Матрично системно решение. Матричен метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения
Този онлайн калкулатор решава система от линейни уравнения по матричния метод. Дадено е много подробно решение. Изберете броя на променливите, за да решите система от линейни уравнения. Изберете метод за изчисляване на обратната матрица. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".
×
Предупреждение
Изчистване на всички клетки?
Затвори Изчисти
Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102.54 и т.н.) или дроби. Дробът трябва да бъде въведен във формата a / b, където a и b са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7 и т.н.
Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения
Помислете за следната система от линейни уравнения:
Като се вземе предвид определението на обратната матрица, имаме А −1 А=Е, където Ее матрицата на идентичността. Следователно (4) може да се запише по следния начин:
По този начин, за да се реши системата от линейни уравнения (1) (или (2)), е достатъчно да се умножи обратното на Аматрица по вектор на ограниченията б.
Примери за решаване на система от линейни уравнения по матричния метод
Пример 1. Решете следната система от линейни уравнения по матричния метод:
Нека намерим обратното на матрицата A по метода на Джордан-Гаус. От дясната страна на матрицата Апишем матрицата на идентичността:
Елиминирайте елементите от 1-ва колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножен съответно по -1 / 3, -1 / 3:
Елиминирайте елементите от 2-ра колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете ред 3 с ред 2, умножен по -24/51:
Елиминирайте елементите от 2-ра колона на матрицата над главния диагонал. За да направите това, добавете ред 1 с ред 2, умножен по -3/17:
Отделете дясната страна на матрицата. Получената матрица е обратна на матрицата към А :
Матрична форма за запис на система от линейни уравнения: Ax = b, където
Изчисляваме всички алгебрични допълнения на матрицата А:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Обратната матрица се изчислява от следния израз.
(понякога този метод се нарича още матричен метод или обратен матричен метод) изисква предварително запознаване с такова понятие като матричната форма на нотация на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, за които детерминантата на матрицата на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:
- Запишете три матрици: матрицата на системата $ A $, матрицата на неизвестните $ X $, матрицата на свободните термини $ B $.
- Намерете обратното на $ A ^ (- 1) $.
- Използвайки равенството $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $, получете решение на дадената SLAE.
Всяко SLAE може да бъде записано в матрична форма като $ A \ cdot X = B $, където $ A $ е матрицата на системата, $ B $ е матрицата на свободните членове, $ X $ е матрицата на неизвестните. Нека матрицата $ A ^ (- 1) $ съществува. Умножаваме двете страни на равенството $ A \ cdot X = B $ по матрицата $ A ^ (- 1) $ отляво:
$$ A ^ (- 1) \ cdot A \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$
Тъй като $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ ($ E $ е идентичната матрица), горното равенство става:
$$ E \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$
Тъй като $ E \ cdot X = X $, тогава:
$$ X = A ^ (- 1) \ cdot B. $$
Пример №1
Решете SLAE $ \ вляво \ (\ начало (подравнено) & -5x_1 + 7x_2 = 29; \\ & 9x_1 + 8x_2 = -11. \ Край (подравнено) \ дясно. $ Използвайки обратната матрица.
$$ A = \ left (\ начало (масив) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ край (масив) \ вдясно); \; B = \ ляво (\ начало (масив) (c) 29 \\ -11 \ край (масив) \ дясно); \; X = \ ляв (\ начало (масив) (c) x_1 \\ x_2 \ край (масив) \ дясно). $$
Нека намерим обратната матрица към матрицата на системата, т.е. изчислете $ A ^ (- 1) $. В пример №2
$$ A ^ (- 1) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ край (масив) \ вдясно) ... $$
Сега заместваме всичките три матрици ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) в равенството $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $. След това извършваме матрично умножение
$$ \ наляво (\ начало (масив) (c) x_1 \\ x_2 \ край (масив) \ вдясно) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ край (масив) \ дясно) \ cdot \ ляво (\ начало (масив) (c) 29 \\ -11 \ край (масив) \ дясно) = \\ = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (масив) (c) 8 \ cdot 29 + (- 7) \ cdot (-11) \\ -9 \ cdot 29 + (- 5) \ cdot (- 11) \ край (масив) \ дясно) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ ляво (\ начало (масив) (c) 309 \\ -206 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво ( \ начало (масив) (c) -3 \\ 2 \ край (масив) \ вдясно). $$
И така, получаваме равенството $ \ left (\ begin (масив) (c) x_1 \\ x_2 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) -3 \\ 2 \ end ( масив ) \ вдясно) $. От това равенство имаме: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Отговор: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Пример №2
Решете SLAE $ \ вляво \ (\ начало (подравнено) & x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \\ & -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ & 3x_2 + 2x_3 = 6. \ Край (подравнено) \ вдясно $ по метода на обратната матрица.
Нека запишем матрицата на системата $ A $, матрицата на свободните членове $ B $ и матрицата на неизвестните $ X $.
$$ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ край (масив) \ вдясно); \; B = \ ляво (\ начало (масив) (c) -1 \\ 0 \\ 6 \ край (масив) \ дясно); \; X = \ вляво (\ начало (масив) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ край (масив) \ дясно). $$
Сега дойде редът да се намери обратното на матрицата към матрицата на системата, т.е. намерете $ A ^ (- 1) $. В пример №3 на страницата за намиране на обратни матрици, обратната вече е намерена. Нека използваме готовия резултат и напишем $ A ^ (- 1) $:
$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ начало (масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 и 37 \ край (масив) \ вдясно). $$
Сега заместваме всичките три матрици ($ X $, $ A ^ (- 1) $, $ B $) в равенството $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $, след което извършваме умножение на матрица вдясно -страна на това равенство.
$$ \ left (\ начало (масив) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ край (масив) \ надясно) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ начало (масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ край (масив) \ вдясно) \ cdot \ наляво (\ начало (масив) (c) -1 \\ 0 \ \ 6 \ край (масив) \ вдясно) = \\ = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ начало (масив) (c) 6 \ cdot (-1) + (- 5) \ cdot 0 +1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) +2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 \\ -12 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0 + 37 \ cdot 6 \ край (масив) \ дясно) = \ frac (1) (26) \ cdot \ ляво (\ начало (масив) (c) 0 \\ - 104 \\ 234 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво ( \ начало (масив) (c) 0 \\ - 4 \\ 9 \ край (масив) \ вдясно) $$
И така, получаваме равенството $ \ left (\ begin (масив) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) 0 \\ - 4 \ \ 9 \ край (масив) \ дясно) $. От това равенство имаме: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = 9 $.
Тема 2. СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРАИЧНИ УРАВНЕНИЯ.
Основни понятия.
Определение 1... Система млинейни уравнения с ннеизвестно е система от вида:
където и са числата.
Определение 2... Решението на система (I) е набор от неизвестни, за които всяко уравнение на тази система се превръща в тъждество.
Определение 3... Системата (I) се нарича ставаако има поне едно решение и непоследователноако няма решения. Ставната система се нарича сигуренако има уникално решение и неопределенов противен случай.
Определение 4... Уравнение на формата
Наречен нула, и уравнение на формата
Наречен непоследователно... Очевидно една система от уравнения, съдържаща непоследователно уравнение, е непоследователна.
Определение 5... Наричат се две системи от линейни уравнения равносилно наако всяко решение на една система служи като решение на друга, и обратно, всяко решение на втората система е решение на първата.
Матрична нотация на система от линейни уравнения.
Помислете за система (I) (вижте §1).
Да обозначим:
Матрица на коефициенти за неизвестни
Матрица - колона със свободни членове
Матрица - колона от неизвестни
.
Определение 1.Матрицата се нарича основната матрица на системата(I), а матрицата е разширената матрица на системата (I).
По дефиницията на матрично равенство, система (I) съответства на матрично равенство:
.
Дясната страна на това равенство по дефиницията на произведението на матриците ( виж дефиниция 3 § 5 от глава 1) може да се разложи на множители:
, т.е.
Равенство (2) Наречен матрична нотация на системата (I).
Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер.
Нека в система (I) (виж §1) m = n, т.е. броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а основната матрица на системата е неизродена, т.е. ... Тогава система (I) от §1 има единствено решение
където Δ = детайл Анаречена основна системен детерминант(I), Δ исе получава от детерминантата Δ чрез заместване и-та колона на колона от свободни членове на системата (I).
Пример: Решете системата по метода на Крамер:
.
По формули (3)
.
Изчисляваме детерминантите на системата:
,
,
.
За да получим детерминанта, заменихме първата колона в детерминанта с колона със свободен член; замествайки 2-ра колона в детерминантата с колона със свободни термини, получаваме; по подобен начин, като заменим третата колона в детерминантата с колона със свободни членове, получаваме. Системно решение:
Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обратна матрица.
Нека в система (I) (виж §1) m = nи основната матрица на системата е неизродена. Записваме система (I) в матрична форма ( виж §2):
от матрица Анеизродена, то има обратна матрица ( виж теорема 1, раздел 6, глава 1). Умножете двете страни на равенството (2) към матрицата, тогава
По дефиниция на обратната матрица. От равенство (3) ние имаме
Решете системата с помощта на обратната матрица
.
Ние означаваме
В примера (раздел 3) изчислихме детерминанта; следователно, матрицата Аима обратна матрица. Тогава по силата на (4) , т.е.
. (5)
Намерете матрицата ( виж §6 Глава 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Метод на Гаус.
Нека е дадена система от линейни уравнения:
... (аз)
Необходимо е да се намерят всички решения на система (I) или да се уверите, че системата е непоследователна.
Определение 1.Наричаме елементарна трансформация на системата(I) всяко от трите действия:
1) изтриване на нулевото уравнение;
2) добавяне към двете страни на уравнението на съответните части от другото уравнение, умножено по числото l;
3) размяна на местата на членовете в уравненията на системата, така че неизвестните с еднакви числа във всички уравнения да заемат едни и същи места, т.е. ако например в 1-во уравнение сме променили 2-ро и 3-то член, то същото трябва да се направи и във всички уравнения на системата.
Методът на Гаус се състои в това, че системата (I) се редуцира чрез елементарни трансформации до еквивалентна система, чието решение се намира директно или се установява нейната нерешимост.
Както е описано в раздел 2, система (I) се определя уникално от нейната разширена матрица и всяка елементарна трансформация на система (I) съответства на елементарна трансформация на разширената матрица:
.
Трансформация 1) съответства на изтриване на нулевия ред в матрицата, трансформация 2) е еквивалентна на добавяне към съответния ред на матрицата на другия й ред, умножен по числото l, трансформация 3) е еквивалентна на пермутация на колони в матрицата.
Лесно е да се види, че, напротив, всяка елементарна трансформация на матрицата съответства на елементарна трансформация на система (I). С оглед на горното, вместо операции със система (I), ще работим с разширената матрица на тази система.
В матрицата 1-ва колона се състои от коефициентите при х 1, Втората колона - от коефициентите при х 2и т.н. В случай на пренареждане на колони, имайте предвид, че това условие е нарушено. Например, ако разменим 1-ва и 2-ра колони на места, сега 1-ва колона ще съдържа коефициентите за х 2, а във 2-ра колона - коефициентите при х 1.
Ще решим система (I) по метода на Гаус.
1. Зачеркнете всички нулеви редове в матрицата, ако има такива (т.е. зачеркнете всички нулеви уравнения в система (I)).
2. Нека проверим дали сред редовете на матрицата има ред, в който всички елементи с изключение на последния са равни на нула (нека наречем такъв ред непоследователен). Очевидно такъв ред съответства на непоследователно уравнение в система (I), следователно системата (I) няма решения и тук процесът завършва.
3. Нека матрицата не съдържа несъвместими редове (система (I) не съдържа несъвместими уравнения). Ако а 11 = 0, тогава намираме в 1-вия ред някакъв елемент (освен последния), различен от нула и пренареждаме колоните, така че да няма нула в 1-ви ред на 1-во място. Сега ще приемем, че (тоест сменяме местата на съответните членове в уравненията на системата (I)).
4. Умножете 1-вия ред по и добавете резултата към 2-рия ред, след това умножете 1-вия ред по и добавете резултата към 3-тия ред и т.н. Очевидно този процес е еквивалентен на елиминиране на неизвестното х 1на всички уравнения на системата (I), с изключение на първото. В новата матрица получаваме нули в 1-ва колона под елемента а 11:
.
5. Зачеркнете всички нулеви редове в матрицата, ако има такива, проверете дали има непоследователен ред (ако има такъв, значи системата е непоследователна и тук свършва решението). Да проверим дали ще има а 22 / = 0, ако да, тогава намираме във 2-рия ред елемент, различен от нула и пренареждаме колоните така, че. След това умножаваме елементите на 2-рия ред по 
и добавете със съответните елементи от 3-ти ред, след това - елементите от 2-ри ред чрез и добавете със съответните елементи от 4-ти ред и т.н., докато получим нули под а 22 /
.
Извършените действия са еквивалентни на премахване на неизвестното х 2на всички уравнения на системата (I), с изключение на 1-во и 2-ро. Тъй като броят на редовете е краен, следователно, след краен брой стъпки, получаваме, че или системата е непоследователна, или стигаме до стъпаловидна матрица ( виж дефиниция 2 §7 от глава 1) :
,
Нека напишем системата от уравнения, съответстваща на матрицата. Тази система е еквивалентна на системата (I)
.
От последното уравнение изразяваме; заместваме в предишното уравнение, намираме и т.н., докато получим.
Забележка 1.Така при решаване на система (I) по метода на Гаус стигаме до един от следните случаи.
1. Системата (I) е непоследователна.
2. Система (I) има уникално решение, ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на неизвестните ().
3. Система (I) има безкраен набор от решения, ако броят на редовете в матрицата е по-малък от броя на неизвестните ().
Следователно е валидна следната теорема.
Теорема.Системата от линейни уравнения е или непоследователна, или има уникално решение, или - безкраен набор от решения.
Примери. Решете системата от уравнения по метода на Гаус или докажете нейната несъвместимост:
б) 
;
а) Нека пренапишем дадената система във вида:
.
Разменихме 1-во и 2-ро уравнения на оригиналната система, за да опростим изчисленията (вместо дроби, ще оперираме само с цели числа, използвайки такава пермутация).
Ние съставяме разширена матрица:
.
Няма нулеви редове; няма непоследователни линии,; изключва 1-то неизвестно от всички уравнения на системата, с изключение на 1-то. За да направите това, умножете елементите от 1-ви ред на матрицата по "-2" и ги добавете със съответните елементи от 2-ри ред, което е еквивалентно на умножаване на 1-во уравнение по "-2" и събиране с 2-ро уравнение . След това умножаваме елементите от 1-ви ред по "-3" и ги добавяме със съответните елементи от третия ред, т.е. умножете 2-рото уравнение на дадената система по "-3" и го добавете към 3-тото уравнение. Получаваме
.
Системата от уравнения съответства на матрицата). - (виж дефиниция 3§7 от глава 1).
Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.
Това се дължи на факта, че преобладаващото мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. Напоследък математическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с очевидните му предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи . Съществува голямо разнообразие от различни дефиниции на математическия модел, дадени от учени в различно време, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математическият модел е идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.
За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, най-често използваните методи са: Крамер, Джордан-Гаус и матричният метод.
Метод на матрично решение - метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулева детерминанта с помощта на обратна матрица.
Ако запишем коефициентите за неизвестни стойности xi в матрицата A, съберем неизвестните количества във векторна колона X и свободни членове във векторна колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана под формата на следващо матрично уравнение AX = B, което има уникално решение само когато детерминантата на матрицата A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин х = А-1 · Б, където А-1 е обратното на матрицата.
Методът на матричното решение е както следва.
Нека система от линейни уравнения с ннеизвестен:
Може да се пренапише в матрична форма: AX = Б, където А- основната матрица на системата, Би х- колони със свободни членове и решения на системата, съответно:
Умножаваме това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрицата А: А -1 (AX) = А -1 Б
Защото А -1 А = Е, получаваме х= А -1 Б... Дясната страна на това уравнение ще даде колоната с решения на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и изобщо за съществуването на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с броя на уравненията, равен на броя на неизвестните) е неизраждаемостта на матрицата А... Необходимо и достатъчно условие за това е неравенството на нула на детерминанта на матрицата А: дет А≠ 0.
За хомогенна система от линейни уравнения, тоест когато векторът Б = 0 , наистина е вярно обратното: системата AX = 0 има нетривиално (тоест ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на хомогенни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.
Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.
Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.
Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.
Използването на уравнения е широко разпространено в нашия живот. Използват се в много изчисления, строителство на сгради и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава приложението им само се е увеличило. Матричният метод ви позволява да намирате решения на SLAE (система от линейни алгебрични уравнения) с всякаква сложност. Целият процес на решаване на SLAE се свежда до две основни стъпки:
Определяне на обратната матрица въз основа на основната матрица:
Умножение на получената обратна матрица по вектор колона на решенията.
Да предположим, че е дадено SLAE от следната форма:
\ [\ ляво \ (\ начало (матрица) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \ край (матрица) \ дясно. \]
Нека започнем да решаваме това уравнение, като изпишем матрицата на системата:
Дясна матрица:
Нека дефинираме обратната матрица. Матрицата от втори ред може да се намери, както следва: 1 - самата матрица трябва да е неизродена; 2 - нейните елементи, които са разположени на главния диагонал, се разменят, а елементите на страничния диагонал се сменят на противоположен знак, след което извършваме разделяне на получените елементи с детерминанта на матрицата. Получаваме:
\ [\ начало (pmatrix) 7 \\ 9 \ край (pmatrix) = \ начало (pmatrix) -11 \\ 31 \ край (pmatrix) \ Стрелка надясно \ начало (pmatrix) x_1 \\ x_2 \ край (pmatrix) = \ начало (pmatrix) -11 \\ 31 \ край (pmatrix) \]
2 матрици се считат за равни, ако съответните им елементи са равни. В резултат на това имаме следния отговор на решението на SLAE:
Къде можете да решите системата от уравнения по матричния метод онлайн?
Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт. Безплатен онлайн решаващ ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за броени секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете вашите данни в Solver. Можете също да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte.
