Основанията са еднакви. Правила за умножаване на степени с различни основи. Степенуване
Ако трябва да повишите определено число до степен, можете да използвате. И сега ще се спрем по-подробно на свойства на градусите.
Експоненциални числаотварят големи възможности, те ни позволяват да трансформираме умножението в събиране и добавянето е много по-лесно от умножаването.
Например трябва да умножим 16 по 64. Продуктът на умножението на тези две числа е 1024. Но 16 е 4х4, а 64 е 4х4х4. Тоест 16 на 64 = 4х4х4х4х4, което също е 1024.
Числото 16 може също да бъде представено като 2x2x2x2, а 64 като 2x2x2x2x2x2 и ако умножим, отново получаваме 1024.
Сега нека използваме правилото. 16 = 4 2, или 2 4, 64 = 4 3, или 2 6, в същото време 1024 = 6 4 = 4 5, или 2 10.
Следователно проблемът ни може да бъде написан по различен начин: 4 2 x4 3 = 4 5 или 2 4 x2 6 = 2 10 и всеки път получаваме 1024.
Можем да решим редица подобни примери и да видим, че умножаването на числата с мощности намалява до добавяне на експоненти, или експоненциално, разбира се, при условие че основите на факторите са равни.
По този начин, без да се умножаваме, можем веднага да кажем, че 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Това правило е вярно и при разделяне на числа с степени, но в този случай напр степента на делителя се изважда от степента на дивидента... По този начин 2 5: 2 3 = 2 2, което в обикновени числа е 32: 8 = 4, тоест 2 2. Нека обобщим:
a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, където m и n са цели числа.
На пръв поглед може да изглежда какво е умножение и деление на числа със степенине е много удобно, защото първо трябва да представите числото в експоненциална форма. Не е трудно да представим числата 8 и 16 в тази форма, тоест 2 3 и 2 4, но как да направим това с числата 7 и 17? Или какво да направя, когато числото може да бъде представено в експоненциална форма, но основите на експоненциалните изрази на числата са много различни. Например 8 × 9 е 2 3 × 3 2, като в този случай не можем да сумираме експонентите. Нито 2 5, нито 3 5 не е отговорът, нито отговорът се крие в интервала между тези две числа.
Тогава струва ли си изобщо да се занимавате с този метод? Определено си заслужава. Той предлага огромни предимства, особено за сложни и отнемащи време изчисления.
Как умножавате градусите? Кои степени могат да се умножат и кои не? Как да умножим число по степен?
В алгебра произведението на градусите може да бъде намерено в два случая:
1) ако градусите имат еднакви основи;
2) ако градусите имат същите показатели.
Когато умножавате градуси с едни и същи основи, основата трябва да остане същата и да се добавят индикаторите:
Когато умножавате градуси със същите показатели, общият показател може да бъде изваден от скобите:
Нека да разгледаме как да умножаваме градусите, използвайки конкретни примери.
Единицата в степента не се записва, но когато се умножават градусите, те вземат предвид:
При умножаване броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не е нужно да пишете знака за умножение преди буквата:
В изразите първо се извършва степенуване.
Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуването и едва след това умножението:
www.algebraclass.ru
Събиране, изваждане, умножение и разделение на властите
Събиране и изваждане на правомощия
Очевидно могат да се добавят числа с мощности, както и други величини , като ги добавяте един по един с техните знаци.
Така че сумата от a 3 и b 2 е 3 + b 2.
Сумата от 3 - b n и h 5 -d 4 е 3 - b n + h 5 - d 4.
Коефициенти същите степени на същите променливиможе да се добавя или изважда.
Така че сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2.
Очевидно е също така, че ако вземете два квадрата a, или три квадрата a или пет квадрата a.
Но градусите различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им със знаците им.
Така че сумата от 2 и 3 е сумата от 2 + a 3.
Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са равни на два пъти квадрата на a, но два пъти куба на a.
Сумата от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.
Изважданеградуса се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на изваденото трябва да бъдат съответно променени.
Или:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Умножение на градусите
Числата с мощности могат да се умножават, подобно на други величини, като се записват едно след друго, със или без знак за умножение между тях.
Така че резултатът от умножаването на 3 по b 2 е 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3.
Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени, можем да видим, че ако се умножат две от тях, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на суматастепени на членове.
И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степента на членовете.
И така, a n .a m = a m + n.
За a n a се приема като фактор толкова пъти, колкото е равна мощността на n;
И m се приема като фактор толкова пъти, колкото е мощността на m;
Следователно, градуса с еднакви стъбла могат да се умножат чрез добавяне на експонентите.
И така, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. И x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Това правило важи и за числа, чиито експоненти са - отрицателен.
1. И така, -2 .a -3 = a -5. Това може да се запише като (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Ако a + b се умножи по a - b, резултатът е 2 - b 2: т.е.
Резултатът от умножаването на сумата или разликата на две числа е равен на сумата или разликата на техните квадрати.
Ако сумата и разликата на две числа се повиши до квадрат, резултатът ще бъде равен на сумата или разликата на тези числа в четвъртистепен.
И така, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Деление на градусите
Числата на степента могат да бъдат разделени, както и другите числа, чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им във дробна форма.
Така че 3 b 2, разделено на b 2, е равно на 3.
5, разделено на 3, изглежда като $ \ frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4, a +3, a +2, +1, a 0, -1 -1, -2, a -3, -4.
всяко число може да бъде разделено на друго и степента ще бъде равна на разликаекспоненти на делими числа.
При разделяне на градусите с една и съща основа, техните показатели се изваждат..
И така, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Тоест, $ \ frac = y $.
И a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Тоест, $ \ frac = a ^ n $.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Правилото важи и за числа с отрицателенстойностите на градусите.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Също така, $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 или $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
Необходимо е много добре да се овладее умножението и делението на градусите, тъй като подобни операции се използват много широко в алгебрата.
Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа с степени
1. Намалете експонентите в $ \ frac $ Отговор: $ \ frac $.
2. Намалете експонентите в $ \ frac $. Отговор: $ \ frac $ или 2x.
3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги доведете до общия знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е -1, общият числител.
След опростяване: a -2 / a -1 и 1 / a -1.
4. Намалете експонентите 2a 4 / 5a 3 и 2 / a 4 и ги доведете до общия знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5 / 5a 2.
5. Умножете (a 3 + b) / b 4 по (a - b) / 3.
6. Умножете (a 5 + 1) / x 2 по (b 2 - 1) / (x + a).
7. Умножете b 4 / a -2 по h -3 / x и a n / y -3.
8. Разделете 4 / y 3 на 3 / y 2. Отговор: а / г.
Степенни свойства
Напомняме ви, че този урок разбира мощностни свойствас естествени показатели и нула. Рационалните степени и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.
Естественият експонент има няколко важни свойства, които улесняват изчисляването в примери за експоненти.
Имот номер 1
Продукт на градуси
Когато умножавате градуси с едни и същи основи, основата остава непроменена и се добавят експонентите.
a m · a n = a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.
Това свойство на градусите влияе и върху произведението от три или повече градуса.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Моля, имайте предвид, че в посоченото свойство ставаше дума само за умножение на степени с еднакви основи.... Не се отнася за тяхното добавяне.
Не можете да замените сумата (3 3 + 3 2) с 3 5. Това е разбираемо, ако
преброяване (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243
Имот номер 2
Частни степени
При разделяне на градусите с едни и същи основи основата остава непроменена и степента на делителя се изважда от степента на дивидента.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частни степени.
3 8: t = 3 4
Отговор: t = 3 4 = 81
Използвайки свойства №1 и №2, можете лесно да опростите изразите и да извършите изчисления.
- Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обърнете внимание, че свойство 2 беше само за разделяне на градусите със същите основи.
Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1. Това е разбираемо, ако изчислим (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 и 4 1 = 4
Имот номер 3
Степенуване
При повишаване на степен до степен, основата на степента остава непроменена и степенните показатели се умножават.
(a n) m = a n · m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са всякакви естествени числа.
Имайте предвид, че свойство # 4, подобно на други свойства на степента, се прилага в обратен ред.
(a n b n) = (a b) n
Тоест, за да умножите градусите с едни и същи показатели, можете да умножите основите и степента може да остане непроменена.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
В по-сложни примери може да има случаи, когато умножението и делението трябва да се извършват над градуси с различни бази и различни експоненти. В този случай ви съветваме да действате по следния начин.
Например, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Пример за повишаване до десетична степен.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = четири
Свойства 5
Степен на коефициент (дроб)
За да повишите коефициент до степен, можете да съберете отделен дивидент и делител на тази степен и да разделите първия резултат на втория.
(a: b) n = a n: b n, където „a“, „b“ са всякакви рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напомняме ви, че коефициентът може да бъде представен като дроб. Следователно ще се спрем по-подробно на темата за издигане на дроб в степен на следващата страница.
Степени и корени
Операции с правомощия и корени. Степен с отрицателна ,
нула и дроб индикатор. За изрази, които нямат смисъл.
Операции със степени.
1. При умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:
a m · a n = a m + n.
2. При разделяне на градусите с една и съща основа, техните показатели приспаднат .
3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степента на тези фактори.
4. Степента на съотношението (дроб) е равна на съотношението на градусите на дивидента (числител) и делител (знаменател):
(а / б) n = a n / b n.
5. При повишаване на степен до степен техните показатели се умножават:
Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.
ПРИМЕР (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .
Коренни операции. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).
1. Коренът на произведението от няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:
3. Когато се издига корен до степен, достатъчно е да се повиши до тази степен корен номер:
4. Ако увеличим степента на корена с m пъти и в същото време издигнем радикалното число до m-та степен, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалим степента на корена с m пъти и в същото време извлечем корена на m-та степен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:
Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме градусите само с естествен показател; но действия със сили и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаи дробнапоказатели. Всички тези показатели за степен изискват допълнителна дефиниция.
Степен с отрицателна експонента. Степента на число с отрицателна (цяло число) степенна степен се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с степен, равна на абсолютната стойност на отрицателна степенна степен:
Сега формулата a m : a n = a m - nможе да се използва не само за мпо-велик от н, но също и при мпо-малко от н .
ПРИМЕР а 4: а 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Ако искаме формулата a m : a n = a m — нбеше справедливо, когато m = n, имаме нужда от дефиниция на нулевата степен.
Нулев клас. Степента на всяко ненулево число с експонентен нула е 1.
ПРИМЕР 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Дробен експонент. За да издигнете реално число a до степен m / n, трябва да извлечете n-тия корен от m-та степен на това число a:
За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.
Където а ≠ 0 , не съществува.
Всъщност, ако приемем това х- някакъв номер, тогава в съответствие с дефиницията на операцията за разделяне имаме: а = 0· х, т.е. а= 0, което противоречи на условието: а ≠ 0
— произволно число.
Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, тогава, според дефиницията на операцията за разделяне, имаме: 0 = 0 х... Но това равенство важи за произволно число x, както се изисква.
0 0 — произволно число.
Разгледайте три основни случая:
1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява даденото уравнение
2) в х> 0 получаваме: x / x= 1, т.е. 1 = 1, откъдето следва, че
Какво х- произволен номер; но като се има предвид, че в
нашия случай х> 0, отговорът е х > 0 ;
Правила за умножение за степени с различен радикс
СТЕПЕН С РАЦИОНАЛЕН ПОКАЗАТЕЛ,
ФУНКЦИЯ НА СТЕПЕН IV
§ 69. Умножение и деление на степени с еднакви основи
Теорема 1.За да умножите градусите с едни и същи основи, е достатъчно да добавите степенните и да оставите основата същата, т.е.
Доказателства.По дефиниция на степента
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Ние разгледахме произведението от две градуси. Всъщност доказаното свойство е вярно за произволен брой градуси със същите основи.
Теорема 2.За да разделите степента със същите бази, когато индексът на дивидента е по-голям от индекса на делителя, е достатъчно да извадите индекса на делителя от индекса на дивидента и да оставите основата същата, т.е. в m> n
(а =/= 0)
Доказателства.Спомнете си, че коефициентът на разделяне на едно число на друго е число, което, умножено по делител, дава дивидента. Затова докажете формулата къде а = / = 0, все едно да докажете формулата
Ако m> n , след това числото t - n ще бъде естествено; следователно по теорема 1
Теорема 2 е доказана.
Трябва да се отбележи, че формулата
доказано от нас само при предположението, че m> n ... Следователно от доказаното е невъзможно да се направят например такива изводи:
Освен това все още не сме разглеждали степени с отрицателни степенни показатели и още не знаем какво значение може да се даде на израза 3 - 2 .
Теорема 3. За да се повиши мощност до степен, е достатъчно да се умножат показателите, оставяйки основата на мощността същата, т.е.
Доказателства.Използвайки дефиницията за степента и теорема 1 от този раздел, получаваме:
Q.E.D.
Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (устно.) Определете х от уравнения:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 х ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 х ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 х ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 х .
519. (U st n about.) За опростяване:
520. Опростете:
521. Тези изрази трябва да бъдат представени под формата на градуси със същите основи:
1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3; 5) 4 100 и 32 50;
2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150.
Очевидно могат да се добавят числа с мощности, както и други величини , като ги добавяте един по един с техните знаци.
Така че сумата от a 3 и b 2 е 3 + b 2.
Сумата от 3 - b n и h 5 -d 4 е 3 - b n + h 5 - d 4.
Коефициенти същите степени на същите променливиможе да се добавя или изважда.
Така че сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2.
Очевидно е също така, че ако вземете два квадрата a, или три квадрата a или пет квадрата a.
Но градусите различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им със знаците им.
Така че сумата от 2 и 3 е сумата от 2 + a 3.
Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са равни на два пъти квадрата на a, но два пъти куба на a.
Сумата от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.
Изважданеградуса се извършва по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на изваденото трябва да бъдат съответно променени.
Или:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
Умножение на градусите
Числата с мощности могат да се умножават, подобно на други величини, като се записват едно след друго, със или без знак за умножение между тях.
Така че резултатът от умножаването на 3 по b 2 е 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3.
Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени, можем да видим, че ако някои от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на суматастепени на членове.
И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степента на членовете.
И така, a n .a m = a m + n.
За a n a се приема като фактор толкова пъти, колкото е равна мощността на n;
И m се приема като фактор толкова пъти, колкото е мощността на m;
Следователно, градуса с еднакви стъбла могат да се умножат чрез добавяне на експонентите.
И така, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. И x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Това правило важи и за числа, чиито експоненти са - отрицателен.
1. И така, -2 .a -3 = a -5. Това може да се запише като (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Ако a + b се умножи по a - b, резултатът е 2 - b 2: т.е.
Резултатът от умножаването на сумата или разликата на две числа е равен на сумата или разликата на техните квадрати.
Ако сумата и разликата на две числа се повиши до квадрат, резултатът ще бъде равен на сумата или разликата на тези числа в четвъртистепен.
И така, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Деление на градусите
Числата на степента могат да бъдат разделени, както и другите числа, чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им във дробна форма.
Така че 3 b 2, разделено на b 2, е равно на 3.
Или:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
5, разделено на 3, изглежда като $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4, a +3, a +2, +1, a 0, -1 -1, -2, a -3, -4.
всяко число може да бъде разделено на друго и степента ще бъде равна на разликаекспоненти на делими числа.
При разделяне на градусите с една и съща основа, техните показатели се изваждат..
И така, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Тоест, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.
И a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Тоест, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Правилото важи и за числа с отрицателенстойностите на градусите.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Също така, $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (аа) $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 или $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $
Необходимо е много добре да се овладее умножението и делението на градусите, тъй като подобни операции се използват много широко в алгебрата.
Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа с степени
1. Намалете експонентите в $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Отговор: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Намалете експонентите в $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Отговор: $ \ frac (2x) (1) $ или 2x.
3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги доведете до общия знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е -1, общият числител.
След опростяване: a -2 / a -1 и 1 / a -1.
4. Намалете експонентите 2a 4 / 5a 3 и 2 / a 4 и ги доведете до общия знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5 / 5a 2.
5. Умножете (a 3 + b) / b 4 по (a - b) / 3.
6. Умножете (a 5 + 1) / x 2 по (b 2 - 1) / (x + a).
7. Умножете b 4 / a -2 по h -3 / x и a n / y -3.
8. Разделете 4 / y 3 на 3 / y 2. Отговор: а / г.
9. Разделете (h 3 - 1) / d 4 на (d n + 1) / h.
Съдържание на урокаКакво е степен?
Степеннаречен продукт на няколко идентични фактора. Например:
2 × 2 × 2
Стойността на този израз е 8
2 × 2 × 2 = 8
Лявата страна на това равенство може да се съкрати - първо запишете повтарящия се фактор и посочете над него колко пъти се повтаря. Повтарящият се фактор в този случай е 2. Той се повтаря три пъти. Следователно над двете пишем трите:
2 3 = 8
Този израз се чете по следния начин: „ две към третата степен е равно на осем " или " третата степен на числото 2 е 8 ".
По-често се използва кратката форма на нотация за умножаване на едни и същи фактори. Следователно трябва да помним, че ако над определено число е вписано друго число, то това е умножението на няколко еднакви фактора.
Например, ако е даден изразът 5 3, тогава трябва да се има предвид, че този израз е еквивалентен на писането 5 × 5 × 5.
Извиква се числото, което се повтаря базова степен... В израза 5 3, основата на степента е числото 5.
И се извиква числото, вписано над числото 5 експонента... В израза 5 3 степента е числото 3. Степента показва колко пъти се повтаря основата на степента. В нашия случай база 5 се повтаря три пъти.
Нарича се самата операция на умножаване на едни и същи фактори степенуване.
Например, ако трябва да намерите продукт от четири еднакви фактора, всеки от които е равен на 2, тогава те казват, че числото 2 се издига на четвърта степен:
Виждаме, че числото 2 в четвъртата степен е числото 16.
Обърнете внимание, че в този урок разглеждаме естествен експонент... Това е вид степенна степен, чиято степен е естествено число. Спомнете си, че целите числа са естествени числа, които са по-големи от нула. Например 1, 2, 3 и т.н.
Като цяло определението за степен с естествен показател е както следва:
Степен на ас естествен процент нЕ израз на формата a n, което е равно на продукта нфактори, всеки от които е равен на а
Примери:
Трябва да внимавате, когато увеличавате число до степен. Често чрез невнимание човек умножава основата на степента по степен.
Например числото 5 във втората степен е произведение на два фактора, всеки от които е 5. Този продукт е равен на 25
Сега си представете, че неволно сме умножили основата 5 по степен 2
Получихме грешка, защото 5 не е равно на 10 на втората степен.
Освен това трябва да се спомене, че степента на число с степен 1 е самото число:
Например числото 5 на първа степен е самото число 5
Съответно, ако дадено число няма индикатор, тогава трябва да се приеме, че индикаторът е равен на единица.
Например числата 1, 2, 3 са дадени без индикатор, така че техните показатели ще бъдат равни на единица. Всяко от тези числа може да бъде записано с степен 1
И ако вдигнете 0 до някаква степен, тогава получавате 0. Всъщност, колкото и пъти да не се умножава нищо само по себе си, нищо няма да се получи. Примери:
А изразът 0 0 е безсмислен. Но в някои области на математиката, по-специално анализ и теория на множествата, изразът 0 0 може да има смисъл.
За обучение, нека решим няколко примера за издигане на числа до степени.
Пример 1.Вдигнете числото 3 до втората степен.
Числото 3 във втората степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 3
3 2 = 3 × 3 = 9
Пример 2.Вдигнете числото 2 до четвърта степен.
Числото 2 до четвъртата степен е произведение на четири фактора, всеки от които е равен на 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Пример 3.Вдигнете числото 2 до третата степен.
Числото 2 до третата степен е произведение на три фактора, всеки от които е равен на 2
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Увеличение на 10
За да издигнете числото 10 в степен, е достатъчно да добавите след едно броя на нулите, равни на степента.
Например, нека издигнем числото 10 до втората степен. Първо записваме самото число 10 и посочваме числото 2 като индикатор.
10 2
Сега поставяме знак за равенство, пишем един и след този пишем две нули, тъй като броят на нулите трябва да е равен на степента
10 2 = 100
Това означава, че числото 10 във втората степен е числото 100. Това се дължи на факта, че числото 10 във втората степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 10
10 2 = 10 × 10 = 100
Пример 2... Нека издигнем числото 10 до третата степен.
В този случай ще има три нули след една:
10 3 = 1000
Пример 3... Нека издигнем числото 10 на четвърта степен.
В този случай след един ще има четири нули:
10 4 = 10000
Пример 4... Нека издигнем числото 10 до първата степен.
В този случай ще има една нула след една:
10 1 = 10
Представяне на числа 10, 100, 1000 като степени с основа 10
За да представите числата 10, 100, 1000 и 10000 под формата на степен с основа 10, трябва да запишете основата 10 и да посочите като индикатор число, равно на броя на нулите в оригиналното число.
Нека представим числото 10 като степен с основа 10. Виждаме, че има една нула. Следователно числото 10 като степен с основа 10 ще бъде представено като 10 1
10 = 10 1
Пример 2... Нека представим числото 100 като степен на основа 10. Виждаме, че числото 100 съдържа две нули. Следователно числото 100 под формата на степен с основа 10 ще бъде представено като 10 2
100 = 10 2
Пример 3... Нека представим числото 1000 като степен с основа 10.
1 000 = 10 3
Пример 4... Нека представим числото 10 000 като степен с основа 10.
10 000 = 10 4
Увеличение на отрицателно число
Когато повдигате отрицателно число в степен, то трябва да бъде затворено в скоби.
Например, нека издигнем отрицателното число -2 до втората степен. Числото -2 до втората степен е произведение на два фактора, всеки от които е (-2)
(-2) 2 = (-2) × (-2) = 4
Ако не бяхме затворили числото -2 в скоби, тогава щяхме да изчислим израза -2 2, който не е равночетири. Изразът −2² ще бъде равен на −4. За да разберем защо, нека се докоснем до някои точки.
Когато поставяме минус пред положително число, ние по този начин изпълняваме противоположна операция.
Да предположим, че дадено число 2 и трябва да намерите неговото противоположно число. Знаем, че обратното на 2 е -2. С други думи, за да намерите противоположното число за 2, просто поставете минус пред това число. Поставянето на минус пред число вече се счита за пълноценна операция в математиката. Тази операция, както е посочено по-горе, се нарича операция за приемане на обратната стойност.
В случая на израза −2 2 има две операции: операцията за вземане на противоположната стойност и повишаване до степен. Усилването има предимство пред приемането на обратната стойност.
Следователно изразът -2 2 се изчислява в две стъпки. Първо се извършва операцията за степенуване. В този случай положителното число 2 беше издигнато до втората степен
Тогава беше взета обратната стойност. Тази противоположна стойност беше намерена за стойността 4. А обратната стойност за 4 е −4
−2 2 = −4
Скобите имат най-висок приоритет на изпълнение. Следователно, в случай на изчисляване на израза (-2) 2, първо се приема противоположната стойност и след това отрицателното число -2 се повишава до втората степен. Резултатът е положителен отговор от 4, тъй като произведението на отрицателните числа е положително число.
Пример 2... Повишете числото -2 до третата степен.
Числото -2 до третата степен е произведение на три фактора, всеки от които е (-2)
(-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8
Пример 3... Повишете числото -2 до четвъртата степен.
Числото -2 до четвъртата степен е произведение на четири фактора, всеки от които е (-2)
(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16
Лесно е да се види, че повишаването на отрицателно число до степен може да доведе до положителен отговор или отрицателен. Знакът на отговора зависи от показателя за началната степен.
Ако степента е четна, тогава отговорът е да. Ако степента е нечетна, отговорът е отрицателен. Нека покажем това на примера на числото −3
В първия и третия случай показателят беше страннономер, така че отговорът стана отрицателен.
Във втория и четвъртия случай показателят беше дориномер, така че отговорът стана положителен.
Пример 7.Повишете числото -5 до третата степен.
Числото −5 до третата степен е произведение на три фактора, всеки от които е −5. Експонентата 3 е нечетно число, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде отрицателен:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Пример 8.Повишете числото -4 до четвъртата степен.
Числото −4 до четвъртата степен е произведение на четири фактора, всеки от които е −4. В този случай индикаторът 4 е четен, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде положителен:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Намиране на стойности на израза
Когато бъдат намерени стойностите на изразите, които не съдържат скоби, първо се извършва степенуване, след това умножение и деление в техния ред и след това събиране и изваждане в техния ред.
Пример 1... Намерете стойността на израза 2 + 5 2
Първо се извършва степенуване. В този случай числото 5 се повдига до втората степен - оказва се 25. Тогава този резултат се добавя към числото 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Пример 10... Намерете стойността на израза −6 2 × (−12)
Първо се извършва степенуване. Обърнете внимание, че числото -6 не е затворено в скоби, така че числото 6 ще бъде издигнато до втората степен, след което пред резултата ще бъде поставен минус:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Завършете примера, като умножите −36 по (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Пример 11... Намерете стойността на израза −3 × 2 2
Първо се извършва степенуване. След това резултатът се умножава с числото −3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Ако изразът съдържа скоби, тогава първо трябва да изпълните действията в тези скоби, след това степенуването, след това умножението и делението и след това събирането и изваждането.
Пример 12... Намерете стойността на израза (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5
Първо изпълняваме действията в скоби. Вътре в скобите прилагаме предварително проучените правила, а именно първо издигаме числото 3 във втората степен, след това изпълняваме умножението 1 × 3, след това добавяме резултатите от издигането към степента на числото 3 и умножение 1 × 3. След това изваждането и събирането се извършват в реда, в който се появяват. Нека подредим следния ред на извършване на действия върху оригиналния израз:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
Пример 13... Намерете стойността на израза 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Първо вдигаме числата в степен, след което извършваме умножението и добавяме резултатите:
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Трансформации на еднакви степени
Различни еднакви трансформации могат да се извършват на градуси, като по този начин се опростяват.
Да кажем, че беше необходимо да се изчисли израза (2 3) 2. В този пример две към третата степен се повишават до втората степен. С други думи, степента се повишава в различна степен.
(2 3) 2 е произведението от две градуси, всяка от които е равна на 2 3
Освен това всяка от тези степени е произведение на три фактора, всеки от които е равен на 2
Получихме продукта 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, което е равно на 64. Значението на израза (2 3) 2 или равно на 64
Този пример може да бъде значително опростен. За да направите това, експонентите на израза (2 3) 2 могат да бъдат умножени и този продукт може да бъде записан върху основата 2
Получено 2 6. Две до шеста степен е произведението на шест фактора, всеки от които е 2. Този продукт е 64
Това свойство работи, защото 2 3 е продукт 2 × 2 × 2, който от своя страна се повтаря два пъти. Тогава се оказва, че основа 2 се повтаря шест пъти. Оттук можем да напишем, че 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 е 2 6
Като цяло, по някаква причина ас показатели ми н, важи следното равенство:
(a n)m = a n × m
Тази идентична трансформация се нарича степенуване... Може да се прочете така: „При повишаване на градус до градус основата остава непроменена и индикаторите се умножават“ .
След умножаване на показателите получавате друга степен, чиято стойност може да бъде намерена.
Пример 2... Намерете стойността на израза (3 2) 2
В този пример основата е 3, а числата 2 и 2 са показатели. Нека използваме правилото за степенуване. Оставете основата непроменена и умножете показателите:
Получено 3 4. И числото 3 в четвъртата степен е 81
Нека разгледаме останалите трансформации.
Умножение на градусите
За да умножите градусите, трябва да изчислите отделно всяка степен и да умножите получените резултати.
Например умножете 2 2 по 3 3.
2 2 е числото 4, а 3 3 е числото 27. Умножаваме числата 4 и 27, получаваме 108
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
В този пример основите на градусите бяха различни. Ако основите са еднакви, тогава можете да запишете една основа и като индикатор да запишете сумата от показателите на първоначалните градуси.
Например умножете 2 2 по 2 3
В този пример основите на градусите са еднакви. В този случай можете да запишете една основа 2 и да запишете сумата от показателите 2 2 и 2 3 като индикатор. С други думи, оставете основата непроменена и добавете индикаторите на оригиналните градуси. Ще изглежда така:
Получено 2 5. Числото 2 до петата степен е 32
Това свойство работи, защото 2 2 е продукт 2 × 2, а 2 3 е продукт 2 × 2 × 2. Тогава продуктът се получава от пет еднакви фактора, всеки от които е равен на 2. Тази работа може да бъде представена като 2 5
Като цяло, за всеки аи показатели ми нважи следното равенство:
Тази идентична трансформация се нарича основното свойство на степента... Може да се прочете така: „ PКогато умножавате градуси с едни и същи основи, основата остава непроменена и се добавят индикаторите " .
Имайте предвид, че тази трансформация може да се приложи при произволен брой градуси. Основното е, че основата е една и съща.
Например, нека намерим стойността на израза 2 1 × 2 2 × 2 3. Основа 2
При някои проблеми може да е достатъчно да се извърши съответната трансформация, без да се изчислява крайната степен. Това, разбира се, е много удобно, тъй като не е толкова лесно да се изчислят големи мощности.
Пример 1... Захранвайте израза 5 8 × 25
В този проблем трябва да го направите така, че вместо израза 5 8 × 25 да получите една степен.
Числото 25 може да бъде представено като 5 2. Тогава получаваме следния израз:
В този израз можете да приложите основното свойство на степента - оставете основата 5 непроменена и добавете показателите 8 и 2:
Нека напишем решението по-кратко:
Пример 2... Захранвайте израза 2 9 × 32
Числото 32 може да бъде представено като 2 5. Тогава получаваме израза 2 9 × 2 5. След това можете да приложите основното свойство на степента - оставете база 2 непроменено и добавете индикаторите 9 и 5. Резултатът ще бъде следното решение:
Пример 3... Изчислете продукта 3 × 3, като използвате основното свойство на мощността.
Всеки знае, че три пъти три е равно на девет, но проблемът изисква използването на основното свойство на степента в хода на решението. Как да го направим?
Припомняме, че ако дадено число е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на един. Следователно факторите 3 и 3 могат да бъдат записани като 3 1 и 3 1
3 1 × 3 1
Сега ще използваме основното свойство на степента. Оставяме база 3 непроменена и добавяме показателите 1 и 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Пример 4... Изчислете продукта 2 × 2 × 3 2 × 3 3, като използвате основното свойство на мощността.
Продуктът 2 × 2 се заменя с 2 1 × 2 1, след това с 2 1 + 1 и след това с 2 2. Продуктът 3 2 × 3 3 се заменя с 3 2 + 3 и след това с 3 5
Пример 5... Извършете умножение x × x
Това са два еднакви азбучни фактора с показатели 1. За по-голяма яснота ще напишем тези показатели. Допълнителна база хще оставим непроменени и ще добавим индикаторите:
Докато сте на черната дъска, не трябва да записвате умножението на градусите със същите основи толкова подробно, както се прави тук. Такива изчисления трябва да се правят в ума. Подробно въвеждане най-вероятно ще дразни учителя и той ще намали оценката за него. Тук е даден подробен запис, така че материалът да е възможно най-достъпен за разбиране.
Желателно е решението от този пример да се напише, както следва:
Пример 6... Извършете умножение х 2 × x
Степента на втория фактор е равна на единица. Нека го запишем за по-голяма яснота. Освен това ще оставим базата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 7... Извършете умножение у 3 у 2 у
Степента на третия фактор е равна на единица. Нека го запишем за по-голяма яснота. Освен това ще оставим основата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 8... Извършете умножение аа 3 а 2 а 5
Степента на първия фактор е равна на единица. Нека го запишем за по-голяма яснота. Освен това ще оставим основата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 9... Представете степен 3 8 като произведение на градуси със същите основи.
В този проблем трябва да съставите произведението от градуси, чиито основи ще бъдат 3, а сумата от показателите на които ще бъде равна на 8. Могат да се използват всякакви показатели. Представяме степента 3 8 като произведение на степента 3 5 и 3 3
В този пример отново разчитахме на основното свойство на степента. В крайна сметка изразът 3 5 × 3 3 може да бъде записан като 3 5 + 3, откъдето 3 8.
Разбира се, беше възможно да се представи степента 8 като произведение на други степени. Например във формата 3 7 × 3 1, тъй като този продукт също е 3 8
Представянето на степен като произведение на степени с еднакви основи е предимно творческа работа. Затова не се страхувайте да експериментирате.
Пример 10... Подаване на степен х 12 като различни продукти от градуси с основи х .
Нека използваме основното свойство на степента. Представи си х 12 под формата на произведения с основи х, а сумата от показателите е 12
Конструктите със сумите на показателите са записани за яснота. Най-често те могат да бъдат пропуснати. След това получавате компактно решение:
Увеличение на дадено произведение
За да повишите даден продукт до степен, трябва да повишите всеки фактор на този продукт до определената степен и да умножите получените резултати.
Например, нека вдигнем продукта 2 × 3 до втората степен. Взимаме този продукт в скоби и посочваме 2
Сега вдигаме до втора степен всеки фактор на продукта 2 × 3 и умножаваме получените резултати:
Принципът на действие на това правило се основава на определението за степента, дадено в самото начало.
Повишаването на 2 × 3 продукт до втората степен означава повторение на дадения продукт два пъти. И ако го повторите два пъти, можете да получите следното:
2 × 3 × 2 × 3
Продуктът не се променя от пермутацията на местата на факторите. Това ви позволява да групирате едни и същи фактори:
2 × 2 × 3 × 3
Дублиращите се множители могат да бъдат заменени с кратки записи - бази с индикатори. Продуктът 2 × 2 може да бъде заменен с 2 2, а продуктът 3 × 3 може да бъде заменен с 3 2. Тогава изразът 2 × 2 × 3 × 3 се превръща в израз 2 2 × 3 2.
Нека бъде аборигинална творба. Да се издигне дадено произведение до степен н, трябва отделно да повишите факторите аи бдо определената степен н
Това свойство е валидно за произволен брой умножители. Следните изрази също са верни:
Пример 2... Намерете стойността на израза (2 × 3 × 4) 2
В този пример трябва да вдигнете продукта 2 × 3 × 4 до втората степен. За да направите това, трябва да повишите всеки фактор на този продукт до втората степен и да умножите получените резултати:
Пример 3... Вдигнете работата до третата степен a × b × c
Прилагаме този продукт в скоби и като индикатор посочваме числото 3
Пример 4... Вдигнете продукта 3 до третата степен xyz
Нека поставим този продукт в скоби и като индикатор посочваме 3
(3xyz) 3
Нека повдигнем всеки фактор на този продукт до третата степен:
(3xyz) 3 = 3 3 х 3 у 3 z 3
Числото 3 до третата степен е равно на числото 27. Оставете останалите непроменени:
(3xyz) 3 = 3 3 х 3 у 3 z 3 = 27х 3 у 3 z 3
В някои примери умножението на степени с един и същ експонентен показател може да бъде заменено с произведението на основи с един експонентен показател.
Например, нека изчислим стойността на израза 5 2 × 3 2. Нека повдигнем всяко число до втората степен и умножим получените резултати:
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Но не е нужно да изчислявате всяка степен поотделно. Вместо това даденото произведение на градусите може да бъде заменено с произведение с една степен (5 × 3) 2. След това изчислете стойността в скоби и повишете резултата до втората степен:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
В този случай отново беше използвано правилото за издигане в сила на дадено произведение. В крайна сметка, ако (a × b)н = a n × b n тогава a n × b n = (a × b) n... Тоест лявата и дясната страна на равенството са обърнати.
Степенуване
Ние разгледахме тази трансформация като пример, когато се опитахме да разберем същността на трансформациите с еднаква степен.
При повишаване на градус до степен, основата остава непроменена и индикаторите се умножават:
(a n)m = a n × m
Например, изразът (2 3) 2 е повишаване на степен до степен - две от третата степен се вдигат до втората степен. За да намерите стойността на този израз, основата може да остане непроменена и индикаторите да се умножат:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Това правило се основава на предишните правила: издигане на продукта до степента и основното свойство на степента.
Да се върнем към израз (2 3) 2. Изразът в скоби 2 3 е произведение на три еднакви фактора, всеки от които е 2. Тогава в израз (2 3) 2 мощността в скобите може да бъде заменена с произведението 2 × 2 × 2.
(2 × 2 × 2) 2
И това повдига мощта на работата, която изучавахме по-рано. Припомнете си, че за да повишите даден продукт до степен, трябва да повишите всеки фактор на този продукт до определената степен и да умножите получените резултати:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Сега се занимаваме с основното свойство на степента. Оставяме основата непроменена и добавяме индикаторите:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Както и преди, получихме 2 6. Стойността на тази мощност е 64
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Продуктът също може да бъде издигнат до степен, чиито фактори също са правомощия.
Например, нека намерим стойността на израза (2 2 × 3 2) 3. Тук показателите на всеки множител трябва да се умножат по общия показател 3. След това намерете стойността на всяка степен и изчислете продукта:
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Приблизително същото се случва, когато се издигне мощта на произведението. Казахме, че когато повишаваме продукта до степен, всеки фактор на този продукт се повишава до определената степен.
Например, за да издигнете произведението от 2 × 4 до третата степен, трябва да напишете следния израз:
Но по-рано беше казано, че ако дадено число е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на единица. Оказва се, че факторите на продукта 2 × 4 първоначално имат показатели, равни на 1. Така че изразът 2 1 × 4 1 е издигнат на трета степен. И това е издигане на сила до сила.
Нека пренапишем решението, като използваме правилото за мощност. Трябва да получим същия резултат:
Пример 2... Намерете стойността на израза (3 3) 2
Оставяме основата непроменена и умножаваме показателите:
Получено 3 6. Числото 3 до шеста степен е числото 729
Пример 3xy)³
Пример 4... Извършете степенуване в израза ( abc)⁵
Нека вдигнем всеки множител на продукта до петата степен:
Пример 5брадва) 3
Нека вдигнем всеки множител на продукта до третата степен:
Тъй като отрицателното число −2 беше издигнато до третата степен, то беше затворено в скоби.
Пример 6... Извършете степенуване в израза (10 xy) 2
Пример 7... Извършете степенуване в израза (−5 х) 3
Пример 8... Извършете степенуване в израза (−3 у) 4
Пример 9... Извършете степенуване в израза (-2 abx)⁴
Пример 10... Опростете израза х 5 × ( х 2) 3
Мощност х 5 засега ще остане непроменена и в израза ( х 2) 3 извършваме степенуването в степен
х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2 × 3 = х 5 × x 6
Сега нека направим умножението х 5 × x 6. За целта ще използваме основното свойство на степента - основата хще оставим непроменени и ще добавим индикаторите:
х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2 × 3 = х 5 × x 6 = х 5 + 6 = х 11
Пример 9... Намерете стойността на израза 4 3 × 2 2, като използвате основното свойство на степента.
Основното свойство на степента може да се използва, ако основите на първоначалните степени са еднакви. В този пример основите са различни, следователно, като начало, първоначалният израз трябва да бъде леко модифициран, а именно, за да накарат основите на градусите да станат еднакви.
Нека разгледаме внимателно степен 4 3. Основата на тази степен е числото 4, което може да бъде представено като 2 2. Тогава оригиналният израз ще приеме формата (2 2) 3 × 2 2. След като извършихме степенуването в израза (2 2) 3, получаваме 2 6. Тогава оригиналният израз ще приеме формата 2 6 × 2 2, която може да се изчисли, като се използва основното свойство на степента.
Нека запишем решението на този пример:
Деление на градусите
За да разделите градусите, трябва да намерите стойността на всяка степен, след което да разделите обикновените числа.
Например, разделете 4 3 на 2 2.
Нека изчислим 4 3, получаваме 64. Изчислете 2 2, получете 4. Сега разделете 64 на 4, вземете 16
Ако при разделяне на градусите на основите те се окажат еднакви, тогава основата може да остане непроменена и степента на делителя може да се извади от степента на дивидента.
Например, нека намерим стойността на израза 2 3: 2 2
Оставете база 2 непроменена и извадете степента на делителя от степента на дивидента:
Следователно стойността на израза 2 3: 2 2 е 2.
Това свойство се основава на умножението на градусите с едни и същи основи или както казвахме на основното свойство на степента.
Да се върнем към предишния пример 2 3: 2 2. Тук дивидентът е 2 3, а делителят е 2 2.
Разделянето на едно число на друго означава намиране на число, което, умножено по делител, води до дивидент.
В нашия случай разделянето на 2 3 на 2 2 означава намиране на степен, която, умножена по делител на 2 2, води до 2 3. И каква степен можете да умножите по 2 2, за да получите 2 3? Очевидно само степен 2 е 1. От основното свойство на степента имаме:
Можете да проверите дали стойността на израза 2 3: 2 2 е 2 1, като директно оцените самия израз 2 3: 2 2. За да направите това, първо намираме стойността на степента 2 3, получаваме 8. След това намираме стойността на степента 2 2, получаваме 4. Разделете 8 на 4, получаваме 2 или 2 1, тъй като 2 = 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
По този начин, при разделяне на степени с едни и същи основи, важи следното равенство:
Може да се случи също така, че не само основанията, но и показателите могат да бъдат еднакви. В този случай отговорът ще бъде един.
Например, нека намерим стойността на израза 2 2: 2 2. Нека изчислим стойността на всяка степен и извършим разделянето на получените числа:
Когато решавате пример 2 2: 2 2, можете също да приложите правилото за разделяне на правомощията със същите основи. Резултатът е число до нулева степен, тъй като разликата между степенните на степента 2 2 и 2 2 е нула:
Защо числото 2 в нулевата степен е равно на едно, разбрахме по-горе. Ако изчислите 2 2: 2 2 по обичайния начин, без да използвате правилото за разделяне на властите, ще получите едно.
Пример 2... Намерете стойността на израз 4 12: 4 10
Ще оставим 4 непроменени и ще извадим степента на делителя от степента на дивидента:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Пример 3... Изпратете лично х 3: хкато градус с радикс х
Нека използваме правилото за разделяне на градусите. Основа хОставете го непроменен и извадете степента на делителя от степента на дивидента. Експонентата на делителя е равна на единица. За по-голяма яснота, нека го запишем:
Пример 4... Изпратете лично х 3: х 2 като степен с радикс х
Нека използваме правилото за разделяне на градусите. Основа х
Разделянето на градусите може да се запише като дроб. И така, предишният пример може да бъде написан по следния начин:
Числителят и знаменателят на фракция е позволено да се записват в разширена форма, а именно под формата на продукти от същите фактори. Мощност х 3 може да се запише като x × x × xи степента х 2 как x × x... След това строителството х 3 - 2 можете да пропуснете и да използвате намаляването на фракцията. В числителя и в знаменателя ще бъде възможно да се отменят два фактора х... В резултат ще остане един фактор х
Или дори по-кратко:
Също така е полезно да можете бързо да намалите фракциите на мощността. Например фракцията може да бъде отменена от х 2. За да намалите фракцията с х 2 трябва да разделите числителя и знаменателя на фракцията на х 2
Делението на градусите може да бъде пропуснато в детайли. Това съкращение може да се съкрати:
Или дори по-кратко:
Пример 5... Извършете разделяне х 12 : х 3
Нека използваме правилото за разделяне на градусите. Основа хОставете го непроменен и извадете степента на делителя от индекса на дивидента:
Нека запишем решението, като намалим фракцията. Деление на градусите х 12 : х 3 ще бъдат написани във формата. След това можем да намалим тази част с х 3 .
Пример 6... Намерете стойността на израз
В числителя извършваме умножението на степени със същите основи:
Сега прилагаме правилото за разделяне на градусите със същите основи. Оставяме база 7 непроменена и изваждаме степента на делителя от степента на дивидента:
Завършете примера, като изчислите степента 7 2
Пример 7... Намерете стойността на израз
Да извършим степенуването в числителя. Трябва да направите това с израза (2 3) 4
Сега нека извършим умножение на степени със същите основи в числителя.
