Այս առցանց մաթեմատիկական հաշվիչը կօգնի ձեզ անհրաժեշտության դեպքում հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը... Ծրագիր լուծումների սահմաններըոչ թե պարզապես պատասխան է տալիս խնդրին, այլ տալիս է մանրամասն լուծում՝ բացատրություններով, այսինքն. ցուցադրում է սահմանաչափի հաշվարկման գործընթացը:

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել միջնակարգ դպրոցների ավագ աշակերտների համար՝ թեստերին և քննություններին նախապատրաստվելիս, քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս, ծնողների համար՝ վերահսկելու մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք հնարավորինս արագ կատարել ձեր մաթեմատիկայի կամ հանրահաշվի տնային աշխատանքները: Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:

Այսպիսով, դուք կարող եք վարել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի ուսուցումը, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է։

Մուտքագրեք ֆունկցիայի արտահայտությունը

Հաշվարկել սահմանաչափը

Պարզվել է, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հավանաբար դուք միացված եք AdBlock-ը:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Ձեր դիտարկիչում JavaScript-ն անջատված է:
Որպեսզի լուծումը հայտնվի, դուք պետք է միացնեք JavaScript-ը:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:

Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Սպասիր, խնդրում եմ վրկ...

Եթե ​​դու որոշման մեջ սխալ է նկատել, ապա այս մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևաթղթում։
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք և ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի քիչ տեսություն.

Ֆունկցիայի սահմանը x-> x 0-ում

Թող f (x) ֆունկցիան սահմանվի X բազմության վրա և թողնենք \ (x_0 \ X-ում \) կամ \ (x_0 \ ոչ X-ում) կետը:

X-ից վերցրեք x 0-ից տարբեր կետերի հաջորդականություն:
x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
համընկնում է x *-ին: Այս հաջորդականության կետերում ֆունկցիայի արժեքները նույնպես թվային հաջորդականություն են կազմում
f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
եւ կարող է դրվել դրա սահմանի գոյության հարցը։

Սահմանում... A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 (կամ x -> x 0) կետում, եթե որևէ հաջորդականության համար (1) համընկնում է փաստարկի արժեքների x 0-ին: x բացի x 0-ից, արժեքների ֆունկցիայի համապատասխան հաջորդականությունը (2) համընկնում է A-ին:

$$ \ lim_ (x \ մինչև x_0) (f (x)) = A $$

f (x) ֆունկցիան x 0 կետում կարող է ունենալ միայն մեկ սահման։ Սա բխում է այն փաստից, որ հաջորդականությունը
(f (x n)) ունի միայն մեկ սահման:

Գործառույթի սահմանաչափի մեկ այլ սահմանում կա.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի սահման x = x 0 կետում, եթե \ (\ varepsilon> 0 \) թվի համար գոյություն ունի \ (\ delta> 0 \) այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար \ (x \ X-ում, \; x \ neq x_0 \) բավարարելով անհավասարությունը \ (| x-x_0 | Օգտագործելով տրամաբանական նշաններ, այս սահմանումը կարող է գրվել որպես
\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ exists \ delta> 0) (\ forall x \ X-ում, \; x \ neq x_0, \; | x-x_0 | Նկատի ունեցեք, որ անհավասարությունները \ (x \ neq x_0 , \; | x-x_0 | Առաջին սահմանումը հիմնված է թվերի հաջորդականության սահմանի հասկացության վրա, ուստի այն հաճախ կոչվում է «հաջորդականության լեզու»: Երկրորդ սահմանումը կոչվում է «\ (\ varepsilon - \ delta \)»: սահմանում.
Ֆունկցիայի սահմանի այս երկու սահմանումները համարժեք են և կարող եք օգտագործել դրանցից որևէ մեկը՝ կախված նրանից, թե որն է ավելի հարմար որոշակի խնդիր լուծելու համար։

Նշենք, որ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը «հաջորդականությունների լեզվով» կոչվում է նաև ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Հայնեի, իսկ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը «լեզուում \ (\ varepsilon - \ delta \)» կոչվում է ֆունկցիայի սահմանի սահմանում ըստ Քոշիի։

Ֆունկցիայի սահմանը x-> x 0 - և x-> x 0 +-ում

Հետևյալում մենք կօգտագործենք միակողմանի ֆունկցիայի սահմանների հասկացությունները, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե x 0-ին համընկնող որևէ հաջորդականության (1) համար, որի տարրերը xn ավելի մեծ են (պակաս) x 0, համապատասխան հաջորդականությունը ( 2) համընկնում է Ա.

Սա խորհրդանշականորեն գրված է հետևյալ կերպ.
$$ \ lim_ (x \ մինչև x_0 +) f (x) = A \; \ ձախ (\ lim_ (x \ մինչև x_0-) f (x) = A \ աջ) $$

Դուք կարող եք տալ ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների համարժեք սահմանում «\ (\ varepsilon - \ delta \)» լեզվով.

Սահմանում A թիվը կոչվում է f (x) ֆունկցիայի աջ (ձախ) սահման x 0 կետում, եթե որևէ \ (\ varepsilon> 0 \) գոյություն ունի \ (\ delta> 0 \) այնպես, որ բոլոր x-երի համար բավարարող անհավասարությունները \ (x_0 Խորհրդանշական մուտքեր.

\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ exists \ delta> 0) (\ forall x, \; x_0

Մշտական ​​թիվ ականչեց սահման հաջորդականություններ(x n) ցանկացած կամայականորեն փոքր դրական թվի դեպքումε > 0 կա N թիվ, որը բոլոր արժեքները x nորի համար n> N-ը բավարարում է անհավասարությունը

|x n - ա |< ε. (6.1)

Գրում են հետևյալ կերպ՝ կամ x n →ա.

Անհավասարությունը (6.1) համարժեք է կրկնակի անհավասարությանը

ա- է< x n < a + ε, (6.2)

ինչը նշանակում է, որ միավորները x n, սկսած ինչ-որ n> N թվից, ընկած է միջակայքի ներսում (a-ε, a + ε ), այսինքն. ընկնել ցանկացած փոքրε - կետի հարևանությունը ա.

Այն հաջորդականությունը, որն ունի սահման, կոչվում է համընկնող, հակառակ դեպքում - շեղվող.

Ֆունկցիայի սահման հասկացությունը հաջորդականության սահման հասկացության ընդհանրացումն է, քանի որ հաջորդականության սահմանը կարելի է համարել որպես x n = f (n) ֆունկցիայի սահման ամբողջ թվային արգումենտի։ n.

Թող տրվի f (x) ֆունկցիան և թող ա - սահմանային կետայս ֆունկցիայի D (f) տիրույթը, այսինքն. կետ, որի ցանկացած հարևանություն պարունակում է D (f) բազմության կետեր, բացի ա... Կետ ակարող է պատկանել կամ չպատկանել D (զ) բազմությանը:

Սահմանում 1.Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման ֆունկցիան f (x) ժամը x →a եթե ցանկացած հաջորդականության (x n) արգումենտի արժեքների համար, որոնք ուղղված են դեպի ա, համապատասխան հաջորդականությունները (f (x n)) ունեն նույն սահմանը A.

Այս սահմանումը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը ըստ Հայնեի,կամ " հաջորդականությունների լեզվով”.

Սահմանում 2... Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման ֆունկցիան f (x) ժամը x →a եթե՝ նշելով կամայականորեն փոքր դրական ε, կարելի է գտնել այդպիսի δ> 0 (կախված ε), որը բոլորի համար xպառկածε- թվի հարևանություններ ա, այսինքն. համար xանհավասարությունը բավարարելով
0 < x-a< ε , f (x) ֆունկցիայի արժեքները կլինենε- A թվի հարևանությունը, այսինքն.|զ (x) -Ա |< ε.

Այս սահմանումը կոչվում է ֆունկցիայի Քոշիի սահմանի սահմանումը,կամ «Լեզվով ε - δ “.

1 և 2 սահմանումները համարժեք են: Եթե ​​f (x) ֆունկցիան որպես x →ա ունի սահմանհավասար է A-ին, սա գրվում է այսպես

. (6.3)

Այն դեպքում, երբ (f (x n)) հաջորդականությունը աճում է (կամ նվազում) անորոշ ժամանակով մոտարկման ցանկացած մեթոդի համար. xձեր սահմանին ա, ապա ասում ենք, որ f (x) ֆունկցիան ունի անվերջ սահման,և գրիր այն այսպես.

Այն փոփոխականը (այսինքն՝ հաջորդականություն կամ ֆունկցիա), որի սահմանը զրո է, կոչվում է անսահման փոքր արժեք.

Այն փոփոխականը, որի սահմանը անսահմանությունն է, կոչվում է անսահման մեծ.

Գործնականում սահմանը գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ թեորեմները.

Թեորեմ 1 ... Եթե ​​կա ամեն սահման

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Մեկնաբանություն... 0/0 նման արտահայտություններ, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - անորոշ են, օրինակ, երկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ քանակությունների հարաբերակցությունը, և նման սահման գտնելը կոչվում է «անորոշությունների բացահայտում»:

Թեորեմ 2. (6.7)

դրանք. դուք կարող եք գնալ աստիճանի հիմքում գտնվող սահմանին հաստատուն ցուցիչով, մասնավորապես. ;

(6.8)

(6.9)

Թեորեմ 3.

(6.10)

(6.11)

որտեղ ե » 2.7-ը բնական լոգարիթմի հիմքն է։ Բանաձևերը (6.10) և (6.11) կոչվում են առաջին հրաշալի սահմանև երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Գործնականում կիրառվում են նաև բանաձևի (6.11) հետևանքները.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

մասնավորապես սահմանը

Եթե ​​x → a և միաժամանակ x> a, ապա գրում են x→ a + 0. Եթե, մասնավորապես, a = 0, ապա 0 + 0 նշանի փոխարեն գրել +0։ Նմանապես, եթե x →ա և, ընդ որում, x ա-0. Թվերը և կոչվում են համապատասխանաբար սահմանը աջ կողմումև մնաց սահմանը ֆունկցիան f (x) կետում ա... Որպեսզի լինի f (x) ֆունկցիայի սահմանը որպես x →ա-ն անհրաժեշտ և բավարար է ... Կանչվում է f (x) ֆունկցիան շարունակական կետում x 0, եթե սահմանը

. (6.15)

Պայման (6.15) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

,

այսինքն՝ ֆունկցիայի նշանով անցումը դեպի սահման հնարավոր է, եթե այն շարունակական է տվյալ կետում։

Եթե ​​խախտվում է հավասարությունը (6.15), ապա ասվում է ժամը x = x o ֆունկցիան f (x) Այն ունի ընդմիջում.Դիտարկենք y = 1 / x ֆունկցիան: Այս ֆունկցիայի տիրույթը բազմությունն է Ռ, բացառությամբ x = 0-ի: x = 0 կետը D (f) բազմության սահմանային կետն է, քանի որ նրա ցանկացած հարևանությամբ, այսինքն. 0 կետ պարունակող ցանկացած բաց ինտերվալ պարունակում է կետեր D (f)-ից, բայց այն ինքնին չի պատկանում այս բազմությանը: F (x o) = f (0) արժեքը որոշված ​​չէ, ուստի ֆունկցիան ունի դադար x o = 0 կետում:

Կանչվում է f (x) ֆունկցիան շարունակական աջ կողմում կետում x o, եթե սահմանը

,

և կետում մնացել է շարունակական x o, եթե սահմանը

Գործառույթի շարունակականությունը մի կետում x oհամարժեք է դրա շարունակականությանը այս կետում և՛ աջից, և՛ ձախից:

Որպեսզի ֆունկցիան լինի շարունակական կետում x o, օրինակ, աջ կողմում անհրաժեշտ է, որ նախ լինի վերջավոր սահման, և երկրորդը, որ այդ սահմանը հավասար լինի f (x o): Հետևաբար, եթե այս երկու պայմաններից գոնե մեկը չկատարվի, ապա ֆունկցիան կունենա դադար:

1. Եթե սահմանը գոյություն ունի և հավասար չէ f (x o-ին), ապա ասում են ֆունկցիան f (x) կետում x o ունի առաջին տեսակի ընդմիջում,կամ ցատկ.

2. Եթե սահմանն է+ ∞ կամ -∞ կամ գոյություն չունի, ապա ասում են, որ ներս կետ x o ֆունկցիան ունի բաց երկրորդ տեսակ.

Օրինակ, y = ctg x ֆունկցիան x-ի համար→ +0-ն ունի + ∞-ի հավասար սահման, հետևաբար, x = 0 կետում այն ​​ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում: Ֆունկցիա y = E (x) (ի ամբողջական մասն x) ամբողջ թվով աբսցիսներով կետերում ունի առաջին տեսակի ընդհատումներ կամ թռիչքներ:

Այն ֆունկցիան, որը շարունակական է միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, կոչվում է շարունակական v . Շարունակական ֆունկցիան ցուցադրվում է որպես ամուր կոր:

Ցանկացած քանակի շարունակական աճի հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ հանգեցնում են երկրորդ ուշագրավ սահմանին։ Այդպիսի խնդիրներն, օրինակ, ներառում են՝ բաղադրյալ տոկոսների օրենքի համաձայն ներդրման աճը, երկրի բնակչության աճը, ռադիոակտիվ նյութերի քայքայումը, բակտերիաների վերարտադրությունը և այլն։

Հաշվի առեք Ya.I.Perelman-ի օրինակթվի մեկնաբանություն տալով եբարդ տոկոսադրույքի խնդրի մեջ։ Թիվ եսահման կա ... Խնայբանկերում տարեկան տոկոսադրույքը ավելացվում է հիմնական կապիտալին: Եթե ​​կապն ավելի հաճախ է իրականացվում, ապա կապիտալն ավելի արագ է աճում, քանի որ տոկոսների ձևավորման մեջ մեծ քանակություն է ներգրավված։ Բերենք զուտ տեսական, խիստ պարզեցված օրինակ։ Թող բանկը 100 դեն դնի։ միավորներ տարեկան 100% դրույքաչափով։ Եթե ​​տոկոսագումարը կավելացվի հիմնական կապիտալին միայն մեկ տարի հետո, ապա մինչև այս օրը 100 դ. միավորներ կվերածվի 200 դրամական միավորի։ Հիմա տեսնենք, թե ինչ կվերածվի 100 դենի։ միավորներ, եթե յուրաքանչյուր վեց ամիսը մեկ հիմնական կապիտալին ավելացվում են տոկոսադրույքներ: Կես տարի հետո 100 դեն. միավորներ կաճի մինչև 100× 1,5 = 150, իսկ վեց ամիս անց՝ 150× 1,5 = 225 (դրամական միավոր): Եթե ​​միացումը կատարվում է տարվա 1/3-ը մեկ, ապա մեկ տարի հետո 100 դեն. միավորներ վերածվել 100-ի× (1 +1/3) 3" 237 (դրամական միավոր): Տոկոսաբեր փողերի միացման ժամկետները կավելացնենք մինչև 0,1 տարի, մինչև 0,01 տարի, մինչև 0,001 տարի և այլն։ Հետո 100 դենից. միավորներ մեկ տարի անց կստացվի.

100 × (1 +1/10) 10 «259 (դրամական միավոր),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (դրամական միավոր),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (դրամական միավոր):

Տոկոսների ամրագրման պայմանների անսահմանափակ կրճատման դեպքում հաշվեգրված կապիտալը չի ​​աճում անվերջ, այլ մոտենում է որոշակի սահմանի, որը հավասար է մոտավորապես 271-ի: Տարեկան 100% հատկացված կապիտալը չի ​​կարող աճել ավելի քան 2,71 անգամ, նույնիսկ եթե հաշվեգրվածը: տոկոսները յուրաքանչյուր վայրկյան ավելանում էին կապիտալին, քանի որ սահմանը

Օրինակ 3.1.Օգտագործելով թվային հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ x n = (n-1) / n հաջորդականությունն ունի 1-ի հավասար սահման:

Լուծում.Մենք պետք է ապացուցենք, որ ինչ էլ լինիε Մենք չենք վերցրել> 0, նրա համար կա այնպիսի բնական թիվ N, որ բոլոր n N-ի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.|x n -1 |< ε.

Վերցրեք ցանկացած e> 0. Քանի որ; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, ապա N գտնելու համար բավական է լուծել 1 / n անհավասարությունը.< ե. Ուստի n> 1 / e և, հետևաբար, N-ը կարող է ընդունվել որպես 1 /-ի ամբողջական մաս e, N = E (1 / e ): Մենք այսպիսով ապացուցեցինք, որ սահմանը.

Օրինակ 3.2 ... Գտի՛ր ընդհանուր անդամով տրված հաջորդականության սահմանը .

Լուծում.Մենք կիրառում ենք գումարի սահմանային թեորեմը և գտնում յուրաքանչյուր անդամի սահմանը։ Համար n→ ∞ Յուրաքանչյուր անդամի համարիչն ու հայտարարը ձգտում են դեպի անվերջություն, և մենք չենք կարող ուղղակիորեն կիրառել քանորդի սահմանային թեորեմը: Հետեւաբար, մենք առաջին հերթին փոխակերպում ենք x nառաջին անդամի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով n 2, իսկ երկրորդը վրա n... Այնուհետև, կիրառելով քանորդի թեորեմի սահմանը և գումարի սահմանը, գտնում ենք.

.

Օրինակ 3.3. ... Գտնել.

Լուծում. .

Այստեղ մենք օգտագործել ենք աստիճանի սահմանի թեորեմը. աստիճանի սահմանը հավասար է բազային սահմանի աստիճանին։

Օրինակ 3.4 ... Գտնել ( ).

Լուծում.Սահմանային տարբերության թեորեմն անհնար է կիրառել, քանի որ ունենք ձևի անորոշություն ∞-∞ ... Մենք փոխակերպում ենք ընդհանուր անդամի բանաձևը.

.

Օրինակ 3.5 ... Տրված է f (x) = 2 1 / x ֆունկցիա: Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Եկեք օգտագործենք ֆունկցիայի սահմանի 1 սահմանումը հաջորդականությամբ: Վերցրեք մի հաջորդականություն (x n), որը համընկնում է 0-ի, այսինքն. Եկեք ցույց տանք, որ f (x n) = արժեքը տարբեր հաջորդականությունների համար տարբեր կերպ է վարվում: Թող x n = 1 / n: Ակնհայտ է, ապա սահմանը Եկեք հիմա ընտրենք որպես x nհաջորդականություն ընդհանուր տերմինով x n = -1 / n, որը նույնպես հակված է զրոյի: Հետեւաբար, սահման չկա:

Օրինակ 3.6 ... Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Թող x 1, x 2, ..., x n, ... լինի հաջորդականություն, որի համար
... Ինչպես է (f (x n)) = (sin x n) հաջորդականությունն իրեն պահում տարբեր x n → ∞

Եթե ​​x n = p n, ապա sin x n = մեղք p n = 0 բոլորի համար nիսկ սահմանը Եթե
x n = 2 p n + p / 2, ապա մեղք x n = մեղք (2 p n + p / 2) = մեղք p / 2 = 1 բոլորի համար nև հետևաբար սահմանը: Այսպիսով, այն գոյություն չունի:

Վիջեթ՝ առցանց սահմանաչափերի հաշվարկման համար

Վերին պատուհանում sin (x) / x-ի փոխարեն մուտքագրեք այն ֆունկցիան, որի սահմանը ցանկանում եք գտնել: Ներքևի պատուհանում մուտքագրեք այն թիվը, որին ձգտում է x-ը և սեղմեք Calcular կոճակը, ստացեք ցանկալի սահմանաչափը: Իսկ եթե արդյունքների պատուհանի վերին աջ անկյունում սեղմեք Ցույց տալ քայլերը, ապա մանրամասն լուծում կստանաք։

Ֆունկցիայի մուտքագրման կանոններ՝ sqrt (x) - քառակուսի արմատ, cbrt (x) - խորանարդ արմատ, exp (x) - ցուցիչ, ln (x) - բնական լոգարիթմ, sin (x) - սինուս, cos (x) - կոսինուս, թան (x) - շոշափող, cot (x) - կոտանգենս, arcsin (x) - arcsine, arccos (x) - հակադարձ կոսինուս, arctan (x) - arctangent: Նշաններ՝ * բազմապատկում, / բաժանում, ^ աստիճանավորում, փոխարեն անսահմանությունԱնսահմանություն. Օրինակ՝ ֆունկցիան մուտքագրվում է այսպես sqrt (tan (x / 2)):

Դիմում

Կայքի առցանց սահմանափակումներ ուսանողների և դպրոցականների կողմից անցած նյութի ամբողջական համախմբման համար: Ինչպե՞ս գտնել սահմանաչափը առցանց՝ օգտագործելով մեր ռեսուրսը: Դա անելը շատ հեշտ է, պարզապես անհրաժեշտ է ճիշտ գրել բնօրինակ ֆունկցիան x փոփոխականով, ընտրիչից ընտրել ցանկալի անսահմանությունը և սեղմել «Լուծում» կոճակը։ Այն դեպքում, երբ ֆունկցիայի սահմանը պետք է հաշվարկվի x կետում, ապա պետք է նշել հենց այս կետի թվային արժեքը։ Սահմանը լուծելու պատասխանը կստանաք վայրկյանների ընթացքում, այլ կերպ ասած՝ ակնթարթորեն։ Այնուամենայնիվ, եթե դուք տրամադրեք սխալ տվյալներ, ծառայությունն ավտոմատ կերպով կտեղեկացնի ձեզ սխալի մասին: Ուղղեք նախկինում մուտքագրված ֆունկցիան և ստացեք ճիշտ լուծում մինչև սահմանը: Սահմանները լուծելու համար օգտագործվում են բոլոր հնարավոր հնարքները, հատկապես օգտագործվում է L'Hôpital մեթոդը, քանի որ այն ունիվերսալ է և հանգեցնում է ավելի արագ պատասխանի, քան ֆունկցիայի սահմանը հաշվելու այլ մեթոդներ: Հետաքրքիր է դիտարկել այն օրինակները, որոնցում առկա է մոդուլը: Ի դեպ, մեր ռեսուրսի կանոնների համաձայն, մոդուլը նշանակվում է մաթեմատիկայի դասական ուղղահայաց գծով «|» կամ Abs (f (x)) լատիներեն բացարձակից։ Հաճախ սահմանի լուծում է պահանջվում թվային հաջորդականության գումարը հաշվարկելու համար: Ինչպես բոլորը գիտեն, պարզապես անհրաժեշտ է ճիշտ արտահայտել ուսումնասիրվող հաջորդականության մասնակի գումարը, այնուհետև ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է՝ շնորհիվ մեր կայքի անվճար ծառայության, քանի որ մասնակի գումարից սահմանաչափի հաշվարկը թվի վերջնական գումարն է։ հաջորդականություն. Ընդհանուր առմամբ, սահմանին անցնելու տեսությունը բոլոր մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացությունն է: Ամեն ինչ հիմնված է հենց սահմանին անցնելու վրա, այսինքն՝ սահմանների լուծումը դրված է մաթեմատիկական վերլուծության գիտության հիմքում։ Ինտեգրման մեջ օգտագործվում է նաև անցումը դեպի սահման, երբ ինտեգրալը ըստ տեսության ներկայացված է որպես անսահմանափակ թվով տարածքների գումար։ Այնտեղ, որտեղ կա անսահմանափակ թվով ինչ-որ բան, այսինքն՝ օբյեկտների քանակի միտում դեպի անսահմանություն, ապա սահմանային անցումների տեսությունը միշտ ուժի մեջ է մտնում, և ընդհանուր ընդունված ձևով սա ծանոթ սահմանների լուծում է։ Կայքի սահմանափակումների առցանց լուծում Կայքը եզակի ծառայություն է իրական ժամանակում ճշգրիտ և ակնթարթային պատասխան ստանալու համար: Ֆունկցիայի սահմանը (ֆունկցիայի սահմանափակող արժեքը) տվյալ կետում, սահմանափակող ֆունկցիայի տիրույթի համար, այնպիսի արժեք է, որին հակված է դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքը, երբ նրա արգումենտը ձգվում է դեպի տվյալ կետ։ Հազվադեպ չէ, և մենք նույնիսկ շատ հաճախ կասեինք, որ մաթեմատիկական վերլուծություն ուսումնասիրելիս ուսանողների մոտ առաջանում է առցանց սահմանափակումներ լուծելու հարցը: Երբ մտածում եք միայն հատուկ դեպքերում առցանց սահմանաչափը մանրամասն լուծումով լուծելու մասին, պարզ է դառնում, որ անհնար է հաղթահարել դժվարին առաջադրանքը առանց հաշվարկային սահմանաչափի հաշվիչի օգտագործման: Մեր ծառայության կողմից սահմանների լուծումը ճշգրտության և պարզության երաշխիք է: Ֆունկցիայի սահմանը հաջորդականության սահման հասկացության ընդհանրացումն է. սկզբում ֆունկցիայի սահմանը մի կետում հասկացվում էր որպես սահմանաչափ: ֆունկցիայի արժեքների միջակայքի տարրերի հաջորդականություն, որը կազմված է տվյալ կետին համընկնող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի տարրերի հաջորդականության կետերի պատկերներից (այն սահմանը, որի սահմանը դիտարկվում է). եթե այդպիսի սահման գոյություն ունի, ապա ասում են, որ ֆունկցիան համընկնում է նշված արժեքին. եթե այդպիսի սահման գոյություն չունի, ապա ֆունկցիան ասում են, որ շեղվում է: Օգտատերերի համար առցանց սահմանափակումների լուծումը դառնում է հեշտ պատասխան, պայմանով, որ նրանք գիտեն, թե ինչպես լուծել սահմանաչափը առցանց՝ օգտագործելով վեբ կայքը: Եկեք կենտրոնացած մնանք և թույլ չտանք, որ սխալները մեզ դժվարության մեջ գցեն՝ անբավարար վարկանիշների տեսքով: Ինչպես սահմանափակումների ցանկացած առցանց լուծում, այնպես էլ ձեր խնդիրը կներկայացվի հարմար և հասկանալի ձևով, մանրամասն լուծումով, լուծում ստանալու բոլոր կանոնների և կանոնակարգերի պահպանմամբ: Ամենից հաճախ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը ձևակերպվում է թաղամասերի լեզվով։ Այստեղ ֆունկցիայի սահմանները դիտարկվում են միայն այն կետերում, որոնք սահմանափակող են ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի համար, այսինքն՝ տվյալ կետի յուրաքանչյուր հարևանությամբ կան կետեր հենց այս ֆունկցիայի տիրույթից։ Սա թույլ է տալիս խոսել ֆունկցիայի արգումենտի միտվածության մասին տվյալ կետին։ Բայց պարտադիր չէ, որ սահմանման տիրույթի սահմանափակող կետը պատկանի հենց սահմանման տիրույթին, և դա ապացուցվում է սահմանը լուծելով. օրինակ, կարելի է դիտարկել ֆունկցիայի սահմանը բաց ինտերվալի ծայրերում, որի վրա գործառույթը սահմանված է. Այս դեպքում միջակայքի սահմաններն իրենք ներառված չեն սահմանման տարածքում: Այս առումով, տվյալ կետի ծակված թաղամասերի համակարգը հավաքածուների նման բազայի հատուկ դեպք է։ Օնլայն սահմանաչափերի լուծումը մանրամասն լուծումով կատարվում է իրական ժամանակում և բանաձևերի կիրառմամբ բացահայտ ձևով: Դուք կարող եք խնայել ժամանակ, և ամենակարևորը գումար, քանի որ մենք վճար չենք պահանջում: Եթե ​​ֆունկցիայի տիրույթում ինչ-որ կետում կա սահման, և այս սահմանի լուծումը հավասար է այս կետի ֆունկցիայի արժեքին, ապա այդ կետում ֆունկցիան ստացվում է շարունակական։ Մեր կայքում սահմանափակումների լուծումը հասանելի է առցանց օրական քսանչորս ժամ, ամեն օր և ամեն րոպե: Շատ կարևոր է օգտագործել սահմանաչափի հաշվիչը, և գլխավորն այն է, որ այն օգտագործեք ամեն անգամ, երբ անհրաժեշտ է ստուգել ձեր գիտելիքները: Ուսանողները հստակ օգուտ ունեն այս ամբողջ ֆունկցիոնալությունից: Սահմանաչափը հաշվելը, միայն տեսության օգտագործումն ու կիրառումը միշտ չէ, որ այնքան հեշտ է լինելու, ինչպես ասում են երկրի բուհերի մաթեմատիկական ֆակուլտետների փորձառու ուսանողները։ Փաստը մնում է փաստ, երբ կա նպատակ։ Սովորաբար սահմանների հայտնաբերված լուծումը լոկալ կիրառելի չէ խնդիրների ձևակերպման համար։ Ուսանողը կուրախանա, հենց որ ինտերնետում ու անվճար հասանելիությամբ հայտնաբերի իր համար առցանց սահմանաչափի հաշվիչ, և ոչ միայն իր, այլ բոլորի համար։ Նշանակումը պետք է դիտարկել որպես մաթեմատիկա, ընդհանուր առմամբ, դրա ըմբռնումը: Եթե ​​ինտերնետում հարցնեք, թե ինչպես կարելի է մանրամասնորեն գտնել առցանց սահմանաչափը, ապա հարցումների արդյունքում հայտնված կայքերի զանգվածը չի օգնի, թե ինչպես դա անելու ենք: Կողմերի տարբերությունը բազմապատկվում է միջադեպի համարժեքությամբ։ Ֆունկցիայի սկզբնական օրինական սահմանը պետք է որոշվի հենց մաթեմատիկական խնդրի ձևակերպմամբ: Հեմիլթոնը ճիշտ էր, բայց պետք է հաշվի առնել նաև նրա ժամանակակիցների հայտարարությունները։ Օնլայն սահմանաչափերի հաշվարկը ոչ մի դեպքում այնքան բարդ խնդիր չէ, որքան ինչ-որ մեկին կարող է թվալ առաջին հայացքից... Անսասան տեսությունների ճշմարտացիությունը չխախտելու համար: Վերադառնալով սկզբնական իրավիճակին՝ անհրաժեշտ է սահմանը հաշվարկել արագ, արդյունավետ և կոկիկ ձևավորված տեսքով։ Ինչպե՞ս կարող էր դա այլ կերպ վարվել: Այս մոտեցումն ակնհայտ է և արդարացված։ Սահմանաչափի հաշվիչը նախատեսված է գիտելիքները բարձրացնելու, տնային առաջադրանքների գրելու որակը բարելավելու և ուսանողների մոտ ընդհանուր տրամադրությունը բարձրացնելու համար, ուստի այն ճիշտ կլինի նրանց համար: Պարզապես պետք է հնարավորինս արագ մտածել, և միտքը կհաղթի: Առցանց ինտերպոլացիայի տերմինների սահմանների մասին հստակ խոսելը շատ բարդ զբաղմունք է իրենց արհեստի մասնագետների համար: Մենք կանխատեսում ենք տարածության կետերում չպլանավորված տարբերությունների համակարգի հարաբերակցությունը: Եվ նորից խնդիրը հասցվում է անորոշության՝ ելնելով նրանից, որ ֆունկցիայի սահմանը գոյություն ունի անվերջության մեջ և տվյալ աբսցիսային առանցքի տեղական կետի որոշակի հարևանությամբ՝ սկզբնական արտահայտության աֆինային փոխակերպումից հետո։ Ավելի հեշտ կլինի վերլուծել կետերի վերելքը հարթության վրա և տարածության վերևում: Գործերի ընդհանուր վիճակում չի ասվում մաթեմատիկական բանաձևի ածանցման մասին, թե՛ բնության, թե՛ տեսականորեն, որպեսզի առցանց սահմանաչափի հաշվիչը այս իմաստով օգտագործվի իր նպատակային նպատակի համար։ Առանց առցանց սահմանը սահմանելու, ես դժվարանում եմ հետագա հաշվարկներ կատարել կորագիծ տիեզերական հետազոտության ոլորտում: Ճշմարիտ ճիշտ պատասխանը գտնելու առումով ավելի հեշտ չէր լինի։ Հնարավոր չէ՞ հաշվարկել սահմանը, եթե տարածության տվյալ կետը նախապես սահմանված չէ: Եկեք հերքենք ուսումնասիրության ոլորտի համար պատասխանների առկայությունը։ Սահմանների լուծումը մաթեմատիկական վերլուծության տեսանկյունից կարելի է դիտարկել որպես առանցքի վրա կետերի հաջորդականության ուսումնասիրության սկիզբ։ Հենց այն փաստը, որ հաշվարկը գործում է, կարող է անտեղի լինել: Թվերը ներկայացվում են որպես անսահման հաջորդականություն և բացահայտվում են նախնական գրառումով այն բանից հետո, երբ մենք առցանց սահմանը մանրամասնորեն լուծել ենք՝ համաձայն տեսության: Ուղղակի արդարացված՝ հօգուտ լավագույն արժեքի։ Գործառույթի սահմանաչափի արդյունքը, որպես սխալ դրված խնդրի ակնհայտ սխալ, կարող է խեղաթյուրել անկայուն համակարգի իրական մեխանիկական գործընթացի գաղափարը: Իմաստը ուղղակիորեն տեսադաշտում արտահայտելու ունակություն: Համեմատելով առցանց սահմանաչափը նմանատիպ միակողմանի սահմանային արժեքի նշագրման հետ, ավելի լավ է խուսափել այն հստակ արտահայտելուց՝ օգտագործելով cast բանաձեւերը: Առաջադրանքի համամասնական կատարման սկզբից բացի. Մենք ընդլայնում ենք բազմանդամը այն բանից հետո, երբ կարողանում ենք հաշվել միակողմանի սահմանը և գրել այն անվերջության վրա։ Պարզ արտացոլումները մաթեմատիկական վերլուծության մեջ հանգեցնում են իրական արդյունքի: Սահմանների պարզ որոշումը հաճախ իջեցվում է կատարված հակառակ մաթեմատիկական պատկերազարդումների հավասարության տարբեր աստիճանի: Ֆիբոնաչիի տողերն ու թվերը վերծանել են առցանց սահմանաչափի հաշվիչը, կախված դրանից՝ կարող եք պատվիրել ոչ սահմանափակող հաշվարկ և միգուցե բարդությունը նահանջի հետին պլան: Ընթացքի մեջ է հարթության վրա գրաֆիկը եռաչափ տարածության հատվածում բացելու գործընթացը: Սա հանգեցրեց բարդ մաթեմատիկական խնդրի վերաբերյալ տարբեր տեսակետների անհրաժեշտությանը: Այնուամենայնիվ, արդյունքը երկար սպասեցնել չի տա: Այնուամենայնիվ, ներքևից վեր աշխատանքի իրականացման շարունակական գործընթացը խեղաթյուրում է տողերի տարածությունը և գրանցում խնդրի ձևակերպմանը ծանոթանալու առցանց սահմանաչափը: Խնդիրների կուտակման գործընթացի բնականությունը որոշում է մաթեմատիկական առարկաների բոլոր ոլորտներում գիտելիքների անհրաժեշտությունը: Գերազանց սահմանաչափի հաշվիչը կդառնա անփոխարինելի գործիք հմուտ ուսանողների ձեռքում, և նրանք կգնահատեն դրա բոլոր առավելությունները թվային առաջընթացի անալոգների նկատմամբ: Դպրոցներում ինչ-որ բանի համար առցանց սահմանափակումներն այլ կերպ են կոչվում, քան ինստիտուտներում: Գործառույթի արժեքը կմեծանա արգումենտը փոխելուց: Լոպիտալն ասաց, որ ֆունկցիայի սահմանը գտնելը գործի կեսն է, անհրաժեշտ է առաջադրանքը հասցնել իր տրամաբանական ավարտին և պատասխանը ներկայացնել ընդլայնված ձևով։ Իրականությունը համարժեք է գործում փաստերի առկայությանը. Մաթեմատիկական առարկաների պատմականորեն կարևոր ասպեկտները կապված են առցանց սահմանի հետ և հիմք են հանդիսանում թվերի տեսության ուսումնասիրության համար: Էջի կոդավորումը մաթեմատիկական բանաձևերում հասանելի է բրաուզերում հաճախորդի լեզվով: Ինչպես կարելի է հաշվարկել սահմանաչափը ընդունելի օրինական մեթոդով՝ առանց ստիպելու ֆունկցիան փոխել աբսցիսային առանցքի երկայնքով: Ընդհանուր առմամբ, տարածության իրականությունը կախված է ոչ միայն ֆունկցիայի ուռուցիկությունից կամ նրա գոգավորությունից։ Խնդիրից վերացրեք բոլոր անհայտները, և սահմանների լուծումը կնվազեցնի ձեր ունեցած մաթեմատիկական ռեսուրսների նվազագույն արժեքը: Ձևակերպված խնդրի լուծումը հարյուր տոկոսով կշտկի ֆունկցիոնալությունը: Ակնկալվող արժեքը, որը տեղի է ունենում, մանրամասնորեն կբացահայտի առցանց սահմանաչափը՝ կապված ամենաքիչ նշանակալի կոնկրետ հարաբերությունից շեղման հետ: Գիտության օգտին ընդունված մաթեմատիկական որոշումից անցել է երեք օր։ Սա իսկապես հատուցող գործունեություն է: Առանց սահման չունենալու պատճառի՝ առցանց կնշանակի իրավիճակային խնդիրների լուծման ընդհանուր մոտեցման տարաձայնություն։ 0/0 անորոշությամբ միակողմանի սահմանաչափի լավագույն անվանումը ապագայում պահանջված կլինի։ Ռեսուրսը կարող է լինել ոչ միայն գեղեցիկ և լավ, այլ նաև օգտակար, երբ այն կարող է հաշվարկել սահմանը ձեզ համար: Մեծ գիտնականը որպես ուսանող ուսումնասիրել է գիտական ​​աշխատություն գրելու գործառույթները։ Անցել է տասը տարի։ Մինչև տարբեր նրբերանգներ, արժե միանշանակ մեկնաբանել մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ հօգուտ այն բանի, որ ֆունկցիայի սահմանը փոխառում է սկզբունքի տարբերությունը։ Նրանք պատասխանել են պատվիրված թեստին։ Մաթեմատիկայի մեջ դասավանդման մեջ բացառիկ դիրք է, տարօրինակ կերպով, առցանց սահմանի ուսումնասիրությունը փոխադարձ արտաքին հարաբերություններով: Ինչպես սովորական դեպքերում դա տեղի է ունենում. Պետք չէ որևէ բան վերարտադրել։ Վերլուծելով ուսանողների ուսումնասիրության մոտեցումները մաթեմատիկական տեսությունների նկատմամբ՝ մենք մանրամասնորեն կթողնենք սահմանների որոշումը հետվերջնական փուլին։ Սա է հետևյալի իմաստը, քննիր տեքստը։ Ռեֆրակցիան եզակիորեն սահմանում է մաթեմատիկական արտահայտությունը որպես ստացված տեղեկատվության էություն: առցանց սահմանաչափը բազմակողմ վեկտորների հարաբերականության մաթեմատիկական համակարգի իրական դիրքի որոշման էությունն է: Այս առումով ես նկատի ունեմ իմ սեփական կարծիքը հայտնելը։ Ինչպես նախորդ առաջադրանքում. Առցանց տարբերակիչ սահմանաչափը մանրամասնորեն տարածում է իր ազդեցությունը հետազոտության ոլորտում ծրագրային վերլուծության հաջորդական ուսումնասիրության մաթեմատիկական տեսակետի վրա: Տեսության համատեքստում մաթեմատիկան ավելի բարձր բան է, քան պարզապես գիտությունը: Հավատարմությունը հաստատվում է գործողություններով: Անհնար է մնում միտումնավոր ընդհատել հաջորդական թվերի շղթան՝ սկսելով դրանց վերընթաց շարժումը, եթե սահմանը սխալ է հաշվարկված: Երկկողմանի մակերեսը բնական ձևով արտահայտված է լրիվ չափերով։ Մաթեմատիկական վերլուծություն ուսումնասիրելու հնարավորության համար ֆունկցիայի սահմանը ներառում է ֆունկցիոնալ շարքի հաջորդականությունը որպես էպսիլոն-հարևանություն տվյալ կետում: Ի տարբերություն ֆունկցիաների տեսության, հաշվարկների սխալները չեն բացառվում, բայց դա նախատեսված է իրավիճակով։ Բաժանելով առցանց խնդրի սահմանին` դուք կարող եք նկարել փոփոխական դիվերգենցիայի ֆունկցիա եռաչափ տարածության ոչ գծային համակարգի արագ արտադրյալի համար: Գործառույթի հիմքում ընկած է չնչին գործը։ Այս դեպքը վերլուծելու համար պետք չէ ուսանող լինել։ Ընթացիկ հաշվարկի պահերի հավաքածուն, ի սկզբանե, սահմանների լուծումը սահմանվում է որպես առաջընթացի ամբողջ ինտեգրալ համակարգի գործարկում օրդինատների առանցքի երկայնքով թվերի բազմաթիվ արժեքների վրա: Որպես բազային արժեք ընդունում ենք հնարավոր ամենափոքր մաթեմատիկական արժեքը։ Եզրակացությունն ակնհայտ է. Ինքնաթիռների միջև հեռավորությունը կօգնի ընդլայնել առցանց սահմանների տեսությունը, քանի որ նշանակության շրջանաձև բևեռային կողմի դիվերգենտ հաշվարկման մեթոդի կիրառումը բնածին նշանակություն չունի: Գերազանց ընտրություն, եթե սահմանաչափի հաշվիչը տեղադրված է սերվերի վրա, դա կարելի է ընդունել այնպես, ինչպես կա՝ առանց տարածքների մակերեսի փոփոխության նշանակությունը խեղաթյուրելու, հակառակ դեպքում գծայինության խնդիրն ավելի մեծ կլինի: Ամբողջական մաթեմատիկական վերլուծությունը բացահայտեց համակարգի անկայունությունը կետի ամենափոքր հարևանության տարածքում դրա նկարագրության հետ մեկտեղ: Որպես օրդինատների և աբսցիսների հատման առանցքի երկայնքով ֆունկցիայի ցանկացած սահման, հետազոտության գործընթացի ֆունկցիոնալության բաշխման առումով հնարավոր է ներառել առարկաների թվային արժեքները որոշակի նվազագույն հարևանությամբ: Եկեք կետ առ կետ գրենք առաջադրանքը: Գոյություն ունի գրության փուլերի բաժանում. Ակադեմիական պնդումները, որ իսկապես դժվար է կամ ընդհանրապես հեշտ չէ սահմանը հաշվարկելը, հաստատվում է առանց բացառության բոլոր բակալավրիատի և ասպիրանտների մաթեմատիկական հայացքների վերլուծությամբ: Հնարավոր միջանկյալ արդյունքները երկար սպասել չեն տա: Վերոնշյալ սահմանը առցանց մանրամասնորեն ուսումնասիրվում է օբյեկտների համակարգային տարբերության բացարձակ նվազագույնը, որից այն կողմ աղավաղված է մաթեմատիկայի տարածության գծայինությունը։ Տարածքի մեծ տարածքի սեգմենտավորումը չի օգտագործվում ուսանողների կողմից՝ առցանց հանման սահմանաչափը հաշվիչը գրելուց հետո մի քանի գործակիցներ հաշվարկելու համար: Սկզբից հետո մենք կարգելենք ուսանողներին վերանայել մաթեմատիկայի տարածական միջավայրի ուսումնասիրության առաջադրանքները։ Քանի որ մենք արդեն գտել ենք ֆունկցիայի սահմանը, ուրեմն եկեք հարթության վրա կառուցենք դրա ուսումնասիրության գրաֆիկը։ Ընտրեք օրդինատների առանցքները հատուկ գույնով և ցույց տվեք գծերի ուղղությունը։ Կա կայունություն. Պատասխանը գրելու ընթացքում անորոշությունը վաղուց է առկա։ Հաշվեք ֆունկցիայի սահմանը մի կետում՝ պարզապես սկզբնական պայմաններում վերլուծելով անսահմանության սահմանների միջև եղած տարբերությունը: Այս մեթոդը հայտնի չէ յուրաքանչյուր օգտագործողի համար: Մեզ պետք է մաթեմատիկական վերլուծություն։ Սահմանների որոշումը երկար տարիներ փորձ է կուտակում սերունդների մտքերում: Գործընթացը չբարդացնել հնարավոր չէ։ Բոլոր սերունդների ուսանողները պատասխանատու են դրա եզրակացության համար: Վերոհիշյալ բոլորը կարող են սկսել փոխվել՝ հաշվիչ ուժի տարբերության առումով սահմանային հաշվիչներից ետ մնալու որոշակի կետի շուրջ ֆունկցիաների դիրքի ամրագրման փաստարկի բացակայության դեպքում: Ստացված պատասխանը ստանալու համար կատարենք ֆունկցիայի ուսումնասիրություն։ Եզրակացությունն ակնհայտ չէ. Մաթեմատիկական արտահայտությունները վերափոխելուց հետո անուղղակիորեն սահմանված գործառույթները վերացնելով ընդհանուր թվից՝ մնում է վերջին քայլը՝ առցանց սահմանները ճիշտ և բարձր ճշգրտությամբ գտնելը: Այն դրվել է կայացված որոշման ընդունելիության ստուգման վրա։ Գործընթացը շարունակվում է։ Կողպեք հաջորդականությունը ֆունկցիաներից մեկուսացված և, օգտագործելով իրենց հսկայական փորձը, մաթեմատիկոսները պետք է հաշվարկեն ուսումնասիրության ճիշտ ուղղությունը հիմնավորելու սահմանը: Նման արդյունքը տեսական վերելքի կարիք չունի։ Փոխե՛ք աբսցիսայի վրա գտնվող ոչ զրոյական կետի որոշ հարևանությամբ թվերի հարաբերակցությունը մաթեմատիկայի գրավոր խնդրի ներքո թեքության առցանց փոփոխական տարածական անկյան նկատմամբ հաշվիչի սահմանաչափերի նկատմամբ: Եկեք միացնենք երկու տարածք տարածության մեջ: Լուծողների տարաձայնությունները այն մասին, թե ինչպես է ֆունկցիայի սահմանը ձեռք է բերում միակողմանի արժեքների հատկությունները տարածության մեջ, չեն կարող անտեսվել ուսանողների ուժեղացված վերահսկվող կատարումներով: Մաթեմատիկայի առցանց սահմանաչափի գիծը գրավել է ամենաքիչ վիճարկվող դիրքերից մեկը հենց այս սահմանների հաշվարկի անորոշության վերաբերյալ: Շրջանի երեք շառավիղ ունեցող հավասարաչափ եռանկյունների և խորանարդների բարձրության առցանց սահմանաչափի հաշվիչը կօգնի ուսանողին անգիր սովորել գիտության վաղ փուլում: Թողնենք ուսանողների խղճին ուսումնասիրության հարթության կողմից գործող մաթեմատիկական թուլացած համակարգի ուսումնասիրության սահմանները լուծելը: Թվերի տեսության վերաբերյալ ուսանողի տեսակետը միանշանակ չէ: Յուրաքանչյուրն ունի իր կարծիքը: Մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ճիշտ ուղղությունը կօգնի հաշվարկել սահմանը իրական իմաստով, ինչպես ընդունված է առաջադեմ երկրների համալսարաններում։ Մաթեմատիկայում կոտանգենսը հաշվարկվում է որպես սահմանային հաշվիչ և հանդիսանում է երկու այլ տարրական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ փաստարկի կոսինուսի և սինուսի հարաբերակցությունը։ Սա հատվածների կիսով չափ կրճատման լուծումն է։ Մեկ այլ մոտեցում դժվար թե իրավիճակը կարգավորի հօգուտ անցյալ պահի։ Երկար ժամանակ կարելի է ասել, թե ինչպես է առցանց սահմանաչափը շատ դժվար և անօգուտ է մանրակրկիտ լուծել առանց մտածելու, բայց այս մոտեցումը ձգտում է դեպի լավը ձևավորել ուսանողների ներքին կարգապահությունը:

Լուծում առցանց գործառույթների սահմանափակումներ... Գտե՛ք ֆունկցիայի կամ ֆունկցիոնալ հաջորդականության սահմանային արժեքը մի կետում, հաշվարկե՛ք վերջնականֆունկցիայի արժեքը անսահմանության վրա։ որոշեք թվերի սերիայի համընկնումը և շատ ավելին կարելի է անել մեր առցանց ծառայության շնորհիվ. Մենք թույլ ենք տալիս արագ և ճշգրիտ գտնել ձեր գործառույթների սահմանաչափերը առցանց: Դուք ինքներդ մուտքագրում եք ֆունկցիայի փոփոխականը և այն սահմանը, որին այն ձգտում է, մեր ծառայությունն անում է բոլոր հաշվարկները ձեր փոխարեն՝ տալով ճշգրիտ և պարզ պատասխան։ Եվ համար սահմանը գտնելով առցանցԴուք կարող եք մուտքագրել ինչպես թվային շարք, այնպես էլ բառացի հաստատուններ պարունակող վերլուծական ֆունկցիաներ: Այս դեպքում հայտնաբերված ֆունկցիայի սահմանը կպարունակի այս հաստատունները որպես հաստատուն արգումենտներ արտահայտության մեջ: Մեր ծառայությունը լուծում է գտնելու ցանկացած բարդ խնդիր սահմանափակումներ առցանց, բավական է նշել ֆունկցիան և այն կետը, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել գործառույթի սահմանաչափ... Հաշվարկելով սահմանափակումներ առցանց, դրանց լուծման համար կարող եք օգտագործել տարբեր մեթոդներ և կանոններ՝ միաժամանակ ստուգելով արդյունքը սահմանափակումների լուծում առցանց www.site-ում, որը կհանգեցնի առաջադրանքի հաջող ավարտին` դուք կխուսափեք ձեր սեփական սխալներից և սխալներից: Կամ կարող եք լիովին վստահել մեզ և օգտագործել մեր արդյունքը ձեր աշխատանքում՝ առանց լրացուցիչ ջանք ու ժամանակ ծախսելու ֆունկցիայի սահմանաչափի անկախ հաշվարկների վրա: Մենք թույլ ենք տալիս մուտք գործել այնպիսի սահմաններ, ինչպիսին է անսահմանությունը: Անհրաժեշտ է մուտքագրել թվային հաջորդականության ընդհանուր տերմինը և www.siteկհաշվարկի արժեքը սահմանափակում առցանցգումարած կամ մինուս անսահմանությամբ:

Մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից է գործառույթի սահմանաչափև հաջորդականության սահմանըմի կետում և անսահմանության մեջ կարևոր է ճիշտ լուծել կարողանալը սահմանները... Մեր ծառայության դեպքում դա դժվար չի լինի: Պատրաստված է լուծում սահմանափակումներ առցանցվայրկյանների ընթացքում պատասխանը ճշգրիտ է և ամբողջական: Հաշվի ուսումնասիրությունը սկսվում է անցում դեպի սահման, սահմաններըօգտագործվում են բարձրագույն մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ոլորտներում, ուստի օգտակար է ձեռքի տակ ունենալ սերվեր սահմանափակել լուծումները առցանց, որը կայքն է։

Գործառույթի սահմանաչափը անսահմանության դեպքում.
|զ (x) - ա |< ε при |x| >Ն

Կոշիի սահմանաչափի որոշում
Թող ֆունկցիան f (x)սահմանվում է անսահմանության կետի որոշ հարևանությամբ, | x |-ի համար > a թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանզ (x)քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անվերջություն (), եթե որևէ կամայականորեն փոքր դրական թվի համար > 0 , գոյություն ունի N ε թիվ > Կկախված ε-ից այնպես, որ բոլոր x, | x |-ի համար > N ε, ֆունկցիայի արժեքները պատկանում են a կետի ε - հարեւանությանը.
|զ (x) - ա |< ε .
Անսահմանության մեջ ֆունկցիայի սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Հաճախ օգտագործվում է նաև հետևյալ նշումը.
.

Գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.
Սա ենթադրում է, որ արժեքները գտնվում են ֆունկցիայի շրջանակում:

Միակողմանի սահմաններ

Ֆունկցիայի ձախ սահմանը անսահմանության վրա.
|զ (x) - ա |< ε при x < -N

Հաճախ լինում են դեպքեր, երբ ֆունկցիան սահմանվում է միայն x փոփոխականի դրական կամ բացասական արժեքների համար (ավելի ճիշտ՝ կետի մոտակայքում կամ): Բացի այդ, անսահմանության սահմանները դրական և բացասական x արժեքների համար կարող են ունենալ տարբեր արժեքներ: Այնուհետեւ օգտագործեք միակողմանի սահմաններ:

Ձախ սահմանը անսահմանության վրակամ սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է մինուս անսահմանության () սահմանվում է հետևյալ կերպ.
.
Աջ սահմանը անսահմանության վրակամ սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է գումարած անսահմանության ():
.
Անսահմանության միակողմանի սահմանները հաճախ նշվում են հետևյալ կերպ.
; .

Գործառույթի անսահման սահմանը անսահմանության մեջ

Գործառույթի անսահման սահմանը անսահմանության մեջ.
|զ (x) | > M-ի համար | x | > Ն

Անսահման սահմանի որոշումը ըստ Քոշիի
Թող ֆունկցիան f (x)սահմանվում է անսահմանության կետի որոշ հարևանությամբ, | x |-ի համար > K, որտեղ K-ն դրական թիվ է: Ֆ ֆունկցիայի սահմանը f (x)քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն (), հավասար է անսահմանությանըեթե որևէ կամայական մեծ թվի համար Մ > 0 , գոյություն ունի N M թիվը > Կկախված M-ից այնպես, որ բոլոր x, | x |-ի համար > N M, ֆունկցիայի արժեքները պատկանում են անսահմանության կետի հարևանությանը.
|զ (x) | > Մ.
Անսահման սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է դեպի անսահմանություն, նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի անսահման սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Նմանապես, ներկայացվում են որոշակի նշանների անսահման սահմանների սահմանումներ, որոնք հավասար են և.
.
.

Միակողմանի սահմանների սահմանումներ անսահմանության ժամանակ:
Ձախ սահմանները.
.
.
.
Ճիշտ սահմաններ.
.
.
.

Հայնեի ֆունկցիայի սահմանաչափի որոշում

Թող ֆունկցիան f (x)սահմանվում է x անսահմանության կետի ինչ-որ հարևանությամբ 0 որտեղ կամ կամ.
a թիվը (վերջավոր կամ անսահման հեռավոր) կոչվում է f ֆունկցիայի սահման (x) x կետում 0 :
,
եթե ինչ-որ հաջորդականությամբ (x n)համընկնում է x-ին 0 : ,
որի տարրերը պատկանում են հարևանությանը, հաջորդականությանը (f (x n))համընկնում է մի.
.

Եթե ​​որպես հարևանություն վերցնենք անսահման հեռավոր կետի հարևանությունը առանց նշանի, ապա մենք ստանում ենք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, քանի որ x-ը հակված է դեպի անսահմանություն,. Եթե ​​վերցնենք x անսահմանության կետի ձախակողմյան կամ աջակողմյան հարևանությունը 0 կամ, այնուհետև մենք ստանում ենք սահմանի սահմանումը, քանի որ x-ը հակված է համապատասխանաբար մինուս անսահմանության և գումարած անսահմանության:

Հայնեի և Քոշիի սահմանների սահմանումները համարժեք են։

Օրինակներ

Օրինակ 1

Օգտագործելով Քոշիի սահմանումը, ցույց տվեք դա
.

Ներկայացնենք նշումը.
.
Եկեք գտնենք ֆունկցիայի տիրույթը։ Քանի որ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են, ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր x-ի համար, բացառությամբ այն կետերի, որտեղ հայտարարը անհետանում է: Եկեք գտնենք այս կետերը: Մենք լուծում ենք քառակուսի հավասարումը. ;
.
Հավասարումների արմատները.
; .
Այդ ժամանակվանից և.
Հետևաբար ֆունկցիան սահմանվում է ժամը: Մենք դա կօգտագործենք ապագայում:

Եկեք գրենք անվերջության մեջ ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի սահմանումը ըստ Քոշիի.
.
Մենք փոխակերպում ենք տարբերությունը.
.
Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը և բազմապատկի՛ր -1 :
.

Թող լինի.
Հետո
;
;
;
.

Այսպիսով, մենք գտանք, որ
.
.
Այստեղից հետևում է, որ
ժամը, և.

Քանի որ դուք միշտ կարող եք ավելացնել, եկեք վերցնենք: Հետո ցանկացածի համար,
ժամը .
Դա նշանակում է որ .

Օրինակ 2

Թող լինի.
Օգտագործելով Քոշիի սահմանի սահմանումը, ցույց տվեք, որ.
1) ;
2) .

1) Լուծում, քանի որ x-ը հակված է մինուս անսահմանությանը

Քանի որ, ուրեմն ֆունկցիան սահմանված է բոլոր x-ի համար:
Եկեք գրենք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որը հավասար է մինուս անվերջությանը.
.

Թող լինի. Հետո
;
.

Այսպիսով, մենք գտանք, որ
.
Մուտքագրեք դրական թվեր և.
.
Հետևում է, որ ցանկացած դրական M թվի համար կա մի թիվ, ուստի՝
.

Դա նշանակում է որ .

2) Լուծումը, քանի որ x-ը հակված է գումարած անվերջությանը

Եկեք վերափոխենք սկզբնական ֆունկցիան։ Բազմապատկեք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը և կիրառեք քառակուսիների տարբերության բանաձևը.
.
Մենք ունենք:

.
Եկեք գրենք ֆունկցիայի ճիշտ սահմանի սահմանումը հետևյալի համար.
.

Ներկայացնենք նշումը.
Մենք փոխակերպում ենք տարբերությունը.
.
Բազմապատկեք համարիչը և հայտարարը հետևյալով.
.

Թող լինի
.
Հետո
;
.

Այսպիսով, մենք գտանք, որ
.
Մուտքագրեք դրական թվեր և.
.
Այստեղից հետևում է, որ
ժամը և.

Քանի որ սա ճիշտ է ցանկացած դրական թվի համար, ուրեմն
.

Հղումներ:
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1.Մոսկվա, 1983 թ.