Кое число е ирационални примери. Какво означава ирационално число?
Всички рационални числа могат да бъдат представени като обикновена дроб. Това важи и за цели числа (например 12, –6, 0) и крайни десетични дроби (например 0,5; –3,8921) и безкрайни периодични десетични дроби (например 0,11 (23); –3 , ( 87)).
но безкрайни непериодични десетични знаци невъзможно е да се представи под формата на обикновени дроби. Те са това, което са ирационални числа(тоест ирационално). Пример за такова число е π, което е приблизително 3,14. Но на какво точно е равно не може да се определи, тъй като след числото 4 има безкраен ред от други числа, в които не могат да се разграничат повтарящи се периоди. В същото време, въпреки че числото π не може да бъде точно изразено, то има специфично геометрично значение. Числото π е съотношението на дължината на всеки кръг към дължината на неговия диаметър. Следователно ирационалните числа съществуват в природата, както и рационалните.
Друг пример за ирационални числа е квадратни коренина положителни числа. Извличането на корени от едни числа дава рационални стойности, от други - ирационални. Например, √4 = 2, тоест коренът от 4 е рационално число. Но √2, √5, √7 и много други водят до ирационални числа, тоест те могат да бъдат извлечени само с приближение, закръглено до определен десетичен знак. В този случай фракцията е непериодична. Тоест, невъзможно е да се каже точно и определено какъв е коренът на тези числа.
Значи √5 е число, лежащо между числата 2 и 3, тъй като √4 = 2 и √9 = 3. Можете също да заключите, че √5 е по-близо до 2, отколкото до 3, тъй като √4 е по-близо до √5 от √9 до √5. Наистина, √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24.
Ирационалните числа се получават и при други изчисления (и не само при извличане на корени), те могат да бъдат отрицателни.
По отношение на ирационалните числа можем да кажем, че без значение какъв единичен сегмент вземем, за да измерим дължината, изразена с такова число, не можем определено да го измерим.
Ирационалните числа могат да участват в аритметичните операции заедно с рационалните. В същото време има редица модели. Например, ако в аритметична операция участват само рационални числа, тогава резултатът винаги е рационално число. Ако в операцията участват само ирационалните, тогава може да се каже недвусмислено дали тя ще бъде рационална или ирационално число, забранено е.
Например, ако умножите две ирационални числа √2 * √2, получавате 2 - това е рационално число. От друга страна, √2 * √3 = √6 е ирационално число.
Ако в аритметична операция участват рационално и ирационално число, тогава ще се получи ирационален резултат. Например, 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 - 4.
Защо √17 - 4 е ирационално число? Нека си представим, че получаваме рационално число x. Тогава √17 = x + 4. Но x + 4 е рационално число, тъй като приехме, че x е рационално. Числото 4 също е рационално, така че x + 4 е рационално. Рационално число обаче не може да бъде равно на ирационално √17. Следователно, предположението, че √17 - 4 дава рационален резултат, е невярно. Резултатът от аритметична операция ще бъде ирационален.
Има обаче изключение от това правило. Ако умножим ирационално число по 0, тогава ще получим рационално число 0.
По-рано показахме, че $ 1 \ frac25 $ е близо до $ \ sqrt2 $. Ако беше точно $ \ sqrt2 $,. Тогава съотношението - $ \ frac (1 \ frac25) (1) $, което може да се превърне в съотношение на цели числа $ \ frac75 $, умножавайки горната и долната част на дроба по 5, и би било желаната стойност.
За съжаление, $ 1 \ frac25 $ не е точна стойност за $ \ sqrt2 $. По-точен отговор, $ 1 \ frac (41) (100) $, ни дава отношението $ \ frac (141) (100) $. Постигаме още по-голяма точност, когато приравним $ \ sqrt2 $ с $ 1 \ frac (207) (500) $. В този случай съотношението в цели числа ще бъде $ \ frac (707) (500) $. Но също така $ 1 \ frac (207) (500) $ не е точната стойност на квадратния корен от 2. Гръцките математици прекараха много време и усилия за изчисляване точна стойност$ \ sqrt2 $, но така и не успяха. Те не успяха да представят съотношението $ \ frac (\ sqrt2) (1) $ като съотношение на цели числа.
И накрая, великият гръцки математик Евклид доказа, че колкото и да се увеличава точността на изчисленията, е невъзможно да се получи точната стойност на $ \ sqrt2 $. Няма дроб, който, когато се постави на квадрат, ще доведе до 2. Казват, че Питагор е първият стигнал до това заключение, но това необясним факттолкова впечатли учения, че се закле и даде клетва от учениците си да пази това откритие в тайна. Възможно е обаче тази информация да не отговаря на действителността.
Но ако числото $ \ frac (\ sqrt2) (1) $ не може да бъде представено като съотношение на цели числа, тогава нито едно не съдържа $ \ sqrt2 $, например $ \ frac (\ sqrt2) (2) $ или $ \ frac ( 4) (\ sqrt2) $ също не може да бъде представен като съотношение на цели числа, тъй като всички такива дроби могат да бъдат преобразувани в $ \ frac (\ sqrt2) (1) $, умножено по някакво число. Така че $ \ frac (\ sqrt2) (2) = \ frac (\ sqrt2) (1) \ times \ frac12 $. Или $ \ frac (\ sqrt2) (1) \ пъти 2 = 2 \ frac (\ sqrt2) (1) $, което може да бъде трансформирано чрез умножаване на горната и долната част по $ \ sqrt2 $, за да получите $ \ frac (4) (\ sqrt2) $. (Не забравяйте, че без значение какво е числото $ \ sqrt2 $, ако го умножим по $ \ sqrt2 $, получаваме 2.)
Тъй като числото $ \ sqrt2 $ не може да бъде представено като съотношение на цели числа, то се извиква ирационално число... От друга страна се извикват всички числа, които могат да бъдат представени като съотношение на цели числа рационално.
Всички цели и дробни числа, както положителни, така и отрицателни, са рационални.
Както се оказва, повечето квадратни корени са ирационални числа. Само числата в ред имат рационални квадратни корени квадратни числа... Тези числа се наричат още перфектни квадрати. Рационалните числа също са дроби, съставени от тези перфектни квадрати. Например, $ \ sqrt (1 \ frac79) $ е рационално число, защото $ \ sqrt (1 \ frac79) = \ frac (\ sqrt16) (\ sqrt9) = \ frac43 $ или $ 1 \ frac13 $ (4 е корен квадратен от 16, а 3 е корен квадратен от 9).
Рационалното число е число, което може да бъде представено като дроб, където 
... Q е множеството от всички рационални числа.
Рационалните числа се категоризират като положителни, отрицателни и нула.
Всяко рационално число може да бъде свързано с една точка на координатната права. Съотношението "вляво" за точките съответства на съотношението "по-малко" за координатите на тези точки. Можете да видите, че всяко отрицателно число по-малко от нулаи всяко положително число; от две отрицателни числа, по-малко е това, чийто модул е по-голям. И така, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Всяко число рационално може да бъде представено с десетична периодична дроб. Например, .
Алгоритмите за действия върху рационални числа следват от знаковите правила на съответните действия върху нула и положителни дроби. Делението се извършва в Q, с изключение на деление на нула.
Всякакви линейно уравнение, т.е. уравнение от вида ax + b = 0, където, е разрешимо на множеството Q, но не и всяко квадратно уравнениеот вида 
, е разрешима в рационални числа. Не всяка точка на координатната права има рационална точка. Дори в края на 6 век преди. н. пр. н. е. в школата на Питагор е доказано, че диагоналът на квадрата не е съизмерим с неговата височина, което е еквивалентно на твърдението: „Уравнението няма рационални корени“. Всичко по-горе доведе до необходимостта от разширяване на множеството Q, въведена беше концепцията за ирационално число. Нека означим множеството от ирационални числа с буквата Дж
.
На координатната права всички точки, които нямат рационални координати, имат ирационални координати. , където r са набори от реални числа. По универсален начинПрисвояването на реалните числа са десетични дроби. Периодичните десетични знаци са рационални числа, а непериодичните десетични числа са ирационални числа. И така, 2,03 (52) е рационално число, 2,03003000300003 ... (периодът на всяка следваща цифра "3" се записва още една нула) е ирационално число.
Множествата Q и R притежават свойствата на положителност: между всякакви две рационални числа има рационално число, например isoi a За всяко ирационално число α
може да се посочи рационално приближение както с дефицит, така и с излишък с всякаква точност: a< α
Операцията по извличане на корен от някои рационални числа води до ирационални числа. Извличането на корен от естествена степен е алгебрична операция, т.е. въвеждането му е свързано с решението на алгебрично уравнение от вида Аритметичен корен (за краткост, корен) от n-та степен на неотрицателно число a е неотрицателно число b, което е коренът на уравнението. n-тият корен на числото a се обозначава със символа. За n = 2 степента на корен 2 не е посочена:. Например, тъй като 2 2 = 4 и 2 > 0; от 3 3 = 27 и 3 > 0; не съществува, защото -4<0. За n = 2k и a> 0, корените на уравнение (1) се записват, както следва. Например, корените на уравнението x 2 = 4 са 2 и -2. Когато n е нечетно, уравнение (1) има уникален корен за всяко. Ако a≥0, тогава е коренът на това уравнение. Ако<0, то –а>0 и е коренът на уравнението. И така, уравнението x 3 = 27 има корен. Разбирането на числата, особено на естествените, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори съвременни, приписват някои мистични свойства на числата поради голямото им значение при описването на природата. Въпреки че съвременната наука и математика не подкрепят тези "магически" свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо. В исторически план първо се появиха много естествени числа, след което доста скоро към тях бяха добавени дроби и положителни ирационални числа. След тези подмножества на набора от реални числа бяха въведени нула и отрицателни числа. Последният набор, наборът от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука. В съвременната математика числата не се въвеждат в исторически ред, макар и в доста близък до него. Наборът от естествени числа често се обозначава като $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $ и често е с нула, за да обозначи $ \ mathbb (N) _0 $. В $ \ mathbb (N) $ операциите събиране (+) и умножение ($ \ cdot $) са дефинирани със следните свойства за всеки $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $: 1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ множеството $ \ mathbb (N) $ е затворено при операциите събиране и умножение Тъй като множеството $ \ mathbb (N) $ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че включва неутрален елемент за събиране. В допълнение към тези две операции, на множеството $ \ mathbb (N) $, отношенията "по-малко от" ($ 1. $ a b $ трихотомия Примери за цели числа: Решението на уравнението $ a + x = b $, където $ a $ и $ b $ са известни естествени числа, а $ x $ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане (-). Ако има естествено число $ x $, което удовлетворява това уравнение, тогава $ x = b-a $. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение на множеството $ \ mathbb (N) $, така че практическите съображения изискват разширяване на набора от естествени числа, за да включва решения на такова уравнение. Това води до въвеждането на набор от цели числа: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $. Тъй като $ \ mathbb (N) \ подмножество \ mathbb (Z) $, логично е да се приеме, че въведените по-рано операции $ + $ и $ \ cdot $ и отношенията $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ има неутрален елемент за допълнения Свойство 5 .: Множеството $ \ mathbb (Z) $ също е затворено при операцията на изваждане, тоест $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $. Примери за рационални числа: Сега разгледайте уравнения от вида $ a \ cdot x = b $, където $ a $ и $ b $ са известни цели числа, а $ x $ е неизвестно. За да е възможно решението е необходимо да се въведе операцията за деление ($: $), а решението приема формата $ x = b: a $, тоест $ x = \ frac (b) (a) $ . Отново възниква проблемът, че $ x $ не винаги принадлежи на $ \ mathbb (Z) $, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. По този начин въвеждаме множеството от рационални числа $ \ mathbb (Q) $ с елементи $ \ frac (p) (q) $, където $ p \ in \ mathbb (Z) $ и $ q \ in \ mathbb (N) $. Множеството $ \ mathbb (Z) $ е подмножество, в което всеки елемент е $ q = 1 $, следователно $ \ mathbb (Z) \ подмножество \ mathbb (Q) $ и операциите по събиране и умножение са разширени до това множество съгласно следните правила, които запазват всички горни свойства на множеството $ \ mathbb (Q) $: Разделението се въвежда по следния начин: На множеството $ \ mathbb (Q) $ уравнението $ a \ cdot x = b $ има уникално решение за всяко $ a \ neq 0 $ (делението на нула не е дефинирано). Това означава, че има обратен $ \ frac (1) (a) $ или $ a ^ (- 1) $: Редът на множеството $ \ mathbb (Q) $ може да бъде разширен, както следва: Множеството $ \ mathbb (Q) $ има едно важно свойство: между всякакви две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от наборите от естествени и цели числа. Примери за ирационални числа: С оглед на факта, че има безкрайно много други рационални числа между всякакви две рационални числа, е лесно да се направи погрешно заключение, че множеството от рационални числа е толкова плътно, че няма нужда от по-нататъшното му разширяване. Дори Питагор направи такава грешка по едно време. Въпреки това, неговите съвременници вече опровергаха това заключение, когато изучаваха решенията на уравнението $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) върху множеството от рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $ x = \ sqrt (2) $. Уравнение от типа $ x ^ 2 = a $, където $ a $ е известно рационално число, а $ x $ е неизвестно, не винаги има решение на множеството от рационални числа и отново има нужда за разширяване на комплекта. Възниква набор от ирационални числа и такива числа като $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... принадлежат на това множество. Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $ \ mathbb (Q) \ подмножество \ mathbb (R) $, отново е логично да приемем, че въведените аритметични операции и отношения запазват свойствата си на новото множество. Формалното доказателство за това е много трудно, поради което споменатите по-горе свойства на аритметичните операции и отношения върху множеството от реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебрата такъв обект се нарича поле, така че казват, че множеството от реални числа е подредено поле. За да бъде пълна дефиницията на множеството от реални числа, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, разграничаваща множествата $ \ mathbb (Q) $ и $ \ mathbb (R) $. Да предположим, че $ S $ е непразно подмножество от множеството реални числа. Елемент $ b \ in \ mathbb (R) $ се нарича горна граница на множеството $ S $, ако $ \ forall x \ in S $ е вярно $ x \ leq b $. Тогава се казва, че множеството $ S $ е ограничено отгоре. Най-малката горна граница на множеството $ S $ се нарича supremum и се означава с $ \ sup S $. Понятията за долна граница, множество, ограничено отдолу, и infinum $ \ inf S $ се въвеждат по подобен начин. Липсващата аксиома сега е формулирана, както следва: Всяко непразно и ограничено от горната част подмножество на множеството от реални числа има супремум. Примери за комплексни числа: Множеството комплексни числа представлява всички подредени двойки реални числа, тоест $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ times \ mathbb (R) $, върху които операциите на събирането и умножението се дефинират по следния начин: Има няколко форми на нотация за комплексни числа, най-често срещаната от които е $ z = a + ib $, където $ (a, b) $ е двойка реални числа, а числото $ i = (0,1) $ се нарича въображаема единица. Лесно е да се покаже, че $ i ^ 2 = -1 $. Разширяването на множеството $ \ mathbb (R) $ до множеството $ \ mathbb (C) $ ви позволява да определите квадратния корен от отрицателните числа, което беше причината за въвеждането на набор от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $ \ mathbb (C) $, дефинирано като $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $, удовлетворява всички аксиоми за реални числа, следователно $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $, или $ R \ подмножество \ mathbb (C) $. Алгебричната структура на множеството $ \ mathbb (C) $ по отношение на операциите събиране и умножение има следните свойства: Ирационално число- това е реално число, което не е рационално, тоест не може да бъде представено като дроб, където са цели числа,. Ирационално число може да бъде представено като безкрайна непериодична десетична дроб. Много ирационални числа обикновено се обозначават с главна латинска буква в удебелен шрифт, без запълване. Така: т.е. множеството от ирационални числа е разликата между множеството от реални и рационални числа. За съществуването на ирационални числа, по-точно отсечки, несъизмерими с отсечка с единична дължина, вече са били известни на древните математици: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е равносилно на ирационалността на число. Ирационални са: Да предположим обратното: рационално, тоест той е представен като несводима дроб, където е цяло число и е естествено число. Нека квадратурираме приетото равенство: Оттук следва, че дори означава дори и. Нека бъде, къде е цялото. Тогава Следователно дори означава дори и. Получихме това и сме четни, което противоречи на неприводимостта на дроба. Това означава, че първоначалното предположение е било погрешно и - ирационално число. Да предположим обратното: рационално, тоест представено като дроб, където и са цели числа. Тъй като и може да бъде избран като положителен. Тогава Но четно и странно. Получаваме противоречие. Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр.н.е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) разбра, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени . Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е смятало, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която влиза във всеки сегмент цял брой пъти. Хипас обаче доказа, че няма единна единица за дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цял брой единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така: Гръцките математици наричат това съотношение на несъизмерими величини aalogos(неизразимо), обаче, според легендите, те не отдават на Хипас заслуженото уважение. Легендата разказва, че Хипас е направил откритие по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „заради създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните взаимоотношения“. Откриването на Хипас постави сериозен проблем за питагорейската математика, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неделими.
... Ако n е нечетно, т.е. n = 2k + 1, където, тогава уравнението има един корен. Ако n е четно, n = 2k, където, тогава за a = 0 уравнението има един корен x = 0, за a<0 корней нет, при a>0 има два корена, които са противоположни един на друг. Извличането на корен е обратната операция на повишаване на естествена степен.Естествени числа $ \ mathbb (N) $
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ комутативност
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ асоциативност
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ дистрибутив
5. $ a \ cdot 1 = a $ е неутралният елемент за умножение
2. ако $ a \ leq b $ и $ b \ leq a $, тогава $ a = b $ антисиметрия
3. ако $ a \ leq b $ и $ b \ leq c $, тогава $ a \ leq c $ е транзитивност
4. ако $ a \ leq b $, тогава $ a + c \ leq b + c $
5. ако $ a \ leq b $, то $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $Цели числа $ \ mathbb (Z) $
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ има противоположно число $ -a $ за $ a $
5. ако $ 0 \ leq a $ и $ 0 \ leq b $, тогава $ 0 \ leq a \ cdot b $Рационални числа $ \ mathbb (Q) $
$ \ frac (1) (2), \ frac (4) (7), - \ frac (5) (8), \ frac (10) (20) ... $
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ съществува \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $
$ \ frac (p_1) (q_1)Ирационални числа $ \ mathbb (I) $
$0.333333...$
$ \ sqrt (2) \ приблизително 1,41422135 ... $
$ \ pi \ приблизително 3,1415926535 ... $Реални числа $ \ mathbb (R) $
Можете също да докажете, че полето на реалните числа, дефинирано по горния начин, е уникално.Комплексни числа $ \ mathbb (C) $
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ където $ i = \ sqrt (-1) $ или $ i ^ 2 = -1 $
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $
1.сменяемост на събиране и умножение
2.асоциативност на събиране и умножение
3. $ 0 + i0 $ - неутрален елемент за събиране
4. $ 1 + i0 $ - неутрален елемент за умножение
5.умножението е разпределително по отношение на събирането
6. има единичен обратен елемент както за събиране, така и за умножение.Имоти
Примери за
Ирационални числа
- ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - - Примери за доказателство за ирационалност
Корен от 2
Двоичен логаритъм от 3
д
История
