Решаване на хомогенни системи от линейни уравнения. Основен набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

За да разберете какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урок за същия пример, като щракнете върху. Сега нека преминем към действителното описание на цялата необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по -подробно същността на този въпрос.

Как да намерим фундаментална система от решения на линейно уравнение?

Вземете например следната система от линейни уравнения:

Нека да намерим решение на тази линейна система от уравнения. Като начало ние е необходимо да се запише матрицата на коефициентите на системата.

Преобразуваме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $ a_ (11) $, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $ a_ (21) $, извадете първия от втория ред и запишете разликата във втория ред. За да направите нула вместо елемента $ a_ (31) $, извадете първия от третия ред и запишете разликата в третия ред. За да направите нула вместо елемента $ a_ (41) $, извадете първия умножен по 2 от четвъртия ред и запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула вместо елемента $ a_ (31) $, извадете първия умножен по 2 от петия ред и запишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $ a_ (22) $, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула вместо елемента $ a_ (32) $, извадете втория умножен по 2 от третия ред и запишете разликата в третия ред. За да направите нула вместо елемента $ a_ (42) $, извадете втория умножен по 2 от четвъртия ред и запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула вместо елемента $ a_ (52) $, извадете втория умножен по 3 от петия ред и запишете разликата в петия ред.

Ние виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третия от четвъртия и петия, те ще станат нула.

Според тази матрица напишете нова система от уравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние трябва да преместите последните две неизвестни вдясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, през тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $ x_3 $, след което заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $ x_2 $, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $ x_1 $. По този начин ние всички неизвестни от лявата страна изразихме чрез неизвестните от дясната страна.

След това, вместо $ x_4 $ и $ x_5 $, можем да заменим произволни числа и да намерим $ x_1 $, $ x_2 $ и $ x_3 $. Всяко от тези пет числа ще бъде корените на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите вектори, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $ x_4 $ и да заменим 0 вместо $ x_5 $, да намерим $ x_1 $, $ x_2 $ и $ x_3 $, а след това обратно $ x_4 = 0 $ и $ x_5 = 1 $.

Извикват се системи от линейни уравнения, в които всички свободни членове са равни на нула хомогенна :

Всяка хомогенна система винаги е съвместима, тъй като винаги притежава нула (тривиално ) решение. Възниква въпросът при какви условия хомогенната система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица е по -малък от броя на нейните неизвестни.

Последица... Квадратната хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, за които системата има нетривиални решения, и намерете тези решения:

Решение... Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

По този начин системата е нетривиална, когато l = 3 или l = 2. При l = 3 рангът на основната матрица на системата е 1. След това оставяме само едно уравнение и приемаме това y=аи z=б, получаваме x = b-a, т.е.

За l = 2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, като изберете малката като основа:

получаваме опростена система

От това откриваме, че x = z/4, y = z/ 2. Ако приемем z=4а, получаваме

Множеството от всички решения на хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако колони X 1 и X 2 - решения на хомогенната система AX = 0, след това всяка линейна комбинация от тяха х 1 + b х 2 също ще бъде решение на тази система... Наистина, оттогава БОРА 1 = 0 и БОРА 2 = 0 , тогава А(а х 1 + b х 2) = а БОРА 1 + b БОРА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно поради това свойство, ако линейната система има повече от едно решение, тогава ще има безкрайно много от тези решения.

Линейно независими колони E 1 , E 2 , Е ккоито са решения на хомогенна система се наричат фундаментална система за вземане на решения хомогенна система от линейни уравнения, ако общото решение на тази система може да бъде записано като линейна комбинация от тези колони:

Ако има хомогенна система нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е r, тогава к = n-r.

Пример 5.7.Намерете фундаментална система от решения на следната система от линейни уравнения:

Решение... Нека намерим ранга на основната матрица на системата:

По този начин множеството решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство с измерения n - r= 5 - 2 = 3. Изберете като основен минор

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (останалите, така наречените свободни променливи, се придвижваме надясно), получаваме опростена система от уравнения:

Ако приемем х 3 = а, х 4 = б, х 5 = ° С, намираме

, .

Ако приемем а= 1, b = c= 0, получаваме първото основно решение; предполагайки б= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; предполагайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат на това нормалната система за фундаментални решения приема формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенна система може да бъде записано под формата

х = aE 1 + бъда 2 + cE 3. а

Нека отбележим някои свойства на решенията на неоднородната система от линейни уравнения AX = Bи връзката им със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на хетерогенна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система... Наистина, нека Y 0 е произволно конкретно решение на нехомогенна система, т.е. ДА 0 = Б, и Y- общо решение на хетерогенна система, т.е. AY = B... Изваждайки едно равенство от другото, получаваме
А(Г-Д 0) = 0, т.е. Д - Д 0 е общото решение на съответната хомогенна система БОРА= 0. Следователно, Д - Д 0 = х, или Y = Y 0 + х... Q.E.D.

Нека нехомогенната система е от вида AX = B 1 + Б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = Б 1 и AX 2 = Б 2. Това свойство изразява универсално свойство като цяло за всякакви линейни системи (алгебрични, диференциални, функционални и т.н.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, в електротехниката и радиотехниката - принцип на наслагване... Например, в теорията на линейните електрически вериги, токът във всяка верига може да бъде получен като алгебрична сума от токове, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Хомогенна система от линейни уравнения над поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментална система от решения на системата от уравнения (1) е непразна линейно независима система от нейни решения, чиято линейна обвивка съвпада с множеството от всички решения на системата (1).

Забележете, че хомогенна система от линейни уравнения, която има само нулево решение, няма фундаментална система от решения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Всякакви две основни системи от решения на хомогенна система от линейни уравнения се състоят от същия брой решения.

Доказателство. Всъщност всяка две фундаментални системи от решения на хомогенната система от уравнения (1) са еквивалентни и линейно независими. Следователно, по силата на предложение 1.12, техните редици са равни. Следователно броят на решенията, включени в една фундаментална система, е равен на броя на решенията, включени във всяка друга фундаментална система от решения.

Ако основната матрица A на хомогенната система от уравнения (1) е нула, тогава всеки вектор от е решение на система (1); в този случай всяка колекция от линейно независими вектори от е фундаментална система от решения. Ако рангът на колоната на матрицата А е равен, тогава система (1) има само едно решение - нула; следователно в този случай системата от уравнения (1) няма фундаментална система от решения.

ТЕОРЕМА 3.12. Ако рангът на основната матрица на хомогенната система от линейни уравнения (1) е по -малък от броя на променливите, тогава система (1) има фундаментална система от решения, състояща се от решения.

Доказателство. Ако рангът на основната матрица A на хомогенната система (1) е равен на нула или, тогава беше показано по -горе, че теоремата е вярна. Следователно по -долу се приема, че Ако приемем, ще приемем, че първите колони на матрицата A са линейно независими. В този случай матрицата A е по ред еквивалентна на намалената стъпаловидна матрица, а система (1) е еквивалентна на следната редуцирана степенна система от уравнения:

Лесно е да се провери, че на всяка система от стойности на свободните променливи на система (2) отговаря едно и само едно решение на система (2) и следователно на система (1). По -специално, само нулевото решение на система (2) и система (1) съответства на системата с нулеви стойности.

В система (2) ще присвоим стойност, равна на 1, на една от свободните променливи и нула на останалите променливи. В резултат на това получаваме решения на системата от уравнения (2), които пишем под формата на редове от следната матрица C:

Системата от редове на тази матрица е линейно независима. Всъщност за всякакви скалари от равенството

следва равенството

и следователно равенствата

Нека докажем, че линейният обхват на системата от редове на матрица C съвпада с множеството от всички решения на система (1).

Произволно решение на система (1). След това векторът

също е решение на система (1) и

Една хомогенна система винаги е последователна и има тривиално решение
... За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата е по -малко от броя на неизвестните:

.

Основна система за вземане на решения хомогенна система
се нарича система от решения под формата на колонови вектори
които съответстват на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно са зададени равни на единица, докато останалите са приравнени на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има формата:

където
- произволни константи. С други думи, общото решение е линейна комбинация от фундаментална система от решения.

По този начин основните решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни последователно се присвои стойността на единица, като се приеме, че всички останали са равни на нула.

Пример... Нека да намерим решение на системата

Нека приемем, тогава получаваме решението под формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

.

Общото решение ще бъде написано като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

Решението на системи от линейни уравнения интересува математиците от няколко века. Първите резултати са получени през 18 век. През 1750 г. Г. Крамер (1704-1752) публикува своите трудове за детерминантите на квадратни матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът на последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че чрез елементарни трансформации система от уравнения се редуцира до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма. Такива системи позволяват последователно намиране на всички неизвестни в определен ред.

Да предположим, че в система (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки на свой ред първото уравнение по т.нар подходящи номера

и като добавим резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която на всички уравнения, с изключение на първото, ще липсва неизвестното NS 1

(2)

Сега умножаваме второто уравнение на система (2) с подходящи числа, приемайки това

,

и като го добавим към подчинените, изключваме променливата от всички уравнения, започващи с третото.

Продължавайки този процес, след
стъпка, която получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е нула, тогава съответното равенство е несъвместимо и система (1) е непоследователна. И обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо друго освен ранга на матрицата на системата (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича директен курс метода на Гаус и намирането на неизвестните от (3) - обратен .

Коментирайте : По -удобно е да се правят трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример... Нека да намерим решение на системата

.

Нека запишем разширената матрица на системата:

.

Добавете към редове 2,3,4 първото, умножено съответно (-2), (-3), (-2):

.

Нека разменим редове 2 и 3 на места, след което в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножен по :

.

Добавете към ред 4 ред 3 умножен по
:

.

Очевидно е, че
следователно системата е съвместима. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратното заместване:

,
,
,
.

Пример 2.Намерете решение на системата:

.

Очевидно е, че системата е несъвместима, тъй като
, а
.

Предимства на метода на Гаус :

По -малко отнема време от метода на Cramer.

Той недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Това дава възможност да се определи ранга на всякакви матрици.

Ще продължим да полираме техниката елементарни трансформацииНа хомогенна система от линейни уравнения.
В първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по -нататъшното развитие на техниките, ще има и много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се предполага сам. Системата от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член от всекиуравненията на системата са равни на нула. Например:

Съвсем ясно е, че хомогенната система винаги е съвместима, тоест винаги има решение. И най-вече т.нар тривиалнорешение ... Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава bespontov. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ... Защо да бием около храсталака, нека разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го довеждат до поетапна форма. Моля, обърнете внимание, че няма нужда да пишете вертикалната лента и нулевата колона от безплатни членове тук - в края на краищата, каквото и да правите с нули, те ще останат нули:

(1) Първият ред, умножен по –2, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по –3, беше добавен към третия ред.

(2) Вторият ред, умножен по -1, беше добавен към третия ред.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна хомогенна система , и, прилагайки обратния ход на метода на Gauss, е лесно да се провери дали решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме очевиден критерий: хомогенната система от линейни уравнения има само тривиално решение, ако ранг на матрицата на системата(в този случай 3) е равен на броя на променливите (в този случай - 3 бр.).

Загряваме и настройваме нашия радиоприемник на вълната от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да укрепим най -накрая алгоритъма, нека анализираме крайната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, напишете отговора във векторна форма.

Решение: записваме матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я довеждаме до поетапна форма:

(1) Знакът на първия ред е променен. Още веднъж ви обръщам внимание на многократно срещаната техника, която ви позволява значително да опростите следващото действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2 -ри и 3 -ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към четвъртия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са заличени.

В резултат на това се получава стандартна стъпаловидна матрица и решението продължава по набраздената писта:

- основни променливи;
- безплатни променливи.

Нека изразим основните променливи като свободни променливи. От второто уравнение:

- заместване в първото уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Заменете трите стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати отговарят на всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е много желателно да се проверява всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но ще спести сто процента от грешки.

За тройни стойности намери вектора

И накрая, за тройката получаваме третия вектор:

Отговор: , където

Тези, които искат да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки и да получат еквивалентен отговор:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и си задаваме въпрос - възможно ли е да се опрости по -нататъшното решение? В края на краищата тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най -лесният и не най -приятният.

Второ решение:

Идеята е да опитате изберете други основни променливи... Нека да разгледаме матрицата и да забележим две в третата колона. Така че защо да не получите нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация: