Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний тоон шинж чанар. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хууль
Нэг нь хамгийн чухал ойлголтуудмагадлалын онол бол ойлголт юм санамсаргүй хувьсагч.
Санамсаргүйдуудсан үнэ цэнэТуршилтын үр дүнд урьдчилан мэдэгдээгүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаардаг тодорхой утгыг авдаг бөгөөд үүнийг урьдчилан тооцох боломжгүй юм.
Санамсаргүй хувьсагчдыг тэмдэглэв том үсэгнүүдЛатин цагаан толгой X, Ю, Згэх мэт эсвэл баруун доод үсэг бүхий латин цагаан толгойн том үсгээр, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч болох утгуудыг Латин цагаан толгойн харгалзах жижиг үсгээр бичнэ. х, y, zгэх мэт.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголттой нягт холбоотой. Санамсаргүй үйл явдалтай холбогдохЭнэ нь тодорхой тоон утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөх нь магадлалаар тодорхойлогддог санамсаргүй үзэгдэл юм. 
.
Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр үндсэн төрөл байдаг:
1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн;
2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй үйл явдлын тоон функц юм.
Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь шоо шидэх үед унасан оноо эсвэл судалгааны бүлгээс санамсаргүй байдлаар сонгогдсон оюутны өндөр юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнУрьдчилан тоолж болох бие биенээсээ алслагдсан утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.
хуваарилалтын хууль(тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд заримыг нь мэдэхэд хангалттай тоон шинж чанарАсуултанд хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүнийг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс гарч болзошгүй хазайлт). Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульямар ч харьцаа гэж нэрлэдэг , санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг тогтоох .
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар илэрхийлж болно хүснэгтүүд:
| … | … | ||||
| … | … |
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Хуваарилалтын хуулийг төлөөлж болно графикаар: абсцисса тэнхлэг дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг, ордны тэнхлэг дээр эдгээр утгуудын магадлалыг зурна; олж авсан цэгүүдийг сегментээр холбодог. Баригдсан polyline гэж нэрлэдэг түгээлтийн полигон.
Жишээ. 4 сумтай анчин эхний цохилт эсвэл бүх тойрог дуустал тоглоом руу харвана. Эхний цохилтоор цохих магадлал 0.7, дараагийн цохилт бүрт 0.1-ээр буурдаг. Анчны ашигласан сумны тоог хуваарилах хуулийг гарга.
Шийдэл.Анчин 4 тойрогтой тул дөрвөн удаа буудаж, дараа нь санамсаргүй утгыг авах боломжтой X- анчны ашигласан сумны тоо нь 1, 2, 3, 4 гэсэн утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид дараах үйл явдлуудыг танилцуулж байна.
- "цохих би- ohm shot”, ;
-" санаж байна би- th shot” болон үйл явдлууд нь хосоороо бие даасан байдаг.
Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу бид дараах байдалтай байна.
, 
Бие даасан үйл явдлуудын үржүүлэх теорем ба үл нийцэх үйл явдлуудын нэмэх теоремоор бид дараахь зүйлийг олно.
(анчин эхний сумаар бай оносон);
(анчин хоёр дахь сумнаас зорилтот оносон);
(анчин гурав дахь буудлагаас оносон бай);
(анчин дөрөв дэх удаагаа бай оносон эсвэл дөрвөн удаа алдсан).
Баталгаажуулалт: - зөв.
Ийнхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xхарагдаж байна:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Жишээ.Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Нэг цагийн дотор эхний машинд тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоог хуваарилах хуулийг гарга.
Шийдэл.Санамсаргүй утга X- Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоо нь 0.1, 2, 3 утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид дараах үйл явдлуудыг танилцуулж байна.
- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагатай болно ";
- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагагүй болно.
Асуудлын нөхцлөөр бид дараах байдалтай байна.
, 
.
Тодорхойлолт 1
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүний утгуудын багц хязгааргүй эсвэл хязгаарлагдмал боловч тоолж болохуйц байвал дискрет (тасралтгүй) гэж нэрлэдэг.
Өөрөөр хэлбэл, утгыг нь тоолж болохуйц хэмжигдэхүүнийг салангид гэж нэрлэдэг.
Та тархалтын хуулийг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлж болно.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёр дахь мөрөнд харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. Эдгээр утгуудаас:
Зураг 1.
Энд $p1+ p2+ ... + pn = 1$.
Энэ хүснэгт нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ цуваа нийлж, нийлбэр нь $1$-тэй тэнцүү байна.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болох ба үүний тулд координатын системд (тэгш өнцөгт) тасархай шугамыг барьж, $(xi;pi), i=1,2, координаттай цэгүүдийг дараалан холбодог. ... n$. Дуудсан шугам түгээлтийн полигон.
Зураг 2.
$X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мөн аналитик байдлаар (томъёог ашиглан) төлөөлж болно.
$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.
Дискрет магадлал дээрх үйлдлүүд
Магадлалын онолын олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тогтмол тоогоор үржүүлэх, хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэмэх, үржүүлэх, зэрэгт хүргэх үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг. Эдгээр тохиолдолд санамсаргүй дискрет хувьсагчийн хувьд дараах дүрмийг баримтлах шаардлагатай.
Тодорхойлолт 3
Үржүүлэх замаардискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ тогтмол $K$ нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $Y=KX,$ нь тэгшитгэлээс шалтгаална: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\баруун)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$
Тодорхойлолт 4
$x$ ба $y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дууддаг бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь хоёр дахь утгыг олж авсан боломжит үнэ цэнээс хамаарахгүй бол.
Тодорхойлолт 5
нийлбэр$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=X+Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээс үүдэлтэй: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\баруун)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $ P \ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.
Тодорхойлолт 6
Үржүүлэх замаар$X$ ба $Y$ хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $Z=XY санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг, $ нь тэгшитгэлээс үүдэлтэй: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ зүүн (x_i \ баруун) = p_i $, $ P \ зүүн (y_j \ баруун) = p "_j $.
Зарим $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ бүтээгдэхүүнүүд хоорондоо тэнцүү байж болохыг анхаарцгаая. Энэ тохиолдолд бүтээгдэхүүнийг нэмэх магадлал нь харгалзах магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, хэрэв $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7 бол $x_2y_3$ (эсвэл ижил $x_5y_7$) магадлал $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7-тэй тэнцүү байх болно. .$
Дээрх хэмжээ нь мөн адил хамаарна. Хэрэв $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6, $ бол $x_1+\ y_2$ (эсвэл ижил $x_4+\ y_6$) магадлал $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 болно.$
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ болон $Y$ нь тархалтын хуулиар өгөгдсөн байг.
Зураг 3
$p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Дараа нь $X+Y$ нийлбэрийн тархалтын хууль дараах байдалтай байна.
Зураг 4
Мөн $XY$ бүтээгдэхүүний хуваарилалтын хууль нь хэлбэртэй байх болно
Зураг 5
түгээлтийн функц
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тайлбарыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.
Геометрийн хувьд тархалтын функцийг $X$ цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр бодит шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлал гэж тайлбарладаг.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хамгийн нийтлэг хуулиудыг бид ялгаж салгаж болно.
- Бином тархалтын хууль
- Пуассоны тархалтын хууль
- Геометрийн тархалтын хууль
- Гипергеометрийн тархалтын хууль
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн тархалтын хувьд тэдгээрийн утгын магадлалын тооцоо, түүнчлэн тоон шинж чанар ( хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, тархалт гэх мэт) тодорхой "томъёо" -ын дагуу үйлдвэрлэгддэг. Тиймээс эдгээр төрлийн тархалт, тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь маш чухал юм.
1. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ утгуудыг $P\left(X=k\right)= магадлалтай авсан тохиолдолд хоёрт магадлалын тархалтад хамаарна. C^k_n\cdot p^k\cdot (\зүүн(1-p\баруун))^(nk)$. Үнэн хэрэгтээ $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $n$ бие даасан туршилтуудад $A$ үйл явдлын тохиолдлын тоо юм. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \цэгүүд & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\баруун) & P_n\left(1\баруун) & \цэгүүд & P_n\left(n\баруун) \\
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд хүлээлт нь $M\left(X\right)=np$, дисперс нь $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ байна.
Жишээ . Айлын хоёр хүүхэдтэй. Хүү, охин хоёрын төрөх магадлалыг $0.5$-тэй тэнцүү гэж үзээд $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүн буюу гэр бүлийн хөвгүүдийн тоон тархалтын хуулийг ол.
$\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг гэр бүлийн хөвгүүдийн тоо гэж үзье. $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$-ын авч чадах утгууд. Эдгээр утгын магадлалыг $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk) томъёогоор олж болно. )$, энд $n =2$ - бие даасан туршилтын тоо, $p=0.5$ - $n$ туршилтын цувралд үйл явдал тохиолдох магадлал. Бид авах:
$P\left(\xi =0\баруун)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\баруун))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$
$P\left(\xi =1\баруун)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\зүүн(1-0.5\баруун))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\баруун)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\баруун))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
Дараа нь $\xi $ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь $0,\ 1,\ 2$ утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондох харгалзах байдал юм, жишээлбэл:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(массив)$
Түгээлтийн хуулийн магадлалын нийлбэр нь $1$-тэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = $1.
Хүлээгдэж буй $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, зөрүү $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\баруун)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, дундаж стандарт хэлбэлзэл$\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \баруун))=\sqrt(0.5)\ойролцоогоор 0.707$.
2. Пуассоны тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоо $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Сэтгэгдэл. Энэхүү тархалтын онцлог нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн бид $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ гэсэн тооцоог олдог, хэрэв олж авсан тооцоолол нь хоорондоо ойролцоо байвал бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Пуассоны тархалтын хуульд хамаарна гэж батлах үндэслэлтэй.
Жишээ . Пуассоны хуваарилалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: ШТС-аас маргааш үйлчилгээ үзүүлэх автомашины тоо; үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний гэмтэлтэй зүйлийн тоо.
Жишээ . Тус үйлдвэр бааз руу 500 долларын бүтээгдэхүүн илгээсэн. Бүтээгдэхүүнийг тээвэрлэх явцад гэмтэх магадлал 0.002 доллар байна. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол. тоотой тэнцүү байнагэмтсэн бүтээгдэхүүн; Энэ нь $М \ зүүн (X \ баруун), \ D \ зүүн (X \ баруун) $ -тай тэнцүү байна.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ гэмтсэн зүйлсийн тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ параметртэй Пуассоны тархалтын хуульд хамаарна. Утгын магадлал нь $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) байна.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\зүүн(X=3\баруун)=((1^3)\ дээш (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\зүүн(X=5\баруун)=((1^5)\дээш (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\зүүн(X=6\баруун)=((1^6)\(6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(массив)$
Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлт ба дисперс нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд $\lambda $ параметртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. доллар.
3. Геометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь зөвхөн $1,\ 2,\ \dots,\ n$ натурал утгуудыг авах боломжтой бол $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) магадлалтай. баруун)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тэгвэл бид ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагдана гэж хэлдэг. Үнэн хэрэгтээ геометрийн тархалт нь Бернуллигийн анхны амжилтанд хүрэх туршилт юм.
Жишээ . Геометрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: бай руу эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо; анхны бүтэлгүйтлийн өмнөх төхөөрөмжийн туршилтын тоо; эхний толгой дээшээ гарахаас өмнө зоос шидсэн тоо гэх мэт.
Геометрийн тархалтад хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) байна. /p^ 2$.
Жишээ . Загасыг түрсээ шахах газар руу зөөх замд 4 долларын цоож байдаг. Цоож бүрээр загас өнгөрөх магадлал $p=3/5$ байна. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг байгуулна - цоожны эхний зогсолтоос өмнө загасны хажуугаар өнгөрсөн цоожны тоо. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$-г олоорой.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $X$ нь шлюз дээр эхний зогсолт хийхээс өмнө загасны хажуугаар өнгөрсөн шлюзийн тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын геометрийн хуульд захирагддаг. $X санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгууд нь: 1, 2, 3, 4. Эдгээр утгын магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, Үүнд: $ p=2/5$ - цоожоор загас баригдах магадлал, $q=1-p=3/5$ - цоожоор дамжин өнгөрөх загасны магадлал, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^0=((2)\ дээш(5))=0.4;$
$P\left(X=2\баруун)=((2)\(5)-аас дээш)\cdot ((3)\(5)-аас дээш)=((6)\(25)-аас дээш)=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over(5))\cdot(\left(((3)\(5))\баруун)^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25)-аас дээш)=((18)\(125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(() (3)\(5))\баруун))^4=((27)\(125))=0.216.$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\зүүн(X_i\баруун) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(массив)$
Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Тархалт:
$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2=)0,4\cdot (\ зүүн(1-2,176\баруун))^2+0,24\cdot (\зүүн(2-2,176\баруун))^2+0,144\cdot (\зүүн(3-2,176\баруун))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\зүүн(4-2.176\баруун))^2\ойролцоогоор 1.377.$
Стандарт хэлбэлзэл:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ойролцоогоор 1,173.$
4. Гипергеометрийн тархалтын хууль.
Хэрэв $N$ объект байгаа бол $m$ объектууд нь өгөгдсөн өмчтэй байна. Санамсаргүй байдлаар, орлуулахгүйгээр $n$ объектуудыг гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн дотор өгөгдсөн өмчтэй $k$ объектууд байдаг. Гипергеометрийн тархалт нь түүвэр дэх яг $k$ объектууд өгөгдсөн шинж чанартай байх магадлалыг тооцоолох боломжийг олгодог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь түүвэр дэх өгөгдсөн шинж чанартай объектуудын тоо гэж үзье. Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлал:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Сэтгэгдэл. Excel $f_x$ функцийн мастерын HYPERGEOMET статистик функц нь тодорхой тооны туршилт амжилттай болох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
$f_x\to $ статистик$\to$ ГИПЕРГЕОМЕТ$\to$ БОЛЖ БАЙНА УУ. Та бөглөх шаардлагатай харилцах цонх гарч ирнэ. График дээр Дээжийн_амжилтын_тоо$k$-ын утгыг зааж өгнө. дээжийн_хэмжээ$n$-тай тэнцэнэ. График дээр Хүн амын_амжилтын_тоо$m$-ын утгыг зааж өгнө. Хүн амын_хэмжээдоллар N$-тай тэнцэнэ.
Геометрийн тархалтын хуульд хамаарах $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс нь $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) байна. (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over(N-1))$.
Жишээ . Тус банкны зээлийн хэлтэст санхүүгийн дээд боловсролтой 5 мэргэжилтэн, хууль зүйн дээд боловсролтой 3 мэргэжилтэн ажиллаж байна. Тус банкны удирдлагууд санамсаргүй түүврийн аргаар 3 мэргэжилтэнг ахисан түвшний сургалтад явуулахаар болжээ.
a) Ахисан түвшний сургалтад чиглүүлэх боломжтой санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоог цувралаар гаргах;
б) Энэ тархалтын тоон шинж чанарыг ол.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь сонгогдсон 3 хүний дундаас санхүүгийн дээд боловсролтой мэргэжилтнүүдийн тоо гэж үзье. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$-ын авч чадах утгууд. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь гипергеометрийн тархалтын дагуу дараах параметрүүдээр хуваарилагдана: $N=8$ - популяцийн хэмжээ, $m=5$ - популяцийн амжилтын тоо, $n=3$ - түүврийн хэмжээ, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - түүврийн амжилтын тоо. Дараа нь $P\left(X=k\right)$ магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолж болно: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(Nm)^(nk) \ гаруй C_( N)^(n) ) $. Бидэнд байгаа:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\(56))\ойролцоогоор 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\(56))\ойролцоогоор 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\(28))\ойролцоогоор 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\(28))\ойролцоогоор 0.179.$
Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(массив)$
Гипергеометрийн тархалтын ерөнхий томъёог ашиглан $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг тооцоолъё.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\(8)-аас дээш)=1,875.$
$D\зүүн(X\баруун)=((нм\зүүн(1-((м)\(N))\баруун)\зүүн(1-((n)\(N))\баруун)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\баруун))\дээш (8-1))=((225)\(448))\ойролцоогоор 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ойролцоогоор 0.7085.$
Үйлчилгээний даалгавар. Онлайн тооцоолуур нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хүснэгтийг бүтээхэд ашиглагддаг - хийсэн туршилтуудын тоо, цувралын бүх шинж чанарыг тооцоолох: математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлт. Шийдвэр бүхий тайланг Word форматаар боловсруулсан болно. Жишээ №1. Гурван зоос шидэж байна. Нэг өнхрөхдөө сүлд унах магадлал 0.5 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хууль гарга - унасан сүлдний тоо.Шийдэл.
Төрийн сүлд унахгүй байх магадлал: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Гурван төрийн сүлд унах магадлал: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| П | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Жишээ №2. Нэг сумаар нэг буудагчийн байг онох магадлал нь эхний харвагчийн хувьд 0.8, хоёр дахь харвагчийн хувьд 0.85 байна. Буудлагчид бай руу нэг удаа буудсан. Бие даасан харваачдын байг онох нь бие даасан үйл явдал гэж үзвэл А үйл явдлын магадлалыг олоорой - байн дээр яг нэг цохилт өгөх.
Шийдэл.
А үйл явдлыг авч үзье - зорилтот нэг цохилт. Боломжит сонголтуудЭнэ үйл явдлын илрэл нь дараах байдалтай байна.
- Эхний шидэгч оносон, хоёр дахь мэргэн бууч алдсан: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Эхний буудагч алдаж, хоёр дахь харвагч оносон: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Эхний болон хоёр дахь харваачид бие даан бай оносон: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
"Санамсаргүй хувьсагч" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
Даалгавар 1 . Сугалаанд 100 ширхэг тасалбар гарсан байна. 50 ам.долларын нэг хожил тоглолоо. мөн тус бүр 10 долларын арван ялалт. X утгын тархалтын хуулийг ол - боломжит ашгийн өртөг.
Шийдэл. X-ийн боломжит утгууд: x 1 = 0; х 2 = 10 ба x 3 = 50. 89 “хоосон” тасалбар байгаа тул х 1 = 0.89, хожих магадлал 10 c.u. (10 тасалбар) - х 2 = 0.10 ба 50 c.u-ийн ялалтын хувьд. –х 3 = 0.01. Энэ замаар:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Хянахад хялбар: .
Даалгавар 2. Худалдан авагч нь бүтээгдэхүүний сурталчилгаатай урьдчилан танилцсан байх магадлал 0.6 (p = 0.6). Зар сурталчилгааны чанарын сонгон шалгаруулалтыг зар сурталчилгааг урьдчилан судалж үзсэн худалдан авагчдын өмнө санал асуулга явуулна. Ярилцлагад хамрагдсан худалдан авагчдын тоог цувралаар хуваарилах.
Шийдэл. Асуудлын нөхцлийн дагуу p = 0.6. Эхнээс: q=1 -p = 0.4. Эдгээр утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.түгээлтийн цувралыг байгуулна:
|
пи |
0,24 |
Даалгавар 3. Компьютер нь системийн нэгж, дэлгэц, гар гэсэн гурван бие даасан элементээс бүрдэнэ. Хүчдэл нэг удаа огцом нэмэгдэхэд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал 0.1 байна. Бернуллигийн хуваарилалт дээр үндэслэн сүлжээнд хүчдэлийн өсөлтийн үед бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.
Шийдэл. Санаж үз Бернуллигийн тархалт(эсвэл бином): магадлал n тестүүд, А үйл явдал яг харагдах болнок нэг удаа: 
, эсвэл:
|
q n |
х n |
В Даалгавар руугаа буцаж орцгооё.
X-ийн боломжит утгууд (алдааны тоо):
x 0 =0 - аль ч элемент амжилтгүй болсон;
x 1 =1 - нэг элементийн эвдрэл;
x 2 =2 - хоёр элементийн эвдрэл;
x 3 =3 - бүх элементүүдийн эвдрэл.
Нөхцөлөөр p = 0.1, тэгвэл q = 1 – p = 0.9. Бернулли томъёог ашиглан бид олж авна
, ,
, .
Хяналт: .
Тиймээс хүссэн хуваарилалтын хууль:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Даалгавар 4. 5000 дугуй үйлдвэрлэсэн. Нэг хайрцаг гэмтэлтэй байх магадлал 
. Бүх багцад яг 3 ширхэг гэмтэлтэй хайрцаг байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Хэрэглэх боломжтой Пуассоны тархалт: энэ хуваарилалт нь маш том өгөгдсөн магадлалыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг
туршилтын тоо (масс туршилт), тус бүрт А үйл явдлын магадлал маш бага, А үйл явдал k удаа тохиолдох болно: 
, хаана.
Энд n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Бид , дараа нь хүссэн магадлалыг олно: 
.
Даалгавар 5. Онох магадлал бүхий эхний цохилтоос өмнө буудах үед p Буудлагын хувьд = 0.6 бол гурав дахь цохилт дээр цохилт өгөх магадлалыг олох хэрэгтэй.
Шийдэл. Геометрийн тархалтыг хэрэглэцгээе: бие даасан туршилтуудыг хийцгээе, тус бүрт А үйл явдал p тохиолдох магадлал (мөн тохиолдохгүй байх q = 1 - p) байна. А үйл явдал болмогц туршилтууд дуусна.
Ийм нөхцөлд k-р туршилтанд А үзэгдэл тохиолдох магадлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно. Энд p = 0.6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Тиймээс, .
Даалгавар 6. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар өгье.
Математикийн хүлээлтийг ол.
Шийдэл. .
Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэдгийг анхаарна уу.
Даалгавар 7. Дараах тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дисперсийг ол.
Шийдэл. Энд .
X-ийн квадратын тархалтын хууль 2 :
|
X 2 |
|||
Шаардлагатай хэлбэлзэл: .
Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх (тарагдах) зэргийг тодорхойлдог.
Даалгавар 8. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтаар өгье.
|
10м |
|||
Түүний тоон шинж чанарыг ол.
Шийдэл: м, м 2 ,
М 2 , м.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн талаар аль нэгийг нь хэлж болно - түүний математикийн хүлээлт нь 6.4 м, 13.04 м-ийн хэлбэлзэлтэй байна. 2 , эсвэл - түүний математикийн хүлээлт нь м-ийн хазайлттай 6.4 м юм.Хоёр дахь томъёолол нь мэдээжийн хэрэг тодорхой байна.
Даалгавар 9.
Санамсаргүй утга X түгээлтийн функцээр өгөгдсөн: 
.
Туршилтын үр дүнд X утга интервалд агуулагдах утгыг авах магадлалыг ол 
.
Шийдэл. Өгөгдсөн интервалаас X утгыг авах магадлал нь энэ интервал дахь интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. . Манай тохиолдолд, тиймээс
.
Даалгавар 10. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн:
Түгээлтийн функцийг ол F(x ) ба түүний графикийг байгуулна.
Шийдэл. Түгээлтийн функцээс хойш
төлөө 
, дараа нь
үед;
үед;
үед;
үед;
Холбогдох диаграм:
Даалгавар 11.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X дифференциал тархалтын функцээр өгөгдсөн: 
.
Онох магадлалыг ол X хүртэлх интервал
Шийдэл. Энэ нь экспоненциал тархалтын хуулийн онцгой тохиолдол гэдгийг анхаарна уу.
Томьёог ашиглая: 
.
Даалгавар 12. Тархалтын хуулиар өгөгдсөн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тоон шинж чанарыг ол:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2:
|
нь Лаплас функц юм.
