Taylor-Reihe, Quadratwurzel. Potenzreihen, ihre Konvergenz, Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen

Studenten der höheren Mathematik sollten wissen, dass die Summe einer bestimmten Potenzreihe, die zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehört, eine stetige und unendlich oft differenzierte Funktion ist. Es stellt sich die Frage: Kann man behaupten, dass eine gegebene beliebige Funktion f (x) die Summe einer bestimmten Potenzreihe ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann f-ija f (x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung einer solchen Frage liegt darin, dass es möglich ist, das f-yu f (x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme der Potenzreihe, also durch ein Polynom, zu ersetzen. Dieses Ersetzen einer Funktion durch einen ziemlich einfachen Ausdruck - ein Polynom - ist auch bei der Lösung einiger Probleme praktisch, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Rechnen usw.

Es ist bewiesen, dass für einige fu und f (x), in denen es möglich ist, die Ableitungen bis zur (n + 1)-ten Ordnung, einschließlich der letzteren, in der Umgebung (α - R; x 0 + R) zu berechnen von einem Punkt x = α ist es gültige Formel:

Diese Formel trägt den Namen des berühmten Wissenschaftlers Brook Taylor. Die Reihe, die aus der vorherigen erhalten wird, wird als Maclaurin-Reihe bezeichnet:

Die Regel, die es ermöglicht, die Erweiterung in der Maclaurin-Reihe durchzuführen:

1. Bestimmen Sie die Ableitungen der ersten, zweiten, dritten ... Ordnung.
2. Berechnen Sie, was die Ableitungen bei x = 0 gleich sind.
3. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion auf und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
4. Bestimmen Sie das Intervall (-R; R), in dem der Restteil der Maclaurin-Formel

R n (x) -> 0 als n -> unendlich. Falls eine solche existiert, muss darin die Funktion f (x) mit der Summe der Maclaurin-Reihen übereinstimmen.

Betrachten wir nun die Maclaurin-Reihe für einzelne Funktionen.

1. Das erste wird also f (x) = e x sein. Natürlich hat eine solche Funktion aufgrund ihrer Eigenschaften Ableitungen verschiedener Ordnungen und f (k) (x) = e x, wobei k gleich allen ist. Setze x = 0 ein. Wir erhalten f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Basierend auf dem Obigen sieht die Zeile e x so aus:

2. Maclaurin-Reihe für die Funktion f (x) = sin x. Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die f-s für alle Unbekannten Ableitungen haben werden, außer f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), wobei k gleich einer natürlichen Zahl ist. Das heißt, wenn wir einfache Berechnungen durchführen, können wir zu dem Schluss kommen dass die Reihe für f (x) = sin x diese Form hat:

3. Versuchen wir nun, f-yu f (x) = cos x zu betrachten. Für alle Unbekannten hat sie Ableitungen beliebiger Ordnung, und |f (k) (x) | = |cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Wir haben also die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die zu einer Maclaurin-Reihe erweitert werden können, jedoch werden sie für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auch auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass die Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Bestandteil des Workshops zum Lösen von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also, die Taylor-Ränge.

1. Die erste wird die Reihe für f-ii f (x) = ln (1 + x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir für ein gegebenes f (x) = ln (1 + x) eine Reihe in der allgemeinen Form der Maclaurin-Reihe hinzufügen. die Maclaurin-Reihe kann jedoch für diese Funktion viel einfacher erhalten werden. Nachdem wir eine bestimmte geometrische Reihe integriert haben, erhalten wir eine Reihe für f (x) = ln (1 + x) einer solchen Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel abschließend sein wird, ist die Reihe für f (x) = arctan x. Für x, die zum Intervall [-1; 1] gehören, gilt die Zerlegung:

Das ist alles. Dieser Artikel untersucht die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere in den Wirtschaftswissenschaften und an technischen Universitäten.

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Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel erstellt, die konsistent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jede dieser Zeiten wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion des Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit Seite 1 wird durch Ebenen parallel zu seinen Flächen in 27 gleiche Würfel geteilt. Ein zentraler Würfel und 6 benachbarte Würfel werden daraus entfernt. Das Ergebnis ist ein Set bestehend aus den restlichen 20 kleineren Würfeln. Wenn wir mit jedem dieser Würfel dasselbe tun, erhalten wir ein Set, das bereits aus 400 kleineren Würfeln besteht. Wenn wir diesen Prozess endlos fortsetzen, erhalten wir einen Menger-Schwamm.

Unter den Funktionsreihen nehmen die Potenzreihen den wichtigsten Platz ein.

Die Reihe wird Potenzreihe genannt

deren Terme Potenzfunktionen sind, die in aufsteigenden ganzzahligen nichtnegativen Potenzen angeordnet sind x, ein C0 , C 1 , C 2 , C n - konstante Werte. Die Zahlen C1 , C 2 , C n - die Koeffizienten der Mitglieder der Reihe, C0 - Freies Mitglied. Die Mitglieder der Potenzreihe werden auf dem ganzen Zahlenstrahl definiert.

Machen wir uns mit dem Konzept vertraut Konvergenzbereich der Potenzreihe. Dies ist der Satz von Variablenwerten x für die die Reihe konvergiert. Potenzreihen haben einen relativ einfachen Konvergenzbereich. Für reelle Werte der Variablen x der Konvergenzbereich besteht entweder aus einem Punkt oder ist ein Intervall (Konvergenzintervall) oder fällt mit der gesamten Achse zusammen Ochse .

Bei Substitution in einer Potenzreihe sind die Werte x= 0 erhältst du eine Zahlenreihe

C0 +0+0+...+0+... ,

die zusammenläuft.

Daher für x= 0 jede Potenzreihe konvergiert und daher sein Konvergenzbereich kann nicht leer sein. Die Struktur des Konvergenzbereichs aller Potenzreihen ist gleich. Sie lässt sich mit dem folgenden Theorem herstellen.

Satz 1 (Satz von Abel)... Konvergiert die Potenzreihe für einen Wert x = x 0 ungleich Null, dann konvergiert sie, und zwar absolut für alle Werte |x| < |x 0 | ... Achtung: Sowohl der Startwert "x ist Null" als auch ein beliebiger Wert von "x", der mit dem Startwert verglichen wird, werden modulo - ohne Berücksichtigung des Vorzeichens - berücksichtigt.

Folge. Wenn Potenzreihe divergiert zu einem gewissen Wert x = x 1 , dann divergiert es für alle Werte |x| > |x 1 | .

Wie wir bereits herausgefunden haben, konvergiert jede Potenzreihe um den Wert x= 0. Es gibt Potenzreihen, die nur für . konvergieren x= 0 und divergieren für andere Werte NS... Wenn wir diesen Fall aus der Betrachtung eliminieren, nehmen wir an, dass die Potenzreihe für einen Wert . konvergiert x = x 0 ungleich null. Dann konvergiert es nach dem Satz von Abel an allen Punkten des Intervalls] - | x0 |, |x 0 |[ (das Intervall, dessen linke und rechte Grenze die x-Werte sind, bei denen die Potenzreihe konvergiert, jeweils mit Minus- und Pluszeichen), symmetrisch zum Ursprung.

Wenn die Potenzreihe bei einem bestimmten Wert divergiert x = x 1 , dann divergiert sie nach dem Korollar zum Satz von Abel auch an allen Punkten außerhalb des Segments [- | x1 |, |x 1 |] ... Daraus folgt, dass es für jede Potenzreihe ein um den Ursprung symmetrisches Intervall gibt, genannt Konvergenzintervall , an jedem Punkt, an dem die Reihe konvergiert, an den Rändern kann sie konvergieren und divergieren, und zwar nicht notwendigerweise gleichzeitig, aber außerhalb des Segments divergiert die Reihe. Nummer R heißt Konvergenzradius der Potenzreihe.

In besonderen Fällen Konvergenzintervall der Potenzreihen zu einem Punkt entarten kann (dann konvergiert die Reihe nur für x= 0 und es wird angenommen, dass R= 0) oder den gesamten Zahlenstrahl darstellen (dann konvergiert die Reihe an allen Punkten des Zahlenstrahls und es wird davon ausgegangen).

Die Definition des Konvergenzbereichs einer Potenzreihe besteht also in der Definition ihrer Konvergenzradius R und das Studium der Konvergenz der Reihe an den Grenzen des Konvergenzintervalls (at).

Satz 2. Wenn alle Koeffizienten der Potenzreihe, beginnend mit einer, von Null verschieden sind, ist ihr Konvergenzradius gleich der Grenze im Verhältnis der Absolutwerte der Koeffizienten der gesamten folgenden Terme der Reihe, d.

Beispiel 1. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Hier

Mit Formel (28) finden wir den Konvergenzradius dieser Reihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Konvergenzintervalls. Beispiel 13 zeigt, dass diese Reihe für konvergiert x= 1 und divergiert bei x= -1. Folglich ist der Konvergenzbereich ein Halbintervall.

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Die Reihenkoeffizienten sind positiv, und

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses, d.h. Konvergenzradius der Potenzreihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Austausch von Werten x= -1/5 und x= 1/5 in einer bestimmten Zeile ergibt:

Die erste dieser Reihen konvergiert (siehe Beispiel 5). Aber dann konvergiert aufgrund des Satzes im Abschnitt "Absolute Konvergenz" auch die zweite Reihe, und der Bereich ihrer Konvergenz ist das Segment

Beispiel 3. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Hier

Mit Formel (28) ermitteln wir den Konvergenzradius der Reihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe für Werte. Setzen wir sie in dieser Zeile ein, erhalten wir jeweils

Beide Reihen divergieren, da die notwendige Konvergenzbedingung nicht erfüllt ist (ihre gemeinsamen Terme streben bei nicht gegen Null). An beiden Enden des Konvergenzintervalls divergiert die gegebene Reihe, und der Bereich ihrer Konvergenz ist das Intervall.

Beispiel 5. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Finden Sie die Beziehung, wo und :

Nach Formel (28) ist der Konvergenzradius dieser Reihe

,

das heißt, die Reihe konvergiert nur für x= 0 und divergiert für andere Werte NS.

Beispiele zeigen, dass sich die Reihen an den Enden des Konvergenzintervalls unterschiedlich verhalten. In Beispiel 1 konvergiert die Reihe an einem Ende des Konvergenzintervalls und divergiert am anderen; in Beispiel 2 konvergiert sie an beiden Enden; in Beispiel 3 divergiert sie an beiden Enden.

Die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe wird unter der Annahme erhalten, dass alle Koeffizienten der Terme der Reihe, beginnend bei einem, von Null verschieden sind. Daher ist die Verwendung von Formel (28) nur in diesen Fällen zulässig. Wird diese Bedingung verletzt, so sollte der Konvergenzradius der Potenzreihe mit d'Alembert-Zeichen, oder durch Ändern der Variablen die Reihe in die Form umwandeln, in der die angegebene Bedingung erfüllt ist.

Beispiel 6. Bestimmen Sie das Konvergenzintervall einer Potenzreihe

Lösung. Diese Reihe enthält keine Elemente mit ungeraden Graden. NS... Daher transformieren wir die Reihe durch Setzen. Dann bekommen wir die Serie

den Konvergenzradius zu finden, auf den Formel (28) angewendet werden kann. Da a, dann ist der Konvergenzradius dieser Reihe

Aus der Gleichheit, die wir erhalten, konvergiert diese Reihe also auf dem Intervall.

Die Summe der Potenzreihen. Differenzierung und Integration von Leistungsreihen

Lassen Sie für eine Potenzreihe

Konvergenzradius R> 0, d.h. diese Reihe konvergiert auf dem Intervall.

Dann jeder Wert NS aus dem Konvergenzintervall entspricht eine bestimmte Summe der Reihe. Daher ist die Summe der Potenzreihen eine Funktion von NS auf dem Konvergenzintervall. Bezeichne es durch F(x), können wir die Gleichheit schreiben

es in dem Sinne zu verstehen, dass die Summe der Reihen an jedem Punkt NS aus dem Konvergenzintervall ist gleich dem Wert der Funktion F(x) An diesem Punkt. Im gleichen Sinne werden wir sagen, dass die Potenzreihe (29) gegen die Funktion F(x) auf dem Konvergenzintervall.

Außerhalb des Konvergenzintervalls ist die Gleichheit (30) bedeutungslos.

Beispiel 7. Finde die Summe der Summe einer Potenzreihe

Lösung. Dies ist eine geometrische Reihe mit ein= 1, und Q= x... Daher ist seine Summe eine Funktion ... Die Reihe konvergiert, wenn, und ist ihr Konvergenzintervall. Daher ist die Gleichheit

gilt nur für Werte, obwohl die Funktion für alle Werte definiert NS, außer NS= 1.

Es kann bewiesen werden, dass die Summe der Potenzreihen F(x) ist auf jedem Segment innerhalb des Konvergenzintervalls stetig und differenzierbar, insbesondere an jedem Punkt des Konvergenzintervalls der Reihe.

Lassen Sie uns Theoreme zur Term-für-Term-Differenzierung und Integration von Potenzreihen präsentieren.

Satz 1. Potenzreihen (30) im Intervall ihrer Konvergenz können beliebig oft termweise differenziert werden, und die resultierenden Potenzreihen haben den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe, und ihre Summen sind jeweils gleich.

Satz 2. Leistungsserie (30) kann im Bereich von 0 bis unbegrenzt oft integriert werden NS, falls und die resultierende Potenzreihe denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe hat und ihre Summen jeweils gleich sind

Erweiterung der Funktionen in Leistungsreihen

Gegeben sei eine Funktion F(x), die in einer Potenzreihe erweitert werden muss, d.h. in der Form (30) darstellen:

Die Aufgabe besteht darin, die Koeffizienten zu bestimmen Reihe (30). Dazu differenzieren wir die Gleichheit (30) Term für Term und finden sukzessive:

……………………………………………….. (31)

Einstellung in Gleichheiten (30) und (31) NS= 0, wir finden

Setzen wir die gefundenen Ausdrücke in die Gleichheit (30) ein, erhalten wir

(32)

Finden wir die Entwicklung einiger elementarer Funktionen in der Maclaurin-Reihe.

Beispiel 8. Erweitern Sie die Funktion der Maclaurin-Serie

Lösung. Die Ableitungen dieser Funktion sind die gleichen wie die Funktion selbst:

Daher bei NS= 0 wir haben

Setzen wir diese Werte in Formel (32) ein, erhalten wir die erforderliche Erweiterung:

(33)

Diese Reihe konvergiert auf der ganzen Zahlengeraden (ihrem Konvergenzradius).

16.1. Erweiterung elementarer Funktionen in Taylorreihen und

Maclaurin

Zeigen wir, dass wenn eine beliebige Funktion auf der Menge definiert ist
, in der Nähe des Punktes
hat viele Ableitungen und ist die Summe einer Potenzreihe:

dann können die Koeffizienten dieser Reihe gefunden werden.

Ersatz in der Potenzreihe
... Dann
.

Finden Sie die erste Ableitung der Funktion
:

Bei
:
.

Für die zweite Ableitung erhalten wir:

Bei
:
.

Fortsetzung dieses Verfahrens n einmal bekommen wir:
.

Damit erhalten wir eine Potenzreihe der Form:

,

welches heisst neben taylor für Funktion
in der Nähe des Punktes
.

Ein Spezialfall der Taylor-Reihe ist Maclaurin-Reihe bei
:

Der Rest der Taylor (Maclaurin)-Reihe erhält man durch Verwerfen der Hauptreihen n erste Mitglieder und bezeichnet als
... Dann die Funktion
kann als Summe geschrieben werden n frühe Mitglieder einer Reihe
und der Rest
:,

.

Der Rest ist normalerweise
in verschiedenen Formeln ausgedrückt.

Einer von ihnen ist in Form von Lagrange:

, wo
.
.

Beachten Sie, dass in der Praxis die Maclaurin-Serie häufiger verwendet wird. Um also die Funktion zu schreiben
in Form einer Summe einer Potenzreihe ist es notwendig:

1) finde die Koeffizienten der Maclaurin (Taylor)-Reihe;

2) finde den Konvergenzbereich der erhaltenen Potenzreihe;

3) Beweisen Sie, dass die gegebene Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Satz1 (eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Maclaurin-Reihe). Sei der Konvergenzradius der Reihe
... Damit diese Reihe im Intervall konvergiert
Funktionieren
, ist es notwendig und ausreichend, dass die Bedingung erfüllt ist:
im angegebenen Intervall.

Satz 2. Wenn die Ableitungen beliebiger Ordnung der Funktion
in einigen intervallen
im absoluten Wert durch die gleiche Zahl begrenzt m, also
, dann ist in diesem Intervall die Funktion
kann zu einer Maclaurin-Reihe erweitert werden.

Beispiel1 . Erweitern Sie in einer Taylor-Reihe um den Punkt
Funktion.

Lösung.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergenzregion
.

Beispiel2 . Funktion erweitern in Taylors Reihe um den Punkt
.

Lösung:

Finden Sie den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Wir ersetzen diese Werte hintereinander. Wir bekommen:

oder
.

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe. Nach dem d'Alembert-Merkmal konvergiert die Reihe, wenn

.

Daher für alle dieser Grenzwert ist kleiner als 1, und daher ist der Konvergenzbereich der Reihe:
.

Betrachten wir einige Beispiele für die Erweiterung der Maclaurin-Reihe von elementaren Grundfunktionen. Denken Sie daran, dass die Maclaurin-Reihe:

.

konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
.

Beachten Sie, dass zum Erweitern der Funktion in einer Reihe Folgendes erforderlich ist:

a) finde die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe für diese Funktion;

b) Berechnen des Konvergenzradius für die resultierende Reihe;

c) Beweisen Sie, dass die resultierende Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Beispiel 3. Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Berechnen wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

Dann sind die numerischen Koeffizienten der Reihe:

für jeden n. Setze die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalte:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der resultierenden Reihe, nämlich:

.

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion für beliebige Werte weil jede Lücke
Funktion und seine Ableitungen im absoluten Wert sind durch die Zahl begrenzt .

Beispiel4 . Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

:

Es ist leicht zu sehen, dass die Ableitungen gerader Ordnung
, und die Ableitungen sind von ungerader Ordnung. Wir setzen die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten die Entwicklung:

Finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe. Auf der Grundlage von d'Alembert:

für jeden ... Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beispiel5 .
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Somit sind die Koeffizienten dieser Reihe:
und
, somit:

Ähnlich wie bei der vorherigen Reihe ist der Konvergenzbereich
... Die Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beachten Sie, dass die Funktion
ungerade und Reihenentwicklung in ungeraden Potenzen, die Funktion
- gerader und serieller Ausbau in geraden Potenzen.

Beispiel6 . Binomialreihe:
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Daraus ist klar:

Ersetzen Sie diese Werte der Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten Sie die Entwicklung dieser Funktion in eine Potenzreihe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe:

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
... An den Grenzpunkten bei
und
die Reihe kann je nach Exponenten konvergieren oder nicht
.

Die untersuchte Reihe konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
, also die Summe der Ladung
bei
.

Beispiel7 . Erweitern wir in einer Maclaurin-Reihe die Funktion
.

Lösung.

Für die Reihenentwicklung dieser Funktion verwenden wir die Binomialreihe für
... Wir bekommen:

Ausgehend von der Eigenschaft der Potenzreihe (die Potenzreihe kann im Bereich ihrer Konvergenz integriert werden) finden wir das Integral der linken und rechten Seite dieser Reihe:

Finden Sie den Konvergenzbereich dieser Reihe:
,

das heißt, der Konvergenzbereich dieser Reihe ist das Intervall
... Definieren wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Bei

... Diese Reihe ist eine harmonische Reihe, dh sie divergiert. Bei
wir erhalten eine Zahlenreihe mit einem gemeinsamen Begriff
.

Die Leibniz-Reihe konvergiert. Der Konvergenzbereich dieser Reihe ist also das Intervall
.

16.2. Anwenden von Potenzreihen in ungefähren Berechnungen

Bei Näherungsrechnungen spielen Potenzreihen eine äußerst wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe wurden Tabellen trigonometrischer Funktionen, Logarithmentabellen, Wertetabellen anderer Funktionen erstellt, die in verschiedenen Wissensgebieten verwendet werden, beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Darüber hinaus ist die Erweiterung von Funktionen in einer Potenzreihe für deren theoretische Untersuchung nützlich. Das Hauptproblem bei der Verwendung von Potenzreihen in Näherungsberechnungen ist die Frage der Schätzung des Fehlers beim Ersetzen der Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten n Mitglieder.

Betrachten Sie zwei Fälle:

die Funktion wird in alternierende Reihen erweitert;

die Funktion wird zu einer konstanten Reihe erweitert.

Berechnung mit alternierenden Reihen

Lassen Sie die Funktion
zu einer Wechselstromreihe erweitert. Wenn dann diese Funktion für einen bestimmten Wert berechnet wird erhalten wir eine Zahlenreihe, auf die der Leibniz-Test angewendet werden kann. Wenn gemäß diesem Merkmal die Summe der Reihe durch die Summe ihrer ersten ersetzt wird n Terme, dann überschreitet der absolute Fehler nicht den ersten Term des Rests dieser Reihe, d. h.:
.

Beispiel8 . Berechnung
auf 0,0001 genau.

Lösung.

Wir verwenden die Maclaurin-Reihe für
, den Wert des Winkels im Bogenmaß ersetzen:

Wenn wir den ersten und zweiten Term der Reihe mit einer gegebenen Genauigkeit vergleichen, dann gilt:.

Der dritte Expansionsbegriff:

kleiner als die angegebene Rechengenauigkeit. Daher zu berechnen
es reicht aus, zwei Mitglieder der Serie zu verlassen, das heißt

.

Auf diese Weise
.

Beispiel9 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,001.

Lösung.

Wir verwenden die Binomialreihenformel. Schreiben Sie dazu
als:
.

In diesem Ausdruck
,

Vergleichen wir jedes der Mitglieder der Reihe mit der angegebenen Genauigkeit. Es ist klar, dass
... Daher zu berechnen
es reicht aus, drei Mitglieder der Reihe zu verlassen.

oder
.

Berechnung mit Positivreihen

Beispiel10 . Berechnen Sie die Zahl genau auf 0,001.

Lösung.

In einer Reihe für die Funktion
Ersatz
... Wir bekommen:

Schätzen wir den Fehler ab, der entsteht, wenn die Summe der Reihe durch die Summe der ersten ersetzt wird Mitglieder. Schreiben wir die offensichtliche Ungleichung auf:

das ist 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Je nach Zustand des Problems müssen Sie finden n so dass folgende Ungleichung gilt:
oder
.

Das lässt sich ganz einfach überprüfen n= 6:
.

Somit,
.

Beispiel11 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,0001.

Lösung.

Beachten Sie, dass man zur Berechnung der Logarithmen die Reihe für die Funktion anwenden könnte
, aber diese Reihe konvergiert sehr langsam, und um die angegebene Genauigkeit zu erreichen, müssten 9999 Terme verwendet werden! Daher wird zur Berechnung von Logarithmen in der Regel eine Reihe für die Funktion verwendet
die gegen das Intervall konvergiert
.

Lass uns rechnen
diese Zeile verwenden. Lassen
, dann .

Somit,
,

Um zu berechnen
mit einer gegebenen Genauigkeit nehmen wir die Summe der ersten vier Terme:
.

Rest der Reihe
verwerfen. Schätzen wir den Fehler ab. Es ist klar, dass

oder
.

In der Reihe, die für die Berechnung verwendet wurde, reichte es also aus, nur die ersten vier Terme anstelle von 9999 in der Reihe für die Funktion zu verwenden
.

Fragen zum Selbsttest

1. Was ist eine Taylor-Reihe?

2. Welche Art hatte die Maclaurin-Reihe?

3. Formulieren Sie einen Satz über die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

4. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Hauptfunktionen.

5. Geben Sie die Konvergenzbereiche der betrachteten Reihe an.

6. Wie kann man den Fehler bei Näherungsrechnungen mit Potenzreihen schätzen?

Wenn die Funktion f(x) hat auf einem Intervall mit dem Punkt ein, Ableitungen aller Ordnungen, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:

wo r nein- der sogenannte Rest oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x zwischen . liegt NS und ein.

Wenn für einen gewissen Wert x r n®0 für n® ¥, dann wird im Grenzfall die Taylor-Formel für diesen Wert konvergent Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betrachteten Stelle zu einer Taylor-Reihe erweitert werden NS, wenn:

1) es hat Derivate aller Ordnungen;

2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei ein= 0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f (x) = 2x.

Lösung... Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei NS=0

f(x) = 2x, F ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2x ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Einsetzen der erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, daher gilt diese Entwicklung für - ¥<x<+¥.

Beispiel 2 NS+4) für die Funktion f (x) = e x.

Lösung... Finden Sie die Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle NS=-4.

f(x)= e x, F (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Daher hat die erforderliche Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Erweiterung gilt auch für - ¥<x<+¥.

Beispiel 3 ... Funktion erweitern f(x)= ln x in einer Reihe von Potenzen ( NS- 1),

(d.h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS=1).

Lösung... Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.

Durch Einsetzen dieser Werte in die Formel erhalten wir die erforderliche Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test kann man sicherstellen, dass die Reihe für . konvergiert

½ NS- 1½<1. Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Bei NS= 0 Funktion ist nicht definiert. Der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe ist also das halboffene Intervall (0; 2].

Zeigen wir die in ähnlicher Weise erhaltenen Entwicklungen in der Maclaurin-Reihe (d. h. in der Nähe des Punktes NS= 0) für einige elementare Funktionen:

(2) ,

(3) ,

( die letzte Zerlegung heißt Binomialreihe)

Beispiel 4 ... Erweitern einer Funktion in einer Potenzreihe

Lösung... In Erweiterung (1) ersetzen wir NS An - NS 2, wir erhalten:

Beispiel 5 ... Erweitern Sie die Funktion der Maclaurin-Serie

Lösung... Wir haben

Mit Formel (4) können wir schreiben:

Ersatz für NS in die Formel -NS, wir bekommen:

Von hier aus finden wir:

Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme reduzieren, erhalten wir

Diese Reihe konvergiert im Intervall

(-1; 1), da sie aus zwei Reihen erhalten wird, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .

Die Formeln (1) - (5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. für die Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Um dies zu tun, ist es notwendig, über eine gegebene Funktion solche identischen Transformationen durchzuführen, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in der anstelle von NS kostet k ( Ha) m, wobei k eine konstante Zahl ist, ist m eine positive ganze Zahl. Es ist oft praktisch, die Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion nach t in einer Maclaurin-Reihe.

Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die gegen dieselbe Funktion konvergieren, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel 6 ... Erweitere eine Funktion in einer Taylor-Reihe in einer Umgebung eines Punktes NS=3.

Lösung... Dieses Problem kann wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei zu finden NS= 3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:

Die resultierende Reihe konvergiert für oder –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Beispiel 7 ... Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( NS-1) Funktionen .

Lösung.

Die Reihe konvergiert bei , oder 2< x£ 5.