Математик статистикийн жишээн дэх хэлбэлзэл. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт. Стандарт хэлбэлзэл

Гэсэн хэдий ч дангаараа энэ шинж чанар нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахад хангалтгүй хэвээр байна. Хоёр буудагч бай руу буудаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Нэг нь оновчтой харваж, төвийн ойролцоо онож, нөгөө нь ... зүгээр л хөгжилтэй, онилдоггүй. Гэхдээ инээдтэй нь түүнийх дундажүр дүн нь эхний мэргэн буучтай яг адилхан байх болно! Энэ нөхцөл байдлыг дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээр уламжлалт байдлаар дүрсэлдэг.

"Мэргэн буудагч" математикийн хүлээлт нь "сонирхолтой зан чанар"-ын хувьд тэнцүү байна: - энэ нь бас тэг юм!

Тэгэхээр хэр хол байгааг тоон үзүүлэлтээр гаргах шаардлага гарч байна тараагдсансум (санамсаргүй хувьсагчийн утгууд) зорилтот төвтэй харьцуулахад (математикийн хүлээлт). сайн ба тараахЛатин хэлнээс зөвхөн гэж орчуулагддаг тархалт .

Хичээлийн 1-р хэсгийн жишээнүүдийн аль нэгэнд энэ тоон шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлохыг харцгаая.

Тэнд бид энэ тоглоомын математикийн таамаглалыг олсон бөгөөд одоо бид түүний дисперсийг тооцоолох хэрэгтэй. тэмдэглэсэнхөндлөн .

Дундажтай харьцуулахад хожил / хожигдол хэр хол "тарсан" байгааг олж мэдье. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд та тооцоолох хэрэгтэй ялгаахооронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудмөн тэр математикийн хүлээлт:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Одоо үр дүнг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ энэ зам нь тохиромжгүй - зүүн тийш хэлбэлзэл нь баруун тийш хэлбэлзэлтэй байх тул цуцална. Жишээлбэл, "сонирхогчийн" мэргэн бууч (дээрх жишээ)ялгаа нь , мөн нэмэх үед тэг өгөх болно, тиймээс бид түүний буудлагын тархалтын талаар ямар ч тооцоо олж авахгүй.

Энэ таагүй байдлыг даван туулахын тулд та бодож болно модулиудялгаа, гэхдээ техникийн шалтгааны улмаас тэдгээрийг квадрат болгоход энэ арга нь үндэс болсон. Шийдлийг хүснэгтээр зурах нь илүү тохиромжтой.

Тэгээд энд тооцохыг гуйж байна жигнэсэн дундажхазайлтын квадратуудын утга. Энэ юу вэ? Тэднийх хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, энэ нь тархалтын хэмжүүр юм:

– тодорхойлолтзөрүү. Энэ нь тодорхойлолтоос шууд тодорхой харагдаж байна ялгаа сөрөг байж болохгүй- дасгал хийхдээ анхаараарай!

Хүлээлтийг хэрхэн олохыг санацгаая. Бид ялгаануудын квадратыг харгалзах магадлалаар үржүүлнэ (Хүснэгтийн үргэлжлэл):
- дүрслэлээр хэлбэл "татах хүч",
болон үр дүнг нэгтгэн дүгнэх:

Хожлын цаана үр дүн нь хэтэрхий том болсон гэж та бодохгүй байна уу? Энэ нь зөв - бид квадрат болгож, тоглоомын хэмжээс рүү буцахын тулд бид квадрат язгуурыг задлах хэрэгтэй. Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг стандарт хэлбэлзэл ба Грекийн "сигма" үсгээр тэмдэглэсэн:

Энэ утгыг заримдаа нэрлэдэг стандарт хэлбэлзэл .

Үүний утга учир юу вэ? Хэрэв бид математикийн хүлээлтээс зүүн ба баруун тийш стандарт хазайлтаар хазайвал:

- тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгууд энэ интервал дээр "баяжсан" болно. Үнэндээ бидний ажиглаж буй зүйл:

Гэсэн хэдий ч тархалтыг шинжлэхдээ бараг үргэлж дисперс гэсэн ойлголттой ажилладаг. Энэ нь тоглоомтой холбоотой ямар утгатай болохыг харцгаая. Хэрэв сумны хувьд бид байны төвтэй харьцуулахад цохилтын "нарийвчлал" -ын тухай ярьж байгаа бол энд хэлбэлзэл нь хоёр зүйлийг тодорхойлдог.

Нэгдүгээрт, хувь хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр хэлбэлзэл нэмэгдэх нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 10 дахин өсөх юм бол математикийн хүлээлт 10 дахин, дисперс нь 100 дахин нэмэгдэх болно. (энэ нь квадрат хэмжигдэхүүн бол)... Гэхдээ тоглоомын дүрэм өөрчлөгдөөгүй гэдгийг анхаарна уу! Зөвхөн ханш өөрчлөгдсөн, ойролцоогоор хэлэхэд бид 10 рубль бооцоо тавьдаг байсан бол одоо 100 болсон.

Хоёр дахь, илүү сонирхолтой зүйл бол ялгаатай байдал нь тоглоомын хэв маягийг тодорхойлдог. Тоглоомын ханшийг оюун ухаанаараа засъя тодорхой түвшинд, энд юу байгааг хараарай:

Бага зөрүүтэй тоглоом бол болгоомжтой тоглоом юм. Тоглогч хамгийн найдвартай схемийг сонгох хандлагатай байдаг бөгөөд тэр нэг удаад хэт их хожигддоггүй / хождоггүй. Жишээ нь, улаан / рулет дахь хар систем (Өгүүллийн 4-р жишээг үзнэ үү Санамсаргүй хувьсагч) .

Өндөр зөрүүтэй тоглоом. Түүнийг ихэвчлэн дууддаг тараагчтоглоом. Энэ бол тоглогч адреналин шахах схемийг сонгодог адал явдалт эсвэл түрэмгий тоглоомын хэв маяг юм. Ядаж санацгаая Мартингал, өмнөх догол мөрийн "чимээгүй" тоглолтоос илүү их хэмжээний эрсдэлтэй мөнгөн дүн байдаг.

Покерын нөхцөл байдлыг илтгэж байна: гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нягтБолгоомжтой байх хандлагатай, тоглоомын хөрөнгөндөө "тогтуурах" тоглогчид (банкаар)... Гайхалтай нь тэдний мөнгөн дүн тийм ч их өөрчлөгддөггүй (бага хэлбэлзэлтэй). Эсрэгээр, хэрэв тоглогч өндөр зөрүүтэй бол энэ нь түрэмгийлэгч юм. Тэр ихэвчлэн эрсдэлд ордог, том бооцоо тавьдаг бөгөөд асар том банкийг эвдэж, дампуурч чаддаг.

Үүнтэй ижил зүйл Forex-д тохиолддог, гэх мэт - маш олон жишээ бий.

Түүнээс гадна, бүх тохиолдолд энэ нь хамаагүй - тоглоом нь пенни эсвэл хэдэн мянган доллар дээр байгаа эсэх. Түвшин бүр өөрийн гэсэн бага ба өндөр тархалттай тоглогчтой. За, дундаж үр өгөөжийн хувьд бидний санаж байгаагаар "хариуцлагатай" хүлээгдэж буй үнэ цэнэ.

Зөрчлийг олох нь урт бөгөөд хэцүү үйл явц гэдгийг та анзаарсан байх. Гэхдээ математик нь өгөөмөр юм:

Дисперсийг олох томъёо

Энэ томьёо нь вариацын тодорхойлолтоос шууд үүсэлтэй бөгөөд бид үүнийг шууд эргэлтэнд оруулдаг. Би тавагны дээд хэсгийг манай тоглоомоор хуулбарлах болно:

болон олсон хүлээлт.

Хоёр дахь аргаар дисперсийг тооцоолъё. Нэгдүгээрт, бид математикийн хүлээлтийг олдог - санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат. By хүлээлтийн тодорхойлолт:

Энэ тохиолдолд:

Тиймээс, томъёоны дагуу:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр. Мөн практик дээр мэдээжийн хэрэг томъёог хэрэглэх нь илүү дээр юм (хэрэв нөхцөл байдал өөрөөр заагаагүй бол).

Бид шийдэл, дизайны техникийг эзэмшдэг:

Жишээ 6

Түүний математик хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг ол.

Энэ даалгавар нь хаа сайгүй олддог бөгөөд дүрмээр бол утга учиргүй байдаг.
Тодорхой магадлал бүхий галзуугийн байшинд асдаг хэд хэдэн чийдэнг та төсөөлж болно :)

Шийдэл: Үндсэн тооцооллыг хүснэгтэд хялбархан нэгтгэн харуулав. Эхлээд бид анхны өгөгдлийг дээд хоёр мөрөнд бичнэ. Дараа нь бид бүтээгдэхүүнийг тооцоолж, дараа нь баруун баганад байгаа нийлбэрүүдийг тооцоолно.

Үнэндээ бараг бүх зүйл бэлэн болсон. Гурав дахь мөрөнд бэлэн математикийн хүлээлт багтсан болно. .

Бид зөрүүг томъёогоор тооцоолно.

Эцэст нь стандарт хазайлт:
- Би хувьдаа ихэвчлэн 2 аравтын орон хүртэл дугуйрдаг.

Бүх тооцооллыг тооцоолуур дээр эсвэл бүр илүү сайн - Excel дээр хийж болно.

энд алдаа гаргахад хэцүү байна :)

Хариулах:

Хүссэн хүмүүс амьдралаа илүү хялбарчилж, миний тооцоолуур (демо), энэ нь зөвхөн энэ асуудлыг даруй шийдвэрлэх төдийгүй, бас бүтээн байгуулах болно сэдэвчилсэн графикууд (бид удахгүй очно)... Хөтөлбөр боломжтой номын санд татаж авах- Хэрэв та дор хаяж нэг боловсролын материал байршуулсан бол, эсвэл авах Өөр арга зам... Төслийг дэмжсэнд баярлалаа!

Бие даасан шийдлийн хэд хэдэн даалгавар:

Жишээ 7

Өмнөх жишээний санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тодорхойлолтоор тооцоол.

Мөн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 8

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өөрийн тархалтын хуулиар тодорхойлно.

Тийм ээ, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нэлээд том байж болно (бодит ажлын жишээ), энд боломжтой бол Excel-ийг ашиглана уу. Дашрамд хэлэхэд, 7-р жишээн дээр - энэ нь илүү хурдан, илүү найдвартай, илүү тааламжтай байдаг.

Шийдэл ба хариултыг хуудасны доод талд байна.

Хичээлийн 2-р хэсгийн төгсгөлд бид өөр нэг ердийн асуудлыг шинжлэх болно, тэр ч байтугай жижиг эсэргүүцлийг хэлж болно.

Жишээ 9

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: мөн. Магадлал, математикийн хүлээлт, дисперс нь мэдэгдэж байна.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх магадлалаас эхэлцгээе. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хоёр утгыг авах боломжтой тул харгалзах үйл явдлын магадлалын нийлбэр:

тэгээд тэр цагаас хойш.

Энэ нь олох л үлдлээ ... хэлэхэд амархан :) Гэхдээ бид явлаа. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор:
- бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна:

- Энэ тэгшитгэлээс өөр юу ч шахаж чадахгүй, зөвхөн та үүнийг ердийн чиглэлд дахин бичиж болно.

эсвэл:

Та цаашдын үйлдлүүдийн талаар таамаглаж чадна гэж бодож байна. Системийг зохиож, шийдье:

Аравтын бутархай нь мэдээжийн хэрэг бүрэн гутамшиг юм; Хоёр тэгшитгэлийг 10-аар үржүүлнэ:

ба 2-т хуваана:

Энэ нь хамаагүй дээр. 1-р тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
(энэ нь илүү хялбар арга юм)- бид 2-р тэгшитгэлд орлуулна:

Бид босгодог дөрвөлжинболон хялбаршуулах:

Үржүүлэх:

Үр дүн нь квадрат тэгшитгэл, бид түүний ялгаварлагчийг олдог:
- төгс!

мөн бид хоёр шийдлийг олж авдаг:

1) хэрэв , дараа нь ;

2) хэрэв , дараа нь.

Эхний хос утгууд нь нөхцөлийг хангаж байна. Өндөр магадлалтайгаар бүх зүйл зөв, гэхдээ бид түгээлтийн хуулийг бичдэг.

мөн бид шалгах болно, тухайлбал бид хүлээлтийг олох болно:

Ихэнхдээ статистикийн хувьд аливаа үзэгдэл, үйл явцыг шинжлэхдээ зөвхөн судлагдсан үзүүлэлтүүдийн дундаж түвшний мэдээллийг харгалзан үзэх шаардлагатай байдаг. хувь хүний ​​нэгжийн утгын тархалт эсвэл хэлбэлзэл , энэ нь зорилтот бүлгийн чухал шинж чанар юм.

Хувьцааны үнэ, эрэлт нийлүүлэлтийн хэмжээ, өөр өөр газар, өөр өөр цаг үеийн хүүгийн түвшин хамгийн их хэлбэлзэлтэй байдаг.

Өөрчлөлтийг тодорхойлдог гол үзүүлэлтүүд , муж, дисперс, стандарт хазайлт, вариацын коэффициент юм.

Шуралтын хувилбар Энэ нь атрибутын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаа юм: R = Xmax - Xmin... Энэ үзүүлэлтийн сул тал нь зөвхөн шинж чанарын өөрчлөлтийн хил хязгаарыг үнэлдэг бөгөөд эдгээр хил доторх түүний хэлбэлзлийг тусгадаггүй явдал юм.

Тархалт энэ сул талгүй. Энэ нь шинж чанарын утгуудын дундаж утгаас хазайсан дундаж квадратаар тооцоологддог.

Вариацийг тооцоолох хялбаршуулсан арга Дараахь томъёог (энгийн ба жигнэсэн) ашиглан гүйцэтгэнэ.

Эдгээр томъёог ашиглах жишээг 1 ба 2-р даалгаварт үзүүлэв.

Практикт өргөн хэрэглэгддэг үзүүлэлт бол стандарт хэлбэлзэл :

Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур гэж тодорхойлогддог бөгөөд судалж буй шинж чанартай ижил хэмжээтэй байна.

Үзэж буй үзүүлэлтүүд нь хэлбэлзлийн үнэмлэхүй утгыг олж авах боломжийг олгодог, өөрөөр хэлбэл. судалж буй шинж чанарын нэгжээр үнэлнэ. Тэднээс ялгаатай нь хэлбэлзлийн коэффициент хэлбэлзлийг харьцангуй хэмжүүрээр хэмждэг - ихэнх тохиолдолд илүү тохиромжтой байдаг дундаж түвшинтэй харьцуулахад.

Вариацын коэффициентийг тооцоолох томъёо.

"Статистикийн өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.

Асуудал 1 ... Бүс нутгийн банкуудын сарын дундаж хадгаламжийн хэмжээнд зар сурталчилгаа хэрхэн нөлөөлж байгааг судлахад 2 банкийг шалгасан. Дараах үр дүнгүүд гарав.

Тодорхойлох:
1) банк бүрийн хувьд: а) тухайн сарын хадгаламжийн дундаж хэмжээ; б) шимтгэлийн зөрүү;
2) хоёр банкны нэг сарын дундаж хадгаламж;
3) Зар сурталчилгаанаас хамааран 2 банкны хадгаламжийг тараах;
4) Зар сурталчилгаанаас бусад бүх хүчин зүйлээс хамааран 2 банкны хадгаламжийг тараах;
5) Нэмэх дүрмийг ашиглан нийт зөрүү;
6) Тодорхойлох коэффициент;
7) Корреляцийн харьцаа.

Шийдэл

1) Зар сурталчилгаатай банкны тооцооны хүснэгтийг зохиоё ... Сарын хадгаламжийн дундаж хэмжээг тодорхойлохын тулд бид интервалуудын дунд цэгүүдийг олох болно. Энэ тохиолдолд нээлттэй интервалын утгыг (эхний) түүнтэй зэргэлдээх интервалын утгатай (хоёр дахь) нөхцөлт тэнцүүлнэ.

Бид хувь нэмрийн дундаж хэмжээг арифметик жигнэсэн дундажийн томъёогоор олно.

29,000/50 = 580 рубль.

Бид хувь нэмрийн зөрүүг томъёогоор олдог.

23 400/50 = 468

Бид ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх болно сурталчилгаагүй банкны хувьд :

2) Хоёр банкны хадгаламжийн дундаж хэмжээг хамтдаа олъё. Xav = (580 × 50 + 542.8 × 50) / 100 = 561.4 рубль.

3) Зар сурталчилгаанаас хамааран хоёр банкны хувьд оруулсан хувь нэмрийн зөрүүг бид томъёогоор олно: σ 2 = pq (өөр хувилбарын ялгаатай байдлын томъёо). Энд p = 0.5 нь зар сурталчилгаанаас хамаарах хүчин зүйлсийн эзлэх хувь; q = 1-0.5, дараа нь σ 2 = 0.5 * 0.5 = 0.25.

4) Бусад хүчин зүйлсийн эзлэх хувь 0.5 байгаа тул сурталчилгаанаас бусад бүх хүчин зүйлээс хамаарах хоёр банкны хувь нэмэрийн хэлбэлзэл мөн 0.25 байна.

5) Нэмэх дүрмийг ашиглан нийт дисперсийг тодорхойлно.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 баримт + σ 2 үлдсэн = 552.08 + 345.96 = 898.04

6) тодорхойлох коэффициент η 2 = σ 2 баримт / σ 2 = 345.96 / 898.04 = 0.39 = 39% - хувь нэмэрийн хэмжээ 39% -иар зар сурталчилгаанаас хамаарна.

7) Эмпирик корреляцийн харьцаа η = √η 2 = √0.39 = 0.62 - хамаарал нэлээд ойрхон байна.

Даалгавар 2 ... Зарах боломжтой бүтээгдэхүүний хэмжээгээр аж ахуйн нэгжүүдийг дараахь байдлаар ангилдаг.

Тодорхойлох: 1) зах зээлд нийлүүлэгдэх бүтээгдэхүүний үнийн зөрүү; 2) стандарт хазайлт; 3) хэлбэлзлийн коэффициент.

Шийдэл

1) Нөхцөлөөр интервалын тархалтын цувралыг үзүүлэв. Үүнийг салангид байдлаар илэрхийлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл интервалын дундыг олох (x "). Хаалттай интервалуудын бүлгүүдэд бид дундыг энгийн арифметик дунджаар олох болно. Дээд хил бүхий бүлгүүдэд энэ дээд хязгаарын ялгаа гэж үзнэ. хил ба түүнийг дагасан интервалын хагасын хэмжээ (200- (400 -200): 2 = 100).

Доод хилтэй бүлгүүдэд - энэ доод хилийн нийлбэр ба өмнөх интервалын хагасын хэмжээ (800+ (800-600): 2 = 900).

Бид зах зээлд борлуулагдах бүтээгдэхүүний дундаж үнэ цэнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Xav = k × ((Σ ((x "-a): k) × f): Σf) + a. Энд a = 500 нь хамгийн өндөр давтамжтай хувилбарын хэмжээ, k = 600-400 = 200 хамгийн их давтамжтай интервалын хэмжээ Үр дүнг хүснэгтэд байрлуул.

Тиймээс, судалж буй хугацааны зах зээлийн бүтээгдэхүүний дундаж үнэ нь ерөнхийдөө Xav = (-5: 37) × 200 + 500 = 472.97 мянган рубльтэй тэнцүү байна.

2) Бид дисперсийг дараах томъёогоор олно.

σ 2 = (33/37) * 2002- (472.97-500) 2 = 35 675.67-730.62 = 34 945.05

3) стандарт хазайлт: σ = ± √σ 2 = ± √34 945.05 ≈ ± 186.94 мянган рубль.

4) хэлбэлзлийн коэффициент: V = (σ / Xav) * 100 = (186.94 / 472.97) * 100 = 39.52%

Бүлэглэсэн өгөгдлийн хувьд үлдэгдэл хэлбэлзэл- бүлгийн дотоод хэлбэлзлийн дундаж:

Энд σ 2 j нь j --р бүлгийн бүлгийн дотоод дисперс юм.

Бүлэглэлгүй өгөгдлийн хувьд үлдэгдэл хэлбэлзэлОйролцоогоор нарийвчлалын хэмжүүр юм, i.e. регрессийн шугамыг анхны өгөгдөлд ойртуулах:
Энд y (t) нь чиг хандлагын тэгшитгэлийн дагуу таамаглал; y t нь динамикийн эхний цуврал; n - онооны тоо; p нь регрессийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн тоо (тайлбарлах хувьсагчийн тоо).
Энэ жишээнд үүнийг нэрлэдэг шударга бус хэлбэлзлийн тооцоо.

Жишээ №1. Нэг холбооны гурван аж ахуйн нэгжийн ажилчдыг тарифын ангиллын дагуу хуваарилах нь дараахь өгөгдлөөр тодорхойлогддог.

Ажилчдын цалингийн хувь хэмжээ	Аж ахуйн нэгжийн ажилчдын тоо
	аж ахуйн нэгж 1	аж ахуйн нэгж 2	аж ахуйн нэгж 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Тодорхойлох:
1.аж ахуйн нэгж бүрийн хэлбэлзэл (бүлэг доторх хэлбэлзэл);
2. бүлгийн дотоод хэлбэлзлийн дундаж;
3. бүлэг хоорондын зөрүү;
4. нийт хэлбэлзэл.

Шийдэл.
Асуудлын шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө аль шинж чанар нь үр дүнтэй, аль нь хүчин зүйл болохыг олж мэдэх шаардлагатай. Харж буй жишээнд үр дүнтэй шинж чанар нь "Тарифын ангилал", хүчин зүйлийн шинж чанар нь "Аж ахуйн нэгжийн дугаар (нэр)" юм.
Дараа нь бид гурван бүлэг (аж ахуйн нэгж) байгаа бөгөөд үүний тулд бүлгийн дундаж болон бүлгийн хоорондын зөрүүг тооцоолох шаардлагатай.

Компани	бүлгийн дундаж,	Бүлэг хоорондын зөрүү,
1	4	1,8

Бүлэг доторх хэлбэлзлийн дундаж ( үлдэгдэл хэлбэлзэл)-ийг дараах томъёогоор тооцоолно.

хаана тооцоолж болох вэ:
эсвэл:

дараа нь:
Нийт дисперс нь тэнцүү байх болно: s 2 = 1.6 + 0 = 1.6.
Нийт зөрүүг мөн дараах хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолж болно.

Практик асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ зөвхөн хоёр өөр утгыг агуулсан шинж чанарыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд тэд тухайн шинж чанарын үнэ цэнийн жингийн талаар ярихгүй, харин түүний нийлбэр дэх эзлэх хувийн жингийн талаар ярьдаг. Хэрэв судалж буй шинж чанарыг эзэмшсэн популяцийн нэгжийн эзлэх хувийг " Р", Мөн эзэмшдэггүй - дамжуулан" q", Дараа нь хэлбэлзлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
s 2 = p × q

Жишээ № 2. Нэг багийн 6 ажилтны ажлын үр дүнгийн мэдээлэлд үндэслэн бүлэг хоорондын зөрүүг тодорхойлж, нийт зөрүү 12.2 бол ажлын ээлжийн тэдний хөдөлмөрийн бүтээмжид үзүүлэх нөлөөллийг үнэлнэ.

Ажлын бригадын дугаар	Ажилчдын үйлдвэрлэл, ширхэг.
	1-р ээлжинд	хоёр дахь ээлжийн үеэр
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Шийдэл... Анхны өгөгдөл

X	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	Нийт
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Нийт	31	33	37	37	40	38

Дараа нь бид 6 бүлэгтэй байгаа бөгөөд үүнд бүлгийн дундаж болон бүлгийн дотоод хэлбэлзлийг тооцоолох шаардлагатай.
1. Бүлэг бүрийн дундаж утгыг ол.







2. Бүлэг бүрийн дундаж квадратыг ол.







Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн харуулав.

Бүлгийн дугаар	Бүлгийн дундаж	Бүлэг доторх ялгаа
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Бүлэг доторх ялгаабүлэгт хамаарах хүчин зүйлээс бусад бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор тухайн бүлгийн дотор судлагдсан (үр дүнтэй) шинж чанарын өөрчлөлт (хувилбар) -ийг тодорхойлдог.
Бүлэг доторх хэлбэлзлийн дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.


4. Бүлэг хоорондын зөрүүбүлэглэх үндэс болсон хүчин зүйлийн (хүчин зүйлийн шинж чанар) нөлөөн дор судлагдсан (үр дүнтэй) шинж чанарын өөрчлөлтийг (хувилбар) тодорхойлдог.
Бүлэг хоорондын зөрүүг дараах байдлаар тодорхойлно.

хаана


Дараа нь

Нийт зөрүүбүх хүчин зүйлийн (хүчин зүйлийн шинж чанарууд) нөлөөгөөр судлагдсан (үр дүнтэй) шинж чанарын өөрчлөлтийг (хувилбар) тодорхойлдог. Асуудлын нөхцөлөөр 12.2-той тэнцүү байна.
Эмпирик корреляцийн хамааралүр дүнтэй шинж чанарын ерөнхий хэлбэлзлийн хэр ихийг судалж буй хүчин зүйлээс шалтгаалдаг болохыг хэмждэг. Энэ нь хүчин зүйлийн дисперсийн нийт дисперсийн харьцаа юм:

Эмпирик корреляцийн харьцааг тодорхойлно уу:

Тэмдгийн хоорондох холбоо нь сул, хүчтэй (ойр) байж болно. Тэдний шалгуурыг Чаддокийн хэмжүүрээр үнэлдэг.
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Бидний жишээнд Y шинж чанар болон X хүчин зүйлийн хоорондын хамаарал сул байна.
Тодорхойлох коэффициент.

Детерминацийн коэффициентийг тодорхойлъё:

Тиймээс өөрчлөлтийн 0.67% нь шинж чанаруудын ялгаа, 99.37% нь бусад хүчин зүйлээс шалтгаална.
Гаралт: энэ тохиолдолд ажилчдын үйлдвэрлэл нь тодорхой ээлжийн ажлаас хамаарахгүй, i.e. ажлын ээлжийн тэдний хөдөлмөрийн бүтээмжид үзүүлэх нөлөө нь тийм ч чухал биш бөгөөд бусад хүчин зүйлээс шалтгаална.

Жишээ №3. Хоёр бүлгийн ажилчдын дундаж цалингийн мэдээлэл ба түүний үнэ цэнийн зөрүүний квадратууд дээр үндэслэн хэлбэлзлийг нэмэх дүрмийг ашиглан нийт зөрүүг ол.

Шийдэл:
Бүлэг доторх хэлбэлзлийн дундаж

Бүлэг хоорондын зөрүүг дараах байдлаар тодорхойлно.


Нийт зөрүү нь: 480 + 13824 = 14304 болно

Дискрет магадлалын орон зайд өгөгдсөн X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол m = M [X] = ∑x i p i тоо юм.

Үйлчилгээний зорилго... Үйлчилгээг онлайнаар ашиглах математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцоолно(жишээг үзнэ үү). Үүнээс гадна F (X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын математикийн хүлээлт нь түүнтэй тэнцүү байна: M [C] = C, C нь тогтмол;
2. M = C M [X]
3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M = M [X] + M [Y]
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M = M [X] M [Y], хэрэв X ба Y нь бие даасан байвал.

Тархалтын шинж чанарууд

1. Тогтмол хэмжигдэхүүний дисперс нь тэг: D (c) = 0.
2. Тогтмол хүчин зүйлийг квадрат болгож дисперсийн тэмдэгээс гаргаж болно: D (k * X) = k 2 D (X).
3. Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. Тооцооллын томъёо нь зөрүүнд хүчинтэй байна:
   D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд мэдэгдэж байна: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Z = 9X-8Y + 7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Тархалтын шинж чанарт үндэслэн: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Хүлээгдэж буй утгыг тооцоолох алгоритм

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд: тэдгээрийн бүх утгыг натурал тоогоор дахин дугаарлаж болно; утга бүрт тэгээс өөр магадлалыг оноох.

1. Бид хосуудыг: x i-ээр p i-ээр ээлжлэн үржүүлдэг.
2. X i p i хос бүрийн үржвэрийг нэмнэ.
   Жишээлбэл, n = 4-ийн хувьд: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцүе шаттайгаар тэдгээр цэгүүдэд огцом өсдөг ба магадлал нь эерэг байдаг.

Жишээ №1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Бид математикийн хүлээлтийг m = ∑x i p i томъёогоор олно.
Математикийн хүлээлт M [X].
M [x] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
Бид d = ∑x 2 i p i - M [x] 2 томъёогоор дисперсийг олно.
Тархалт D [X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
Стандарт хазайлт σ (x).
σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7.69) = 2.78

Жишээ № 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын цуваатай байна.

NS	-10	-5	0	5	10
Р	а	0,32	2а	0,41	0,03

Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний a утга, математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. Σp i = 1 гэсэн хамаарлаас a утгыг олно
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 эсвэл 0.24 = 3 a, үүнээс a = 0.08

Жишээ №3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссертаци нь мэдэгдэж байгаа бол түүний тархалтын хуулийг тодорхойл, x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3
d (x) = 12.96

Шийдэл.
Энд та d (x) дисперсийг олох томьёог зохиох хэрэгтэй:
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
Энд хүлээлт m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Бидний мэдээллийн хувьд
m (x) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3 + 9 2 0.3 + x 3 2 0.1 + 15 2 0.3- (9 + 0.1x 3) 2
эсвэл -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
Үүний дагуу тэгшитгэлийн үндсийг олох шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь байх болно.
x 3 = 8, x 3 = 12
Бид x 1 нөхцөлийг хангасан нэгийг сонгоно x 3 = 12

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0.3; p 2 = 0.3; p 3 = 0.1; p 4 = 0.3