Die Wurzel eines Quotienten aus zwei Zahlen. Wie finde ich die Quadratwurzel? Eigenschaften, Rooting-Beispiele

Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was einen umgibt, liegt einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage zugrunde. Zuerst waren dies Teilchen der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verbinden, später wurden die Schlussfolgerungen nur noch theoretisch präsentiert (wegen ihrer Abstraktheit), aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: " Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen auftauchten." Konzept " Quadratwurzel"erschien zu einer Zeit, als es leicht mit empirischen Daten untermauert werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.

Wie alles begann

Die erste Erwähnung der Wurzel, die auf dieser Moment mit √ bezeichnet, wurde in den Schriften der babylonischen Mathematiker aufgezeichnet, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich sahen sie ein wenig aus wie die heutige Form – die Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie entwickelten eine ungefähre Berechnungsformel, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, in den babylonische Wissenschaftler den Ausgabeprozess √2 gemeißelt haben, und es stellte sich als so richtig heraus, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn es notwendig war, die Seite eines Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, die anderen beiden waren bekannt. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.

Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch in der chinesischen Arbeit "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis ergibt .

Herkunft dieser Begriff verbunden mit der arabischen Darstellung der Zahl: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (man kann ein Muster verfolgen - alles, was eine semantische "Wurzel"-Ladung hat, ist konsonant, sei es Rettich oder Ischias).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel aus einer beliebigen Zahl a gezogen wird, schrieben sie beispielsweise im 15. Jahrhundert R 2 a. Gewohnheit moderner Look„Tick“ √ tauchte erst im 17. Jahrhundert dank Rene Descartes auf.

Unsere Tage

Mathematisch gesehen ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. aber diese Definition nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

IN Allgemeiner Fall, die zur Bestimmung der algebraischen Wurzel dient, kann der Wert des Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, haben wir also: √y=±z oder √y=|z|.

Da die Liebe zur Mathematik erst mit der Entwicklung der Naturwissenschaften zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Zuneigung dafür, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so interessanten Ereignissen wie dem Tag von Pi auch die Feiertage der Quadratwurzel gefeiert. Sie werden neun Mal in hundert Jahren gefeiert und nach folgendem Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat in der Reihenfolge bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Körper R

Fast alles mathematische Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, dieses Schicksal ist nicht passiert und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) Von der Zahl, deren Wurzel wir brauchen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert - bis der Rest der Ausgabe kleiner als die subtrahierte Eins oder gerade gleich Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich zur gewünschten Anzahl. Zum Beispiel die Berechnung der Quadratwurzel von 25:

Die nächste ungerade Zahl ist 11, der Rest ist: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylorreihenentwicklung:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt

+∞ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z=√y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Ihr Diagramm sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und kreuzt notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus unendlich (Null ist wieder enthalten).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch die Nullstelle dieser Funktion.

8. Die Funktion z=√y wächst ständig.

9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y

In der Mathematik wird zur Erleichterung der Berechnung komplexer Ausdrücke manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differenzierung mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten geometrischen Formeln ist, die für Berechnungen erforderlich sind. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Die Quadratwurzel im komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Gebiets der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, wie man eine gerade Gradwurzel aus einer negativen Zahl erhält. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: Ihr Quadrat ist -1. Dank dessen haben quadratische Gleichungen und mit negativer Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Beschränkungen für den Wurzelausdruck aufgehoben werden.

Dieser Artikel ist eine Sammlung von Detailinformationen, die sich mit dem Thema Eigenschaften von Wurzeln beschäftigt. In Anbetracht des Themas werden wir mit den Eigenschaften beginnen, alle Formulierungen studieren und Beweise liefern. Um das Thema zu festigen, betrachten wir die Eigenschaften des n-ten Grades.

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Root-Eigenschaften

Wir werden über Eigenschaften sprechen.

Eigentum multiplizierte Zahlen ein Und B, die als Gleichheit a · b = a · b dargestellt wird. Sie kann als Multiplikatoren dargestellt werden, positiv oder gleich Null a 1 , a 2 , … , ein k als ein 1 ein 2 … ein k = ein 1 ein 2 … ein k ;
von privat a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, es kann auch so geschrieben werden a b = a b ;
Eigentum aus der Potenz einer Zahl ein mit geradem Exponenten a 2 m = a m für eine beliebige Zahl ein, zum Beispiel eine Eigenschaft aus dem Quadrat einer Zahl a 2 = a .

In jeder der vorgestellten Gleichungen können Sie die Teile vor und nach dem Bindestrich vertauschen, zum Beispiel wird die Gleichheit a · b = a · b umgewandelt in a · b = a · b . Gleichheitseigenschaften werden häufig verwendet, um komplexe Gleichungen zu vereinfachen.

Der Beweis der ersten Eigenschaften basiert auf der Definition der Quadratwurzel und den Eigenschaften von Potenzen mit natürlichem Exponenten. Zur Begründung der dritten Eigenschaft muss auf die Definition des Moduls einer Zahl verwiesen werden.

Zunächst müssen die Eigenschaften der Quadratwurzel a · b = a · b bewiesen werden. Gemäß der Definition muss berücksichtigt werden, dass a b eine Zahl ist, positiv oder gleich Null, die gleich sein wird ein b während der Konstruktion in ein Quadrat. Der Wert des Ausdrucks a · b ist als Produkt nicht negativer Zahlen positiv oder gleich Null. Die Eigenschaft des Grades multiplizierter Zahlen erlaubt es uns, Gleichheit in der Form (a · b) 2 = a 2 · b 2 darzustellen. Nach der Definition der Quadratwurzel a 2 \u003d a und b 2 \u003d b, dann a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

In ähnlicher Weise kann man das am Produkt nachweisen k Multiplikatoren a 1 , a 2 , … , ein k entspricht dem Produkt Quadratwurzeln von diesen Multiplikatoren. Tatsächlich ist a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Aus dieser Gleichheit folgt a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Schauen wir uns ein paar Beispiele an, um das Thema zu vertiefen.

Beispiel 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 und 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) .

Es ist notwendig, die Eigenschaft der arithmetischen Quadratwurzel des Quotienten zu beweisen: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Mit der Eigenschaft können Sie die Gleichheit a: b 2 = a 2: b 2 und a 2: b 2 = a: b schreiben, während a: b eine positive Zahl oder gleich Null ist. Dieser Ausdruck wird der Beweis sein.

Beispiel: 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 und 30, 121 = 30, 121.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Quadratwurzel aus dem Quadrat einer Zahl. Es kann als Gleichheit geschrieben werden als a 2 = a Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, mehrere Gleichheiten für genau zu betrachten a ≥ 0 und bei ein< 0 .

Offensichtlich gilt für a ≥ 0 die Gleichheit a 2 = a. Bei ein< 0 die Gleichheit a 2 = - a wird wahr sein. Eigentlich in diesem Fall − a > 0 und (− a) 2 = a 2 . Wir können daraus schließen, dass a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 2

5 2 = 5 = 5 und - 0 , 36 2 = - 0 , 36 = 0 , 36 .

Die bewiesene Eigenschaft wird helfen, a 2 m = am zu rechtfertigen, wobei ein- echt und m-natürliche Zahl. Tatsächlich erlaubt uns die Potenzierungseigenschaft, den Grad zu ersetzen ein 2 m Ausdruck (am) 2, dann a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Beispiel 3

3 8 = 3 4 = 3 4 und (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Eigenschaften der n-ten Wurzel

Zuerst müssen Sie die Haupteigenschaften der Wurzeln des n-ten Grades berücksichtigen:

Eigenschaft aus dem Produkt von Zahlen ein Und B, die positiv oder gleich Null sind, als Gleichheit a b n = a n b n ausgedrückt werden können, gilt diese Eigenschaft für das Produkt k Zahlen a 1 , a 2 , … , ein k als ein 1 ein 2 … ein k n = ein 1 n ein 2 n … ein k n ;
aus einer Bruchzahl hat die Eigenschaft a b n = a n b n , wobei ein eine beliebige reelle Zahl ist, die positiv oder gleich Null ist, und B ist eine positive reelle Zahl;
Für alle ein und gerade Zahlen n = 2m a 2 m 2 m = a ist wahr, und für ungerade n = 2 m − 1 die Gleichheit a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ist erfüllt.
Extraktionseigenschaft von a m n = a n m , wobei ein- eine beliebige Zahl, positiv oder gleich Null, n Und m natürliche Zahlen sind, kann diese Eigenschaft auch dargestellt werden als . . ein n k n 2 n 1 = ein n 1 · n 2 . . . nk ;
Für jedes nicht negative a und willkürlich n Und m, die natürlich sind, kann man auch die faire Gleichheit a m n · m = a n ;
Grad Eigenschaft n aus der Potenz einer Zahl ein, die positiv oder gleich Null ist, in Form von Sachleistungen m, definiert durch die Gleichheit a m n = a n m ;
Vergleichseigenschaft, die dieselben Exponenten haben: für beliebige positive Zahlen ein Und B so dass ein< b , die Ungleichung a n< b n ;
Die Vergleichseigenschaft, die besitzt die gleichen Nummern Wurzel: wenn m Und n- natürliche Zahlen, die m > n, dann bei 0 < a < 1 die Ungleichung a m > a n gilt, und für a > 1 bin< a n .

Die obigen Gleichungen gelten, wenn die Teile vor und nach dem Gleichheitszeichen vertauscht werden. Sie können auch in dieser Form verwendet werden. Dies wird häufig während der Vereinfachung oder Transformation von Ausdrücken verwendet.

Der Beweis der obigen Eigenschaften der Wurzel basiert auf der Definition, den Eigenschaften des Grades und der Definition des Moduls einer Zahl. Diese Eigenschaften müssen nachgewiesen werden. Aber alles ist in Ordnung.

Zunächst beweisen wir die Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades aus dem Produkt a · b n = a n · b n . Zum ein Und b, was sind positiv oder null , der Wert a n · b n ist ebenfalls positiv oder gleich Null, da er eine Folge der Multiplikation nicht negativer Zahlen ist. Die Eigenschaft eines natürlichen Potenzprodukts erlaubt es uns, die Gleichheit a n · b n n = a n n · b n n zu schreiben. Per Definition von root n Grad a n n = a und b n n = b , also a n · b n n = a · b . Die resultierende Gleichheit ist genau das, was bewiesen werden musste.

Diese Eigenschaft wird in ähnlicher Weise für das Produkt bewiesen k Faktoren: für nicht negative Zahlen a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Hier sind Beispiele für die Verwendung der Root-Eigenschaft n Potenz aus dem Produkt: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 und 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Beweisen wir die Eigenschaft der Wurzel des Quotienten a b n = a n b n . Bei a ≥ 0 Und b > 0 die Bedingung a n b n ≥ 0 erfüllt ist und a n b n n = a n n b n n = a b .

Lassen Sie uns Beispiele zeigen:

Beispiel 4

8 27 3 = 8 3 27 3 und 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Zum nächster Schritt Es ist notwendig, die Eigenschaften des n-ten Grades von der Zahl bis zum Grad zu beweisen n. Wir stellen dies als Gleichheit a 2 m 2 m = a und a 2 m - 1 2 m - 1 = a für jede reelle Zahl dar ein und natürlich m. Bei a ≥ 0 wir erhalten a = a und a 2 m = a 2 m , was die Gleichheit a 2 m 2 m = a beweist, und die Gleichheit a 2 m - 1 2 m - 1 = a ist offensichtlich. Bei ein< 0 wir erhalten jeweils a = - a und a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Die letzte Transformation der Zahl gilt gemäß der Eigenschaft des Grades. Dies beweist die Gleichheit a 2 m 2 m \u003d a, und a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a wird wahr sein, da - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m als ungerade betrachtet wird Grad - 1 für eine beliebige Zahl C , positiv oder gleich Null.

Um die erhaltenen Informationen zu konsolidieren, betrachten Sie einige Beispiele, die die Eigenschaft verwenden:

Beispiel 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 und (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Beweisen wir die folgende Gleichheit a m n = a n · m . Dazu müssen Sie die Zahlen vor und nach dem Gleichheitszeichen stellenweise a n · m = a m n ändern. Es wird bedeuten korrekter Eintrag. Zum ein , was positiv ist oder gleich Null , von der Form a m n ist eine positive Zahl oder gleich Null. Wenden wir uns der Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren, und der Definition zu. Mit ihrer Hilfe können Sie Gleichungen in die Form a m n n · m = a m n n m = a m m = a umwandeln. Dies beweist die betrachtete Eigenschaft einer Wurzel von einer Wurzel.

Andere Eigenschaften werden ähnlich bewiesen. Wirklich, . . . ein n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . ein n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . ein nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = ein n k n k = ein .

Beispiel: 7 3 5 = 7 5 3 und 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Lassen Sie uns beweisen nächste Eigenschaft ein m n · m = ein n . Dazu muss gezeigt werden, dass a n eine Zahl ist, die positiv oder gleich Null ist. Potenziert ist n m bin. Wenn Zahl ein ist dann positiv oder null n Grad darunter ein eine positive Zahl oder gleich Null ist Außerdem gilt a n · m n = a n n m , was zu beweisen war.

Betrachten Sie einige Beispiele, um das erworbene Wissen zu festigen.

Lassen Sie uns die folgende Eigenschaft beweisen – die Eigenschaft der Wurzel der Potenz der Form a m n = a n m . Es ist offensichtlich, dass bei a ≥ 0 der Grad a n m ist eine nicht negative Zahl. Außerdem sie n-ten Grades ist gleich bin, tatsächlich, ein n m n = ein n m · n = ein n n m = ein m . Dies beweist die betrachtete Eigenschaft des Grades.

Beispiel: 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

Wir müssen das für alle positiven Zahlen beweisen ein und B ein< b . Betrachten Sie die Ungleichung a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ein< b . Daher ein n< b n при ein< b .

Zum Beispiel geben wir 12 4< 15 2 3 4 .

Betrachten Sie die Root-Eigenschaft n-ten Grades. Betrachten Sie zunächst den ersten Teil der Ungleichung. Bei m > n Und 0 < a < 1 wahr am > ein n . Angenommen, ein m ≤ ein n . Eigenschaften vereinfachen den Ausdruck zu a n m · n ≤ a m m · n . Dann ist gemäß den Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten die Ungleichung a n m n m n ≤ a m m n m n erfüllt, d. h. ein n ≤ ein m. Der erhaltene Wert bei m > n Und 0 < a < 1 stimmt nicht mit den oben genannten Eigenschaften überein.

Genauso kann man das beweisen m > n Und a > 1 Bedingung m< a n .

Betrachten Sie einige, um die oben genannten Eigenschaften zu beheben konkrete Beispiele. Betrachten Sie Ungleichungen mit bestimmten Zahlen.

Beispiel 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finde seine Seite. Angenommen, die Länge der Seite des Quadrats ist x Dezimeter. Dann ist die Fläche des Grundstücks x² Quadratdezimeter. Denn laut Bedingung beträgt diese Fläche dann 81 dm² x² = 81. Die Seitenlänge eines Quadrats ist eine positive Zahl. Eine positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems musste die Zahl x gefunden werden, deren Quadrat 81 ist, d.h. die Gleichung lösen x² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: x 1 = 9 und x 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 und (- 9)² \u003d 81. Beide Zahlen 9 und - 9 werden als Quadratwurzeln der Zahl 81 bezeichnet.

Beachten Sie, dass eine der Quadratwurzeln x= 9 ist eine positive Zahl. Sie wird als arithmetische Quadratwurzel von 81 bezeichnet und mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl aber ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist aber.

Beispielsweise sind die Zahlen 6 und -6 die Quadratwurzeln von 36. Die Zahl 6 ist die arithmetische Quadratwurzel von 36, da 6 eine nicht negative Zahl und 6² = 36 ist. Die Zahl -6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl aber wie folgt bezeichnet: √ aber.

Das Zeichen wird das arithmetische Quadratwurzelzeichen genannt; aber wird als Wurzelausdruck bezeichnet. Ausdruck √ aber lesen so: die arithmetische Quadratwurzel einer Zahl aber. Beispiel: √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen das klar ist wir redenüber die arithmetische Wurzel sagen sie kurz: "die Quadratwurzel von aber«.

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl wird als Quadratwurzelziehen bezeichnet. Diese Aktion ist die Umkehrung des Quadrierens.

Jede Zahl kann quadriert werden, aber nicht jede Zahl kann Quadratwurzeln sein. Zum Beispiel ist es unmöglich, die Quadratwurzel der Zahl - 4 zu ziehen. Wenn eine solche Wurzel existierte, dann bezeichnen Sie sie mit dem Buchstaben x, würden wir die falsche Gleichheit x² \u003d - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ aber macht nur Sinn wann ein ≥ 0. Die Definition der Quadratwurzel kann kurz geschrieben werden als: √ ein ≥ 0, (√aber)² = aber. Gleichheit (√ aber)² = aber Gültig für ein ≥ 0. So stellen Sie sicher, dass die Quadratwurzel eine nicht negative Zahl ist aber gleich B, d.h. dass √ aber =B, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, B² = aber.

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Lass uns rechnen. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und überprüfen Sie, ob die Gleichheit gilt.

Als und , dann ist die Gleichheit wahr. Damit, .

Satz: Wenn aber≥ 0 und B> 0, das heißt, die Wurzel des Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es muss nachgewiesen werden, dass: und .

Seit √ aber≥0 und √ B> 0, dann .

Durch die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren und die Quadratwurzel zu bestimmen der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen Sie nach dem bewiesenen Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie das , wenn aber ≤ 0, B < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Berechnen .

Quadratwurzeltransformation

Nehmen Sie den Multiplikator unter dem Zeichen der Wurzel heraus. Lassen Sie sich einen Ausdruck geben. Wenn aber≥ 0 und B≥ 0, dann können wir nach dem Satz über die Wurzel des Produkts schreiben:

Eine solche Transformation wird als Ausklammern des Wurzelzeichens bezeichnet. Betrachten Sie ein Beispiel;

Berechnen Sie bei x= 2. Direkter Ersatz x= 2 im Wurzelausdruck führt zu komplizierten Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, wenn wir zuerst die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen: . Wenn wir nun x = 2 einsetzen, erhalten wir:.

Wenn man also den Faktor unter dem Wurzelzeichen herausnimmt, wird der Wurzelausdruck als Produkt dargestellt, bei dem ein oder mehrere Faktoren die Quadrate nicht negativer Zahlen sind. Dann wird der Wurzelproduktsatz angewendet und die Wurzel jedes Faktors gezogen. Betrachten Sie ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren unter dem Wurzelzeichen in den ersten beiden Termen herausnehmen, wir erhalten:. Wir betonen, dass die Gleichberechtigung gültig nur wann aber≥ 0 und B≥ 0. wenn aber < 0, то .