Standard-Taylor-Reihenentwicklungen. Maclaurin-Reihe und Erweiterung einiger Funktionen

Wenn die Funktion f(x) hat auf einem Intervall mit dem Punkt ein, Ableitungen aller Ordnungen, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:

wo r nein- der sogenannte Rest oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x zwischen . liegt NS und ein.

Wenn für einen gewissen Wert x r n®0 für n® ¥, dann wird im Grenzfall die Taylor-Formel für diesen Wert konvergent Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betrachteten Stelle zu einer Taylor-Reihe erweitert werden NS, wenn:

1) es hat Derivate aller Ordnungen;

2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei ein= 0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f (x) = 2x.

Lösung... Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei NS=0

f(x) = 2x, F ( 0) = 2 0 =1;

f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f ¢¢ (x) = 2x ln 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Taylor-Reihenformel einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, daher gilt diese Entwicklung für - ¥<x<+¥.

Beispiel 2 NS+4) für die Funktion f (x) = e x.

Lösung... Finden Sie die Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle NS=-4.

f(x)= e x, F (-4) = e -4 ;

f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;

f ¢¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;

f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .

Daher hat die erforderliche Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Erweiterung gilt auch für - ¥<x<+¥.

Beispiel 3 ... Funktion erweitern f(x)= ln x in einer Reihe von Potenzen ( NS- 1),

(d.h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS=1).

Lösung... Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.

Durch Einsetzen dieser Werte in die Formel erhalten wir die erforderliche Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test kann man sicherstellen, dass die Reihe für konvergiert

½ NS- 1½<1. Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Bei NS= 0 Funktion ist nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0; 2].

Zeigen wir die in ähnlicher Weise erhaltenen Entwicklungen in der Maclaurin-Reihe (d. h. in der Nähe des Punktes NS= 0) für einige elementare Funktionen:

(2) ,

(3) ,

( die letzte Zerlegung heißt Binomialreihe)

Beispiel 4 ... Erweitern einer Funktion in einer Potenzreihe

Lösung... In Erweiterung (1) ersetzen wir NS An - NS 2, wir erhalten:

Beispiel 5 ... Erweitern Sie die Funktion der Maclaurin-Serie

Lösung... Wir haben

Mit Formel (4) können wir schreiben:

Ersatz für NS in die Formel -NS, wir bekommen:

Von hier aus finden wir:

Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme reduzieren, erhalten wir

Diese Reihe konvergiert im Intervall

(-1; 1), da sie aus zwei Reihen erhalten wird, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .

Die Formeln (1) - (5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. für die Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Um dies zu tun, ist es notwendig, über eine gegebene Funktion solche identischen Transformationen durchzuführen, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in der anstelle von NS kostet k ( Ha) m, wobei k eine konstante Zahl ist, ist m eine positive ganze Zahl. Es ist oft praktisch, die Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion nach t in einer Maclaurin-Reihe.

Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die gegen dieselbe Funktion konvergieren, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel 6 ... Erweitere eine Funktion in einer Taylor-Reihe in einer Umgebung eines Punktes NS=3.

Lösung... Dieses Problem kann wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei zu finden NS= 3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:

Die resultierende Reihe konvergiert für oder –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Beispiel 7 ... Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( NS-1) Funktionen .

Lösung.

Die Reihe konvergiert bei , oder 2< x£ 5.

Wenn die Funktion f (x) Ableitungen aller Ordnungen auf einem Intervall hat, das den Punkt a enthält, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:
,
wo r nein- der sogenannte Rest oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:
, wobei die Zahl x zwischen x und a liegt.

Regeln für die Funktionseingabe:

Wenn für einen gewissen Wert NS r nein→ 0 für n→ ∞, dann wird im Grenzfall die Taylor-Formel für diesen Wert konvergent Taylor-Reihe:
,
Damit lässt sich die Funktion f (x) im betrachteten Punkt x in einer Taylor-Reihe entwickeln, wenn:
1) es hat Derivate aller Ordnungen;
2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Für a = 0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:
,
Zerlegung der einfachsten (elementaren) Funktionen der Maclaurin-Reihe:
Hinweisfunktionen
, R =
Trigonometrische Funktionen
, R =
, R =
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Die Funktion actgx expandiert nicht in Potenzen von x, da ctg0 = ∞
Hyperbolische Funktionen

Logarithmische Funktionen
, -1
Binomialreihe
.

Beispiel 1. Erweitern einer Funktion in einer Potenzreihe f (x) = 2x.
Lösung... Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei NS=0
f(x) = 2x, F ( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, F "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f"" (x) = 2x ln 2 2, F "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Taylor-Reihenformel einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Entwicklung für -∞<x<+∞.

Beispiel # 2. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( NS+4) für die Funktion f (x) = e x.
Lösung... Finden Sie die Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle NS=-4.
f(x)= e x, F (-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, F "(-4) = e -4 ;
f"" (x)= e x, F "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .
Daher hat die erforderliche Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Zerlegung gilt auch für -∞<x<+∞.

Beispiel Nr. 3. Funktion erweitern f(x)= ln x in einer Reihe von Potenzen ( NS- 1),
(d.h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS=1).
Lösung... Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Durch Einsetzen dieser Werte in die Formel erhalten wir die erforderliche Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test kann man sicherstellen, dass die Reihe für ½x-1½ . konvergiert<1 . Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Für x = 0 ist die Funktion undefiniert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0; 2].

Beispiel Nr. 4. Erweitern Sie die Funktion in eine Potenzreihe.
Lösung... In der Erweiterung (1) ersetzen wir x durch -x 2 und erhalten:
, -∞

Beispiel Nr. 5. Erweitern Sie die Maclaurin-Funktion.
Lösung... Wir haben
Mit Formel (4) können wir schreiben:

Wenn wir in der Formel -x anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Von hier aus finden wir: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme reduzieren, erhalten wir
... Diese Reihe konvergiert im Intervall (-1; 1), da sie sich aus zwei Reihen ergibt, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .
Die Formeln (1) - (5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. für die Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Um dies zu tun, ist es notwendig, über eine gegebene Funktion solche identischen Transformationen durchzuführen, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in der anstelle von NS kostet k ( Ha) m, wobei k eine konstante Zahl ist, ist m eine positive ganze Zahl. Es ist oft praktisch, die Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion nach t in einer Maclaurin-Reihe.

Diese Methode basiert auf dem Eindeutigkeitssatz für die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die gegen dieselbe Funktion konvergieren, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel Nr. 5a. Erweitern Sie die Funktion in eine Maclaurin-Reihe, geben Sie den Konvergenzbereich an.
Lösung. Finden Sie zuerst 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
zu elementar:

Der Bruch 3 / (1-3x) kann als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit dem Nenner 3x betrachtet werden, wenn |3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

mit dem Konvergenzbereich | x |< 1/3.

Beispiel Nr. 6. Erweitern Sie die Funktion in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x = 3.
Lösung... Dieses Problem kann wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei zu finden NS= 3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:
=
Die resultierende Reihe konvergiert bei oder –3

Beispiel Nr. 7. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen (x -1) der Funktion ln (x + 2).
Lösung.

Die Reihe konvergiert bei oder -2< x < 5.

Beispiel Nr. 8. Entwickeln Sie die Funktion f (x) = sin (πx / 4) in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x = 2.
Lösung... Nehmen wir die Substitution t = x-2 vor:

Mit der Entwicklung (3), bei der wir π / 4 t anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Die resultierende Reihe konvergiert gegen eine gegebene Funktion bei -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Auf diese Weise,
, (-∞

Ungefähre Berechnungen mit Potenzreihen

Potenzreihen werden häufig in Näherungsrechnungen verwendet. Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer bestimmten Genauigkeit die Werte von Wurzeln, trigonometrischen Funktionen, Logarithmen von Zahlen und bestimmten Integralen berechnen. Die Reihen werden auch bei der Integration von Differentialgleichungen verwendet.
Betrachten Sie die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe:

Um den Näherungswert der Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen NS zum Konvergenzbereich der angegebenen Reihe gehörend, die erste n Mitglieder ( n ist eine endliche Zahl) und die restlichen Terme werden verworfen:

Um den Fehler des erhaltenen Näherungswerts abzuschätzen, ist es notwendig, den verworfenen Rest r n (x) zu schätzen. Dazu werden folgende Techniken verwendet:

Wenn sich die resultierende Reihe mit Vorzeichen abwechselt, wird die folgende Eigenschaft verwendet: für eine alternierende Reihe, die die Leibniz-Bedingungen erfüllt, überschreitet der Rest der Reihe in absoluten Werten nicht den ersten verworfenen Term.
wenn eine gegebene Reihe ein konstantes Vorzeichen hat, dann wird eine Reihe aus verworfenen Elementen mit einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression verglichen.
im allgemeinen Fall kann man zur Schätzung des Rests der Taylor-Reihe die Lagrange-Formel verwenden: a x ).

Beispiel 1. Berechnen Sie ln (3) auf die nächsten 0,01.
Lösung... Lassen Sie uns die Zerlegung verwenden, wobei x = 1/2 (siehe Beispiel 5 im vorherigen Thema):

Prüfen wir, ob wir den Rest nach den ersten drei Termen der Entwicklung verwerfen können, dazu schätzen wir ihn mit der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression:

Also können wir diesen Rest verwerfen und erhalten

Beispiel # 2. Berechnen Sie auf die nächsten 0,0001.
Lösung... Verwenden wir die Binomialreihe. Da 5 3 der Kubus einer ganzen Zahl ist, die 130 am nächsten kommt, ist es ratsam, die Zahl 130 als 130 = 5 3 +5 darzustellen.

da bereits der vierte Term der resultierenden alternierenden Reihe, die das Leibniz-Kriterium erfüllt, unter der geforderten Genauigkeit liegt:
, daher können sie und die ihr folgenden Mitglieder verworfen werden.
Viele praktisch notwendige bestimmte oder uneigentliche Integrale können mit der Newton-Leibniz-Formel nicht berechnet werden, da ihre Anwendung mit der Suche nach einer Stammfunktion verbunden ist, die oft keinen Ausdruck in elementaren Funktionen hat. Es kommt auch vor, dass das Auffinden der Stammfunktion zwar möglich, aber unnötig mühsam ist. Wenn der Integrand jedoch zu einer Potenzreihe erweitert werden kann und die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören, dann ist eine näherungsweise Berechnung des Integrals mit einer vorgegebenen Genauigkeit möglich.

Beispiel Nr. 3. Integral auswerten ∫ 0 1 4 sin (x) x bis 10 -5.
Lösung... Das entsprechende unbestimmte Integral lässt sich nicht in elementaren Funktionen ausdrücken, d.h. ist ein "unzerbrechliches Integral". Die Anwendung der Newton-Leibniz-Formel ist hier nicht möglich. Wir berechnen das Integral näherungsweise.
Durch Teilen der Reihe für sin x An x, wir bekommen:

Integriert man diese Reihe Term für Term (dies ist möglich, da die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören), erhalten wir:

Da die resultierende Reihe die Leibniz-Bedingungen erfüllt, reicht es aus, die Summe der ersten beiden Terme zu bilden, um den gewünschten Wert mit einer bestimmten Genauigkeit zu erhalten.
Somit finden wir
.

Beispiel Nr. 4. Bewerten Sie das Integral ∫ 0 1 4 e x 2 auf 0,001 genau.
Lösung.
... Lassen Sie uns prüfen, ob wir den Rest nach dem zweiten Term der resultierenden Reihe verwerfen können.
0,0001<0.001. Следовательно, .

In der Theorie der Funktionsreihen nimmt der Abschnitt über die Entwicklung einer Funktion in einer Reihe den zentralen Platz ein.

Damit stellt sich das Problem: für eine gegebene Funktion es ist erforderlich, eine solche Potenzreihe zu finden

die auf einem Intervall konvergierte und deren Summe gleich war
, jene.

= ..

Diese Aufgabe heißt das Problem der Erweiterung einer Funktion in einer Potenzreihe.

Eine notwendige Bedingung für die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe ist seine Differenzierbarkeit unendlich oft - dies folgt aus den Eigenschaften konvergierender Potenzreihen. Diese Bedingung ist in der Regel für elementare Funktionen in ihrem Definitionsbereich erfüllt.

Angenommen, die Funktion
hat Ableitungen beliebiger Ordnung. Ist es möglich, es in einer Potenzreihe zu erweitern, wenn möglich, wie findet man dann diese Reihe? Der zweite Teil des Problems ist einfacher zu lösen, und wir fangen damit an.

Nehmen wir an, die Funktion
kann als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden, die in dem Intervall konvergiert, das den Punkt enthält NS 0 :

= .. (*)

wo ein 0 ,ein 1 ,ein 2 ,...,ein NS ,... - (noch) undefinierte Koeffizienten.

Wir setzen in Gleichheit (*) den Wert x = x 0 , dann bekommen wir

Lassen Sie uns die Potenzreihe (*) Term für Term differenzieren

= ..

und nehme hier an x = x 0 , werden

Mit der nächsten Differenzierung erhalten wir die Reihe

= ..

vorausgesetzt x = x 0 , werden
, wo
.

Nach NS-fache Differenzierung, wir erhalten

Einstellung in der letzten Gleichheit x = x 0 , werden
, wo

Damit sind die Koeffizienten gefunden

,
,
, …,
,….,

setzen wir sie in die Reihe (*) ein, erhalten wir

Die resultierende Reihe heißt neben taylor für Funktion
.

Damit haben wir festgestellt, dass wenn die Funktion in einer Potenzreihe in Potenzen (x - x 0 ), dann ist diese Entwicklung eindeutig und die resultierende Reihe ist notwendigerweise eine Taylorreihe.

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für jede Funktion mit Ableitungen beliebiger Ordnung im Punkt . erhalten werden kann x = x 0 . Dies bedeutet jedoch nicht, dass zwischen der Funktion und der resultierenden Reihe ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann, d.h. dass die Summe der Reihe gleich der ursprünglichen Funktion ist. Erstens kann eine solche Gleichheit nur im Konvergenzbereich sinnvoll sein, und die für die Funktion erhaltene Taylor-Reihe kann divergieren, und zweitens, wenn die Taylor-Reihe konvergiert, kann ihre Summe nicht mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmen.

3.2. Genügende Bedingungen für die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe

Wir formulieren eine Aussage, mit deren Hilfe die gestellte Aufgabe gelöst wird.

Wenn die Funktion
in einer Umgebung des Punktes x 0 hat Derivate bis zu (n+ 1) der Bestellung inklusive, dann in dieser NachbarschaftFormel Taylor

woR n (NS)ist der Rest der Taylor-Formel - hat die Form (Lagrange-Form)

wo Punktξ liegt zwischen x und x 0 .

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Taylor-Formel gibt: Die Taylor-Formel ist eine endliche Summe, d. NS - Feste Nummer.

Denken Sie daran, dass die Summe der Reihe S(x) kann als Grenzwert der Funktionsfolge von Teilsummen definiert werden S NS (x) in gewissen Abständen NS:

Dementsprechend bedeutet das Erweitern einer Funktion in einer Taylor-Reihe, eine Reihe zu finden, so dass für alle NSx

Wir schreiben die Taylorsche Formel in der Form, wobei

beachte das
definiert den Fehler, den wir erhalten, ersetzen Sie die Funktion F(x) Polynom S n (x).

Wenn
, dann
,jene. die Funktion entwickelt sich zu einer Taylor-Reihe. Umgekehrt, wenn
, dann
.

Damit haben wir bewiesen ein Kriterium für die Erweiterung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Damit in einem bestimmten Intervall die FunktionF(x) zu einer Taylor-Reihe entwickelt, ist es notwendig und ausreichend, dass auf diesem Intervall
, woR n (x) ist der Rest der Taylor-Reihe.

Mit dem formulierten Kriterium erhält man ausreichendBedingungen für die zu entwickelnde Funktion in einer Taylor-Reihe.

Wenn ineine Umgebung des Punktes x 0 die Absolutwerte aller Ableitungen der Funktion sind durch die gleiche Zahl M . begrenzt≥ 0, d.h.

, To in dieser Umgebung entwickelt sich die Funktion in einer Taylor-Reihe.

Aus obigem folgt AlgorithmusFunktionszerlegung F(x) in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS 0 :

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktion F(x):

f (x), f ’(x), f“ (x), f ’“ (x), f (n) (x), ...

2. Wir berechnen den Wert der Funktion und die Werte ihrer Ableitungen an der Stelle NS 0

f (x 0 ), f ’(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’“ (x 0 ), F (n) (x 0 ),…

3. Schreiben Sie die Taylor-Reihe formal auf und bestimmen Sie den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe.

4. Wir prüfen die Erfüllung hinreichender Bedingungen, d.h. wir stellen für wen NS aus dem Konvergenzbereich, der Rest R n (x) tendiert gegen Null bei
oder
.

Die Entwicklung von Funktionen in einer Taylorreihe nach diesem Algorithmus heißt Entwicklung der Funktion in einer Taylor-Reihe per Definition oder direkte Zersetzung.

16.1. Erweiterung elementarer Funktionen in Taylorreihen und

Maclaurin

Zeigen wir, dass wenn eine beliebige Funktion auf der Menge definiert ist
, in der Nähe des Punktes
hat viele Ableitungen und ist die Summe einer Potenzreihe:

dann können die Koeffizienten dieser Reihe gefunden werden.

Ersatz in der Potenzreihe
... Dann
.

Finden Sie die erste Ableitung der Funktion
:

Bei
:
.

Für die zweite Ableitung erhalten wir:

Bei
:
.

Fortsetzung dieses Verfahrens n sobald wir bekommen:
.

Damit erhalten wir eine Potenzreihe der Form:

welches heisst neben taylor für Funktion
in der Nähe des Punktes
.

Ein Spezialfall der Taylor-Reihe ist Maclaurin-Reihe bei
:

Der Rest der Taylor (Maclaurin)-Reihe erhält man durch Verwerfen aus den Hauptreihen n erste Mitglieder und bezeichnet als
... Dann die Funktion
kann als Summe geschrieben werden n frühe Mitglieder einer Reihe
und der Rest
:,

Der Rest ist normalerweise
in verschiedenen Formeln ausgedrückt.

Einer von ihnen ist in Form von Lagrange:

, wo
.
.

Beachten Sie, dass in der Praxis die Maclaurin-Serie häufiger verwendet wird. Um also die Funktion zu schreiben
in Form einer Summe einer Potenzreihe ist es notwendig:

1) finde die Koeffizienten der Maclaurin (Taylor)-Reihe;

2) finde den Konvergenzbereich der erhaltenen Potenzreihe;

3) Beweisen Sie, dass die gegebene Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Satz1 (eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Maclaurin-Reihe). Sei der Konvergenzradius der Reihe
... Damit diese Reihe im Intervall konvergiert
Funktionieren
, ist es notwendig und ausreichend, dass die Bedingung erfüllt ist:
im angegebenen Intervall.

Satz 2. Wenn die Ableitungen beliebiger Ordnung der Funktion
in einigen intervallen
im absoluten Wert durch die gleiche Zahl begrenzt m, also
, dann ist in diesem Intervall die Funktion
kann zu einer Maclaurin-Reihe erweitert werden.

Beispiel1 . Erweitern Sie in einer Taylor-Reihe um den Punkt
Funktion.

Lösung.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergenzregion
.

Beispiel2 . Funktion erweitern in Taylors Reihe um den Punkt
.

Lösung:

Finden Sie den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

,
;

...........……………………………

,
.

Wir ersetzen diese Werte hintereinander. Wir bekommen:

oder
.

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe. Nach dem d'Alembert-Merkmal konvergiert die Reihe, wenn

Daher für alle dieser Grenzwert ist kleiner als 1, und daher ist der Konvergenzbereich der Reihe:
.

Betrachten wir einige Beispiele für die Erweiterung der Maclaurin-Reihe von elementaren Grundfunktionen. Denken Sie daran, dass die Maclaurin-Reihe:

konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
.

Beachten Sie, dass zum Erweitern der Funktion in einer Reihe Folgendes erforderlich ist:

a) finde die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe für diese Funktion;

b) Berechnen des Konvergenzradius für die resultierende Reihe;

c) Beweisen Sie, dass die resultierende Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Beispiel 3. Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Berechnen wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

Dann sind die numerischen Koeffizienten der Reihe:

für jeden n. Setze die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalte:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der resultierenden Reihe, nämlich:

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion für beliebige Werte weil jede Lücke
Funktion und seine Ableitungen im absoluten Wert sind durch die Zahl begrenzt .

Beispiel4 . Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass die Ableitungen gerader Ordnung
, und die Ableitungen sind von ungerader Ordnung. Wir setzen die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten die Entwicklung:

Finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe. Auf der Grundlage von d'Alembert:

für jeden ... Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beispiel5 .
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Somit sind die Koeffizienten dieser Reihe:
und
, somit:

Ähnlich wie bei der vorherigen Reihe ist der Konvergenzbereich
... Die Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beachten Sie, dass die Funktion
ungerade und Reihenentwicklung in ungeraden Potenzen, die Funktion
- gerade und Reihenausdehnung in geraden Potenzen.

Beispiel6 . Binomialreihe:
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Daraus ist klar:

Ersetzen Sie diese Werte der Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten Sie die Entwicklung dieser Funktion in eine Potenzreihe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe:

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
... An den Grenzpunkten bei
und
die Reihe kann je nach Exponenten konvergieren oder nicht
.

Die untersuchte Reihe konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
, also die Summe der Ladung
bei
.

Beispiel7 . Erweitern wir in einer Maclaurin-Reihe die Funktion
.

Lösung.

Für die Reihenentwicklung dieser Funktion verwenden wir die Binomialreihe für
... Wir bekommen:

Ausgehend von der Eigenschaft der Potenzreihe (die Potenzreihe kann im Bereich ihrer Konvergenz integriert werden) finden wir das Integral der linken und rechten Seite dieser Reihe:

Finden Sie den Konvergenzbereich dieser Reihe:
,

das heißt, der Konvergenzbereich dieser Reihe ist das Intervall
... Definieren wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Bei

... Diese Reihe ist eine harmonische Reihe, dh sie divergiert. Bei
wir erhalten eine Zahlenreihe mit einem gemeinsamen Begriff
.

Die Leibniz-Reihe konvergiert. Der Konvergenzbereich dieser Reihe ist also das Intervall
.

16.2. Anwenden von Potenzreihen in ungefähren Berechnungen

Bei Näherungsrechnungen spielen Potenzreihen eine äußerst wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe wurden Tabellen trigonometrischer Funktionen, Logarithmentabellen, Wertetabellen anderer Funktionen erstellt, die in verschiedenen Wissensgebieten verwendet werden, beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Darüber hinaus ist die Erweiterung von Funktionen in einer Potenzreihe für deren theoretische Untersuchung nützlich. Das Hauptproblem bei der Verwendung von Potenzreihen in Näherungsrechnungen ist die Frage der Schätzung des Fehlers beim Ersetzen der Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten n Mitglieder.

Betrachten Sie zwei Fälle:

die Funktion wird zu einer Reihe alternierender Zeichen erweitert;

die Funktion wird zu einer konstanten Reihe erweitert.

Berechnung mit alternierenden Reihen

Lassen Sie die Funktion
zu einer Wechselstromreihe erweitert. Wenn dann diese Funktion für einen bestimmten Wert berechnet wird erhalten wir eine Zahlenreihe, auf die der Leibniz-Test angewendet werden kann. Wenn gemäß diesem Merkmal die Summe der Reihe durch die Summe ihrer ersten ersetzt wird n Terme, dann überschreitet der absolute Fehler nicht den ersten Term des Rests dieser Reihe, d. h.:
.

Beispiel8 . Berechnung
auf 0,0001 genau.

Lösung.

Wir verwenden die Maclaurin-Reihe für
, den Wert des Winkels im Bogenmaß ersetzen:

Wenn wir den ersten und zweiten Term der Reihe mit einer gegebenen Genauigkeit vergleichen, dann gilt:.

Der dritte Expansionsbegriff:

kleiner als die angegebene Rechengenauigkeit. Daher zu berechnen
es reicht aus, zwei Mitglieder der Serie zu verlassen, das heißt

Auf diese Weise
.

Beispiel9 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,001.

Lösung.

Wir verwenden die Binomialreihenformel. Schreiben Sie dazu
als:
.

In diesem Ausdruck
,

Vergleichen wir jedes der Mitglieder der Reihe mit der angegebenen Genauigkeit. Es ist klar, dass
... Daher zu berechnen
es reicht aus, drei Mitglieder der Reihe zu verlassen.

oder
.

Berechnung mit Positivreihen

Beispiel10 . Berechnen Sie die Zahl genau auf 0,001.

Lösung.

In einer Reihe für die Funktion
Ersatz
... Wir bekommen:

Schätzen wir den Fehler ab, der entsteht, wenn die Summe der Reihe durch die Summe der ersten ersetzt wird Mitglieder. Schreiben wir die offensichtliche Ungleichung auf:

das ist 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Je nach Zustand des Problems müssen Sie finden n so dass folgende Ungleichung gilt:
oder
.

Es ist leicht zu überprüfen, dass für n= 6:
.

Somit,
.

Beispiel11 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,0001.

Lösung.

Beachten Sie, dass man zur Berechnung der Logarithmen die Reihe für die Funktion anwenden könnte
, aber diese Reihe konvergiert sehr langsam und es müssten 9999 Terme verwendet werden, um die angegebene Genauigkeit zu erreichen! Daher wird zur Berechnung von Logarithmen in der Regel eine Reihe für die Funktion verwendet
die gegen das Intervall konvergiert
.

Lass uns rechnen
diese Zeile verwenden. Lassen
, dann .

Somit,
,

Um zu berechnen
mit einer gegebenen Genauigkeit nehmen wir die Summe der ersten vier Terme:
.

Rest der Reihe
verwerfen. Schätzen wir den Fehler ab. Es ist klar, dass

oder
.

Somit reichte es in der Reihe, die für die Berechnung verwendet wurde, nur die ersten vier Terme anstelle von 9999 in der Reihe für die Funktion
.

Fragen zum Selbsttest

1. Was ist eine Taylor-Reihe?

2. Welche Art hatte die Maclaurin-Reihe?

3. Formulieren Sie einen Satz über die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

4. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Hauptfunktionen.

5. Geben Sie die Konvergenzbereiche der betrachteten Reihe an.

6. Wie kann man den Fehler bei Näherungsrechnungen mit Potenzreihen schätzen?

Unter den Funktionsreihen nehmen die Potenzreihen den wichtigsten Platz ein.

Die Reihe wird Potenzreihe genannt

deren Terme Potenzfunktionen sind, die in aufsteigenden ganzzahligen nichtnegativen Potenzen angeordnet sind x, ein C0 , C 1 , C 2 , C n - konstante Werte. Die Zahlen C1 , C 2 , C n - die Koeffizienten der Mitglieder der Reihe, C0 - Freies Mitglied. Die Mitglieder der Potenzreihe werden auf dem ganzen Zahlenstrahl definiert.

Machen wir uns mit dem Konzept vertraut Konvergenzbereich der Potenzreihe. Dies ist der Satz von Variablenwerten x für die die Reihe konvergiert. Potenzreihen haben einen relativ einfachen Konvergenzbereich. Für reelle Werte der Variablen x der Konvergenzbereich besteht entweder aus einem Punkt oder ist ein Intervall (Konvergenzintervall) oder fällt mit der gesamten Achse zusammen Ochse .

Bei Substitution in einer Potenzreihe sind die Werte x= 0 erhältst du eine Zahlenreihe

C0 +0+0+...+0+... ,

die zusammenläuft.

Daher für x= 0 jede Potenzreihe konvergiert und daher sein Konvergenzbereich kann nicht leer sein. Die Struktur des Konvergenzbereichs aller Potenzreihen ist gleich. Sie lässt sich mit dem folgenden Theorem herstellen.

Satz 1 (Satz von Abel)... Konvergiert die Potenzreihe für einen Wert x = x 0 ungleich Null, dann konvergiert sie, und zwar absolut für alle Werte |x| < |x 0 | ... Achtung: Sowohl der Startwert "x ist Null" als auch ein beliebiger Wert von "x", der mit dem Startwert verglichen wird, werden modulo - ohne Berücksichtigung des Vorzeichens - berücksichtigt.

Folge. Wenn Potenzreihe divergiert zu einem gewissen Wert x = x 1 , dann divergiert es für alle Werte |x| > |x 1 | .

Wie wir bereits herausgefunden haben, konvergiert jede Potenzreihe um den Wert x= 0. Es gibt Potenzreihen, die nur für . konvergieren x= 0 und divergieren für andere Werte NS... Wenn wir diesen Fall aus der Betrachtung eliminieren, nehmen wir an, dass die Potenzreihe für einen Wert . konvergiert x = x 0 ungleich null. Dann konvergiert es nach dem Satz von Abel an allen Punkten des Intervalls] - | x0 |, |x 0 |[ (das Intervall, dessen linke und rechte Grenze die x-Werte sind, bei denen die Potenzreihe konvergiert, jeweils mit Minus- und Pluszeichen), symmetrisch zum Ursprung.

Wenn die Potenzreihe bei einem bestimmten Wert divergiert x = x 1 , dann divergiert sie nach dem Korollar zum Satz von Abel auch an allen Punkten außerhalb des Segments [- | x1 |, |x 1 |] ... Daraus folgt, dass es für jede Potenzreihe ein um den Ursprung symmetrisches Intervall gibt, genannt Konvergenzintervall , an jedem Punkt, an dem die Reihe konvergiert, an den Rändern kann sie konvergieren und divergieren, und zwar nicht notwendigerweise gleichzeitig, aber außerhalb des Segments divergiert die Reihe. Nummer R heißt Konvergenzradius der Potenzreihe.

In besonderen Fällen Konvergenzintervall der Potenzreihen zu einem Punkt entarten kann (dann konvergiert die Reihe nur für x= 0 und es wird angenommen, dass R= 0) oder den gesamten Zahlenstrahl darstellen (dann konvergiert die Reihe an allen Punkten des Zahlenstrahls und es wird davon ausgegangen).

Die Definition des Konvergenzbereichs einer Potenzreihe besteht also in der Definition ihrer Konvergenzradius R und das Studium der Konvergenz der Reihe an den Grenzen des Konvergenzintervalls (at).

Satz 2. Wenn alle Koeffizienten der Potenzreihe, beginnend mit einer Reihe, ungleich null sind, ist ihr Konvergenzradius gleich der Grenze im Verhältnis der absoluten Werte der Koeffizienten der gesamten folgenden Terme der Reihe, d.h.

Beispiel 1. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Hier

Mit Formel (28) finden wir den Konvergenzradius dieser Reihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Konvergenzintervalls. Beispiel 13 zeigt, dass diese Reihe für konvergiert x= 1 und divergiert bei x= -1. Folglich ist der Konvergenzbereich ein halbes Intervall.

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Die Reihenkoeffizienten sind positiv, und

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses, d.h. Konvergenzradius der Potenzreihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Austausch von Werten x= -1/5 und x= 1/5 in einer bestimmten Zeile ergibt:

Die erste dieser Reihen konvergiert (siehe Beispiel 5). Aber dann konvergiert aufgrund des Satzes im Abschnitt "Absolute Konvergenz" auch die zweite Reihe, und der Bereich ihrer Konvergenz ist das Segment

Beispiel 3. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Hier

Mit Formel (28) ermitteln wir den Konvergenzradius der Reihe:

Untersuchen wir die Konvergenz der Reihe für Werte. Setzen wir sie in dieser Zeile ein, erhalten wir jeweils

Beide Reihen divergieren, da die notwendige Konvergenzbedingung nicht erfüllt ist (ihre gemeinsamen Terme streben bei nicht gegen Null). An beiden Enden des Konvergenzintervalls divergiert die gegebene Reihe, und der Bereich ihrer Konvergenz ist das Intervall.

Beispiel 5. Bestimmen Sie den Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Lösung. Finden Sie die Beziehung, wo und :

Nach Formel (28) ist der Konvergenzradius dieser Reihe

das heißt, die Reihe konvergiert nur für x= 0 und divergiert für andere Werte NS.

Beispiele zeigen, dass sich die Reihen an den Enden des Konvergenzintervalls unterschiedlich verhalten. In Beispiel 1 konvergiert die Reihe an einem Ende des Konvergenzintervalls und divergiert am anderen; in Beispiel 2 konvergiert sie an beiden Enden; in Beispiel 3 divergiert sie an beiden Enden.

Die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe wird unter der Annahme erhalten, dass alle Koeffizienten der Terme der Reihe, beginnend bei einem, von Null verschieden sind. Daher ist die Verwendung von Formel (28) nur in diesen Fällen zulässig. Wird diese Bedingung verletzt, so sollte der Konvergenzradius der Potenzreihe mit d'Alembert-Zeichen, oder durch Ändern der Variablen die Reihe in die Form umwandeln, in der die angegebene Bedingung erfüllt ist.

Beispiel 6. Bestimmen Sie das Konvergenzintervall einer Potenzreihe

Lösung. Diese Reihe enthält keine Elemente mit ungeraden Graden. NS... Daher transformieren wir die Reihe durch Setzen. Dann bekommen wir die Serie

den Konvergenzradius zu finden, auf den Formel (28) angewendet werden kann. Da a, dann ist der Konvergenzradius dieser Reihe

Aus der Gleichheit, die wir erhalten, konvergiert diese Reihe also auf dem Intervall.

Die Summe der Potenzreihen. Differenzierung und Integration von Leistungsreihen

Lassen Sie für eine Potenzreihe

Konvergenzradius R> 0, d.h. diese Reihe konvergiert auf dem Intervall.

Dann jeder Wert NS aus dem Konvergenzintervall entspricht eine bestimmte Summe der Reihe. Daher ist die Summe der Potenzreihen eine Funktion von NS auf dem Konvergenzintervall. Bezeichne es durch F(x), können wir die Gleichheit schreiben

es in dem Sinne zu verstehen, dass die Summe der Reihen an jedem Punkt NS aus dem Konvergenzintervall ist gleich dem Wert der Funktion F(x) An diesem Punkt. Im gleichen Sinne werden wir sagen, dass die Potenzreihe (29) gegen die Funktion F(x) auf dem Konvergenzintervall.

Außerhalb des Konvergenzintervalls ist die Gleichheit (30) bedeutungslos.

Beispiel 7. Finde die Summe der Summe einer Potenzreihe

Lösung. Dies ist eine geometrische Reihe mit ein= 1, und Q= x... Daher ist seine Summe eine Funktion ... Die Reihe konvergiert, wenn, und ist ihr Konvergenzintervall. Daher ist die Gleichheit

gilt nur für Werte, obwohl die Funktion für alle Werte definiert NS, außer NS= 1.

Es kann bewiesen werden, dass die Summe der Potenzreihen F(x) ist auf jedem Segment innerhalb des Konvergenzintervalls stetig und differenzierbar, insbesondere an jedem Punkt des Konvergenzintervalls der Reihe.

Lassen Sie uns Theoreme zur Term-für-Term-Differenzierung und Integration von Potenzreihen präsentieren.

Satz 1. Potenzreihen (30) im Intervall ihrer Konvergenz können beliebig oft termweise differenziert werden, und die resultierenden Potenzreihen haben den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe, und ihre Summen sind jeweils gleich.

Satz 2. Leistungsserie (30) kann im Bereich von 0 bis unbegrenzt oft integriert werden NS, falls und die resultierende Potenzreihe denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe hat und ihre Summen jeweils gleich sind

Erweiterung der Funktionen in Leistungsreihen

Gegeben sei eine Funktion F(x), die in einer Potenzreihe erweitert werden muss, d.h. in der Form (30) darstellen:

Die Aufgabe besteht darin, die Koeffizienten zu bestimmen Reihe (30). Dazu differenzieren wir die Gleichheit (30) Term für Term und finden sukzessive: