Энгийн функцийг ялгах томьёо. Ялгах томъёо ба дүрэм (үүсмэлийг олох)

"A авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай хүргэлтМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалт 60-65 оноо. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн үндсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Шалгалтанд 90-100 оноо өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) -ийг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ нь шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Танд хэрэгтэй бүх онол. Хурдан арга замуудшалгалтын шийдэл, занга, нууц. FIPI-ийн даалгаврын банкнаас 1-р хэсгийн холбогдох бүх даалгаврыг задалсан. Хичээл нь 2018 оны шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь, энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгдөг.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Бүх төрлийн USE даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Заль мэхшийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, градус ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдлийн үндэс хэцүү даалгаварШалгалтын 2 хэсэг.

y = f (x) функцийг X интервалд тодорхойл. Дериватив x o цэг дээрх у = f (x) функцийг хязгаар гэнэ

Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал,дараа нь f (x) функц дуудагдана ялгах боломжтойцэг дээр х о; цаашилбал энэ үед зайлшгүй бөгөөд тасралтгүй болж хувирдаг.

Хэрэв авч үзсэн хязгаар нь ¥ (эсвэл - ¥) бол тухайн цэг дээрх функц х отасралтгүй бол f (x) функц цэг дээр байна гэж бид хэлдэг x o хязгааргүй дериватив.

Деривативыг тэмдгээр тэмдэглэнэ

y ¢, f ¢ (x o),,.

Деривативыг олох гэж нэрлэдэг ялгахфункцууд. Деривативын геометрийн утгадериватив нь юм налууөгөгдсөн цэг дэх y = f (x) муруйтай шүргэгч х о; физик утга -замын цаг хугацааны дериватив нь t o агшинд шулуун шугаман хөдөлгөөн дэх хөдөлж буй цэгийн агшин зуурын хурд s = s (t) байна.

Хэрэв хамтнь тогтмол тоо бөгөөд u = u (x), v = v (x) нь зарим дифференциалагдах функцууд юм дагаж мөрдөх дүрэмялгах:

1) (в) "= 0, (cu)" = cu ";

2) (u + v) "= u" + v ";

3) (uv) "= u" v + v "u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) хэрэв y = f (u), u = j (x), i.e. y = f (j (x)) - нарийн төвөгтэй функц,эсвэл суперпозиция j ба f дифференциалагдах функцүүдээс бүрдэх, дараа нь, эсвэл

6) хэрэв y = f (x) функцийн хувьд урвуу дифференциал болох x = g (y) функц байгаа бол ¹ 0 байна.

Деривативын тодорхойлолт ба ялгах дүрэмд үндэслэн үндсэн элементийн функцүүдийн хүснэгтийн деривативуудын жагсаалтыг гаргах боломжтой.

1. (у м) "= м у м - 1 у" (m Î Р).

2. (a u) "= a u lna × u".

3. (e u) "= e u u".

4. (log a u) "= u" / (u ln a).

5. (ln u) "= u" / u.

6. (sin u) "= cos u × u".

7. (cos u) "= - sin u × u".

8. (tg u) "= 1 / cos 2 u × u".

9. (ctg u) "= - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u) "= u" /.

11. (arccos u) "= - u" /.

12. (arctan u) "= u" / (1 + u 2).

13. (arcctg u) "= - u" / (1 + u 2).

Бид экспоненциал илэрхийллийн деривативыг тооцоолно
y = u v, (u> 0), хаана уболон v-аас функцийн мөн чанар NSтухайн цэг дээр деривативтай байх чи",v ".

y = u v тэгш байдлын логарифмыг авбал ln y = v ln u болно.

Деривативуудыг харьцуулан тэгшитгэх NS 3, 5-р дүрэм, логарифмын деривативын томъёог ашиглан олж авсан тэгш байдлын хоёр талаас бид дараахь зүйлийг авна.

y "/ y = vu" / u + v "ln u, хаанаас y" = y (vu "/ u + v" ln u).

(u v) "= u v (vu" / u + v "ln u), u> 0.

Жишээлбэл, хэрэв y = x sin x бол y "= x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Хэрэв y = f (x) функц цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол х, өөрөөр хэлбэл Энэ үед төгсгөлөг дериватив байна у ", тэгвэл = y "+ a, энд Dх® 0-ийн хувьд a®0; иймээс D y = y" Dх + a x.

Dx-тэй харьцуулахад шугаман функцийн өсөлтийн үндсэн хэсгийг нэрлэнэ дифференциал функцба dy-ээр тэмдэглэнэ: dy = y "Dх. Хэрэв бид энэ томьёонд y = x-г оруулбал dx = x" Dх = 1 × Dх = Dх гарна, иймээс dy = y "dx, өөрөөр хэлбэл, y "dx" гэсэн тэмдэглэгээ болно. үүсмэлийг бутархай гэж үзэж болно.

Функцийн өсөлт D yмуруй ординатын өсөлт ба дифференциал d yнь шүргэгчийн ординатын өсөлт юм.

y = f (x) функцийн дериватив y ¢ = f ¢ (x) функцийг оллоо гэж бодъё. Энэ деривативын деривативыг нэрлэдэг хоёрдугаар эрэмбийн деривативфункц f (x), эсвэл хоёр дахь дериватив,ба -аар тэмдэглэгдсэн байна.

Дараахь зүйлийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэв.

Гурав дахь дарааллын дериватив - ,

дөрөв дэх дарааллын дериватив -

мөн ерөнхийдөө n-р эрэмбийн дериватив - .

Жишээ 15. y = (3x 3 -2x + 1) × sin x функцийн уламжлалыг үнэл.

Шийдэл. 3-р дүрмээр бол y "= (3x 3 -2x + 1)" × sin x + (3x 3 -2x + 1) × (sin x) "=
= (9x 2 -2) sin x + (3x 3 -2x + 1) cos x.

Жишээ 16... y ", y = tg x + -г ол.

Шийдэл.Нийлбэр ба хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглан бид: y "= (tgx +)" = (tgx) "+ ()" = + = болно.

Жишээ 17.Деривативыг ол нарийн төвөгтэй функцу =,
u = x 4 +1.

Шийдэл.Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу бид дараахь зүйлийг авна: y "x = y" u u "x = ()" u (x 4 +1) "x = (2u +. u = x 4 + 1 тул дараа нь)
(2 х 4 +2+.

Жишээ 18.

Шийдэл.Бид y = функцийг y = e u ба u = x 2 гэсэн хоёр функцийн суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлдэг. Бидэнд: y "x = y" u u "x = (e u)" u (x 2) "x = e u × 2x. Орлуулах x 2оронд нь у, бид y = 2x болно.

Жишээ 19. y = ln sin x функцийн уламжлалыг ол.

Шийдэл. u = sin x гэж тэмдэглэвэл y = ln u нийлмэл функцийн деривативыг y "= (ln u)" u (sin x) "x = томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 20. y = функцийн деривативыг ол.

Шийдэл. 5-р дүрмийг дараалан хэрэглэснээр хэд хэдэн давхцалаас үүссэн нарийн төвөгтэй функцийг дуусгах болно.

Жишээ 21... y = ln деривативыг тооцоол.

Шийдэл.Логарифмыг авч, логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

y = 5 / 3ln (x 2 +4) + 7 / 3ln (3x-1) -2 / 3ln (6x 3 +1) -1 / 3tg 5x.

Сүүлийн тэгш байдлын хоёр талыг ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

2.2. Эдийн засаг дахь ахиу дүн шинжилгээ. Функцийн уян хатан байдал

Эдийн засгийн судалгаанд деривативыг илэрхийлэхийн тулд тусгай нэр томъёог ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, хэрэв f (x)байдаг үйлдвэрлэлийн функц, аливаа бүтээгдэхүүний гарц нь тухайн хүчин зүйлийн зардлаас хамаарах хамаарлыг илэрхийлдэг х, дараа нь f "(x)гэж нэрлэдэг ахиу бүтээгдэхүүн; хэрэв g (x)нь зардлын функц, өөрөөр хэлбэл функц юм g (x)нийт зардлын бүтээгдэхүүний хэмжээнээс хамаарах хамаарлыг илэрхийлдэг х, дараа нь g "(x)гэж нэрлэдэг зайлшгүй зардал .

Эдийн засаг дахь ахиу дүн шинжилгээ- үйлдвэрлэл, хэрэглээ гэх мэт хэмжээг өөрчлөх үед зардал, үр дүнгийн өөрчлөлтийн утгыг судлах арга техникүүдийн багц. тэдгээрийн хязгаарын утгын шинжилгээнд үндэслэн . Ихэнх хэсэг ньердийн статистик мэдээлэлд үндэслэн төлөвлөсөн тооцоог нийт дүнгийн хэлбэрээр хийдэг. Энэ тохиолдолд дүн шинжилгээ нь голчлон дундаж утгыг тооцоолоход оршино. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд хязгаарын утгыг харгалзан илүү нарийвчилсан судалгаа хийх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, тухайн бүс нутагт үр тарианы үйлдвэрлэлийн зардлыг ирээдүйд тооцохдоо үр тарианы ургацын хүлээгдэж буй хэмжээнээс хамааран зардал нь өөр байж болохыг харгалзан үздэг, учир нь үр тарианы ургацын хэмжээ хамгийн муу газар шинээр бий болсон. тариалалтад оролцвол үйлдвэрлэлийн зардал дүүргийн дундажаас өндөр байх болно.

Хэрэв хоёр үзүүлэлтийн хоорондын хамаарал vболон ханалитик байдлаар өгөгдсөн: v = f (x) - тэгвэл дундаж утга харилцаа юм v / x, a эцсийн- дериватив.

Хөдөлмөрийн бүтээмжийг олох.Функцийг зөвшөөр
u = u (t) үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг илэрхийлнэ уажиллаж байхдаа т... Тухайн хугацаанд үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээг тооцож үзье
Dt = t 1 - t 0: Du = u (t 1) - u (t 0) = u (t 0 + Dt) - u (t 0). Хөдөлмөрийн дундаж бүтээмжүйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээг зарцуулсан цаг хугацааны харьцаа гэж нэрлэдэг, i.e. z харьц = Du / Dt.

Ажилчдын бүтээмж t 0 үеийн z (t 0) нь z cf-ийн чиглэх хязгаар юм. Dt®0-д:. Хөдөлмөрийн бүтээмжийн тооцооллыг деривативын тооцоонд бууруулж байна: z (t 0) = u "(t 0).

Нэг төрлийн бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн зардал K нь бүтээгдэхүүний тоо хэмжээний функц юм х... Тиймээс бид K = K (x) гэж бичиж болно. Үйлдвэрлэлийн хэмжээ D-ээр нэмэгдлээ гэж бодъё NS... Үйлдвэрлэлийн зардал K (x + Dx) нь x + Dx бүтээгдэхүүний тоо хэмжээтэй тохирч байна. Улмаар үйлдвэрлэлийн хэмжээ нэмэгдэх Д NSүйлдвэрлэлийн зардлын өсөлттэй тохирч байна DK = K (x + Dх) - K (x).

Үйлдвэрлэлийн зардлын дундаж өсөлт нь DK / Dx байна. Энэ нь бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг нэмэгдүүлэхэд нэг нэгжид ногдох үйлдвэрлэлийн зардлын өсөлт юм.

Хязгаарыг гэж нэрлэдэг ахиу үйлдвэрлэлийн зардал.

Хэрэв бид -ээр тэмдэглэвэл у (х)борлуулалтын орлого хнэгж барааны, дараа нь гэж нэрлэдэг ахиу орлого.

Дериватив ашиглан та аргументийн өсөлттэй тохирох функцийн өсөлтийг тооцоолж болно. Олон тооны асуудалд хамааралгүй хувьсагчийн өсөлтийн хувьтай тохирч буй хамааралтай хувьсагчийн өсөлтийн хувийг (харьцангуй өсөлт) тооцоолох нь илүү тохиромжтой байдаг. Энэ нь функцийн уян хатан байдлын тухай ойлголтыг бидэнд авчирдаг (заримдаа гэж нэрлэдэг харьцангуй дериватив). Тэгэхээр у ¢ = f ¢ (x) дериватив байх y = f (x) функцийг өгье. Функцийн уян хатан байдал y = f (x) хувьсагчтай харьцуулахад ххязгаарыг дуудах

Үүнийг E x (y) = x / y f ¢ (x) = гэж тэмдэглэнэ.

Харьцангуй уян хатан байдал хбие даасан хувьсагчийн 1% -иар өссөнтэй харгалзах функцийн өсөлт (өсөлт эсвэл бууралт) ойролцоогоор хувиар байна. Эдийн засагчид үнийн мэдрэмжийн ойлголтыг ашиглан бүтээгдэхүүний үнийн өөрчлөлтөд хэрэглэгчдийн мэдрэмтгий байдлын түвшинг хэмждэг. Зарим бүтээгдэхүүний эрэлт нь хэрэглэгчдийн үнийн өөрчлөлтөд харьцангуй мэдрэмтгий байдгаараа тодорхойлогддог бөгөөд үнийн бага өөрчлөлт нь худалдан авсан бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг мэдэгдэхүйц өөрчлөхөд хүргэдэг. Ийм бүтээгдэхүүний эрэлт хэрэгцээг ихэвчлэн нэрлэдэг харьцангуй уян хатанэсвэл зүгээр л уян хатан. Бусад бүтээгдэхүүний хувьд хэрэглэгчид үнийн өөрчлөлтөд харьцангуй мэдрэмтгий байдаггүй, өөрөөр хэлбэл үнийн мэдэгдэхүйц өөрчлөлт нь худалдан авалтын тоо бага зэрэг өөрчлөгдөхөд хүргэдэг. Ийм тохиолдолд эрэлт хэрэгцээ харьцангуй уян хатан бусэсвэл зүгээр л уян хатан бус. Хугацаа төгс уян хатан бусэрэлт гэдэг нь үнийн өөрчлөлт нь хүссэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг өөрчлөхөд хүргэдэггүй онцгой тохиолдол юм. Үүний нэг жишээ бол өвчтөнүүдийн эрэлт хэрэгцээ юм цочмог хэлбэринсулины чихрийн шижин эсвэл хар тамхинд донтсон хүмүүсийн героины хэрэгцээ. Мөн эсрэгээр, хамгийн бага үнэ буурах үед худалдан авагчид худалдан авалтаа боломжийнхоо хязгаар хүртэл нэмэгдүүлэх үед бид эрэлт хэрэгцээ гэж хэлдэг. төгс уян хатан.

Экстремум функц

y = f (x) функцийг дуудна нэмэгдэх (буурч байна) зарим интервалд, хэрэв x 1 бол< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Хэрэв дифференциал болох y = f (x) функц нь интервал дээр нэмэгдэх (багарах) бол энэ интервал дээрх дериватив f ¢ (x)> 0 (f ¢ (x))< 0).

Оноо x тухайдуудсан цэг орон нутгийн дээд хэмжээ (хамгийн багаХэрэв цэгийн хөрш байгаа бол f (x) функцийн ) x тухай, бүх цэгүүдэд f (x) £ f (x о) (f (x) ³ f (x о)) тэгш бус байдал биелнэ.

Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүд дэх функцын утгууд нь түүнийх юм хэт туйлшрал.

Шаардлагатай нөхцөлэкстремум... Хэрэв цэг бол x тухайнь f (x) функцийн экстремум цэг бөгөөд f ¢ (x о) = 0, эсвэл f ¢ (x о) байхгүй байна. Ийм цэгүүдийг нэрлэдэг шүүмжлэлтэй,үүнээс гадна функц нь өөрөө чухал цэг дээр тодорхойлогддог. Функцийн экстремумыг түүний чухал цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл.Байцгаая x тухай- чухал цэг. Хэрэв f ¢ (x) цэгийг дайран өнгөрвөл x тухайнэмэх тэмдгийг хасах, дараа нь цэг дээр өөрчилнө x тухайфункц нь дээд талтай, эс тэгвээс хамгийн багатай. Хэрэв дериватив нь эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол цэг дээр x тухайтуйлшрал байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f (x) функц деривативтэй байг
f ¢ (x) цэгийн ойролцоо x тухаймөн хамгийн цэг дээр хоёр дахь дериватив x тухай... Хэрэв f ¢ (x о) = 0,> 0 (<0), то точка x тухай f (x) функцийн локал минимумын (хамгийн их) цэг юм. Хэрэв = 0 бол эхний хангалттай нөхцөлийг ашиглах эсвэл илүү өндөр деривативыг хэрэглэнэ.

Сегмент дээр y = f (x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрч болно.

Жишээ 22. f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл. f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3) тул функцийн критик цэгүүд x 1 = 2 ба x 2 = 3. Экстремум нь зөвхөн эдгээр цэгүүдэд байж болно. . x 1 = 2 цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив нь нэмэх тэмдгийг хасах болгон өөрчилдөг тул энэ үед функц хамгийн их утгатай байна. x 2 = 3 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив нь хасах тэмдгийг нэмэх гэж өөрчилдөг тул x 2 = 3 цэг дээр функц хамгийн бага байна. Функцийн утгыг цэгээр тооцоолох
x 1 = 2 ба x 2 = 3, бид функцийн экстремумыг олно: хамгийн их f (2) = 14, хамгийн бага f (3) = 13.

Жишээ 23.Чулуун хананы ойролцоо тэгш өнцөгт талбай барих шаардлагатай бөгөөд ингэснээр гурван талаас нь төмөр тороор хашсан, дөрөв дэх талд нь ханатай залгаажээ. Үүний тулд бий агүйлтийн метр торон . Талбайн талбайн хэмжээ ямар байх вэ?

Шийдэл.Бид сайтын талуудыг тэмдэглэнэ хболон y... Талбайн талбай нь S = xy байна. Байцгаая yхананд зэргэлдээх талын урт. Дараа нь болзолын дагуу 2x + y = a тэгшитгэл биелэх ёстой. Тиймээс y = a - 2x ба S = x (a - 2x), энд 0 £ x £ a / 2 (талбайн урт ба өргөн нь сөрөг байж болохгүй). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 хувьд x = a / 4, эндээс
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. x = a / 4 нь цорын ганц чухал цэг тул энэ цэгийг дайран өнгөрөхөд деривативын тэмдэг өөрчлөгдөх эсэхийг шалгая. x-ийн хувьд< a/4 S ¢ >0, мөн x> a / 4 S ¢-ийн хувьд<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

S тасралтгүй асаалттай бөгөөд S (0) ба S (a / 2) төгсгөлд байгаа утгууд нь тэгтэй тэнцүү тул олсон утга нь функцийн хамгийн том утга байх болно. Тиймээс асуудлын өгөгдсөн нөхцөлд сайтын хамгийн ашигтай харьцаа нь y = 2x юм.

Жишээ 24. V = 16p "50 м 3 багтаамжтай хаалттай цилиндр сав үйлдвэрлэх шаардлагатай. Савны хэмжээ (радиус R ба өндөр H) ямар хэмжээтэй байх ёстой бөгөөд үүнийг хийхэд хамгийн бага хэмжээний материал зарцуулдаг вэ?

Шийдэл.Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай нь S = 2pR (R + H) юм. Цилиндрийн эзэлхүүнийг бид мэднэ V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. Тиймээс S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). Энэ функцийн деривативыг ол:
S ¢ (R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). R 3 = 8-ийн хувьд S ¢ (R) = 0, тиймээс,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Энгийн функцүүдийн дериватив хүснэгт

Тодорхойлолт 1

Деривативын тооцоог гэж нэрлэдэг ялгах.

$ y "$ эсвэл $ \ frac (dy) (dx) $ деривативыг илэрхийлнэ.

Тайлбар 1

Функцийн деривативыг олохын тулд ялгах үндсэн дүрмийн дагуу түүнийг өөр функц болгон хувиргадаг.

Деривативын хүснэгтийг авч үзье. Функцууд деривативыг нь олсны дараа бусад функцууд болж хувирдаг болохыг анхаарна уу.

Цорын ганц үл хамаарах зүйл бол $ y = e ^ x $ бөгөөд энэ нь өөрөө болж хувирдаг.

Деривативыг ялгах дүрэм

Ихэнх тохиолдолд деривативыг олохдоо зөвхөн деривативын хүснэгтийг хараад зогсохгүй эхлээд ялгах дүрэм, бүтээгдэхүүний деривативын нотолгоог хэрэглэж, дараа нь үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг ашиглах хэрэгтэй.

1. Тогтмолыг деривативын тэмдгээс цааш гаргаж авна

$ C $ тогтмол (тогтмол).

Жишээ 1

$ y = 7x ^ 4 $ функцийг ялга.

Шийдэл.

$ y "= (7x ^ 4)" $ -г ол. Бид деривативын тэмдгийн хувьд $ 7 $ гэсэн тоог гаргаж аваад дараахь зүйлийг авна.

$ y "= (7x ^ 4)" = 7 (x ^ 4) "= $

Хүснэгтийг ашиглан та чадлын функцийн деривативын утгыг олох хэрэгтэй.

$ = 7 \ cdot 4x ^ 3 = $

Бид үр дүнг математикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрт шилжүүлнэ.

Хариулт:$ 28x ^ 3 $.

2. нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна:

$ (u \ pm v) "= u" \ pm v "$.

Жишээ 2

$ y = 7 + x-5x ^ 3 + 4 \ sin x-9 \ sqrt (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ cot x $ функцийг ялга.

Шийдэл.

$ y "= (7 + x-5x ^ 5 + 4 \ sin x-9 \ sqrt (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ cot x)" = $

Гарсан дүн ба зөрүүг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9 \ sqrt (x ^ 2)) "+ (\ frac (4) (x ^ 4) ) "- (11 \ cot x)" = $

ялгах явцад бүх зэрэг, үндэс нь $ x ^ (\ frac (a) (b)) $ хэлбэрт шилжих ёстойг анхаарна уу;

Деривативын тэмдгийн гаднах бүх тогтмолыг авна:

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9x ^ (\ frac (2) (5))) "+ (4x ^ (- 4) ) "- (11 \ cot x)" = $

$ = (7) "+ (x)" - 5 (x ^ 5) "+ 4 (\ sin x)" - 9 (x ^ (\ frac (2) (5))) "+ 4 (x ^ ( -4)) "- 11 (\ cot x)" = $

ялгах дүрмийг ойлгосны дараа тэдгээрийн заримыг (жишээлбэл, сүүлийн хоёр шиг) урт илэрхийлэлийг дахин бичихээс зайлсхийхийн тулд нэгэн зэрэг ашигладаг;

бид дериватив тэмдгийн дор анхан шатны функцүүдээс илэрхийлэл авсан; деривативын хүснэгтийг ашиглая:

$ = 0 + 1-5 \ cdot 5x ^ 4 + 4 \ cos x-9 \ cdot \ frac (2) (5) x ^ (- \ frac (3) (5)) + 12x ^ (- 5) - 11 \ cdot \ frac (-1) (\ sin ^ 2 x) = $

Бид математикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэлбэрт шилждэг:

$ = 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ син ^ 2 x) $

Үр дүнг олохдоо бутархайн зэрэгтэй нэр томъёог үндэс болгон, сөрөг утгатай үгийг бутархай болгон хувиргадаг заншилтай болохыг анхаарна уу.

Хариулах: $ 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ син ^ 2 x) $.

3. Функцийн үржвэрийн деривативын томъёо:

$ (uv) "= u" v + uv "$.

Жишээ 3

$ y = x ^ (11) \ ln x $ функцийг ялга.

Шийдэл.

Эхлээд бид функцийн үржвэрийн деривативыг тооцоолох дүрмийг хэрэглэж, дараа нь деривативын хүснэгтийг ашиглана.

$ y "= (x ^ (11) \ ln x)" = (x ^ (11)) "\ ln x + x ^ (11) (\ lnтx)" = 11x ^ (10) \ ln x + x ^ (11) \ cdot \ frac (1) (x) = 11x ^ (10) \ ln x- \ frac (x ^ (11)) (x) = 11x ^ (10) \ ln xx ^ (10) = x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

Хариулах: $ x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

4. Хэсэгчилсэн функцийн деривативын томъёо:

$ (\ frac (u) (v)) "= \ frac (u" v-uv ") (v ^ 2) $.

Жишээ 4

$ y = \ frac (3x-8) (x ^ 5-7) $ функцийг ялга.

Шийдэл.

$ y "= (\ frac (3x-8) (x ^ 5-7))" = $

Математикийн үйлдлүүдийн тэргүүлэх дүрмийн дагуу бид эхлээд хуваах, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх тул эхлээд хуваалтын деривативыг тооцоолох дүрмийг хэрэглэнэ.

$ = \ frac ((3x-8) "(x ^ 5-7) - (3x-8) (x ^ 5-7)") ((x ^ 5-7) ^ 2) = $

нийлбэр ба зөрүүний деривативын дүрмийг хэрэглэж, хаалтыг өргөжүүлж, илэрхийллийг хялбарчлах:

$ = \ frac (3 (x ^ 5-7) -5x ^ 4 (3x-8)) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ frac (3x ^ 5-21-15x ^ 5 + 40x ^ 4) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ frac (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

Хариулт:$ \ frac (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

Жишээ 5

$ y = \ frac (x ^ 7-2x + 3) (x) $ функцийг ялга.

Шийдэл.

y функц нь хоёр функцийн категори тул энэ хэсгийн деривативыг тооцоолох дүрмийг хэрэглэж болох боловч энэ тохиолдолд бид төвөгтэй функцийг авдаг. Энэ функцийг хялбарчлахын тулд та хуваагчийг хуваагч гишүүнээр хувааж болно.

$ y = \ frac (x ^ 7-13x + 9) (x) = x ^ 6-13 + \ frac (9) (x) $.

Хялбаршуулсан функцэд функцүүдийн нийлбэр ба ялгааг ялгах дүрмийг хэрэглэцгээе.

$ y "= (x ^ 6-13 + \ frac (9) (x))" = (x ^ 6) "+ (- 13)" + 9 (x ^ (- 1)) "= 6x ^ 5 + 0 + 9 \ cdot (-x ^ (- 2)) = $

$ = 6x ^ 5- \ frac (9) (x ^ 2) $.

Хариулах: $ 6x ^ 5- \ frac (9) (x ^ 2) $.

Доорх бүх томъёонд үсэг уболон vбие даасан хувьсагчийн дифференциал функцуудыг тэмдэглэв х: , , болон үсэг а, c, n- байнгын:

1.

3.

4.

5.

6.

Үлдсэн томьёо нь бие даасан хувьсагчийн функц болон нийлмэл функцүүдийн аль алинд нь бичигдсэн болно.

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7а.

8а.

9а.

11а.

12а.

13а.

16а.

17а.

Доорх жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ дэлгэрэнгүй тэмдэглэл хийсэн. Гэхдээ завсрын орцгүйгээр ялгаж сурах хэрэгтэй.

Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол .

Шийдэл. Энэ функц нь функцүүдийн алгебрийн нийлбэр юм. Бид үүнийг 3, 5, 7, 8-р томъёогоор ялгадаг.

Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. 6, 3, 7, 1 томъёог ашигласнаар бид олж авна

Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол ба түүний утгыг тооцоолох

Шийдэл. Энэ нь завсрын аргумент бүхий цогц функц юм. 7a ба 10-р томъёог ашиглан бид байна

.

Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол .

Шийдэл. Энэ нь завсрын аргумент бүхий цогц функц юм. 3, 5, 7a, 11, 16a томъёог ашигласнаар бид олж авна

Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол .

Шийдэл. Бид энэ функцийг 6, 12, 3, 1-р томъёогоор ялгадаг.

Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол ба түүний утгыг тооцоолох.

Шийдэл. Эхлээд бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан функцийг хувиргана.

Одоо бид 3, 16a, 7, 1-р томъёогоор ялгаж байна.

.

үед деривативын утгыг тооцоолъё.

Жишээ 7.Функцийн деривативыг олж, утгыг нь тооцоол.

Шийдэл. Бид 6, 3, 14a, 9a, 5, 1 томъёог ашигладаг.

.

Деривативын утгыг дараахь байдлаар тооцоолъё.

.

Деривативын геометрийн утга.

Функцийн дериватив нь энгийн бөгөөд чухал геометрийн тайлбартай байдаг.

Хэрэв функц цэг дээр ялгах боломжтой NS, тэгвэл энэ функцийн график харгалзах цэг дээр шүргэгчтэй байх ба шүргэгчийн налуу нь авч үзэж буй цэгийн деривативын утгатай тэнцүү байна.

Функцийн графикт зурсан шүргэгчийн налуу цэг дээр ( NS 0 , цагт 0), at функцийн деривативын утгатай тэнцүү байна x = x 0, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ шүргэгчийн тэгшитгэл нь байна

Жишээ 8... Шүргэх шугамыг функцийн графиктай тэнцүүл А цэг дээр (3.6).

Шийдэл. Шүргэгчийн налууг олохын тулд бид энэ функцийн деривативыг олно.

NS= 3:

Шүргэх тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

, эсвэл , өөрөөр хэлбэл

Жишээ 9.Абсцисс бүхий цэг дээрх функцийн графикт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл x = 2.

Шийдэл. Эхлээд хүрэх цэгийн ординатыг ол. А цэг нь муруй дээр байрладаг тул түүний координатууд муруйны тэгшитгэлийг хангана, өөрөөр хэлбэл.

; .

Нэг цэг дээрх муруй руу татсан шүргэгч шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна ... Шүргэгчийн налууг олохын тулд деривативыг олно.

.

Шүргэх шугамын налуу нь at функцийн деривативын утгатай тэнцүү байна NS= 2:

Шүргэх тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

, , өөрөөр хэлбэл

Деривативын физик утга.Хуулийн дагуу бие нь шулуун замаар хөдөлдөг бол s = s (t), дараа нь тодорхой хугацаанд (энэ мөчөөс тмөч хүртэл ) энэ нь ямар нэгэн байдлаар явах болно. Дараа нь тодорхой хугацааны хөдөлгөөний дундаж хурд байдаг.

Хурдтухайн цаг үед биеийн хөдөлгөөн тХугацааны өсөлт нь тэг болох хандлагатай байх үед замыг цаг хугацааны өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.

.

Тиймээс замын цаг хугацааны дериватив s тЭнэ нь тухайн үеийн биеийн шулуун хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.

.

Физик, химийн болон бусад үйл явцын үүсэх хурдыг мөн дериватив ашиглан илэрхийлдэг.

Функцийн дериватив нь аргументийн өгөгдсөн утгын хувьд энэ функцийн өөрчлөлтийн хурдтай тэнцүү байна NS:

Жишээ 10.Шулуун шугамын дагуух цэгийн хөдөлгөөний хуулийг томъёогоор тодорхойлно (s - метрээр, t - секундээр). Эхний секундын төгсгөлд байгаа цэгийн хурдыг ол.

Шийдэл. Тухайн үеийн цэгийн хөдөлгөөний хурд нь замын деривативтай тэнцүү байна сцаг хугацаагаар т:

,

Тиймээс эхний секундын төгсгөлд цэгийн хурд 9 м / с байна.

Жишээ 11.Босоо дээш шидэгдсэн бие хуулийн дагуу хөдөлдөг, хаана v 0 - анхны хурд, g- биеийн чөлөөт уналтыг хурдасгах. Цаг хугацааны аль ч агшинд энэ хөдөлгөөний хурдыг ол т... Хэрвээ бие нь хэр удаан өсөх, хэр өндөрт гарах вэ v 0= 40 м / с?

Шийдэл. Өгөгдсөн хугацаанд цэгийн хөдөлгөөний хурд тзамын деривативтай тэнцүү байна сцаг хугацаагаар т:

.

Өгсөх хамгийн дээд цэгт биеийн хурд тэг байна:

, , , , хамт.

40 гаруй / gсекундын дотор бие өндөрт гарна

, м.

Хоёр дахь дериватив.

Функцийн дериватив нь ерөнхийдөө функц юм NS... Хэрэв бид энэ функцийн деривативыг тооцоолвол функцийн хоёрдугаар эрэмбийн дериватив эсвэл хоёр дахь деривативыг авна. .

Хоёр дахь деривативфункцууд түүний анхны деривативын дериватив гэж нэрлэдэг .

Функцийн хоёр дахь деривативыг -,, тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тиймээс, .

Аливаа дарааллын деривативыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, гурав дахь эрэмбийн дериватив:

эсвэл ,

Жишээ 12. .

Шийдэл. Эхлээд эхний деривативыг олоорой

Жишээ 13.Функцийн хоёр дахь деривативыг ол ба түүний утгыг тооцоолох x = 2.

Шийдэл. Эхлээд анхны деривативыг олъё:

Дахин ялгаж үзвэл бид хоёр дахь деривативыг олно.

Хоёр дахь деривативын утгыг тооцоолъё x = 2; бидэнд байгаа

Хоёр дахь деривативын физик утга.

Хуулийн дагуу бие нь шулуун замаар хөдөлдөг бол s = s (t), дараа нь замын хоёр дахь дериватив сцаг хугацаагаар ттухайн үед биеийн хөдөлгөөний хурдатгалтай тэнцүү байна т:

Тиймээс эхний дериватив нь тодорхой үйл явцын хурдыг, хоёр дахь дериватив нь ижил үйл явцын хурдатгалыг тодорхойлдог.

Жишээ 14.Хуулийн дагуу цэг нь шулуун шугамаар хөдөлдөг ... Хөдөлгөөний хурд ба хурдатгалыг ол .

Шийдэл. Тухайн үеийн биеийн хурд нь замын деривативтай тэнцүү байна сцаг хугацаагаар т,ба хурдатгал нь замын хоёр дахь дериватив юм сцаг хугацаагаар т... Бид олдог:

; дараа нь;

; тэгээд

Жишээ 15.Шулуун шугамын хөдөлгөөний хурд нь явсан зайны квадрат язгууртай пропорциональ байна (жишээлбэл, чөлөөт уналт гэх мэт). Энэ хөдөлгөөн нь тогтмол хүчний нөлөөн дор явагддаг болохыг нотол.

Шийдэл. Ньютоны хуулийн дагуу хөдөлгөөнийг үүсгэгч F хүч нь хурдатгалтай пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл.

эсвэл

Нөхцөл байдлын дагуу, ... Энэ тэгш байдлыг ялгаж үзвэл бид олж мэднэ

Тиймээс үүрэг гүйцэтгэх хүч .

Функцийг судлах деривативын хэрэглээ.

1) Функцийг нэмэгдүүлэх нөхцөл: Дифференциалагдах функц y = f (x) нь X интервал дээр зөвхөн түүний уламжлал нь тэгээс их байвал монотон нэмэгдэнэ, өөрөөр хэлбэл. y = f (x) f ’(x)> 0... Энэ нөхцөл нь геометрийн хувьд энэ функцийн графикт шүргэгч нь oX тэнхлэгт эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэдэг гэсэн үг юм.

2) Функц буурах нөхцөл: Дифференциалагдах функц y = f (x) нь X интервал дээр зөвхөн түүний дериватив нь тэгээс бага бол монотон буурна, өөрөөр хэлбэл.

y = f (x) ↓ f '(x) Энэ нөхцөл нь геометрийн хувьд энэ функцийн графикт шүргэгч нь oX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэнэ гэсэн үг)

3) Функцийн тогтмол байдлын нөхцөл:Дифференциалагдах функц y = f (x) нь X интервал дээр зөвхөн түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд тогтмол байна, өөрөөр хэлбэл. y = f (x) - тогтмол f '(x) = 0.Энэ нөхцөл нь геометрийн хувьд энэ функцийн графикт шүргэгч нь oX тэнхлэгтэй параллель байна, өөрөөр хэлбэл, α = 0)

Функцийн экстремум.

Тодорхойлолт 1: x = x 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэгфункц y = f (x), хэрэв энэ цэг нь хөрштэй бол (цэгээс бусад) тэгш бус байдал нь f (x)> f (x 0) байна.

Тодорхойлолт 2: x = x 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэгфункц y = f (x) хэрэв энэ цэг нь бүх цэгүүд нь (цэгээс бусад) f (x) тэгш бус байдал бүхий хөрштэй бол.< f(x 0).

Тодорхойлолт 3: Функцийн хамгийн бага буюу максимум цэгийг цэг гэнэ экстремум... Энэ цэг дэх функцийн утгыг экстрим гэж нэрлэдэг.

Тайлбар: 1. Хамгийн их (хамгийн бага) нь функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх албагүй;

2. Функц нь хэд хэдэн максимум эсвэл минимумтай байж болно;

3. Сегмент дээр тодорхойлсон функц нь зөвхөн энэ сегментийн дотоод цэгүүдэд экстремумд хүрч чадна.

5) Экстремумын зайлшгүй нөхцөл:Хэрэв y = f (x) функц нь x = x 0 цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг буюу байхгүй байна. Эдгээр цэгүүдийг нэрлэдэг 1-р төрлийн чухал цэгүүд.

6) Функцийн экстремум байх хангалттай нөхцөл: y = f (x) функц нь X интервал дээр тасралтгүй байх ба энэ интервалын дотор х = x 0 төрлийн критик цэг 1 байвал:

a) хэрвээ энэ цэг нь x-ийн хөрштэй бол< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f '(x)> 0, тэгвэл x = x 0 цэг болно хамгийн багафункцууд y = f (x);

б) хэрэв энэ цэг нь x-ийн хувьд хөрштэй бол< х 0 f’(x) >0, мөн x> x 0-ийн хувьд

f '(x)< 0, то х = х 0 является точкой дээд тал ньфункцууд y = f (x);

в) хэрэв энэ цэг нь x 0 цэгийн баруун ба зүүн талд хоёуланд нь деривативын тэмдгүүд ижил байхаар хөрштэй бол x 0 цэг дээр экстремум байхгүй болно.

Функцийн буурах эсвэл нэмэгдэх интервалыг интервал гэнэ. нэг хэвийн байдал.

Тодорхойлолт 1: y = f (x) муруйг нэрлэнэ гүдгэр доошинтервал дээр a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется дээш гүдгэринтервал дээр a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Тодорхойлолт 2:Функцийн графикийг гүдгэр болгон дээш доош эргүүлэх интервалыг гэнэ товойсон интервалуудфункциональ график.

Муруйн гүдгэр байх хангалттай нөхцөл. Y = f (x) дифференциалагдах функцийн график нь байна дээш гүдгэринтервал дээр a< х <в, если f”(x) < 0 и гүдгэр доошхэрэв f ”(x)> 0.

Тодорхойлолт 1:Хоёр дахь дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг дуудна хоёр дахь төрлийн чухал цэгүүд.

Тодорхойлолт 2:Энэ графын эсрэг талын гүдгэрийн интервалуудыг тусгаарлах Y = f (x) функцийн графикийн цэгийг цэг гэнэ. нугалах.

гулзайлтын цэг

Жишээ: y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4 функц өгөгдсөн. Функцийг монотон ба экстремум цэгүүдийн интервалыг шалгана уу. Бүдгэрэлтийн чиглэл ба гулзайлтын цэгийг тодорхойлно.

Шийдэл: 1. Функцийн мужийг ол: D (y) =;

2. Эхний деривативыг ол: y '= 3x 2 - 4x + 6;

3. Тэгшитгэлийг шийд: y ’= 0, 3x 2 - 4x + 6 = 0, D 0, тэгвэл энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул экстремум цэг байхгүй болно. y ', дараа нь функц бүхэлдээ домэйн дээр нэмэгдэнэ.

4. Хоёрдахь деривативыг ол: y ”= 6x - 4;

5. Тэгшитгэлийг шийдье: y "= 0, 6x - 4 = 0, x =

Хариулт: (; -) - гулзайлтын цэг, функц нь x дээр дээш гүдгэр, x дээр дээш гүдгэр байна.

Асимптотууд.

1. Тодорхойлолт: Муруйн асимптот нь өгөгдсөн функцийн график нь хязгааргүй ойртож буй шулуун шугам юм.

2. Асимптотуудын төрлүүд:

1) Босоо асимптотууд... y = f (x) функцийн график нь хэрэв босоо асимптоттой байна. Босоо асимптот тэгшитгэл нь x = a хэлбэртэй байна

2) Хэвтээ асимптотууд... y = f (x) функцийн график нь хэрэв бол хэвтээ асимптоттой байна ... Хэвтээ асимптот тэгшитгэл нь y = b хэлбэртэй байна.

Жишээ 1: y = функцийн хувьд асимптотуудыг ол.

3) Ташуу асимптотууд. y = kx + b шулуун шугамыг y = f (x) функцийн графикийн ташуу асимптот гэж нэрлэдэг, хэрэв. k ба b утгыг томъёогоор тооцоолно: k =; b =.

Шийдэл: , тэгвэл y = 0 нь хэвтээ асимптот;

(х - 3 ≠ 0, x ≠ 3 тул), тэгвэл x = 3 нь босоо асимптот болно. ,Т. өөрөөр хэлбэл k = 0 байвал муруй нь ташуу асимптотгүй болно.

Жишээ 2: y = функцийн хувьд асимптотуудыг ол.

Шийдэл: x ≠ ± 5-ийн хувьд x 2 - 25 ≠ 0, тэгвэл x = 5 ба x = - 5 нь хэвтээ асимптотууд;

y =, тэгвэл муруй нь босоо асимптотгүй;

k =; b =, өөрөөр хэлбэл y = 5x нь ташуу асимптот юм.

График функцүүдийн жишээ.

Жишээ 1.

Функцийг шалгаж y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3 функцийн графикийг зур.

1. Функцийн мужийг ол: D (y) = R

y (- x) = (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3) , өөрөөр хэлбэл

(y = x 5 - x 3 - сондгой, у = x 4 + x 2 - тэгш)

3. Энэ нь үе үе биш юм.

4. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол: хэрэв x = 0 бол у = - 3 (0; - 3)

хэрэв Y = 0 бол х-г олоход хэцүү.

5. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол: Босоо асимптот байхгүй тул функц нь тодорхойгүй x утгууд байхгүй; y =, өөрөөр хэлбэл, хэвтээ асимптот байхгүй;

k =, өөрөөр хэлбэл ташуу асимптот байхгүй.

6. Функцийг монотон байдлын интервал ба экстремумын хувьд авч үзье: y ’= 3x 2 - 12x + 9,

y '= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - 1-р төрлийн чухал цэгүүд.

Деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё: y '(0) = 9> 0; y ’(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y (1) = 1, (1; 1) - хамгийн их цэг; y min = y (3) = - 3, (3; - 3) - хамгийн бага цэг, y функц x ба y үед .

7. Гүдгэрийн интервал ба гулзайлтын цэгийн функцийг авч үзье.

y ”= (y’) ’= (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y ”= 0, 6x - 12 = 0 x = 2 нь 1-р төрлийн чухал цэг юм.

Хоёрдахь деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлъё: y ”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Ү (2) = - 1 (2; - 1) - гулзайлтын цэг, функц нь х дээр дээшээ гүдгэр, х дээр доош гүдгэр байна.

8. Нэмэлт оноо:

NS	- 1
цагт	- 19

9. Функцийн графикийг байгуулъя:

Функцийг шалгаж y = функцийн графикийг зур

1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D (y) =.

2. Өгөгдсөн функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг олж мэдье. ,

y (- x) ≠ y (x) - тэгш биш, у (- x) ≠ - у (х) - сондгой биш

3. Энэ нь үе үе биш юм.

4. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол: x = 0, дараа нь у = - 2; y = 0, тэгвэл , өөрөөр хэлбэл (0; - 2); ().

5. Функцийн графикийн асимптотуудыг олцгооё. x ≠ 1, тэгвэл x = 1 шулуун нь босоо асимптот болно;

Дифференциал гэдэг нь деривативын тооцоо юм.

1. Ялгаварлах томьёо.

Ялгах үндсэн томъёог хүснэгтэд үзүүлэв. Тэднийг цээжлэх шаардлагагүй. Зарим хэв маягийг ойлгосны дараа та зарим томъёоноос бусдыг бие даан гаргаж авах боломжтой.

1) Томъёогоор эхэлцгээе (k х+ m) ' = k.
Үүний онцгой тохиолдлууд нь томъёо юм х′ = 1 ба C ′ = 0.

y = kx + m хэлбэрийн аль ч функцэд дериватив нь налуу k-тэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, y = 2 функц өгөгдсөн NS+ 4. Аль ч цэгийн дериватив нь 2-той тэнцүү байна:

(2 x + 4) ′ = 2 .

Функцийн дериватив цагт = 9 NSЯмар ч үед + 5 байна 9 ... гэх мэт.

y = 5 функцийн деривативыг олъё NS... Үүний тулд бид 5-ыг төлөөлдөг NSхэлбэрээр (5 NS+ 0). Бид өмнөхтэй төстэй илэрхийлэл авсан. гэсэн утгатай:

(5NS) ' = (5 NS+ 0) ′ = 5.

Эцэст нь юу тэнцүү болохыг олж мэдье х′.
Өмнөх жишээн дээрх техникийг хэрэгжүүлье: төсөөл NS 1 гэж NS+ 0. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

х′ = (1 NS+ 0) ′ = 1.

Тиймээс бид хүснэгтээс томъёог бие даан гаргаж авсан.

(0 · х+ m) ′ = 0.

Гэхдээ дараа нь m ′ нь 0-тэй тэнцүү байна. m = C байг, энд C нь дурын тогтмол юм. Дараа нь бид өөр нэг үнэнд хүрнэ: тогтмолын дериватив нь тэг юм. Өөрөөр хэлбэл, бид хүснэгтээс өөр томьёог авдаг.