Հակադարձ մատրիցային մեթոդով լուծե՛ք հավասարումների համակարգը առցանց: Կրամերի կանոն. Հակադարձ մատրիցային մեթոդ

Առաջին մասում դիտարկեցինք մի փոքր տեսական նյութ՝ փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելու եղանակը։ Բոլորին, ովքեր այս էջի միջոցով եկել են կայք, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ առաջին մասը։ Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ընթացքում ես մի շարք շատ կարևոր դիտողություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:

Իսկ այժմ մենք կվերլուծենք Կրամերի կանոնը, ինչպես նաև կլուծենք գծային հավասարումների համակարգը հակադարձ մատրիցով (մատրիցի մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հասկանալի ձևով, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը վերը նշված եղանակներով:

Նախ, մենք մանրամասնորեն կքննարկենք Կրամերի կանոնը երկու անհայտներում երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? - Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարելի է լուծել դպրոցական մեթոդով, ժամկետ առ ժամկետ գումարման եղանակով։

Փաստն այն է, որ նույնիսկ երբեմն, բայց կա նման խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգը երկու անհայտներով՝ ըստ Քրամերի բանաձեւերի։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք խորհուրդ է տրվում լուծել հենց Քրամերի կանոնի համաձայն։

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե, ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
և

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները բանաձևերով.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավական մեծ են, աջ կողմում կան տասնորդական կոտորակներ՝ ստորակետով։ Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է մաթեմատիկայի գործնական վարժություններում, ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, հավանաբար, կստանաք սարսափելի շքեղ կոտորակներ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և կատարել անդամ առ անդամ հանում, բայց այստեղ կհայտնվեն նույն կոտորակները։

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ անսահման պոչեր ունեն և հայտնաբերվել են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ առաջադրանքը լուծվում է ըստ պատրաստի բանաձևերի, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդը կիրառելիս. պարտադիրՀանձնարարության մի հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի միայն մեկ լուծում».... Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմը չհարգելու համար:

Ավելորդ չի լինի ստուգել, ​​ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են ճիշտ մասերում:

Օրինակ 8

Պատասխանը ներկայացված է սովորական անկանոն կոտորակներով։ Ստուգեք.

Սա անկախ լուծման օրինակ է (ավարտման օրինակ և պատասխանը դասի վերջում):

Այժմ մենք դիմում ենք Քրամերի կանոնի քննարկմանը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Գտեք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե, ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, անհրաժեշտ է օգտագործել Գաուսի մեթոդը։

Եթե, ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» գործը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկու-երկու» գործից, ազատ անդամների սյունակը հաջորդաբար «քայլում» է ձախից աջ հիմնական որոշիչի սյունակների երկայնքով:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին մեկնաբանելու ոչինչ չկա, քանի որ որոշումն ընդունված է պատրաստի բանաձեւերով։ Բայց պետք է նշել մի քանի բան.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատելի կոտորակներ, օրինակ.
Ես խորհուրդ եմ տալիս հետեւյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ​​ձեռքի տակ չունեք համակարգիչ, մենք անում ենք հետևյալը.

1) կարող է լինել հաշվարկի սխալ: Հենց որ բախվեք «վատ» կոտորակի հետ, անմիջապես պետք է ստուգեք պայմանը ճիշտ է վերագրված... Եթե ​​պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա անհրաժեշտ է վերահաշվարկել որոշիչները՝ օգտագործելով ընդլայնումը մեկ այլ տողով (սյունակով):

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, տառասխալ է եղել առաջադրանքի վիճակում: Այս դեպքում հանգիստ ու ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ առաջադրանքը լուծում ենք մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշումից հետո մենք այն պատրաստում ենք մաքուր օրինակով: Անշուշտ, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով, դե, շատ է սիրում մինուս դնել ցանկացած բյակայի նման: Ինչպես կարգավորել կոտորակները, մանրամասն ներկայացված է Օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ​​ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա այն ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, ամենից շահավետ է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ), դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որում սխալ եք թույլ տվել: Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդով։

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ լինում են համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ բացակայում է փոփոխականը, իսկ երկրորդը՝ փոփոխականը։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ԶԳՈՒՇՏ գրել հիմնական որոշիչը.
- բացակայող փոփոխականների փոխարեն դրվում են զրոներ:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել այն շարքով (սյունակով), որում զրո կա, քանի որ հաշվարկները շատ ավելի քիչ են։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա անկախ լուծման օրինակ է (հարդարման նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Կենդանի օրինակ կարելի է գտնել «Determinant Properties» դասում: Որոշիչի կարգի իջեցում՝ 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են։ Թեև առաջադրանքն արդեն բավականին հիշեցնում է բախտակից ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(տե՛ս նշված դասի օրինակ # 3):

Այս բաժինը ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել հակադարձ մատրիցը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Ճանապարհին կտրամադրվեն համապատասխան հղումներ։

Օրինակ 11

Լուծել համակարգը մատրիցային մեթոդով

ԼուծումԳրենք համակարգը մատրիցային տեսքով.
, որտեղ

Խնդրում ենք նայեք հավասարումների համակարգին և մատրիցներին: Ինչ սկզբունքով ենք տարրեր գրում մատրիցների մեջ, կարծում եմ բոլորը հասկանում են։ Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայում էին հավասարումների մեջ, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ դնել։

Գտեք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը։

Նախ, մենք գործ ունենք որոշիչի հետ.

Այստեղ որակավորումն ընդլայնվում է առաջին տողում։

Ուշադրություն. Եթե, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և հնարավոր չէ համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդ)։

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահասներ և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը տողի համարն է, որում գտնվում է այս տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է այս տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, նյութը գտնվում է 3-րդ տողում, սյունակ 2-ում:

Հաշվի առեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ(SLAE) առնչությամբ nանհայտ x 1 , x 2 , ..., x n :

Այս համակարգը «փլուզված» ձևով կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Ս n i = 1 ա ij x ժ = բ ես , i = 1,2, ..., n.

Մատրիցային բազմապատկման կանոնին համապատասխան՝ գծային հավասարումների դիտարկված համակարգը կարող է գրվել մատրիցային ձև Կացին = բ, որտեղ

, ,.

Մատրիցա Ա, որի սյունակները համապատասխան անհայտների գործակիցներն են, իսկ տողերը՝ համապատասխան հավասարման անհայտների գործակիցները կոչվում է. համակարգի մատրիցա... Սյունակի մատրիցա բ, որի տարրերը համակարգի հավասարումների աջ կողմերն են, կոչվում է աջ կողմի մատրիցա կամ պարզապես. համակարգի աջ կողմը... Սյունակի մատրիցա x , որի տարրերն են անհայտ անհայտները, կոչվում է համակարգի լուծում.

Ձևով գրված գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը Կացին = բ, է մատրիցային հավասարում.

Եթե ​​համակարգի մատրիցը ոչ այլասերված, այնուհետև այն ունի հակադարձ մատրիցա և այնուհետև համակարգի լուծումը Կացին = բտրված է բանաձևով.

x = Ա -1 բ.

ՕրինակԼուծել համակարգ մատրիցային մեթոդ.

Լուծումգտե՛ք համակարգի գործակիցների մատրիցայի հակադարձ մատրիցը

Եկեք հաշվարկենք որոշիչը՝ ընդլայնվելով առաջին տողի երկայնքով.

Այնքանով, որքանով Δ ≠ 0 , ապա Ա -1 գոյություն ունի։

Հակադարձ մատրիցը ճիշտ է գտնվել:

Եկեք համակարգի լուծումը գտնենք

Հետևաբար, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Փորձաքննություն:

7. Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի համատեղելիության մասին։

Գծային հավասարումների համակարգնման է:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

Այստեղ տրված են a i j և b i (i =; j =), իսկ x j-ն անհայտ իրական թվեր են: Օգտագործելով մատրիցների արտադրյալի հայեցակարգը, մենք կարող ենք վերաշարադրել համակարգը (5.1) հետևյալ ձևով.

որտեղ A = (a i j) մատրիցն է, որը բաղկացած է (5.1) համակարգի անհայտների գործակիցներից, որը կոչվում է. համակարգի մատրիցա, X = (x 1, x 2, ..., x n) T, B = (b 1, b 2, ..., b m) T-ը սյունակային վեկտորներ են, որոնք կազմված են համապատասխանաբար x j և ազատ b i տերմիններից:

Պատվիրված հավաքածու nԻրական թվերը (c 1, c 2, ..., c n) կոչվում են համակարգի լուծում(5.1) եթե այս թվերը համապատասխան x 1, x 2, ..., x n փոփոխականների փոխարեն փոխարինելու արդյունքում համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում վերածվում է թվաբանական նույնության. այլ կերպ ասած, եթե կա C = (c 1, c 2, ..., c n) T այնպիսի վեկտոր, որ AC  B.

Համակարգը (5.1) կոչվում է համատեղ,կամ լուծելի,եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում: Համակարգը կոչվում է անհամապատասխանկամ անլուծելիեթե լուծումներ չունի։

,

ձևավորվում է աջից A մատրիցին ազատ անդամների սյունակը վերագրելով, կոչվում է ընդլայնված համակարգի մատրիցա.

Համակարգի (5.1) համատեղելիության հարցը լուծվում է հետևյալ թեորեմով.

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ ... Գծային հավասարումների համակարգը հետևողական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե A և A մատրիցների շարքերը համընկնում են, այսինքն. r (A) = r (A) = r.

Համակարգի լուծումների M բազմության համար (5.1) կա երեք հնարավորություն.

1) M =  (այս դեպքում համակարգը անհամապատասխան է);

2) M-ը բաղկացած է մեկ տարրից, այսինքն. համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում (այս դեպքում համակարգը կոչվում է որոշակի);

3) M-ը բաղկացած է մեկից ավելի տարրից (այնուհետև կոչվում է համակարգը չսահմանված): Երրորդ դեպքում (5.1) համակարգը ունի անսահման թվով լուծումներ։

Համակարգն ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, եթե r (A) = n: Այս դեպքում հավասարումների թիվը պակաս չէ անհայտների թվից (mn); եթե m> n, ապա m-n հավասարումները մյուսների հետևանքն են: Եթե ​​0

Գծային հավասարումների կամայական համակարգ լուծելու համար դուք պետք է կարողանաք լուծել այնպիսի համակարգեր, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, այսպես կոչված. Կրամեր տիպի համակարգեր:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n.

Համակարգերը (5.3) լուծվում են հետևյալ եղանակներից մեկով. 1) Գաուսի մեթոդով կամ անհայտները վերացնելու մեթոդով. 2) ըստ Քրամերի բանաձեւերի. 3) մատրիցային մեթոդով.

Օրինակ 2.12... Ուսումնասիրեք հավասարումների համակարգը և լուծեք այն, եթե այն համատեղելի է.

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0:

Լուծում.Մենք դուրս ենք գրում համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

 .

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը։ Ակնհայտորեն, օրինակ, վերին ձախ անկյունում երկրորդ կարգի մինորը = 7  0; այն պարունակող երրորդ կարգի անչափահասները հավասար են զրոյի.

Հետևաբար, համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը 2 է, այսինքն. r (A) = 2. Ընդլայնված A մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելու համար հաշվի առեք սահմանային փոքրը.

հետևաբար, ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը r (A) = 3 է: Քանի որ r (A)  r (A), համակարգը անհամապատասխան է:

Թող լինի n-րդ կարգի քառակուսի մատրիցա

A -1 մատրիցը կոչվում է հակադարձ մատրիցա A մատրիցի նկատմամբ, եթե A * A -1 = E, որտեղ E-ն n-րդ կարգի նույնական մատրիցն է:

Միավորի մատրիցա- այսպիսի քառակուսի մատրիցա, որում վերին ձախ անկյունից ներքևի աջ անկյուն անցնող հիմնական անկյունագծով բոլոր տարրերը մեկ են, իսկ մնացածը զրո են, օրինակ.

հակադարձ մատրիցակարող է գոյություն ունենալ միայն քառակուսի մատրիցների համարդրանք. նույն թվով տողեր և սյունակներ ունեցող մատրիցների համար:

Հակադարձ մատրիցայի գոյության պայմանի թեորեմը

Որպեսզի մատրիցն ունենա հակադարձ մատրիցա, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն լինի ոչ այլասերված:

A = (A1, A2, ... A n) մատրիցը կոչվում է ոչ այլասերվածեթե սյունակների վեկտորները գծային անկախ են: Մատրիցի գծային անկախ սյունակային վեկտորների թիվը կոչվում է մատրիցայի աստիճան: Հետևաբար, կարող ենք ասել, որ հակադարձ մատրիցայի գոյության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ մատրիցի աստիճանը հավասար լինի իր չափմանը, այսինքն. r = n.

Հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ

1. Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման աղյուսակում գրե՛ք Ա մատրիցը և աջից (հավասարումների աջ կողմերի տեղում) նշանակե՛ք E մատրիցը։
2. Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումը, կրճատեք A մատրիցը մինչև միավոր սյունակներից բաղկացած մատրիցա; այս դեպքում անհրաժեշտ է միաժամանակ վերափոխել E մատրիցը։
3. Անհրաժեշտության դեպքում վերադասավորեք վերջին աղյուսակի տողերը (հավասարումները) այնպես, որ միավորի մատրիցը E ստացվի սկզբնական աղյուսակի A մատրիցի տակ:
4. Գրե՛ք A -1 հակադարձ մատրիցը, որը վերջին աղյուսակում է սկզբնական աղյուսակի E մատրիցի տակ։

Օրինակ 1

A մատրիցի համար գտե՛ք A -1 հակադարձ մատրիցը

Լուծում. Մենք գրում ենք A մատրիցը և աջ կողմում վերագրում ենք նույնականության մատրիցը E: Օգտագործելով Jordan-ի փոխակերպումները, մենք A մատրիցը կրճատում ենք նույնականության E մատրիցով: Հաշվարկները ներկայացված են աղյուսակ 31.1-ում:

Եկեք ստուգենք հաշվարկների ճիշտությունը՝ բազմապատկելով սկզբնական A մատրիցը և A -1 հակադարձ մատրիցը:

Մատրիցային բազմապատկման արդյունքում ստացվում է միավորի մատրիցը: Հետեւաբար, հաշվարկները ճիշտ են։

Պատասխան.

Մատրիցային հավասարումների լուծում

Մատրիցային հավասարումները կարող են լինել հետևյալ ձևով.

AX = B, XA = B, AXB = C,

որտեղ A, B, C-ը նշված մատրիցներն են, X-ը պահանջվող մատրիցն է:

Մատրիցային հավասարումները լուծվում են հավասարումը հակադարձ մատրիցներով բազմապատկելով:

Օրինակ, հավասարումից մատրիցա գտնելու համար այդ հավասարումը բազմապատկվում է ձախով:

Հետևաբար, հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել հակադարձ մատրիցը և այն բազմապատկել հավասարման աջ կողմի մատրիցով:

Նմանապես լուծվում են նաև այլ հավասարումներ։

Օրինակ 2

Լուծե՛ք AX = B հավասարումը, եթե

ԼուծումՔանի որ մատրիցայի հակառակն է (տես օրինակ 1)

Մատրիցային մեթոդ տնտեսական վերլուծության մեջ

Մյուսների հետ միասին նրանք նաև կիրառություն են գտնում մատրիցային մեթոդներ... Այս մեթոդները հիմնված են գծային և վեկտոր-մատրիցային հանրահաշվի վրա: Նման մեթոդներն օգտագործվում են բարդ և բազմաչափ տնտեսական երևույթների վերլուծության համար։ Ամենից հաճախ այդ մեթոդները կիրառվում են, երբ անհրաժեշտ է կազմակերպությունների և դրանց կառուցվածքային ստորաբաժանումների գործունեության համեմատական ​​գնահատում:

Վերլուծության մատրիցային մեթոդների կիրառման գործընթացում կարելի է առանձնացնել մի քանի փուլ.

Առաջին փուլումձևավորվում է տնտեսական ցուցանիշների համակարգ և դրա հիման վրա կազմվում է սկզբնական տվյալների մատրիցա, որն իրենից ներկայացնում է աղյուսակ, որտեղ համակարգի համարները ցուցադրվում են իր առանձին տողերում։ (i = 1,2, ...., n), իսկ ուղղահայաց սյունակների երկայնքով `ցուցանիշների թվերը (j = 1,2, ...., մ).

Երկրորդ փուլումյուրաքանչյուր ուղղահայաց սյունակի համար բացահայտվում է ցուցիչների առկա արժեքներից ամենամեծը, որը վերցվում է որպես միավոր:

Դրանից հետո այս սյունակում արտացոլված բոլոր գումարները բաժանվում են ամենամեծ արժեքով և ձևավորվում է ստանդարտացված գործակիցների մատրիցա։

Երրորդ փուլումմատրիցայի բոլոր բաղկացուցիչ մասերը քառակուսի են։ Եթե ​​դրանք տարբեր նշանակություն ունեն, ապա մատրիցայի յուրաքանչյուր ցուցիչին նշանակվում է որոշակի կշռման գործոն կ... Վերջինիս արժեքը որոշվում է փորձագիտական ​​դատողությամբ։

Վերջում, չորրորդ փուլհայտնաբերված գնահատականների արժեքները Ռ ժխմբավորվում են ըստ աճի կամ նվազման:

Նախանշված մատրիցային մեթոդները պետք է օգտագործվեն, օրինակ, տարբեր ներդրումային նախագծերի համեմատական ​​վերլուծության, ինչպես նաև կազմակերպությունների գործունեության այլ տնտեսական ցուցանիշների գնահատման ժամանակ:

Թեմա 2. ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՇՎԱՌՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԸ.

Հիմնական հասկացություններ.

Սահմանում 1... Համակարգ մհետ գծային հավասարումներ nանհայտը ձևի համակարգ է.

որտեղ և կան թվեր:

Սահմանում 2... Համակարգի լուծումը (I) անհայտների մի շարք է, որոնց համար այս համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում վերածվում է ինքնության:

Սահմանում 3... Համակարգը (I) կոչվում է համատեղեթե ունի գոնե մեկ լուծում և անհամապատասխանեթե լուծումներ չունի։ Համատեղ համակարգը կոչվում է որոշակիեթե ունի յուրահատուկ լուծում, և չսահմանվածհակառակ դեպքում.

Սահմանում 4... Ձևի հավասարումը

կանչեց զրո, և ձևի հավասարում

կանչեց անհամապատասխան... Ակնհայտ է, որ անհամապատասխան հավասարում պարունակող հավասարումների համակարգը անհամապատասխան է:

Սահմանում 5... Գծային հավասարումների երկու համակարգեր են կոչվում հավասարազոր էեթե մի համակարգի յուրաքանչյուր լուծում ծառայում է որպես մյուսի լուծում և, ընդհակառակը, երկրորդ համակարգի յուրաքանչյուր լուծում առաջինի լուծումն է:

Գծային հավասարումների համակարգի մատրիցային նշում:

Դիտարկենք համակարգը (I) (տես §1):

Նշենք.

Գործակիցների մատրիցա անհայտների համար

Մատրիցա - ազատ անդամների սյունակ

Մատրիցա - անհայտների սյունակ

.

Սահմանում 1.Մատրիցը կոչվում է համակարգի հիմնական մատրիցը(I), իսկ մատրիցը համակարգի ընդլայնված մատրիցն է (I):

Մատրիցային հավասարության սահմանմամբ (I) համակարգը համապատասխանում է մատրիցային հավասարությանը.

.

Այս հավասարության աջ կողմը մատրիցների արտադրյալի սահմանմամբ ( տե՛ս 1-ին գլխի 3 § 5 սահմանումը) կարող է ֆակտորիզացվել.

, այսինքն.

Հավասարություն (2) կանչեց համակարգի մատրիցային նշում (I).

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում Քրամերի մեթոդով.

Ներդրեք համակարգ (I) (տես §1) m = n, այսինքն. հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ դեգեներատիվ է, այսինքն. ... Այնուհետև §1-ից (I) համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում

որտեղ Դ = det Aկոչվում է գլխավոր համակարգի որոշիչ(I), Δ եսստացվում է Δ որոշիչից՝ փոխարինելով ես--րդ սյունակը համակարգի ազատ անդամների սյունակում (I):

Օրինակ՝ Համակարգը լուծել Քրամերի մեթոդով.

.

Ըստ բանաձևերի (3) .

Մենք հաշվարկում ենք համակարգի որոշիչները.

,

,

.

Որոշիչը ստանալու համար որոշիչի առաջին սյունակը փոխարինեցինք ազատ անդամի սյունակով; Փոխարինելով 2-րդ սյունակը որոշիչում ազատ տերմինների սյունակով, մենք ստանում ենք. Նմանապես, որոշիչի երրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ տերմինների սյունակով, մենք ստանում ենք. Համակարգային լուծում.

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա։

Ներդրեք համակարգ (I) (տես §1) m = nիսկ համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ այլասերված է։ Մենք գրում ենք համակարգը (I) մատրիցային ձևով ( տես §2):

քանի որ մատրիցա Աոչ այլասերված, ապա այն ունի հակադարձ մատրիցա ( տես Թեորեմ 1, Բաժին 6, Գլուխ 1): Բազմապատկեք հավասարության երկու կողմերը (2) դեպի մատրիցա, ապա

Հակադարձ մատրիցայի սահմանմամբ: Հավասարությունից (3) մենք ունենք

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

.

Նշում ենք

Օրինակում (բաժին 3) մենք հաշվարկել ենք որոշիչը, հետևաբար՝ մատրիցը Աունի հակադարձ մատրիցա։ Ապա ուժով (4) , այսինքն.

. (5)

Գտեք մատրիցը ( տես §6 Գլուխ 1)

, , ,

, , ,

,

.

Գաուսի մեթոդ.

Թող տրվի գծային հավասարումների համակարգ.

... (ես)

Պահանջվում է գտնել (I) համակարգի բոլոր լուծումները կամ համոզվել, որ համակարգը անհամապատասխան է:

Սահմանում 1.Մենք անվանում ենք համակարգի տարրական փոխակերպում(I) երեք գործողություններից որևէ մեկը.

1) զրոյական հավասարման ջնջում.

2) հավասարման երկու կողմերին ավելացնելով մյուս հավասարման համապատասխան մասերը` բազմապատկելով l թվով.

3) համակարգի հավասարումների մեջ տերմինների տեղերը փոխանակել այնպես, որ բոլոր հավասարումների մեջ նույն թվերով անհայտները զբաղեցնեն նույն տեղերը, այսինքն. եթե, օրինակ, 1-ին հավասարման մեջ մենք փոխել ենք 2-րդ և 3-րդ անդամները, ապա նույնը պետք է արվի համակարգի բոլոր հավասարումների դեպքում։

Գաուսի մեթոդն այն է, որ համակարգը (I) տարրական փոխակերպումներով վերածվում է համարժեք համակարգի, որի լուծումը գտնվում է ուղղակիորեն կամ հաստատվում է դրա անորոշությունը։

Ինչպես նկարագրված է Բաժին 2-ում, համակարգը (I) եզակիորեն որոշվում է իր ընդլայնված մատրիցով, և (I) համակարգի ցանկացած տարրական փոխակերպում համապատասխանում է ընդլայնված մատրիցայի տարրական փոխակերպմանը.

.

Փոխակերպումը 1) համապատասխանում է մատրիցում զրոյական տողի ջնջմանը, փոխակերպումը 2) համարժեք է մատրիցի համապատասխան տողին ավելացնելուն նրա մյուս տողը բազմապատկված l թվով, փոխակերպումը 3) համարժեք է մատրիցում սյունակների փոխակերպմանը:

Հեշտ է տեսնել, որ, ընդհակառակը, մատրիցայի յուրաքանչյուր տարրական փոխակերպում համապատասխանում է համակարգի տարրական փոխակերպմանը (I): Հաշվի առնելով վերը նշվածը, (I) համակարգով գործողությունների փոխարեն մենք աշխատելու ենք այս համակարգի ընդլայնված մատրիցով:

Մատրիցում 1-ին սյունակը բաղկացած է գործակիցներից x 1, 2-րդ սյունակ - գործակիցներից ժամը x 2և այլն: Եթե ​​դուք վերադասավորում եք սյունակները, հիշեք, որ այս պայմանը խախտված է: Օրինակ, եթե 1-ին և 2-րդ սյունակները փոխանակենք տեղերով, ապա այժմ 1-ին սյունակը կպարունակի գործակիցները. x 2, իսկ 2-րդ սյունակում՝ գործակիցները ժամը x 1.

Համակարգը (I) կլուծենք Գաուսի մեթոդով։

1. Մատրիցայի բոլոր զրոյական տողերը, եթե այդպիսիք կան (այսինքն, խաչեք բոլոր զրոյական հավասարումները (I) համակարգում):

2. Ստուգենք, արդյոք մատրիցայի տողերի մեջ կա մի տող, որտեղ բոլոր տարրերը, բացի վերջինից, հավասար են զրոյի (այդ տողն անվանենք անհամապատասխան): Ակնհայտ է, որ նման տողը համապատասխանում է (I) համակարգի անհամապատասխան հավասարմանը, հետևաբար (I) համակարգը լուծումներ չունի, և այստեղ ավարտվում է գործընթացը:

3. Թող մատրիցը չպարունակի անհամապատասխան տողեր (համակարգը (I) չի պարունակում անհամապատասխան հավասարումներ): Եթե a 11 = 0, ապա 1-ին շարքում գտնում ենք զրոյից տարբեր տարր (բացի վերջինից) և սյունակները վերադասավորում ենք այնպես, որ 1-ին տողում զրո չմնա։ Այժմ կենթադրենք, որ (այսինքն՝ փոխում ենք համապատասխան անդամների տեղերը (I) համակարգի հավասարումների մեջ)։

4. 1-ին շարքը բազմապատկել և արդյունքը ավելացնել 2-րդ շարքին, ապա 1-ին շարքը բազմապատկել և արդյունքը ավելացնել 3-րդ շարքին և այլն։ Ակնհայտ է, որ այս գործընթացը համարժեք է անհայտը վերացնելուն x 1(I) համակարգի բոլոր հավասարումների, բացառությամբ առաջինի: Նոր մատրիցում տարրի տակ գտնվող 1-ին սյունակում զրոներ ենք ստանում ա 11:

.

5. Մատրիցայի բոլոր զրոյական տողերը հատե՛ք, եթե այդպիսիք կան, ստուգե՛ք, թե արդյոք կա անհամապատասխան տող (եթե կա մեկը, ապա համակարգը անհամապատասխան է, և այստեղ լուծումն ավարտվում է): Եկեք ստուգենք՝ կլինի՞ ա 22 / = 0, եթե այո, ապա մենք 2-րդ շարքում գտնում ենք զրոյից տարբեր տարր և սյունակները վերադասավորում ենք այնպես, որ. Հաջորդը, մենք բազմապատկում ենք 2-րդ շարքի տարրերը և ավելացրեք 3-րդ շարքի համապատասխան տարրերով, ապա՝ 2-րդ շարքի տարրերով և ավելացրեք 4-րդ շարքի համապատասխան տարրերով և այլն, մինչև ստանանք զրոներ: ա 22 /

.

Կատարված գործողությունները համարժեք են անհայտի վերացմանը x 2(I) համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ 1-ին և 2-րդի: Քանի որ տողերի թիվը վերջավոր է, հետևաբար, վերջավոր թվով քայլերից հետո մենք ստանում ենք, որ կա՛մ համակարգը անհամապատասխան է, կա՛մ գալիս ենք աստիճանական մատրիցայի ( տես 1-ին գլխի 2 §7 սահմանումը) :

,

Դուրս գրենք մատրիցին համապատասխան հավասարումների համակարգը։ Այս համակարգը համարժեք է համակարգին (I)

.

Վերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք. փոխարինել նախորդ հավասարման մեջ, գտնել և այլն, մինչև ստանանք այն:

Դիտողություն 1.Այսպիսով, համակարգը (I) Գաուսի մեթոդով լուծելիս հանգում ենք հետևյալ դեպքերից մեկին.

1. Համակարգը (I) անհամապատասխան է:

2. Համակարգը (I) ունի եզակի լուծում, եթե մատրիցում տողերի թիվը հավասար է անհայտների թվին ():

3. Համակարգը (I) ունի լուծումների անսահման հավաքածու, եթե մատրիցում տողերի թիվը փոքր է անհայտների թվից ():

Այսպիսով, գործում է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ.Գծային հավասարումների համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է, կա՛մ ունի եզակի լուծում, կա՛մ՝ լուծումների անսահման բազմություն:

Օրինակներ. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով կամ ապացուցե՛ք դրա անհամատեղելիությունը.

բ) ;

ա) Տրված համակարգը վերաշարադրենք ձևով.

.

Մենք փոխանակեցինք սկզբնական համակարգի 1-ին և 2-րդ հավասարումները՝ հաշվարկները պարզեցնելու համար (կոտորակների փոխարեն մենք կգործենք միայն ամբողջ թվերով՝ օգտագործելով նման փոխակերպում):

Մենք կազմում ենք ընդլայնված մատրիցա.

.

Չկան զրոյական տողեր; չկան անհամապատասխան գծեր,; բացառել 1-ին անհայտը համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ 1-ին: Դա անելու համար մատրիցայի 1-ին շարքի տարրերը բազմապատկեք «-2»-ով և գումարեք դրանք 2-րդ շարքի համապատասխան տարրերով, ինչը համարժեք է 1-ին հավասարումը «-2»-ով բազմապատկելուն և 2-րդ հավասարմանը գումարելուն: . Այնուհետև 1-ին շարքի տարրերը բազմապատկում ենք «-3»-ով և ավելացնում երրորդ շարքի համապատասխան տարրերով, այսինքն. Տրված համակարգի 2-րդ հավասարումը բազմապատկել «-3»-ով և ավելացնել 3-րդ հավասարմանը։ Մենք ստանում ենք

.

Հավասարումների համակարգը համապատասխանում է մատրիցին): - (տե՛ս 1-ին գլխի 3§7 սահմանումը):

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում

Լուծել համակարգը մատրիցային մեթոդով

ԼուծումԵկեք գրենք համակարգը մատրիցային տեսքով և գտնենք համակարգի լուծումը բանաձևով (տես վերջին բանաձևը)

Գտեք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը։

Նախ, մենք գործ ունենք որոշիչի հետ.

Այստեղ որակավորումն ընդլայնվում է առաջին տողում։

Ուշադրություն. Եթե, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և հնարավոր չէ համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդ):

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահասներ և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը տողի համարն է, որում գտնվում է այս տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է այս տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, նյութը գտնվում է 3-րդ տողում, սյունակ 2-ում:

Անչափահասների հաշվարկը լուծելու ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարել, թեև որոշակի փորձով նրանք կարող են սովոր լինել բանավոր սխալներով հաշվել։

Անչափահասների հաշվարկման հերթականությունը բացարձակապես կարևոր չէ, այստեղ ես տող առ տող հաշվարկեցի ձախից աջ։ Անչափահասներին հնարավոր եղավ հաշվարկել սյունակներով (սա ավելի հարմար է):

Այսպիսով.

- մատրիցայի համապատասխան տարրերի անչափահասների մատրիցը.

- հանրահաշվական լրացումների մատրիցա.

- Հանրահաշվական լրացումների փոխադրված մատրիցա:

Կրկնում եմ՝ մեր կատարած քայլերը մանրամասն վերլուծվել են դասին։ Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի հակադարձ կողմը:

Այժմ մենք գրում ենք մատրիցայի հակառակը.

Մենք ոչ մի դեպքում չենք մտցնում մատրիցի մեջ, դա լրջորեն կբարդացնի հետագա հաշվարկները... Բաժանումը պետք է կատարվեր, եթե մատրիցայի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվեին 60-ի: Բայց այս դեպքում շատ անհրաժեշտ է մինուս ներմուծել մատրիցա, ընդհակառակը, դա կհեշտացնի հետագա հաշվարկները։

Մնում է իրականացնել մատրիցային բազմապատկում: Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես բազմապատկել մատրիցները դասում Մատրիցային գործողություններ... Ի դեպ, այնտեղ ճիշտ նույն օրինակն է վերլուծվում։

Նշենք, որ 60-ի բաժանումը կատարված է վերջին տեղում.
Երբեմն այն չի կարող ամբողջությամբ բաժանվել, այսինքն. «վատ» կոտորակները կարող են առաջանալ: Ինչ անել նման դեպքերում, ես արդեն ասել եմ, երբ մենք վերլուծեցինք Քրամերի կանոնը։

Պատասխանել:

Օրինակ 12

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Սա անկախ լուծման օրինակ է (հարդարման նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

Համակարգի լուծման ամենահամընդհանուր ճանապարհն է Անհայտների վերացման մեթոդ (Գաուսի մեթոդ)... Ալգորիթմը բացատրելը հեշտ չէ, բայց ես փորձեցի:

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Պատասխանները:

Օրինակ 3:

Օրինակ 6:

Օրինակ 8: , ... Դուք կարող եք դիտել կամ ներբեռնել այս օրինակի լուծման օրինակը (ստորև բերված հղումը):

Օրինակներ 10, 12:

Մենք շարունակում ենք դիտարկել գծային հավասարումների համակարգերը: Այս դասը երրորդն է թեմայի շուրջ: Եթե ​​դուք անորոշ պատկերացում ունեք, թե ինչ է ընդհանուր առմամբ գծային հավասարումների համակարգը, ձեզ թեյնիկ եք զգում, ապա խորհուրդ եմ տալիս սկսել էջի հիմունքներից: Այնուհետև օգտակար է դասն ուսումնասիրել:

Գաուսի մեթոդը հեշտ է.Ինչո՞ւ։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն իր կենդանության օրոք ճանաչվել է բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոս, հանճար և նույնիսկ «մաթեմատիկայի արքա» մականունը։ Եվ ամեն ինչ հնարամիտ, ինչպես գիտեք, պարզ է:Ի դեպ, փողի համար վճարվում են ոչ միայն ծծողները, այլեւ հանճարները՝ Գաուսի դիմանկարը 10 գերմանական թղթադրամի վրա էր (մինչեւ եվրոյի ներմուծումը), իսկ Գաուսը մինչ օրս սովորական փոստային նամականիշներից խորհրդավոր ժպտում է գերմանացիներին։

Գաուսի մեթոդը պարզ է նրանով, որ 5-րդ դասարանի աշակերտի գիտելիքները ԲԱՎԱՐԱՐ են այն տիրապետելու համար։ Դուք պետք է կարողանաք ավելացնել և բազմապատկել:Պատահական չէ, որ ուսուցիչները հաճախ դիտարկում են դպրոցական մաթեմատիկայի ընտրությամբ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը: Պարադոքսալ կերպով, Գաուսի մեթոդը ամենադժվարն է ուսանողների համար: Զարմանալի չէ. ամբողջ իմաստը մեթոդաբանության մեջ է, և ես կփորձեմ ձեզ մատչելի ձևով պատմել մեթոդի ալգորիթմի մասին:

Նախ, եկեք համակարգենք գիտելիքները գծային հավասարումների համակարգերի մասին: Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում.
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) Լուծումներ չունենալ (լինել անհամապատասխան).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդոչ պիտանի այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամատեղելի է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), վերապահված է հոդված 2-3 կետերի իրավիճակի համար։ Նկատի ունեցեք, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։

Վերադառնանք դասից ամենապարզ համակարգին Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:
և լուծել Գաուսի մեթոդով։

Առաջին փուլում պետք է գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցա:
... Թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները, կարծում եմ՝ բոլորը տեսնում են։ Մատրիցի ներսում գտնվող ուղղահայաց բարը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես ընդգծում է դիզայնի հեշտության համար:

Հղում: Խորհուրդ եմ տալիս հիշելպայմանները գծային հանրահաշիվ.Համակարգի մատրիցա Արդյո՞ք մատրիցը կազմված է միայն անհայտներով գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. . Ընդլայնված համակարգի մատրիցա - սա համակարգի նույն մատրիցան է՝ գումարած ազատ անդամների սյունակը, այս դեպքում. ... Մատրիցներից որևէ մեկը հակիրճության համար կարելի է անվանել պարզապես մատրիցա:

Ընդլայնված մատրիցային համակարգը գրանցելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նույնպես կոչվում են տարրական փոխակերպումներ.

Կան հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայինմատրիցներ կարող է վերադասավորվելտեղերը. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցայում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցը պարունակում է (կամ հայտնվում է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնը) տողեր, ապա այն հետևում է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը ... Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե վերափոխումների ժամանակ մատրիցում հայտնվել է զրոյական տող, ապա այն նույնպես հետևում է ջնջել... Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որի մեջ մեկ զրո.

4) Մատրիցայի շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվով, ոչ զրոյական... Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. ... Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցային հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն ամենադժվարն է, բայց իրականում բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի շարքում կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվովոչ զրոյական. Դիտարկենք մեր մատրիցը գործնական օրինակից. Նախ, ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ փոխակերպումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , և երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով:. Այժմ առաջին տողը կարող է «հետ» բաժանվել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն գիծը, որը ADD ԼԻ – չի փոխվել. Միշտ էփոխում է այն գիծը, ՈՐԻՆ ՀԱՎԵԼՈՒՄԸ UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն նկարագրում, այլ ավելի կարճ են գրում.

Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Սովորաբար լարը բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մինչդեռ հաշվարկների մտավոր ընթացքը մոտավորապես այսպիսին է.

«Մատրիցայի վերաշարադրում և առաջին տողի վերաշարադրում».

«Առաջին սյունակ առաջին. Ներքևում, ես պետք է ստանամ զրո: Հետևաբար, վերևի միավորը բազմապատկում եմ –2:-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Հիմա երկրորդ սյունակի մասին. –1-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում.

«Եվ երրորդ սյունակը. –5-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

Խնդրում եմ, ուշադիր ըմբռնեք այս օրինակը և հասկացեք հաջորդական հաշվարկի ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում ձեր գրպանում է: Բայց, իհարկե, մենք աշխատելու ենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ.դիտարկվում են մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասականով» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է ինչ-որ բան վերադասավորեք մատրիցների ներսում:

Եկեք վերադառնանք մեր համակարգին: Այն գրեթե լուծված է։

Մենք գրի ենք առնում համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատում ենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Ի դեպ, ինչու ենք առաջին տողը բազմապատկում –2-ով։ Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ շարքը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը– բերեք մատրիցը աստիճանական ձևի. ... Առաջադրանքի ձևավորման մեջ «սանդուղքը» նշվում է պարզ մատիտով, իսկ թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա, շրջագծվում են։ «Քայլ տիպ» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական ​​և կրթական գրականության մեջ այն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքբնօրինակ հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «չոլորել» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է հետամնաց Գաուսի մեթոդ.

Ստորին հավասարման դեպքում մենք ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրանում փոխարինեք արդեն հայտնի «խաղ» արժեքով.

Եկեք դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջվում է երեք անհայտներով երեք գծային հավասարումների համակարգ լուծելու համար:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես կնշեմ այն ​​արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ընթացքում.

Եվ կրկին, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի: Որտեղի՞ց սկսել ակցիան:

Նախ, մենք նայում ենք վերևի ձախ թվին.

Այն գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ միավոր... Ընդհանրապես, –1-ը լավ կլինի (և երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այնպես ավանդաբար պատահեց, որ մեկը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք պատրաստի միավոր: Առաջին փոխակերպումը. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը։... Հիմա լավ:

Վերևի ձախ մասի միավորը կազմակերպված է։ Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Զրոները ստանում ենք հենց «դժվար» փոխակերպման օգնությամբ։ Նախ, մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Անհրաժեշտ է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով՝ (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը, որը արդեն բազմապատկվել է –2-ով:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրանցվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ... Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես. նախ, մենք վերագրում ենք առաջին տողը, և մենք ինքներս մեզ փչում ենք խորամանկության վրա - ՀԵՐԹԱԿԱՆ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:

Եվ ես արդեն վերը քննել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը։

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, մենք երկրորդ տողը բաժանում ենք –5-ի (քանի որ այնտեղ բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 5-ի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան ավելի հեշտ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:

Փորձեք ինքներդ վերլուծել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և գումարեք:

Վերջին կատարված գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ շարքը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք սկզբնական համակարգ.

Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքեւից վերեւ։

Երրորդ հավասարման դեպքում մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Յամեկ»-ը և «զ»-ը հայտնի են, բանը փոքր է.

Պատասխան.

Ինչպես արդեն բազմիցս նշվել է, ցանկացած հավասարումների համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, այն հեշտ է և արագ:

Օրինակ 2

Սա սեփական ձեռքերով նմուշ է, ավարտական ​​նմուշ և պատասխանը դասընթացի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման դասընթացկարող է չհամընկնել իմ որոշման ընթացքի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է... Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա. (1) Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած -1-ով... Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ կողմը -1 է, ինչը մեզ համար լավ է: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել մարմնի լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է -1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Փոխեցինք նաև երրորդ տողի նշանը և տեղափոխեցինք երկրորդ տեղ, այսպիսով, երկրորդ «քայլի վրա մենք ունենք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ շարքը, բազմապատկված 2-ով, ավելացվեց երրորդ շարքին:

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հաճախ՝ տառասխալ), «վատ» եզրագիծն է: Այսինքն, եթե ներքևում մենք ստացել ենք նման բան, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ սխալ է թույլ տրվել տարրական փոխակերպումների ընթացքում։

Մենք լիցքավորում ենք հակադարձ հարվածը, օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերագրվում, և հավասարումները «վերցվում են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր.
Այո, ահա նվերը ստացվեց.

Պատասխան. .

Օրինակ 4

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Սա անկախ լուծման օրինակ է, ինչ-որ չափով ավելի բարդ է։ Լավ է, եթե որևէ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում: Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմ լուծումից:

Վերջին մասում մենք կքննարկենք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններ:
Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումների մեջ, օրինակ.

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս պահի մասին ես արդեն խոսել եմ դասում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ... Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում.

Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ առանձնահատկությունը հետևյալն է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում «քայլերի» վրա դրել ենք կամ –1 կամ +1։ Կարո՞ղ են այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ վերին ձախ «քայլում» մենք ունենք երկու: Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուս երկուսը և վեցը: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող դյուզը կհամապատասխանի մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով. երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Սա մեզ կտա առաջին սյունակում ցանկալի զրոները:

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. ... Այստեղ մեզ սազում է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն տեղը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ շարքին ավելացնել երկրորդ շարքը՝ բազմապատկելով –4-ով, ինչի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը այլ մեթոդներով (Կրամերի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ. կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ձեռքդ լցնես» ու լուծես առնվազն 5-10 տասը համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում հնարավոր են շփոթություն, հաշվարկների սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս…. Հետևաբար, բոլորի համար անկախ լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտներով 4 գծային հավասարումների համակարգը:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, որ նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը, նման համակարգի լուծման ալգորիթմը ինտուիտիվորեն պարզ է։ Հիմնականում ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում դիտարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով... Այնտեղ կարող է ամրագրվել նաև Գաուսի մեթոդի դիտարկվող ալգորիթմը։

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2. Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:

Կատարված տարրական փոխակերպումներ.
(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -1-ով բազմապատկած առաջին տողը:Ուշադրություն. Այստեղ կարող է գայթակղիչ լինել առաջինը երրորդ տողից հանելը, ես շատ չեմ խրախուսում հանելը. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ավելացրո՛ւ:
(2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին.Նշում որ «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։
(3) Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ շարքին՝ բազմապատկելով 5-ով:
(4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ով:

Հակադարձ:


Պատասխան. .

Օրինակ 4. Մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք փուլային ձևի.

Կատարված փոխարկումներ.
(1) Երկրորդը ավելացվել է առաջին տողին: Այսպիսով, ցանկալի միավորը կազմակերպվում է վերին ձախ «քայլի» վրա:
(2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ քայլը գնալով վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կամ մեկը, կամ -1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը

(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:
(4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով:
Երկրորդ քայլին անհրաժեշտ բանը ստացվում է .
(5) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 6-ով:
(6) Երկրորդ տողը բազմապատկվել է -1-ով, երրորդ տողը բաժանվել է -83-ի:Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն որոշվում է երեք տարբեր կետերով, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա։ Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են, օրինակ նրանց պատկանող կետերով. .Եթե ազատ անդամներ