Експонента е число, което показва колко пъти дадена стойност трябва да се умножи сама. Например, ако показателят е 3 и стойността е 4, тогава 4 3 означава 4 x 4x4, което е 64. Математически израз в 2означава при NS при, а числото 2 е показателят.

По какво се различава експоненциалният растеж от линейния? С линеен растеж стойността се увеличава на всеки етап с една и съща ака,не на многократниномер. Ако началният ми капитал е $ 1000 и се увеличава с $ 100 всяка година, след 10 години ще го удвоя и ще имам $ 2,000. Това е линеен растеж, със същата сума всяка година. Но ако началният ми капитал от 1000 долара се увеличава с 10 процента всяка година, след десет години ще имам 2594 долара. Това е пример за експоненциален растеж с постоянен кратен 1,1 годишно. Ако продължа бизнеса си за още 10 години, линейният растеж ще ми даде общо $ 3,000, докато експоненциалният растеж ще ми даде $ 6,727.

Всеки пазар или бизнес, който поддържа темп на растеж от 10 % или повече за продължителен период от време, ще има много по-голям ефект на създаване на стойност, отколкото интуитивно оценяваме. Някои компании като IBM или McDonald's от 1950 до

1985 г. или Microsoft през 90 -те години на миналия век - успя да постигне темпове на растеж над 15 процента годишно и да увеличи капитала си многократно. Ако започнете със 100 долара и увеличите капитала си с 15 процента годишно в продължение на 15 години, тогава ще имате 3292 долара в края, което е почти 33 пъти повече, отколкото в началото. Малко увеличение на процента на растеж води до голяма разлика в резултатите.

Например американският борсов посредник Уилям О'Нийл създава и управлява фонд за своите съученици от 1961 до 1986 г. През това време първоначалните 850 долара се превръщат в 51 653 долара след плащането на всички данъци. * За 25 години средният ръст е 17 85 % годишно, което се изразява в 61-кратно увеличение на първоначалната сума. Следователно виждаме, че ако за 25 години 15-процентният растеж увеличава капитала 33 пъти, тогава добавянето на по-малко от 3 процентни пункта към годишния темп на растеж увеличава резултат в 61 пъти.

Експоненциален растежпроменя нещата не само количествено, но и качествено. Например, с бързия растеж на индустрията - Питър Дракър нарича цифрата 40 процента за 10 години - самата й структура се променя и на преден план излизат нови лидери на пазара. Бърз растежпазарите се ръководят от иновации, липса на модел, нови продукти, технологии или потребители. Иноваторите по дефиниция правят нещата по различен начин. Новите начини рядко съжителстват с навиците, идеите, процедурите и структурите на съществуващите фирми. Не е необичайно новаторите да могат да преливат пяната в продължение на няколко години, докато традиционните лидери решат да контраатакуват, но тогава може да е твърде късно.

Един от големите митове, върху които се основаваше икономиката в края на ХХ век, беше митът за експоненциалния растеж. Технологиите трябваше да се променят още по-бързо, така че икономиката също да расте експоненциално, правейки всички ни по-богати от нашите родители и неизмеримо по-богати от нашите прадядовци. Нещата обаче изглежда са се объркали след 2000 г., поне в икономиката. Проблемът е отчасти свързан с изтичането на капитали към развиващите се пазари, което става възможно чрез интернет и съвременните комуникации. Отвъд дори тази неудобна реалност се крие наистина обезпокоителната мисъл, че технологичният прогрес, а оттам и възможността за подобряване на стандарта на живот, може изобщо да не генерира експоненциален растеж.

Във визията на няколко ентусиасти вярата в експоненциален технологичен прогрес се трансформира в особеност, която или вече се случва, или е на път да ни надмине. Предполага се, че това ще доведе до по -нататъшно ускоряване на напредъка, който ще бъде толкова силен, че бъдещето на човешката история ще бъде много различно от миналото.

Но преди да приветстваме появата на особеността, трябва да се отбележи, че според поддръжниците на тази теория тя ще бъде причинена от появата на по -умни от хората машини, които впоследствие ще надделеят, ще създадат още по -умни роботи и ще оставят човечеството в опашката. По този начин особеността няма да представлява почти безкрайно подобрение в качеството на живот на човечеството, защото очевидно такива свръхинтелигентни машини няма да се интересуват особено от стандарта на живот на хората - или дори искат да ни използват като експериментални животни или домашни любимци . (Ако последното, несъмнено ще бъда в челните редици на кандидатите за елиминиране - едва ли имам качествата на домашен любимец, редовно показвани от нашата котка Евдоксия).

Като мислим логично, можем да разграничим три особености, които вече са се случили в историята на човечеството: появата на речта, преходът от номадския живот към заседналия селско стопанствои по -късно Индустриалната революция. Всеки от тези явления ускорява десет пъти развитието на човечеството, така че промените, които отнемат милиони години само под влиянието на еволюцията, след появата на речта, започват да се случват след стотици хиляди години, с изобретяването на земеделието - през десетки хиляди години и само след два -три века - след индустриалната революция. Всяка от тези промени променя живота; тя също се движеше с по -бързи темпове, а след Индустриалната революция в един кратък човешки животсе случват огромни технологични промени.

Струва си да разгледаме по -отблизо особеностите на индустриалната революция. Той продължи около 200 години и нито едно от първите му нововъведения не донесе значителни промени в живота. Кола Новодошлиза изпомпване на вода в мини, изобретен през 1712 г., не е довел директно до сериозни промени, не е последван от много по -усъвършенстван двигател, както в Джеймс Уот, до 1769 г. (и двигателите Watt навлизат широко в употреба едва през 1790 -те). Технологичната революция обаче беше придружена от също толкова важна революция в човешкото мислене, която започна около основаването на Кралското общество на науките през 1662 г. и продължи “. Богатството на народите» Адам Смит(през 1776 г.) до началото на 19 век.

Така, въпреки че гражданинът на 1785 г. не се радва особено на техническия напредък в сравнение с предшественика си от 1660 г., докато век по -рано алхимиците са осмивани в картината на известния Джоузеф Райт,сега тя служи като прикритие за " Алхимици на загубата". Първите огромни технически плодове на Индустриалната революция дойдоха по -късно - текстилното производство започна да се развива едва през 1790 -те години, а железопътната мрежа се появи едва след 1830 г. - но умствените промени, които формираха Сингулярността, бяха настъпили вече около 1785 година.

В този смисъл все още не сме застрашени от някаква особеност. Интернет, който коренно промени световните комуникации и начина ни на живот, не е по -революционен от електрическата светлина, телефона или колата. Животът през 2010 г. всъщност е различен от живота през 1995 г. Днес можем да организираме глобална производствена или сервизна компания много по -ефективно, отколкото през 1995 г. Повечетоживот извън съня, младите хора прекарват в интернет или в разговори за мобилен телефон, което до 1995 г. не можеше да направи.

Така беше обаче 15-20 години след появата на предишните съдбоносни технологии. През 1845 г., след изобретяването на железниците, моделът на пътуване вече е различен от модела от 1830 г. През 1905 г., след изобретяването на електричеството, градските модели на работа в вечерно времеи забавлението бяха много различни от моделите от 1890 г. Така животът в провинциятаАмерика през 1925 г. с появата на Ford Model T е напълно различна, отколкото през 1910 г.

По този начин всяко от тези изобретения коренно промени някои аспекти от начина на живот, но в същото време те все още не ускориха процеса на изобретение и прогрес, като индустриалната революция. След разпространението на изобретенията животът стана различен, но темпото технически прогресбеше доста умерен. Интернет е като иновация от този тип: той значително промени живота ни, но не ускори промяната толкова, колкото индустриалната революция, и няма предпоставки за това. Всъщност, с основание може да се твърди, че поколението, което е станало свидетел на повечето революционни промени, е живяло по времето на моята пралеля Беатрис, която е родена през 1889 г. и умира през 1973 г. В дните на нейното детство са се използвали газово осветление и теглещи коне, а в напреднала възраст те вече са летели с мощ и сила на самолети и са посещавали Луната.

Гледайки напред, има три възможни технологични постижения с потенциал да ускорят темпото на промяна, дори и да не причиняват особености. Това е: направата на машина по -умен от човека, откриването на методи за манипулиране на гени, които могат да увеличат познавателните способности на човек, както и открития от техническо, медицинско или генетично естество, които могат да доведат до значително увеличаване на продължителността на човешкия живот.

Възможността за поява на супер-робот се счита за най-популярната причина за предполагаемата особеност, но при по-внимателно проучване се оказва, че е малко вероятно да доведе до такава. Теоретиците на единичността обичат да цитират Закона на Мур, теория, предложена от От Гордън Мурпрез 1965 г., според който скоростта на компютърната обработка се удвоява на всеки две години. В действителност обаче ние сериозно се доближаваме до границата на тази прогресия; ограничаващи фактори са скоростта на светлината, енергията, необходима за работа на микропроцесори (които генерират топлина), дължината на вълната на електромагнитното излъчване и размерът на атомните структури.

След няколко поколения, според закона на Мур, ще се доближим до временна бариера, която значително ще усложни напредъка, а след 5-6 поколения, съгласно същия закон, ще се доближим до постоянна бариера, отвъд която, с представителен този моменттехнологичният прогрес ще бъде невъзможен. Трябва да се признае, че по-нататъшният напредък в областта на компютърното разузнаване е постижим чрез подобряване на програмирането и архитектурата с масивен паралелизъм, но реалността е, че след напредъка на 2015-2020 г. в тази област ще започне значително ЗАБАВЯНЕ, а не ускорение. Точно както последната наистина революционна промяна в дизайна на автомобила беше изобретението на автоматичната трансмисия през 1939 г., очевидно безкрайният напредък в дизайна на машините постепенно ще достигне естествената си граница.

Генното инженерство за подобряване на човешката интелигентност несъмнено ще промени нашия свят, но това вероятно ще се случи много отдавна, защото такива промени ще бъдат силно противопоставени от повечето западни религиозни групи и правителства. Дори простото клониране, което е просто възпроизвеждане на съществуващ индивид, не е напреднало много за десет години и може да бъде забавено от цяло поколение в бъдеще. Дори и с одобрението на правителствата, проверките за безопасност, необходими преди началото на експериментите за разширяване на разузнаването, има възможност първите такива тестове просто да доведат до повишаване на разузнаването до сегашното му ниво, а не до разширяване . Освен това, поради биологичната нужда на тези деца да узреят до 15 -годишна възраст, получаване висше образованиепрез следващите 5-10 години резултатът от тези промени ще се появи не по-рано от 50 години в бъдеще. В този смисъл супер робот, бил той реален, може да бъде създаден по -бързо, тъй като веднага ще стане възрастен! Като се има предвид факта, че първите инстанции на Подобрения Човек ще представляват малка част от човешката / новата човешка раса, става ясно, че не следва да се очаква никакво макро ускорение оттук до следващия век.

Трето потенциална технология, удължаване на живота, е по -интересно. Технически, всеки значителен ефект (с изключение на медицинския напредък, който увеличава процента на хората, живеещи до 90-100 години), вероятно ще изисква подобни умения, за да създаде живот с повече високо нивоинтелигентност. Тази област обаче ще се сблъска с много по -малко противопоставяне на лудитите от политици и религиозни водачи, тъй като ползите от по -дълъг живот са ясни и теоретично универсални. От друга страна, ще бъде много по-трудно да се увеличи продължителността на живота на вече живеещите, отколкото да се създадат нови хора-столетници и най-вероятно това ще се случи по-късно.

Оказва се, че до 2050 г. вероятно ще можем да родим деца, които ще живеят 150-200 години (тоест повече, отколкото е необходимо, за да можем да преодолеем ограниченията, за които все още не знаем, защото те не засягат дълголетни). След известно време след това ще се научим поне частично да увеличим продължителността на живота на вече съществуващи хора. Като се има предвид потенциалното огромно търсене на такива технологии, те трябва бързо да се разпространят сред повечето хора, тъй като масовото производство ще намали разходите им до приемливи нива.

Въпреки това, въпреки че удължаването на жизнения цикъл значително ще подобри живота на човека, това няма да ускори напредъка. Столетниците няма да започнат работа едва след 25, защото ще получат по -цялостно образование от нас. След като отидат на работа, те ще бъдат по-малко склонни към риск и по-търпеливи от нас, тъй като закъснението ще консумира по-малко от остатъка от живота им. На свой ред, дори без по-нататъшно ускорение, те ще се нуждаят от превъзпитание на всеки 20-25 години, така че трудовите им умения да нямат време да станат безнадеждно остарели. Тъй като разходите за тях в условията на бърза промяна ще бъдат повече, отколкото за нас, а ползите са по -малки, те самите ще искат да забавят напредъка. Само в комбинация с по-високо ниво на интелигентност те ще могат да приемат главозамайващите постреволюционни темпове на промяна.

В този момент обмислях възможно ускоряване на положителните промени. Съществува обаче възможност за катастрофално негативни промени, които могат да върнат цивилизацията, стандарта на живот и знанията на по -примитивно ниво. Един възможен източник на това е Световна войнавероятно различно от това, което беше преди 50 години. Друг фактор може да бъде екологична катастрофа... Тук не се предвижда нищо добро. Настоящият необратим прираст на населението, който вероятно ще се забави, но няма да спре до 2050 г., ще бъде влошен от откритията, които доведоха до увеличаване на продължителността на живота с до 200 години, както поради намаляване на броя на смъртните случаи, така и поради до увеличаване на плодовитостта поради факта, че способността за възпроизвеждане ще продължи 100 години. Дали глобалното затопляне е сериозен проблем в свят с население от 7 до 10 милиарда, все още е въпрос, но той несъмнено ще се превърне в сериозен проблем в свят с население от 20 милиарда (и изчерпването на ресурсите ще съответно , представляват по -реална опасност). Съответно основният приоритет трябва да бъдат мерки за забавяне на растежа на населението или, още по -добре, връщане към спад. В крайна сметка, до последната особеност световно населениебеше само 1 милиард; на това ниво, нашите проблеми с околен святи ресурсите ще изчезнат.

Освен възможността за срив, две или три вероятни технологични развития през следващите 50 години - достигане на границата на закона на Мур и увеличаване на продължителността на живота - ще забавят темпото на промяна, вместо да го ускорят. Само третият вариант - генетично подобрена интелигентност - има потенциал да ускори напредъка, но системното противопоставяне на тази технология вероятно ще я забави за много дълго време. Следователно кривата на човешкото развитие през 21 век ще бъде по -скоро асимптотична [ограничена], отколкото експоненциална.

Здравейте! Днес ще се опитаме да разберем какво е експоненциален растеж. Експоненциалният растеж е експоненциално увеличение на стойността. Стойността расте със скорост, пропорционална на нейната стойност. Това означава, че за всяко експоненциално нарастващо количество, колкото повече стойност приема, толкова по -бързо расте. Нека разгледаме един пример. Може би си спомняте от биологията, че бактериите се размножават МНОГО бързо. Нарастването на бактериалната популация е аналогично на нарастването на непрекъснато начислените лихви. Ще покажа това, когато решим проблема. И така, това е нашата експоненциална задача за растеж. Ето условието: на начална фаза бактериалната колония съдържа 100 клетки и тя започва да расте пропорционално на нейния размер. След 1 час броят на клетките се увеличава до 420. Първо, трябва да намерим израз, който показва броя на бактериите в t часа. Нека се заемем с това. Броят на бактериите е, може да се каже, функция на времето. Нека го наречем б. Така че, нека го запишем. Броят на бактериите в зависимост от t може да бъде записан като b (t). Ще го напиша тук: b (t). По този начин броят на бактериите в зависимост от времето е равен на: първоначалния брой бактерии, тоест I е нула (ако направим аналогия с лихва, това е тялото на заема). В този случай това е сумата, с която започваме. След това имаме число e в степента на kt, където k е вид експоненциален растеж. Това е I нула, с други думи, първоначалната сума. t = 0, тъй като в началния момент от време времето е равно на нула, което означава, че цялата степен е равна на нула, а целият израз тук е равен на единица. Логично е, а? b (0) трябва да е равно на I нула. Следователно, ако знаете с коя стойност да започнете, както и с втората стойност, тогава можете да намерите k. След това замествате намерената стойност вместо k - и сега сте завършили първата точка на задачата: намерете израз, който показва броя на бактериите в t часа. Та въпросът ми е какво съм нула? Знаем този номер. Ето проблема: в началния етап бактериалната колония съдържа 100 клетки. Следователно знаем, че b (0) е равно на 100. Нека го запиша по различен начин: b (0) = I нула * e до степен 0 = I нула. Следователно броят на бактериите при t = 0 е 100. Тук сме постигнали известен напредък в разтвора. Сега можем да кажем, че b (t) = 100 * e до степента на kt. По този начин, ако имаме k, тогава бихме могли да изпълним първата част от задачата: намерете израз, който показва броя на бактериите в t часа. Как да намерим k? Но тук имаме втората стойност на броя на бактериите: след 1 час броят на клетките се увеличава до 420 броя. Какво ни казва това? Това b (1) т.е. населението след 1 час е 420 броя, или е равно на 100 * e на силата на kt. Какво е т? t = 1, следователно, умножете по e до степента на k. По този начин 420 = 100 * e до степента на k. Сега можем да намерим k. Нека започнем, като разделим двете страни на равенството на 100. Така 4.2 ... Вероятно ще разменя страните на равенството. Така че, e в степента на k е 4.2. Сега, за да намерим k, трябва да вземем естествените логаритми от двете страни. Така k = ln (4,2). В резултат на това ще получим някакво число. Ще го намерим по -късно с калкулатор. И така, първо заменихме стойността 100 в този израз, разбрахме какво е равно на нула и с помощта на допълнителни данни намерихме k: k = ln (4,2). Сега имаме израз, тъй като знаем k и I като нула. Следователно, тук е отговорът на първия елемент от задачата: функцията b (t) е равна на: първоначалната сума, тоест 100, умножена по e до степента на kt, и тъй като k = ln (4, 2), получаваме e в степента (ln (4, 2)) * t. Ето как изглежда нашата функция. Сега нека да преминем към втората точка от нашата задача. Ето го и втората точка: намерете броя на бактериите за 3 часа. Това е лесно и лесно да се направи. Имаме функция и t = 3, така че можем да намерим броя на бактериите за 3 часа. И така, b (3) = 100 * e към степента (ln (4.2) * 3). И можем да изчислим стойността на този израз, ако, разбира се, имате калкулатор. На какво е равно естествен логаритъм 4.2? Всъщност можем да намерим стойността аналитично. Така че, това е същото като умножаване на 100 по e до степента на ln (4.2) и всичко това е в третата степен, защото ако се умножат две степени, това е еквивалентно на повишаване на степен, което означава, че повишаваме до третата степен ... И ако опростим тук, тогава всичко е ясно. И какво е равно на e на степента на ln (4.2)? Това е 4.2, нали? Естественият логаритъм ни казва колко е трябва да се повиши, за да се получи 4.2. Виж, дори мога без калкулатор. Следователно, 100 * (4,2) в трета степен. И сега трябва да разберем колко (4.2) ще бъде в третата степен. Ще бъде около 70. Нека се справим с това по -късно. Ето отговора на втората точка от нашата задача. Можете да намерите стойността с помощта на калкулатор. Можете да го направите сами. Каква е третата точка? Сега трябва да намерим скоростта на растеж след 3 часа. Какво искат от нас в този момент? Трябва да намерим наклона на тази функция. С други думи, трябва да намерим производната на тази функция при t = 3. Позволете ми да изтрия всичко тук, тъй като вече сме изпълнили тези задачи. Тук просто трябва да разчитате на калкулатор. Готов. Така че, нека преминем към третата точка. Трябва да намерим темповете на растеж, тоест производната на тази функция. И така, производната на функцията b ’(t) е равна на ... На какво е равна? Нека използваме правилото на веригата, т.е. принципът на диференциране на сложна функция. Така че, тъй като 100 е константа, можем да напишем 100 преди функцията. Производната на този израз е равна на ln (4.2), умножена по производната e до степента на ln (4.2) * t. Намерихме темповете на растеж при t и трябва да разберем на какво ще бъде равен при t = 3. Следователно b ’(3) = 100 * ln (4,2) и умножаваме всичко това по e до степента на ln (4,2) * t. И вече казахме, че този израз е просто равен на (4.2) на степента на t. И така, тук умножаваме по (4.2) към третата степен. Както можете да видите, ние засегнахме темата за логаритмите тук. Е, тогава всичко е лесно и просто: заменихме стойността 3 вместо t. Надявам се, че разбирате. Е, ако не, тогава можете просто да използвате калкулатор. Но според мен трябва да знаете това: e в степента (ln x) = x. В края на краищата, какво е (ln x)? Това е степента, до която e трябва да се повиши, за да се получи x. С други думи, ако повиша e до степента на x, получавам x. Това е всичко, което исках да кажа. Така че e към степента ((ln (4.2) към t) = (4.2) към степента t. Както можете да видите, мога да пренапиша първоначалния ни израз, както следва: 100 * (4.2) към t степента. Току -що опростихме отговора за първия елемент от заданието. Така ще бъде по -добре. Това би улеснило намирането на решение на втората точка. Е, що се отнася до третата точка, тук е по -добре да оставите всичко както е, тъй като е много по -лесно да се намери производната на този израз. Можем да препишем този израз като: b ’(t) = (100 * ln (4,2)) * (4,2) към t степента. Затова просто промених този израз на този. Съжалявам, вече го скицирах. И накрая, стигаме до последната точка от нашата задача: намерете времето, след което броят на бактериите ще достигне 10 000. Позволете ми вероятно да изтрия решението до третата точка. Колко време отнема броят на бактериите да достигне 10 000? Нека първо опростим изражението си. И така, b (t) = 100 * e към степента (ln (4.2) * t). И това е равно, както казах, 100 * (4,2) ^ t. Питат ни кога броят на бактериите ще достигне 10 000. С други думи, при каква стойност на t функцията b (t) е равна на 10.000. И така, 10.000 = 100 * e до степента на ln (4.2) * t. Нека видим какво имаме тук. Можем да разделим двете страни на равенството на 100. Следователно 100 = e на степента (ln (4,2) * t). Сега можем да напишем двете части като естествени логаритми. Какво можем да направим тук? Ще взема друг цвят, ln100 е ... и ако вземем естествения логаритъм на e до известна степен, тогава получаваме само естествения логаритъм на стойността на тази степен. С други думи, остава ни само логаритъмът на израза, който е в сила. Нека запишем следното: ln100 = ln (4,2) * t. И за да намерим t, трябва да разделим двете страни на равенството на ln (4,2). Следователно, t = (ln100) / (ln (4,2)) Така намираме времето, след което броят на бактериите ще достигне 10 000. Остава само да вземете калкулатор и да намерите стойността на този израз. Нека сега, за забавление, да разгледаме опростена версия на нашия израз. И така, какво бихме получили: 100 * (4,2) до степента на t = 10.000. Разделяме двете страни на равенството на 100. Следователно, (4.2) на степента t = 100. И за да разрешим това, трябва да изведем логаритъма до основата 4.2. Следователно, t е равно на логаритъмна основа 4.2 от 100. Ще се върнем към това във видеото за свойствата на логаритъма. Много е важно да знаете как можете да изчислите логаритъма до основата на число. Тъй като на калкулатор можете да намерите само логаритъма към основата e или 10. Но как да намерите логаритъма към основата на всяко друго число? Отговорът ми е много прост: просто вземате естествения логаритъм от 100 и го разделяте на естествения логаритъм на тази стойност. Алтернативно, десетичният логаритъм е 100 и разделен на десетичния логаритъм от 4.2. Това е всичко, на това вероятно ще приключим, така че всичко в главата ви да не се обърка. Така че в този урок разгледахме експоненциалния растеж. Можем да напишем „първоначалната сума на вноската е 100 и расте пропорционално на нейния размер“ вместо „колония от бактерии“. Тогава това ще бъде сложна лихва. И тук бихме могли да кажем, че „след 1 час сумата се увеличи с, да речем, 4, 2 долара. В такъв случай бихме търсили постоянен интерес. Като цяло е същото. Няма значение какво точно обмисляме. В бъдеще ще покажа още няколко примера по тази тема и ще разгледаме и проблема с експоненциалното разпадане. Ще се видим скоро!

Лабораторна работа No1.

"Динамика на населението".

Моделиране на динамиката на населението с помощта на изчислителна програма

Цел на работата:Изучете моделите на динамиката на населението, използвайки изчислителна програма.

Допуснат до работа

Аз свърших работата

Той защитаваше работата си

2010 Г.

1 ТЕОРЕТИЧНО ВЪВЕДЕНИЕ

Според определението на известния руски еколог С. С. Шварц, населениеЕлементарна група от организми от определен вид, която има всички необходими условия за поддържане на числеността си дълго времев постоянно променяща се среда.

Популацията, както всяка отворена биологична система, се характеризира с определена структура, растеж, развитие, устойчивост на абиотични и биотични фактори.

Най-важният показател за благосъстоянието на популацията (стабилност), нейната роля във функционирането на естествена екосистема е нейният размер.

Размерът на популацията се определя главно от две явления - плодовитост и смъртност, както и миграция.

Плодовитост - броят на новите индивиди, които се появяват за единица време в резултат на възпроизводството.В процеса на размножаване броят на индивидите се увеличава, теоретично той е способен на неограничен растеж на броя.

Има различни видове промени в броя на индивидите в популацията в зависимост от времето (динамиката на популацията). В най -простите случаи динамиката на популацията може да бъде описана чрез прости математически модели, които позволяват да се предскажат промени в броя на индивидите.

1. Експоненциален растеж на числата.

Предложен е един от най -ранните модели на растеж на населението Т. Малтус 1798 г., в добре познатото произведение „За принципите на населението“. Този модел е кръстен експоненциалензависимостиприраст на населението (крива на експоненциален растеж). Този модел предполага неограничено количество природни ресурси,достъпни за хората от населението, и липсата на каквито и да било ограниченияза нарастване на населението. При такива допускания броят на индивидите в популацията се увеличава според степенна зависимост, т.е. много бързо и неограничен.

Ако обозначим с н 0 броя на индивидите в популацията и началния момент от времето (T 0 ), и след N t броят на индивидите в определен момент от време T (t> t 0). След това промяната в числото ∆N през интервала от време ∆ T. тези. темпът на растеж на населението ще бъде равен на:

(1)

Израз (1) показва средния темп на растеж на населението. В екологията на популацията обаче по -често се използва не абсолютният среден процент, а скоростта на растеж на организъм (специфичен процент):

(2)

Този индикатор ви позволява да сравнявате стойностите на промяната в броя на популациите с различни размери. В този случай броят се определя като темп на нарастване от един индивид за определен период от време.

Преминаване към ограничаващата форма на записване на скоростта при
0 и
и въвеждане на ново обозначение:

(3)

В израз (3) индекс rможе да се определи като мигновено специфично темп на нарастване на населението... За различни популации от един и същи вид този показател може да има различни стойности. Най -голямата от всички възможни стойности (r max) се нарича биотичен или репродуктивен потенциал на популацията.

Като се има предвид изразът (3), темпът на растеж на населението може да бъде описан чрез следния израз

(4)

Диференцирайки израза (4), получаваме, че във всеки момент от времето при условие r= снаст (постоянен темп на растеж) броят на индивидите в популацията ще бъде равен на:
(5)

Формула (5) описва експоненциален модел на растеж на населението, който графично има формата на крива (фиг. 1). Моделът на експоненциален растеж отговаря на условията неограничен растежброя на индивидите в популацията.

Ориз. един. Крива на експоненциален растеж на броя на индивидите в популацията

1. Модел на логистичен растеж

Максималният размер на популацията, който една екосистема е в състояние да поддържа за неопределено време при непроменени природни условия, се нарича капацитет на екосистематаза даден вид.

Промяна на населениетое връзката между биологичния потенциал (добавянето на индивиди) и съпротивлението на околната среда (смърт на индивиди, смъртност). Факторите на устойчивост на околната среда водят до увеличаване на смъртността и кривата на населението достига плато или дори намалява, ако популационната експлозия е причинила изчерпването на жизненоважни ресурси на екосистемата. Кривата на растеж на населението под въздействието на околната среда придобива С-образно изглед (фиг. 2).

Ориз. 2 . S-образен модел на растеж на населението

Така при естествени условия неограниченият растеж е невъзможен и рано или късно размерът на популацията ще достигне границата сикоято е дефинирана среден капацитет(пространствени, хранителни и др.). Ако обозначим с възможно най -големия брой индивиди в популацията определена стойност K (среден капацитет) и въвеждане на корекционен коефициент, който взема предвид "съпротива"нарастването на населението под формата на съотношение:

,

тогава уравнението за такъв случай ще бъде записано на форма:

(7)

Решението на това диференциално уравнение ще има формата

(8)

където но -константата на интегриране, която определя позицията на функцията спрямо произхода на координатите, тя може да бъде намерена от израза (при условие, че r= const).

(9)

Израз (8) описва т.нар крива на логистичния растеж(фиг. 2). Това е вторият най -прост математически модел на динамиката на населението при условие на горната граница на броя и устойчивостта на околната среда към нарастването на броя. Според този модел размер на популацията в първатаетап расте достатъчно бързо, но след това темпът на растеж на населението се забавя истава безкрайно малък близо до стойносттаДА СЕ (логистичната крива асимптотично се доближава до хоризонталата ДА СЕ).

1. Класове нелинейни регресии.

2. Параболична форма на зависимост.

3. Хиперболична форма на зависимост.

4. Експоненциална форма на зависимост.

5. Зависимост на властта.

Между икономическите явления има нелинейни връзки, които се изразяват с помощта на нелинейни функции.

Има два класа нелинейни регресии:

1. Регресии, които са нелинейни по отношение на обяснителните променливи, включени в анализа, но линейни по отношение на изчислените параметри. Примери за такива регресии са функции:

Полиноми с различна степен;

Равностранна хипербола.

2. Нелинейните регресии по изчислените параметри включват следните функции:

Степен;

Показателен;

Експоненциална.

Нелинейната регресия за включените променливи се определя, както при линейната регресия, чрез метода на най-малките квадрати (OLS), тъй като тези функции са линейни по параметри.

1. Параболична форма на зависимост.

Уравнението за регресия на парабола от втори ред е следното:

Нормалните уравнения на метода на най -малките квадрати за параболичната зависимост са както следва:

Решавайки тази система от уравнения, получаваме стойностите на параметрите а, би ° С.

Парабола от втора степен при б > 0 и с< 0 е симетрично спрямо максималната точка, която променя посоката на връзката, а именно покачване за падане. Този вид функция може да се наблюдава в икономиката на труда, когато се изследва зависимостта на заплатите на физическите работници от възрастта; с увеличаване на възрастта заплатите се увеличават поради едновременното увеличаване на опита и квалификацията на работника. Въпреки това, от определена възраст, поради стареенето на тялото и намаляване на производителността на труда, по -нататъшното увеличаване на възрастта може да доведе до намаляване на заплатите на служителя.

При б < 0 и c> 0, параболата от втори ред е симетрична по отношение на минимума на функцията в точката, която променя посоката на връзката, а именно намалява с растежа.

2. Хиперболична форма на зависимост.

Уравнението на хипербола регресия е следното:

От системата на нормалните уравнения по метода на най -малките квадрати за хиперболата:

се определят стойностите на коефициентите на уравнението за хиперболична регресия аи б.

Хиперболичната зависимост може да се използва на микро и макро нива - например за характеризиране на връзката между специфичното потребление на суровини, материали, гориво и обема на продукцията, времето на обращение на стоките от стойността на оборота. Класически пример за това е кривата Филипс, характеризираща връзката между равнището на безработица и процента на нарастване на заплатите.

Помислете за регресия, която е нелинейна в изчислените параметри

3. Експоненциална форма на зависимост.

Общ изглед на уравнението на експоненциалната регресия:

За да се опрости алгоритъмът за обработка на извадката, линеаризацията на уравнението на експоненциалната регресия се извършва чрез вземане на логаритъма на второто от представените уравнения

След подмяна Ин yна z, Оказва се линейно уравнениемил:

z= а+ bx.

определя параметрите на уравнението на регресията аи б. Извършвайки обратната подмяна, получаваме емпиричните стойности на получената характеристика.

4. Степенна форма на зависимост.

Общ изглед на уравнението за регресия на мощността:

Приемането на логаритъма на това уравнение го довежда до линейна форма:

Оценки на параметрите аи б уравнения могат да бъдат намерени чрез най -малките квадрати. Системата на нормалните уравнения има вида:

Параметър бсе определя от системата, а параметърът а- чрез потенциране на израза Ина.

Индикаторът за херметичността на нелинейната корелация е корелационният индекс, изчислен по формулата:

,

където са индивидуалните стойности причрез уравнението на ограниченията.

Индексът на корелация е в диапазона: 0 < R < 1 и какво по -близо до едно, колкото по -близка е връзката на разглежданите характеристики, толкова по -надеждно е намерено уравнението на регресията.

Детерминационен индекс R 2 се използва за тестване на статистическата значимост на цялостното уравнение на нелинейна регресия чрез теста на Фишър.