Ribų teorija- viena iš matematinės analizės sekcijų, kurią vienas gali įvaldyti, kitos beveik neskaičiuoja ribų. Ribų nustatymo klausimas yra gana bendras, nes yra daugybė gudrybių ribiniai sprendimai Įvairios rūšys. Tas pačias ribas galima rasti ir pagal L'Hopital taisyklę, ir be jos. Taip atsitinka, kad be galo mažų funkcijų tvarkaraštis leidžia greitai gauti norimą rezultatą. Yra aibė gudrybių ir gudrybių, leidžiančių rasti bet kokio sudėtingumo funkcijos ribą. Šiame straipsnyje mes stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje. Čia nepateiksime ribos teorijos ir apibrėžimo, internete yra daug šaltinių, kur tai kramtoma. Todėl atlikime praktinius skaičiavimus, būtent čia pradedate "Nežinau! Nežinau kaip! Mūsų nemokė!"

Ribų skaičiavimas pakeitimo metodu

1 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Sprendimas: Teoriškai tokio pobūdžio pavyzdžiai apskaičiuojami įprastu pakeitimu

Limitas yra 18/11.
Tokiose ribose nėra nieko sudėtingo ir išmintingo - atsakydami jie pakeitė vertę, apskaičiavo, užrašė ribą. Tačiau remiantis tokiomis ribomis, visi mokomi, kad pirmiausia reikia į funkciją pakeisti reikšmę. Be to, ribos apsunkina, įveda begalybės, neapibrėžtumo sampratą ir panašiai.

Begalybės tipo neapibrėžtumo riba, padalyta iš begalybės. Neapibrėžtumo atskleidimo metodai

2 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=begalybė).
Sprendimas: Formos daugianario, padalyto iš daugianario, riba, o kintamasis linkęs į begalybę

Paprastas reikšmės, kuriai kintamasis turėtų rasti ribas, pakeitimas nepadės, gauname formos begalybės neapibrėžtį, padalytą iš begalybės.
Ribų teorija Ribos skaičiavimo algoritmas yra rasti didžiausią "x" laipsnį skaitiklyje arba vardiklyje. Toliau ant jo supaprastinamas skaitiklis ir vardiklis ir randama funkcijos riba

Kadangi reikšmė linkusi į nulį, kai kintamasis pereina į begalybę, jie nepaisomi arba paskutinėje išraiškoje įrašomi kaip nuliai

Iš karto iš praktikos galite padaryti dvi išvadas, kurios yra užuomina atliekant skaičiavimus. Jei kintamasis linkęs į begalybę, o skaitiklio laipsnis yra didesnis už vardiklio laipsnį, tada riba yra lygi begalybei. Priešingu atveju, jei vardiklyje polinomas yra aukštesnės eilės nei skaitiklyje, riba lygi nuliui.
Ribos formulę galima parašyti kaip

Jeigu turime paprasto rąsto formos be trupmenų funkciją, tai jos riba lygi begalybei

Kitas apribojimų tipas yra susijęs su funkcijų elgesiu, artimu nuliui.

3 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Sprendimas: čia nereikia išimti daugianario pirmaujančio daugiklio. Tiksliai priešingai, reikia rasti mažiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį ir apskaičiuoti ribą

x^2 reikšmė; x linkę į nulį, kai kintamasis linkęs į nulį Todėl jie yra nepaisomi, todėl gauname

kad riba yra 2.5.

Dabar tu žinai kaip rasti funkcijos ribą daugianario rūšis, padalyta iš daugianario, jei kintamasis linkęs į begalybę arba 0. Tačiau tai tik nedidelė ir lengva pavyzdžių dalis. Iš šios medžiagos sužinosite kaip atskleisti funkcijos ribų neapibrėžtumus.

Riba su 0/0 tipo neapibrėžtimi ir jos apskaičiavimo metodai

Iš karto visi prisimena taisyklę, pagal kurią negalima dalyti iš nulio. Tačiau ribų teorija šiame kontekste reiškia be galo mažas funkcijas.
Pažvelkime į kelis iliustruojančius pavyzdžius.

4 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Sprendimas: Vardikliu pakeitę kintamojo x = -1 reikšmę, gauname nulį, tą patį gauname ir skaitiklyje. Taigi mes turime formos neapibrėžtis 0/0.
Su tokiu neapibrėžtumu susidoroti nesunku: reikia padalyti daugianarį faktorių, tiksliau, pasirinkti koeficientą, kuris funkciją paverčia nuliu.

Išskaidžius funkcijos ribą galima parašyti kaip

Tai yra visas funkcijos ribos skaičiavimo metodas. Tą patį darome, jei yra daugianario formos riba, padalyta iš daugianario.

5 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Sprendimas: Tiesioginis pakeitimas rodo
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ką mes turime tipo neapibrėžtis 0/0.
Padalinkite daugianario koeficientą, kuris įveda singuliarumą


Yra mokytojų, kurie moko, kad 2 eilės daugianariai, tai yra „kvadratinių lygčių“ tipai, turi būti sprendžiami per diskriminantą. Tačiau reali praktika rodo, kad jis yra ilgesnis ir sudėtingesnis, todėl atsikratykite funkcijų pagal nurodytą algoritmą. Taigi funkciją užrašome paprastų faktorių forma ir apskaičiuojame riboje

Kaip matote, apskaičiuojant tokias ribas nėra nieko sudėtingo. Mokate skirstyti daugianario ribas, bent jau pagal programą jau turėtumėte pereiti.
Tarp užduočių, skirtų tipo neapibrėžtis 0/0 yra tokių, kuriose būtina taikyti sutrumpintos daugybos formules. Bet jei jūs jų nežinote, tada padaliję daugianarį iš mononomo, galite gauti norimą formulę.

6 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Sprendimas: turime 0/0 tipo neapibrėžtį. Skaitiklyje naudojame sutrumpinto daugybos formulę

ir apskaičiuokite norimą ribą

Neapibrėžtumo atskleidimo metodas dauginant iš konjugato

Metodas taikomas riboms, kuriose neracionalios funkcijos sukuria neapibrėžtumą. Skaičiavimo taške skaitiklis arba vardiklis virsta nuliu ir nežinoma, kaip rasti ribą.

7 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Sprendimas: Pavaizduokime kintamąjį ribinės formulėje

Keisdami gauname 0/0 tipo neapibrėžtį.
Remiantis ribų teorija, šio singuliarumo apėjimo schema susideda iš neracionalios išraiškos padauginimo iš jos konjugato. Kad išraiška liktų nepakitusi, vardiklis turi būti padalintas iš tos pačios reikšmės

Pagal kvadratų skirtumo taisyklę supaprastiname skaitiklį ir apskaičiuojame funkcijos ribą

Supaprastiname terminus, sukuriančius ribos singuliarumą, ir atliekame pakeitimą

8 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Sprendimas: Tiesioginis pakeitimas rodo, kad riba turi 0/0 formos singuliarumą.

Norėdami išplėsti, padauginkite ir padalinkite iš konjugato su skaitikliu

Užrašykite kvadratų skirtumą

Supaprastiname terminus, įvedančius singuliarumą, ir randame funkcijos ribą

9 pavyzdys Raskite funkcijos ribą
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Sprendimas: formulėje pakeiskite deuce

Gauk neapibrėžtumas 0/0.
Vardiklis turi būti padaugintas iš konjugato išraiškos, o skaitiklyje išspręsti kvadratinė lygtis arba faktorizuoti, atsižvelgiant į singuliarumą. Kadangi žinoma, kad 2 yra šaknis, tai antroji šaknis randama pagal Vietos teoremą

Taigi skaitiklį įrašome formoje

ir įdėti limitą

Sumažinus kvadratų skirtumą, atsikratome skaitiklio ir vardiklio požymių

Aukščiau pateiktu būdu jūs galite atsikratyti singuliarumo daugelyje pavyzdžių, o taikymas turėtų būti pastebėtas visur, kur nurodytas šaknų skirtumas pakeičiant virsta nuliu. Kitų tipų ribos yra susijusios su eksponentinėmis funkcijomis, be galo mažomis funkcijomis, logaritmais, vienaskaitos ribomis ir kitais būdais. Tačiau apie tai galite perskaityti toliau pateiktuose straipsniuose apie ribas.

pastovus skaičius a paskambino riba sekos(x n ) jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiuiε > 0 yra skaičius N, kad visos reikšmės x n, kurio n>N, tenkina nelygybę

|x n - a|< ε. (6.1)

Parašykite taip: arba x n → a.

Nelygybė (6.1) lygi dvigubai nelygybei

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

o tai reiškia, kad taškai x n, pradedant nuo kažkokio skaičiaus n>N, yra intervalo (a-ε, a + ε ), t.y. patenka į bet kokį mažąε - taško kaimynystė a.

Seka, kuri turi ribą, vadinama susiliejantys, kitaip - skiriasi.

Funkcijos ribos sąvoka yra sekos ribos sampratos apibendrinimas, nes sekos riba gali būti laikoma sveikojo skaičiaus argumento funkcijos x n = f(n) riba. n.

Tegu duota funkcija f(x) ir tegul a - ribinis taškasšios funkcijos apibrėžimo sritis D(f), t.y. toks taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra aibės D(f) taškai, kurie skiriasi nuo a. Taškas a gali priklausyti arba nepriklausyti aibei D(f).

1 apibrėžimas.Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a jei bet kuriai argumentų reikšmių sekai (x n ), linkusiai į a, atitinkamos sekos (f(x n)) turi tą pačią ribą A.

Šis apibrėžimas vadinamas funkcijos ribos apibrėžimas pagal Heine, arba " sekų kalba”.

2 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a jei, duotas savavališkai savavališkai mažas teigiamas skaičius ε, galima rasti tokį δ>0 (priklausomai nuo ε), kuri skirta visiems x gulėdamasskaičiaus ε apylinkės a, t.y. dėl x tenkinantis nelygybę
0 < x-a< ε , funkcijos f(x) reikšmės busε-skaičiaus A kaimynystė, t.y.|f(x)-A|< ε.

Šis apibrėžimas vadinamas funkcijos ribos apibrėžimas pagal Koši, arba „kalboje ε - δ “.

1 ir 2 apibrėžimai yra lygiaverčiai. Jei funkcija f(x) kaip x →a turi riba lygus A, tai parašyta kaip

. (6.3)

Tuo atveju, jei seka (f(x n)) didėja (arba mažėja) neribotą laiką taikant bet kurį aproksimavimo metodą x iki jūsų ribos a, tada sakysime, kad funkcija f(x) turi begalinė riba, ir parašykite taip:

Iškviečiamas kintamasis (t.y. seka arba funkcija), kurio riba lygi nuliui be galo mažas.

Vadinamas kintamasis, kurio riba lygi begalybei be galo didelis.

Norėdami praktiškai rasti ribą, naudokite šias teoremas.

1 teorema . Jei yra kiekviena riba

(6.4)

(6.5)

(6.6)

komentuoti. Tokios išraiškos kaip 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - yra neapibrėžti, pavyzdžiui, dviejų be galo mažų arba be galo didelių dydžių santykis, o tokio pobūdžio ribos nustatymas vadinamas „neapibrėžtumo atskleidimu“.

2 teorema. (6.7)

tie. galima pereiti prie laipsnio pagrindo ribos esant pastoviam eksponentui, ypač ;

(6.8)

(6.9)

3 teorema.

(6.10)

(6.11)

kur e » 2,7 yra natūraliojo logaritmo pagrindas. Formulės (6.10) ir (6.11) vadinamos pirmąja nuostabi riba ir antroji nepaprasta riba.

(6.11) formulės išvados taip pat naudojamos praktikoje:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ypač riba

Jei x → a ir tuo pačiu metu x > a, tada parašykite x→a + 0. Jei konkrečiai a = 0, tai vietoj simbolio 0+0 rašoma +0. Panašiai, jei x→a ir tuo pačiu x a-0. Skaičiai ir yra atitinkamai pavadinti. teisinga riba ir kairioji riba funkcijas f(x) taške a. Kad funkcijos f(x) riba egzistuotų kaip x→a yra būtinas ir pakankamas . Iškviečiama funkcija f(x). tęstinis taške x 0, jei riba

. (6.15)

Sąlyga (6.15) gali būti perrašyta taip:

,

tai yra, perėjimas į ribą po funkcijos ženklu yra įmanomas, jei ji yra ištisinė tam tikrame taške.

Jei lygybė (6.15) pažeidžiama, tai ir sakome adresu x = xo funkcija f(x) Tai turi tarpas. Apsvarstykite funkciją y = 1/x. Šios funkcijos domenas yra rinkinys R, išskyrus x = 0. Taškas x = 0 yra aibės D(f) ribinis taškas, nes bet kurioje jos apylinkėje, t.y. bet kuriame atvirame intervale, kuriame yra taškas 0, yra taškų iš D(f), tačiau jis pats nepriklauso šiai aibei. Reikšmė f(x o)= f(0) neapibrėžta, todėl taške x o = 0 funkcija turi nenutrūkstamumą.

Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis dešinėje taške x o jei riba

,

ir ištisinis kairėje taške x o jei riba

Funkcijos tęstinumas taške x o yra lygiavertis jo tęstinumui šiame taške tiek dešinėje, tiek kairėje.

Kad funkcija būtų ištisinė taške x o, pavyzdžiui, dešinėje, pirma, būtina, kad būtų baigtinė riba , ir, antra, kad ši riba būtų lygi f(x o). Todėl, jei neįvykdoma bent viena iš šių dviejų sąlygų, funkcija turės spragą.

1. Jei riba egzistuoja ir nėra lygi f(x o), tai jie taip sako funkcija f(x) taške xo turi pirmos rūšies pertrauka, arba šokinėti.

2. Jei riba yra+∞ arba -∞ arba neegzistuoja, tada sakome, kad in tašką x o funkcija turi pertrauką antra rūšis.

Pavyzdžiui, funkcija y = ctg x ties x→ +0 turi ribą, lygią +∞, vadinasi, taške x=0 jis turi antrojo tipo pertrūkį. Funkcija y = E(x) (sveikasis skaičius x) taškuose su sveikaisiais skaičiais abscisės turi pirmos rūšies pertrūkius arba šuolius.

Iškviečiama funkcija, kuri yra ištisinė kiekviename intervalo taške tęstinis in . Ištisinė funkcija pavaizduota vientisa kreive.

Daugelis problemų, susijusių su nuolatiniu tam tikro kiekio augimu, veda prie antrosios nepaprastos ribos. Tokie uždaviniai, pavyzdžiui, apima: įmokos augimą pagal sudėtinių palūkanų dėsnį, šalies gyventojų skaičiaus augimą, radioaktyvios medžiagos irimą, bakterijų dauginimąsi ir kt.

Apsvarstykite Ya. I. Perelman pavyzdys, kuris pateikia skaičiaus interpretaciją e sudėtinių palūkanų problema. Skaičius e yra riba . Taupomosiose kasose prie pagrindinio kapitalo kasmet pridedami palūkanų pinigai. Jei ryšys užmezgamas dažniau, kapitalas auga greičiau, nes formuojant palūkanas dalyvauja didelė suma. Paimkime grynai teorinį, labai supaprastintą pavyzdį. Tegul bankas deda 100 den. vienetų 100% metiniu tarifu. Jei palūkanas uždirbantys pinigai prie pagrindinio kapitalo pridedami tik po metų, tai iki to laiko 100 den. vienetų pavirs 200 den. Dabar pažiūrėkime, į ką pavirs 100 den. vienetų, jei kas šešis mėnesius prie pagrindinio kapitalo pridedami palūkanų pinigai. Po pusės metų 100 den. vienetų augti iki 100× 1,5 \u003d 150, o dar po šešių mėnesių - 150× 1,5 \u003d 225 (den. vienetai). Jeigu prisijungiama kas 1/3 metų, tai po metų 100 den. vienetų paversti 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. vnt.). Palūkanų pinigų pridėjimo terminą padidinsime iki 0,1 metų, 0,01 metų, 0,001 metų ir pan. Tada iš 100 den. vienetų po metų:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vienetai),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vienetai),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vienetai).

Neribotai sumažinus sujungimo palūkanų terminus, kaupiamas kapitalas neauga neribotą laiką, o artėja prie tam tikros ribos, lygios maždaug 271. Kapitalas, nustatytas 100 % per metus, negali padidėti daugiau nei 2,71 karto, net jei sukauptos palūkanos pridedama prie sostinės kas sekundę, nes limitas

3.1 pavyzdys.Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad sekos x n =(n-1)/n riba yra lygi 1.

Sprendimas.Mes turime tai įrodyti bet kąε > 0 imame, jam yra natūralusis skaičius N, kad visiems n N nelygybė|xn-1|< ε.

Paimkite bet kurį e > 0. Kadangi ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada norint rasti N pakanka išspręsti nelygybę 1/n< e. Taigi n>1/ e ir todėl N gali būti laikoma sveikąja 1/ dalimi e , N = E(1/e ). Taip įrodėme, kad riba .

3 pavyzdys.2 . Raskite sekos ribą, nurodytą bendruoju terminu .

Sprendimas.Taikykite ribinės sumos teoremą ir raskite kiekvieno nario ribą. Dėl n→ ∞ kiekvieno nario skaitiklis ir vardiklis yra linkę į begalybę, ir mes negalime tiesiogiai taikyti koeficiento ribos teoremos. Todėl pirmiausia transformuojame x n, padalijus pirmojo nario skaitiklį ir vardiklį iš n 2, ir antrasis n. Tada, taikydami koeficiento ribos teoremą ir sumos ribos teoremą, randame:

.

3.3 pavyzdys. . Rasti.

Sprendimas. .

Čia mes panaudojome laipsnio ribos teoremą: laipsnio riba lygi pagrindo ribos laipsniui.

3 pavyzdys.4 . Rasti ( ).

Sprendimas.Neįmanoma taikyti skirtumo ribinės teoremos, nes turime formos neapibrėžtį ∞-∞ . Transformuokime bendrojo termino formulę:

.

3 pavyzdys.5 . Duota funkcija f(x)=2 1/x . Įrodykite, kad riba neegzistuoja.

Sprendimas.Funkcijos ribos apibrėžimą 1 naudojame sekos atžvilgiu. Paimkite seką ( x n ), kuri konverguoja į 0, t.y. Parodykime, kad reikšmė f(x n)= skirtingoms sekoms elgiasi skirtingai. Tegu x n = 1/n. Aišku, tada riba Pasirinkime dabar kaip x n seka su bendru terminu x n = -1/n, taip pat linkusi į nulį. Todėl ribų nėra.

3 pavyzdys.6 . Įrodykite, kad riba neegzistuoja.

Sprendimas.Tegu x 1 , x 2 ,..., x n ,... yra seka, kuriai
. Kaip seka (f(x n)) = (sin x n ) elgiasi esant skirtingiems x n → ∞

Jei x n \u003d p n, tai sin x n \u003d sin p n = 0 visiems n ir apriboti Jei
xn=2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiems n taigi ir riba. Taigi neegzistuoja.

Valdiklis limitams skaičiuoti internete

Viršutiniame laukelyje vietoj sin(x)/x įveskite funkciją, kurios ribą norite rasti. Apatiniame laukelyje įveskite skaičių, į kurį linksta x, ir spustelėkite mygtuką Skaičiavimas, kad gautumėte norimą ribą. Ir jei rezultatų lange viršutiniame dešiniajame kampe spustelėsite Rodyti veiksmus, gausite išsamų sprendimą.

Funkcijos įvesties taisyklės: sqrt(x) – kvadratinė šaknis, cbrt(x) – kubo šaknis, exp(x) – eksponentas, ln(x) – natūralusis logaritmas, sin(x) – sinusas, cos(x) – kosinusas, tan (x) – liestinė, cot(x) – kotangentas, arcsin(x) – arcsinusas, arccos(x) – arkosinas, arctan(x) – arctangentas. Ženklai: * daugyba, / dalyba, ^ eksponencija, vietoj begalybė Begalybė. Pavyzdys: funkcija įvedama kaip sqrt(tan(x/2)).

Ribos kelia daug rūpesčių visiems matematikos studentams. Norint išspręsti ribą, kartais tenka pasitelkti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.

Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo gebėjimų ribų ar suvokti valdymo ribas, o pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl kartu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.

Ribos samprata matematikoje

Pirmas klausimas: kas yra riba ir ko riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su jais studentai susiduria dažniausiai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:

Tarkime, yra tam tikras kintamasis. Jei ši reikšmė kaitos procese neribotą laiką artėja prie tam tikro skaičiaus a , tada a yra šios vertės riba.

Funkcijai, apibrėžtai tam tikru intervalu f(x)=y riba yra skaičius A , kuriai funkcija linkusi kada X linkę į tam tikrą tašką a . Taškas a priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.

Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:

Lim- iš anglų kalbos riba- riba.

Taip pat yra geometrinis ribos apibrėžimo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė nei teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į tam tikrą reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.

Paimkime konkretų pavyzdį. Iššūkis yra rasti ribą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:

Beje, jei jus domina, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.

Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:

Intuityviai aišku, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo funkcija įgaus mažesnę reikšmę. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.

Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Naudokite triukus!

Neaiškumai viduje

Formos begalybė/begalybė neapibrėžtis

Tegul yra riba:

Jei į funkciją bandysime pakeisti begalybę, begalybę gausime ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip funkciją galima transformuoti taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas nutiks?

Iš jau nagrinėto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra:

Norėdami atskleisti tipo neaiškumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida

Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0

Kaip visada, pakeitimas vertės funkcija x=-1 duoda 0 skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:

Sumažinkime ir gaukime:

Taigi, jei susiduriate su tipo dviprasmiškumu 0/0 - suskaidykite skaitiklį ir vardiklį.

Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:

L'Hopital taisyklė viduje

Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumus. Kokia metodo esmė?

Jei riboje yra neapibrėžtumas, imame skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.

Vizualiai L'Hopital taisyklė atrodo taip:

Svarbus punktas : turi egzistuoti riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio yra skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.

O dabar tikras pavyzdys:

Yra tipiškas netikrumas 0/0 . Paimkite skaitiklio ir vardiklio išvestinius:

Voila, netikrumas pašalinamas greitai ir elegantiškai.

Tikimės, kad šią informaciją galėsite tinkamai panaudoti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei reikia apskaičiuoti sekos ribą ar funkcijos ribą taške, o šiam darbui laiko nėra nuo žodžio „absoliučiai“, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo.

Ribų teorija yra viena iš matematinės analizės šakų. Ribų sprendimo klausimas yra gana platus, nes yra daugybė būdų, kaip išspręsti įvairių tipų ribas. Yra dešimtys niuansų ir gudrybių, leidžiančių išspręsti vieną ar kitą ribą. Nepaisant to, mes vis tiek stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje.

Pradėkime nuo pačios ribos sąvokos. Bet pirmiausia trumpas istorinis fonas. Kadaise XIX amžiuje buvo prancūzas Augustinas Louis Cauchy, kuris padėjo matematinės analizės pagrindus ir pateikė griežtus apibrėžimus, ypač ribos apibrėžimą. Reikia pasakyti, kad tas pats Košy sapnavo, sapnuos ir sapnuos visų fizinių ir matematinių fakultetų studentų košmaruose, nes jis įrodė daugybę matematinės analizės teoremų, o viena teorema yra bjauresnė už kitą. Šiuo atžvilgiu mes nesvarstysime griežto ribos apibrėžimo, bet bandysime padaryti du dalykus:

1. Supraskite, kas yra riba.
2. Išmokite spręsti pagrindinius ribų tipus.

Atsiprašau už kai kuriuos nemoksliškus paaiškinimus, svarbu, kad medžiaga būtų suprantama net arbatinukui, o tai iš tikrųjų yra projekto užduotis.

Taigi kokia yra riba?

Ir tuoj pat pavyzdys, kodėl reikia apkabinti močiutę...

Bet kokia riba susideda iš trijų dalių:

1) Gerai žinoma ribos piktograma.
2) Įrašai po ribos piktograma, šiuo atveju . Įrašas skamba „x linkęs į vienybę“. Dažniausiai – tiksliai, nors vietoje „x“ praktikoje yra kiti kintamieji. Praktinėse užduotyse vietoje vieneto gali būti absoliučiai bet koks skaičius, taip pat begalybė ().
3) Funkcijos po ribiniu ženklu, šiuo atveju .

Pats rekordas skamba taip: "funkcijos riba, kai x linkusi į vienybę".

Išanalizuokime toliau svarbus klausimas Ką reiškia posakis "X"? siekiaį vienybę? O kas vis dėlto yra „stengtis“?
Ribos sąvoka yra sąvoka, taip sakant, dinamiškas. Sukurkime seką: pirmiausia , tada , , …, , ….
Tai yra, išraiška „x siekiaį vieną“ turėtų būti suprantama taip – ​​„x“ nuosekliai perima reikšmes kurios yra be galo artimos vienybei ir praktiškai su ja sutampa.

Kaip išspręsti aukščiau pateiktą pavyzdį? Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, tereikia pakeisti vienetą funkcijoje po ribos ženklu:

Taigi pirmoji taisyklė yra tokia: Kai suteikiama kokia nors riba, pirmiausia pabandykite įjungti skaičių į funkciją.

Mes svarstėme paprasčiausią ribą, tačiau tokių pasitaiko ir praktikoje, ir ne taip jau retai!

Begalybės pavyzdys:

Supratimas, kas tai yra? Tai yra atvejis, kai jis didėja neribotą laiką, tai yra: pirma, tada, tada, tada ir taip toliau iki begalybės.

O kas šiuo metu atsitiks su funkcija?
, , , …

Taigi: jei , tada funkcija linkusi į minus begalybę:

Grubiai tariant, pagal pirmąją mūsų taisyklę vietoj „x“ į funkciją pakeičiame begalybę ir gauname atsakymą .

Kitas pavyzdys su begalybe:

Vėl pradedame didėti iki begalybės ir pažvelgti į funkcijos elgseną:

Išvada: , funkcija didėja neribotą laiką:

Ir dar viena pavyzdžių serija:

Pabandykite mintyse išanalizuoti šiuos dalykus ir prisiminti paprasčiausius ribų tipus:

, , , , , , , , ,
Jei kažkur kyla abejonių, galite pasiimti skaičiuotuvą ir šiek tiek pasitreniruoti.
Tuo atveju pabandykite sukurti seką , , . Jei tada , , .

Pastaba: griežtai kalbant, toks kelių skaičių sekų sudarymo metodas yra neteisingas, tačiau jis yra gana tinkamas paprasčiausiems pavyzdžiams suprasti.

Taip pat atkreipkite dėmesį į toliau pateiktą dalyką. Net jei duotas limitas didelis skaičius viršuje, net ir su milijonu: tada nesvarbu , nes anksčiau ar vėliau „x“ įgaus tokias milžiniškas vertes, kad milijonas, palyginti su jais, bus tikras mikrobas.

Ką reikėtų atsiminti ir suprasti iš to, kas išdėstyta pirmiau?

1) Kai suteikiama bet kokia riba, pirmiausia mes tiesiog bandome pakeisti skaičių į funkciją.

2) Turite suprasti ir nedelsiant išspręsti pačias paprasčiausias ribas, pvz , ir kt.

Dabar apsvarstysime ribų grupę, kai , o funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianariai

Pavyzdys:

Apskaičiuokite limitą

Pagal mūsų taisyklę begalybę bandysime pakeisti funkcija. Ką mes gauname viršuje? Begalybė. O kas vyksta žemiau? Taip pat begalybė. Taigi, mes turime vadinamąjį formos neapibrėžtumą. Galima manyti, kad atsakymas yra paruoštas, bet bendras atvejis taip nėra, ir turi būti taikomas koks nors sprendimas, kurį dabar apsvarstysime.

Kaip išspręsti šio tipo ribas?

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir randame didžiausią galią:

Didžiausia skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir randame aukščiausią laipsnį:

Didžiausia vardiklio galia yra du.

Tada pasirenkame didžiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį: in šis pavyzdys jie sutampa ir yra lygūs dviem.

Taigi sprendimo būdas yra toks: norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš didžiausio laipsnio.

Štai atsakymas ir visai ne begalybė.

Kas yra būtina priimant sprendimą?

Pirmiausia nurodome neapibrėžtumą, jei toks yra.

Antra, pageidautina nutraukti sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų. Dažniausiai naudoju ženklą, jis neturi jokios matematinės reikšmės, o reiškia, kad sprendimas nutraukiamas dėl tarpinio paaiškinimo.

Trečia, riboje pageidautina pažymėti, kas ir kur linksta. Kai darbas braižomas ranka, patogiau tai padaryti taip:

Užrašams geriau naudoti paprastą pieštuką.

Žinoma, jūs nieko negalite padaryti, bet galbūt tada mokytojas pastebės sprendimo trūkumus arba pradės užduoti papildomus klausimus. Ir ar tau to reikia?

2 pavyzdys

Raskite ribą
Vėlgi skaitiklyje ir vardiklyje randame aukščiausią laipsnį:

Maksimalus skaitiklio laipsnis: 3
Didžiausias vardiklio laipsnis: 4
Pasirinkite didžiausias vertės, šiuo atveju keturios.
Pagal mūsų algoritmą, kad atskleistume neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalijame iš .
Visa užduotis gali atrodyti taip:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

3 pavyzdys

Raskite ribą
Didžiausias „x“ laipsnis skaitiklyje: 2
Didžiausia "x" galia vardiklyje: 1 (galima parašyti kaip)
Norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš . Švarus sprendimas gali atrodyti taip:

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš

Rekordas reiškia ne padalijimą iš nulio (neįmanoma padalyti iš nulio), o padalijimą iš be galo mažo skaičiaus.

Taigi, atskleisdami formos neapibrėžtumą, galime gauti baigtinis skaičius, nulis arba begalybė.

Ribos su tipo neapibrėžtumu ir jų sprendimo būdas

Kita ribų grupė yra šiek tiek panaši į ką tik nagrinėtas ribas: skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, bet „x“ nebelinksta į begalybę, o į galutinis skaičius.

4 pavyzdys

Išspręskite ribą
Pirma, pabandykime pakeisti -1 trupmena:

Tokiu atveju gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas.

Pagrindinė taisyklė : jei skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario ir yra formos neapibrėžtis , tada jos atskleidimui suskaidykite skaitiklį ir vardiklį.

Norėdami tai padaryti, dažniausiai turite išspręsti kvadratinę lygtį ir (arba) naudoti sutrumpintas daugybos formules. Jei pamiršote šiuos dalykus, apsilankykite puslapyje Matematinės formulės ir lentelės ir patikrinkite metodinė medžiaga Karštos formulės mokyklos kursas matematikos. Beje, geriausia atsispausdinti, to reikia labai dažnai, o informacija iš popieriaus geriau įsisavinama.

Taigi išspręskime savo limitą

Skaitiklio ir vardiklio faktorinavimas

Norėdami padalyti skaitiklį faktoriais, turite išspręsti kvadratinę lygtį:

Pirmiausia randame diskriminantą:

Ir jo kvadratinė šaknis: .

Jei diskriminantas yra didelis, pavyzdžiui, 361, naudojame skaičiuotuvą, ištraukimo funkciją kvadratinė šaknis yra ant paprasčiausio skaičiuotuvo.

! Jei šaknis išgaunama nevisiškai (gaunamas trupmeninis skaičius su kableliu), labai tikėtina, kad diskriminantas buvo apskaičiuotas neteisingai arba užduotyje yra rašybos klaida.

Toliau randame šaknis:

Šiuo būdu:

Viskas. Skaitiklis skaičiuojamas.

Vardiklis. Vardiklis jau yra pats paprasčiausias veiksnys, ir jo niekaip negalima supaprastinti.

Akivaizdu, kad jis gali būti sutrumpintas iki:

Dabar išraiškoje, kuri lieka po ribos ženklu, pakeičiame -1:

Natūralu, kad kontrolinis darbas, per testą, egzaminą, sprendimas niekada nėra nudažytas taip detaliai. Galutinėje versijoje dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Suskaičiuokime skaitiklį faktoriais.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą

Pirma, „švarus“ sprendimas

Išskaidykime skaitiklį ir vardiklį.

Skaitiklis:
Vardiklis:



,

Kas svarbu šiame pavyzdyje?
Pirmiausia turite gerai suprasti, kaip atskleidžiamas skaitiklis, pirmiausia skliausteliuose 2, o tada panaudojome kvadratų skirtumo formulę. Tai formulė, kurią reikia žinoti ir pamatyti.

Tema 4.6 Ribų skaičiavimas

Funkcijos riba nepriklauso nuo to, ar ji apibrėžta ribiniame taške, ar ne. Tačiau praktikoje skaičiuojant elementariųjų funkcijų ribas ši aplinkybė yra esminė.

1. Jei funkcija yra elementari ir jei argumento ribinė reikšmė priklauso jos apibrėžimo sričiai, tai funkcijos ribos apskaičiavimas redukuojamas iki paprasto argumento ribinės vertės pakeitimo, nes riba elementarią funkciją f(x) x siekiaa , kuris įtrauktas į apibrėžimo sritį, yra lygus privačiai funkcijos vertei ties x= a, t.y. lim f(x)=f( a) .

2. Jei x eina į begalybę arba argumentas linksta į skaičių, kuris nepriklauso funkcijos sričiai, tada kiekvienu tokiu atveju funkcijos ribos paieška reikalauja specialaus tyrimo.

Toliau pateikiamos paprasčiausios ribos, pagrįstos ribų savybėmis, kurios gali būti naudojamos kaip formulės:

Daugiau sunkių atvejų rasti funkcijos ribą:

kiekvienas svarstomas atskirai.

Šiame skyriuje bus pateikti pagrindiniai neapibrėžtumų atskleidimo būdai.

1. Atvejis, kai x siekiaa funkcija f(x) reiškia dviejų be galo mažų dydžių santykį

a) Pirmiausia reikia įsitikinti, kad funkcijos ribos negalima rasti tiesioginiu pakeitimu ir, esant nurodytam argumento pakeitimui, ji parodo dviejų be galo mažų dydžių santykį. Transformacijos atliekamos siekiant sumažinti trupmeną koeficientu, linkusiu į 0. Pagal funkcijos ribos apibrėžimą, argumentas x linksta į savo ribinę reikšmę, niekada su ja nesutampa.

Apskritai, jei ieškoma funkcijos ribos x siekiaa , tada reikia atsiminti, kad x nepriima reikšmės a, t.y. x nėra lygus a.

b) Taikoma Bezout teorema. Jei ieškote trupmenos ribos, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai, kurie ribiniame taške x virsta 0 \u003d a, tada pagal aukščiau pateiktą teoremą abu daugianariai be liekanos dalijasi iš x- a.

c) Iracionalumas skaitiklyje ar vardiklyje sunaikinamas skaitiklį ar vardiklį padauginus iš išraiškos konjugatas su iracionaliuoju, tada supaprastinus trupmeną sumažinama.

d) Naudojama 1-oji žymioji riba (4.1).

e) Mes naudojame be galo mažą ekvivalentiškumo teoremą ir šią b.m.:

2. Atvejis, kai x siekiaa funkcija f(x) reiškia dviejų be galo didelių dydžių santykį

a) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš aukščiausias laipsnis nežinomas.

b) Apskritai galite naudoti taisyklę

3. Atvejis, kai x siekiaa funkcija f(x) reiškia be galo mažos ir be galo didelės reikšmės sandaugą

Trupmena paverčiama forma, kurios skaitiklis ir vardiklis vienu metu linkę į 0 arba į begalybę, t.y. 3 atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 atvejo.

4. Atvejis, kai x siekiaa funkcija f(x) reiškia dviejų teigiamų be galo didelių dydžių skirtumą

Šis atvejis sumažinamas iki 1 arba 2 rūšių vienu iš šių būdų:

a) mažinant trupmenas iki bendro vardiklio;

b) funkcijos transformavimas į trupmenos formą;

c) atsikratyti neracionalumo.

5. Atvejis, kai x siekiaa funkcija f(x) reiškia laipsnį, kurio bazė linkusi į 1, o eksponentas linkęs į begalybę.

Funkcija transformuojama taip, kad būtų panaudota 2-oji žymioji riba (4.2).

Pavyzdys. Rasti .

Nes x linkęs į 3, tada trupmenos skaitiklis linksta į skaičių 3 2 +3 *3+4=22, o vardiklis į skaičių 3+8=11. Vadinasi,

Pavyzdys

Čia trupmenos skaitiklis ir vardiklis x linkęs į 2 linkę į 0 (formos neapibrėžtis), skaitiklį ir vardiklį išskaidome į veiksnius, gauname lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Pavyzdys

Mes padauginame skaitiklį ir vardiklį iš išraiškos, susietos su skaitikliu, gauname

Atidarę skliaustus skaitiklyje, gauname

Pavyzdys

2 lygis Pavyzdys. Pateiksime funkcijos ribos sąvokos taikymo ekonominiuose skaičiavimuose pavyzdį. Apsvarstykite paprastą finansinę operaciją: sumos paskolinimą S 0 su sąlyga, kad praėjus tam tikram laikotarpiui T suma bus grąžinta S T. Apibrėžkime vertę r santykinis augimas formulę

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Santykinis augimas gali būti išreikštas procentais, padauginus gautą vertę r iki 100.

Iš (1) formulės nesunku nustatyti reikšmę S T:

S T= S 0 (1 + r)

Skaičiuojant ilgalaikes paskolas keliems metams, naudojama sudėtinių palūkanų schema. Jį sudaro tai, kad jei už 1 metus suma S 0 padidėja (1 + r) kartų, tada antrus metus (1 + r) kartų suma padidėja S 1 = S 0 (1 + r), tai yra S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Panašiai pasirodo S 3 = S 0 (1 + r) 3 . Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galite gauti bendrą formulę, skirtą sumos augimui apskaičiuoti n metai skaičiuojant pagal sudėtinių palūkanų schemą:

S n= S 0 (1 + r) n.

Finansiniuose skaičiavimuose naudojamos schemos, kai sudėtinės palūkanos skaičiuojamos kelis kartus per metus. Kartu tai numato metinė norma r ir mokėjimų skaičius per metus k. Paprastai kaupimas atliekamas reguliariais intervalais, ty kiekvieno intervalo ilgiu T k yra metų dalis. Tada tam tikrą laikotarpį T metų (čia T nebūtinai sveikasis skaičius) S T apskaičiuojamas pagal formulę

(2)

kur yra sveikoji skaičiaus dalis, kuri yra tokia pati kaip ir pats skaičius, jei, pavyzdžiui, T? sveikasis skaičius.

Tegul metinė norma yra r ir pagaminta n sukauptos sumos per metus reguliariais intervalais. Tada už metus suma S 0 padidinamas iki reikšmės, nustatytos pagal formulę

(3)

AT teorinė analizė ir praktiškai finansinė veikla dažnai susiduriama su „nuolat sudėtinių palūkanų“ sąvoka. Norint pereiti prie nuolat kaupiamų palūkanų, (2) ir (3) formulėse reikia atitinkamai neribotai didinti skaičius k ir n(t.y. tikslas k ir n iki begalybės) ir apskaičiuokite, iki kurios ribos bus linkusios funkcijos S T ir S vienas . Taikykime šią procedūrą (3) formulei:

Atkreipkite dėmesį, kad garbanotų petnešų riba yra tokia pati kaip antroji žymi riba. Iš to išplaukia, kad metine norma r esant nuolat skaičiuojamoms palūkanoms, suma S 0 už 1 metus padidinamas iki vertės S 1 * , kuris nustatomas pagal formulę

S 1 * = S 0 er (4)

Dabar tegul suma S 0 skolinamas su palūkanomis n kartą per metus reguliariais intervalais. Pažymėti r e metinė norma, pagal kurią metų pabaigoje suma S 0 padidinama iki vertės S 1 * iš (4) formulės. Šiuo atveju mes tai pasakysime r e- tai yra metinė palūkanų norma n kartą per metus, atitinkantį metinį procentą r su nuolatiniu kaupimu. Iš (3) formulės gauname

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Paskutinės formulės ir (4) formulės dešiniųjų dalių prilyginimas, darant prielaidą, kad paskutinė T= 1, galime išvesti ryšius tarp dydžių r ir r e:

Šios formulės plačiai naudojamos finansiniuose skaičiavimuose.