Պարաբոլայի հավասարման ածանցում. Եռակետ հավասարում. ինչպես գտնել պարաբոլայի գագաթը, բանաձև

III մակարդակ

3.1. Հիպերբոլան շոշափում է ուղիղ գծեր 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y- - 48 = 0. Գրե՛ք հիպերբոլայի հավասարումը, պայմանով, որ դրա առանցքները համընկնեն կոորդինատային առանցքների հետ:

3.2. Կազմե՛ք հիպերբոլայի շոշափողների հավասարումներ

1) կետով անցնելը Ա(4, 1), Բ(5, 2) և Գ(5, 6);

2) զուգահեռ ուղիղ 10 x – 3y + 9 = 0;

3) ուղղահայաց ուղիղ 10 x – 3y + 9 = 0.

Պարաբոլակոչվում է հարթության այն կետերի տեղամաս, որոնց կոորդինատները բավարարում են հավասարումը

Պարաբոլայի պարամետրերը.

Կետ Ֆ(էջ/ 2, 0) կոչվում է կենտրոնանալ պարաբոլներ, մեծություն էջ – պարամետր , կետ Օ(0, 0) – գագաթնակետ ... Ավելին, ուղիղ ՕՐ, որի նկատմամբ պարաբոլան սիմետրիկ է, սահմանում է այս կորի առանցքը։

Քանակը որտեղ Մ(x, y) Պարաբոլայի կամայական կետն է, որը կոչվում է կիզակետային շառավիղ , ուղիղ Դ: x = –էջ/2 – տնօրեն (այն չի հատում պարաբոլայի ներքին շրջանը): Քանակը կոչվում է պարաբոլայի էքսցենտրիկություն:

Պարաբոլայի հիմնական բնութագրիչ հատկությունըՊարաբոլայի բոլոր կետերը հավասար հեռավորության վրա են ուղղորդիչից և կիզակետից (նկ. 24):

Կան պարաբոլայի կանոնական հավասարման այլ ձևեր, որոնք որոշում են նրա ճյուղերի այլ ուղղությունները կոորդինատային համակարգում (նկ. 25).

Համար պարաբոլայի պարամետրային սահմանումը որպես պարամետր տՊարաբոլայի կետի օրդինատի արժեքը կարելի է վերցնել.

որտեղ տ- կամայական իրական թիվ:

Օրինակ 1.Որոշե՛ք պարաբոլայի պարամետրերը և ձևը նրա կանոնական հավասարմամբ.

Լուծում. 1. Հավասարում y 2 = –8xսահմանում է պարաբոլա, որի գագաթնակետն է կետում Օ Եզ... Նրա ճյուղերն ուղղված են դեպի ձախ։ Համեմատելով այս հավասարումը հավասարման հետ y 2 = –2px, գտնում ենք՝ 2 էջ = 8, էջ = 4, էջ/ 2 = 2. Հետեւաբար, ուշադրության կենտրոնում է կետը Ֆ(–2; 0), ուղղաձիգ հավասարում Դ: x= 2 (նկ. 26):

2. Հավասարում x 2 = –4yսահմանում է պարաբոլա, որի գագաթնակետն է կետում Օ(0; 0) սիմետրիկ առանցքի նկատմամբ Օյ... Նրա ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։ Համեմատելով այս հավասարումը հավասարման հետ x 2 = –2py, գտնում ենք՝ 2 էջ = 4, էջ = 2, էջ/ 2 = 1. Հետևաբար, ուշադրության կենտրոնում է կետը Ֆ(0; –1), ուղղահայաց հավասարում Դ: y= 1 (նկ. 27):

Օրինակ 2.Սահմանեք պարամետրերը և կորի տեսակը x 2 + 8x – 16y- 32 = 0. Կատարեք նկար:

Լուծում.Եկեք փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը՝ օգտագործելով լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդը.

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Արդյունքում մենք ստանում ենք

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Սա պարաբոլայի կանոնական հավասարումն է, որի գագաթնակետն է (–4; –3), պարամետրը։ էջ= 8, ճյուղեր ուղղված դեպի վեր (), առանցք x= –4. Ուշադրության կենտրոնում է կետը Ֆ(–4; –3 + էջ/ 2), այսինքն. Ֆ(–4; 1) Տնօրեն Դտրված է հավասարմամբ y = –3 – էջ/ 2 կամ y= –7 (նկ. 28):

Օրինակ 4.Հավասարեցրեք պարաբոլան գագաթնակետին մի կետում Վ(3; –2) և կենտրոնանալ կետի վրա Ֆ(1; –2).

Լուծում.Այս պարաբոլայի գագաթն ու կիզակետը գտնվում են առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա Եզ(նույն օրդինատները), պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ձախ (կիզակետի աբսցիսան փոքր է գագաթի աբսցիսայից), կիզակետից մինչև գագաթ հեռավորությունը՝ էջ/2 = 3 – 1 = 2, էջ= 4. Այսպիսով, պահանջվող հավասարումը

(y+ 2) 2 = –2 · 4 ( x- 3) կամ ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Ինքնօգնության առաջադրանքներ

Մակարդակ I

1.1. Սահմանեք պարաբոլայի պարամետրերը և գծեք այն.

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Գրեք սկզբնակետում գագաթ ունեցող պարաբոլայի հավասարումը, եթե գիտեք, որ.

1) պարաբոլան գտնվում է առանցքի նկատմամբ սիմետրիկորեն ձախ կես հարթությունում Եզև էջ = 4;

2) պարաբոլան գտնվում է առանցքի նկատմամբ սիմետրիկորեն Օյև անցնում է կետի միջով Մ(4; –2).

3) ուղղորդիչը տրված է 3-րդ հավասարմամբ y + 4 = 0.

1.3. Հավասարեցրեք կորը, որտեղ բոլոր կետերը հավասար են (2; 0) կետից և ուղիղ գծից x = –2.

II մակարդակ

2.1. Որոշեք կորի տեսակը և պարամետրերը:

Թերևս բոլորը գիտեն, թե ինչ է պարաբոլան: Բայց ինչպես ճիշտ, գրագետ օգտագործել այն տարբեր գործնական խնդիրներ լուծելիս, մենք դա պարզելու ենք ստորև:

Նախ, մենք նախանշում ենք այն հիմնական հասկացությունները, որոնք հանրահաշիվը և երկրաչափությունը տալիս են այս տերմինին: Դիտարկենք այս գրաֆիկի բոլոր հնարավոր տեսակները։

Եկեք պարզենք այս ֆունկցիայի բոլոր հիմնական բնութագրերը: Եկեք հասկանանք կորի կառուցման հիմունքները (երկրաչափություն): Եկեք սովորենք, թե ինչպես գտնել այս տեսակի աղյուսակի վերին և այլ հիմնական արժեքները:

Մենք կիմանանք՝ ինչպես ճիշտ կառուցել ցանկալի կորը ըստ հավասարման, ինչին պետք է ուշադրություն դարձնել։ Տեսնենք այս եզակի արժեքի հիմնական գործնական կիրառումը մարդկային կյանքում։

Ինչ է պարաբոլան և ինչ տեսք ունի այն

Հանրահաշիվ: Այս տերմինը վերաբերում է քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Երկրաչափություն. Սա երկրորդ կարգի կոր է, որն ունի մի շարք հատուկ առանձնահատկություններ.

Կանոնական պարաբոլայի հավասարում

Նկարում ներկայացված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (XOY), ծայրահեղություն, ֆունկցիայի գծագրի ճյուղերի ուղղությունը աբսցիսային առանցքի երկայնքով:

Կանոնական հավասարումը հետևյալն է.

y 2 = 2 * p * x,

որտեղ p գործակիցը պարաբոլայի կիզակետային պարամետրն է (AF):

Հանրահաշվում այլ կերպ կգրվի.

y = a x 2 + b x + c (ճանաչելի օրինակ. y = x 2):

Քառակուսի ֆունկցիայի հատկություններ և հողամաս

Ֆունկցիան ունի համաչափության առանցք և կենտրոն (ծայրահեղ): Սահմանման տիրույթ - abscissa առանցքի բոլոր արժեքները:

Ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը - (-∞, M) կամ (M, + ∞) կախված է կորի ճյուղերի ուղղությունից: Այստեղ M պարամետրը նշանակում է գծի վերևում գտնվող ֆունկցիայի արժեքը:

Ինչպես որոշել, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը

Արտահայտությունից այս տիպի կորի ուղղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է նշանը որոշել հանրահաշվական արտահայտության առաջին պարամետրից առաջ։ Եթե ​​a ˃ 0, ապա դրանք ուղղված են դեպի վեր: Եթե ​​ընդհակառակը `ներքև:

Ինչպես գտնել պարաբոլայի գագաթը՝ օգտագործելով բանաձևը

Էքստրեմում գտնելը շատ գործնական խնդիրների լուծման հիմնական քայլն է: Իհարկե, դուք կարող եք բացել հատուկ առցանց հաշվիչներ, բայց ավելի լավ է ինքներդ կարողանաք դա անել:

Ինչպե՞ս եք դա սահմանում: Կա հատուկ բանաձեւ. Երբ b-ը հավասար չէ 0-ի, պետք է փնտրել այս կետի կոորդինատները:

Վերտեքս գտնելու բանաձևեր.

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0):

Օրինակ.

Կա y = 4 * x 2 + 16 * x - 25 ֆունկցիա։ Գտնենք այս ֆունկցիայի գագաթները։

Նման տողի համար.

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41:

Ստանում ենք գագաթի կոորդինատները (-2, -41):

Պարաբոլայի օֆսեթ

Դասական դեպքը, երբ y = a x 2 + b x + c քառակուսի ֆունկցիայում երկրորդ և երրորդ պարամետրերը հավասար են 0-ի, իսկ = 1 - գագաթը գտնվում է (0; 0) կետում:

Շարժումը աբսցիսայի կամ օրդինատների առանցքների երկայնքով պայմանավորված է համապատասխանաբար b և c պարամետրերի փոփոխությամբ։Հարթության վրա գծի տեղաշարժը կիրականացվի հենց այն միավորների քանակով, որը հավասար է պարամետրի արժեքին:

Օրինակ.

Մենք ունենք՝ b = 2, c = 3:

Սա նշանակում է, որ կորի դասական ձևը կտեղափոխվի 2 միավոր հատվածով աբսցիսայի առանցքի երկայնքով և 3-ով՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով:

Ինչպես կառուցել պարաբոլա՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարումը

Դպրոցականների համար կարևոր է սովորել, թե ինչպես ճիշտ նկարել պարաբոլան՝ ըստ տրված պարամետրերի։

Արտահայտություններն ու հավասարումները վերլուծելով՝ կարող եք տեսնել հետևյալը.

1. Որոնվող ուղիղի հատման կետը օրդինատների վեկտորի հետ կունենա c-ի արժեք:
2. Գրաֆիկի բոլոր կետերը (աբսցիսայի առանցքի երկայնքով) սիմետրիկ կլինեն ֆունկցիայի հիմնական ծայրահեղության նկատմամբ:

Բացի այդ, OX-ի հետ հատման կետերը կարելի է գտնել՝ իմանալով նման ֆունկցիայի դիսկրիմինանտը (D).

D = (b 2 - 4 * a * c):

Դա անելու համար դրեք արտահայտությունը զրոյի:

Պարաբոլայի արմատների առկայությունը կախված է արդյունքից.

• D ˃ 0, ապա x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0, ապա x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, ապա OX վեկտորի հետ հատման կետեր չկան:

Մենք ստանում ենք պարաբոլա կառուցելու ալգորիթմը.

• որոշել ճյուղերի ուղղությունը;
• գտնել գագաթի կոորդինատները;
• գտե՛ք խաչմերուկը y առանցքի հետ;
• գտե՛ք խաչմերուկը աբսցիսայի հետ:

Օրինակ 1.

Տրվում է y = x 2 - 5 * x + 4 ֆունկցիա: Անհրաժեշտ է կառուցել պարաբոլա: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի.

1. a = 1, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. հատվում է y առանցքի հետ y = 4 արժեքով;
4. գտե՛ք տարբերակիչը՝ D = 25 - 16 = 9;
5. փնտրում արմատներ.

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (տասը):

Օրինակ 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 ֆունկցիայի համար անհրաժեշտ է կառուցել պարաբոլա: Մենք գործում ենք ըստ տրված ալգորիթմի.

1. a = 3, հետևաբար, ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
2. ծայրահեղ կոորդինատները `x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. կհատվի y առանցքի հետ y = -1 արժեքով;
4. գտե՛ք տարբերակիչը՝ D = 4 + 12 = 16: Այսպիսով, արմատները.

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0):

Ստացված կետերից կարող եք պարաբոլա կառուցել։

Տնօրենուհի, էքսցենտրիկություն, պարաբոլա ֆոկուս

Հիմնվելով կանոնական հավասարման վրա, ֆոկուսը F ունի կոորդինատներ (p / 2, 0):

Straight AB-ն ուղղաձիգ է (որոշակի երկարությամբ պարաբոլայի մի տեսակ ակորդ): Նրա հավասարումը: x = -p / 2:

Էքսցենտրիկություն (հաստատուն) = 1:

Եզրակացություն

Մենք ուսումնասիրեցինք մի թեմա, որը սովորում են ավագ դպրոցում: Այժմ դուք գիտեք, նայելով պարաբոլայի քառակուսային ֆունկցիան, թե ինչպես գտնել նրա գագաթը, թե որ ուղղությամբ են ուղղվելու ճյուղերը, կա արդյոք տեղաշարժ առանցքների երկայնքով և, ունենալով գծագրման ալգորիթմ, կարող եք նկարել դրա գրաֆիկը։

Պարաբոլան կետերի բազմություն է տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության վրա(կենտրոնանալ)և տրված ուղիղ գծից, որը չի անցնում տվյալ կետով (տնօրեններ)գտնվում է նույն հարթությունում(նկ. 5):

Այս դեպքում կոորդինատային համակարգը ընտրվում է այնպես, որ առանցքը
կիզակետով անցնում է ուղղահայաց ուղղահայաց, դրա դրական ուղղությունն ընտրվում է ուղղաձիգից դեպի կիզակետ: Օրդինատների առանցքը ուղղորդիչին զուգահեռ է, մեջտեղում ուղղորդիչի և կիզակետի միջև, որտեղից էլ բխում է ուղղորդիչի հավասարումը.
, կենտրոնացման կոորդինատները
... Ծագումը պարաբոլայի գագաթն է, իսկ աբսցիսան՝ նրա համաչափության առանցքը։ Պարաբոլայի էքսցենտրիկություն
.

Որոշ դեպքերում պարաբոլները համարվում են տրված հավասարումներով

ա)

բ)
(բոլոր դեպքերի համար
)

v)
.

ա) դեպքում պարաբոլան սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
և ուղղված է դեպի իր բացասական կողմը (նկ. 6):

բ) և գ) դեպքերում համաչափության առանցքը առանցքն է
(նկ. 6): Ֆոկուս կոորդինատները այս դեպքերի համար.

ա)
բ)
v)
.

Directrix հավասարումը:

ա)
բ)
v)
.

Օրինակ 4.Կետի միջով է անցնում գագաթնակետով պարաբոլան
և սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
... Գրեք նրա հավասարումը:

Լուծում:

Քանի որ պարաբոլան սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
և անցնում է կետի միջով դրական աբսցիսով, այնուհետև այն ունի նկար 5-ում ներկայացված ձևը:

Կետի կոորդինատների փոխարինում նման պարաբոլայի հավասարման մեջ
, ստանում ենք
, այսինքն.
.

Հետևաբար, փնտրվող հավասարումը

,

այս պարաբոլայի կիզակետը
, ուղղահայաց հավասարումը
.

4. Երկրորդ կարգի տողի հավասարման վերածումը կանոնական ձևի.

Երկրորդ աստիճանի ընդհանուր հավասարումն ունի ձևը

որտեղ գործակիցները
մի անհետանալ միաժամանակ.

Ցանկացած ուղիղ, որը սահմանված է (6) հավասարմամբ, կոչվում է երկրորդ կարգի գիծ։ Կոորդինատների համակարգը փոխակերպելով՝ երկրորդ կարգի գծային հավասարումը կարող է կրճատվել մինչև ամենապարզ (կանոնական) ձևը։

1. (6) հավասարման մեջ
... Այս դեպքում (6) հավասարումն ունի ձև

Այն փոխակերպվում է իր ամենապարզ ձևին, օգտագործելով կոորդինատային առանցքների զուգահեռ թարգմանությունը՝ ըստ բանաձևերի

(8)

որտեղ
- նոր սկզբի կոորդինատները
(հին կոորդինատային համակարգում): Նոր կացիններ
և
զուգահեռ են հներին։ Կետ
էլիպսի կամ հիպերբոլայի կենտրոնն է, իսկ պարաբոլայի դեպքում՝ գագաթը։

Հարմար է (7) հավասարումը հասցնել իր ամենապարզ ձևին կատարյալ քառակուսիների ընտրության մեթոդով այնպես, ինչպես դա արվեց շրջանագծի համար:

Օրինակ 5.Երկրորդ կարգի տողի հավասարումը բերեք իր ամենապարզ ձևին: Որոշեք այս գծի տեսակը և գտնվելու վայրը: Գտեք կիզակետերի կոորդինատները: Կատարեք նկարչություն:

Լուծում:

Խմբավորման անդամներ, որոնք պարունակում են միայն բայց միայն , հանելով գործակիցները ժամը և փակագծից դուրս.

Փակագծերում տրված արտահայտությունները լրացնում ենք ամբողջական քառակուսիներով.

Այսպիսով, այս հավասարումը վերածվում է ձևի

Նշում ենք

կամ

Համեմատելով (8) հավասարումների հետ՝ մենք տեսնում ենք, որ այս բանաձևերը որոշում են կոորդինատային առանցքների զուգահեռ թարգմանությունը դեպի կետ
... Նոր կոորդինատային համակարգում հավասարումը կգրվի հետևյալ կերպ.

Ազատ տերմինը աջ տեղափոխելով և դրա վրա բաժանելով՝ ստանում ենք.

.

Այսպիսով, այս երկրորդ կարգի գիծը կիսաառանցքներով էլիպս է
,
... Էլիպսի կենտրոնը գտնվում է նոր ծագման վրա
, իսկ նրա կիզակետային առանցքը առանցքն է
... Կենտրոնացեք հեռավորությունը կենտրոնից, ուստի ճիշտ ֆոկուսի նոր կոորդինատները
... Նույն ֆոկուսի հին կոորդինատները հայտնաբերվում են զուգահեռ փոխանցման բանաձևերից.

Նմանապես, ձախ ֆոկուսի նոր կոորդինատները
,
... Նրա հին կոորդինատները.
,
.

Այս էլիպսը գծելու համար գծագրի վրա գծում ենք հին և նոր կոորդինատային առանցքները։ Կետի երկու կողմերում հետաձգվել է առանցքի երկայնքով երկարությունները , և առանցքի երկայնքով - երկարությունը ; այսպիսով ստանալով էլիպսի գագաթները, նկարիր հենց էլիպսը (նկ. 7):

Մեկնաբանություն... Գծագիրը ճշգրտելու համար օգտակար է գտնել այս գծի (7) հատման կետերը հին կոորդինատային առանցքների հետ։ Դա անելու համար նախ պետք է բանաձևի մեջ դնել (7)
, եւ հետո
և լուծել ստացված հավասարումները:

Բարդ արմատների հայտնվելը կնշանակի, որ (7) գիծը չի հատում համապատասխան կոորդինատային առանցքը։

Օրինակ՝ հենց նոր վերլուծված խնդրի էլիպսի համար ստացվում են հետևյալ հավասարումները.

Այս հավասարումներից երկրորդն ունի բարդ արմատներ, ուստի էլիպսի առանցքը
չի անցնում. Առաջին հավասարման արմատները.

Կետերում
և
էլիպս խաչեր առանցք
(նկ. 7):

Օրինակ 6.Կրճատել երկրորդ կարգի տողի հավասարումը իր ամենապարզ ձևին: Որոշեք գծի տեսակը և գտնվելու վայրը, գտեք կիզակետի կոորդինատները:

Լուծում:

Քանի որ անդամի հետ բացակայում է, ապա անհրաժեշտ է ընտրել ամբողջական քառակուսի միայն ըստ :

Մենք նաև հանում ենք գործակիցը

.

Նշում ենք

կամ

Այսպիսով, կոորդինատային համակարգի զուգահեռ փոխանցում դեպի կետ
... Փոխանցումից հետո հավասարումը ձև է ստանում

.

Հետևում է, որ այս ուղիղը պարաբոլա է (նկ. 8), կետ նրա գագաթնակետն է: Պարաբոլան ուղղված է դեպի առանցքի բացասական կողմը և սիմետրիկ է այս առանցքի նկատմամբ: Քանակը քանզի այն հավասար է.

Ուստի ֆոկուսը նոր կոորդինատներ ունի

.

Նրա հին կոորդինատները

Եթե ​​այս հավասարման մեջ դնենք
կամ
, ապա մենք գտնում ենք, որ պարաբոլան հատում է առանցքը
կետում
և առանցքը
այն չի անցնում:

2. (1) հավասարման մեջ
... Երկրորդ աստիճանի ընդհանուր հավասարումը (1) վերածվում է (2) ձևի, այսինքն. 1-ին կետում դիտարկվողին: դեպքում՝ կոորդինատային առանցքները անկյան տակ պտտելով
բանաձևերով

(9)

որտեղ
- նոր կոորդինատներ: Ներարկում
հայտնաբերվում է հավասարումից

Կոորդինատային առանցքները պտտվում են այնպես, որ նոր առանցքները
և
զուգահեռ էին երկրորդ կարգի գծի համաչափության առանցքներին։

Իմանալով
, հնարավոր է գտնել
և
եռանկյունաչափության բանաձևերով

,
.

Եթե ​​պտտման անկյունը
համաձայնեք համարվել սուր, ապա այս բանաձեւերում անհրաժեշտ է վերցնել գումարած նշանը, իսկ համար
անհրաժեշտ է նաև ընդունել (5) հավասարման դրական լուծում։

Մասնավորապես, համար
կոորդինատային համակարգը պետք է պտտել անկյան տակ
... Անկյունով ռոտացիայի բանաձևերը հետևյալն են.

(11)

Օրինակ 7.Երկրորդ կարգի տողի հավասարումը բերեք իր ամենապարզ ձևին: Սահմանեք այս տողի տեսակը և գտնվելու վայրը:

Լուծում:

Այս դեպքում
, 1
,
, ուրեմն պտտման անկյունը
հայտնաբերվում է հավասարումից

.

Այս հավասարման լուծումը
և
... Սահմանափակումը սուր անկյան տակ
, վերցնում ենք դրանցից առաջինը։ Հետո

,

,
.

Փոխարինելով այս արժեքները և այս հավասարման մեջ

Ընդարձակելով փակագծերը և մեջբերելով նմանատիպերը՝ ստանում ենք

.

Ի վերջո, բաժանելով ազատ անդամի վրա՝ հասնում ենք էլիպսի հավասարմանը

.

Այստեղից հետևում է, որ
,
, իսկ էլիպսի հիմնական առանցքն ուղղված է առանցքի երկայնքով
, և փոքր - առանցքի երկայնքով
.

Մի կետ կստացվի
որի շառավիղն է
թեքված դեպի առանցքը
անկյան տակ
, ինչի համար
... Հետեւաբար, այս կետով
և կանցնի նոր աբսցիսային առանցք։ Այնուհետեւ մենք նշում ենք առանցքների վրա
և
էլիպսի գագաթները և նկարիր էլիպսը (նկ. 9):

Նկատի ունեցեք, որ այս էլիպսը հատում է հին կոորդինատային առանցքները այն կետերում, որոնք հայտնաբերված են քառակուսի հավասարումներից (եթե այս հավասարման մեջ դնենք.
կամ
):

և
.

Դասախոսություններ հանրահաշվի և երկրաչափության վերաբերյալ: Կիսամյակ 1.

Դասախոսություն 17. Պարաբոլա.

Գլուխ 17. Պարաբոլա.

կետ 1. Հիմնական սահմանումներ.

Սահմանում. Պարաբոլան կոչվում է HMT հարթություն, որը հավասար հեռավորության վրա է հարթության մեկ ֆիքսված կետից, որը կոչվում է կիզակետ, և մեկ հաստատուն ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է ուղղագիծ:

Սահմանում. Ինքնաթիռի կամայական M կետից մինչև պարաբոլայի կիզակետ հեռավորությունը կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ։

Նշումներ. F-ը պարաբոլայի կիզակետն է, r-ը M կետի կիզակետային շառավիղն է, d-ը M կետից մինչև D ուղղիչ հեռավորությունը:

Ըստ պարաբոլայի սահմանման՝ M կետը պարաբոլայի կետն է, եթե և միայն, եթե
.

Ըստ պարաբոլայի սահմանման՝ դրա կիզակետը և ուղղագիծը ֆիքսված առարկաներ են, հետևաբար, կիզակետից մինչև ուղղաձիգ հեռավորությունը հաստատուն արժեք է տվյալ պարաբոլայի համար:

Սահմանում. Պարաբոլայի կիզակետից մինչև նրա ուղղորդիչ հեռավորությունը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետային պարամետր:

Նշանակում:
.

Եկեք այս հարթության վրա ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ, որը մենք կանվանենք կանոնական պարաբոլայի համար:

Սահմանում. Ուղղորդիչին ուղղահայաց պարաբոլայի կիզակետով գծված առանցքը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետային առանցք:

Եկեք կառուցենք կանոնական PDSC պարաբոլայի համար, տես Նկար 2:

Որպես abscissa առանցք մենք ընտրում ենք կիզակետային առանցքը, ուղղությունը, որի վրա մենք ընտրում ենք ուղղորդիչից դեպի կենտրոն:

Օրդինատների առանցքը գծված է կիզակետային առանցքին ուղղահայաց FN հատվածի միջով: Այնուհետև ֆոկուսը ունի կոորդինատներ
.

կետ 2. Կանոնական պարաբոլայի հավասարում.

Թեորեմ. Պարաբոլայի կանոնական կոորդինատային համակարգում պարաբոլայի հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

. (1)

Ապացույց. Ապացուցումն իրականացնում ենք երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք կապացուցենք, որ պարաբոլայի վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են (1) հավասարումը։ Երկրորդ փուլում մենք կապացուցենք, որ (1) հավասարման ցանկացած լուծում տալիս է պարաբոլայի վրա ընկած կետի կոորդինատները: Հետևաբար, հավասարումը (1) բավարարվում է կոորդինատային հարթության այն կետերի կոորդինատներով, որոնք գտնվում են պարաբոլայի վրա:

Սրանից և կորի հավասարման սահմանումից կհետևի, որ (1) հավասարումը պարաբոլայի հավասարումն է։

1) M (x, y) կետը թող լինի պարաբոլայի կետը, այսինքն.

.

Մենք օգտագործում ենք կոորդինատային հարթության երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը և գտնում ենք տվյալ M կետի կիզակետային շառավիղը՝ օգտագործելով այս բանաձևը.

.

Նկար 2-ից տեսնում ենք, որ պարաբոլայի կետը չի կարող ունենալ բացասական աբսցիսա, քանի որ այս դեպքում
... Ահա թե ինչու
և
... Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարություն

.

Եկեք քառակուսի դարձնենք հավասարության երկու կողմերը.

իսկ կրճատումից հետո ստանում ենք.

.

2) Հիմա թող թվերի զույգը (x, y) բավարարի (1) հավասարումը, իսկ M (x, y) Oxy կոորդինատային հարթության համապատասխան կետը:

Այնուհետև հավասարությունը (1) փոխարինում ենք M կետի կիզակետային շառավղի արտահայտությամբ.

, որտեղից պարաբոլայի սահմանումից հետևում է, որ M (x, y) կետը գտնվում է պարաբոլայի վրա։

Այստեղ մենք օգտագործել ենք այն փաստը, որ հավասարությունը (1) ենթադրում է դա
եւ, հետեւաբար
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. Հավասարումը (1) կոչվում է պարաբոլայի կանոնական հավասարում։

Սահմանում. Պարաբոլայի կանոնական կոորդինատային համակարգի ծագումը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ:

էջ 3. Պարաբոլայի հատկությունները.

Թեորեմ. (Պարաբոլայի հատկությունները):

1. Պարաբոլայի կանոնական կոորդինատային համակարգում՝ շերտի մեջ

պարաբոլայի կետեր չկան:

2. Պարաբոլայի կանոնական կոորդինատային համակարգում պարաբոլայի O (0; 0) գագաթն ընկած է պարաբոլայի վրա:

3. Պարաբոլան կոր է, որը համաչափ է կիզակետային առանցքի նկատմամբ:

Ապացույց. 1, 2) Անմիջապես բխում է պարաբոլայի կանոնական հավասարումից.

3) Թող M (x, y) պարաբոլայի կամայական կետ լինի: Այնուհետև նրա կոորդինատները բավարարում են (1) հավասարումը։ Բայց հետո կետի կոորդինատները
բավարարում է նաև (1) հավասարումը, և, հետևաբար, այս կետը նույնպես պարաբոլայի կետ է, որտեղից հետևում է թեորեմի պնդումը։

Թեորեմն ապացուցված է.

կետ 4. Պարաբոլայի կառուցում.

Համաչափության պատճառով բավական է առաջին քառորդում կառուցել պարաբոլա, որտեղ այն ֆունկցիայի գրաֆիկն է։

,

և այնուհետև ստացված գրաֆիկը սիմետրիկ կերպով ցուցադրել աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ:

Մենք կառուցում ենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ հաշվի առնելով, որ այդ ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում
.

էջ 5. Հիպերբոլայի կիզակետային պարամետր.

Թեորեմ. Պարաբոլայի կիզակետային պարամետրը հավասար է իր համաչափության առանցքին ուղղահայաց երկարությանը, որը վերականգնվել է պարաբոլայի կիզակետում՝ պարաբոլայի հետ հատվելուց առաջ։

Ապացույց. Քանի որ կետը
պարաբոլայի հատման կետն է
ուղղահայաց հետ
(տես նկ. 3), ապա դրա կոորդինատները բավարարում են պարաբոլայի հավասարումը.

.

Այստեղից մենք գտնում ենք
, որտեղից հետևում է թեորեմի պնդումը.

Թեորեմն ապացուցված է.

էջ 6. Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի միասնական սահմանում:

Օգտագործելով էլիպսի և հիպերբոլայի ապացուցված հատկությունները և պարաբոլայի սահմանումը, մենք կարող ենք բոլոր երեք կորերի միասնական սահմանում տալ:

Սահմանում. GMT ինքնաթիռները, որոնց համար հարթության մեկ ֆիքսված կետի, որը կոչվում է կիզակետ, հեռավորության հարաբերությունը մեկ հաստատուն ուղիղ գծի, որը կոչվում է ուղղագիծ, հաստատուն արժեք է, կոչվում է.

ա) էլիպս, եթե այս հաստատունը 1-ից փոքր է.

բ) հիպերբոլիա, եթե այս հաստատունը 1-ից մեծ է.

գ) պարաբոլա, եթե այս հաստատունը հավասար է 1-ի:

Այս հաստատունը, որը նշված է սահմանման մեջ, կոչվում է էքսցենտրիկություն և նշվում է , այս կետից մինչև կիզակետ հեռավորությունը նրա կիզակետային շառավիղն է r, այս կետից մինչև ուղղագիծ հեռավորությունը նշվում է d-ով:

Սահմանումից բխում է, որ հարթության այն կետերը, որոնց հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է էլիպսից, հիպերբոլայից կամ պարաբոլից՝ կախված այս հարաբերակցության արժեքից:

Եթե
, ապա ստանում ենք էլիպս, եթե
, ապա մենք ստանում ենք հիպերբոլա, եթե
, ապա ստանում ենք պարաբոլա։

էջ 7. Պարաբոլային շոշափող:

Թեորեմ. Թող լինի
- պարաբոլայի կամայական կետ

.

Այնուհետև այս պարաբոլային շոշափողի հավասարումը

կետում
նման է:

. (2)

Ապացույց. Բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ շոշափման կետը գտնվում է առաջին եռամսյակում։ Այնուհետև պարաբոլայի հավասարումն ունի ձև.

և այն կարելի է դիտել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ
.

Մենք օգտագործում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը
կետում
:

որտեղ
- այս ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը կետում
.

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
և դրա արժեքը շոշափման կետում.

,
.

Այստեղ մենք օգտագործել ենք այն փաստը, որ հպման կետը
պարաբոլայի կետն է և հետևաբար դրա կոորդինատները բավարարում են պարաբոլայի հավասարումը, այսինքն.

.

Ածանցյալի գտած արժեքը փոխարինի՛ր շոշափող հավասարման մեջ.

,

որտեղից մենք ստանում ենք.

.

Քանի որ կետը
պատկանում է պարաբոլային, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են նրա հավասարումը, այսինքն.
, որտեղից մենք ստանում ենք

կամ
.

սա ենթադրում է

.

Թեորեմն ապացուցված է.

էջ 8. Պարաբոլայի հայելային հատկությունը.

Թեորեմ. Պարաբոլային շոշափողը իր համաչափության առանցքով և շոշափող կետի կիզակետային շառավղով կազմում է հավասար անկյուններ։

Ապացույց. Թող լինի
- հպման կետ, Նրա կիզակետային շառավիղն է: Թող N-ը նշանակի շոշափողի հատման կետը աբսցիսայի առանցքի հետ: N կետի օրդինատը հավասար է զրոյի, իսկ N կետը գտնվում է շոշափողի վրա, հետևաբար նրա կոորդինատները բավարարում են շոշափողի հավասարումը։ Փոխարինելով N կետի կոորդինատները շոշափող հավասարման մեջ՝ ստանում ենք.

,

որտեղից N կետի աբսցիսան հավասար է
.

Դիտարկենք եռանկյուն
... Փաստենք, որ այն հավասարաչափ է։

Իսկապես,
... Այստեղ մենք օգտագործել ենք պարաբոլայի կանոնական հավասարման արդյունքում ստացված հավասարությունը.

.

Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են: Այստեղից

և այլն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Ապացուցված թեորեմը կարելի է ձևակերպել որպես պարաբոլայի հայելային հատկություն։

Պարաբոլայի կիզակետից արձակված լույսի ճառագայթը պարաբոլայի հայելից արտացոլվելուց հետո անցնում է պարաբոլայի համաչափության առանցքին զուգահեռ։

Իրոք, քանի որ շոշափողի վրա ճառագայթի անկման անկյունը հավասար է նրանից անդրադարձման անկյունին, շոշափողի և անդրադարձված ճառագայթի անկյունը հավասար է շոշափողի և աբսցիսայի առանցքի միջև ընկած անկյունին, որտեղից հետևում է, որ արտացոլված ճառագայթը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին:

Մեկնաբանություն. Պարաբոլայի այս հատկությունը լայնորեն կիրառվում է տեխնիկայում։ Եթե ​​պարաբոլան պտտվում է իր համաչափության առանցքի շուրջ, ապա մենք ստանում ենք մակերես, որը կոչվում է պտույտի պարաբոլոիդ։ Եթե ​​դուք արտացոլող մակերես եք պատրաստում պտույտի պարաբոլոիդի տեսքով և լույսի աղբյուրը դնում եք ուշադրության կենտրոնում, ապա արտացոլված ճառագայթները զուգահեռ են անցնում պարաբոլոիդի համաչափության առանցքին: Այսպես են աշխատում լուսարձակներն ու մեքենաների լուսարձակները։ Եթե, այնուամենայնիվ, էլեկտրամագնիսական տատանումներ (ալիքներ) ընդունող սարքը դրվի ուշադրության կենտրոնում, ապա դրանք արտացոլվում են պարաբոլոիդի մակերեսից և ընկնում այս ընդունող սարքի մեջ։ Ահա թե ինչպես են աշխատում արբանյակային ալեհավաքները.

Լեգենդ կա, որ հին ժամանակներում մի գեներալ իր զինվորներին շարել է ափի երկայնքով՝ տալով նրանց կազմվածքին պարաբոլայի տեսք։ Արևի լույսը, որն արտացոլվում է ռազմիկների վահաններից, փայլեցված մինչև փայլ, հավաքված ճառագայթով (կառուցված պարաբոլայի կիզակետում): Այսպիսով, այրվել են հակառակորդի նավերը։ Որոշ աղբյուրներ դա վերագրում են Արքիմեդին։ Այսպես թե այնպես, բայց արաբները հեղափոխության պարաբոլոիդն անվանել են «բոցավառ հայելի»։

Ի դեպ, ֆոկուս բառը լատիներեն է և թարգմանաբար նշանակում է կրակ, օջախ։ «Հրկիզվող հայելու» օգնությամբ կարելի է արևոտ օրը կրակ վառել և ջուր եռացնել։ Այսպիսով, այս տերմինի ծագումը պարզ է դառնում:

«Հնարք» բառը նշանակում է նաև ինչ-որ հնարք կամ հնարք: Նախկինում կրկեսը կրպակ էր կոչվում։ Այսպիսով, նույնիսկ ֆարսի նկարիչները օգտագործեցին էլիպսի հայելային հատկությունը և լուսավորելով լույսը էլիպսի մի կիզակետում, նրանք վառեցին դյուրավառ ինչ-որ բան, որը դրվեց դրա մյուս կիզակետում: Այս տեսարանը նաև անվանվել է կիզակետ։ (Կարդացեք Ն.Յա. Վիլենկինի «Մաթեմատիկական դասագրքի էջերի հետևում» հրաշալի գիրքը)

կետ 9. Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի բևեռային հավասարումը:

Թող հարթության վրա տրվի F կետ, որը մենք կանվանենք կիզակետ, և D ուղիղ, որը կանվանենք ուղղաձիգ: Եկեք ուղիղ գիծ գծենք ուղղահայաց (կիզակետային առանցքին) կիզակետի միջով և ներկայացնենք բևեռային կոորդինատային համակարգ: Մենք բևեռը դնում ենք կիզակետում և որպես բևեռային ճառագայթ վերցնում ենք ուղիղ գծի այն մասը, որը չի հատում ուղղագիծը (տե՛ս նկ. 5):

Թող M կետը ընկած լինի էլիպսի, հիպերբոլայի կամ պարաբոլայի վրա: Հետևյալում մենք կկոչենք զլիպների հիպերբոլա կամ պարզապես կորի պարաբոլա:

Թեորեմ. Թող լինի
- կորի կետի բևեռային կոորդինատները (էլիպս, հիպերբոլա կամ պարաբոլա): Հետո

, (3)

որտեղ p-ը կորի կիզակետային պարամետրն է, Արդյո՞ք կորի էքսցենտրիկությունը (պարաբոլայի համար մենք ենթադրում ենք
).

Ապացույց. Թող Q լինի M կետի պրոյեկցիան կորի կիզակետային առանցքի վրա, B՝ կորի ուղղորդիչի վրա: Թող բևեռային անկյունը M կետը բութ է, ինչպես նկար 5-ում: Հետո

,

որտեղ, ըստ շինարարության,
Արդյո՞ք հեռավորությունը M կետից մինչև ուղղագիծ, և

. (4)

Մյուս կողմից, էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի միասնական սահմանման համաձայն, հարաբերակցությունը.

(5)

հավասար է համապատասխան կորի էքսցենտրիկությանը այս կորի ցանկացած M կետի համար: Թող կետը
- կորի հատման կետը կիզակետային առանցքին ուղղահայաց հետ, վերականգնված է ուշադրության կենտրոնում, և A - դրա պրոյեկցիան ուղղահայաց վրա: Հետո

, որտեղ
... Բայց
, որտեղ

և, փոխարինելով հավասարությամբ (4), մենք ստանում ենք

կամ, հաշվի առնելով հավասարությունը (5),

որտեղից հետևում է ապացուցված հավասարությունը (3):

Նշենք, որ հավասարությունը (4) մնում է վավեր այն դեպքում, երբ բևեռային անկյունը M կետը սուր է, քանի որ այս դեպքում Q կետը գտնվում է F ֆոկուսի աջ կողմում և

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. Հավասարումը (3) կոչվում է էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի բևեռային հավասարում։

Պարաբոլան F կետից և տրված d ուղիղ գծից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի տեղն է, որը չի անցնում տվյալ կետով։ Այս երկրաչափական սահմանումն արտահայտում է տեղեկատու պարաբոլայի սեփականություն.

Պարաբոլայի տեղեկատու հատկությունը

F կետը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետ, d ուղիղը պարաբոլայի ուղղորդիչն է, ֆոկուսից դեպի ուղղահայաց իջած ուղղահայաց O միջինը պարաբոլայի գագաթն է, p հեռավորությունը կիզակետից դեպի ուղղագիծ՝ պարաբոլայի պարամետրը և \ ֆրակ (p) (2) հեռավորությունը պարաբոլայի գագաթից մինչև դրա կիզակետը՝ կիզակետային երկարությունը (նկ. 3.45, ա): Ուղղագիծին ուղղահայաց և կիզակետով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է պարաբոլայի առանցք (պարաբոլայի կիզակետային առանցք): Պարաբոլայի կամայական M կետն իր կիզակետին միացնող FM հատվածը կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ։ Պարաբոլայի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է պարաբոլայի ակորդ։

Պարաբոլայի կամայական կետի համար հեռավորության հարաբերակցությունը կիզակետին և հեռավորությանը դեպի ուղղագիծ հավասար է մեկի: Համեմատելով գրացուցակի հատկությունները և պարաբոլները՝ մենք եզրակացնում ենք, որ պարաբոլայի էքսցենտրիկությունըստ սահմանման հավասար է մեկի (e = 1):

Պարաբոլայի երկրաչափական սահմանումը, որն արտահայտում է իր գրացուցակի հատկությունը, համարժեք է դրա վերլուծական սահմանմանը` պարաբոլայի կանոնական հավասարմամբ սահմանված տող.

Իրոք, մենք ներկայացնում ենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (Նկար 3.45, բ): Որպես կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ ընդունվում է պարաբոլայի O գագաթը. ուղղագիծը ուղղահայաց կիզակետով անցնող ուղիղ գիծը վերցվում է որպես աբսցիսայի առանցք (դրա վրա դրված դրական ուղղությունը O կետից F կետ); Որպես օրդինատների առանցք ընդունվում է աբսցիսայի առանցքին ուղղահայաց և պարաբոլայի գագաթով անցնող ուղիղը (օրդինատների առանցքի ուղղությունը ընտրված է այնպես, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxy ճիշտ է):

Կազմենք պարաբոլայի հավասարումը, օգտագործելով նրա երկրաչափական սահմանումը, որն արտահայտում է պարաբոլայի տեղեկատու հատկությունը։ Ընտրված կոորդինատային համակարգում որոշեք ֆոկուսի կոորդինատները F \! \ Ձախ (\ frac (p) (2); \, 0 \ աջ)և ուղղորդիչի հավասարումը x = - \ ֆրակ (p) (2): Պարաբոլային պատկանող կամայական M (x, y) կետի համար մենք ունենք.

FM = MM_d,

որտեղ M_d \! \ Ձախ (\ frac (p) (2); \, y \ աջ) M (x, y) կետի ուղղանկյուն պրոյեկցիան է ուղղահայաց վրա: Մենք գրում ենք այս հավասարումը կոորդինատային ձևով.

\ sqrt ((\ ձախ (x- \ frac (p) (2) \ աջ) \^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը. (\ ձախ (x- \ ֆրակ (p) (2) \ աջ) \^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}... Նվազեցնելով նմանատիպ տերմինները, մենք ստանում ենք կանոնական պարաբոլայի հավասարում

y ^ 2 = 2 \ cdot p \ cdot x,դրանք. ընտրված կոորդինատային համակարգը կանոնական է:

Պատճառաբանությունն իրականացնելով հակառակ հերթականությամբ՝ կարելի է ցույց տալ, որ բոլոր կետերը, որոնց կոորդինատները բավարարում են (3.51) հավասարումը, և միայն նրանք, պատկանում են կետերի մի վայրի, որը կոչվում է պարաբոլա: Այսպիսով, պարաբոլայի վերլուծական սահմանումը համարժեք է նրա երկրաչափական սահմանմանը, որն արտահայտում է պարաբոլայի տեղեկատու հատկությունը։

Պարաբոլայի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում

Պարաբոլայի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում Fr \ varphi (Նկար 3.45, գ) ունի ձև.

r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),որտեղ p-ը պարաբոլայի պարամետրն է, իսկ e=1-ը նրա էքսցենտրիկությունը:

Փաստորեն, որպես բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռ, մենք կընտրենք պարաբոլայի կիզակետը F, իսկ որպես բևեռային առանցք՝ ճառագայթը, որի սկիզբը գտնվում է F կետում, ուղղահայաց է ուղղահայաց և չի հատում այն ​​(Նկար 3.45, գ. ): Այնուհետև պարաբոլային պատկանող կամայական M (r, \ varphi) կետի համար, ըստ պարաբոլի երկրաչափական սահմանման (տեղեկատուի հատկության) ունենք MM_d = r: Այնքանով, որքանով MM_d = p + r \ cos \ varphi, մենք ստանում ենք պարաբոլայի հավասարումը կոորդինատային ձևով.

p + r \ cdot \ cos \ varphi \ quad \ Ձախ աջ սլաք \ quad r = \ frac (p) (1- \ cos \ varphi),

Ք.Ե.Դ. Նկատի ունեցեք, որ բևեռային կոորդինատներում էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի հավասարումները համընկնում են, բայց նկարագրում են տարբեր գծեր, քանի որ դրանք տարբերվում են էքսցենտրիկությամբ (0 \ leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 համար):

Պարամետրի երկրաչափական նշանակությունը պարաբոլայի հավասարման մեջ

Եկեք բացատրենք պարամետրի երկրաչափական նշանակությունը p պարաբոլայի կանոնական հավասարման մեջ: Փոխարինելով x = \ frac (p) (2) (3.51) հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք y ^ 2 = p ^ 2, այսինքն. y = \ pm p. Հետևաբար, p պարամետրը պարաբոլայի առանցքին ուղղահայաց իր կիզակետով անցնող պարաբոլայի լարի երկարության կեսն է։

Պարաբոլայի կիզակետային պարամետրը, ինչպես նաև էլիպսի և հիպերբոլայի համար կոչվում է կիզակետային առանցքին ուղղահայաց նրա կիզակետով անցնող լարի երկարության կեսը (տե՛ս Նկար 3.45, գ): Պարաբոլայի հավասարումից բևեռային կոորդինատներում ժամը \ varphi = \ frac (\ pi) (2)մենք ստանում ենք r = p, այսինքն. պարաբոլայի պարամետրը համընկնում է նրա կիզակետային պարամետրի հետ։

Դիտողություններ 3.11.

1. Պարաբոլայի p պարամետրը բնութագրում է նրա ձևը։ Որքան մեծ է p, այնքան լայն են պարաբոլայի ճյուղերը, որքան p-ն մոտ է զրոյին, այնքան նեղ են պարաբոլայի ճյուղերը (Նկար 3.46):

2. y ^ 2 = -2px հավասարումը (p> 0-ի համար) սահմանում է պարաբոլա, որը գտնվում է օրդինատների առանցքից ձախ (նկ. 3.47, ա): Այս հավասարումը վերածվում է կանոնականի՝ փոխելով աբսցիսային առանցքի ուղղությունը (3.37): Նկ. 3.47, a ցույց է տալիս տրված կոորդինատային համակարգը Oxy և կանոնական Ox «y»:

3. Հավասարում (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0սահմանում է O գագաթով պարաբոլա (x_0, y_0), որի առանցքը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին (նկ. 3.47.6): Զուգահեռ թարգմանության միջոցով այս հավասարումը վերածվում է կանոնականի (3.36):

Հավասարումը (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, սահմանում է նաև պարաբոլա O գագաթով «(x_0, y_0), որի առանցքը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին (նկ. 3.47, գ): Այս հավասարումը վերածվում է կանոնականի՝ օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը (3.36) և վերանվանելով. կոորդինատային առանցքները (3.38) 3.47, b, c, ցույց են տրված Oxy կոորդինատային համակարգերը և Ox «y» կանոնական կոորդինատները:

4. y = կացին ^ 2 + bx + c, ~ a \ ne0պարաբոլա է, որի գագաթը կետում է O "\! \ Ձախ (- \ frac (b) (2a); \, - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ աջ), որի առանցքը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր (a> 0-ի համար) կամ վար (a-ի համար).<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y = a \ ձախ (x + \ frac (b) (2a) \ աջ) ^ 2- \ frac (b ^ 2) (4a) + c \ quad \ Ձախ աջ սլաք \ քառակուսի \! \ ձախ (x + \ frac ( բ) (2a) \ աջ) ^ 2 = \ frac (1) (a) \ ձախ (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ աջ) \ !,

որը կրճատվում է մինչև կանոնական ձևը (y ") ^ 2 = 2px", որտեղ p = \ ձախ | \ frac (1) (2a) \ աջ |, փոխարինելով y "= x + \ ֆրակ (բ) (2ա)և x "= \ pm \! \ ձախ (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ աջ).

Նշանն ընտրվում է առաջատար ա գործակցի նշանի հետ համընկնում։ Այս փոխարինումը համապատասխանում է կազմին. զուգահեռ փոխանցում (3.36) հետ x_0 = - \ ֆրակ (բ) (2ա)և y_0 = - \ ֆրակ (b ^ 2-4ac) (4a)կոորդինատների առանցքների անվանափոխում (3.38), իսկ ա<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 և ա<0 соответственно.

5. Կանոնական կոորդինատային համակարգի աբսցիսային առանցքն է պարաբոլայի համաչափության առանցքըքանի որ y-ը -y-ի փոխելը չի ​​փոխում (3.51) հավասարումը: Այլ կերպ ասած, պարաբոլային պատկանող M (x, y) կետի կոորդինատները և M կետի կոորդինատները (x, -y), որոնք սիմետրիկ են M կետի նկատմամբ աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ, բավարարում են հավասարումը (3. S1).Կանոնական կոորդինատային համակարգի առանցքները կոչվում են պարաբոլայի հիմնական առանցքները.

Օրինակ 3.22. Oxy կանոնական կոորդինատային համակարգում գծե՛ք y ^ 2 = 2x պարաբոլը: Գտեք կիզակետային պարամետրը, ֆոկուսի կոորդինատները և ուղղահայաց հավասարումը:

Լուծում.Մենք կառուցում ենք պարաբոլա՝ հաշվի առնելով դրա համաչափությունը աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ (Նկար 3.49): Անհրաժեշտության դեպքում որոշում ենք պարաբոլայի որոշ կետերի կոորդինատները։ Օրինակ, x = 2-ը փոխարինելով պարաբոլայի հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք y ^ 2 = 4 ~ \ Ձախ աջ սլաք ~ y = \ pm2... Հետևաբար, (2; 2), \, (2; -2) կոորդինատներով կետերը պատկանում են պարաբոլային:

Համեմատելով տրված հավասարումը կանոնականի (3.S1) հետ՝ որոշում ենք կիզակետային պարամետրը՝ p = 1։ Ֆոկուս կոորդինատները x_F = \ frac (p) (2) = \ frac (1) (2), ~ y_F = 0, այսինքն. F \! \ Ձախ (\ ֆրակ (1) (2), \, 0 \ աջ)... Մենք կազմում ենք ուղղահայաց հավասարումը x = - \ frac (p) (2), այսինքն. x = - \ ֆրակ (1) (2).

Էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի ընդհանուր հատկությունները

1. Տեղեկատու հատկությունը կարող է օգտագործվել որպես էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի միասնական սահմանում (տես Նկար 3.50): հարթության այն կետերի տեղանքը, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված F կետի հեռավորության հարաբերությունը (կենտրոնացում) դեպի տվյալ կետով չանցնող d (ուղղակի) ուղիղ գծի հեռավորությունը հաստատուն է և հավասար. էքսցենտրիկությունը e, կոչվում է.

ա) եթե 0 \ leqslant e<1 ;

բ) եթե e> 1;

գ) պարաբոլա, եթե e = 1:

2. Էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա ստացվում են շրջանաձև կոնի հարթություններով հատվածներում և, հետևաբար, կոչվում են. կոնաձև հատվածներ... Այս հատկությունը կարող է ծառայել նաև որպես էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի երկրաչափական սահմանում։

3. Էլիպսի ընդհանուր հատկություններից են հիպերբոլան և պարաբոլան երկսեկտորային սեփականությունդրանց շոշափողները։ Տակ շոշափողԻր որոշ K կետի ուղիղին նկատի ունենք ԿՄ հատվածի սահմանային դիրքը, երբ M կետը, մնալով դիտարկվող գծի վրա, թեքվում է դեպի Կ կետ։ Ուղիղ գիծը, որը ուղղահայաց է շոշափողին և անցնում է շոշափող կետով, կոչվում է նորմալայս տողին:

Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի շոշափողների (և նորմալների) երկսեկտորային հատկությունը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. էլիպսի կամ հիպերբոլայի շոշափողը (նորմալ) հավասար անկյուններ է կազմում շոշափման կետի կիզակետային շառավիղների հետ(Նկար 3.51, ա, բ); պարաբոլային շոշափողը (նորմալ) կազմում է հավասար անկյուններ շոշափող կետի կիզակետային շառավղով և նրանից դեպի ուղղահայաց ուղղահայացը(Նկար 3.51, գ): Այլ կերպ ասած, K կետում էլիպսի շոշափողը F_1KF_2 եռանկյան արտաքին անկյունի կիսորդն է (իսկ նորմալը եռանկյան F_1KF_2 ներքին անկյան կիսորդն է); հիպերբոլային շոշափողը F_1KF_2 եռանկյան ներքին անկյան կիսորդն է (իսկ նորմալը արտաքին անկյան կիսորդն է); պարաբոլային շոշափողը FKK_d եռանկյան ներքին անկյունի կիսորդն է (իսկ նորմալը՝ արտաքին անկյունի կիսորդը): Պարաբոլային շոշափողի երկսեկտորային հատկությունը կարելի է ձևակերպել այնպես, ինչպես էլիպսի և հիպերբոլայի դեպքում, եթե ենթադրենք, որ պարաբոլան երկրորդ կիզակետ ունի անվերջության կետում։

4. Երկսեկտորային հատկությունները ենթադրում են Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի օպտիկական հատկություններըբացատրելով «կենտրոնացում» տերմինի ֆիզիկական իմաստը: Պատկերացրեք մակերեսները, որոնք ձևավորվել են կիզակետային առանցքի շուրջ էլիպսի, հիպերբոլայի կամ պարաբոլայի պտույտից: Եթե ​​այս մակերեսների վրա կիրառվում է ռեֆլեկտիվ ծածկույթ, ապա ստացվում են էլիպսաձև, հիպերբոլիկ և պարաբոլիկ հայելիներ։ Համաձայն օպտիկայի օրենքի՝ հայելու վրա լույսի ճառագայթի անկման անկյունը հավասար է անդրադարձման անկյան, այսինքն. ընկած և անդրադարձած ճառագայթները հավասար անկյուններ են կազմում մակերևույթի նորմալի հետ, և երկու ճառագայթները և պտտման առանցքը գտնվում են նույն հարթության վրա: Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ հատկությունները.

- եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է էլիպսաձեւ հայելու կիզակետերից մեկում, ապա հայելից արտացոլված լույսի ճառագայթները հավաքվում են մեկ այլ կիզակետում (նկ. 3.52, ա);

- եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է հիպերբոլիկ հայելու կիզակետերից մեկում, ապա լույսի ճառագայթները, որոնք արտացոլվում են հայելից, շեղվում են այնպես, կարծես այլ ֆոկուսից են եկել (Նկար 3.52, բ);

- եթե լույսի աղբյուրը պարաբոլիկ հայելու կիզակետում է, ապա հայելից արտացոլված լույսի ճառագայթները զուգահեռ են անցնում կիզակետային առանցքին (Նկար 3.52, գ):

5. Տրամագծային հատկությունԷլիպսը, հիպերբոլան և պարաբոլան կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

– Էլիպսի (հիպերբոլայի) զուգահեռ ակորդների միջնակետերը ընկած են էլիպսի կենտրոնով անցնող մեկ ուղիղ գծի վրա (հիպերբոլա);

– պարաբոլայի զուգահեռ ակորդների միջնակետերը գտնվում են պարաբոլայի համաչափության առանցքի ուղիղ գծի վրա.

Էլիպսի բոլոր զուգահեռ ակորդների միջնակետերի տեղը (հիպերբոլա, պարաբոլա) կոչվում է. էլիպսի տրամագիծը (հիպերբոլա, պարաբոլա)զուգակցել այս ակորդներին:

Սա տրամագծի սահմանումն է նեղ իմաստով (տե՛ս Օրինակ 2.8): Ավելի վաղ տրվել է տրամագծի սահմանումը լայն իմաստով, որտեղ էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի և երկրորդ կարգի այլ ուղիղների տրամագիծը կոչվում է ուղիղ, որը պարունակում է բոլոր զուգահեռ ակորդների միջնակետերը։ Նեղ իմաստով էլիպսի տրամագիծը նրա կենտրոնով անցնող ցանկացած ակորդ է (Նկար 3.53, ա); հիպերբոլայի տրամագիծը ցանկացած ուղիղ գիծ է, որն անցնում է հիպերբոլայի կենտրոնով (բացառությամբ ասիմպտոտների) կամ նման ուղիղ գծի մի մասով (Նկար 3.53.6); պարաբոլայի տրամագիծը պարաբոլայի որոշակի կետից բխող ցանկացած ճառագայթ է և համաչափության առանցքի համագիծը (Նկար 3.53, գ):

Երկու տրամագծերը, որոնցից յուրաքանչյուրը կիսում է բոլոր ակորդները մեկ այլ տրամագծին զուգահեռ, կոչվում են խոնարհված: Նկար 3.53-ում թավ գծերը ներկայացնում են էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի համակցված տրամագծերը:

Կ կետում էլիպսի (հիպերբոլա, պարաբոլա) շոշափողը կարող է սահմանվել որպես M_1M_2 զուգահեռ հատվածների սահմանափակող դիրք, երբ M_1 և M_2 կետերը, մնալով դիտարկվող գծի վրա, հակված են դեպի K կետը։ Այս սահմանումից բխում է, որ ակորդներին զուգահեռ շոշափողն անցնում է այդ ակորդներին տրամագծով զուգակցված ծայրով։

6. Էլիպսը, հիպերբոլան և պարաբոլան, բացի վերը նշվածից, ունեն բազմաթիվ երկրաչափական հատկություններ և ֆիզիկական կիրառություններ: Օրինակ, Նկար 3.50-ը կարող է ծառայել որպես ձգողականության F կենտրոնի մոտակայքում գտնվող տիեզերական օբյեկտների հետագծերի պատկեր: