Սահմանային տեսություն- մաթեմատիկական վերլուծության ճյուղերից մեկը, որին կարելի է տիրապետել, մյուսները դժվարությամբ են հաշվարկում սահմանները։ Սահմանները գտնելու հարցը բավականին ընդհանուր է, քանի որ կան տասնյակ հնարքներ։ լուծումների սահմաններըտարբեր տեսակների. Նույն սահմանները կարելի է գտնել ինչպես L'Hôpital-ի կանոնի համաձայն, այնպես էլ առանց դրա: Պատահում է, որ մի շարք անսահման փոքր գործառույթների ժամանակացույցը թույլ է տալիս արագ ստանալ ցանկալի արդյունքը: Կան մի շարք հնարքներ և հնարքներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել ցանկացած բարդության ֆունկցիայի սահմանը։ Այս հոդվածում մենք կփորձենք հասկանալ սահմանների հիմնական տեսակները, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են գործնականում: Այստեղ սահմանի տեսությունն ու սահմանումը չենք տա, ինտերնետում կան բազմաթիվ ռեսուրսներ, որտեղ այն ծամվում է։ Հետևաբար, եկեք իջնենք գործնական հաշվարկների, այստեղ է, որ «չգիտեմ, չգիտեմ ինչպես: Մեզ չեն սովորեցրել»:

Հաշվարկային սահմանափակումներ՝ օգտագործելով փոխարինումը

Օրինակ 1. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3):
Լուծում. Այս տեսակի օրինակները տեսականորեն հաշվարկվում են սովորական փոխարինմամբ

Սահմանաչափը 18/11 է։
Նման սահմաններում ոչ մի բարդ ու իմաստուն բան չկա՝ արժեքը փոխարինեցին, հաշվարկեցին, ի պատասխան սահմանը գրեցին։ Այնուամենայնիվ, նման սահմանների հիման վրա բոլորին սովորեցնում են, որ առաջին բանը, որ պետք է անել, արժեքը փոխարինել գործառույթով: Ավելին, սահմանները բարդ են, դրանք ներմուծում են անսահմանություն, անորոշություն և այլն:

Անսահմանության տիպի անորոշության հետ սահմանը բաժանեք անվերջության: Անորոշության բացահայտման տեխնիկա

Օրինակ 2. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = անսահմանություն):
Լուծում. Սահմանվում է բազմանդամի ձևի սահման, որը բաժանվում է բազմանդամի, և փոփոխականը ձգտում է դեպի անվերջություն։

Արժեքի պարզ փոխարինումը, որին պետք է գտնել փոփոխականը՝ սահմանները գտնելու համար, չի օգնի, մենք ստանում ենք անվերջության ձևի անորոշությունը՝ բաժանված անսահմանության վրա:
Քրտինքի սահմանի տեսություն Սահմանը հաշվելու ալգորիթմը համարիչում կամ հայտարարում «x»-ի ամենամեծ հզորությունը գտնելն է: Այնուհետև դրանով պարզեցվում են համարիչն ու հայտարարը և գտնվում է ֆունկցիայի սահմանը

Քանի որ արժեքը դեպի անսահմանություն փոփոխականով հակված է զրոյի, ապա դրանք անտեսվում են կամ վերջնական արտահայտության մեջ գրվում են զրոների տեսքով։

Անմիջապես պրակտիկայից դուք կարող եք ստանալ երկու եզրակացություն, որոնք ակնարկ են հաշվարկներում: Եթե ​​փոփոխականը հակված է դեպի անսահմանություն, իսկ համարիչի աստիճանն ավելի մեծ է, քան հայտարարի աստիճանը, ապա սահմանը հավասար է անվերջությանը։ Հակառակ դեպքում, եթե հայտարարի բազմանդամը ավելի բարձր կարգի է, քան համարիչում, սահմանը զրո է:
Սահմանաչափը կարելի է գրել հետևյալ բանաձևերով

Եթե ​​ունենք սովորական գերանի ձևի ֆունկցիա առանց կոտորակների, ապա դրա սահմանը հավասար է անսահմանության.

Սահմանի հաջորդ տեսակը վերաբերում է զրոյին մոտ ֆունկցիաների վարքին։

Օրինակ 3. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0):
Լուծում. Այստեղ բազմանդամի առաջատար գործակիցը չի պահանջվում հանել։ Ճիշտ հակառակը, անհրաժեշտ է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենափոքր աստիճանը և հաշվարկել սահմանը.

X արժեքը ^ 2; x-ը հակված է զրոյի, երբ փոփոխականը ձգտում է զրոյի, հետևաբար, դրանք անտեսվում են, հետևաբար մենք ստանում ենք

որ սահմանը 2.5 է։

Հիմա դու գիտես ինչպես գտնել ֆունկցիայի սահմանըԲազմանդամի ձևը, որը բաժանվում է բազմանդամի վրա, եթե փոփոխականը ձգտում է դեպի անսահմանություն կամ 0: Բայց սա օրինակների միայն փոքր և հեշտ մասն է: Հետևյալ նյութից դուք կսովորեք ինչպես բացահայտել ֆունկցիայի սահմանների անորոշությունները.

0/0 տիպի անորոշությամբ սահմանը և դրա հաշվարկման եղանակները

Անմիջապես բոլորը հիշում են այն կանոնը, ըստ որի անհնար է բաժանել զրոյի։ Այնուամենայնիվ, սահմանների տեսությունն այս համատեքստում նշանակում է անսահման փոքր ֆունկցիաներ:
Պարզության համար դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 4. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1):
Լուծում. x = -1 փոփոխականի արժեքը հայտարարի մեջ փոխարինելիս ստանում ենք զրո, նույն բանը, որ ստանում ենք համարիչում։ Այսպիսով, մենք ունենք 0/0 ձևի անորոշություն:
Նման անորոշության հետ գործ ունենալը պարզ է. անհրաժեշտ է բազմանդամը չափել, ավելի ճիշտ՝ ընտրել այն գործակիցը, որը ֆունկցիան դարձնում է զրո:

Քայքայվելուց հետո ֆունկցիայի սահմանը կարելի է գրել այսպես

Դա ֆունկցիայի սահմանաչափը հաշվարկելու ամբողջ տեխնիկան է: Նույնն ենք անում, եթե կա բազմանդամի ձևի սահման՝ բաժանված բազմանդամի վրա։

Օրինակ 5. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x = 2):
Լուծում. Փոխարինող փոխարինումը ցույց է տալիս
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ինչ ունենք անորոշության տեսակը 0/0.
Մենք բազմանդամները բաժանում ենք մի գործակցի, որը ներկայացնում է եզակիությունը


Կան ուսուցիչներ, որոնք սովորեցնում են, որ 2-րդ կարգի, այսինքն՝ «քառակուսի հավասարումներ» ձևի բազմանդամները պետք է լուծել դիսկրիմինանտի միջոցով։ Բայց իրական պրակտիկան ցույց է տալիս, որ այն ավելի երկար է և ավելի շփոթեցնող, այնպես որ ազատվեք նշված ալգորիթմի մեջ առկա հնարավորություններից: Այսպիսով, մենք ֆունկցիան գրում ենք պարզ գործակիցների տեսքով և թվարկում սահմանում

Ինչպես տեսնում եք, նման սահմանները հաշվարկելիս դժվար բան չկա: Սահմաններն ուսումնասիրելու պահին գիտես բազմանդամները բաժանել, համենայնդեպս ըստ ծրագրի պետք է արդեն անցած լինեիր։
համար առաջադրանքների շարքում անորոշության տեսակը 0/0կան այնպիսիք, որոնցում պետք է կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Բայց եթե դրանք չգիտեք, ապա բազմանդամը միանդամի վրա բաժանելով կարող եք ստանալ ցանկալի բանաձևը։

Օրինակ 6. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3):
Լուծում. Մենք ունենք 0/0 տիպի անորոշություն: Համարիչում մենք կիրառում ենք կրճատ բազմապատկման բանաձևը

և հաշվարկել պահանջվող սահմանը

Անորոշության բացահայտման մեթոդը բազմապատկելով խոնարհումով

Մեթոդը կիրառվում է այն սահմանների նկատմամբ, որոնցում իռացիոնալ ֆունկցիաները ստեղծվում են անորոշության պատճառով: Հաշվարկի կետում համարիչը կամ հայտարարը դառնում է զրո, և հայտնի չէ, թե ինչպես կարելի է գտնել եզրագիծը:

Օրինակ 7. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x = 2):
Լուծում:Մենք փոփոխականը ներկայացնում ենք սահմանային բանաձևում

Փոխարինումը տալիս է 0/0 տիպի անորոշություն:
Ըստ սահմանների տեսության՝ այս հատկանիշը շրջանցելու սխեման է իռացիոնալ արտահայտությունը խոնարհվածով բազմապատկել։ Որպեսզի արտահայտությունը չփոխվի, հայտարարը պետք է բաժանվի նույն արժեքով։

Քառակուսիների տարբերության կանոնով պարզեցնում ենք համարիչը և հաշվում ֆունկցիայի սահմանը

Մենք պարզեցնում ենք սահմաններում եզակիություն ստեղծող տերմինները և կատարում փոխարինումը

Օրինակ 8. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x = 3):
Լուծում. Փոխարինող փոխարինումը ցույց է տալիս, որ սահմանն ունի 0/0 ձևի հատկանիշ:

Ընդլայնվելու համար մենք բազմապատկում և բաժանում ենք համարիչին խոնարհվածով

Քառակուսիների տարբերությունը գրելը

Մենք պարզեցնում ենք այն տերմինները, որոնք ներկայացնում են եզակիությունը և գտնում ֆունկցիայի սահմանը

Օրինակ 9. Գտեք ֆունկցիայի սահմանը
Լիմ ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x = 2):
Լուծում. Բանաձևում փոխարինեք 2-ը

Մենք ստանում ենք անորոշություն 0/0.
Հայտարարը պետք է բազմապատկել խոնարհված արտահայտությամբ, իսկ համարիչում պետք է լուծել քառակուսի հավասարումը կամ այն ​​վերածել գործոնների` հաշվի առնելով եզակիությունը: Քանի որ հայտնի է, որ 2-ը արմատ է, մենք երկրորդ արմատը գտնում ենք Վիետայի թեորեմով

Այսպիսով, մենք գրում ենք համարիչը ձևի մեջ

և փոխարինել սահմանաչափով

Քառակուսիների տարբերությունը կրճատելով՝ մենք ազատվում ենք համարիչի և հայտարարի եզակիություններից.

Այսպիսով, դուք կարող եք ազատվել եզակիությունից բազմաթիվ օրինակներում, և կիրառումը պետք է նշել ամենուր, որտեղ տվյալ արմատային տարբերությունը փոխարինելուց հետո վերածվում է զրոյի։ Սահմանների այլ տեսակներ վերաբերում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներին, անվերջ փոքր ֆունկցիաներին, լոգարիթմներին, հատուկ սահմաններին և այլ տեխնիկայի: Բայց այս մասին կարող եք կարդալ ստորև թվարկված սահմանափակումների վերաբերյալ հոդվածներում:

Մշտական ​​թիվ ականչեց սահման հաջորդականություններ(x n) ցանկացած կամայականորեն փոքր դրական թվի դեպքումε > 0 կա N թիվ, որը բոլոր արժեքները x n, որի համար n> N-ը բավարարում է անհավասարությունը

|x n - ա |< ε. (6.1)

Գրում են հետևյալ կերպ՝ կամ x n →ա.

Անհավասարությունը (6.1) համարժեք է կրկնակի անհավասարությանը

ա- է< x n < a + ε, (6.2)

ինչը նշանակում է, որ միավորները x n, սկսած ինչ-որ n> N թվից, ընկած է միջակայքի ներսում (a-ε, a + ε ), այսինքն. ընկնել ցանկացած փոքրε - կետի հարևանությունը ա.

Այն հաջորդականությունը, որն ունի սահման, կոչվում է համընկնող, հակառակ դեպքում - շեղվող.

Ֆունկցիայի սահման հասկացությունը հաջորդականության սահման հասկացության ընդհանրացումն է, քանի որ հաջորդականության սահմանը կարելի է համարել որպես x n = f (n) ֆունկցիայի սահման ամբողջ թվային արգումենտի։ n.

Թող տրվի f (x) ֆունկցիան և թող ա - սահմանային կետայս ֆունկցիայի D (f) տիրույթը, այսինքն. կետ, որի ցանկացած հարևանություն պարունակում է D (f) բազմության կետեր, բացի ա... Կետ ակարող է պատկանել կամ չպատկանել D (զ) բազմությանը:

Սահմանում 1.Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f (x) ժամը x →a եթե ցանկացած հաջորդականության (x n) արգումենտի արժեքների համար, որոնք ուղղված են դեպի ա, համապատասխան հաջորդականությունները (f (x n)) ունեն նույն սահմանը A.

Այս սահմանումը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը ըստ Հայնեի,կամ " հաջորդականությունների լեզվով”.

Սահմանում 2... Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f (x) ժամը x →a եթե՝ նշելով կամայականորեն փոքր դրական ε, կարելի է գտնել այդպիսի δ> 0 (կախված ε), որը բոլորի համար xպառկածε- թվի հարևանություններ ա, այսինքն. համար xանհավասարությունը բավարարելով
0 < x-a< ε , f (x) ֆունկցիայի արժեքները կլինենε- A թվի հարևանությունը, այսինքն.|զ (x) -Ա |< ε.

Այս սահմանումը կոչվում է ֆունկցիայի Կոշիի սահմանի սահմանումը,կամ «Լեզվով ε - δ “.

1 և 2 սահմանումները համարժեք են: Եթե ​​f (x) ֆունկցիան որպես x →ա ունի սահմանհավասար է A-ին, սա գրվում է այսպես

. (6.3)

Այն դեպքում, երբ (f (x n)) հաջորդականությունը աճում է (կամ նվազում) անորոշ ժամանակով մոտարկման ցանկացած մեթոդի համար. xձեր սահմանին ա, ապա ասում ենք, որ f (x) ֆունկցիան ունի անվերջ սահման,և գրիր այն այսպես.

Այն փոփոխականը (այսինքն՝ հաջորդականություն կամ ֆունկցիա), որի սահմանը զրո է, կոչվում է անսահման փոքր արժեք.

Այն փոփոխականը, որի սահմանը անսահմանությունն է, կոչվում է անսահման մեծ.

Գործնականում սահմանը գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ թեորեմները.

Թեորեմ 1 ... Եթե ​​կա ամեն սահման

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Մեկնաբանություն... 0/0 նման արտահայտություններ, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - անորոշ են, օրինակ, երկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ քանակությունների հարաբերակցությունը, և նման սահման գտնելը կոչվում է «անորոշությունների բացահայտում»:

Թեորեմ 2. (6.7)

դրանք. դուք կարող եք գնալ աստիճանի հիմքում գտնվող սահմանին հաստատուն ցուցիչով, մասնավորապես. ;

(6.8)

(6.9)

Թեորեմ 3.

(6.10)

(6.11)

որտեղ ե » 2.7-ը բնական լոգարիթմի հիմքն է։ Բանաձևերը (6.10) և (6.11) կոչվում են առաջին հրաշալի սահմանև երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Գործնականում կիրառվում են նաև բանաձևի (6.11) հետևանքները.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

մասնավորապես սահմանը

Եթե ​​x → a և միաժամանակ x> a, ապա գրում են x→ a + 0. Եթե, մասնավորապես, a = 0, ապա 0 + 0 նշանի փոխարեն գրել +0։ Նմանապես, եթե x →ա և, ընդ որում, x ա-0. Թվերը և կոչվում են համապատասխանաբար սահմանը աջ կողմումև մնաց սահմանը գործառույթները f (x) կետում ա... Որպեսզի լինի f (x) ֆունկցիայի սահմանը որպես x →ա-ն անհրաժեշտ և բավարար է ... Կանչվում է f (x) ֆունկցիան շարունակական կետում x 0, եթե սահմանը

. (6.15)

Պայման (6.15) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

,

այսինքն՝ ֆունկցիայի նշանով անցումը դեպի սահման հնարավոր է, եթե այն շարունակական է տվյալ կետում։

Եթե ​​խախտվում է հավասարությունը (6.15), ապա ասվում է ժամը x = x o ֆունկցիան f (x) Այն ունի ընդմիջում.Դիտարկենք y = 1 / x ֆունկցիան: Այս ֆունկցիայի տիրույթը բազմությունն է Ռ, բացառությամբ x = 0-ի: x = 0 կետը D (f) բազմության սահմանային կետն է, քանի որ նրա ցանկացած հարևանությամբ, այսինքն. 0 կետ պարունակող ցանկացած բաց ինտերվալ պարունակում է կետեր D (f)-ից, բայց այն ինքնին չի պատկանում այս բազմությանը: F (x o) = f (0) արժեքը որոշված ​​չէ, ուստի ֆունկցիան ունի դադար x o = 0 կետում:

Կանչվում է f (x) ֆունկցիան շարունակական աջ կողմում կետում x o, եթե սահմանը

,

և կետում մնացել է շարունակական x o, եթե սահմանը

Գործառույթի շարունակականությունը մի կետում x oհամարժեք է դրա շարունակականությանը այս կետում և՛ աջից, և՛ ձախից:

Որպեսզի ֆունկցիան լինի շարունակական կետում x o, օրինակ, աջ կողմում անհրաժեշտ է, նախ, որ լինի վերջավոր սահման, և երկրորդը, որ այդ սահմանը հավասար լինի f (x o): Հետևաբար, եթե այս երկու պայմաններից գոնե մեկը չկատարվի, ապա ֆունկցիան կունենա դադար:

1. Եթե սահմանը գոյություն ունի և հավասար չէ f (x o-ին), ապա ասում են ֆունկցիան f (x) կետում x o ունի առաջին տեսակի ընդմիջում,կամ ցատկ.

2. Եթե սահմանն է+ ∞ կամ -∞ կամ գոյություն չունի, ապա ասում են, որ ներս կետ x o ֆունկցիան ունի բաց երկրորդ տեսակ.

Օրինակ, y = ctg x ֆունկցիան x-ի համար→ +0-ն ունի + ∞-ի հավասար սահման, հետևաբար, x = 0 կետում այն ​​ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում: Ֆունկցիա y = E (x) (ի ամբողջական մասն x) ամբողջ թվով աբսցիսներով կետերում ունի առաջին տեսակի ընդհատումներ կամ թռիչքներ:

Այն ֆունկցիան, որը շարունակական է միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, կոչվում է շարունակական v . Շարունակական ֆունկցիան ցուցադրվում է որպես ամուր կոր:

Ցանկացած քանակի շարունակական աճի հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ հանգեցնում են երկրորդ ուշագրավ սահմանին։ Այդպիսի խնդիրներն, օրինակ, ներառում են՝ բաղադրյալ տոկոսների օրենքի համաձայն ներդրման աճը, երկրի բնակչության աճը, ռադիոակտիվ նյութերի քայքայումը, բակտերիաների վերարտադրությունը և այլն։

Հաշվի առեք Ya.I.Perelman-ի օրինակթվի մեկնաբանություն տալով եբարդ տոկոսադրույքի խնդրի մեջ։ Թիվ եսահման կա ... Խնայբանկերում տարեկան տոկոսադրույքը ավելացվում է հիմնական կապիտալին: Եթե ​​կապն ավելի հաճախ է իրականացվում, ապա կապիտալն ավելի արագ է աճում, քանի որ տոկոսների ձևավորման մեջ մեծ քանակություն է ներգրավված։ Բերենք զուտ տեսական, խիստ պարզեցված օրինակ։ Թող բանկը 100 դեն դնի։ միավորներ տարեկան 100% դրույքաչափով։ Եթե ​​տոկոսագումարը կավելացվի հիմնական կապիտալին միայն մեկ տարի հետո, ապա մինչև այս օրը 100 դ. միավորներ կվերածվի 200 դրամական միավորի։ Հիմա տեսնենք, թե ինչ կվերածվի 100 դենի։ միավորներ, եթե յուրաքանչյուր վեց ամիսը մեկ հիմնական կապիտալին ավելացվում են տոկոսադրույքներ: Կես տարի հետո 100 դեն. միավորներ կաճի մինչև 100× 1,5 = 150, իսկ վեց ամիս անց՝ 150× 1,5 = 225 (դրամական միավոր): Եթե ​​կապը կատարվում է տարվա 1/3-ը մեկ, ապա տարուց հետո 100 դեն. միավորներ վերածվել 100-ի× (1 +1/3) 3" 237 (դրամական միավոր): Տոկոսաբեր փողերի միացման ժամկետները կավելացնենք մինչև 0,1 տարի, մինչև 0,01 տարի, մինչև 0,001 տարի և այլն։ Հետո 100 դենից. միավորներ մեկ տարի անց կստացվի.

100 × (1 +1/10) 10 «259 (դրամական միավոր),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (դրամական միավոր),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (դրամական միավոր):

Տոկոսների ամրագրման պայմանների անսահմանափակ կրճատման դեպքում հաշվեգրված կապիտալը չի ​​աճում անվերջ, այլ մոտենում է որոշակի սահմանի, որը հավասար է մոտավորապես 271-ի: Տարեկան 100% հատկացված կապիտալը չի ​​կարող աճել ավելի քան 2,71 անգամ, նույնիսկ եթե հաշվեգրվածը: տոկոսները յուրաքանչյուր վայրկյան ավելանում էին կապիտալին, քանի որ սահմանը

Օրինակ 3.1.Օգտագործելով թվային հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ x n = (n-1) / n հաջորդականությունն ունի 1-ի հավասար սահման:

Լուծում.Մենք պետք է ապացուցենք, որ ինչ էլ լինիε Մենք չենք վերցրել> 0, նրա համար կա այնպիսի բնական թիվ N, որ բոլոր n N-ի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.|x n -1 |< ε.

Վերցրեք ցանկացած e> 0. Քանի որ; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, ապա N գտնելու համար բավական է լուծել 1 / n անհավասարությունը.< ե. Ուստի n> 1 / e և, հետևաբար, N-ը կարող է ընդունվել որպես 1 /-ի ամբողջական մաս e, N = E (1 / e ): Մենք այսպիսով ապացուցեցինք, որ սահմանը.

Օրինակ 3.2 ... Գտի՛ր ընդհանուր անդամով տրված հաջորդականության սահմանը .

Լուծում.Մենք կիրառում ենք գումարի սահմանային թեորեմը և գտնում յուրաքանչյուր անդամի սահմանը։ Համար n→ ∞ Յուրաքանչյուր անդամի համարիչն ու հայտարարը ձգտում են դեպի անվերջություն, և մենք չենք կարող ուղղակիորեն կիրառել քանորդի սահմանային թեորեմը: Հետեւաբար, մենք առաջին հերթին փոխակերպում ենք x nառաջին անդամի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով n 2, իսկ երկրորդը վրա n... Այնուհետև, կիրառելով քանորդի սահմանը և գումարի սահմանային թեորեմը, մենք գտնում ենք.

.

Օրինակ 3.3. ... Գտնել.

Լուծում. .

Այստեղ մենք օգտագործել ենք աստիճանի սահմանի թեորեմը. աստիճանի սահմանը հավասար է բազային սահմանի աստիճանին։

Օրինակ 3.4 ... Գտնել ( ).

Լուծում.Սահմանային տարբերության թեորեմն անհնար է կիրառել, քանի որ ունենք ձևի անորոշություն ∞-∞ ... Մենք փոխակերպում ենք ընդհանուր անդամի բանաձևը.

.

Օրինակ 3.5 ... Տրված է f (x) = 2 1 / x ֆունկցիա: Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Եկեք օգտագործենք ֆունկցիայի սահմանի 1 սահմանումը հաջորդականությամբ: Վերցրեք մի հաջորդականություն (x n), որը համընկնում է 0-ի, այսինքն. Եկեք ցույց տանք, որ f (x n) = արժեքը տարբեր հաջորդականությունների համար տարբեր կերպ է վարվում: Թող x n = 1 / n: Ակնհայտ է, ապա սահմանը Եկեք հիմա ընտրենք որպես x nհաջորդականություն ընդհանուր տերմինով x n = -1 / n, որը նույնպես հակված է զրոյի: Հետեւաբար, սահման չկա:

Օրինակ 3.6 ... Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Թող x 1, x 2, ..., x n, ... լինի հաջորդականություն, որի համար
... Ինչպես է (f (x n)) = (sin x n) հաջորդականությունն իրեն պահում տարբեր x n → ∞

Եթե ​​x n = p n, ապա sin x n = մեղք p n = 0 բոլորի համար nիսկ սահմանը Եթե
x n = 2 p n + p / 2, ապա մեղք x n = մեղք (2 p n + p / 2) = մեղք p / 2 = 1 բոլորի համար nև հետևաբար սահմանը: Այսպիսով, այն գոյություն չունի:

Վիջեթ՝ առցանց սահմանաչափերի հաշվարկման համար

Վերին պատուհանում sin (x) / x-ի փոխարեն մուտքագրեք այն ֆունկցիան, որի սահմանը ցանկանում եք գտնել: Ներքևի պատուհանում մուտքագրեք այն թիվը, որին ձգտում է x-ը և սեղմեք Calcular կոճակը, ստացեք ցանկալի սահմանաչափը: Իսկ եթե արդյունքների պատուհանի վերին աջ անկյունում սեղմեք Ցույց տալ քայլերը, ապա մանրամասն լուծում կստանաք։

Ֆունկցիայի մուտքագրման կանոններ՝ sqrt (x) - քառակուսի արմատ, cbrt (x) - խորանարդ արմատ, exp (x) - ցուցիչ, ln (x) - բնական լոգարիթմ, sin (x) - սինուս, cos (x) - կոսինուս, թան (x) շոշափողն է, cot (x)-ը կոտանգենսն է, arcsin (x)-ը աղեղն է, arccos (x)-ը հակադարձ կոսինուսն է, արկտան (x)-ը արկտանգենսն է: Նշաններ՝ * բազմապատկում, / բաժանում, ^ աստիճանավորում, փոխարեն անսահմանությունԱնսահմանություն. Օրինակ՝ ֆունկցիան մուտքագրվում է այսպես sqrt (tan (x / 2)):

Սահմանափակումները մաթեմատիկայի բոլոր ուսանողներին շատ դժվարություններ են պատճառում: Սահմանը լուծելու համար երբեմն պետք է շատ հնարքներ գործածել և լուծման տարբեր մեթոդներից ընտրել հենց այն, ինչը հարմար է կոնկրետ օրինակի համար:

Այս հոդվածում մենք չենք օգնի ձեզ հասկանալ ձեր հնարավորությունների սահմանները կամ ըմբռնել վերահսկողության սահմանները, բայց մենք կփորձենք պատասխանել հարցին՝ ինչպե՞ս հասկանալ սահմանները բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ: Հասկանալը գալիս է փորձից, ուստի միևնույն ժամանակ մենք բացատրություններով սահմանները լուծելու մի քանի մանրամասն օրինակներ կտանք։

Սահմանի հայեցակարգը մաթեմատիկայի մեջ

Առաջին հարցը՝ ո՞րն է այս սահմանը և ո՞րն է սահմանը։ Կարելի է խոսել թվային հաջորդականությունների և ֆունկցիաների սահմանների մասին։ Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի սահմանի հայեցակարգը, քանի որ հենց նրանց հետ են առավել հաճախ հանդիպում ուսանողները: Բայց նախ, սահմանի ամենաընդհանուր սահմանումը.

Ենթադրենք, ինչ-որ փոփոխական կա: Եթե ​​փոփոխության գործընթացում այս արժեքը անսահմանորեն մոտենում է որոշակի թվի ա , ապա ա Այս արժեքի սահմանն է:

Որոշակի միջակայքում սահմանված ֆունկցիայի համար f (x) = y այդպիսի թիվը կոչվում է սահման Ա , որին ֆունկցիան հակված է Ն.Ս ձգտում է որոշակի կետի ա ... Կետ ա պատկանում է այն միջակայքին, որի վրա սահմանված է ֆունկցիան:

Ծանր է թվում, բայց շատ պարզ է գրել.

Լիմ- անգլերենից սահմանսահմանն է.

Սահմանի սահմանման համար կա նաև երկրաչափական բացատրություն, բայց այստեղ մենք չենք խորանա տեսության մեջ, քանի որ մեզ ավելի շատ հետաքրքրում է հարցի գործնական, քան տեսական կողմը։ Երբ մենք դա ասում ենք Ն.Ս ձգտում է դեպի ինչ-որ արժեք, սա նշանակում է, որ փոփոխականը չի ընդունում թվի արժեքը, այլ անսահման մոտ է դրան։

Բերենք կոնկրետ օրինակ. Խնդիրը սահմանը գտնելն է:

Այս օրինակը լուծելու համար փոխարինեք արժեքը x = 3 ֆունկցիայի մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Ի դեպ, եթե հետաքրքրված եք, կարդացեք այս թեմայով առանձին հոդված:

Օրինակներում Ն.Ս կարող է ձգտել ցանկացած արժեքի: Դա կարող է լինել ցանկացած թիվ կամ անսահմանություն: Ահա մի օրինակ, երբ Ն.Ս ձգտում է դեպի անսահմանություն.

Ինտուիտիվորեն պարզ է, որ որքան մեծ է թիվը հայտարարում, այնքան ավելի ցածր կլինի ֆունկցիան: Այսպիսով, անսահմանափակ աճով Ն.Ս իմաստը 1 / x կնվազի և կմոտենա զրոյին։

Ինչպես տեսնում եք, սահմանը լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ֆունկցիայի մեջ փոխարինել այն արժեքը, որին ձգտում եք Ն.Ս ... Այնուամենայնիվ, սա ամենապարզ դեպքն է։ Սահմանը գտնելը հաճախ այնքան էլ ակնհայտ չէ: Անորոշություններ, ինչպիսիք են 0/0 կամ անսահմանություն / անսահմանություն ... Ի՞նչ անել նման դեպքերում. Հնարքների դիմելու համար։

Անորոշություններ ներսում

Անսահմանություն / անսահմանություն ձևի անորոշություն

Թող լինի սահման.

Եթե ​​փորձենք անվերջությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ, ապա կստանանք անվերջություն և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում։ Ընդհանրապես, արժե ասել, որ նման անորոշությունները լուծելիս կա արվեստի որոշակի տարր. պետք է նշել, թե ինչպես կարելի է ֆունկցիան այնպես վերափոխել, որ անորոշությունը վերանա։ Մեր դեպքում համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք Ն.Ս ավագ աստիճանում։ Ինչ է կատարվում?

Արդեն վերը դիտարկված օրինակից մենք գիտենք, որ հայտարարի մեջ x պարունակող անդամները հակված են զրոյի: Այնուհետև սահմանի լուծումը հետևյալն է.

Բացահայտել այնպիսի անորոշություններ, ինչպիսիք են անսահմանություն / անսահմանությունհամարիչն ու հայտարարը բաժանիր Ն.Սամենաբարձր աստիճանի։

Իմիջայլոց! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ

Անորոշության մեկ այլ տեսակ՝ 0/0

Ինչպես միշտ, փոխարինում արժեքի ֆունկցիայի մեջ x = -1 տալիս է 0 համարիչի և հայտարարի մեջ։ Մի փոքր մոտիկից նայեք և կնկատեք, որ համարիչում ունենք քառակուսային հավասարում։ Գտի՛ր արմատները և գրի՛ր.

Եկեք կրճատենք և ստանանք.

Այսպիսով, եթե դուք բախվում եք նման անորոշության հետ 0/0 - հաշվի առեք համարիչը և հայտարարը:

Օրինակներ լուծելը ձեզ համար հեշտացնելու համար մենք տալիս ենք աղյուսակ՝ որոշ գործառույթների սահմաններով.

L'Hôpital-ի կանոնը ներսում

Երկու տեսակի անորոշությունը վերացնելու ևս մեկ հզոր տեխնիկա: Ո՞րն է մեթոդի էությունը:

Եթե ​​սահմանում կա անորոշություն, ապա վերցնում ենք համարիչի և հայտարարի ածանցյալը, մինչև անորոշությունը վերանա:

L'Hôpital-ի կանոնն ունի հետևյալ տեսքը.

Կարևոր կետ սահմանը, որում համարիչի և հայտարարի փոխարեն համարիչի և հայտարարի ածանցյալներն են, պետք է գոյություն ունենա:

Իսկ հիմա իրական օրինակի համար.

Տիպիկ անորոշություն 0/0 ... Վերցնենք համարիչի և հայտարարի ածանցյալները.

Voila, երկիմաստությունը լուծվում է արագ և էլեգանտ:

Հուսով ենք, որ դուք կարող եք օգտակար կիրառել այս տեղեկատվությունը գործնականում և գտնել «ինչպես լուծել սահմանները բարձրագույն մաթեմատիկայում» հարցի պատասխանը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հաջորդականության սահմանը կամ ֆունկցիայի սահմանը մի կետում, և այս աշխատանքի համար ժամանակ չկա «ընդհանրապես» բառից, արագ և մանրամասն լուծման համար դիմեք պրոֆեսիոնալ ուսանողական ծառայությանը:

Սահմանային տեսությունը մաթեմատիկական վերլուծության ճյուղերից է։ Սահմանների լուծման խնդիրը բավականին ընդարձակ է, քանի որ կան տարբեր տեսակի սահմանների լուծման տասնյակ մեթոդներ: Այս կամ այն ​​սահմանը լուծելու տասնյակ նրբերանգներ ու հնարքներ կան։ Այնուամենայնիվ, մենք դեռ կփորձենք հասկանալ սահմանների հիմնական տեսակները, որոնք առավել տարածված են գործնականում:

Սկսենք հենց սահմանի հայեցակարգից: Բայց նախ՝ համառոտ պատմական նախապատմություն։ 19-րդ դարում ապրում էր ֆրանսիացի Օգյուստին Լուի Կոշին, ով դրեց մաթեմատիկական վերլուծության հիմքերը և տվեց խիստ սահմանումներ, մասնավորապես սահմանի սահմանումը։ Պետք է ասեմ, որ նույն Քոշին երազում էր, երազում և երազում է մղձավանջի մեջ ֆիզիկամաթեմատիկական ֆակուլտետների բոլոր ուսանողների համար, քանի որ նա ապացուցեց մաթեմատիկական անալիզի հսկայական թվով թեորեմներ, և մի թեորեմն ավելի զզվելի է, քան մյուսը: Այս առումով մենք չենք դիտարկի սահմանի խիստ սահմանումը, այլ կփորձենք անել երկու բան.

1. Հասկացեք, թե ինչ է սահմանը:
2. Սովորեք գործ ունենալ սահմանների հիմնական տեսակների հետ:

Ներողություն եմ խնդրում որոշ հակագիտական ​​պարզաբանումների համար, կարեւոր է, որ նյութը հասկանալի լինի նույնիսկ թեյնիկի համար, ինչը, ըստ էության, նախագծի խնդիրն է։

Այսպիսով, ո՞րն է սահմանը:

Եվ միայն մի օրինակ, թե ինչու է տատիկը բրդոտ…

Ցանկացած սահման ունի երեք մաս:

1) Սահմանի հայտնի պատկերակը:
2) Սահմանի պատկերակի տակ գտնվող գրառումները, այս դեպքում: Մուտքում գրված է «x-ը ձգտում է մեկին»: Ամենից հաճախ՝ ճիշտ, չնայած «x»-ի փոխարեն գործնականում կան այլ փոփոխականներ։ Գործնական վարժություններում միավորի տեղում կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած թիվ, ինչպես նաև անսահմանություն ():
3) Գործառույթները սահմանային նշանի ներքո, տվյալ դեպքում.

Ձայնագրությունն ինքնին կարդում է այսպես՝ «գործառույթի սահմանը, երբ x-ը հակված է միասնության»։

Վերլուծենք հաջորդ կարևոր հարցը՝ ի՞նչ է նշանակում «x փնտրում էմեկին"? Իսկ ի՞նչ է այնուամենայնիվ «ձգտելը»։
Սահմանի հասկացությունը հասկացություն է, եթե կարող եմ այդպես ասել, դինամիկ... Կառուցենք հաջորդականություն՝ նախ, հետո,…, , ….
Այսինքն՝ «x փնտրում էմեկին «պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ -» x «հաջորդականորեն ընդունում է արժեքներ, որոնք անսահման մոտ են միասնությանը և գործնականում համընկնում են դրա հետ.

Ինչպե՞ս լուծել վերը նշված օրինակը: Ելնելով վերը նշվածից, դուք պարզապես պետք է փոխարինեք մեկը գործառույթում սահմանային նշանի տակ.

Այսպիսով, առաջին կանոնը. Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը միացնել ֆունկցիային.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ սահմանը, բայց նույնիսկ այդպիսիները պրակտիկայում են հանդիպում, ընդ որում՝ ոչ այնքան հազվադեպ։

Օրինակ անսահմանության հետ.

Հասկանալով, թե ինչ է դա: Սա այն դեպքն է, երբ այն մեծանում է անորոշ ժամանակով, այսինքն՝ նախ, հետո, հետո, հետո և այսպես շարունակ մինչև անսահմանություն։

Ի՞նչ է տեղի ունենում այս պահին ֆունկցիայի հետ:
, , , …

Այսպիսով, եթե, ապա ֆունկցիան հակված է մինուս անսահմանությանը:

Կոպիտ ասած, մեր առաջին կանոնի համաձայն՝ «x»-ի փոխարեն անսահմանությունը փոխարինում ենք ֆունկցիայի մեջ և ստանում պատասխանը։

Մեկ այլ օրինակ անսահմանության հետ.

Կրկին, մենք սկսում ենք աճել մինչև անսահմանություն և դիտել գործառույթի վարքագիծը.

Եզրակացություն՝ երբ ֆունկցիան անորոշ ժամանակով մեծանում է:

Եվ ևս մեկ օրինակների շարք.

Խնդրում ենք, փորձեք ինքներդ մտավոր վերլուծել հետևյալը և հիշեք սահմանափակումների ամենապարզ տեսակները.

, , , , , , , , ,
Եթե ​​ինչ-որ տեղ կասկածներ ունեք, կարող եք վերցնել հաշվիչը և մի փոքր պարապել։
Այն դեպքում, երբ փորձեք կառուցել հաջորդականություն,,. Եթե, ապա,,.

Նշում. Խիստ ասած՝ մի քանի թվերից հաջորդականությունների կառուցման հետ կապված այս մոտեցումը ճիշտ չէ, բայց միանգամայն հարմար է ամենապարզ օրինակները հասկանալու համար։

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալին. Եթե ​​նույնիսկ լիմիտը տրվի վերևում մեծ թվով, բայց նույնիսկ միլիոնով, ապա միևնույն է , քանի որ վաղ թե ուշ «X»-ը այնպիսի հսկա արժեքներ է ձեռք բերելու, որ դրանց համեմատ մեկ միլիոնը իսկական միկրոբ կլինի։

Ի՞նչ է պետք հիշել և հասկանալ վերը նշվածից:

1) Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք համարը միացնել ֆունկցիային:

2) Դուք պետք է հասկանաք և անմիջապես լուծեք ամենապարզ սահմանները, ինչպիսիք են , և այլն

Այժմ մենք կդիտարկենք սահմանների մի խումբ, երբ և ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչում և հայտարարում կան բազմանդամներ.

Օրինակ:

Հաշվարկել սահմանաչափը

Մեր կանոնի համաձայն՝ մենք կփորձենք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Ի՞նչ ենք մենք ստանում վերևում: Անսահմանություն. Իսկ ի՞նչ է կատարվում ստորև։ Նաև անսահմանություն։ Այսպիսով, մենք ունենք, այսպես կոչված, տեսակի անորոշություն: Կարելի է այդպես մտածել, և պատասխանը պատրաստ է, բայց ընդհանուր դեպքում դա ամենևին էլ այդպես չէ, և դուք պետք է կիրառեք լուծման որոշ տեխնիկա, որը մենք հիմա կքննարկենք:

Ինչպե՞ս լուծել տվյալ տեսակի սահմանները:

Նախ, մենք նայում ենք համարիչին և գտնում ենք ամենաբարձր հզորությամբ.

Համարիչի ամենաբարձր աստիճանը երկուսն է։

Այժմ մենք նայում ենք հայտարարին և նաև գտնում ենք ամենաբարձր հզորությամբ.

Հայտարարի ամենաբարձր հզորությունը երկուսն է:

Այնուհետև ընտրում ենք համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր հզորությունը. այս օրինակում դրանք նույնն են և հավասար են երկուսի:

Այսպիսով, լուծման մեթոդը հետևյալն է՝ անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենաբարձր հզորության վրա։

Այդպես է, պատասխանը, ոչ թե անսահմանությունը։

Ի՞նչն է սկզբունքորեն կարևոր լուծման նախագծման մեջ:

Նախ, մենք նշում ենք անորոշությունը, եթե առկա է:

Երկրորդ, նպատակահարմար է ընդհատել լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար: Ես սովորաբար օգտագործում եմ նշան, այն ոչ մի մաթեմատիկական նշանակություն չունի, այլ նշանակում է, որ լուծումն ընդհատվել է միջանկյալ բացատրության համար։

Երրորդ՝ սահմանի մեջ ցանկալի է նշել, թե ինչ է ձգտում և որտեղ։ Երբ աշխատանքն ավարտվում է ձեռքով, ավելի հարմար է դա անել այսպես.

Նշելու համար լավագույնն է օգտագործել պարզ մատիտ:

Իհարկե, սրանից ոչինչ չես կարող անել, բայց հետո, հավանաբար, ուսուցիչը նկատի լուծման թերությունները կամ կսկսի լրացուցիչ հարցեր տալ առաջադրանքի վերաբերյալ: Ձեզ դա պե՞տք է։

Օրինակ 2

Գտեք սահմանը
Կրկին, համարիչում և հայտարարում մենք գտնում ենք ամենաբարձր հզորությամբ.

Համարիչի առավելագույն աստիճանը՝ 3
Առավելագույն աստիճանը հայտարարում` 4
Մենք ընտրում ենք մեծագույնարժեքը, այս դեպքում չորս.
Մեր ալգորիթմի համաձայն՝ անորոշությունը բացահայտելու համար մենք համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք:
Առաջադրանքի ամբողջական ձևավորումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 3

Գտեք սահմանը
«x»-ի առավելագույն աստիճանը համարիչում՝ 2
«x»-ի առավելագույն աստիճանը հայտարարում՝ 1 (կարելի է գրել այսպես)
Անորոշությունը բացահայտելու համար համարիչը և հայտարարը բաժանեք: Մաքուր լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Ձայնագրելը նշանակում է ոչ թե բաժանում զրոյի (չես կարող բաժանել զրոյի), այլ բաժանում անվերջ փոքր թվով։

Այսպիսով, երբ բացահայտելով տեսակի անորոշությունը, մենք կարող ենք ստանալ վերջավոր թիվ, զրո կամ անսահմանություն։

Տիպի անորոշությամբ սահմանները և դրանց լուծման մեթոդը

Սահմանների հաջորդ խումբը ինչ-որ չափով նման է նոր դիտարկված սահմաններին. կան բազմանդամներ համարիչում և հայտարարում, բայց «x»-ն այլևս հակված չէ դեպի անսահմանություն, այլ դեպի անսահմանություն. վերջավոր թիվ.

Օրինակ 4

Լուծեք սահմանը
Նախ, եկեք փորձենք փոխարինել -1 կոտորակի մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է այսպես կոչված անորոշություն։

Ընդհանուր կանոնԵթե ​​համարիչում և հայտարարում կան բազմանդամներ, և կան ձևի անորոշություններ, ապա դրա բացահայտման համար. պետք է հաշվի առնել համարիչն ու հայտարարը.

Դա անելու համար ամենից հաճախ անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում և/կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Եթե ​​այս բաները մոռացվել են, ապա այցելեք էջը Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներև կարդալ ուսումնական նյութը Թեժ բանաձևեր դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթաց... Ի դեպ, ավելի լավ է տպել այն, դա շատ հաճախ է պահանջվում, և թղթից ստացված տեղեկատվությունը ավելի լավ է կլանում:

Այսպիսով, մենք որոշում ենք մեր սահմանը

Եկեք հաշվի առնենք համարիչը և հայտարարը

Համարիչը հաշվի առնելու համար անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարումը.

Նախ, մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Եվ դրա քառակուսի արմատը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը մեծ է, օրինակ 361, մենք օգտագործում ենք հաշվիչ, քառակուսի արմատի ֆունկցիան հասանելի է ամենապարզ հաշվիչի վրա:

! Եթե ​​արմատն ամբողջությամբ հանված չէ (ստորակետով կոտորակային թիվ է ստացվում), շատ հավանական է, որ դիսկրիմինանտը սխալ է հաշվարկվել կամ աշխատանքում տառասխալ կա։

Հաջորդը, մենք գտնում ենք արմատները.

Այսպիսով.

Ամեն ինչ. Համարիչն ընդլայնվել է։

Հայտարար. Հայտարարն արդեն ամենապարզ գործոնն է, և այն պարզեցնելու տարբերակ չկա։

Ակնհայտ է, որ այն կարող է կրճատվել հետևյալ կերպ.

Այժմ մենք փոխարինում ենք -1 արտահայտության մեջ, որը մնում է սահմանային նշանի տակ.

Բնականաբար, թեստի, թեստի մեջ, քննության մեջ որոշումը երբեք այդքան մանրամասն չի նկարագրվում։ Վերջնական տարբերակում դիզայնը պետք է նման լինի հետևյալին.

Դուրս բերեք համարիչը:

Օրինակ 5

Հաշվարկել սահմանաչափը

Նախ՝ «մաքուր» լուծում

Եկեք հաշվի առնենք համարիչը և հայտարարը:

Համարիչ:
Հայտարար:



,

Ի՞նչն է կարևոր այս օրինակում:
Նախ պետք է լավ հասկանալ, թե ինչպես է բացահայտվում համարիչը, նախ փակագծից դուրս հանեցինք 2-ը, հետո օգտագործեցինք քառակուսիների տարբերության բանաձևը։ Այս բանաձեւը պետք է իմանալ ու տեսնել։

Թեմա 4.6 Սահմանաչափերի հաշվարկ

Ֆունկցիայի սահմանը կախված չէ նրանից, թե արդյոք այն սահմանվում է սահմանային կետում, թե ոչ։ Բայց տարրական ֆունկցիաների սահմանները հաշվարկելու պրակտիկայում այս հանգամանքը էական է։

1. Եթե ֆունկցիան տարրական է, և եթե արգումենտի սահմանափակող արժեքը պատկանում է նրա սահմանման տիրույթին, ապա ֆունկցիայի սահմանի հաշվարկը կրճատվում է փաստարկի սահմանափակող արժեքի պարզ փոխարինման, քանի որ. f (x) տարրական ֆունկցիայի սահմանը ժամը x նպատակ ունենալովա , որը ներառված է սահմանման տիրույթում, հավասար է ֆունկցիայի որոշակի արժեքին x =-ում ա, այսինքն. lim f (x) = f ( ա) .

2. Եթե x-ը ձգտում է դեպի անսահմանությունկամ արգումենտը հակված է մի թվի, որը չի պատկանում ֆունկցիայի տիրույթին, ապա յուրաքանչյուր նման դեպքում ֆունկցիայի սահմանը գտնելը հատուկ ուսումնասիրություն է պահանջում։

Ստորև բերված են սահմանների հատկությունների վրա հիմնված ամենապարզ սահմանները, որոնք կարող են օգտագործվել որպես բանաձևեր.

Ֆունկցիայի սահմանը գտնելու ավելի բարդ դեպքեր.

յուրաքանչյուրը դիտարկվում է առանձին:

Այս բաժնում կներկայացվեն անորոշությունները բացահայտելու հիմնական ուղիները:

1. Այն դեպքը, երբ համար x նպատակ ունենալովա f (x) ֆունկցիան ներկայացնում է երկու անվերջ փոքր մեծությունների հարաբերակցությունը

ա) Նախ, դուք պետք է համոզվեք, որ ֆունկցիայի սահմանը հնարավոր չէ գտնել ուղղակի փոխարինմամբ, և փաստարկի նշված փոփոխությամբ այն ներկայացնում է երկու անվերջ փոքր մեծությունների հարաբերակցությունը: Փոխակերպումները կատարվում են կոտորակը չեղարկելու համար 0-ի հակում ունեցող գործակցով։ Համաձայն ֆունկցիայի սահմանի սահմանման՝ x արգումենտը հակված է իր սահմանային արժեքին՝ երբեք չհամընկնել դրա հետ։

Ընդհանուր առմամբ, եթե փնտրվում է ֆունկցիայի սահմանը x նպատակ ունենալովա , ապա պետք է հիշել, որ x-ը արժեքներ չի ընդունում ա, այսինքն. x-ը հավասար չէ a-ի:

բ) Կիրառված է Բեզուտի թեորեմը. Եթե ​​մենք փնտրում ենք կոտորակի սահման, որի համարիչն ու հայտարարը բազմանդամներ են, որոնք անհետանում են սահմանային կետում x = ա, ապա, ըստ վերը նշված թեորեմի, երկու բազմանդամներն էլ առանց մնացորդի բաժանվում են x-ի. ա.

գ) իռացիոնալությունը համարիչի կամ հայտարարի մեջ վերացվում է համարիչը կամ հայտարարը իռացիոնալ արտահայտության զուգակցմամբ բազմապատկելով, այնուհետև պարզեցնելուց հետո կոտորակը չեղարկվում է:

դ) Օգտագործված է առաջին ուշագրավ սահմանը (4.1):

ե) Մենք օգտագործում ենք անվերջ փոքր և հետևյալ անվերջ փոքր արժեքների համարժեքության թեորեմը.

2. Այն դեպքը, երբ ժամը x նպատակ ունենալովա f (x) ֆունկցիան ներկայացնում է երկու անսահման մեծ մեծությունների հարաբերակցությունը

ա) Կոտորակի համարիչի և հայտարարի բաժանումը անհայտի ամենաբարձր հզորության վրա.

բ) Ընդհանուր առմամբ, դուք կարող եք օգտագործել կանոնը

3. Այն դեպքը, երբ համար x նպատակ ունենալովա f (x) ֆունկցիան ներկայացնում է անսահման փոքր քանակի արտադրյալը անսահման մեծ քանակով

Կոտորակը վերածվում է այն ձևի, որի համարիչը և հայտարարը միաժամանակ հակված են դեպի 0 կամ դեպի անսահմանություն, այսինքն. 3-րդ դեպքը վերածվում է գործի 1-ի կամ դեպքի 2-ի:

4. Այն դեպքը, երբ ժամը x նպատակ ունենալովա f (x) ֆունկցիան ներկայացնում է երկու դրական անսահման մեծ մեծությունների տարբերությունը

Այս դեպքը կրճատվում է տիպի 1 կամ 2 հետևյալ եղանակներից մեկով.

ա) կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի.

բ) ֆունկցիայի փոխակերպումը կոտորակի ձևի.

գ) իռացիոնալությունից ազատվելը.

5. Այն դեպքը, երբ ժամը x նպատակ ունենալովա f (x) ֆունկցիան ներկայացնում է այն աստիճանը, որի հիմքը հակված է 1-ի, իսկ ցուցիչը՝ դեպի անվերջություն։

Ֆունկցիան փոխակերպվում է այնպես, որ օգտագործվի 2-րդ ուշագրավ սահմանը (4.2):

Օրինակ.Գտեք .

Որովհետեւ x-ը ձգտում է 3-ի, ապա կոտորակի համարիչը հակված է 3 2 +3 * 3 + 4 = 22 թվին, իսկ հայտարարը դեպի 3 + 8 = 11 թիվը։ Հետևաբար,

Օրինակ

Այստեղ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը at x ձգտում է 2-ինհակված է 0-ի (ձևի անորոշություն), մենք հաշվի ենք առնում համարիչն ու հայտարարը, ստանում ենք սահման (x-2) (x + 2) / (x-2) (x-5)

Օրինակ

Բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը համարիչին խոնարհված արտահայտությամբ՝ ունենք.

Ընդարձակեք համարիչի փակագծերը, ստանում ենք

Օրինակ

Մակարդակ 2. Օրինակ. Բերենք տնտեսական հաշվարկներում ֆունկցիայի սահման հասկացության կիրառման օրինակ։ Դիտարկենք տիպիկ ֆինանսական գործարք՝ գումարի վարկավորում Ս 0 պայմանով, որ որոշ ժամանակ անց Տգումարը կվերադարձվի Ս Թ... Եկեք սահմանենք արժեքը r հարաբերական աճբանաձեւը

r = (S T -S 0) / S 0 (1)

Հարաբերական աճը կարող է արտահայտվել որպես տոկոս՝ բազմապատկելով ստացված արժեքը r 100-ով։

Բանաձևից (1) հեշտ է որոշել արժեքը Ս Թ:

Ս Թ= Ս 0 (1 + r)

Մի քանի ամբողջական տարի ընդգրկող երկարաժամկետ վարկերի համար հաշվարկելիս օգտագործվում է բարդ տոկոսադրույքի սխեմա: Այն բաղկացած է նրանից, որ եթե 1-ին տարվա համար գումարը Ս 0-ն ավելանում է (1 + r) անգամ, ապա երկրորդ տարում (1 + r) անգամ ավելանում է գումարը Ս 1 = Ս 0 (1 + r), այն է Ս 2 = Ս 0 (1 + r) 2. Նմանապես, պարզվում է Ս 3 = Ս 0 (1 + r) 3. Բերված օրինակներից կարող եք ստանալ ընդհանուր բանաձև՝ գումարի աճը հաշվարկելու համար nտարիներ, երբ հաշվարկվում է ըստ բարդ տոկոսների սխեմայի.

Ս ն= Ս 0 (1 + r) n.

Ֆինանսական հաշվարկներում օգտագործվում են սխեմաներ, որտեղ բարդ տոկոսները գանձվում են տարին մի քանի անգամ: Միաժամանակ համաձայնեցված է տարեկան դրույքաչափը rև տարեկան վճարների քանակը կ... Որպես կանոն, գանձումները կատարվում են կանոնավոր պարբերականությամբ, այսինքն՝ յուրաքանչյուր ինտերվալի երկարությամբ Տ կտարվա մի մասն է։ Այնուհետև ժամկետի համար Տտարիներ (այստեղ Տպարտադիր չէ, որ ամբողջ թիվ) գումար Ս Թհաշվարկված բանաձևով

(2)

որտեղ է թվի այն ամբողջ մասը, որը համընկնում է հենց թվի հետ, եթե, օրինակ. Տ? ամբողջ թիվ.

Թող տարեկան դրույքաչափը լինի rև արտադրվել nտարեկան գանձումներ կանոնավոր պարբերականությամբ: Այնուհետև տարվա համար գումարը Ս 0-ն աճում է մինչև բանաձևով որոշված ​​արժեքը

(3)

Տեսական վերլուծության և ֆինանսական գործունեության պրակտիկայում հաճախ հանդիպում է «անընդհատ գանձվող տոկոսներ» հասկացությունը։ Անընդհատ հաշվարկվող տոկոսին անցնելու համար անհրաժեշտ է անորոշ ժամանակով ավելացնել թվերը (2) և (3) բանաձևերում. կև n(այսինքն՝ նպատակադրել կև nմինչև անսահմանություն) և հաշվարկիր, թե որ սահմանով են ֆունկցիաները Ս Թև Ս 1 . Մենք կիրառում ենք այս ընթացակարգը (3) բանաձևի համար.

Նկատի ունեցեք, որ գանգուր բրեկետների սահմանաչափը նույնն է, ինչ երկրորդ ուշագրավ սահմանը: Այստեղից հետևում է, որ տարեկան դրույքաչափով rշարունակական տոկոսով գումարը Ս 0-ը 1 տարում ավելացվում է արժեքի Ս 1 *, որը որոշվում է բանաձևից

Ս 1 * = Ս 0 e r (4)

Հիմա թող գումարը ՍՏրվում է 0 տոկոսով nտարին մեկ անգամ կանոնավոր պարբերականությամբ: Նշում ենք ր ետարեկան դրույքաչափը, որով տարեվերջին գումարը Ս 0-ը հասնում է արժեքի Ս 1 * բանաձևից (4): Այս դեպքում մենք կասենք, որ ր ե- սա տարեկան տոկոսադրույքը nտարին մեկ անգամ՝ տարեկան տոկոսին համարժեք rշարունակական հաշվեգրմամբ։Բանաձևից (3) մենք ստանում ենք

S * 1 = S 0 (1 + r e / n) n

Վերջին բանաձևի և (4) բանաձևի աջ կողմերը հավասարեցնելով վերջին բանաձևը դնելով Տ= 1, դուք կարող եք բխեցնել մեծությունների միջև կապը rև ր ե:

Այս բանաձեւերը լայնորեն կիրառվում են ֆինանսական հաշվարկներում։