Welche Zahl ist irrational Beispiele. Was bedeutet irrationale zahl
Alle rationalen Zahlen lassen sich als gemeinsamer Bruch darstellen. Dies gilt für ganze Zahlen (z. B. 12, -6, 0) und endgültige Dezimalbrüche (z. B. 0,5; -3,8921) und unendliche periodische Dezimalbrüche (z. B. 0,11(23); -3 ,(87 )).
aber unendlich nicht periodisch Dezimalstellen können nicht als gewöhnliche Brüche dargestellt werden. Das sind sie irrationale Zahlen(also irrational). Ein Beispiel für eine solche Zahl ist π, das ungefähr gleich 3,14 ist. Was es genau ist, kann jedoch nicht bestimmt werden, da nach der Zahl 4 eine endlose Reihe weiterer Zahlen folgt, in denen sich wiederholende Punkte nicht unterschieden werden können. Obwohl die Zahl π nicht genau ausgedrückt werden kann, hat sie gleichzeitig eine spezifische geometrische Bedeutung. Die Zahl π ist das Verhältnis der Länge eines beliebigen Kreises zur Länge seines Durchmessers. Irrationale Zahlen existieren also in der Natur ebenso wie rationale Zahlen.
Ein weiteres Beispiel für irrationale Zahlen ist Quadratwurzeln aus positiven Zahlen. Das Ziehen von Wurzeln aus einigen Zahlen ergibt rationale Werte, aus anderen - irrationale. Zum Beispiel ist √4 = 2, d.h. die Wurzel aus 4 ist eine rationale Zahl. Aber √2, √5, √7 und viele andere ergeben irrationale Zahlen, das heißt, sie können nur mit einer Näherung extrahiert werden, gerundet auf eine bestimmte Dezimalstelle. In diesem Fall wird der Bruch nicht periodisch erhalten. Das heißt, es ist unmöglich, genau und definitiv zu sagen, was die Wurzel dieser Zahlen ist.
Also ist √5 eine Zahl zwischen 2 und 3, da √4 = 2 und √9 = 3. Wir können auch schlussfolgern, dass √5 näher an 2 als an 3 liegt, da √4 näher an √5 liegt als √9 an √5. Tatsächlich ist √5 ≈ 2,23 oder √5 ≈ 2,24.
Irrationale Zahlen ergeben sich auch bei anderen Rechnungen (und nicht nur beim Wurzelziehen), sie sind negativ.
In Bezug auf irrationale Zahlen können wir sagen, dass wir, egal welches Einheitssegment wir nehmen, um die durch eine solche Zahl ausgedrückte Länge zu messen, es nicht definitiv messen können.
An Rechenoperationen können neben rationalen auch irrationale Zahlen teilnehmen. Gleichzeitig gibt es eine Reihe von Regelmäßigkeiten. Wenn zum Beispiel nur rationale Zahlen an einer Rechenoperation beteiligt sind, dann ist das Ergebnis immer eine rationale Zahl. Beteiligen sich nur Irrationale an der Operation, so ist eindeutig zu sagen, ob sie sich als rational herausstellen wird oder irrationale Zahl, es ist verboten.
Wenn Sie zum Beispiel zwei irrationale Zahlen √2 * √2 multiplizieren, erhalten Sie 2 – das ist eine rationale Zahl. Andererseits ist √2 * √3 = √6 eine irrationale Zahl.
Beinhaltet eine Rechenoperation eine rationale und eine irrationale Zahl, so erhält man ein irrationales Ergebnis. Zum Beispiel 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
Warum ist √17 - 4 eine irrationale Zahl? Stellen Sie sich vor, Sie erhalten eine rationale Zahl x. Dann ist √17 = x + 4. Aber x + 4 ist eine rationale Zahl, da wir angenommen haben, dass x rational ist. Die Zahl 4 ist auch rational, also ist x + 4 rational. Eine rationale Zahl kann jedoch nicht gleich der irrationalen Zahl √17 sein. Daher ist die Annahme, dass √17 - 4 ein rationales Ergebnis liefert, falsch. Das Ergebnis einer arithmetischen Operation ist irrational.
Es gibt jedoch eine Ausnahme von dieser Regel. Wenn wir eine irrationale Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir eine rationale Zahl 0.
Wir haben bereits früher gezeigt, dass $1\frac25$ nahe bei $\sqrt2$ liegt. Wenn es genau gleich $\sqrt2$ wäre, . Dann wäre das Verhältnis - $\frac(1\frac25)(1)$, das man durch Multiplizieren des oberen und unteren Teils des Bruchs mit 5 in ein Verhältnis der ganzen Zahlen $\frac75$ umwandeln kann, der gewünschte Wert.
Aber leider ist $1\frac25$ nicht der exakte Wert von $\sqrt2$. Eine genauere Antwort $1\frac(41)(100)$ gibt die Relation $\frac(141)(100)$. Eine noch größere Genauigkeit erreichen wir, wenn wir $\sqrt2$ mit $1\frac(207)(500)$ gleichsetzen. In diesem Fall ist das Verhältnis in ganzen Zahlen gleich $\frac(707)(500)$. Aber $1\frac(207)(500)$ ist auch nicht der exakte Wert der Quadratwurzel aus 2. Griechische Mathematiker haben viel Zeit und Mühe in die Berechnung investiert genauer Wert$\sqrt2$, aber es gelang ihnen nie. Sie konnten das Verhältnis $\frac(\sqrt2)(1)$ nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen.
Schließlich bewies der große griechische Mathematiker Euklid, dass es unmöglich ist, den genauen Wert von $\sqrt2$ zu erhalten, egal wie die Genauigkeit der Berechnungen zunimmt. Es gibt keinen solchen Bruch, der, wenn er quadriert wird, ein Ergebnis von 2 ergibt. Es wird gesagt, dass Pythagoras der erste war, der zu dieser Schlussfolgerung kam, aber dies unerklärliche Tatsache Der Wissenschaftler war so beeindruckt, dass er sich selbst schwor und seinen Schülern einen Eid abnahm, diese Entdeckung geheim zu halten. Diese Informationen können jedoch nicht wahr sein.
Aber wenn die Zahl $\frac(\sqrt2)(1)$ nicht als Verhältnis von ganzen Zahlen dargestellt werden kann, dann keine Zahl, die $\sqrt2$ enthält, zum Beispiel $\frac(\sqrt2)(2)$ oder $\frac (4)(\sqrt2)$ kann auch nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden, da alle diese Brüche in $\frac(\sqrt2)(1)$ multipliziert mit einer Zahl umgewandelt werden können. Also $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Oder $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, was umgewandelt werden kann, indem man oben und unten mit $\sqrt2$ multipliziert, um $\frac(4) zu erhalten (\sqrt2)$. (Wir sollten nicht vergessen, dass egal, was die Zahl $\sqrt2$ ist, wenn wir sie mit $\sqrt2$ multiplizieren, wir 2 erhalten.)
Da die Zahl $\sqrt2$ nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden kann, heißt sie irrationale Zahl. Andererseits werden alle Zahlen genannt, die sich als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen lassen rational.
Alle ganzen Zahlen und Bruchzahlen, sowohl positiv als auch negativ, sind rational.
Wie sich herausstellt, sind die meisten Quadratwurzeln irrationale Zahlen. Rationale Quadratwurzeln gibt es nur für Zahlen, die in einer Reihe enthalten sind Quadratzahl. Diese Zahlen werden auch Quadratzahlen genannt. Rationale Zahlen sind auch Brüche, die aus diesen perfekten Quadraten bestehen. Beispielsweise ist $\sqrt(1\frac79)$ eine rationale Zahl, weil $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ oder $1\frac13$ (4 ist die Wurzel Quadrat von 16, und 3 ist die Quadratwurzel von 9).
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann, wobei 
. Q ist die Menge aller rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen werden unterteilt in: positiv, negativ und null.
Jede rationale Zahl kann einem einzelnen Punkt auf der Koordinatenlinie zugeordnet werden. Der Relation „nach links“ für Punkte entspricht die Relation „kleiner als“ für die Koordinaten dieser Punkte. Es ist ersichtlich, dass jede negative Zahl weniger als Null und jede positive Zahl; von zwei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, deren Modul größer ist. Also -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Jede rationale Zahl kann als dezimaler periodischer Bruch dargestellt werden. Zum Beispiel, .
Algorithmen für Operationen mit rationalen Zahlen folgen aus den Vorzeichenregeln für die entsprechenden Operationen mit Nullen und positiven Brüchen. Q führt eine andere Division als eine Division durch Null durch.
Irgendein Lineargleichung, d.h. Gleichung der Form ax+b=0, wobei , auf der Menge Q lösbar ist, aber nicht auf irgendeiner quadratische Gleichung Art 
, ist in rationalen Zahlen lösbar. Nicht jeder Punkt auf einer Koordinatenlinie hat einen rationalen Punkt. Auch am Ende des 6. Jahrhunderts v. n. e in der Schule von Pythagoras wurde bewiesen, dass die Diagonale eines Quadrats nicht seiner Höhe entspricht, was gleichbedeutend mit der Aussage ist: "Die Gleichung hat keine rationalen Wurzeln." All dies führte zu der Notwendigkeit, die Menge Q zu erweitern, das Konzept einer irrationalen Zahl wurde eingeführt. Bezeichne die Menge der irrationalen Zahlen mit dem Buchstaben J
.
Auf einer Koordinatenlinie haben alle Punkte, die keine rationalen Koordinaten haben, irrationale Koordinaten. , wobei r Mengen reeller Zahlen sind. auf universelle Weise Zuweisungen reeller Zahlen sind Dezimalzahlen. Periodische Dezimalzahlen definieren rationale Zahlen, und nichtperiodische Dezimalzahlen definieren irrationale Zahlen. Also, 2,03 (52) ist eine rationale Zahl, 2,03003000300003 ... (der Punkt jeder folgenden Ziffer „3“ wird um eine Null mehr geschrieben) ist eine irrationale Zahl.
Die Mengen Q und R haben die Eigenschaften der Positivität: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es eine rationale Zahl, zum Beispiel ecoi a Für jede irrationale Zahl α
man kann eine rationale Approximation sowohl mit einem Defizit als auch mit einem Exzess beliebig genau angeben: a< α
Die Operation des Wurzelziehens aus einigen rationalen Zahlen führt zu irrationalen Zahlen. Das Ziehen der Wurzel aus einem natürlichen Grad ist eine algebraische Operation, d.h. seine Einführung ist mit der Lösung einer algebraischen Gleichung der Form verbunden Die arithmetische Wurzel (der Kürze halber die Wurzel) des n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl b, die die Wurzel der Gleichung ist. Die Wurzel des n-ten Grades aus der Zahl a wird mit dem Symbol bezeichnet. Für n=2 wird der Grad der Wurzel 2 nicht angegeben: . Zum Beispiel, weil 2 2 = 4 und 2 > 0; , da 3 3 = 27 und 3 > 0; existiert nicht, weil -4<0. Für n=2k und a>0 werden die Wurzeln von Gleichung (1) als und geschrieben. Zum Beispiel sind die Wurzeln der Gleichung x 2 \u003d 4 2 und -2. Für n ungerade hat Gleichung (1) eine einzige Wurzel für jedes . Wenn a≥0, dann - die Wurzel dieser Gleichung. Wenn ein<0, то –а>0 und - die Wurzel der Gleichung. Die Gleichung x 3 \u003d 27 hat also eine Wurzel. Zahlen zu verstehen, insbesondere natürliche Zahlen, ist eine der ältesten mathematischen "Fähigkeiten". Viele Zivilisationen, auch moderne, schrieben Zahlen aufgrund ihrer großen Bedeutung für die Beschreibung der Natur einige mystische Eigenschaften zu. Obwohl die moderne Wissenschaft und Mathematik diese "magischen" Eigenschaften nicht bestätigen, ist die Bedeutung der Zahlentheorie unbestreitbar. Historisch gesehen tauchten zuerst viele natürliche Zahlen auf, dann wurden ihnen ziemlich bald Brüche und positive irrationale Zahlen hinzugefügt. Null und negative Zahlen wurden nach diesen Teilmengen der Menge der reellen Zahlen eingeführt. Die letzte Menge, die Menge der komplexen Zahlen, erschien erst mit der Entwicklung der modernen Wissenschaft. In der modernen Mathematik werden Zahlen nicht in historischer Reihenfolge eingeführt, obwohl sie ihr ziemlich nahe kommen. Die Menge der natürlichen Zahlen wird oft als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ bezeichnet und oft mit Nullen aufgefüllt, um $\mathbb(N)_0$ zu bezeichnen. $\mathbb(N)$ definiert Additions- (+) und Multiplikationsoperationen ($\cdot$) mit den folgenden Eigenschaften für beliebige $a,b,c\in \mathbb(N)$: 1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ die Menge $\mathbb(N)$ ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation Da die Menge $\mathbb(N)$ ein neutrales Element für die Multiplikation, aber nicht für die Addition enthält, stellt das Hinzufügen von Null zu dieser Menge sicher, dass sie ein neutrales Element für die Addition enthält. Zusätzlich zu diesen beiden Operationen sind auf der Menge $\mathbb(N)$ die Relationen "kleiner als" ($ 1. $a b$ Trichotomie Beispiele für Ganzzahlen: Die Lösung der Gleichung $a+x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte natürliche Zahlen sind und $x$ eine unbekannte natürliche Zahl ist, erfordert die Einführung einer neuen Operation - Subtraktion(-). Wenn es eine natürliche Zahl $x$ gibt, die diese Gleichung erfüllt, dann ist $x=b-a$. Diese spezielle Gleichung hat jedoch nicht unbedingt eine Lösung auf der Menge $\mathbb(N)$, daher erfordern praktische Überlegungen, die Menge der natürlichen Zahlen so zu erweitern, dass sie Lösungen für eine solche Gleichung enthält. Dies führt zur Einführung einer Menge von ganzen Zahlen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$. Da $\mathbb(N)\subset\mathbb(Z)$, ist es logisch anzunehmen, dass die zuvor eingeführten Operationen $+$ und $\cdot$ und die Relation $ 1. $0+a=a+0=a$ es gibt ein neutrales Element für Ergänzungen 5. Eigentum: Auch die Menge $\mathbb(Z) $ ist subtraktionsabgeschlossen, also $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$. Beispiele für rationale Zahlen: Betrachten Sie nun Gleichungen der Form $a\cdot x=b$, wobei $a$ und $b$ bekannte ganze Zahlen und $x$ unbekannt sind. Um die Lösung zu ermöglichen, ist es notwendig, die Divisionsoperation ($:$) einzuführen, und die Lösung wird zu $x=b:a$, d. h. $x=\frac(b)(a)$. Auch hier tritt das Problem auf, dass $x$ nicht immer zu $\mathbb(Z)$ gehört, also muss die Menge der ganzen Zahlen erweitert werden. Wir führen also die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb(Q)$ mit den Elementen $\frac(p)(q)$ ein, wobei $p\in \mathbb(Z)$ und $q\in \mathbb(N) $. Die Menge $\mathbb(Z)$ ist eine Teilmenge, in der jedes Element $q=1$ ist, also $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ und die Operationen der Addition und Multiplikation gelten entsprechend auch für diese Menge den folgenden Regeln, die alle obigen Eigenschaften auch auf der Menge $\mathbb(Q)$ erhalten: Die Teilung wird wie folgt eingegeben: Auf der Menge $\mathbb(Q)$ hat die Gleichung $a\cdot x=b$ für jedes $a\neq 0$ eine eindeutige Lösung (es ist keine Division durch Null definiert). Das bedeutet, dass es ein inverses Element $\frac(1)(a)$ oder $a^(-1)$ gibt: Die Ordnung der Menge $\mathbb(Q)$ lässt sich wie folgt erweitern: Die Menge $\mathbb(Q)$ hat eine wichtige Eigenschaft: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt es unendlich viele andere rationale Zahlen, daher gibt es im Gegensatz zu den Mengen natürlicher und ganzzahliger Zahlen keine zwei benachbarten rationalen Zahlen. Beispiele für irrationale Zahlen: Da es zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen unendlich viele andere rationale Zahlen gibt, kann leicht der irrtümliche Schluss gezogen werden, dass die Menge der rationalen Zahlen so dicht ist, dass sie nicht weiter erweitert werden muss. Sogar Pythagoras hat einmal einen solchen Fehler gemacht. Diese Schlussfolgerung wurde jedoch bereits von seinen Zeitgenossen widerlegt, als sie Lösungen der Gleichung $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) auf der Menge der rationalen Zahlen untersuchten. Um eine solche Gleichung zu lösen, ist es notwendig, das Konzept einer Quadratwurzel einzuführen, und dann hat die Lösung dieser Gleichung die Form $x=\sqrt(2)$. Eine Gleichung vom Typ $x^2=a$, wobei $a$ eine bekannte rationale Zahl und $x$ eine unbekannte ist, hat nicht immer eine Lösung auf der Menge der rationalen Zahlen, und auch hier besteht ein Bedarf um den Satz zu erweitern. Es entsteht eine Menge irrationaler Zahlen, und solche Zahlen wie $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gehören zu dieser Menge. Die Vereinigung der Mengen rationaler und irrationaler Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen. Wegen $\mathbb(Q)\subset\mathbb(R)$ ist es wiederum logisch anzunehmen, dass die eingeführten arithmetischen Operationen und Relationen ihre Eigenschaften auf der neuen Menge behalten. Der formale Beweis dafür ist sehr schwierig, deshalb werden die oben erwähnten Eigenschaften von Rechenoperationen und Relationen auf der Menge der reellen Zahlen als Axiome eingeführt. In der Algebra wird ein solches Objekt als Körper bezeichnet, daher wird die Menge der reellen Zahlen als geordneter Körper bezeichnet. Damit die Definition der Menge der reellen Zahlen vollständig ist, muss noch ein weiteres Axiom eingeführt werden, das die Mengen $\mathbb(Q)$ und $\mathbb(R)$ unterscheidet. Nehmen Sie an, dass $S$ eine nicht leere Teilmenge der Menge der reellen Zahlen ist. Ein Element $b\in \mathbb(R)$ heißt obere Schranke von $S$, wenn $\für alle x\in S$ $x\leq b$ erfüllt. Dann heißt die Menge $S$ von oben beschränkt. Die kleinste obere Schranke einer Menge $S$ heißt Supremum und wird mit $\sup S$ bezeichnet. Die Begriffe einer unteren Grenze, einer nach unten begrenzten Menge und eines Infinums $\inf S$ werden auf ähnliche Weise eingeführt. Nun wird das fehlende Axiom wie folgt formuliert: Jede nicht leere und von oben begrenzte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen hat ein Supremum. Beispiele für komplexe Zahlen: Die Menge der komplexen Zahlen sind alle geordneten Paare reeller Zahlen, also $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, auf denen die Operationen der Addition und Multiplikation sind wie folgt definiert: Es gibt mehrere Möglichkeiten, komplexe Zahlen zu schreiben, die gebräuchlichste ist $z=a+ib$, wobei $(a,b)$ ein Paar reeller Zahlen ist, und die Zahl $i=(0,1)$ heißt imaginäre Einheit. Es ist leicht zu zeigen, dass $i^2=-1$. Die Erweiterung der Menge $\mathbb(R)$ zur Menge $\mathbb(C)$ ermöglicht es, die Quadratwurzel negativer Zahlen zu bestimmen, was der Grund für die Einführung der Menge der komplexen Zahlen war. Es ist auch leicht zu zeigen, dass eine Teilmenge der Menge $\mathbb(C)$ gegeben als $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ alle erfüllt die Axiome für reelle Zahlen, also $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, oder $R\subset\mathbb(C)$. Die algebraische Struktur der Menge $\mathbb(C)$ bezüglich der Additions- und Multiplikationsoperationen hat folgende Eigenschaften: irrationale Zahl- Das reelle Zahl, was nicht rational ist, das heißt, kann nicht als Bruch dargestellt werden, wobei ganze Zahlen sind, . Eine irrationale Zahl kann als unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der irrationalen Zahlen wird normalerweise mit einem fettgedruckten lateinischen Großbuchstaben ohne Schattierung bezeichnet. Also: , d.h. Menge irrationaler Zahlen ist Unterschied von Mengen reeller und rationaler Zahlen. Genauer gesagt über die Existenz irrationaler Zahlen Segmente, inkommensurabel mit einem Segment der Einheitslänge, waren bereits den alten Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was gleichbedeutend mit der Irrationalität der Zahl ist. Irrational sind: Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als irreduzibler Bruch dargestellt, wobei eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl ist. Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren: Daraus folgt, dass sogar, also sogar und . Lassen Sie das Ganze. Dann Also sogar, also sogar und . Wir haben das erhalten und sind gerade, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Daher war die ursprüngliche Annahme falsch und ist eine irrationale Zahl. Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Seit , und sind positiv zu bewerten. Dann Aber es ist klar, es ist seltsam. Wir bekommen einen Widerspruch. Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können. Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird normalerweise Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.) Zugeschrieben, einem Pythagoreer, der diesen Beweis fand, indem er die Seitenlängen eines Pentagramms untersuchte. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die ausreichend klein und unteilbar ist und in jedem Segment eine ganze Zahl von Malen enthalten ist. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gibt, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führt. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks eine ganze Zahl von Einheitssegmenten enthält, diese Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein muss. Der Beweis sah so aus: Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung während einer Seereise machte und von anderen Pythagoräern über Bord geworfen wurde, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Doktrin leugnet, dass alle Wesen im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können. " Die Entdeckung des Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernsthaftes Problem, indem sie die der ganzen Theorie zugrunde liegende Annahme zerstörte, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.
. Wenn n ungerade ist, d.h. n=2k+1, wobei , dann hat die Gleichung eine einzelne Wurzel. Wenn n gerade ist, n=2k, wobei , dann hat die Gleichung für a=0 eine einzige Wurzel x=0 für a<0 корней нет, при a>0 hat zwei Wurzeln, die einander entgegengesetzt sind. Das Extrahieren einer Wurzel ist der umgekehrte Vorgang des Erhebens zu einer natürlichen Kraft.Natürliche Zahlen $\mathbb(N)$
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ Kommutativität
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ Assoziativität
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ Distributivität
5. $a\cdot 1=a$ ist das neutrale Element für die Multiplikation
2. wenn $a\leq b$ und $b\leq a$, dann ist $a=b$ eine Antisymmetrie
3. wenn $a\leq b$ und $b\leq c$, dann ist $a\leq c$ transitiv
4. wenn $a\leq b$, dann $a+c\leq b+c$
5. wenn $a\leq b$, dann $a\cdot c\leq b\cdot c$Ganze Zahlen $\mathbb(Z)$
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ zu $a$ gibt es eine Gegenzahl $-a$
5. wenn $0\leq a$ und $0\leq b$, dann $0\leq a\cdot b$Rationale Zahlen $\mathbb(Q)$
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\frac(p_1)(q_1)Irrationale Zahlen $\mathbb(I)$
$0.333333...$
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$Reelle Zahlen $\mathbb(R)$
Es kann auch bewiesen werden, dass der oben definierte Körper der reellen Zahlen eindeutig ist.Komplexe Zahlen$\mathbb(C)$
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ wobei $i = \sqrt(-1)$ oder $i^2 = -1$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
1. Kommutativität von Addition und Multiplikation
2. Assoziativität von Addition und Multiplikation
3. $0+i0$ - neutrales Element für die Addition
4. $1+i0$ - neutrales Element für die Multiplikation
5. Multiplikation ist distributiv in Bezug auf Addition
6. Es gibt ein einziges inverses Element sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.Eigenschaften
Beispiele
Irrationale Zahlen
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - Beispiele für Irrationalitätsbeweise
Wurzel von 2
Binärer Logarithmus der Zahl 3
e
Geschichte
