Որոշեք 1 շեղում: Դիսպերսիա և ստանդարտ շեղում

Մենք հաշվարկում ենքMSEXCELնմուշի շեղումը և ստանդարտ շեղումը: Մենք նաև հաշվարկում ենք պատահական փոփոխականի շեղումը, եթե հայտնի է դրա բաշխումը:

Նախ հաշվի առեք շեղում, ապա ստանդարտ շեղում.

Նմուշի շեղում

Նմուշի շեղում (նմուշի շեղում,նմուշշեղում) բնութագրում է զանգվածի արժեքների տարածումը հարաբերական.

Բոլոր 3 բանաձևերը մաթեմատիկորեն համարժեք են։

Առաջին բանաձեւից երեւում է, որ նմուշի շեղումզանգվածի յուրաքանչյուր արժեքի քառակուսի շեղումների գումարն է միջինիցբաժանված նմուշի չափով՝ մինուս 1:

շեղում նմուշառումօգտագործվում է DISP () ֆունկցիան: VAR անվանումը, այսինքն. ՏԱՐԲԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ. Քանի որ MS EXCEL 2010 տարբերակը խորհուրդ է տրվում օգտագործել իր անալոգային DISP.B (), eng. անունը VARS, այսինքն. Նմուշ VAriance. Բացի այդ, քանի որ MS EXCEL 2010 տարբերակը կա DISP.G (), անգլերեն ֆունկցիա: VARP անունը, այսինքն. Բնակչության VARiance, որը հաշվարկում է շեղումհամար ընդհանուր բնակչությունը... Ամբողջ տարբերությունը հանգում է հայտարարին՝ n-1-ի փոխարեն, ինչպես DISP.V-ում (), DISP.G-ում (), հայտարարն ընդամենը n է: Մինչ MS EXCEL 2010-ը, VARP () ֆունկցիան օգտագործվում էր ընդհանուր բնակչության շեղումը հաշվարկելու համար:

Նմուշի շեղում
= SQUARE (Նմուշ) / (COUNT (Նմուշ) -1)
= (ԳՈՒՄԱՐ (Նմուշ) -COUNT (Նմուշ) * ՄԻՋԻՆ (Նմուշ) ^ 2) / (COUNT (Նմուշ) -1)- սովորական բանաձևը
= SUM ((Նմուշ -VALUE (Նմուշ)) ^ 2) / (COUNT (Նմուշ) -1) –

Նմուշի շեղումհավասար է 0-ի, միայն այն դեպքում, եթե բոլոր արժեքները հավասար են միմյանց և, համապատասխանաբար, հավասար են միջին... Սովորաբար, որքան մեծ է արժեքը շեղում, այնքան մեծ է արժեքների տարածումը զանգվածում:

Նմուշի շեղումմիավորային գնահատական ​​է շեղումպատահական փոփոխականի բաշխում, որից նմուշ... Շինության մասին վստահության միջակայքերըգնահատելիս շեղումկարելի է կարդալ հոդվածում։

Պատահական փոփոխականի շեղում

Հաշվարկելու համար շեղումպատահական փոփոխական, դուք պետք է իմանաք այն:

Համար շեղումՊատահական X փոփոխականը հաճախ օգտագործվում է Var (X) նշումով: Ցրվածությունհավասար է E (X) միջինից շեղման քառակուսին. Var (X) = E [(X-E (X)) 2]

ցրվածությունհաշվարկված բանաձևով.

որտեղ x i-ն այն արժեքն է, որը կարող է վերցնել պատահական փոփոխականը, և μ-ը միջին արժեքն է (), p (x)-ն այն հավանականությունն է, որ պատահական փոփոխականը կընդունի x արժեքը:

Եթե ​​պատահական փոփոխականն ունի, ապա ցրվածությունհաշվարկված բանաձևով.

Չափս շեղումհամապատասխանում է սկզբնական արժեքների չափման միավորի քառակուսուն։ Օրինակ, եթե նմուշի արժեքները մասի քաշի չափումներ են (կգ-ով), ապա շեղման չափը կլինի կգ 2: Սա դժվար է մեկնաբանել, հետևաբար, բնութագրել արժեքների տարածումը, արժեք, որը հավասար է քառակուսի արմատին շեղում – ստանդարտ շեղում.

Որոշ հատկություններ շեղում:

Var (X + a) = Var (X), որտեղ X-ը պատահական փոփոխական է, իսկ a-ն հաստատուն է:

Var (aX) = a 2 Var (X)

Var (X) = E [(XE (X)) 2] = E = E (X 2) -E (2 * X * E (X)) + (E (X)) 2 = E (X 2) - 2 * E (X) * E (X) + (E (X)) 2 = E (X 2) - (E (X)) 2

Այս շեղման հատկությունը օգտագործվում է հոդված գծային ռեգրեսիայի մասին.

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 * Cov (X; Y), որտեղ X և Y-ը պատահական փոփոխականներ են, Cov (X; Y) այս պատահական փոփոխականների կովարիանսն է:

Եթե ​​պատահական փոփոխականներն անկախ են, ապա դրանց կովարիանսհավասար է 0-ի, և, հետևաբար, Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y): Այս շեղման հատկությունն օգտագործվում է ելքում:

Եկեք ցույց տանք, որ անկախ մեծությունների համար Var (X-Y) = Var (X + Y): Իրոք, Var (X-Y) = Var (X-Y) = Var (X + (- Y)) = Var (X) + Var (-Y) = Var (X) + Var (-Y) = Var (X) + ( - 1) 2 Var (Y) = Var (X) + Var (Y) = Var (X + Y): Այս շեղման հատկությունն օգտագործվում է գծագրման համար:

Նմուշի ստանդարտ շեղում

Նմուշի ստանդարտ շեղումչափում է, թե որքանով են ընտրանքի արժեքները ցրված իրենց արժեքների համեմատ:

Ա-առաջնային, ստանդարտ շեղումհավասար է քառակուսի արմատին շեղում:

Ստանդարտ շեղումհաշվի չի առնում արժեքների մեծությունը նմուշ, բայց միայն դրանց շուրջ արժեքների ցրվածության աստիճանը միջին... Ահա մի օրինակ՝ սա բացատրելու համար:

Հաշվարկենք ստանդարտ շեղումը 2 նմուշի համար՝ (1; 5; 9) և (1001; 1005; 1009): Երկու դեպքում էլ s = 4: Ակնհայտ է, որ ստանդարտ շեղման հարաբերակցությունը զանգվածի արժեքներին էապես տարբերվում է նմուշների համար: Նման դեպքերի համար օգտագործեք Տատանումների գործակիցը(Տատանումների գործակից, CV) - հարաբերակցություն Ստանդարտ շեղումդեպի կեսը թվաբանությունարտահայտված տոկոսով։

MS EXCEL 2007 և ավելի վաղ, հաշվարկելու համար Նմուշի ստանդարտ շեղումֆունկցիան օգտագործվում է = STDEV (), անգլ. անունը STDEV, այսինքն. Ստանդարտ շեղում. Քանի որ MS EXCEL 2010 տարբերակը, խորհուրդ է տրվում օգտագործել դրա անալոգը = STDEV.V (), անգլ. անունը STDEV.S, այսինքն. Ստանդարտ շեղման նմուշ:

Բացի այդ, սկսած MS EXCEL 2010 տարբերակից, գործում է STDEV.G (), անգլ. անունը STDEV.P, այսինքն. Բնակչության ստանդարտ շեղում, որը հաշվարկում է ստանդարտ շեղումհամար ընդհանուր բնակչությունը... Ամբողջ տարբերությունը հանգում է հայտարարին՝ n-1-ի փոխարեն, ինչպես STDEV.V (), STDEV.G ()-ը հայտարարում ունի ընդամենը n:

Ստանդարտ շեղումկարող է նաև ուղղակիորեն հաշվարկվել հետևյալ բանաձևերով (տե՛ս ֆայլի օրինակ)
= ROOT (Քառակուսի (Նմուշ) / (COUNT (Նմուշ) -1))
= ROOT ((SUM (Sample) - COUNT (Sample) * AVERAGE (Sample) ^ 2) / (COUNT (Sample) -1))

Տարածման այլ միջոցներ

SQUARE () ֆունկցիան հաշվարկում է umma քառակուսի արժեքների շեղումները դրանցից միջին... Այս ֆունկցիան կվերադարձնի նույն արդյունքը, ինչ բանաձևը = DISP.G ( Նմուշ)*ՍՏՈՒԳԵԼ( Նմուշ), որտեղ Նմուշ- հղում տիրույթին, որը պարունակում է նմուշի արժեքների զանգված (): SQUARE () ֆունկցիայի հաշվարկները կատարվում են ըստ բանաձևի.

AVEDEV () ֆունկցիան նաև տվյալների հավաքածուի տարածման չափանիշ է: AVEDEV () ֆունկցիան հաշվարկում է արժեքների շեղումների բացարձակ արժեքների միջինը միջին... Այս ֆունկցիան կվերադարձնի նույն արդյունքը, ինչ բանաձևը = SUMPRODUCT (ABS (Նմուշ-միջին (Նմուշ))) / COUNT (Նմուշ), որտեղ Նմուշ- հղում տիրույթին, որը պարունակում է նմուշի արժեքների զանգված:

AVEDV () ֆունկցիայի հաշվարկները կատարվում են ըստ բանաձևի.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը պատահական փոփոխականի ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Նրանք բնութագրում են բաշխման ամենակարևոր առանձնահատկությունները՝ նրա դիրքը և ցրվածության աստիճանը։ Շատ գործնական խնդիրներում պատահական փոփոխականի ամբողջական, սպառիչ բնութագիրը՝ բաշխման օրենքը, կամ ընդհանրապես հնարավոր չէ ստանալ, կամ ընդհանրապես անհրաժեշտ չէ: Այս դեպքերում դրանք սահմանափակվում են պատահական փոփոխականի մոտավոր նկարագրությամբ՝ օգտագործելով թվային բնութագրերը:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը հաճախ կոչվում է պարզապես որպես պատահական փոփոխականի միջին: Պատահական փոփոխականի ցրումը ցրվածության հատկանիշ է, պատահական փոփոխականի ցրումը իր մաթեմատիկական ակնկալիքների վերաբերյալ:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը

Եկեք մոտենանք մաթեմատիկական ակնկալիքի հայեցակարգին՝ նախ ելնելով դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման մեխանիկական մեկնաբանությունից։ Թող միավորի զանգվածը բաշխվի աբսցիսային առանցքի կետերի միջև x1 , x 2 , ..., x n, և յուրաքանչյուր նյութական կետ ունի համապատասխան զանգված էջ1 , էջ 2 , ..., էջ n... Պահանջվում է ընտրել մեկ կետ աբսցիսայի առանցքի վրա, որը բնութագրում է նյութական կետերի ամբողջ համակարգի դիրքը՝ հաշվի առնելով դրանց զանգվածները։ Բնական է որպես այդպիսի կետ վերցնել նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը։ Սա պատահական փոփոխականի կշռված միջինն է X, որի վրա յուրաքանչյուր կետի աբսիսսա xեսմտնում է համապատասխան հավանականությանը հավասար «կշիռով»։ Այս կերպ ստացված պատահական փոփոխականի միջին արժեքը Xկոչվում է նրա մաթեմատիկական ակնկալիք:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների գումարն է այս արժեքների հավանականությամբ.

Օրինակ 1.Կազմակերպվել է շահումով շահող վիճակախաղ. Կա 1000 շահում, որից 400-ը՝ 10-ական ռուբլի։ 300-20 ռուբլի յուրաքանչյուրը 200-100 ռուբլի: և յուրաքանչյուրը 100-200 ռուբլի: Որքա՞ն է միջին շահումը մեկ տոմս գնողի համար:

Լուծում. Մենք կգտնենք միջին շահումները, եթե շահումների ընդհանուր գումարը, որը կազմում է 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 ռուբլի, բաժանվի 1000-ի (շահումների ընդհանուր գումարը): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք 50000/1000 = 50 ռուբլի: Բայց միջին վարձատրության հաշվարկման արտահայտությունը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.

Մյուս կողմից, այս պայմաններում շահույթի չափը պատահական փոփոխական է, որը կարող է վերցնել 10, 20, 100 և 200 ռուբլի արժեքներ: համապատասխանաբար 0,4 հավասար հավանականություններով; 0.3; 0.2; 0.1. Հետևաբար, ակնկալվող միջին շահույթը հավասար է շահումների արտադրանքի հանրագումարին և դրանց ստացման հավանականությանը:

Օրինակ 2.Հրատարակիչը որոշել է նոր գիրք հրատարակել։ Նա մտադիր է գիրքը վաճառել 280 ռուբլով, որից 200-ը կստանա, 50-ը՝ գրախանութը, 30-ը՝ հեղինակը։ Աղյուսակը տեղեկատվություն է տալիս գրքի հրատարակման արժեքի և գրքի որոշակի քանակի օրինակների վաճառքի հավանականության մասին:

Գտեք հրատարակչի ակնկալվող շահույթը:

Լուծում. Պատահական «շահույթ» արժեքը հավասար է վաճառքից ստացված հասույթի և ծախսերի արժեքի տարբերությանը: Օրինակ, եթե վաճառվում է գրքի 500 օրինակ, ապա վաճառքից ստացված հասույթը կազմում է 200 * 500 = 100 000, իսկ հրատարակչական ծախսերը՝ 225 000 ռուբլի։ Այսպիսով, հրատարակչին սպառնում է 125000 ռուբլու վնաս։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է պատահական փոփոխականի՝ շահույթի ակնկալվող արժեքները.

Թիվ	Շահույթ xես	Հավանականություն էջես	xես էջես
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ընդամենը:		1,00	25000

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հրատարակչի շահույթի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

.

Օրինակ 3.Հարվածի հավանականությունը մեկ կրակոցի համար էջ= 0.2. Որոշեք արկերի սպառումը, որոնք ապահովում են հարվածների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիք 5-ի:

Լուծում. Նույն մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձևից, որը մենք օգտագործել ենք մինչ այժմ, մենք արտահայտում ենք x- հրթիռի սպառում.

.

Օրինակ 4.Որոշեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը xերեք կրակոցի համար հարվածների քանակը, եթե յուրաքանչյուր կրակոցի համար հարվածելու հավանականությունը էջ = 0,4 .

Հուշում. պատահական փոփոխականի արժեքների հավանականությունը հայտնաբերվում է Բեռնուլիի բանաձևը .

Մաթեմատիկական ակնկալիքների հատկություններ

Դիտարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները:

Գույք 1.հաստատունի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է այս հաստատունին.

Գույք 2.Մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանից կարելի է հանել մշտական ​​գործոնը.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների գումարին (տարբերությանը).

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալին.

Գույք 5.Եթե ​​պատահական փոփոխականի բոլոր արժեքները Xնույն թվով նվազում (մեծացում). ՀԵՏ, ապա նրա մաթեմատիկական ակնկալիքը կնվազի (մեծանա) նույն թվով.

Երբ չես կարող սահմանափակվել միայն մաթեմատիկական ակնկալիքով

Շատ դեպքերում, միայն մաթեմատիկական ակնկալիքը չի կարող համարժեք կերպով բնութագրել պատահական փոփոխականը:

Թող պատահական փոփոխականները Xև Յտրված են բաշխման հետևյալ օրենքներով.

Իմաստը X	Հավանականություն
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Իմաստը Յ	Հավանականություն
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Այս մեծությունների մաթեմատիկական ակնկալիքները նույնն են՝ հավասար զրոյի.

Այնուամենայնիվ, դրանց բաշխման բնույթը տարբեր է: Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել միայն արժեքներ, որոնք մի փոքր տարբերվում են մաթեմատիկական ակնկալիքից և պատահական փոփոխականից Յկարող է ընդունել արժեքներ, որոնք զգալիորեն շեղվում են մաթեմատիկական ակնկալիքներից: Նմանատիպ օրինակ. միջին աշխատավարձը անհնարին է դարձնում գնահատել բարձր և ցածր վարձատրվող աշխատողների համամասնությունը: Այսինքն՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով հնարավոր չէ դատել, թե դրանից ինչ շեղումներ են հնարավոր գոնե միջինում։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել պատահական փոփոխականի շեղումը:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի ցրում

Ցրվածությունդիսկրետ պատահական փոփոխական Xմաթեմատիկական ակնկալիքից դրա շեղման քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքն է.

Պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը Xդրա շեղման քառակուսի արմատի թվաբանական արժեքը կոչվում է.

.

Օրինակ 5.Հաշվարկել պատահական փոփոխականների շեղումները և ստանդարտ շեղումները Xև Յ, որոնց բաշխման օրենքները տրված են վերը նշված աղյուսակներում։

Լուծում. Պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքները Xև Յ, ինչպես վերը նշված է, հավասար են զրոյի: Համաձայն դիսպերսիայի բանաձևի ժամը Ե(Ն.Ս)=Ե(y) = 0 մենք ստանում ենք.

Այնուհետև պատահական փոփոխականների ստանդարտ շեղումները Xև Յդիմահարդարել

.

Այսպիսով, նույն մաթեմատիկական ակնկալիքներով, պատահական փոփոխականի շեղումը Xշատ փոքր է, բայց պատահական փոփոխական է Յ- էական. Սա դրանց բաշխման տարբերության հետեւանք է։

Օրինակ 6.Ներդրողն ունի 4 այլընտրանքային ներդրումային ծրագիր. Աղյուսակում ամփոփված է այդ նախագծերում ակնկալվող շահույթը՝ համապատասխան հավանականությամբ։

Նախագիծ 1	Նախագիծ 2	Նախագիծ 3	Նախագիծ 4
500, Պ=1	1000, Պ=0,5	500, Պ=0,5	500, Պ=0,5
	0, Պ=0,5	1000, Պ=0,25	10500, Պ=0,25
		0, Պ=0,25	9500, Պ=0,25

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը յուրաքանչյուր այլընտրանքի համար:

Լուծում. Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես են այս արժեքները հաշվարկվում 3-րդ այլընտրանքի համար.

Աղյուսակը ամփոփում է բոլոր այլընտրանքների համար հայտնաբերված արժեքները:

Բոլոր այլընտրանքներն ունեն նույն մաթեմատիկական ակնկալիքները: Սա նշանակում է, որ երկարաժամկետ հեռանկարում բոլորն ունեն նույն եկամուտը։ Ստանդարտ շեղումը կարող է մեկնաբանվել որպես ռիսկի չափման միավոր. որքան մեծ է այն, այնքան մեծ է ներդրման ռիսկը: Ներդրողը, ով չի ցանկանում մեծ ռիսկ, կընտրի նախագիծ 1, քանի որ այն ունի ամենափոքր ստանդարտ շեղումը (0): Եթե ​​ներդրողը կարճ ժամանակահատվածում նախապատվությունը տա ռիսկին և մեծ եկամուտներին, ապա նա կընտրի ամենամեծ ստանդարտ շեղումով նախագիծը՝ նախագիծ 4։

Դիսպերսիայի հատկությունները

Ահա շեղումների հատկությունները.

Գույք 1.հաստատունի շեղումը զրո է.

Գույք 2.Հաստատուն գործոնը կարելի է դուրս բերել դիսպերսիայի նշանից՝ այն քառակուսի դնելով.

.

Գույք 3.Պատահական փոփոխականի շեղումը հավասար է այս մեծության քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքին, որից հանվում է բուն մեծության մաթեմատիկական ակնկալիքի քառակուսին.

,

որտեղ .

Գույք 4.Պատահական փոփոխականների գումարի (տարբերության) շեղումը հավասար է դրանց շեղումների գումարին (տարբերությանը).

Օրինակ 7.Հայտնի է, որ դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք՝ −3 և 7։ Բացի այդ, հայտնի է մաթեմատիկական ակնկալիքը. Ե(X) = 4. Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումը:

Լուծում. Նշենք ըստ էջհավանականությունը, որով պատահական փոփոխականը արժեք է ստանում x1 = −3 ... Հետո արժեքի հավանականությունը x2 = 7 կլինի 1 - էջ... Եկեք դուրս բերենք մաթեմատիկական ակնկալիքի հավասարումը.

Ե(X) = x 1 էջ + x 2 (1 − էջ) = −3էջ + 7(1 − էջ) = 4 ,

որտեղից մենք ստանում ենք հավանականությունները. էջ= 0.3 և 1 - էջ = 0,7 .

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	−3	7
էջ	0,3	0,7

Մենք հաշվարկում ենք այս պատահական փոփոխականի շեղումը բանաձևով շեղումների 3 հատկությունից.

Դ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Ինքներդ գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 8.Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xընդունում է ընդամենը երկու արժեք. Այն ընդունում է 3 արժեքներից ավելի մեծը՝ 0,4 հավանականությամբ։ Բացի այդ, հայտնի է պատահական փոփոխականի շեղումը Դ(X) = 6. Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:

Օրինակ 9.Կաթսայի մեջ կա 6 սպիտակ և 4 սև գնդակ: Կաթսայից հանվում է 3 գնդակ։ Դուրս բերված գնդերի մեջ սպիտակ գնդիկների թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X... Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Լուծում. Պատահական արժեք Xկարող է վերցնել 0, 1, 2, 3 արժեքները: Համապատասխան հավանականությունները կարելի է հաշվարկել հավանականությունների բազմապատկման կանոն... Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.

X	0	1	2	3
էջ	1/30	3/10	1/2	1/6

Հետևաբար տրված պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Մ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Տրված պատահական փոփոխականի շեղումը.

Դ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք և շեղում

Շարունակական պատահական փոփոխականի համար մաթեմատիկական ակնկալիքի մեխանիկական մեկնաբանությունը կպահպանի նույն իմաստը. զ(x): Ի տարբերություն դիսկրետ պատահական փոփոխականի, որտեղ ֆունկցիայի արգումենտը xեսկտրուկ փոխվում է, շարունակական պատահական փոփոխականի համար արգումենտը անընդհատ փոխվում է: Բայց շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնպես կապված է դրա միջին արժեքի հետ:

Շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու շեղումը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել որոշակի ինտեգրալներ ... Եթե ​​տրված է շարունակական պատահական փոփոխականի խտության ֆունկցիան, ապա այն ուղղակիորեն մտնում է ինտեգրանդ։ Եթե ​​տրված է հավանականության բաշխման ֆունկցիա, ապա, տարբերակելով այն, պետք է գտնել խտության ֆունկցիան։

Շարունակական պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների միջին թվաբանականը կոչվում է իր մաթեմատիկական ակնկալիք, որը նշվում է կամ.

Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի հատուկ ճյուղ է, որն ուսումնասիրում են միայն համալսարանականները։ Ձեզ դուր է գալիս հաշվարկներ և բանաձևեր: Չե՞ք վախենում դիսկրետ պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխման, համույթի էնտրոպիայի, մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների հետ ծանոթանալու հեռանկարից: Այդ դեպքում այս թեման ձեզ շատ հետաքրքիր կլինի։ Եկեք ծանոթանանք գիտության այս ճյուղի կարևորագույն հիմնական հասկացություններին։

Եկեք հիշենք հիմունքները

Նույնիսկ եթե հիշում եք հավանականությունների տեսության ամենապարզ հասկացությունները, մի անտեսեք հոդվածի առաջին պարբերությունները: Փաստն այն է, որ առանց հիմունքների հստակ ընկալման, դուք չեք կարողանա աշխատել ստորև քննարկված բանաձևերի հետ:

Այսպիսով, ինչ-որ պատահական իրադարձություն է տեղի ունենում, ինչ-որ փորձ: Կատարված գործողությունների արդյունքում մենք կարող ենք ստանալ մի քանի արդյունք՝ դրանցից մի քանիսն ավելի տարածված են, մյուսները՝ ավելի քիչ: Իրադարձության հավանականությունը մեկ տեսակի փաստացի ստացված արդյունքների թվի հարաբերակցությունն է հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թվին: Միայն իմանալով այս հայեցակարգի դասական սահմանումը, դուք կարող եք սկսել ուսումնասիրել շարունակական պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:

Միջին

Դեռ դպրոցում, մաթեմատիկայի դասերին, սկսեցիր աշխատել միջին թվաբանականով: Այս հայեցակարգը լայնորեն կիրառվում է հավանականության տեսության մեջ, ուստի այն չի կարելի անտեսել։ Մեզ համար այս պահին գլխավորն այն է, որ մենք դրան կհանդիպենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքի և շեղման բանաձևերում։

Մենք թվերի հաջորդականություն ունենք և ցանկանում ենք գտնել միջին թվաբանականը: Մեզնից պահանջվում է ընդամենը գումարել հասանելի ամեն ինչ և բաժանել հաջորդականության տարրերի քանակով: Ենթադրենք, մենք ունենք 1-ից 9 թվեր։ Տարրերի գումարը կլինի 45, և այս արժեքը կբաժանենք 9-ի։Պատասխան՝ - 5։

Ցրվածություն

Գիտական ​​առումով շեղումը թվաբանական միջինից հատկանիշի ստացված արժեքների շեղումների միջին քառակուսին է: Մեկը նշվում է մեծ լատինատառ D-ով: Ի՞նչ է անհրաժեշտ այն հաշվարկելու համար: Հերթականության յուրաքանչյուր տարրի համար հաշվարկեք առկա թվի և միջին թվաբանականի տարբերությունը և քառակուսիացրեք այն: Կլինեն ճիշտ այնքան արժեքներ, որքան կարող են լինել մեր դիտարկած իրադարձության արդյունքները: Այնուհետև մենք ամփոփում ենք ստացված բոլորը և բաժանում հաջորդականության տարրերի քանակով: Եթե ​​ունենք հինգ հնարավոր արդյունք, ապա բաժանում ենք հինգի։

Variance-ն ունի նաև հատկություններ, որոնք պետք է հիշել՝ խնդիրներ լուծելիս կիրառելու համար: Օրինակ, երբ պատահական փոփոխականն ավելանում է X անգամ, շեղումը մեծանում է X անգամ քառակուսիով (այսինքն՝ X * X): Այն երբեք զրոյից պակաս չէ և կախված չէ արժեքների հավասար արժեքով վեր կամ վար տեղաշարժից: Բացի այդ, անկախ թեստերի համար գումարի շեղումը հավասար է շեղումների գումարին:

Այժմ մենք անպայման պետք է դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքների օրինակներ:

Ենթադրենք, մենք անցկացրինք 21 փորձ և ստացանք 7 տարբեր արդյունք: Նրանցից յուրաքանչյուրին դիտարկել ենք համապատասխանաբար 1,2,2,3,4,4 և 5 անգամ։ Ո՞րն է տարբերությունը:

Նախ, եկեք հաշվարկենք միջին թվաբանականը. տարրերի գումարն, իհարկե, հավասար է 21-ի: Այն բաժանեք 7-ի և ստացեք 3: Այժմ սկզբնական հաջորդականության յուրաքանչյուր թվից հանեք 3-ը, յուրաքանչյուր արժեքը քառակուսիացրեք և ավելացրեք արդյունքները միասին: Կստացվի 12: Այժմ մենք պարզապես պետք է թիվը բաժանենք տարրերի թվի վրա, և, կարծես թե, վերջ: Բայց կա բռնել! Եկեք քննարկենք դա։

Կախվածությունը փորձերի քանակից

Ստացվում է, որ շեղումը հաշվարկելիս հայտարարը կարող է լինել երկու թվերից մեկը՝ կա՛մ N, կա՛մ N-1: Այստեղ N-ը կատարված փորձերի կամ հաջորդականության տարրերի քանակն է (որոնք ըստ էության նույնն են): Ինչի՞ց է դա կախված։

Եթե ​​թեստերի թիվը չափվում է հարյուրներով, ապա պետք է ներմուծենք N հայտարարը: Եթե միավորներով, ապա N-1: Գիտնականները որոշել են սահմանը գծել բավականին խորհրդանշական՝ այսօր այն անցնում է 30 թվով։ Եթե մենք 30-ից քիչ փորձ ենք արել, ապա գումարը կբաժանենք N-1-ի, իսկ եթե ավելին, ապա N-ի։

Առաջադրանք

Եկեք վերադառնանք շեղումների և ակնկալիքների խնդրի լուծման մեր օրինակին: Ստացանք միջանկյալ թիվ 12, որը պետք էր բաժանել N կամ N-1-ի։ Քանի որ մենք իրականացրել ենք 21 փորձ, որը 30-ից քիչ է, կընտրենք երկրորդ տարբերակը։ Այսպիսով, պատասխանն է. շեղումը 12/2 = 2 է:

Ակնկալվող արժեքը

Անցնենք երկրորդ հայեցակարգին, որն անպայման պետք է դիտարկենք այս հոդվածում։ Ակնկալվող արժեքը բոլոր հնարավոր արդյունքների գումարն է՝ բազմապատկված համապատասխան հավանականություններով: Կարևոր է հասկանալ, որ ստացված արժեքը, ինչպես նաև շեղումը հաշվարկելու արդյունքը, ստացվում է միայն մեկ անգամ ամբողջ խնդրի համար, անկախ նրանից, թե որքան արդյունք է դիտարկվում դրանում։

Մաթեմատիկական ակնկալիքների բանաձևը բավականին պարզ է. մենք վերցնում ենք արդյունքը, բազմապատկում ենք դրա հավանականությամբ, նույնն ենք ավելացնում երկրորդ, երրորդ արդյունքի համար և այլն: Այս հասկացության հետ կապված ամեն ինչ հեշտ է հաշվարկել: Օրինակ՝ ակնկալիքների գումարը հավասար է գումարի ակնկալիքին։ Նույնը վերաբերում է ստեղծագործությանը. Հավանականության տեսության մեջ ամեն մի արժեք չէ, որ թույլ է տալիս նման պարզ գործողություններ կատարել ինքն իր հետ։ Վերցնենք խնդիր և հաշվարկենք մեր ուսումնասիրած երկու հասկացությունների իմաստը։ Բացի այդ, մեզ շեղել էր տեսությունը՝ պրակտիկայի ժամանակն է:

Եվս մեկ օրինակ

Մենք անցկացրեցինք 50 փորձարկումներ և ստացանք 10 տեսակի արդյունքներ՝ թվեր 0-ից 9-ը, որոնք տեղի էին ունենում տարբեր տոկոսներով: Դրանք են, համապատասխանաբար, 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Հիշեցնենք, որ հավանականություններ ստանալու համար անհրաժեշտ է տոկոսային արժեքները բաժանել 100-ի: Այսպիսով, մենք ստանում ենք 0,02; 0.1 և այլն: Ներկայացնենք պատահական փոփոխականի շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքի խնդրի լուծման օրինակ։

Մենք հաշվարկում ենք միջին թվաբանականը՝ օգտագործելով այն բանաձևը, որը հիշում ենք տարրական դպրոցից՝ 50/10 = 5:

Այժմ եկեք հավանականությունները փոխարկենք արդյունքների քանակի «կտորներով», որպեսզի ավելի հեշտ լինի հաշվելը: Ստանում ենք 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 և 9։ Յուրաքանչյուր ստացված արժեքից հանում ենք միջին թվաբանականը, որից հետո ստացված արդյունքներից յուրաքանչյուրը քառակուսի ենք տալիս։ Տեսեք, թե ինչպես դա անել՝ օգտագործելով առաջին տարրը որպես օրինակ՝ 1 - 5 = (-4): Հաջորդը՝ (-4) * (-4) = 16: Մնացած արժեքների համար կատարեք այս գործողությունները ինքներդ: Եթե ​​ամեն ինչ ճիշտ եք արել, ապա բոլորը գումարելուց հետո կստանաք 90:

Շարունակենք հաշվարկել շեղումը և միջինը՝ 90-ը N-ի բաժանելով: Ինչո՞ւ ենք ընտրում N-ը և ոչ թե N-1-ը: Ճիշտ է, քանի որ կատարված փորձերի թիվը գերազանցում է 30-ը։ Այսպիսով՝ 90/10 = 9։ Մենք ստացանք շեղումը։ Եթե ​​դուք ստանում եք այլ թիվ, մի հուսահատվեք: Ամենայն հավանականությամբ, դուք սովորական սխալ եք թույլ տվել հաշվարկներում. Կրկին ստուգիր գրածդ, և հաստատ ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։

Ի վերջո, հիշենք մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևը. Մենք չենք տա բոլոր հաշվարկները, մենք կգրենք միայն պատասխանը, որով կարող եք ստուգել բոլոր պահանջվող ընթացակարգերը կատարելուց հետո։ Սպասումը կլինի 5.48։ Եկեք միայն հիշենք, թե ինչպես պետք է իրականացնել գործողություններ՝ օգտագործելով առաջին տարրերի օրինակը՝ 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... և այլն: Ինչպես տեսնում եք, մենք պարզապես բազմապատկում ենք արդյունքի արժեքը իր հավանականությամբ:

Շեղում

Մեկ այլ հայեցակարգ, որը սերտորեն կապված է շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքների հետ, ստանդարտ շեղումն է: Նշվում է կա՛մ լատինատառ sd, կա՛մ հունարեն փոքրատառ «sigma»-ով։ Այս հայեցակարգը ցույց է տալիս, թե միջինում որքանով են արժեքները շեղվում կենտրոնական հատկանիշից: Դրա արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել դիսպերսիայի քառակուսի արմատը:

Եթե ​​դուք գծագրում եք նորմալ բաշխումը և ցանկանում եք ուղղակիորեն դրա վրա տեսնել քառակուսի շեղումը, դա կարելի է անել մի քանի քայլով: Նկարի կեսը վերցրեք ռեժիմից ձախ կամ աջ (կենտրոնական արժեք), ուղղահայաց գծեք հորիզոնական առանցքին, որպեսզի ստացված ձևերի տարածքները հավասար լինեն։ Բաշխման միջին հատվածի և հորիզոնական առանցքի վրա ստացված պրոյեկցիայի միջև ընկած հատվածի արժեքը կներկայացնի ստանդարտ շեղումը:

Ծրագրային ապահովում

Ինչպես երևում է բանաձևերի նկարագրություններից և ներկայացված օրինակներից, շեղումների և մաթեմատիկական ակնկալիքների հաշվարկները թվաբանական տեսանկյունից ամենապարզ ընթացակարգը չեն։ Ժամանակ չկորցնելու համար իմաստ ունի օգտագործել բարձրագույն կրթության մեջ օգտագործվող ծրագիրը՝ այն կոչվում է «R»: Այն ունի գործառույթներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել շատ հասկացությունների արժեքներ վիճակագրությունից և հավանականությունների տեսությունից:

Օրինակ, դուք սահմանում եք արժեքների վեկտոր: Դա արվում է հետևյալ կերպ՝ վեկտոր<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Վերջապես

Ցրվածություն և մաթեմատիկական ակնկալիք - առանց որոնց դժվար է ապագայում որևէ բան հաշվարկել: Բուհերում դասախոսությունների հիմնական դասընթացում դրանք դիտարկվում են առարկայի ուսումնասիրման արդեն առաջին ամիսներին։ Այս պարզ հասկացությունների չհասկանալու և դրանք հաշվարկելու անկարողության պատճառով է, որ շատ ուսանողներ անմիջապես սկսում են ետ մնալ ծրագրից և հետագայում վատ գնահատականներ են ստանում նիստի արդյունքների հիման վրա, ինչը նրանց զրկում է կրթաթոշակից:

Պարապեք առնվազն մեկ շաբաթ, օրական կես ժամ՝ լուծելով այս հոդվածում ներկայացված առաջադրանքները։ Այնուհետև հավանականության տեսության ցանկացած թեստի ժամանակ դուք կհաղթահարեք օրինակներ՝ առանց ավելորդ հուշումների և խաբեության թերթիկների:

Այնուամենայնիվ, միայն այս հատկանիշը դեռևս բավարար չէ պատահական փոփոխական ուսումնասիրելու համար: Պատկերացրեք, որ երկու հրաձիգ կրակում են թիրախի վրա: Մեկը կրակում է ճշգրիտ և հարվածում է կենտրոնին մոտ, իսկ մյուսը ... պարզապես զվարճանում է և նույնիսկ նպատակ չի դնում: Բայց ծիծաղելին նրանն է միջինարդյունքը կլինի նույնը, ինչ առաջին հրաձիգը: Այս իրավիճակը պայմանականորեն ցուցադրվում է հետևյալ պատահական փոփոխականներով.

«Դիպուկահարի» մաթեմատիկական ակնկալիքը, սակայն, «հետաքրքիր անձի» համար հավասար է.

Այսպիսով, անհրաժեշտություն կա քանակական հաշվարկի, թե որքան հեռու ցրվածփամփուշտներ (պատահական փոփոխականի արժեքներ) թիրախի կենտրոնի համեմատ (մաթեմատիկական ակնկալիք): լավ և ցրումլատիներենից թարգմանվում է միայն որպես ցրվածություն .

Տեսնենք, թե ինչպես է որոշվում այս թվային բնութագիրը դասի 1-ին մասի օրինակներից մեկում.

Այնտեղ մենք գտանք այս խաղի հիասթափեցնող մաթեմատիկական ակնկալիքը, և այժմ մենք պետք է հաշվարկենք դրա շեղումը, որը նշվում էողջ .

Եկեք պարզենք, թե որքանով են «ցրված» շահումները/պարտությունները միջինի նկատմամբ։ Ակնհայտ է, որ դրա համար անհրաժեշտ է հաշվարկել տարբերություններմիջեւ պատահական փոփոխականի արժեքներև նրան մաթեմատիկական ակնկալիք:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Հիմա, թվում է, անհրաժեշտ է ամփոփել արդյունքները, բայց այս ճանապարհը հարմար չէ, այն պատճառով, որ ձախ տատանումները կչեղարկվեն աջ տատանումներով: Այսպես, օրինակ, «սիրողական» հրաձիգ (օրինակ վերևում)տարբերությունն այն է , իսկ երբ ավելացվի, կտա զրո, այնպես որ մենք չենք ստանա դրա նկարահանման ցրվածության որևէ գնահատական:

Այս անհանգստությունը շրջանցելու համար կարող եք հաշվի առնել մոդուլներտարբերություններ, բայց տեխնիկական պատճառներով մոտեցումը արմատավորվել է, երբ դրանք քառակուսի են: Ավելի հարմար է լուծումը կազմել աղյուսակով.

Եվ այստեղ աղերսում է հաշվարկել կշռված միջինշեղումների քառակուսիների արժեքը. Ի՞նչ է դա։ իրենցն է ակնկալվող արժեքը, որը ցրման չափն է.

– սահմանումշեղում. Սահմանումից անմիջապես պարզ է դառնում, որ շեղումը չի կարող բացասական լինել- նկատի ունեցեք պրակտիկայի համար:

Եկեք հիշենք, թե ինչպես գտնել ակնկալիք: Տարբերությունների քառակուսիները բազմապատկում ենք համապատասխան հավանականություններով (Աղյուսակի շարունակություն):
- պատկերավոր ասած՝ «ձգող ուժ է»,
և ամփոփել արդյունքները.

Չե՞ք կարծում, որ շահումների ֆոնին արդյունքը չափազանց մեծ է ստացվել։ Ճիշտ է, մենք քառակուսի ենք կազմել, և որպեսզի վերադառնանք մեր խաղի չափմանը, պետք է հանենք քառակուսի արմատը: Այս քանակությունը կոչվում է ստանդարտ շեղում և նշվում է հունարեն «սիգմա» տառով.

Այս արժեքը երբեմն կոչվում է ստանդարտ շեղում .

Ո՞րն է դրա իմաստը։ Եթե ​​մաթեմատիկական ակնկալիքից աջ ու ձախ շեղվենք ստանդարտ շեղմամբ.

- այնուհետև այս միջակայքում «կկենտրոնացվեն» պատահական փոփոխականի ամենահավանական արժեքները: Այն, ինչ մենք իրականում նկատում ենք.

Այնուամենայնիվ, այնպես ստացվեց, որ ցրումը վերլուծելիս գրեթե միշտ գործում է դիսպերսիա հասկացությունը: Տեսնենք, թե դա ինչ է նշանակում խաղերի հետ կապված։ Եթե ​​նետերի դեպքում մենք խոսում ենք թիրախի կենտրոնի նկատմամբ հարվածների «ճշգրտության» մասին, ապա այստեղ շեղումը բնութագրում է երկու բան.

Նախ, ակնհայտ է, որ տեմպերի աճին զուգահեռ մեծանում է նաև շեղումը։ Այսպիսով, օրինակ, եթե մենք ավելացնենք 10 անգամ, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքը կավելանա 10 անգամ, իսկ շեղումը` 100 անգամ. (քանի դեռ սա քառակուսի մեծություն է)... Բայց, նկատի ունեցեք, որ խաղի կանոնները չեն փոխվել: Փոխվել են միայն դրույքաչափերը, կոպիտ ասած՝ 10 ռուբլի էինք գրազ գալիս, հիմա 100։

Երկրորդ և ավելի հետաքրքիր կետն այն է, որ դիսպերսիան բնութագրում է խաղաոճը: Եկեք մտովի ֆիքսենք խաղի դրույքաչափերը որոշակի մակարդակի վրաև տեսեք, թե ինչ է այստեղ.

Ցածր շեղումների խաղը զգուշավոր խաղ է: Խաղացողը հակված է ընտրել ամենահուսալի սխեմաները, որտեղ նա միանգամից չի պարտվում / շատ է շահում: Օրինակ, կարմիր / սև համակարգը ռուլետկաում (տե՛ս հոդվածի օրինակ 4 Պատահական փոփոխականներ) .

Բարձր շեղումների խաղ. Նրան հաճախ են կանչում ցրողխաղ. Սա արկածային կամ ագրեսիվ խաղաոճ է, որտեղ խաղացողը ընտրում է ադրենալինի ավելացման սխեմաներ: Հիշենք գոնե Martingale, որոնցում վտանգված են գումարներ, որոնք մեծության կարգեր են, քան նախորդ պարբերության «հանգիստ» խաղը։

Պոկերում իրավիճակը ցուցիչ է՝ կան այսպես կոչված ամուրխաղացողներ, ովքեր հակված են զգույշ լինել և «խռովել» իրենց խաղային ակտիվների վրա (բանկի միջոցով)... Զարմանալի չէ, որ նրանց բանկիրը շատ չի տատանվում (ցածր շեղում): Ընդհակառակը, եթե խաղացողը մեծ դիսպերսիա ունի, ապա սա է ագրեսորը: Նա հաճախ ռիսկի է դիմում, մեծ խաղադրույքներ է անում և կարող է և՛ հսկայական բանկ կոտրել, և՛ գնալ խաբեբաներ:

Նույնը տեղի է ունենում Forex-ում և այլն, օրինակները շատ են:

Ընդ որում, բոլոր դեպքերում էական չէ՝ խաղը կոպեկով է, թե հազարավոր դոլարներով։ Յուրաքանչյուր մակարդակ ունի իր ցածր և բարձր ցրվածության խաղացողները: Դե, միջին վարձատրության համար, ինչպես հիշում ենք, «պատասխանատու» է. ակնկալվող արժեքը.

Դուք հավանաբար նկատել եք, որ տարբերությունը գտնելը երկար և տքնաջան գործընթաց է: Բայց մաթեմատիկան առատաձեռն է.

Տարբերությունը գտնելու բանաձևը

Այս բանաձևը ուղղակիորեն բխում է դիսպերսիայի սահմանումից, և մենք անմիջապես այն դնում ենք շրջանառության մեջ։ Վերևից մեր խաղով ափսեը պատճենելու եմ.

և գտած ակնկալիքը:

Հաշվարկենք շեղումը երկրորդ եղանակով։ Նախ՝ մենք գտնում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ պատահական փոփոխականի քառակուսին: Ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանում:

Այս դեպքում:

Այսպիսով, ըստ բանաձևի.

Զգացեք տարբերությունը, ինչպես ասում են. Իսկ գործնականում, իհարկե, ավելի լավ է կիրառել բանաձեւը (եթե պայմանն այլ բան չի պահանջում):

Մենք տիրապետում ենք լուծման և ձևավորման տեխնիկային.

Օրինակ 6

Գտեք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:

Այս առաջադրանքը ամենուր է, և, որպես կանոն, անցնում է առանց իմաստալից իմաստի:
Դուք կարող եք պատկերացնել թվերով մի քանի լամպ, որոնք վառվում են գժանոցում որոշակի հավանականությամբ :)

ԼուծումՀարմար է հիմնական հաշվարկներն ամփոփել աղյուսակում: Նախ, մենք գրում ենք բնօրինակ տվյալները վերևի երկու տողերում: Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք արտադրյալները, այնուհետև և վերջում աջ սյունակի գումարները.

Իրականում գրեթե ամեն ինչ պատրաստ է։ Երրորդ տողը պարունակում է պատրաստի մաթեմատիկական ակնկալիք. .

Մենք հաշվարկում ենք շեղումը բանաձևով.

Եվ վերջապես ստանդարտ շեղումը.
- Անձամբ ես սովորաբար կլորացնում եմ մինչև 2 տասնորդական տեղ:

Բոլոր հաշվարկները կարող են կատարվել հաշվիչի վրա, կամ նույնիսկ ավելի լավ՝ Excel-ում.

այստեղ դժվար է սխալվել :)

Պատասխանել:

Ցանկացողները կարող են ավելի պարզեցնել իրենց կյանքը և օգտագործել իմ հաշվիչ (դեմո), որը ոչ միայն ակնթարթորեն կլուծի այս խնդիրը, այլեւ կկառուցի թեմատիկ գծապատկերներ (մենք շուտով այնտեղ կհասնենք)... Ծրագիրը կարող է ներբեռնել գրադարանում- եթե ներբեռնել եք առնվազն մեկ ուսումնական նյութ, կամ ստացել եք այլ կերպ... Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Անկախ լուծման համար մի քանի առաջադրանք.

Օրինակ 7

Հաշվեք նախորդ օրինակի պատահական փոփոխականի շեղումը ըստ սահմանման:

Եվ նմանատիպ օրինակ.

Օրինակ 8

Դիսկրետ պատահական փոփոխականը տրված է իր բաշխման օրենքով.

Այո, պատահական փոփոխականի արժեքները կարող են բավականին մեծ լինել (օրինակ իրական աշխատանքից), և այստեղ, եթե հնարավոր է, օգտագործեք Excel-ը։ Ինչպես, ի դեպ, օրինակ 7-ում, դա ավելի արագ է, ավելի հուսալի և ավելի հաճելի:

Լուծումներ և պատասխաններ էջի ներքևում:

Դասի 2-րդ մասի ավարտին մենք կվերլուծենք ևս մեկ տիպիկ խնդիր, կարելի է նույնիսկ փոքր ռեբուս ասել.

Օրինակ 9

Դիսկրետ պատահական փոփոխականը կարող է ընդունել միայն երկու արժեք՝ և ավելին: Հայտնի են հավանականությունը, մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը։

ԼուծումՍկսենք անհայտ հավանականությամբ։ Քանի որ պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել միայն երկու արժեք, համապատասխան իրադարձությունների հավանականությունների գումարը.

և դրանից հետո.

Մնում է գտնել...հեշտ է ասել :) Բայց ախ, լավ, հեռանում ենք: Ըստ մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանման.
- մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները.

- և այս հավասարումից ավելին ոչինչ հնարավոր չէ քամել, բացի այն, որ դուք կարող եք այն վերաշարադրել սովորական ուղղությամբ.

կամ:

Հետագա գործողությունների մասին, կարծում եմ, կարող եք կռահել։ Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը.

Տասնորդական կոտորակները, իհարկե, կատարյալ խայտառակություն են. երկու հավասարումները բազմապատկեք 10-ով.

և բաժանել 2-ի.

Դա շատ ավելի լավ է: 1-ին հավասարումից մենք արտահայտում ենք.
(սա ավելի հեշտ ճանապարհ է)- 2-րդ հավասարման մեջ փոխարինում ենք.

Մենք կառուցում ենք քառակուսիև կատարել պարզեցումներ.

Բազմապատկել՝

Արդյունքն այն է քառակուսի հավասարում, մենք գտնում ենք դրա տարբերակիչը.
- կատարյալ!

և մենք ստանում ենք երկու լուծում.

1) եթե , ապա ;

2) եթե , ապա .

Արժեքների առաջին զույգը բավարարում է պայմանը. Մեծ հավանականությամբ ամեն ինչ ճիշտ է, բայց, այնուամենայնիվ, մենք գրում ենք բաշխման օրենքը.

և մենք կստուգենք, մասնավորապես, կգտնենք ակնկալիքը.

Դիսպերսիայի տեսակները.

Ընդհանուր շեղումբնութագրում է ամբողջ բնակչության հատկանիշի տատանումները բոլոր այն գործոնների ազդեցության տակ, որոնք առաջացրել են այս փոփոխությունը: Այս արժեքը որոշվում է բանաձևով

որտեղ է ամբողջ հետազոտվող բնակչության թվաբանական միջինը:

Միջին խմբային շեղումցույց է տալիս պատահական փոփոխություն, որը կարող է առաջանալ որևէ չհաշվառված գործոնների ազդեցության տակ և որը կախված չէ խմբավորման հիմքում ընկած հատկանիշ-գործոնից: Այս շեղումը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ. սկզբում հաշվարկվում են առանձին խմբերի շեղումները (), այնուհետև հաշվարկվում է միջխմբային շեղումները.

որտեղ n i-ը խմբի միավորների թիվն է

Միջխմբային շեղում(խմբային միջոցների շեղումը) բնութագրում է համակարգված տատանումները, այսինքն. ուսումնասիրվող հատկանիշի չափերի տարբերությունները, որոնք առաջանում են խմբավորման հիմք հանդիսացող հատկանիշ-գործոնի ազդեցության տակ:

որտեղ է միջին արժեքը առանձին խմբի համար:

Տարբերակման բոլոր երեք տեսակները փոխկապակցված են. ընդհանուր շեղումը հավասար է միջին ներխմբային շեղումների և միջխմբային շեղումների գումարին.

Հատկություններ:

25 Տատանումների հարաբերական տեմպերը

Տատանման գործակիցը
Հարաբերական գծային շեղում
Տատանումների գործակիցը

Գլխ. Օսկ. Օարտացոլում է հատկանիշի ծայրահեղ արժեքների հարաբերական տատանումները միջինի շուրջ: Rel. lin. անջատված... բնութագրում է միջինից բացարձակ շեղումների նշանի միջին արժեքի մասնաբաժինը։ Գլխ. Տարբերակումը փոփոխականության ամենատարածված չափումն է, որն օգտագործվում է միջինների բնորոշությունը գնահատելու համար:

Վիճակագրության մեջ 30-35%-ից ավելի տատանումների գործակից ունեցող պոպուլյացիաները համարվում են տարասեռ:

Բաշխման շարքի օրինաչափությունը. Բաշխման պահեր. Բաշխման ձևի ցուցիչներ

Տատանումների շարքում կապ կա հաճախականությունների և տարբեր հատկանիշի արժեքների միջև. հատկանիշի աճով հաճախականության արժեքը սկզբում աճում է մինչև որոշակի սահման, այնուհետև նվազում է: Նման փոփոխությունները կոչվում են բաշխման ձևերը.

Բաշխման ձևն ուսումնասիրվում է ասիմետրիայի և կուրտոզի ցուցիչների միջոցով: Այս ցուցանիշները հաշվարկելիս օգտագործվում են բաշխման պահերը:

K-րդ կարգի պահը կոչվում է որոշ հաստատուն արժեքից հատկանիշի արժեքների տարբերակների շեղումների k-րդ աստիճանների միջին: Պահի կարգը որոշվում է k-ի արժեքով։ Վարիացիոն շարքերը վերլուծելիս դրանք սահմանափակվում են առաջին չորս կարգերի մոմենտների հաշվարկով։ Մոմենտները հաշվարկելիս հաճախականությունները կամ հաճախականությունները կարող են օգտագործվել որպես կշիռներ: Կախված հաստատունի ընտրությունից՝ լինում են սկզբնական, պայմանական և կենտրոնական պահեր։

Բաշխման ձևի ցուցիչներ.

Ասիմետրիա(As) բաշխման անհամաչափության աստիճանը բնութագրող ցուցիչ .

Հետևաբար, (ձախակողմյան) բացասական ասիմետրիկությամբ ... (աջակողմյան) դրական ասիմետրիկությամբ .

Կենտրոնական պահերը կարող են օգտագործվել ասիմետրիկությունը հաշվարկելու համար: Ապա.

,

որտեղ մ 3 Երրորդ կարգի կենտրոնական պահն է։

- կուրտոզ (Է Դեպի ) բնութագրում է ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքությունը՝ համեմատած նորմալ բաշխման հետ՝ տատանումների նույն ուժգնությամբ.

,

որտեղ μ 4-ը 4-րդ կարգի կենտրոնական պահն է:

Բաշխման նորմալ օրենք

Նորմալ բաշխման համար (Գաուսյան բաշխում) բաշխման ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը.

Ակնկալվող արժեք - ստանդարտ շեղում

Նորմալ բաշխումը սիմետրիկ է և բնութագրվում է հետևյալ հարաբերություններով՝ Xav = Me = Mo

Նորմալ բաշխման կուրտոզը 3 է, իսկ թեքության գործակիցը՝ 0։

Նորմալ բաշխման կորը բազմանկյուն է (սիմետրիկ զանգակաձեւ գիծ)

Դիսպերսիաների տեսակները. Տարբերությունների ավելացման կանոն. Որոշման էմպիրիկ գործակցի էությունը.

Եթե ​​սկզբնական պոպուլյացիան բաժանվում է խմբերի՝ ըստ որոշ էական հատկանիշի, ապա հաշվարկվում են շեղումների հետևյալ տեսակները.

Սկզբնական բնակչության ընդհանուր տարբերությունը.

որտեղ է սկզբնական պոպուլյացիայի ընդհանուր միջին արժեքը, f-ն սկզբնական պոպուլյացիայի հաճախականություններն են: Ընդհանուր շեղումը բնութագրում է հատկանիշի առանձին արժեքների շեղումը սկզբնական պոպուլյացիայի ընդհանուր միջին արժեքից:

Ներխմբային շեղումներ.

որտեղ j-ը խմբի թիվն է, յուրաքանչյուր j-րդ խմբի միջին արժեքն է, j-րդ խմբի հաճախականությունները: Ներխմբային շեղումները բնութագրում են յուրաքանչյուր խմբի հատկանիշի անհատական ​​արժեքի շեղումը խմբի միջինից: Բոլոր ներխմբային շեղումներից միջինը հաշվարկվում է բանաձևով. որտեղ է յուրաքանչյուր j-րդ խմբի միավորների քանակը:

Միջխմբային տարբերություն.

Միջխմբային շեղումը բնութագրում է խմբային միջինների շեղումը սկզբնական պոպուլյացիայի ընդհանուր միջինից:

Տարբերությունների ավելացման կանոնկայանում է նրանում, որ սկզբնական բնակչության ընդհանուր շեղումը պետք է հավասար լինի միջխմբի գումարին և ներխմբային շեղումների միջինին.

Որոշման էմպիրիկ գործակիցըցույց է տալիս ուսումնասիրված հատկանիշի տատանումների մասնաբաժինը խմբավորման հատկանիշի տատանումների պատճառով և հաշվարկվում է բանաձևով.

Պայմանական զրոյից հաշվելու մեթոդ (պահերի մեթոդ) միջինը և շեղումը հաշվարկելու համար

Մոմենտների մեթոդով շեղումների հաշվարկը հիմնված է բանաձևերի և 3 և 4 դիսպերսիոն հատկությունների կիրառման վրա։

(3. Եթե հատկանիշի (տարբերակների) բոլոր արժեքները մեծանան (նվազեն) ինչ-որ հաստատուն A թվով, ապա նոր պոպուլյացիայի շեղումը չի փոխվի:

4. Եթե հատկանիշի բոլոր արժեքները (տարբերակները) ավելացվեն (բազմապատկվեն) K-ով, որտեղ K-ն հաստատուն թիվ է, ապա նոր պոպուլյացիայի շեղումը կաճի (կնվազի) K-ով 2 անգամ:

Մենք ստանում ենք հավասար ընդմիջումներով փոփոխական շարքերի շեղումը հաշվարկելու բանաձևը պահերի մեթոդով.

A - պայմանական զրո, որը հավասար է առավելագույն հաճախականությամբ տարբերակին (միջակայքի միջին առավելագույն հաճախականությամբ)

Մոմենտների մեթոդով միջինի հաշվարկը նույնպես հիմնված է միջինի հատկությունների օգտագործման վրա։

Ընտրովի դիտարկման հայեցակարգը. Ընտրանքի մեթոդով տնտեսական երեւույթների ուսումնասիրության փուլերը

Ընտրովի դիտարկումը կոչվում է այն դիտարկումը, որի ժամանակ ուսումնասիրվում և ուսումնասիրվում են սկզբնական բնակչության ոչ բոլոր միավորները, այլ միայն միավորների մի մասը, մինչդեռ բնակչության մի մասի հարցման արդյունքը վերաբերում է ամբողջ սկզբնական բնակչությանը: Կոմպլեկտը, որից ընտրվում են միավորները հետագա քննության և ուսումնասիրության համար, կոչվում է գեներալև այս բազմությունը բնութագրող բոլոր ցուցիչները կոչվում են գեներալ.

Ընդհանուր միջինից ընտրանքային միջինի շեղումների հնարավոր սահմանները կոչվում են նմուշառման սխալ.

Ընտրված միավորների բազմությունը կոչվում է ընտրովիև այս բազմությունը բնութագրող բոլոր ցուցիչները կոչվում են ընտրովի.

Ընտրանքային ուսումնասիրությունը ներառում է հետևյալ փուլերը.

Հետազոտության օբյեկտի բնութագրերը (զանգվածային տնտեսական երեւույթներ). Եթե ​​ընդհանուր բնակչությունը փոքր է, ապա նմուշառումը խորհուրդ չի տրվում, անհրաժեշտ է շարունակական ուսումնասիրություն.

Նմուշի չափի հաշվարկ. Կարևոր է որոշել օպտիմալ ծավալը, որը թույլ կտա նվազագույն գնով ստանալ նմուշառման սխալ ընդունելի միջակայքում.

Դիտորդական միավորների ընտրություն՝ հաշվի առնելով պատահականության, համաչափության պահանջները։

Ներկայացուցչականության ապացույց՝ հիմնված ընտրանքային սխալի գնահատման վրա: Պատահական նմուշի համար սխալը հաշվարկվում է բանաձևերի միջոցով: Թիրախային ընտրանքի համար ներկայացուցչականությունը գնահատվում է որակական մեթոդներով (համեմատություն, փորձ);

Նմուշի վերլուծություն. Եթե ​​ձևավորված նմուշը համապատասխանում է ներկայացուցչականության պահանջներին, ապա այն վերլուծվում է վերլուծական ցուցանիշների միջոցով (միջին, հարաբերական և այլն):