Или, накратко, производната на имплицитна функция. Какво е имплицитна функция? Тъй като моите уроци са практически, се опитвам да избягвам определения, формулировки на теореми, но тук ще е подходящо да го направя. Какво е функция като цяло?

Функцията с единична променлива е правило, според което за всяка стойност на независимата променлива има една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция.

Грубо казано, буквата "игрек" в този случай е функция.

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека организираме разбор с конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотна "игра" (функция), а отдясно - само "x"... Тоест функцията изричноизразено чрез независима променлива.

Помислете за друга функция:

Тук променливите също са "смесени". И невъзможно по никакъв начинизразявайте "игра" само чрез "x". Какви са тези методи? Прехвърляне на термини от една част в друга със смяна на знака, поставяне извън скоби, хвърляне на множители по правилото за пропорция и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите „играта“ в изричен вид:. Можете да въртите и усуквате уравнението с часове, но не можете.

Нека ви представя: - пример имплицитна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че имплицитната функция съществува(но не винаги), има графика (точно като "нормална" функция). Неявната функция има същото съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се зачитат.

И в този урок ще научим как да намерим производната на неявна функция. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране, таблицата на производните на елементарните функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме точно сега.

Да, и ще ви кажа добрата новина - описаните по-долу задачи се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три писти.

Пример 1

1) На първия етап поставяме финалните щрихи върху двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила на урока Как да намеря производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да разграничим и напълно разбираемо. Какво да правя там, където има "игри" под ударите?

Просто възмутително производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим

Тук имаме сложна функция... Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "игрек". Но факт е, че има само една буква "игрек" - САМАТА Е ФУНКЦИЯ(виж дефиницията в началото на урока). Така синусът е външна функция, вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Имайте предвид, че - също е сложна функция, всяка "игра със звънци" е сложна функция:

Дизайнът на самото решение трябва да изглежда така:

Ако има скоби, отворете ги:

4) От лявата страна събираме термините, в които има "игра" с просто число. От дясната страна - прехвърлете всичко останало:

5) Отляво изваждаме производната от скобите:

6) И според правилото за пропорция пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Намерена производна. Готов.

Интересно е да се отбележи, че можете имплицитно да пренапишете всяка функция. Например функцията може да се пренапише така: ... И го разграничете според току-що разгледания алгоритъм. Всъщност фразите "неявна функция" и "неявна функция" се различават в един семантичен нюанс. Изразът "имплицитно дефинирана функция" е по-общ и правилен, - тази функция е зададена имплицитно, но тук можете да изразите "играта" и да представите функцията в изричен вид. Изразът "неявна функция" се разбира като "класическа" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Второ решение

Внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как уверено да намирате частични производни. Начинаещи в смятането и чайниците, моля, не четете и пропускайте тази точка, в противен случай главата ви ще бъде пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция по втория начин.

Прехвърляме всички условия в лявата страна:

И помислете за функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да бъде намерена по формулата

Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да проверите. Но е нежелателно да ги формулирате с чиста версия на задачата, тъй като частните производни се овладяват по-късно, а ученикът, изучаващ темата „Производна на функция от една променлива“, изглежда не познава частните производни.

Нека разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на неявна функция

Поставяме финалните щрихи и на двете части:

Използваме правилата за линейност:

Намерете производни:

Разгъване на всички скоби:

Прехвърляме всички термини с в лявата страна, останалите - в дясната страна:

Отляво поставяме от скоби:

Краен отговор:

Пример 3

Намерете производната на неявна функция

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно дробите да се появяват след диференциране. В такива случаи трябва да се отървете от фракциите. Нека разгледаме още два примера.

Много често при решаване на практически задачи (например във висшата геодезия или аналитична фотограметрия) се появяват сложни функции на няколко променливи, т.е. x, y, z една функция f (x, y, z) ) сами по себе си са функции на нови променливи У, В, У ).

Това например се случва при преминаване от стационарна координатна система Oxyz в мобилната система О 0 UVW и обратно. Важно е да се знаят всички частични производни по отношение на "фиксирани" - "стари" и "движещи се" - "нови" променливи, тъй като тези частични производни обикновено характеризират позицията на обект в тези координатни системи, и по-специално, засягат съответствието на въздушните снимки с реален обект. ... В такива случаи се прилагат следните формули:

Тоест е дадена сложна функция т три "нови" променливи У, В, У с помощта на три "стари" променливи x, y, z, тогава:

Коментирайте. Възможни са вариации в броя на променливите. Например: ако

По-специално, ако z = f (xy), y = y (x) , тогава получаваме така наречената формула за "пълна производна":

Същата формула за "пълната производна" в случая:

ще приеме формата:

Възможни са и други варианти на формули (1.27) - (1.32).

Забележка: формулата "обща производна" се използва в курса по физика, раздел "Хидродинамика", когато се извежда основната система от уравнения на движението на флуида.

Пример 1.10. дадено:

Според (1.31):

§7 Частични производни на имплицитно дефинирана функция на няколко променливи

Както знаете, имплицитно дефинирана функция на една променлива се дефинира по следния начин: функцията на независимата променлива х се нарича имплицитно, ако е дадено от уравнение, което не е разрешено по отношение на г :

Пример 1.11.

Уравнението

имплицитно задава две функции:

И уравнението

не дефинира никаква функция.

Теорема 1.2 (съществуване на имплицитна функция).

Нека функцията z = f (x, y) и неговите частни производни е" х и е" г дефинирани и непрекъснати в някакъв квартал У M0 точки М 0 (х 0 г 0 ) ... Освен това, е (х 0 , y 0 )=0 и f "(x 0 , y 0 )≠0 , тогава уравнение (1.33) дефинира в квартал У M0 имплицитна функция y = y (x) непрекъснати и диференцируеми в някакъв интервал д центрирано в точката х 0 , и y (x 0 ) = y 0 .

Няма доказателство.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал д :

тоест има идентичност в

където "общата" производна се намира съгласно (1.31)

Тоест (1.35) дава формула за намиране на производната на имплицитно дефинирана функция на една променлива х .

Неявната функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.

Например, ако в някаква област V пространство Oxyz уравнението е изпълнено:

след това при определени условия на функцията Ф то имплицитно дефинира функция

Освен това, по аналогия с (1.35), неговите частни производни се намират, както следва.

Определение.Нека функцията \ (y = f (x) \) е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката \ (x_0 \). Дайте на аргумента увеличение \ (\ Delta x \), така че да не излиза извън този интервал. Намерете съответното увеличение на функцията \ (\ Delta y \) (при преминаване от точка \ (x_0 \) към точка \ (x_0 + \ Delta x \)) и съставете съотношението \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Ако има ограничение на това съотношение при \ (\ Delta x \ десна стрелка 0 \), тогава посоченият лимит се нарича производна функция\ (y = f (x) \) в точката \ (x_0 \) и означаваме \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

Символът y "често се използва за означаване на производната. Имайте предвид, че y" = f (x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f (x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница ... Тази функция се нарича така: производна на функцията y = f (x).

Геометричното значение на производнатае както следва. Ако графиката на функцията y = f (x) в точка с абсциса x = a може да бъде начертана допирателна, а не успоредна на оста y, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
\ (k = f "(a) \)

Тъй като \ (k = tg (a) \), равенството \ (f "(a) = tg (a) \) е вярно.

Сега нека тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителните равенства. Нека функцията \ (y = f (x) \) има производна в определена точка \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Това означава, че близо до точката x е изпълнено приблизителното равенство \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ approx f "(x) \), т.е. \ (\ Delta y \ approx f" (x) \ cdot \ Delta x \). Смисловият смисъл на полученото приблизително равенство е следният: приращението на функцията е „почти пропорционално” на приращението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например, функцията \ (y = x ^ 2 \) удовлетворява приблизителното равенство \ (\ Delta y \ approx 2x \ cdot \ Delta x \). Ако внимателно анализираме дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y = f (x)?

1. Фиксирайте стойността \ (x \), намерете \ (f (x) \)
2. Дайте на аргумента \ (x \) увеличение \ (\ Delta x \), отидете на нова точка \ (x + \ Delta x \), намерете \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Намерете приращението на функцията: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Направете отношението \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Изчислете $$ \ lim _ (\ Delta x \ to 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Тази граница е производна на функцията в точката x.

Ако функцията y = f (x) има производна в точка x, тогава тя се нарича диференцируема в точка x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функция y = f (x). диференциацияфункция y = f (x).

Нека обсъдим следния въпрос: как непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка са свързани една с друга?

Нека функцията y = f (x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точка M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" в точка M, тоест функцията трябва да е непрекъсната в точка x.

Това беше разсъждение на „връх пръста“. Нека дадем по-строги разсъждения. Ако функцията y = f (x) е диференцируема в точка x, тогава приблизителното равенство \ (\ Delta y \ approx f "(x) \ cdot \ Delta x \) е валидно. Ако в това равенство \ (\ Delta x \) клони към нула, тогава \ (\ Delta y \) ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точката.

Така, ако функцията е диференцируема в точката x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = | x | е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент на графиката на функцията е невъзможно да се начертае допирателна, тогава в тази точка няма производна.

Още един пример. Функцията \ (y = \ sqrt (x) \) е непрекъсната на цялата числова права, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 Но в този момент допирателната линия съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x = 0. Няма наклон за такава права линия, така че тя не съществува и \ (f "(0) \)

И така, се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. И как от графиката на функцията можем да заключим за нейната диференцируемост?

Отговорът всъщност е получен по-горе. Ако в даден момент на графиката на функцията е възможно да се начертае допирателна, която не е перпендикулярна на оста на абсцисата, тогава в този момент функцията е диференцируема. Ако в даден момент допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста на абсцисата, тогава в този момент функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация... Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с "функции на функции", тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията за производна е възможно да се изведат правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f = f (x), g = g (x) са някои диференцируеми функции, тогава следното правила за диференциация:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ ( Cf) "= Cf" $$ $$ \ наляво (\ frac (f) (g) \ надясно) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ наляво (\ frac (C ) (g) \ вдясно) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Производна на комплексна функция:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Производна таблица на някои функции

$$ \ вляво (\ frac (1) (x) \ вдясно) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ наляво (x ^ a \ вдясно) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ наляво (a ^ x \ вдясно)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ вляво (e ^ x \ вдясно) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ текст (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x)" = \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ текст (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

Ще се научим да намираме производните на функциите, които са дадени имплицитно, тоест дадени от някои уравнения, свързващи променливите хи г... Примери за имплицитни функции:

,

,

Производни на неявни функции или производни на неявни функции са сравнително лесни за намиране. Сега ще анализираме съответното правило и пример и след това ще разберем защо това обикновено е необходимо.

За да се намери производната на функция, дадена имплицитно, е необходимо да се диференцират двете страни на уравнението по отношение на x. Тези термини, в които присъства само x, ще се превърнат в обичайната производна на функцията на x. И термините с играта трябва да се диференцират, като се използва правилото за диференциране на сложна функция, тъй като играта е функция на x. Казано по-просто, тогава в получената производна на термина с x трябва да се окаже: производната на функцията от играта, умножена по производната от играта. Например, производната на термина ще бъде записана като, производната на термина ще бъде записана като. Освен това от всичко това е необходимо да се изрази този "игрив щрих" и ще се получи желаната производна на функцията, дадена имплицитно. Нека да разгледаме това с пример.

Пример 1.

Решение. Ние диференцираме двете страни на уравнението по отношение на x, като приемем, че y е функция на x:

От тук получаваме производната, която се изисква в задачата:

Сега нещо за двусмисленото свойство на имплицитно дефинираните функции и защо са необходими специални правила за тяхното диференциране. В някои случаи човек може да се увери, че заместването в дадено уравнение (виж примерите по-горе), вместо да играе израза му по отношение на x, води до факта, че това уравнение се превръща в тъждество. Така. горното уравнение имплицитно дефинира следните функции:

След като заменим израза за играта в квадрата по отношение на x в оригиналното уравнение, получаваме идентичността:

.

Изразите, които заместихме, са получени чрез решаване на уравнението за играта.

Ако трябваше да разграничим съответната явна функция

тогава те ще получат отговора както в пример 1 - от имплицитната функция:

Но не всяка имплицитна функция може да бъде представена като г = е(х) ... Така например имплицитно дефинираните функции

не се изразяват чрез елементарни функции, тоест тези уравнения не могат да бъдат решени по отношение на играта. Следователно има правило за диференциране на функция, дадено имплицитно, което вече проучихме и впоследствие ще го приложим в други примери.

Пример 2.Намерете производната на неявна функция:

.

Изразяваме простото число и - на изхода - производната на имплицитната функция:

Пример 3.Намерете производната на неявна функция:

.

Решение. Разграничете двете страни на уравнението по отношение на x:

.

Пример 4.Намерете производната на неявна функция:

.

Решение. Разграничете двете страни на уравнението по отношение на x:

.

Изразяваме и получаваме производната:

.

Пример 5.Намерете производната на неявна функция:

Решение. Преместете членовете от дясната страна на уравнението в лявата страна и оставете нула отдясно. Диференцирайте двете страни на уравнението по отношение на x.

Производна на неявна функция.
Производна на параметрично зададена функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в тестове по висша математика. За успешно усвояване на материала е необходимо да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да научите как да намерите производни от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция... Ако всичко е наред с уменията за диференциране, тогава да тръгваме.

Производна на неявна функция

Или, накратко, производната на имплицитна функция. Какво е имплицитна функция? Нека първо си припомним самото определение на функция на една променлива:

Единична променлива функцияТова е правило, според което една и само една стойност на функцията съответства на всяка стойност на независимата променлива.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека организираме разбор с конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотна "игра", а отдясно - само "x"... Тоест функцията изричноизразено чрез независима променлива.

Помислете за друга функция:

Тук променливите също са "смесени". И невъзможно по никакъв начинизразявайте "игра" само чрез "x". Какви са тези методи? Прехвърляне на термини от една част в друга със смяна на знака, поставяне извън скоби, хвърляне на множители по правилото за пропорция и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите „играта“ в изричен вид:. Можете да въртите и усуквате уравнението с часове, но не можете.

Нека ви представя: - пример имплицитна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че имплицитната функция съществува(но не винаги), има графика (точно като "нормална" функция). Неявната функция има същото съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се зачитат.

И в този урок ще научим как да намерим производната на неявна функция. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране, таблицата на производните на елементарните функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме точно сега.

Да, и ще ви кажа добрата новина - описаните по-долу задачи се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три писти.

Пример 1

1) На първия етап поставяме финалните щрихи върху двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила на урока Как да намеря производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да разграничим и напълно разбираемо. Какво да правя там, където има "игри" под ударите?

- просто възмутително, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция... Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "игрек". Но факт е, че има само една буква "игрек" - САМАТА Е ФУНКЦИЯ(виж дефиницията в началото на урока). Така синусът е външна функция, вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Имайте предвид, че - също е сложна функция, всяка "игра със звънци" е сложна функция:

Дизайнът на самото решение трябва да изглежда така:


Ако има скоби, отворете ги:

4) От лявата страна събираме термините, в които има "игра" с просто число. От дясната страна - прехвърлете всичко останало:

5) Отляво изваждаме производната от скобите:

6) И според правилото за пропорция пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Намерена производна. Готов.

Интересно е да се отбележи, че можете имплицитно да пренапишете всяка функция. Например функцията може да се пренапише така: ... И го разграничете според току-що разгледания алгоритъм. Всъщност фразите "неявна функция" и "неявна функция" се различават в един семантичен нюанс. Изразът "имплицитно дефинирана функция" е по-общ и правилен, - тази функция е зададена имплицитно, но тук можете да изразите "играта" и да представите функцията в изричен вид. Изразът "неявна функция" се разбира като "класическа" имплицитна функция, когато "играта" не може да бъде изразена.

Второ решение

Внимание!Вторият метод може да бъде намерен само ако знаете как да намерите уверено частични производни... Начинаещи в смятането и манекените, моля не четете и пропускайте този параграф, иначе главата ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция по втория начин.

Прехвърляме всички условия в лявата страна:

И помислете за функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да бъде намерена по формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да проверите. Но е нежелателно да ги формулирате с чиста версия на задачата, тъй като частните производни се овладяват по-късно, а ученикът, изучаващ темата „Производна на функция от една променлива“, изглежда не познава частните производни.

Нека разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на неявна функция

Поставяме финалните щрихи и на двете части:

Използваме правилата за линейност:

Намерете производни:

Разгъване на всички скоби:

Прехвърляме всички термини с в лявата страна, останалите - в дясната страна:

Краен отговор:

Пример 3

Намерете производната на неявна функция

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно дробите да се появяват след диференциране. В такива случаи трябва да се отървете от фракциите. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на неявна функция

Ограждаме двете части със щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте, като използвате правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциация на частното :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дроба. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта е. Умножете на . В подробности ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имахме още една дроб, например, тогава операцията би трябвало да се повтори - умножете всеки член на всяка частна

Отляво поставяме от скоби:

Краен отговор:

Пример 5

Намерете производната на неявна функция

Това е пример за решение "направи си сам". Единственото нещо в него, преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично зададена функция

Не се напрягайте, в този параграф всичко също е доста просто. Можете да напишете обща формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма, функцията се дава от две уравнения:. Често уравненията се записват не под къдрави скоби, а последователно:,.

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от "минус безкрайност" до "плюс безкрайност". Помислете например за стойност и я заместете в двете уравнения: ... Или по човешки: "ако х е равно на четири, то y е равно на едно." В координатната равнина може да се маркира точка и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра "te". Що се отнася до "обикновената" функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция също се спазват всички права: можете да начертаете графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако има нужда да начертаете графика на параметрично зададена функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи изрично. Нека изразим параметъра от първото уравнение: - и го заместете във второто уравнение: ... Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-"тежките" случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото за намиране на производната на параметрична функция има формула:

Намерете производната на "играта по отношение на променливата te":

Всички правила за диференциация и таблицата на производните, разбира се, са валидни и за буквата, следователно няма новост в процеса на намиране на производни... Просто мислено заменете всички "x" в таблицата с буквата "te".

Намерете производната на "x по отношение на променливата te":

Сега остава само да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, както и самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до обозначенията, във формулата, вместо да се пише, тя може просто да бъде написана без индекс, тъй като това е „обичайната“ производна „по x“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Характеристика на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно да опростите резултата колкото е възможно повече... И така, в разглеждания пример, когато го намерих, разширих скобите под корена (въпреки че не можах да направя това). Шансовете са големи, когато се заменят във формулата, много неща ще бъдат намалени добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на параметрично дефинирана функция

Това е пример за решение "направи си сам".

Статията Най-простите често срещани проблеми с производнаразгледахме примери, в които се изискваше да се намери втората производна на функция. За параметрично зададена функция можете да намерите и втората производна и тя се намира по следната формула:. Съвсем очевидно е, че за да се намери втората производна, първо трябва да се намери първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, зададена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Заместваме намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула: