.
Beispiel 5
Identische Konvertierung eines Ausdrucks x 2 x Ausdruck x führt zur Erweiterung des Bereichs der zulässigen Werte der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen außer Null auf die Menge aller reellen Zahlen.
Die Einengung oder Erweiterung des Bereichs der zulässigen Werte von Variablen bei der Durchführung identischer Transformationen ist für die Lösung von Problemen wichtig, da dies die Genauigkeit von Berechnungen beeinträchtigen und zu Fehlern führen kann.
Grundlegende Identitätstransformationen
Sehen wir uns nun an, was identische Transformationen sind und wie sie durchgeführt werden. Lassen Sie uns diejenigen Arten von identischen Transformationen herausgreifen, mit denen wir am häufigsten zu tun haben, in der Hauptgruppe.
Neben den grundlegenden identischen Transformationen gibt es eine Reihe von Transformationen, die sich auf Ausdrücke eines bestimmten Typs beziehen. Für Brüche sind dies Methoden der Reduktion und Reduktion auf einen neuen Nenner. Bei Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen alle Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Wurzeln und Potenzen ausgeführt werden. Bei logarithmischen Ausdrücken Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen ausgeführt werden. Bei trigonometrischen Ausdrücken sind alle Aktionen mit trigonometrische Formeln... Alle diese privaten Transformationen werden in separaten Themen beschrieben, die in unserer Ressource zu finden sind. In dieser Hinsicht werden wir in diesem Artikel nicht auf sie eingehen.
Kommen wir zu den wichtigsten identischen Transformationen.
Permutation von Begriffen, Faktoren
Beginnen wir damit, die Begriffe neu anzuordnen. Wir haben es am häufigsten mit dieser identischen Transformation zu tun. Und folgende Aussage kann hier als Grundregel gelten: In jeder Summe beeinflusst die stellenweise Vertauschung der Terme das Ergebnis nicht.
Diese Regel basiert auf den Verschiebungs- und Kombinationseigenschaften der Addition. Diese Eigenschaften ermöglichen es uns, die Terme stellenweise neu anzuordnen und so Ausdrücke zu erhalten, die identisch mit den ursprünglichen Ausdrücken sind. Deshalb ist die Permutation der Terme an Stellen in der Summe die Identitätstransformation.
Beispiel 6
Wir haben die Summe der drei Terme 3 + 5 + 7. Wenn wir die Begriffe 3 und 5 vertauschen, nimmt der Ausdruck die Form 5 + 3 + 7 an. In diesem Fall gibt es mehrere Möglichkeiten, die Begriffe der Begriffe neu anzuordnen. Alle von ihnen führen zu Ausdrücken, die mit dem ursprünglichen identisch sind.
Als Terme in der Summe können nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke fungieren. Sie können, genau wie Zahlen, stellenweise neu angeordnet werden, ohne dass das Endergebnis der Berechnungen beeinflusst wird.
Beispiel 7
In der Summe der drei Terme 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 und - 12 a der Form 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · ein Begriff kann zum Beispiel wie folgt neu angeordnet werden (- 12) Im Gegenzug können Sie die Terme im Nenner des Bruchs 1 a + b neu anordnen, und der Bruch nimmt die Form 1 b + a an. Und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen a 2 + 2 a + 5 ist auch die Summe, in der die Bedingungen getauscht werden können.
Auf die gleiche Weise wie bei den Termen können Sie in den ursprünglichen Ausdrücken die Stellen der Faktoren ändern und erhalten identisch korrekte Gleichungen. Diese Aktion unterliegt der folgenden Regel:
Definition 2
In einem Produkt hat die punktuelle Neuordnung der Multiplikatoren keinen Einfluss auf das Berechnungsergebnis.
Diese Regel basiert auf den Verschiebungs- und Kombinationseigenschaften der Multiplikation, die die Richtigkeit der identischen Transformation bestätigen.
Beispiel 8
Arbeiten 3 5 7 Permutation von Faktoren kann in einer der folgenden Formen dargestellt werden: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 oder 3 7 5.
Beispiel 9
Die Umordnung der Faktoren im Produkt x + 1 x 2 - x + 1 x ergibt x 2 - x + 1 x x + 1
Erweiterungsklammern
Die Klammern können numerische und variable Ausdrücke enthalten. Diese Ausdrücke können in identische Ausdrücke umgewandelt werden, in denen es keine oder weniger Klammern gibt als in den ursprünglichen Ausdrücken. Diese Art der Konvertierung von Ausdrücken wird als Klammererweiterung bezeichnet.
Beispiel 10
Lassen Sie uns Aktionen mit Klammern in einem Ausdruck der Form ausführen 3 + x - 1 x um einen identisch korrekten Ausdruck zu erhalten 3 + x - 1 x.
Der Ausdruck 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x kann identisch umgewandelt werden gleicher Ausdruck ohne Klammern 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.
Wir haben die Regeln für das Konvertieren von Ausdrücken mit Klammern im Thema "Klammern erweitern", das auf unserer Ressource veröffentlicht wird, detailliert beschrieben.
Gruppierung von Begriffen, Faktoren
In Fällen, in denen es sich um drei und handelt große Menge Begriffen können wir auf eine Form von Identitätstransformationen wie die Gruppierung von Begriffen zurückgreifen. Bei dieser Transformationsmethode werden mehrere Begriffe zu einer Gruppe zusammengefasst, indem sie neu angeordnet und in Klammern eingeschlossen werden.
Beim Gruppieren werden die Begriffe vertauscht, sodass die zu gruppierenden Begriffe im Ausdruck nebeneinander erscheinen. Sie können dann in Klammern eingeschlossen werden.
Beispiel 11
Nehmen wir den Ausdruck 5 + 7 + 1 ... Wenn wir den ersten Term mit dem dritten gruppieren, erhalten wir (5 + 1) + 7 .
Die Gruppierung von Faktoren erfolgt ähnlich wie die Gruppierung von Begriffen.
Beispiel 12
Auf der Arbeit 2 3 4 5 wir können den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten gruppieren und erhalten den Ausdruck (2 4) (3 5)... Und wenn wir den ersten, zweiten und vierten Faktor gruppieren, erhalten wir den Ausdruck (2 3 5) 4.
Die gruppierten Terme und Faktoren können sowohl durch Primzahlen als auch durch Ausdrücke dargestellt werden. Die Gruppierungsregeln wurden im Thema „Gruppierung von Begriffen und Faktoren“ ausführlich behandelt.
Ersetzen von Differenzen durch Summen, Teilprodukte und umgekehrt
Das Ersetzen der Differenzen durch Summen wurde dank unserer Bekanntschaft mit Gegenübern möglich. Jetzt von einer Zahl subtrahieren ein die Zahlen B kann als Ergänzung zur Nummer angesehen werden ein die Zahlen - B... Gleichstellung a - b = a + (- b) als gerecht angesehen werden kann und auf dieser Grundlage die Differenzen durch Summen zu ersetzen.
Beispiel 13
Nehmen wir den Ausdruck 4 + 3 − 2 , in der die Differenz der Zahlen 3 − 2 Wir können die Summe aufschreiben 3 + (− 2) ... Wir bekommen 4 + 3 + (− 2) .
Beispiel 14
Alle Unterschiede im Ausdruck 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kann durch Summen ersetzt werden wie 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).
Wir können aus allen Differenzen Summen ziehen. Ebenso können wir den umgekehrten Austausch durchführen.
Das Ersetzen der Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors wird möglich durch das Konzept der gegenseitigen Kehrzahlen... Diese Transformation kann geschrieben werden durch die Gleichheit a: b = a (b - 1).
Diese Regel wurde als Grundlage für die Regel zum Dividieren von gewöhnlichen Brüchen verwendet.
Beispiel 15
Privatgelände 1 2: 3 5 kann durch ein Produkt der Form . ersetzt werden 1 2 5 3.
Ebenso kann analog die Division durch Multiplikation ersetzt werden.
Beispiel 16
Im Fall des Ausdrucks 1 + 5: x: (x + 3) Division durch ersetzen x kann multipliziert werden mit 1 x... Division durch x + 3 wir können durch Multiplikation mit ersetzen 1 x + 3... Die Transformation ermöglicht es uns, einen mit dem Original identischen Ausdruck zu erhalten: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
Das Ersetzen der Multiplikation durch die Division erfolgt nach dem Schema a b = a: (b - 1).
Beispiel 17
Im Ausdruck 5 x x 2 + 1 - 3 kann Multiplikation durch Division als 5 ersetzt werden: x 2 + 1 x - 3.
Aktionen für Zahlen ausführen
Das Ausführen von Aktionen mit Zahlen gehorcht der Regel der Aktionsreihenfolge. Zunächst werden Aktionen mit Potenzen von Zahlen und Zahlenwurzeln ausgeführt. Danach ersetzen wir Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen durch ihre Werte. Dann werden die Aktionen in Klammern ausgeführt. Und dann können alle anderen Aktionen von links nach rechts ausgeführt werden. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Multiplikation und Division vor der Addition und Subtraktion durchgeführt werden.
Operationen mit Zahlen ermöglichen es Ihnen, den ursprünglichen Ausdruck in einen identischen Ausdruck umzuwandeln.
Beispiel 18
Schreiben Sie den Ausdruck 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x um und führen Sie alle möglichen Aktionen mit den Zahlen aus.
Lösung
Achten wir zunächst auf den Abschluss 2 3 und Wurzel 4 und berechnen ihre Werte: 2 3 = 8 und 4 = 2 2 = 2.
Setzen Sie die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein und erhalten Sie: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).
Führen wir nun die Aktionen in Klammern aus: 8 − 1 = 7 ... Und fahren Sie mit dem Ausdruck 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) fort.
Es bleibt uns, die Multiplikation der Zahlen durchzuführen 3 und 7 ... Wir erhalten: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).
Antworten: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Aktionen für Zahlen können andere Arten von identischen Transformationen vorausgehen, z. B. das Gruppieren von Zahlen oder das Erweitern von Klammern.
Beispiel 19
Nehmen wir den Ausdruck 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.
Lösung
Zunächst ersetzen wir den Quotienten in Klammern 6: 3 auf seinen Wert 2 ... Wir erhalten: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.
Erweitern wir die Klammern: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.
Lassen Sie uns die numerischen Faktoren im Produkt sowie die Begriffe, die Zahlen sind, gruppieren: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Führen wir die Aktionen in Klammern aus: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
Antworten:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
Wenn wir mit numerischen Ausdrücken arbeiten, wird es das Ziel unserer Arbeit sein, die Bedeutung des Ausdrucks zu finden. Wenn wir Ausdrücke mit Variablen transformieren, besteht das Ziel unserer Aktionen darin, den Ausdruck zu vereinfachen.
Den gemeinsamen Faktor herausrechnen
In Fällen, in denen die Terme im Ausdruck denselben Faktor haben, können wir diesen gemeinsamen Faktor aus den Klammern herausnehmen. Dazu müssen wir zunächst den ursprünglichen Ausdruck als Produkt aus dem gemeinsamen Faktor und dem Ausdruck in Klammern darstellen, der aus den ursprünglichen Termen ohne den gemeinsamen Faktor besteht.
Beispiel 20
Numerisch 2 7 + 2 3 Wir können den gemeinsamen Faktor herausnehmen 2 Klammern und erhalten einen identisch korrekten Ausdruck der Form 2 (7 + 3).
Sie können Ihre Erinnerung an die Regeln zum Setzen des gemeinsamen Faktors außerhalb der Klammern im entsprechenden Abschnitt unserer Ressource auffrischen. Das Material diskutiert ausführlich die Regeln, um den gemeinsamen Faktor außerhalb der Klammern zu setzen, und bietet zahlreiche Beispiele.
Reduzierung ähnlicher Begriffe
Kommen wir nun zu den Summen, die ähnliche Begriffe enthalten. Es gibt zwei mögliche Optionen: die Summen, die die gleichen Terme enthalten, und die Summen, deren Terme sich durch einen numerischen Koeffizienten unterscheiden. Aktionen mit Summen, die solche Terme enthalten, werden als Reduktion solcher Terme bezeichnet. Es geht wie folgt: Wir nehmen den allgemeinen Buchstabenteil außerhalb der Klammern heraus und berechnen die Summe der numerischen Koeffizienten in Klammern.
Beispiel 21
Betrachten Sie den Ausdruck 1 + 4 x - 2 x... Wir können den wörtlichen Teil von x außerhalb der Klammern setzen und erhalten den Ausdruck 1 + x (4 - 2)... Berechnen wir den Wert des Ausdrucks in Klammern und erhalten die Summe der Form 1 + x · 2.
Ersetzen von Zahlen und Ausdrücken durch identisch gleiche Ausdrücke
Die Zahlen und Ausdrücke, aus denen sich der ursprüngliche Ausdruck zusammensetzt, können durch identisch gleiche Ausdrücke ersetzt werden. Eine solche Transformation des ursprünglichen Ausdrucks führt zu einem ihm identischen Ausdruck.
Beispiel 22 Beispiel 23
Betrachten Sie den Ausdruck 1 + 5, in dem wir den Grad von a 5 durch ein identisch gleiches Produkt ersetzen können, zum Beispiel der Form a a 4... Dies gibt uns den Ausdruck 1 + a a 4.
Die durchgeführte Transformation ist künstlich. Es macht nur in Vorbereitung auf andere Transformationen Sinn.
Beispiel 24
Betrachten Sie die Transformation der Summe 4 x 3 + 2 x 2... Hier der Begriff 4 x 3 können wir uns als Arbeit vorstellen 2 x 2 2 x... Als Ergebnis hat der ursprüngliche Ausdruck die Form 2 x 2 2 x + 2 x 2... Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor auswählen 2 x 2 und setze es außerhalb der Klammern: 2x2 (2x+1).
Addiere und subtrahiere dieselbe Zahl
Das gleichzeitige Addieren und Subtrahieren derselben Zahl oder eines Ausdrucks ist eine künstliche Technik zum Transformieren von Ausdrücken.
Beispiel 25
Betrachten Sie den Ausdruck x 2 + 2 x... Wir können eine davon addieren oder subtrahieren, wodurch wir in Zukunft eine weitere identische Transformation durchführen können - um das Quadrat des Binomials auszuwählen: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.
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