فرمول محاسبه ماتریس معکوس الگوریتم محاسبه ماتریس معکوس با استفاده از مکمل های جبری: روش ماتریس الحاقی (اتحادیه)
ما در مورد اقدامات با ماتریس صحبت می کنیم. یعنی در طول مطالعه این سخنرانی، نحوه یافتن ماتریس معکوس را یاد خواهید گرفت. فرا گرفتن. حتی اگر ریاضی سخت باشد.
ماتریس معکوس چیست؟ در اینجا می‌توانیم قیاسی با اعداد معکوس: برای مثال عدد خوشبینانه 5 و متقابل آن را در نظر بگیرید. حاصل ضرب این اعداد برابر با یک است: . در مورد ماتریس ها هم همینطور است! حاصل ضرب یک ماتریس و معکوس آن برابر است با - ماتریس هویت، که آنالوگ ماتریسی واحد عددی است. با این حال، ابتدا یک مسئله کاربردی مهم را حل خواهیم کرد، یعنی یاد خواهیم گرفت که چگونه این ماتریس بسیار معکوس را پیدا کنیم.
چه چیزی را باید بدانید و بتوانید ماتریس معکوس را پیدا کنید؟ شما باید بتوانید تصمیم بگیرید عوامل تعیین کننده. باید بفهمی چیه ماتریسو بتوانید برخی از اعمال را با آنها انجام دهید.
دو روش اصلی برای یافتن ماتریس معکوس وجود دارد:
از طريق اضافات جبریو با استفاده از تبدیل های ابتدایی.
امروز ما اولین راه ساده تر را مطالعه خواهیم کرد.
بیایید با وحشتناک ترین و غیر قابل درک ترین شروع کنیم. در نظر گرفتن مربعماتریس . ماتریس معکوس را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:
جایی که تعیین کننده ماتریس است , ماتریس جابجایی متمم های جبری عناصر متناظر ماتریس است .
مفهوم ماتریس معکوس فقط برای وجود دارد ماتریس های مربع ، ماتریس های «دو در دو»، «سه در سه» و غیره.
نشانه گذاری: همانطور که احتمالا قبلاً متوجه شده اید، معکوس یک ماتریس با یک بالانویس نشان داده می شود
بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم - یک ماتریس دو در دو. البته اغلب اوقات "سه در سه" مورد نیاز است، اما، با این وجود، به شدت توصیه می کنم برای یادگیری یک کار ساده تر را مطالعه کنید. اصل کلیراه حل ها
مثال:
معکوس یک ماتریس را پیدا کنید
ما تصمیم گرفتیم. توالی اقدامات به راحتی به نقاط تجزیه می شود.
1) ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم.
اگر درک این عمل خوب نیست، مطالب را بخوانید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟
مهم!اگر تعیین کننده ماتریس باشد صفر- ماتریس معکوس وجود ندارد.
در مثال مورد بررسی، همانطور که مشخص شد، به این معنی است که همه چیز مرتب است.
2) ماتریس مینورها را بیابید.
برای حل مشکل ما نیازی به دانستن اینکه مینور چیست، توصیه می شود مقاله را مطالعه کنید نحوه محاسبه تعیین کننده.
ماتریس مینورها همان ابعاد ماتریس را دارد، یعنی در این مورد.
مورد کوچک است، باید چهار عدد را پیدا کنید و آنها را به جای ستاره قرار دهید.
بازگشت به ماتریس ما
ابتدا به عنصر سمت چپ بالا نگاه می کنیم:
چگونه آن را پیدا کنیم جزئی?
و این کار به این صورت انجام می شود: به طور ذهنی ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:
تعداد باقی مانده است جزئی عنصر داده شده
، که در ماتریس مینورها می نویسیم:
عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:
به طور ذهنی سطر و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:
چیزی که باقی می ماند جزئی این عنصر است که در ماتریس خود می نویسیم:
به همین ترتیب، عناصر ردیف دوم را در نظر می گیریم و جزئی های آنها را پیدا می کنیم:
آماده.
ساده است. در ماتریس خردسالان، شما نیاز دارید تغییر علائمبرای دو عدد:
این اعدادی هستند که من دایره آنها را زده ام!
ماتریس مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس است.
و فقط یه چیزی…
4) ماتریس جابجایی اضافات جبری را بیابید.
ماتریس جابه‌جایی متمم‌های جبری عناصر متناظر ماتریس است.
5) پاسخ دهید.
فرمول ما را به خاطر بسپار
همه پیدا شد!
بنابراین ماتریس معکوس به صورت زیر است: 
بهتر است پاسخ را همانطور که هست بگذارید. لازم نیستهر عنصر ماتریس را بر 2 تقسیم کنید، زیرا اعداد کسری به دست می آیند. این تفاوت ظریف در همان مقاله با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گرفته است. اقدامات با ماتریس.
چگونه راه حل را بررسی کنیم؟
ضرب ماتریس نیز باید انجام شود
معاینه: 
قبلا ذکر شد ماتریس هویتماتریسی با واحدهای روشن است مورب اصلیو صفر در جاهای دیگر
بنابراین، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود.
اگر عملی را انجام دهید، نتیجه نیز یک ماتریس هویت خواهد بود. این یکی از معدود مواردی است که در آن ضرب ماتریس قابل تغییر است، بیشتر اطلاعات دقیقرا می توان در مقاله یافت ویژگی های عملیات روی ماتریس ها عبارات ماتریسی. همچنین توجه داشته باشید که در حین بررسی، ثابت (کسر) در انتها - پس از ضرب ماتریس - به جلو آورده و پردازش می شود. این یک برداشت استاندارد است.
بیایید به یک مورد رایج تر در عمل برویم - ماتریس سه در سه:
مثال:
معکوس یک ماتریس را پیدا کنید 
الگوریتم دقیقاً مشابه حالت دو در دو است.
ماتریس معکوس را با فرمول می یابیم: ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.
1) تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.
در اینجا تعیین کننده آشکار می شود در خط اول.
همچنین، این را فراموش نکنید، به این معنی که همه چیز خوب است - ماتریس معکوس وجود دارد.
2) ماتریس مینورها را بیابید.
ماتریس مینورها دارای ابعاد "سه در سه" است. 
، و ما باید نه عدد را پیدا کنیم.
من با جزئیات به چند خردسال نگاه خواهم کرد:
عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید: 
به طور ذهنی ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید: 
چهار عدد باقی‌مانده در تعیین‌کننده «دو در دو» نوشته می‌شوند. 
این دو در دو تعیین کننده و جزئی از عنصر داده شده است. باید محاسبه شود: 
همه چیز، مینور پیدا می شود، آن را در ماتریس ماتریس مینورها می نویسیم: 
همانطور که ممکن است حدس بزنید، 9 عامل تعیین کننده دو در دو برای محاسبه وجود دارد. روند، البته، خسته کننده است، اما مورد دشوارترین نیست، می تواند بدتر باشد.
خوب، برای ادغام - پیدا کردن جزئی دیگر در تصاویر: 
سعی کنید بقیه خردسالان را خودتان محاسبه کنید.
نتیجه نهایی: 
ماتریس مینورهای عناصر متناظر ماتریس است.
این واقعیت که همه خردسالان منفی بودند تصادفی محض است.
3) ماتریس جمع های جبری را بیابید.
در ماتریس مینورها لازم است تغییر علائمصرفاً برای عناصر زیر: 
در این مورد:
یافتن ماتریس معکوس برای ماتریس "چهار در چهار" در نظر گرفته نمی شود، زیرا فقط یک معلم سادیست می تواند چنین وظیفه ای را انجام دهد (برای دانش آموز که یک تعیین کننده "چهار در چهار" و 16 تعیین کننده "سه در سه" را محاسبه کند). . در عمل من، فقط یک مورد وجود داشت، و آن مشتری کار کنترلبرای عذاب من گران پرداخت =).
در تعدادی از کتاب‌های درسی، راهنماها، می‌توانید رویکرد کمی متفاوت برای یافتن ماتریس معکوس پیدا کنید، اما من توصیه می‌کنم از الگوریتم حل بالا استفاده کنید. چرا؟ زیرا احتمال گیج شدن در محاسبات و نشانه ها بسیار کمتر است.
روشهای یافتن ماتریس معکوس، . یک ماتریس مربع را در نظر بگیرید
Δ = det A را نشان دهید.
ماتریس مربع A نامیده می شود غیر منحط،یا غیر خاصاگر تعیین کننده آن غیر صفر باشد و منحط،یا خاص، اگرΔ = 0.
یک ماتریس مربع B برای یک ماتریس مربع A با همان مرتبه وجود دارد اگر حاصلضرب آنها A B = B A = E باشد، که در آن E ماتریس هویتی با همان ترتیب ماتریس های A و B باشد.
قضیه . برای اینکه ماتریس A دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که تعیین کننده آن غیر صفر باشد.
ماتریس معکوسماتریس A که با A مشخص می شود- 1 بنابراین B = A - 1 و با فرمول محاسبه می شود
, (1)
جایی که А i j - مکمل های جبری عناصر a i j ماتریس A..
محاسبه A -1 با فرمول (1) برای ماتریس های مرتبه بالا بسیار پر زحمت است، بنابراین در عمل یافتن A -1 با استفاده از روش راحت است. تحولات ابتدایی(EP). هر ماتریس غیر منفرد A را می توان با EP تنها ستون ها (یا فقط ردیف ها) به ماتریس هویت E کاهش داد. اگر EP های کامل بر روی ماتریس A به همان ترتیب به ماتریس هویت E اعمال شوند، نتیجه به دست می آید. یک ماتریس معکوس اجرای EP روی ماتریس های A و E به طور همزمان راحت است و هر دو ماتریس را در کنار هم از طریق خط بنویسید. یک بار دیگر متذکر می شویم که هنگام جستجوی شکل متعارف یک ماتریس، برای یافتن آن، می توان از تبدیل سطرها و ستون ها استفاده کرد. اگر نیاز به یافتن ماتریس معکوس دارید، باید فقط از سطرها یا فقط ستون ها در فرآیند تبدیل استفاده کنید.
مثال 2.10. برای ماتریس 
A -1 را پیدا کنید.
تصمیم گیریابتدا تعیین کننده ماتریس A را پیدا می کنیم 
بنابراین ماتریس معکوس وجود دارد و ما می توانیم آن را با فرمول پیدا کنیم: 
، جایی که A i j (i,j=1,2,3) - مکمل های جبری عناصر a i j ماتریس اصلی. 
جایی که 
.
مثال 2.11. با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی، A -1 را برای ماتریس پیدا کنید: A=.
تصمیم گیریما یک ماتریس هویت با همان ترتیب را به ماتریس اصلی سمت راست اختصاص می دهیم: 
. با کمک تبدیل ستون های ابتدایی، ما "نیمه" سمت چپ را به یک هویت کاهش می دهیم، و به طور همزمان دقیقاً چنین تبدیل هایی را در ماتریس سمت راست انجام می دهیم.
برای انجام این کار، ستون اول و دوم را عوض کنید: 
~
. اولی را به ستون سوم اضافه می کنیم و اولی را در -2 به ستون دوم ضرب می کنیم: 
. از ستون اول دوم دو برابر شده را کم می کنیم و از سوم - دوم ضرب در 6. 
. بیایید ستون سوم را به ستون اول و دوم اضافه کنیم: 
. ستون آخر را در -1 ضرب کنید: 
. ماتریس مربعی که در سمت راست میله عمودی به دست می آید، ماتریس معکوس ماتریس A است.
.
بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد
ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A * A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.
ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی، که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می گذرد، یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:
ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که تعداد سطر و ستون یکسانی دارند.
قضیه شرط وجود ماتریس معکوس
برای اینکه یک ماتریس دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که غیر دژنره باشد.
ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n
الگوریتم یافتن ماتریس معکوس
- ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای قسمت های سمت راست معادلات) ماتریس E را به آن اختصاص دهید.
- با استفاده از تبدیل‌های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون‌های منفرد بیاورید. در این حالت، لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
- در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که ماتریس هویت E در زیر ماتریس A جدول اصلی به دست آید.
- ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.
برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید
راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.
بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.
در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.
پاسخ: 
حل معادلات ماتریسی
معادلات ماتریسی می تواند به صورت زیر باشد:
AX = B، XA = B، AXB = C،
که در آن ماتریس های A، B، C داده می شود، X ماتریس مورد نظر است.
معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس حل می شوند.
به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس از یک معادله، باید این معادله را در سمت چپ ضرب کنید.
بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.
سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.
اگر معادله AX = B را حل کنید 
تصمیم گیری: از آنجایی که معکوس ماتریس برابر است (به مثال 1 مراجعه کنید)
روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی
در کنار دیگران، آنها نیز کاربرد پیدا می کنند روش های ماتریسی . این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. از این روش ها برای تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. اغلب این روش ها در مواقعی مورد استفاده قرار می گیرند که مقایسه عملکرد سازمان ها و بخش های ساختاری آنها ضروری باشد.
در فرآیند بکارگیری روش های تحلیل ماتریسی، مراحل مختلفی را می توان تشخیص داد.
در مرحله اولسیستم در حال شکل گیری است نشانگرهای اقتصادیو بر اساس آن، ماتریسی از داده های اولیه کامپایل می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)و در امتداد نمودارهای عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، متر).
در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقادیر موجود شاخص ها نشان داده می شود که به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.
پس از آن، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر تقسیم می شوند بالاترین ارزشو ماتریسی از ضرایب استاندارد شده تشکیل می شود.
در مرحله سومتمام اجزای ماتریس مربع هستند. اگر اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس ضریب وزنی خاصی اختصاص داده می شود ک. ارزش دومی توسط متخصص تعیین می شود.
در آخرین مرحله چهارممقادیر یافت شده رتبه بندی ها Rjبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.
از روش های ماتریسی فوق باید استفاده شود، برای مثال، زمانی که تحلیل مقایسه ایمختلف پروژه های سرمایه گذاریو همچنین در ارزیابی سایر شاخص های عملکرد اقتصادی سازمان ها.
مسئله تعریف عمل معکوس به ضرب ماتریس را در نظر بگیرید.
فرض کنید A یک ماتریس مربع از مرتبه n باشد. ماتریس A^(-1) که همراه با ماتریس A برابری های زیر را برآورده می کند:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E،
تماس گرفت معکوس. ماتریس A نامیده می شود برگشت پذیر، اگر معکوس برای آن وجود دارد، در غیر این صورت - غیر قابل برگشت.
از این تعریف چنین برمی‌آید که اگر یک ماتریس معکوس A^(-1) وجود داشته باشد، آنگاه مربعی به همان ترتیب A است. با این حال، هر ماتریس مربعی معکوس ندارد. اگر دترمینان ماتریس A برابر با صفر (\det(A)=0) باشد، معکوس برای آن وجود ندارد. در واقع، با اعمال قضیه بر تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برای ماتریس هویت E=A^(-1)A، یک تناقض به دست می آوریم.
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
از آنجایی که تعیین کننده ماتریس هویت برابر با 1 است. معلوم می شود که تفاوت از صفر تعیین کننده یک ماتریس مربع تنها شرط وجود ماتریس معکوس است. به یاد بیاورید که ماتریس مربعی که تعیین کننده آن برابر با صفر است، منحط (مفرد) نامیده می شود، در غیر این صورت - غیر مفرد (غیر مفرد).
قضیه 4.1 در مورد وجود و منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس. ماتریس مربع A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)، که تعیین کننده آن غیر صفر است، دارای ماتریس معکوس و علاوه بر این، فقط یک است:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)،
که در آن A^(+) ماتریسی است که برای ماتریس متشکل از مکمل های جبری عناصر ماتریس A جابجا شده است.
ماتریس A^(+) نامیده می شود ماتریس پیوستبا توجه به ماتریس A.
در واقع، ماتریس \frac(1)(\det(A))\,A^(+)تحت شرط \det(A)\ne0 وجود دارد. باید نشان دهیم که معکوس A است، یعنی. دو شرط را برآورده می کند:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(تراز شده)
بیایید برابری اول را ثابت کنیم. با توجه به بند 4 از اظهارات 2.3، از ویژگی های عامل تعیین می شود که AA^(+)=\det(A)\cdot E. بنابراین
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E،
که قرار بود نشان داده شود. برابری دوم نیز به همین ترتیب ثابت شده است. بنابراین، تحت شرط \det(A)\ne0، ماتریس A معکوس دارد
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
ما منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس را با تضاد اثبات می کنیم. بگذارید علاوه بر ماتریس A^(-1) یک ماتریس معکوس دیگر B\,(B\ne A^(-1)) وجود داشته باشد به طوری که AB=E . با ضرب هر دو طرف این تساوی در سمت چپ در ماتریس A^(-1) به دست می آید. \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. بنابراین B=A^(-1) که با فرض B\ne A^(-1) در تضاد است. بنابراین، ماتریس معکوس منحصر به فرد است.
اظهارات 4.1
1. از تعریف بر می آید که ماتریس های A و A^(-1) قابل تغییر هستند.
2. ماتریس معکوس به مورب غیر منحط نیز مورب است:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11))،\،\frac(1)(a_(22))،\،\ldots،\،\frac(1)(a_(nn))\راست)\!.
3. ماتریس معکوس به یک ماتریس مثلثی پایین (بالایی) غیر منحط، مثلث پایینی (بالایی) است.
4. ماتریس های ابتدایی دارای معکوس هستند که آنها نیز ابتدایی هستند (به مورد 1 از ملاحظات 1.11 مراجعه کنید).
خواص ماتریس معکوس
عملیات وارونگی ماتریس دارد خواص زیر:
\begin(تراز شده)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \پررنگ(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end (تراز شده)
اگر عملیات نشان داده شده در برابری های 1-4 منطقی باشد.
بیایید ویژگی 2 را ثابت کنیم: اگر حاصلضرب AB ماتریس‌های مربع غیرمفرد هم‌ترتیب ماتریس معکوس داشته باشد، آنگاه (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
در واقع، تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس های AB برابر با صفر نیست، زیرا
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)، جایی که \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
بنابراین، ماتریس معکوس (AB)^(-1) وجود دارد و منحصر به فرد است. اجازه دهید با تعریف نشان دهیم که ماتریس B^(-1)A^(-1) نسبت به ماتریس AB معکوس است. واقعا
برای پیدا کردن ماتریس معکوس به صورت آنلاین، باید اندازه خود ماتریس را مشخص کنید. برای انجام این کار، روی آیکون های "+" یا "-" کلیک کنید تا مقدار تعداد ستون ها و ردیف ها برای شما مناسب باشد. سپس عناصر مورد نیاز را در فیلدها وارد کنید. در زیر دکمه "محاسبه" وجود دارد - با کلیک بر روی آن، پاسخی با یک راه حل دقیق روی صفحه دریافت خواهید کرد.
در جبر خطی، فرد اغلب با فرآیند محاسبه معکوس یک ماتریس مواجه می شود. فقط برای ماتریس های بیان نشده و برای ماتریس های مربع وجود دارد به شرطی که دترمینان غیر صفر باشد. در اصل، محاسبه آن دشوار نیست، به خصوص اگر با یک ماتریس کوچک سر و کار دارید. اما اگر به محاسبات پیچیده تری نیاز دارید یا تصمیم خود را مجدداً بررسی می کنید، بهتر است از این ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. با استفاده از آن می توانید ماتریس معکوس را به سرعت و با دقت حل کنید.
با کمک این ماشین حساب آنلاینشما قادر خواهید بود تا حد زیادی کار خود را از نظر محاسبات تسهیل کنید. علاوه بر این، به تحکیم مواد به دست آمده در تئوری کمک می کند - این یک نوع شبیه ساز برای مغز است. نباید به عنوان جایگزینی برای محاسبات دستی در نظر گرفته شود، می تواند بسیار بیشتر به شما بدهد و درک خود الگوریتم را آسان تر می کند. بعلاوه، بررسی مجدد خود هرگز ضرری ندارد.
