Կամ, մի խոսքով, իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ի՞նչ է անուղղակի գործառույթը: Քանի որ դասերս գործնական են, փորձում եմ խուսափել սահմանումներից, թեորեմի ձևակերպումներից, բայց այստեղ տեղին կլինի դա անել։ Ի՞նչ է ֆունկցիան ընդհանրապես:

Մեկ փոփոխական ֆունկցիան կանոն է, ըստ որի անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է մեկ և միայն մեկ ֆունկցիայի արժեքին:

Փոփոխականը կոչվում է անկախ փոփոխականկամ փաստարկ.
Փոփոխականը կոչվում է կախյալ փոփոխականկամ ֆունկցիան.

Կոպիտ ասած՝ «իգրեկ» տառը տվյալ դեպքում ֆունկցիա է։

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք այն գործառույթները, որոնք սահմանված են բացահայտձեւը։ Ինչ է դա նշանակում? Եկեք կազմակերպենք ամփոփագիր՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Դիտարկենք գործառույթը

Մենք տեսնում ենք, որ ձախ կողմում ունենք միայնակ «խաղ» (գործառույթ), իսկ աջում՝ միայն «x»... Այսինքն՝ ֆունկցիան հստակորենարտահայտված անկախ փոփոխականով:

Դիտարկենք մեկ այլ գործառույթ.

Այստեղ փոփոխականները նույնպես «խառնվում» են։ Ավելին անհնար է ամեն կերպարտահայտել «խաղը» միայն «x»-ի միջոցով։ Որոնք են այս մեթոդները: Ժամկետների տեղափոխում մի մասից մյուսը նշանի փոփոխությամբ, փակագծերից դուրս դնելով, ըստ համամասնության կանոնի բազմապատկիչներ գցելու և այլն: Վերաշարադրեք հավասարությունը և փորձեք «խաղը» արտահայտել բացահայտ ձևով. Դուք կարող եք շրջել և շրջել հավասարումը ժամերով, բայց չեք կարող:

Թույլ տվեք ներկայացնել ձեզ. - օրինակ անուղղակի գործառույթ.

Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում ապացուցվել է, որ իմպլիցիտ ֆունկցիան գոյություն ունի(բայց ոչ միշտ), այն ունի գրաֆիկ (ճիշտ այնպես, ինչպես «նորմալ» ֆունկցիան): Իմպլիցիտ ֆունկցիան ունի նույնը գոյություն ունիառաջին ածանցյալ, երկրորդ ածանցյալ և այլն: Ինչպես ասում են, սեռական փոքրամասնությունների բոլոր իրավունքները հարգված են։

Եվ այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը: Դա այնքան էլ դժվար չէ: Գործում են տարբերակման բոլոր կանոնները, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Տարբերությունը մեկ յուրահատուկ պահի մեջ է, որը մենք կքննարկենք հենց հիմա։

Այո, և ես ձեզ կասեմ լավ նորությունը. ստորև քննարկված առաջադրանքները կատարվում են բավականին կոշտ և հստակ ալգորիթմի համաձայն՝ առանց քարի երեք հետքերի դիմաց:

Օրինակ 1

1) Առաջին փուլում մենք ավարտական ​​շոշափում ենք երկու մասի վրա.

2) Օգտագործում ենք ածանցյալի գծայինության կանոնները (դասի առաջին երկու կանոնները Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը: Լուծումների օրինակներ):

3) ուղղակի տարբերակում.
Ինչպես տարբերել և կատարելապես հասկանալի: Ի՞նչ անել այնտեղ, որտեղ հարվածների տակ «խաղեր» են:

Պարզապես զզվելի կերպով ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է նրա ածանցյալին: .

Ինչպես տարբերել

Ահա մենք ունենք բարդ գործառույթ... Ինչո՞ւ։ Թվում է, թե սինուսի տակ կա միայն մեկ տառ «իգրեկ»։ Բայց փաստն այն է, որ կա միայն մեկ տառ «խաղ». ԻՆՔՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Է(տես սահմանումը դասի սկզբում): Այսպիսով, սինուսը արտաքին ֆունկցիա է, ներքին ֆունկցիա: Մենք օգտագործում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը :

Մենք արտադրանքը տարբերում ենք սովորական կանոնով :

Նշենք, որ - նույնպես բարդ ֆունկցիա է, ցանկացած «խաղ զանգերի և սուլիչներով» բարդ գործառույթ է:

Լուծման բուն ձևավորումը պետք է նման լինի հետևյալին.

Եթե ​​կան փակագծեր, ապա բացում ենք դրանք.

4) Ձախ կողմում մենք հավաքում ենք այն տերմինները, որոնցում կա «խաղ» հիմնական նշանով: Աջ կողմում - փոխանցեք մնացած ամեն ինչ.

5) Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք ածանցյալը.

6) Եվ ըստ համամասնության կանոնի՝ այս փակագծերը գցում ենք աջ կողմի հայտարարի մեջ.

Ածանցյալը գտնված է. Պատրաստ.

Հետաքրքիր է նշել, որ դուք կարող եք անուղղակիորեն վերաշարադրել ցանկացած գործառույթ: Օրինակ՝ ֆունկցիան կարելի է վերաշարադրել այսպես. ... Եվ տարբերակեք այն ըստ նոր դիտարկված ալգորիթմի: Փաստորեն, «ներածական գործառույթ» և «ներածական գործառույթ» արտահայտությունները տարբերվում են մեկ իմաստային նրբերանգով. «Անուղղակիորեն սահմանված գործառույթ» արտահայտությունն ավելի ընդհանուր և ճիշտ է, - այս գործառույթը դրված է անուղղակիորեն, բայց այստեղ դուք կարող եք արտահայտել «խաղը» և ներկայացնել գործառույթը բացահայտ ձևով: «Ներկայացված գործառույթ» արտահայտությունը հասկացվում է որպես «դասական» իմպլիցիտ ֆունկցիա, երբ «խաղը» չի կարող արտահայտվել։

Երկրորդ լուծում

Ուշադրություն.Երկրորդ մեթոդին կարող եք ծանոթանալ միայն այն դեպքում, եթե գիտեք, թե ինչպես վստահորեն գտնել մասնակի ածանցյալներ: Հաշվարկների և թեյնիկների սկսնակներ, խնդրում եմ մի կարդացեք և բաց թողեք այս կետը, հակառակ դեպքում ձեր գլուխը լրիվ խառնաշփոթ կլինի:

Գտնենք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը երկրորդ եղանակով։

Մենք բոլոր պայմանները փոխանցում ենք ձախ կողմում.

Եվ հաշվի առեք երկու փոփոխականի ֆունկցիա.

Այնուհետև մեր ածանցյալը կարելի է գտնել բանաձևով

Գտնենք մասնակի ածանցյալները.

Այսպիսով.

Երկրորդ լուծումը թույլ է տալիս ստուգել. Բայց դրանք առաջադրանքի մաքուր տարբերակով ձևակերպելն անցանկալի է, քանի որ մասնակի ածանցյալները յուրացվում են ավելի ուշ, իսկ «Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալ» թեման ուսումնասիրող ուսանողը կարծես թե չգիտի մասնակի ածանցյալները։

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Մենք ավարտական ​​շոշափում ենք երկու մասի վրա.

Մենք օգտագործում ենք գծայինության կանոնները.

Գտեք ածանցյալներ.

Ընդարձակել բոլոր փակագծերը՝

Մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ կողմում, մնացածը ՝ աջ կողմում.

Ձախ կողմում փակագծից դուրս ենք դնում.

Վերջնական պատասխան.

Օրինակ 3

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում:

Տարբերակումից հետո կոտորակների առաջացումը հազվադեպ չէ: Նման դեպքերում պետք է ազատվել ֆրակցիաներից։ Դիտարկենք ևս երկու օրինակ։

Շատ հաճախ գործնական խնդիրներ լուծելիս (օրինակ՝ բարձրագույն գեոդեզիայում կամ անալիտիկ ֆոտոգրամետրիայում) հայտնվում են մի քանի փոփոխականների բարդ ֆունկցիաներ, այսինքն՝ փաստարկներ։ x, y, z մեկ գործառույթ f (x, y, z) ) իրենք նոր փոփոխականների ֆունկցիաներ են U, V, W ).

Սա, օրինակ, տեղի է ունենում անշարժ կոորդինատային համակարգից անցնելիս Օքսիզ բջջային համակարգում Օ 0 UVW և ետ. Կարևոր է իմանալ բոլոր մասնակի ածանցյալները «ֆիքսված» - «հին» և «շարժվող» - «նոր» փոփոխականների նկատմամբ, քանի որ այս մասնակի ածանցյալները սովորաբար բնութագրում են օբյեկտի դիրքը այս կոորդինատային համակարգերում, և, մասնավորապես, ազդել օդային լուսանկարների համապատասխանության վրա իրական օբյեկտի վրա: ... Նման դեպքերում կիրառվում են հետևյալ բանաձևերը.

Այսինքն՝ տրվում է բարդ ֆունկցիա Տ երեք «նոր» փոփոխականներ U, V, W երեք «հին» փոփոխականների միջոցով x, y, z, ապա:

Մեկնաբանություն. Հնարավոր են փոփոխականների քանակի տատանումներ: Օրինակ՝ եթե

Մասնավորապես, եթե z = f (xy), y = y (x) , ապա մենք ստանում ենք այսպես կոչված «լրիվ ածանցյալ» բանաձեւը.

Նույն բանաձևը «ամբողջական ածանցյալ» դեպքում.

կընդունի ձևը՝

Հնարավոր են նաև (1.27) - (1.32) բանաձևերի այլ տատանումներ:

Ծանոթագրություն. ֆիզիկայի դասընթացի «Հիդրոդինամիկա» բաժնում օգտագործվում է «ընդհանուր ածանցյալ» բանաձևը՝ հեղուկի շարժման հավասարումների հիմնարար համակարգը դուրս բերելիս:

Օրինակ 1.10. Տրված է.

Համաձայն (1.31):

§7 Մի քանի փոփոխականների անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ

Ինչպես գիտեք, մեկ փոփոխականի անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ անկախ փոփոխականի ֆունկցիան. x կոչվում է անուղղակի, եթե տրված է հավասարմամբ, որը չի լուծվում առնչությամբ y :

Օրինակ 1.11.

Հավասարումը

անուղղակիորեն սահմանում է երկու գործառույթ.

Եվ հավասարումը

ոչ մի ֆունկցիա չի սահմանում։

Թեորեմ 1.2 (իմպլիցիտ ֆունկցիայի առկայություն).

Թող գործառույթը z = f (x, y) և դրա մասնակի ածանցյալները զ" x և զ" y սահմանված և շարունակական որոշ թաղամասերում U M0 միավորներ Մ 0 (x 0 y 0 ) ... Բացի այդ, f (x 0 , յ 0 )=0 և f» (x 0 , յ 0 )≠0 , ապա (1.33) հավասարումը սահմանում է հարևանությամբ U M0 անուղղակի գործառույթ y = y (x) շարունակական և տարբերվող որոշակի ընդմիջումներով Դ կենտրոնացած կետում x 0 , և y (x 0 ) = y 0 .

Ոչ մի ապացույց:

Թեորեմ 1.2-ից հետևում է, որ այս միջակայքում Դ :

այսինքն՝ մեջ կա ինքնություն

որտեղ «ընդհանուր» ածանցյալը գտնվել է (1.31) համաձայն.

Այսինքն, (1.35) տալիս է մեկ փոփոխականի անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու բանաձևը. x .

Երկու կամ ավելի փոփոխականների անուղղակի գործառույթը սահմանվում է նույն կերպ:

Օրինակ, եթե ինչ-որ տարածքում Վ տարածություն Օքսիզ հավասարումը կատարվում է.

ապա որոշակի պայմաններում ֆունկցիայի վրա Ֆ այն անուղղակիորեն սահմանում է ֆունկցիա

Ընդ որում, անալոգիայով (1.35) նրա մասնակի ածանցյալները գտնվում են հետևյալ կերպ.

Սահմանում.Թող \ (y = f (x) \) ֆունկցիան որոշվի \ (x_0 \) կետը պարունակող ինչ-որ միջակայքում: Արգումենտին տվեք \ (\ Delta x \) հավելում այնպես, որ այն դուրս չգա այս միջակայքից: Գտեք \ (\ Delta y \) ֆունկցիայի համապատասխան աճը (\ (x_0 \) կետից \ (x_0 + \ Delta x \) կետն անցնելիս) և կազմեք \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta) հարաբերակցությունը x) \). Եթե ​​այս հարաբերակցության սահմանը կա \ (\ Delta x \ աջ սլաքը 0 \), ապա նշված սահմանը կոչվում է ածանցյալ ֆունկցիա\ (y = f (x) \) \ (x_0 \) կետում և նշանակում \ (f "(x_0) \):

$$ \ lim _ (\ Delta x \ մինչև 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

«y» նշանը հաճախ օգտագործվում է ածանցյալը նշելու համար: Նկատի ունեցեք, որ y» = f (x) նոր ֆունկցիա է, բայց բնականաբար կապված է y = f (x) ֆունկցիայի հետ, որը սահմանված է բոլոր x կետերում, որտեղ գոյություն ունի վերը նշված սահմանը: ... Այս ֆունկցիան կոչվում է այսպես. y = f (x) ֆունկցիայի ածանցյալ.

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըհետեւյալն է. Եթե ​​y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x = a աբսցիսա ունեցող կետում կարելի է գծել y-առանցքին ոչ զուգահեռ շոշափող, ապա f (a)-ն արտահայտում է շոշափողի թեքությունը.
\ (k = f "(a) \)

Քանի որ \ (k = tg (a) \), \ (f "(a) = tg (a) \) հավասարությունը ճիշտ է:

Այժմ մեկնաբանենք ածանցյալի սահմանումը մոտավոր հավասարումների տեսանկյունից։ Թող ֆունկցիան \ (y = f (x) \) ունենա ածանցյալ որոշակի կետում \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ մինչև 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Սա նշանակում է, որ x կետի մոտ կատարվում է մոտավոր հավասարությունը \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ մոտ f "(x) \), այսինքն \ (\ Delta y \ մոտ f" (x) \ cdot \ Delta x \). Ստացված մոտավոր հավասարության իմաստալից նշանակությունը հետևյալն է՝ ֆունկցիայի աճը «գրեթե համաչափ» է փաստարկի աճին, իսկ համաչափության գործակիցը տվյալ x կետում ածանցյալի արժեքն է։ Օրինակ, \ (y = x ^ 2 \) ֆունկցիան բավարարում է մոտավոր հավասարությունը \ (\ Delta y \ մոտ 2x \ cdot \ Delta x \): Եթե ​​ուշադիր վերլուծենք ածանցյալի սահմանումը, ապա կտեսնենք, որ այն պարունակում է այն գտնելու ալգորիթմ։

Եկեք այն ձևակերպենք.

Ինչպե՞ս գտնել y = f (x) ֆունկցիայի ածանցյալը:

1. Սահմանեք \ (x \) արժեքը, գտեք \ (f (x) \)
2. արգումենտին տվեք ավելացում \ (\ Delta x \), անցեք նոր կետ \ (x + \ Delta x \), գտեք \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Գտե՛ք ֆունկցիայի աճը՝ \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Կազմեք կապը \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Հաշվել $$ \ lim _ (\ Delta x \ մինչև 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Այս սահմանը x կետի ֆունկցիայի ածանցյալն է։

Եթե ​​y = f (x) ֆունկցիան x կետում ունի ածանցյալ, ապա x կետում այն ​​կոչվում է դիֆերենցիալ։ y = f (x) ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու կարգը կոչվում է տարբերակումֆունկցիա y = f (x):

Քննարկենք հետևյալ հարցը. ինչպե՞ս են միմյանց հետ կապված ֆունկցիայի շարունակականությունն ու տարբերակելիությունը մի կետում։

Թող y = f (x) ֆունկցիան x կետում տարբերվող լինի: Այնուհետև M կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին կարելի է շոշափել (x; f (x)), և, հիշենք, շոշափողի թեքությունը հավասար է f "(x): Նման գրաֆիկը չի կարող կոտրել: M կետում, այսինքն՝ x կետում ֆունկցիան պետք է շարունակական լինի։

Դա «մատի ծայրով» պատճառաբանություն էր։ Եկեք ավելի խիստ պատճառաբանենք. Եթե ​​y = f (x) ֆունկցիան տարբերակելի է x կետում, ապա գործում է մոտավոր հավասարությունը \ (\ Delta y \ մոտավորապես f "(x) \ cdot \ Delta x \)։ Եթե այս հավասարության մեջ \ (\ Delta x. \) հակված է զրոյի, ապա \ (\ Delta y \) կձգվի զրոյի, և սա կետում ֆունկցիայի շարունակականության պայմանն է։

Այսպիսով, եթե ֆունկցիան տարբերակելի է x կետում, ապա այս կետում այն ​​նույնպես շարունակական է.

Հակառակը ճիշտ չէ։ Օրինակ՝ ֆունկցիա y = | x | շարունակական է ամենուր, մասնավորապես x = 0 կետում, սակայն «միացման կետում» ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող (0; 0) գոյություն չունի: Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկի ինչ-որ կետում անհնար է շոշափել, ապա այս պահին ածանցյալ չկա:

Եվս մեկ օրինակ. \ (y = \ sqrt (x) \) ֆունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, ներառյալ x = 0 կետում: Իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը գոյություն ունի ցանկացած կետում, ներառյալ x = 0 կետում: Բայց այս պահին շոշափողը համընկնում է y առանցքի հետ, այսինքն՝ այն ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, դրա հավասարումն ունի x = 0 ձև: Նման ուղիղ գծի համար թեքություն չկա, ուստի չկա \ ( f "(0) \)

Այսպիսով, մենք ծանոթացանք ֆունկցիայի նոր հատկության՝ տարբերակելիության հետ։ Իսկ ինչպե՞ս կարելի է ֆունկցիայի գրաֆիկից եզրակացնել նրա տարբերակելիության մասին։

Պատասխանն իրականում ստացվել է վերևում։ Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկի ինչ-որ կետում հնարավոր է գծել շոշափող, որը ուղղահայաց չէ աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերվող է։ Եթե ​​ինչ-որ պահի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը գոյություն չունի կամ այն ​​ուղղահայաց է աբսցիսայի առանցքին, ապա այս պահին ֆունկցիան տարբերվող չէ։

Տարբերակման կանոններ

Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում... Այս գործողությունը կատարելիս հաճախ պետք է աշխատել քանորդների, գումարների, ֆունկցիաների արտադրյալների, ինչպես նաև «ֆունկցիաների», այսինքն՝ բարդ ֆունկցիաների հետ։ Ածանցյալի սահմանման հիման վրա հնարավոր է բխեցնել տարբերակման կանոններ, որոնք հեշտացնում են այս աշխատանքը: Եթե ​​C-ն հաստատուն թիվ է, իսկ f = f (x), g = g (x) որոշ տարբերվող ֆունկցիաներ են, ապա ճշմարիտ են հետևյալը. տարբերակման կանոններ:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ (Cf) "= Cf" $$ $$ \ ձախ (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ ձախ (\ frac (C ) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Որոշ ֆունկցիաների ածանցյալ աղյուսակ

$$ \ ձախ (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ ձախ (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ ձախ (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a. $$ $$ \ ձախ (e ^ x \ աջ) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ ֆրակ (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ ֆրակ (1) (x \ ln ա) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ ֆրակ (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x)" = \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

Մենք կսովորենք գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք տրված են անուղղակիորեն, այսինքն՝ տրված են փոփոխականները միացնող որոշ հավասարումներով։ xև y... Անուղղակի գործառույթների օրինակներ.

,

,

Իմպլիցիտ ֆունկցիաների ածանցյալները կամ իմպլիցիտ ֆունկցիաների ածանցյալները բավականին հեշտ է գտնել: Այժմ մենք կվերլուծենք համապատասխան կանոնն ու օրինակը, իսկ հետո կպարզենք, թե ինչու է դա ընդհանուր առմամբ անհրաժեշտ։

Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է տարբերակել հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ: Այն անդամները, որոնցում առկա է միայն x, կվերածվեն x-ի ֆունկցիայի սովորական ածանցյալի: Իսկ խաղի հետ տերմինները պետք է տարբերվեն՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը, քանի որ խաղը x-ի ֆունկցիա է։ Պարզ ասած, ապա x-ով տերմինի ստացված ածանցյալում մենք պետք է ստանանք՝ խաղի ֆունկցիայի ածանցյալը՝ բազմապատկված խաղի ածանցյալով։ Օրինակ, տերմինի ածանցյալը գրվելու է որպես, տերմինի ածանցյալը գրվելու է որպես: Ավելին, այս ամենից անհրաժեշտ է արտահայտել այս «խաղային հարվածը» և կստացվի ֆունկցիայի ցանկալի ածանցյալը՝ անուղղակիորեն տրված։ Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1.

Լուծում. Մենք տարբերակում ենք հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ՝ ենթադրելով, որ y-ը x-ի ֆունկցիա է.

Այստեղից մենք ստանում ենք ածանցյալը, որը պահանջվում է առաջադրանքում.

Այժմ ինչ-որ բան անուղղակիորեն սահմանված գործառույթների երկիմաստ հատկության մասին և ինչու են անհրաժեշտ դրանց տարբերակման հատուկ կանոններ: Որոշ դեպքերում կարելի է համոզվել, որ տվյալ հավասարման մեջ փոխարինումը (տե՛ս վերը նշված օրինակները)՝ դրա արտահայտությունը x-ով խաղալու փոխարեն հանգեցնում է նրան, որ այս հավասարումը վերածվում է ինքնության։ Այսպիսով. վերը նշված հավասարումը անուղղակիորեն սահմանում է հետևյալ գործառույթները.

Հրապարակում խաղի արտահայտությունը x-ով փոխարինելուց հետո սկզբնական հավասարման մեջ մենք ստանում ենք նույնականությունը.

.

Այն արտահայտությունները, որոնք մենք փոխարինել ենք, ստացվել են խաղի հավասարումը լուծելով:

Եթե ​​մենք տարբերակեինք համապատասխան բացահայտ ֆունկցիան

այնուհետև նրանք կստանան պատասխանը, ինչպես օրինակ 1-ում, անուղղակի ֆունկցիայից.

Բայց ոչ բոլոր անուղղակի գործառույթը կարող է ներկայացվել որպես y = զ(x) ... Այսպիսով, օրինակ, անուղղակիորեն սահմանված գործառույթները

չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով, այսինքն՝ խաղի նկատմամբ այս հավասարումները չեն կարող լուծվել։ Հետևաբար, գոյություն ունի անուղղակիորեն տրված ֆունկցիայի տարբերակման կանոն, որը մենք արդեն ուսումնասիրել ենք և այն հետագայում կկիրառենք այլ օրինակներում։

Օրինակ 2.Գտեք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը.

.

Մենք արտահայտում ենք ֆունկցիայի պարզ և - ելքի դեպքում ածանցյալը, որը տրված է անուղղակիորեն.

Օրինակ 3.Գտեք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը.

.

Լուծում. Տարբերեք հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ.

.

Օրինակ 4.Գտեք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը.

.

Լուծում. Տարբերեք հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ.

.

Արտահայտում և ստանում ենք ածանցյալը.

.

Օրինակ 5.Գտեք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում. Հավասարման աջ կողմում գտնվող անդամները տեղափոխե՛ք ձախ կողմ և աջ կողմում թողե՛ք զրո: Տարբերե՛ք հավասարման երկու կողմերը x-ի նկատմամբ:

Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ:
Պարամետրականորեն տրված ֆունկցիայի ածանցյալ

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ևս երկու բնորոշ առաջադրանքներ, որոնք հաճախ հանդիպում են բարձրագույն մաթեմատիկայի թեստերում: Նյութին հաջողությամբ տիրապետելու համար անհրաժեշտ է գոնե միջանկյալ մակարդակով ածանցյալներ գտնել։ Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես գտնել ածանցյալները զրոյից երկու հիմնական դասերից և Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ... Եթե ​​տարբերակման հմտություններով ամեն ինչ կարգին է, ուրեմն գնանք։

Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ

Կամ, մի խոսքով, իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ի՞նչ է անուղղակի գործառույթը: Եկեք նախ հիշենք մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի սահմանումը.

Մեկ փոփոխական ֆունկցիաԿանոն է, ըստ որի անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին համապատասխանում է մեկ և միայն մեկ ֆունկցիայի արժեքը:

Փոփոխականը կոչվում է անկախ փոփոխականկամ փաստարկ.
Փոփոխականը կոչվում է կախյալ փոփոխականկամ ֆունկցիան .

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք այն գործառույթները, որոնք սահմանված են բացահայտձեւը։ Ինչ է դա նշանակում? Եկեք կազմակերպենք ամփոփագիր՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ:

Դիտարկենք գործառույթը

Մենք տեսնում ենք, որ ձախ կողմում ունենք միայնակ «խաղ», իսկ աջում՝ միայն «x»... Այսինքն՝ ֆունկցիան հստակորենարտահայտված անկախ փոփոխականով:

Դիտարկենք մեկ այլ գործառույթ.

Այստեղ փոփոխականները նույնպես «խառնվում» են։ Ավելին անհնար է ամեն կերպարտահայտել «խաղը» միայն «x»-ի միջոցով։ Որոնք են այս մեթոդները: Ժամկետների տեղափոխում մի մասից մյուսը նշանի փոփոխությամբ, փակագծերից դուրս դնելով, ըստ համամասնության կանոնի բազմապատկիչներ գցելու և այլն: Վերաշարադրեք հավասարությունը և փորձեք «խաղը» արտահայտել բացահայտ ձևով. Դուք կարող եք շրջել և շրջել հավասարումը ժամերով, բայց չեք կարող:

Թույլ տվեք ներկայացնել ձեզ. - օրինակ անուղղակի գործառույթ.

Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում ապացուցվել է, որ իմպլիցիտ ֆունկցիան գոյություն ունի(բայց ոչ միշտ), այն ունի գրաֆիկ (ճիշտ այնպես, ինչպես «նորմալ» ֆունկցիան): Իմպլիցիտ ֆունկցիան ունի նույնը գոյություն ունիառաջին ածանցյալ, երկրորդ ածանցյալ և այլն: Ինչպես ասում են, սեռական փոքրամասնությունների բոլոր իրավունքները հարգված են։

Եվ այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը: Դա այնքան էլ դժվար չէ: Գործում են տարբերակման բոլոր կանոնները, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Տարբերությունը մեկ յուրահատուկ պահի մեջ է, որը մենք կքննարկենք հենց հիմա։

Այո, և ես ձեզ կասեմ լավ նորությունը. ստորև քննարկված առաջադրանքները կատարվում են բավականին կոշտ և հստակ ալգորիթմի համաձայն՝ առանց քարի երեք հետքերի դիմաց:

Օրինակ 1

1) Առաջին փուլում մենք ավարտական ​​շոշափում ենք երկու մասի վրա.

2) Օգտագործում ենք ածանցյալի գծայինության կանոնները (դասի առաջին երկու կանոնները Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը: Լուծումների օրինակներ):

3) ուղղակի տարբերակում.
Ինչպես տարբերել և կատարելապես հասկանալի: Ի՞նչ անել այնտեղ, որտեղ հարվածների տակ «խաղեր» են:

- ուղղակի զզվելի, ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է նրա ածանցյալին: .

Ինչպես տարբերել
Ահա մենք ունենք բարդ գործառույթ... Ինչո՞ւ։ Թվում է, թե սինուսի տակ կա միայն մեկ տառ «իգրեկ»։ Բայց փաստն այն է, որ կա միայն մեկ տառ «խաղ». ԻՆՔՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Է(տես սահմանումը դասի սկզբում): Այսպիսով, սինուսը արտաքին ֆունկցիա է, ներքին ֆունկցիա: Մենք օգտագործում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը :

Մենք արտադրանքը տարբերում ենք սովորական կանոնով :

Նշենք, որ - նույնպես բարդ ֆունկցիա է, ցանկացած «խաղ զանգերի և սուլիչներով» բարդ գործառույթ է:

Լուծման բուն ձևավորումը պետք է նման լինի հետևյալին.


Եթե ​​կան փակագծեր, ապա բացում ենք դրանք.

4) Ձախ կողմում մենք հավաքում ենք այն տերմինները, որոնցում կա «խաղ» հիմնական նշանով: Աջ կողմում - փոխանցեք մնացած ամեն ինչ.

5) Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք ածանցյալը.

6) Եվ ըստ համամասնության կանոնի՝ այս փակագծերը գցում ենք աջ կողմի հայտարարի մեջ.

Ածանցյալը գտնված է. Պատրաստ.

Հետաքրքիր է նշել, որ դուք կարող եք անուղղակիորեն վերաշարադրել ցանկացած գործառույթ: Օրինակ՝ ֆունկցիան կարելի է վերաշարադրել այսպես. ... Եվ տարբերակեք այն ըստ նոր դիտարկված ալգորիթմի: Փաստորեն, «ներածական գործառույթ» և «ներածական գործառույթ» արտահայտությունները տարբերվում են մեկ իմաստային նրբերանգով. «Անուղղակիորեն սահմանված գործառույթ» արտահայտությունն ավելի ընդհանուր և ճիշտ է, - այս գործառույթը դրված է անուղղակիորեն, բայց այստեղ դուք կարող եք արտահայտել «խաղը» և ներկայացնել գործառույթը բացահայտ ձևով: «Ներկայացված գործառույթ» արտահայտությունը հասկացվում է որպես «դասական» իմպլիցիտ ֆունկցիա, երբ «խաղը» չի կարող արտահայտվել։

Երկրորդ լուծում

Ուշադրություն.Երկրորդ մեթոդը կարելի է գտնել միայն այն դեպքում, եթե դուք գիտեք, թե ինչպես վստահորեն գտնել մասնակի ածանցյալներ... Խնդրում եմ, հաշվում և կեղծիքներում սկսնակներ մի կարդացեք և բաց թողեք այս պարբերությունը, հակառակ դեպքում գլուխը լրիվ խառնաշփոթ կլինի:

Գտնենք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը երկրորդ եղանակով։

Մենք բոլոր պայմանները փոխանցում ենք ձախ կողմում.

Եվ հաշվի առեք երկու փոփոխականի ֆունկցիա.

Այնուհետև մեր ածանցյալը կարելի է գտնել բանաձևով
Գտնենք մասնակի ածանցյալները.

Այսպիսով.

Երկրորդ լուծումը թույլ է տալիս ստուգել. Բայց դրանք առաջադրանքի մաքուր տարբերակով ձևակերպելն անցանկալի է, քանի որ մասնակի ածանցյալները յուրացվում են ավելի ուշ, իսկ «Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալ» թեման ուսումնասիրող ուսանողը կարծես թե չգիտի մասնակի ածանցյալները։

Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Մենք ավարտական ​​շոշափում ենք երկու մասի վրա.

Մենք օգտագործում ենք գծայինության կանոնները.

Գտեք ածանցյալներ.

Ընդարձակել բոլոր փակագծերը՝

Մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ կողմում, մնացածը ՝ աջ կողմում.

Վերջնական պատասխան.

Օրինակ 3

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում:

Տարբերակումից հետո կոտորակների առաջացումը հազվադեպ չէ: Նման դեպքերում պետք է ազատվել ֆրակցիաներից։ Դիտարկենք ևս երկու օրինակ։

Օրինակ 4

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Մենք երկու մասերն էլ կցում ենք հարվածներով և օգտագործում ենք գծայինության կանոնը.

Տարբերակել՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը եւ մասնավորի տարբերակման կանոնը :

Ընդարձակեք փակագծերը.

Այժմ մենք պետք է ազատվենք կոտորակից: Դա կարելի է անել ավելի ուշ, բայց ավելի ռացիոնալ է դա անել անմիջապես: Կոտորակի հայտարարն է. Բազմապատկել վրա . Մանրամասն, այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Երբեմն տարբերակումից հետո առաջանում է 2-3 կոտորակ։ Եթե ​​ունենայինք, օրինակ, մեկ այլ կոտորակ, ապա գործողությունը պետք է կրկնվեր՝ բազմապատկել յուրաքանչյուր մասի յուրաքանչյուր տերմինվրա

Ձախ կողմում փակագծից դուրս ենք դնում.

Վերջնական պատասխան.

Օրինակ 5

Գտե՛ք իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալը

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Դրա մեջ միակ բանը, նախքան կոտորակից ազատվելը, նախ պետք է ազատվել բուն կոտորակի եռահարկ կառուցվածքից։ Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Պարամետրականորեն տրված ֆունկցիայի ածանցյալ

Մի լարեք, այս պարբերությունում ամեն ինչ նույնպես բավականին պարզ է: Դուք կարող եք գրել ընդհանուր բանաձև պարամետրորեն սահմանված ֆունկցիայի համար, բայց որպեսզի պարզ լինի, ես անմիջապես կգրեմ կոնկրետ օրինակ։ Պարամետրային ձևով ֆունկցիան տրվում է երկու հավասարումներով. Հաճախ հավասարումները գրվում են ոչ թե գանգուր փակագծերի տակ, այլ հաջորդաբար.,.

Փոփոխականը կոչվում է պարամետրև կարող է արժեքներ վերցնել «մինուս անսահմանությունից» մինչև «գումարած անսահմանություն»: Դիտարկենք, օրինակ, արժեքը և այն փոխարինեք երկու հավասարումներով. ... Կամ մարդկայնորեն՝ «եթե x-ը հավասար է չորսի, ապա y-ն հավասար է մեկին»։ Կոորդինատային հարթության վրա կարող է նշվել կետ, և այս կետը կհամապատասխանի պարամետրի արժեքին: Նմանապես, դուք կարող եք գտնել կետ «te» պարամետրի ցանկացած արժեքի համար: Ինչ վերաբերում է «նորմալ» ֆունկցիային, ապա պարամետրորեն սահմանված ֆունկցիայի ամերիկաբնակ հնդկացիների համար նույնպես հարգվում են բոլոր իրավունքները՝ կարող եք գծագրել գրաֆիկ, գտնել ածանցյալներ և այլն։ Ի դեպ, եթե պարամետրորեն տրված ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու անհրաժեշտություն կա, կարող եք օգտագործել իմ ծրագիրը։

Ամենապարզ դեպքերում հնարավոր է բացահայտ կերպով ներկայացնել ֆունկցիան։ Եկեք արտահայտենք պարամետրը առաջին հավասարումից. - և այն փոխարինիր երկրորդ հավասարմամբ. ... Արդյունքը սովորական խորանարդ ֆունկցիա է:

Ավելի «ծանր» դեպքերում այս հնարքը չի գործում։ Բայց դա նշանակություն չունի, քանի որ պարամետրային ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար կա բանաձև.

Գտե՛ք «te փոփոխականի նկատմամբ խաղի» ածանցյալը.

Տարբերակման բոլոր կանոնները և ածանցյալների աղյուսակը, իհարկե, գործում են նաև տառի համար, հետևաբար. ածանցյալ գործիքների որոնման գործընթացում նորություն չկա... Պարզապես մտովի փոխարինեք աղյուսակի բոլոր «x»-երը «te» տառով:

Գտե՛ք «x»-ի ածանցյալը te փոփոխականի նկատմամբ.

Այժմ մնում է միայն հայտնաբերված ածանցյալները փոխարինել մեր բանաձևով.

Պատրաստ. Ածանցյալը, ինչպես և ինքնին ֆունկցիան, նույնպես կախված է պարամետրից:

Ինչ վերաբերում է նշանակումներին, ապա բանաձևում, գրելու փոխարեն, այն պարզապես կարող էր գրվել առանց ենթագրի, քանի որ սա «սովորական» ածանցյալն է «x-ով»: Բայց գրականության մեջ միշտ կա մի տարբերակ, ուստի ես ստանդարտից չեմ շեղվի։

Օրինակ 6

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը

Այս դեպքում:

Այսպիսով.

Պարամետրային ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու առանձնահատկությունն այն է, որ յուրաքանչյուր քայլի դեպքում ձեռնտու է հնարավորինս պարզեցնել արդյունքը... Այսպիսով, դիտարկված օրինակում, երբ գտա այն, ես ընդլայնեցի արմատի տակ գտնվող փակագծերը (չնայած ես չէի կարող դա անել): Հավանականությունը մեծ է, որ երբ փոխարինվի բանաձևով, շատ բաներ լավ կկրճատվեն: Չնայած, իհարկե, կան անշնորհք պատասխաններով օրինակներ։

Օրինակ 7

Գտե՛ք պարամետրորեն սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալը

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է:

Հոդվածը Ամենապարզ ընդհանուր խնդիրները ածանցյալի հետմենք դիտարկեցինք օրինակներ, որոնցում պահանջվում էր գտնել ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը: Պարամետրականորեն տրված ֆունկցիայի համար կարող եք գտնել նաև երկրորդ ածանցյալը և այն կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով. Միանգամայն ակնհայտ է, որ երկրորդ ածանցյալը գտնելու համար նախ պետք է գտնել առաջին ածանցյալը։

Օրինակ 8

Գտե՛ք պարամետրականորեն տրված ֆունկցիայի առաջին և երկրորդ ածանցյալները

Նախ, եկեք գտնենք առաջին ածանցյալը:
Մենք օգտագործում ենք բանաձևը

Այս դեպքում:

Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք բանաձևով. Պարզեցնելու համար մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական բանաձևը.