Թվաբանական առաջընթացկոչվում է թվերի հաջորդականություն (առաջընթացի անդամներ)

Որում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նախորդից տարբերվում է նոր տերմինով, որը նաև կոչվում է քայլի կամ առաջընթացի տարբերություն.

Այսպիսով, սահմանելով առաջընթացի քայլը և դրա առաջին անդամը, կարող եք գտնել դրա ցանկացած տարր ըստ բանաձևի

Թվաբանական առաջընթացի հատկությունները

1) Թվաբանական առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդ թվից, առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամի թվաբանական միջինն է.

Ճիշտ է նաև հակառակը. Եթե ​​պրոգրեսիայի հարակից կենտ (զույգ) անդամների թվաբանական միջինը հավասար է նրանց միջև եղած տերմինին, ապա թվերի այս հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այս հայտարարությունը շատ հեշտ է դարձնում ցանկացած հաջորդականության ստուգումը:

Նաև, ըստ թվաբանական առաջընթացի հատկության, վերը նշված բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել հետևյալի վրա

Սա հեշտ է ստուգել, ​​եթե մենք դուրս գրենք պայմանները հավասար նշանի աջ կողմում

Այն հաճախ օգտագործվում է պրակտիկայում խնդիրներում հաշվարկները պարզեցնելու համար:

2) Թվաբանական առաջընթացի առաջին n անդամների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով

Լավ հիշեք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը, այն անփոխարինելի է հաշվարկների համար և բավականին տարածված է պարզ կյանքի իրավիճակներում։

3) Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ոչ թե ամբողջ գումարը, այլ հաջորդականության մի մասը, որը սկսվում է k-րդ անդամից, ապա օգտակար կլինի հետևյալ գումարի բանաձևը.

4) Գործնական հետաքրքրություն է ներկայացնում k-րդ թվից սկսած թվաբանական պրոգրեսիայի n անդամների գումարը գտնելը: Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը

Սա ավարտում է տեսական նյութը և անցնում գործնականում ընդհանուր խնդիրների լուծմանը:

Օրինակ 1. Գտե՛ք թվաբանական առաջընթացի քառասուներորդ անդամը 4; 7; ...

Լուծում:

Ըստ պայմանի՝ ունենք

Որոշեք առաջընթացի քայլը

Օգտագործելով հայտնի բանաձևը, մենք գտնում ենք առաջընթացի քառասուներորդ անդամը

Օրինակ 2. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է նրա երրորդ և յոթերորդ անդամներով։ Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը և տասը գումարը:

Լուծում:

Բանաձևերով դուրս գրենք առաջընթացի տրված տարրերը

Առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից, արդյունքում գտնում ենք առաջընթացի քայլը

Մենք գտնված արժեքը փոխարինում ենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ՝ թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը գտնելու համար

Մենք հաշվարկում ենք պրոգրեսիայի առաջին տասը անդամների գումարը

Առանց բարդ հաշվարկների օգտագործման՝ մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ արժեքները։

Օրինակ 3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է հայտարարի և նրա անդամներից մեկի կողմից: Գտե՛ք առաջընթացի առաջին անդամը, նրա 50 անդամների գումարը 50-ով սկսվող և առաջին 100-ի գումարը:

Լուծում:

Գրենք պրոգրեսիայի հարյուրերորդ տարրի բանաձևը

և գտիր առաջինը

Առաջինի հիման վրա մենք գտնում ենք առաջընթացի 50 տերմինը

Գտե՛ք առաջընթացի մասի գումարը

և առաջին 100-ի գումարը

Առաջընթացի ընդհանուր թիվը 250 է։

Օրինակ 4.

Գտեք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների թիվը, եթե.

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111:

Լուծում:

Հավասարումները գրում ենք առաջին անդամի և առաջընթացի քայլով և սահմանում դրանք

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք գումարի բանաձևով՝ գումարում անդամների թիվը որոշելու համար

Պարզեցումների կատարում

և լուծել քառակուսի հավասարումը

Խնդրի պայմանի համար հայտնաբերված երկու արժեքներից միայն 8 համարն է հարմար: Այսպիսով, առաջընթացի առաջին ութ անդամների գումարը 111 է։

Օրինակ 5.

Լուծե՛ք հավասարումը

1 + 3 + 5 + ... + x = 307:

Լուծում. Այս հավասարումը թվաբանական պրոգրեսիայի գումարն է: Եկեք դուրս գրենք դրա առաջին անդամը և գտնենք առաջընթացի տարբերությունը

Կամ թվաբանությունը դասավորված թվային հաջորդականության տեսակ է, որի հատկությունները ուսումնասիրվում են դպրոցական հանրահաշիվ դասընթացում։ Այս հոդվածում մանրամասն քննարկվում է այն հարցը, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը:

Ի՞նչ է այս առաջընթացը:

Նախքան հարցի քննարկմանը անցնելը (ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը), արժե հասկանալ, թե ինչ է քննարկվելու:

Իրական թվերի ցանկացած հաջորդականություն, որը ստացվում է յուրաքանչյուր նախորդ թվից ինչ-որ արժեք ավելացնելով (հանելով) կոչվում է հանրահաշվական (թվաբանական) պրոգրեսիա։ Այս սահմանումը, թարգմանված մաթեմատիկայի լեզվով, ունի հետևյալ ձևը.

Այստեղ i-ն a i շարքի տարրի հերթական թիվն է։ Այսպիսով, իմանալով ընդամենը մեկ սերմ, դուք հեշտությամբ կարող եք վերականգնել ամբողջ շարքը: Բանաձևում d պարամետրը կոչվում է առաջընթացի տարբերություն։

Հեշտությամբ կարելի է ցույց տալ, որ դիտարկվող թվերի շարքի համար գործում է հետևյալ հավասարությունը.

a n = a 1 + d * (n - 1):

Այսինքն՝ հերթականությամբ n-րդ տարրի արժեքը գտնելու համար առաջին a տարրին ավելացրե՛ք d տարբերությունը 1 n-1 անգամ։

Որքա՞ն է թվաբանական առաջընթացի գումարը՝ բանաձև

Նախքան նշված գումարի բանաձև տալը, արժե դիտարկել մի պարզ հատուկ դեպք. Հաշվի առնելով բնական թվերի առաջընթացը 1-ից մինչև 10, դուք պետք է գտնեք դրանց գումարը: Քանի որ պրոգրեսիայում (10) անդամները քիչ են, հնարավոր է խնդիրը լուծել առերես, այսինքն՝ հերթականությամբ ամփոփել բոլոր տարրերը։

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55:

Արժե հաշվի առնել մի հետաքրքիր բան. քանի որ յուրաքանչյուր անդամ հաջորդից տարբերվում է նույն արժեքով d = 1, ապա առաջինի տասներորդի, երկրորդի իններորդի և այլնի զույգ-զույգ գումարումը կտա նույն արդյունքը։ Իրոք.

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ինչպես տեսնում եք, այդ գումարներից ընդամենը 5-ն է, այսինքն՝ ուղիղ երկու անգամ պակաս, քան շարքի տարրերի թիվը։ Այնուհետև (5) գումարների թիվը բազմապատկելով յուրաքանչյուր գումարի արդյունքով (11), դուք կգաք առաջին օրինակում ստացված արդյունքին։

Եթե ​​ընդհանրացնենք այս պատճառաբանությունը, ապա կարող ենք գրել հետևյալ արտահայտությունը.

S n = n * (a 1 + a n) / 2:

Այս արտահայտությունը ցույց է տալիս, որ ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ անընդմեջ ամփոփել բոլոր տարրերը, բավական է իմանալ առաջին a 1-ի և վերջին a n-ի արժեքը, ինչպես նաև n տերմինների ընդհանուր թիվը։

Ենթադրվում է, որ Գաուսն առաջին անգամ մտածել է այս հավասարության մասին, երբ փնտրում էր իր դպրոցի ուսուցչի առաջադրած խնդրի լուծումը՝ գումարել առաջին 100 ամբողջ թվերը:

m-ից n տարրերի գումարը՝ բանաձև

Նախորդ պարբերությունում տրված բանաձևը պատասխան է տալիս այն հարցին, թե ինչպես կարելի է գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը (առաջին տարրերը), բայց հաճախ խնդիրներում անհրաժեշտ է լինում թվերի շարք ամփոփել պրոգրեսիայի մեջտեղում։ Ինչպե՞ս դա անել:

Այս հարցին պատասխանելու ամենահեշտ ձևը հետևյալ օրինակն է. թող անհրաժեշտ լինի գտնել m-րդ-ից n-րդ անդամների գումարը: Խնդիրը լուծելու համար պրոգրեսիայի m-ից n տրված հատվածը պետք է ներկայացվի նոր թվային շարքի տեսքով։ Այս ներկայացման մեջ a m անդամը կլինի առաջինը, իսկ a n-ը կլինի n- (m-1): Այս դեպքում, կիրառելով գումարի ստանդարտ բանաձևը, ստանում եք հետևյալ արտահայտությունը.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2:

Բանաձևերի օգտագործման օրինակ

Իմանալով, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթացի գումարը, արժե դիտարկել տրված բանաձևերի օգտագործման պարզ օրինակ:

Ստորև բերված է թվային հաջորդականություն, որտեղ դուք պետք է գտնեք դրա անդամների գումարը՝ սկսած 5-րդից և վերջացրած 12-րդով.

Տրված թվերը ցույց են տալիս, որ d տարբերությունը հավասար է 3-ի: Օգտագործելով n-րդ տարրի արտահայտությունը, կարող եք գտնել պրոգրեսիայի 5-րդ և 12-րդ անդամների արժեքները: Պարզվում է:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29:

Իմանալով դիտարկվող հանրահաշվական առաջընթացի ծայրերում գտնվող թվերի արժեքները, ինչպես նաև իմանալով, թե շարքում որ թվերն են նրանք զբաղեցնում, կարող եք օգտագործել նախորդ պարբերությունում ստացված գումարի բանաձևը: Կստացվի.

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148:

Հարկ է նշել, որ այս արժեքը կարելի էր տարբեր կերպ ստանալ. նախ՝ ստանդարտ բանաձևով գտեք առաջին 12 տարրերի գումարը, ապա նույն բանաձևով հաշվարկեք առաջին 4 տարրերի գումարը, ապա առաջին գումարից հանեք երկրորդը:

Օրինակ, հաջորդականությունը \ (2 \); \(5\); \(ութ\); \(տասնմեկ\); \ (14 \) ... թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (կարելի է ստանալ նախորդից՝ ավելացնելով եռյակ).

Այս առաջընթացում \ (d \) տարբերությունը դրական է (հավասար է \ (3 \)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Այնուամենայնիվ, \ (d \)-ը կարող է նաև բացասական լինել: Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \ (16 \); \(տասը\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... \ (d \) պրոգրեսիայի տարբերությունը հավասար է մինուս վեցի։

Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի քիչ կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է.

Թվաբանական առաջընթացի նշում

Առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով:

Առաջընթացը կազմող թվերը կոչվում են այն անդամներ(կամ տարրեր):

Նրանք նշվում են նույն տառով, ինչ թվաբանական պրոգրեսիան, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \ (a_n = \ ձախ \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ աջ \) \) բաղկացած է տարրերից \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) և այլն:

Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \ (a_n = \ ձախ \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ աջ \) \)

Խնդիրների լուծում թվաբանական առաջընթացի համար

Սկզբունքորեն, վերը նշված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի համար գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է \ (b_1 = 7; d = 4 \) պայմաններով: Գտեք \ (b_5 \):
Լուծում:

Պատասխան. \ (b_5 = 23 \)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \ (62; 49; 36 ... \) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը:
Լուծում:

	Մեզ տրված են հաջորդականության առաջին տարրերը և գիտենք, որ դա թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այսինքն՝ յուրաքանչյուր տարր նույն թվով տարբերվում է հարեւանից։ Պարզի՛ր, թե որն է՝ հանելով նախորդը հաջորդ տարրից՝ \ (d = 49-62 = -13 \):
	Այժմ մենք կարող ենք վերականգնել մեր առաջընթացը մեզ անհրաժեշտ (առաջին բացասական) տարրին:
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(-3\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական տարրեր. \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Գտե՛ք \ (x \) տառով նշված տարրի արժեքը:
Լուծում:

	\ (x \) գտնելու համար մենք պետք է իմանանք, թե հաջորդ տարրը որքանով է տարբերվում նախորդից, այլ կերպ ասած՝ առաջընթացի տարբերությունը։ Գտնենք այն երկու հայտնի հարևան տարրերից՝ \ (d = 12,5-10 = 2,5 \):
	Եվ հիմա մենք գտնում ենք ցանկալին առանց որևէ խնդիրների՝ \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \):
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(7,5\).

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը սահմանվում է հետևյալ պայմաններով. \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Գտեք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

Մենք պետք է գտնենք առաջընթացի առաջին վեց անդամների գումարը: Բայց մենք չգիտենք դրանց իմաստները, մեզ տրված է միայն առաջին տարրը։ Հետևաբար, նախ մենք հերթով հաշվում ենք արժեքները՝ օգտագործելով մեզ տրվածը. \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Եվ հաշվելով մեզ անհրաժեշտ վեց տարրերը՝ գտնում ենք դրանց գումարը։

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Ձեր փնտրած գումարը գտնվել է:

Պատասխան. \ (S_6 = 9 \):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացում \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:

Պատասխան. \ (d = 7 \):

Կարևոր թվաբանական առաջընթացի բանաձևեր

Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը, որ թվաբանական առաջընթացը թվերի շղթա է, և այս շղթայի յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը ստացվում է նույն թիվը նախորդին ավելացնելով (տարբերությունը. առաջընթացի մասին):

Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ շատ անհարմար է «գլխով» որոշելը։ Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \ (b_5 \), այլ երեք հարյուր ութսուն վեցերորդ \ (b_ (386) \): Ի՞նչ է դա, մենք \ (385 \) անգամ ավելացնում ենք չորս: Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը: Ձեզ տանջելու են հաշվել...

Ուստի նման դեպքերում նրանք «գլխով» չեն լուծում, այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձեւեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և առաջին անդամների \ (n \) գումարի բանաձևը։

Բանաձև \ (n \) - րդ անդամ. \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), որտեղ \ (a_1 \) առաջընթացի առաջին անդամն է;
\ (n \) - որոնվող տարրի համարը.
\ (a_n \) պրոգրեսիայի անդամ է \ (n \) թվով:

Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել առնվազն երեք հարյուրերորդը, նույնիսկ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինը և առաջընթացի տարբերությունը։

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացը սահմանվում է հետևյալ պայմաններով. \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \): Գտեք \ (b_ (246) \):
Լուծում:

Պատասխան. \ (բ_ (246) = 1850 \).

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը. \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), որտեղ

\ (a_n \) - վերջին ամփոփված ժամկետը;

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է \ (a_n = 3,4n-0,6 \) պայմաններով: Գտեք այս առաջընթացի առաջին \ (25 \) անդամների գումարը:
Լուծում:

\ (S_ (25) = \) \ (\ ֆրակ (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Առաջին քսանհինգ տարրերի գումարը հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք առաջին և քսանհինգերորդ անդամների արժեքը։ Մեր առաջընթացը տրվում է n-րդ անդամի բանաձևով՝ կախված նրա թվից (տես մանրամասները)։ Եկեք հաշվարկենք առաջին տարրը՝ փոխարինելով \ (n \) մեկով։
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		Այժմ մենք գտնում ենք քսանհինգերորդ անդամը՝ փոխարինելով քսանհինգը՝ \ (n \) փոխարեն։
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		Դե, հիմա մենք կարող ենք առանց խնդիրների հաշվարկել պահանջվող գումարը։
\ (S_ (25) = \) \ (\ ֆրակ (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ ֆրակ (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \ (S_ (25) = 1090 \):

Առաջին անդամների գումարի \ (n \) համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) \ (a_n \)-ի փոխարեն փոխարինեք \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) բանաձևը: Մենք ստանում ենք.

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը. \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), որտեղ

\ (S_n \) - առաջին տարրերի պահանջվող գումարը \ (n \);
\ (a_1 \) - առաջին ամփոփված տերմինը;
\ (d \) - առաջընթացի տարբերություն;
\ (n \) - գումարի տարրերի քանակը:

Օրինակ. Գտեք առաջին \ (33 \) - թվաբանական առաջընթացի նախկին անդամների գումարը. \ (17 \); \ (15,5 \); \(տասնչորս)…
Լուծում:

Պատասխան. \ (S_ (33) = - 231 \):

Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ

Այժմ դուք ունեք բոլոր անհրաժեշտ տեղեկությունները թվաբանական առաջընթացի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար: Մենք կամփոփենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է ոչ միայն կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)

Օրինակ (OGE): Գտե՛ք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18,7 \) ...
Լուծում:

\ (S_n = \) \ (\ ֆրակ (2a_1 + (n-1) դ) (2) \) \ (\ cdot n \)		Առաջադրանքը շատ նման է նախորդին. Մենք սկսում ենք նաև լուծել. նախ գտնում ենք \ (d \):
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		Այժմ մենք կփոխարինենք \ (d \) գումարի բանաձևում ... և այստեղ մի փոքր նրբերանգ է առաջանում. մենք չգիտենք \ (n \): Այսինքն՝ մենք չգիտենք, թե քանի տերմին պետք կլինի ավելացնել։ Ինչպե՞ս պարզել: Եկեք մտածենք. Մենք կդադարենք տարրեր ավելացնել, երբ հասնենք առաջին դրական տարրին: Այսինքն, դուք պետք է պարզեք այս տարրի թիվը: Ինչպե՞ս: Եկեք գրենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած տարրի հաշվարկման բանաձևը՝ \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) մեր դեպքի համար։
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Մեզ անհրաժեշտ է, որ \ (a_n \) լինի զրոյից մեծ: Եկեք պարզենք, թե ինչ \ (n \) դա տեղի կունենա:
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք \ (0,3 \) վրա։
\ (n-1> \) \ (\ ֆրակ (19,3) (0,3) \)		Տեղափոխեք մինուս մեկ՝ հիշելով փոխել նշանները
\ (n> \) \ (\ ֆրակ (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Մենք հաշվարկում ենք...
\ (n> 65,333 ... \)		... և ստացվում է, որ առաջին դրական տարրը կունենա \ (66 \) թիվը։ Համապատասխանաբար, վերջին բացասականն ունի \ (n = 65 \): Եկեք ստուգենք այն ամեն դեպքում:
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք առաջին \ (65 \) տարրերը:
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \ (S_ (65) = - 630,5 \):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը սահմանվում է հետևյալ պայմաններով. \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \): Գտեք \ (26 \)-րդից \ (42 \) տարրի գումարը ներառյալ:
Լուծում:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Այս խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է գտնել նաև տարրերի գումարը, բայց սկսած ոչ թե առաջինից, այլ \ (26 \) -րդից: Նման դեպքի համար մենք բանաձեւ չունենք. Ինչպե՞ս որոշել: Հեշտ - ստանալ գումարը \ (26 \)-րդից մինչև \ (42 \) - ախ, նախ պետք է գտնել \ (1 \) -րդից \ (42 \) - oh, ապա հանել գումարը: սկզբից մինչև \ (25 \) - րդ (տես նկարը):
	Մեր առաջընթացի համար \ (a_1 = -33 \), և \ (d = 4 \) տարբերության համար (ի վերջո, չորսն է, որը մենք ավելացնում ենք նախորդ տարրին՝ հաջորդը գտնելու համար): Իմանալով սա, մենք գտնում ենք առաջին \ (42 \) - yh տարրերի գումարը:
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ ֆրակ (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Այժմ առաջին \ (25 \) - ty տարրերի գումարը:
\ (S_ (25) = \) \ (\ ֆրակ (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ ֆրակ (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Ի վերջո, մենք հաշվարկում ենք պատասխանը.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Պատասխան. \ (S = 1683 \):

Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք հեշտությամբ գտնել դրանք:

Կարևոր նշումներ.
1. Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք քեշը: Ինչպես դա անել ձեր բրաուզերում, գրված է այստեղ.
2. Նախքան հոդվածը կարդալը, ուշադրություն դարձրեք մեր նավիգատորին ամենաօգտակար ռեսուրսի համար

Թվերի հաջորդականություն

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվերի հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է հաջորդականության միայն մեկ թվին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ մեկն է:
Թվով համարը կոչվում է հաջորդականության անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ինդեքսը հավասար է այս անդամի թվին.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Այս թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անվերջ թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որը զբաղեցրել են հին հույները։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդին, ավելացված նույն թվին։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն և նշվում է.

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական պրոգրեսիա և որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա՞ր: Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.
Է անթվաբանական առաջընթաց - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու ճանապարհը:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի թվի նախորդ արժեքին այնքան ժամանակ, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի րդ անդամը հավասար է.

2. Մեթոդ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել րդ անդամի արժեքը առաջընթացի մեջ: Գումարը մեզանից մեկ ժամից ավելի կխլի, և փաստ չէ, որ թվեր գումարելիս չենք սխալվի։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի միջոց, որով պետք չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ավելի ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ, դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝

Օրինակ, տեսնենք, թե ինչպես է ավելացվում այս թվաբանական առաջընթացի րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքներդ այս կերպ գտնել տվյալ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը:

Հաշվարկվե՞լ է: Համեմատեք ձեր նշումները պատասխանի հետ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդով, երբ մենք հաջորդաբար ավելացրեցինք թվաբանական առաջընթացի անդամները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը՝ այն կբերենք ընդհանուր ձևի և կստանանք.

Թվաբանական առաջընթացի հավասարում.

Թվաբանական առաջընթացները աճում են, երբեմն նվազում:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում անդամների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում անդամների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական առաջընթացի տերմինները և՛ աճող, և՛ նվազող տերմիններով հաշվարկելիս:
Եկեք ստուգենք դա գործնականում:
Մեզ տրված է հետևյալ թվերից բաղկացած թվաբանական պրոգրեսիա. Եկեք ստուգենք, թե որն է թվաբանական առաջընթացի րդ թիվը, եթե այն հաշվարկելու համար օգտագործենք մեր բանաձևը.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզվեցինք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ մեծացնող թվաբանական առաջընթացի մեջ:
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս թվաբանական առաջընթացի թվաբանական առաջընթացի րդ և րդ անդամները:

Համեմատենք ստացված արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը. մենք կբերենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը:
Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ, ասում ես և սկսում հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, a, ապա.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն։ Ընդունեք, որ հաշվարկներում սխալվելու հնարավորություն կա։
Հիմա մտածեք՝ հնարավո՞ր է այս խնդիրը լուծել մեկ գործողությամբ՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և հենց նա է, որ մենք հիմա կփորձենք հետ քաշվել։

Նշենք թվաբանական պրոգրեսիայի պահանջվող անդամը, քանի որ մենք գիտենք այն գտնելու բանաձևը. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, ապա՝

• Առաջընթացի նախորդ անդամն է.
• Առաջընթացի հաջորդ անդամն է.

Եկեք ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի կրկնապատկված արժեքն է։ Այլ կերպ ասած, հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով առաջընթացի անդամի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք գումարել և բաժանել։

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք շտկենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, քանի որ դա ամենևին էլ դժվար չէ։

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Սովորելու համար մնացել է միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, հեշտությամբ եզրակացրել է իր համար բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կարլ Գաուսը...

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, մի ուսուցիչ, որը ստուգում էր այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը, դասի ժամանակ տվեց հետևյալ առաջադրանքը. «Հաշվե՛ք բոլոր բնական թվերի գումարը մինչև (ըստ այլ աղբյուրների մինչև) ներառյալ»: Պատկերացրեք ուսուցչի զարմանքը, երբ նրա աշակերտներից մեկը (դա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպեում տվեց խնդրին ճիշտ պատասխանը, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց որոշակի օրինաչափություն, որը դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, ունենք թվաբանական պրոգրեսիա՝ բաղկացած -րդ անդամներից. Պետք է գտնել թվաբանական առաջընթացի տրված անդամների գումարը։ Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ինչ անել, եթե առաջադրանքում անհրաժեշտ է գտնել դրա անդամների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք գծենք տրված առաջընթաց. Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ։


Դուք փորձե՞լ եք այն: Ի՞նչ եք նկատել: Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա ասա ինձ, քանի՞ այդպիսի զույգ կա տվյալ առաջընթացում։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, և նմանատիպ հավասար զույգերը, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հետևյալն է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի հետևյալը.

Որոշ խնդիրների դեպքում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Գումարի բանաձևում փորձեք փոխարինել երրորդ անդամի բանաձևը:
Ինչ արեցիր?

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին տրված խնդրին. ինքդ հաշվի՛ր, թե որն է -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը, իսկ -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը գտավ, որ անդամների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը: Այդպե՞ս եք որոշել։

Փաստորեն, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռևս 3-րդ դարում, և այս ամբողջ ընթացքում սրամիտ մարդիկ օգտագործում էին թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունները հզոր և հիմնական:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսը և այն ժամանակվա ամենահավակնոտ շինհրապարակը` բուրգի կառուցումը... Նկարը ցույց է տալիս դրա մի կողմը:

Որտեղ է այստեղ առաջընթացը, դուք ասում եք: Ուշադիր նայեք և գտեք բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակի օրինակ:


Դա թվաբանական պրոգրեսիա չէ՞։ Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ՝ չեք հաշվի՝ մատով անցնելով մոնիտորի վրայով, հիշու՞մ եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին։

Այս դեպքում առաջընթացն այսպիսի տեսք ունի.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը.
Եկեք մեր տվյալները փոխարինենք վերջին բանաձևերով (հաշվենք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ հիմա դուք կարող եք հաշվարկել մոնիտորի վրա. համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ: Արդյո՞ք այն համախմբվել է: Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական առաջընթացի պայմանների գումարը։
Իհարկե, հիմքում գտնվող բլոկներից բուրգ չե՞ք կարող կառուցել, բայց դրանից: Փորձեք հաշվարկել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար:
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Մշակել

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան արդեն ամառ վիճակում է. Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Քանի՞ անգամ է Մաշան կծկվելու շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին մարզման ժամանակ նա սքվոտ է արել:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Գերանները պահեստավորելիս փայտահատները դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտը նախորդից մեկ գերան պակաս է պարունակում: Քանի գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե գերանները ծառայում են որպես որմնադրությանը հիմք:

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը. Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթ անց Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ կծկվի:

2. Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կեսն է, սակայն մենք կստուգենք այս փաստը՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի --րդ անդամը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Փոխարինեք առկա տվյալները բանաձևով.

   Պատասխան.Բոլոր կենտ թվերի գումարը, որը պարունակվում է, հավասար է.

3. Հիշենք բուրգի խնդիրը. Մեր դեպքում, ա, քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, ապա միայն մի փունջ շերտերով, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Եկեք ամփոփենք

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Այն կարող է լինել աճող և նվազող:
2. Բանաձևի որոնում-Թվաբանական առաջընթացի երրորդ անդամը գրվում է - բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը։

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒՄ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվերի հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց միշտ կարելի է ասել, թե որն է առաջինը, որն է երկրորդը, և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվերի հաջորդականությունթվերի մի շարք է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է վերագրել եզակի համար:

Այսինքն՝ յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ՝ միակ։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թվով համարը կոչվում է հաջորդականության անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ինդեքսը հավասար է այս անդամի թվին.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության տերմինը կարելի է տալ ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

նշում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը)։ Կամ (, տարբերություն):

N-րդ տերմինի բանաձևը

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որում երորդ անդամը պարզելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Նման բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող. Ապա.

Դե, հիմա ո՞րն է բանաձեւը։

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով։ Ինչի համար? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմար է, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին տերմինը հավասար է. Որն է տարբերությունը? Եվ ահա թե ինչ.

(դա այն պատճառով, որ այն կոչվում է տարբերություն, որը հավասար է առաջընթացի հաջորդական անդամների տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը հետևյալն է.

Այնուհետև հարյուրերորդ անդամը հետևյալն է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, լինելով 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և վերջինի գումարը նույնն է, վերջից երրորդի և երրորդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կլինի: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվն է. Յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդ թվին ավելացնելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամով և տարբերությամբ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը հետևյալն է.

Քանի՞ անդամ կա առաջընթացի մեջ, եթե բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը վազում է ավելի շատ մ, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր նա կվազի շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ կիլոմետր է քշում, քան նախորդը։ Առաջին օրը նա քշեց կմ. Քանի՞ օր է նրան պետք ճանապարհ անցնել կմ-ն անցնելու համար։ Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա ճանապարհորդության վերջին օրը։
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույնքան նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքան է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի է հանվել, ապա վեց տարի անց այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Տրված է այստեղ՝ անհրաժեշտ է գտնել։
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդրին.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանն է.
   Հաշվարկենք վերջին օրվա անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով եռամսյակի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի հեշտ չէր կարող լինել.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒՄ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը։

Թվաբանական առաջընթացը կարող է լինել աճող () և նվազող ():

Օրինակ:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրված է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն թույլ է տալիս հեշտությամբ գտնել պրոգրեսիայի անդամ, եթե հայտնի են նրա հարևան անդամները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Դե, թեման ավարտված է։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ապա դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդում ես մինչև վերջ, ուրեմն դու այդ 5%-ի մեջ ես։

Հիմա գալիս է ամենակարևորը.

Դուք հասկացաք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկին, սա ... դա պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Քննությունը հաջող հանձնելու, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու և, ԱՄԵՆԱԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Լավ կրթություն ստացած մարդիկ շատ ավելի շատ են վաստակում, քան չստացածները։ Սրանք վիճակագրություն են։

Բայց սա էլ չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ նրանց համար շատ ավելի շատ հնարավորություններ կան, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: Չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննության ժամանակ մյուսներից վստահ լինելու համար և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ԼՈՒԾԵՔ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ:

Քննության ժամանակ ձեզնից տեսություն չեն պահանջվի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի որոշ ժամանակ լուծել խնդիրները.

Եվ, եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), Դուք, անշուշտ, հիմար սխալմամբ ինչ-որ տեղ կգնաք կամ պարզապես ժամանակին չեք հասնի:

Դա նման է սպորտի. դուք պետք է կրկնեք դա անընդհատ, որպեսզի անպայման հաղթեք:

Գտեք հավաքածու, որտեղ ցանկանում եք, անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծությամբև որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (ըստ ցանկության), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեր ձեռքը լցնելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը դուք ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Կիսեք բոլոր թաքնված առաջադրանքները այս հոդվածում.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնել դասագիրք - 499 ռուբլի

Այո, մենք ունենք 99 նման հոդված մեր դասագրքում, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է միանգամից բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացվածը» և «Ես կարողանում եմ լուծել» բոլորովին տարբեր հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ

Տեսական տեղեկատվություն

Տեսական տեղեկատվություն

	Թվաբանական առաջընթաց	Երկրաչափական առաջընթաց
Սահմանում	Թվաբանական առաջընթաց a nկոչվում է հաջորդականություն, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվով ավելացված նախորդ անդամին. դ (դ- առաջընթացների տարբերություն)	Երկրաչափական առաջընթաց b nոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (քառաջընթացի հայտարարն է)
Կրկնվող բանաձեւ	Ցանկացած բնականի համար n a n + 1 = a n + d	Ցանկացած բնականի համար n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
N-րդ տերմինի բանաձևը	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Բնութագրական հատկություն
n-առաջին անդամների գումարը

Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով

Վարժություն 1

Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2

n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ

Ըստ պայմանի.

ա 1= -6, ուրեմն ա 22= -6 + 21 դ.

Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.

դ = ա 2 - ա 1 = -8 – (-6) = -2

ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Պատասխան. ա 22 = -48.

Առաջադրանք 2

Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6; ....

1-ին ճանապարհ (օգտագործելով n-տերմինի բանաձևը)

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Որովհետեւ բ 1 = -3,

2-րդ ճանապարհ (կրկնվող բանաձևի օգտագործմամբ)

Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.

բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Պատասխան. բ 5 = -48.

Առաջադրանք 3

Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժդ) 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:

Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն է .

Հետևաբար.

.

Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.

Պատասխան՝ 95։

Առաջադրանք 4

Թվաբանական առաջընթացով ( a n) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n տերմինների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.

.

Դրանցից որն է ավելի հարմար օգտագործել այս դեպքում:

Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Դուք կարող եք անմիջապես գտնել եւ ա 1, և ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք կօգտագործենք առաջին բանաձեւը.

Պատասխան՝ 368։

Առաջադրանք 5

Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտի՛ր առաջընթացի քսաներկրորդ անդամը:

n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.

ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.

Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21դ. Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.

դ = ա 2 - ա 1 = -8 – (-6) = -2

ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Պատասխան. ա 22 = -48.

Առաջադրանք 6

Երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ գրված են.

Գտե՛ք եզրը x տառով նշված պրոգրեսիայի մեջ:

Լուծելիս օգտագործում ենք n-րդ անդամի բանաձևը b n = b 1 ∙ q n - 1երկրաչափական առաջընթացների համար. Առաջընթացի առաջին անդամը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի տրված անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում կարող եք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք q = 3: Բանաձևում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 3-ով, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայով տրված երրորդ անդամը:

Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

.

Պատասխան.

Առաջադրանք 7

n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը ա 27 > 9:

Քանի որ տվյալ պայմանը պետք է կատարվի պրոգրեսիայի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը։ 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.

.

Պատասխան՝ 4.

Առաջադրանք 8

Թվաբանական առաջընթացի մեջ ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք ամենամեծ n արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունը a n > -6.