Notation irrationaler Zahlen. Rationale und irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen wird üblicherweise mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet ich (\displaystyle \mathbb (I) ) in Fettschrift ohne Füllung. Auf diese Weise: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), das heißt, die Menge der irrationalen Zahlen ist die Differenz zwischen den Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt von Strecken, die mit einem Streckenabschnitt der Längeneinheit inkommensurabel sind, war bereits den antiken Mathematikern bekannt: Sie kannten zum Beispiel die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, die der Irrationalität gleichkommt der Zahl.

Enzyklopädisches YouTube

• 1 / 5

  Irrational sind:

  Beispiele für Irrationalitätsbeweise

  Wurzel von 2

  Sagen wir das Gegenteil: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, also als Bruch dargestellt m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Wo m (\displaystyle m) ist eine ganze Zahl und n (\displaystyle n)- natürliche Zahl .

  Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Geschichte

  Antike

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. – ca. 690 v. Chr.) feststellte, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können [ ] .

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise Hippasus von Metapontos (ca. 500 v. Chr.), einem Pythagoräer, zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die hinreichend klein und unteilbar ist und die eine ganze Zahl von Malen ist, die in einem Segment enthalten sind [ ] .

  Es gibt keine genauen Daten über die Irrationalität dieser Zahl, die Hippasus bewiesen hat. Der Legende nach fand er es, indem er die Längen der Seiten des Pentagramms untersuchte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass dies der Goldene Schnitt war [ ] .

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt entgegengebracht. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Wesenheiten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können.“ " Die Entdeckung von Hippas stellte die pythagoräische Mathematik vor ernstes Problem, wodurch die der gesamten Theorie zugrunde liegende Annahme zerstört wird, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

  Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Buchstaben N bezeichnet. Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir Objekte zählen: 1,2,3,4, ... In einigen Quellen wird die Zahl 0 auch als natürliche Zahlen bezeichnet .

  Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit dem Buchstaben Z bezeichnet. Ganze Zahlen sind alle natürlichen Zahlen, Null und negative Zahlen:

  1,-2,-3, -4, …

  Fügen wir nun der Menge aller ganzen Zahlen die Menge aller gewöhnlichen Brüche hinzu: 2/3, 18/17, -4/5 usw. Dann erhalten wir die Menge aller rationalen Zahlen.

  Satz rationaler Zahlen

  Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben Q bezeichnet. Die Menge aller rationalen Zahlen (Q) ist die Menge bestehend aus Zahlen der Form m/n, -m/n und der Zahl 0. In als n,m kann jede natürliche Zahl sein. Es ist zu beachten, dass alle rationalen Zahlen als endliche oder unendliche PERIODIK dargestellt werden können Dezimalbruch. Das Umgekehrte gilt auch, dass jeder endliche oder unendliche periodische Dezimalbruch als rationale Zahl geschrieben werden kann.

  Aber was ist zum Beispiel mit der Zahl 2.0100100010…? Es handelt sich um eine unendlich NICHTPERIODISCHE Dezimalzahl. Und es gilt nicht für rationale Zahlen.

  IN Schulkurs Algebren werden nur reelle (oder reelle) Zahlen untersucht. Die Menge aller reellen Zahlen wird mit dem Buchstaben R bezeichnet. Die Menge R besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen.

  Das Konzept der irrationalen Zahlen

  Irrationale Zahlen sind alle unendlichen dezimalen nichtperiodischen Brüche. Für irrationale Zahlen gibt es keine besondere Schreibweise.

  Beispielsweise sind alle Zahlen, die man durch Ziehen der Quadratwurzel aus natürlichen Zahlen erhält, die keine Quadrate natürlicher Zahlen sind, irrational. (√2, √3, √5, √6 usw.).

  Aber denken Sie das nicht irrationale Zahlen nur durch Ziehen von Quadratwurzeln erhalten. Beispielsweise ist die Zahl „pi“ ebenfalls irrational und wird durch Division erhalten. Und egal wie sehr Sie es auch versuchen, Sie können es nicht durch Extrahieren erreichen Quadratwurzel aus jeder natürlichen Zahl.

  Definition einer irrationalen Zahl

  Irrationale Zahlen sind Zahlen, die in Dezimalschreibweise unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche sind.

  
  
  

  So sind beispielsweise Zahlen, die man durch Ziehen der Quadratwurzel natürlicher Zahlen erhält, irrational und keine Quadrate natürlicher Zahlen. Allerdings erhält man nicht alle irrationalen Zahlen durch das Ziehen von Quadratwurzeln, da die durch Division erhaltene Zahl „pi“ ebenfalls irrational ist und es unwahrscheinlich ist, dass man sie erhält, wenn man versucht, aus einer natürlichen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen.

  Eigenschaften irrationaler Zahlen

  Im Gegensatz zu Zahlen, die in unendlichen Dezimalbrüchen geschrieben werden, werden nur irrationale Zahlen in nichtperiodischen unendlichen Dezimalbrüchen geschrieben.
  Die Summe zweier nicht negativer irrationaler Zahlen kann schließlich eine rationale Zahl sein.
  Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Abschnitte in der Menge der rationalen Zahlen, in der unteren Klasse gibt es keine eine große Anzahl, und im oberen gibt es kein kleineres.
  Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
  Alle irrationalen Zahlen sind entweder algebraisch oder transzendental.
  Die Menge der irrationalen Zahlen auf der Linie ist dicht gepackt, und zwischen zwei beliebigen Zahlen muss sich zwangsläufig eine irrationale Zahl befinden.
  Die Menge der irrationalen Zahlen ist unendlich, abzählbar und eine Menge der 2. Kategorie.
  Wenn Sie eine arithmetische Operation mit rationalen Zahlen durchführen, mit Ausnahme der Division durch 0, ist das Ergebnis eine rationale Zahl.
  Wenn man eine rationale Zahl zu einer irrationalen Zahl addiert, ist das Ergebnis immer eine irrationale Zahl.
  Wenn wir irrationale Zahlen addieren, können wir als Ergebnis eine rationale Zahl erhalten.
  Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht gerade.
  

  Zahlen sind nicht irrational

  Manchmal ist es ziemlich schwierig, die Frage zu beantworten, ob eine Zahl irrational ist, insbesondere wenn die Zahl die Form eines Dezimalbruchs oder die Form eines numerischen Ausdrucks, einer Wurzel oder eines Logarithmus hat.

  Daher wird es nicht überflüssig sein zu wissen, welche Zahlen nicht irrational sind. Wenn wir der Definition irrationaler Zahlen folgen, wissen wir bereits, dass rationale Zahlen nicht irrational sein können.

  Irrationale Zahlen sind nicht:

  Erstens alle natürlichen Zahlen;
  Zweitens ganze Zahlen;
  Drittens: gewöhnliche Brüche;
  Viertens verschiedene gemischte Zahlen;
  Fünftens sind dies unendliche periodische Dezimalbrüche.
  

  Darüber hinaus kann jede Kombination rationaler Zahlen, die durch die Vorzeichen arithmetischer Operationen wie +, -, , : ausgeführt wird, keine irrationale Zahl sein, da in diesem Fall auch das Ergebnis zweier rationaler Zahlen der Fall ist sei eine rationale Zahl.

  Sehen wir uns nun an, welche der Zahlen irrational sind:

  
  
  

  Wissen Sie, dass es einen Fanclub gibt, in dem Fans dieses mysteriösen mathematischen Phänomens nach immer mehr Informationen über Pi suchen und versuchen, sein Geheimnis zu lüften? Mitglied dieses Clubs kann jeder werden, der eine bestimmte Anzahl an Pi-Zahlen hinter dem Komma auswendig kann;

  Wussten Sie, dass es in Deutschland unter dem Schutz der UNESCO das Schloss Castadel Monte gibt, anhand dessen Proportionen Sie Pi berechnen können? Dieser Zahl wurde von König Friedrich II. ein ganzes Schloss gewidmet.

  Es stellt sich heraus, dass versucht wurde, die Zahl Pi im Bauwesen zu verwenden Turm von Babylon. Zu unserem großen Bedauern führte dies jedoch zum Scheitern des Projekts, da die genaue Berechnung des Wertes von Pi zu diesem Zeitpunkt noch nicht ausreichend untersucht war.

  Sängerin Kate Bush hat auf ihrer neuen CD einen Song namens „Pi“ aufgenommen, in dem einhundertvierundzwanzig Nummern aus der berühmten Nummernreihe 3, 141 erklangen ... ..

  Was sind irrationale Zahlen? Warum heißen sie so? Wo werden sie verwendet und was sind sie? Nur wenige können diese Fragen ohne zu zögern beantworten. Tatsächlich sind die Antworten darauf jedoch recht einfach, obwohl sie nicht jeder braucht und in sehr seltenen Situationen.

  Wesen und Bezeichnung

  Irrationale Zahlen sind unendliche, nichtperiodische Zahlen. Die Notwendigkeit, dieses Konzept einzuführen, ergibt sich aus der Tatsache, dass die bisher bestehenden Konzepte reeller oder reeller, ganzzahliger, natürlicher und rationaler Zahlen zur Lösung neu auftretender Probleme nicht mehr ausreichten. Um beispielsweise das Quadrat von 2 zu berechnen, müssen Sie einmalige unendliche Dezimalzahlen verwenden. Darüber hinaus gibt es auch für viele der einfachsten Gleichungen keine Lösung ohne Einführung des Konzepts einer irrationalen Zahl.

  Diese Menge wird als I bezeichnet. Und wie bereits klar ist, können diese Werte nicht als einfacher Bruch dargestellt werden, in dessen Zähler eine ganze Zahl steht und in dessen Nenner -

  Zum ersten Mal begegneten indische Mathematiker diesem Phänomen auf die eine oder andere Weise im 7. Jahrhundert, als entdeckt wurde, dass die Quadratwurzeln einiger Größen nicht explizit angegeben werden können. Und der erste Beweis für die Existenz solcher Zahlen wird dem Pythagoräer Hippasus zugeschrieben, der dies bei der Untersuchung eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks tat. Einen ernsthaften Beitrag zur Erforschung dieser Menge leisteten einige andere Wissenschaftler, die vor unserer Zeitrechnung lebten. Die Einführung des Konzepts der irrationalen Zahlen brachte eine Überarbeitung des bestehenden mathematischen Systems mit sich, weshalb sie so wichtig sind.

  Herkunft des Namens

  Wenn Verhältnis im Lateinischen „Bruch“, „Verhältnis“ ist, dann ist das Präfix „ir“
  gibt dem Wort die gegenteilige Bedeutung. Der Name der Menge dieser Zahlen weist also darauf hin, dass sie nicht mit einer ganzen Zahl oder einem Bruch korreliert werden können separater Ort. Dies ergibt sich aus ihrer Natur.

  Platz in der Gesamtwertung

  Irrationale Zahlen gehören neben rationalen zur Gruppe der reellen oder reellen Zahlen, die wiederum komplex sind. Es gibt keine Teilmengen, es gibt jedoch algebraische und transzendente Varianten, auf die weiter unten eingegangen wird.

  

  Eigenschaften

  Da irrationale Zahlen Teil der Menge der reellen Zahlen sind, sind alle ihre in der Arithmetik untersuchten Eigenschaften auf sie anwendbar (sie werden auch algebraische Grundgesetze genannt).

  a + b = b + a (Kommutativität);

  (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);

  a + (-a) = 0 (die Existenz der Gegenzahl);

  ab = ba (Verschiebungsgesetz);

  (ab)c = a(bc) (Distributivität);

  a(b+c) = ab + ac (Verteilungsgesetz);

  a x 1/a = 1 (die Existenz einer Umkehrzahl);

  Auch der Vergleich erfolgt nach den allgemeinen Gesetzen und Grundsätzen:

  Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität der Beziehung) und. usw.

  Natürlich können alle irrationalen Zahlen mit einfachen Mitteln der Arithmetik umgerechnet werden. Hierfür gibt es keine besonderen Regeln.

  

  Darüber hinaus erstreckt sich die Wirkung des Axioms von Archimedes auf irrationale Zahlen. Darin heißt es, dass für zwei beliebige Größen a und b die Aussage wahr ist, wenn man a als Term annimmt genug Mal kannst du b schlagen.

  Verwendung

  Trotz der Tatsache, dass man sich im normalen Leben nicht oft mit ihnen auseinandersetzen muss, können irrationale Zahlen nicht gezählt werden. Es gibt viele davon, aber sie sind fast unsichtbar. Wir sind überall von irrationalen Zahlen umgeben. Allen bekannte Beispiele sind pi, was 3,1415926... ist, oder e, was im Wesentlichen die Basis ist natürlicher Logarithmus, 2.718281828... In Algebra, Trigonometrie und Geometrie muss man sie ständig verwenden. Übrigens auch die berühmte Bedeutung des „Goldenen Schnitts“, also das Verhältnis des größeren Teils zum kleineren und umgekehrt

  

  gehört zu diesem Set. Weniger bekanntes „Silber“ – auch.

  Auf der Zahlengeraden sind sie sehr dicht angeordnet, so dass zwischen zwei beliebigen Größen, die sich auf die Menge der rationalen beziehen, zwangsläufig eine irrationale Größe auftritt.

  Mit diesem Set sind noch viele ungelöste Probleme verbunden. Es gibt Kriterien wie das Maß der Irrationalität und die Normalität einer Zahl. Mathematiker untersuchen weiterhin die bedeutendsten Beispiele auf ihre Zugehörigkeit zu der einen oder anderen Gruppe. Beispielsweise geht man davon aus, dass e eine normale Zahl ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass in ihrem Eintrag verschiedene Ziffern vorkommen, ist gleich. Was Pi betrifft, so ist die Forschung hierzu noch im Gange. Ein Maß für Irrationalität ist ein Wert, der angibt, wie gut eine bestimmte Zahl durch rationale Zahlen angenähert werden kann.

  Algebraisch und transzendental

  Wie bereits erwähnt, werden irrationale Zahlen bedingt in algebraische und transzendente Zahlen unterteilt. Bedingt, da diese Klassifizierung streng genommen zur Teilung der Menge C verwendet wird.

  Unter dieser Bezeichnung verbergen sich komplexe Zahlen, zu denen reelle bzw. reelle Zahlen gehören.

  Ein algebraischer Wert ist also ein Wert, der die Wurzel eines Polynoms ist, das nicht identisch Null ist. Beispielsweise würde die Quadratwurzel aus 2 in diese Kategorie fallen, da sie die Lösung der Gleichung x 2 - 2 = 0 ist.

  Alle anderen reellen Zahlen, die diese Bedingung nicht erfüllen, heißen transzendent. Zu dieser Sorte gehören auch die bekanntesten und bereits erwähnten Beispiele – die Zahl Pi und die Basis des natürlichen Logarithmus e.

  

  Interessanterweise wurde weder das eine noch das zweite ursprünglich von Mathematikern in dieser Eigenschaft abgeleitet, ihre Irrationalität und Transzendenz wurden viele Jahre nach ihrer Entdeckung bewiesen. Für Pi wurde der Beweis 1882 gegeben und 1894 vereinfacht, was der 2.500 Jahre währenden Kontroverse um das Problem der Quadratur des Kreises ein Ende setzte. Es ist immer noch nicht vollständig verstanden, daher müssen moderne Mathematiker noch daran arbeiten. Die erste hinreichend genaue Berechnung dieses Wertes wurde übrigens von Archimedes durchgeführt. Vor ihm waren alle Berechnungen zu ungefähr.

  Für e (die Euler- oder Napier-Zahl) wurde 1873 ein Beweis für ihre Transzendenz gefunden. Es wird zum Lösen logarithmischer Gleichungen verwendet.

  Weitere Beispiele sind Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für alle algebraischen Werte ungleich Null.

  irrationale Zahl- Das reelle Zahl, was nicht rational ist, das heißt, es kann nicht als Bruch dargestellt werden, wo ganze Zahlen sind, . Eine irrationale Zahl kann als unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl dargestellt werden.

  Die Menge der irrationalen Zahlen wird normalerweise durch einen großen lateinischen Buchstaben in Fettschrift ohne Schattierung gekennzeichnet. Also: , d.h. Menge irrationaler Zahlen ist Unterschied zwischen Mengen reeller und rationaler Zahlen.

  Genauer gesagt über die Existenz irrationaler Zahlen Segmente, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, wussten bereits die alten Mathematiker: Sie kannten zum Beispiel die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was der Irrationalität der Zahl gleichkommt.

  Eigenschaften

  • Jede reelle Zahl kann als unendlicher Dezimalbruch geschrieben werden, während irrationale Zahlen und nur sie als nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche geschrieben werden.
  • Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Abschnitte in der Menge der rationalen Zahlen, die keine größte Zahl in der unteren Klasse und keine kleinste Zahl in der oberen Klasse haben.
  • Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
  • Jede irrationale Zahl ist entweder algebraisch oder transzendental.
  • Die Menge der irrationalen Zahlen ist auf der reellen Geraden überall dicht: Zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt eine irrationale Zahl.
  • Die Ordnung auf der Menge der irrationalen Zahlen ist isomorph zur Ordnung auf der Menge der reellen transzendenten Zahlen.
  • Die Menge der irrationalen Zahlen ist überzählbar, also eine Menge der zweiten Kategorie.

  Beispiele

  Irrationale Zahlen - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  Irrational sind:

  Beispiele für Irrationalitätsbeweise

  Wurzel von 2

  Nehmen wir das Gegenteil an: rational, das heißt, es wird als irreduzibler Bruch dargestellt, wobei es sich um eine ganze Zahl und um eine natürliche Zahl handelt. Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:

  .

  Daraus folgt, dass gerade, also gerade und . Lass wo das Ganze. Dann

  Deshalb, gerade, deshalb, gerade und . Wir haben das erhalten und sind gerade, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Daher war die ursprüngliche Annahme falsch und es handelt sich um eine irrationale Zahl.

  Binärer Logarithmus der Zahl 3

  Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Da , und kann positiv genommen werden. Dann

  Aber es ist klar, es ist seltsam. Wir erhalten einen Widerspruch.

  e

  Geschichte

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. – ca. 690 v. Chr.) feststellte, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können.

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise Hippasus von Metapontos (ca. 500 v. Chr.) zugeschrieben, einem Pythagoräer, der diesen Beweis durch das Studium der Seitenlängen eines Pentagramms fand. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die hinreichend klein und unteilbar ist und die eine ganze Zahl von Malen ist, die in einem beliebigen Segment enthalten sind. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gebe, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führe. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks eine ganze Zahl von Einheitssegmenten enthält, diese Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein muss. Der Beweis sah so aus:

  • Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge des Schenkels eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks kann ausgedrückt werden als: A:B, Wo A Und B so klein wie möglich gewählt.
  • Nach dem Satz des Pythagoras: A² = 2 B².
  • Als A² gerade, A muss gerade sein (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade wäre).
  • Weil das A:B irreduzibel B muss seltsam sein.
  • Als A sogar, bezeichnen A = 2j.
  • Dann A² = 4 j² = 2 B².
  • B² = 2 j² also B ist dann gerade B selbst.
  • Das ist jedoch erwiesen B seltsam. Widerspruch.

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt entgegengebracht. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Wesenheiten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können.“ " Die Entdeckung von Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernstes Problem und zerstörte die der gesamten Theorie zugrunde liegende Annahme, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.