ماتریس مربع معکوس روشهای یافتن ماتریس معکوس

این موضوع یکی از منفورترین موضوعات در بین دانشجویان است. فقط عوامل تعیین کننده احتمالا بدتر هستند.

ترفند این است که مفهوم عنصر معکوس (و من اکنون فقط در مورد ماتریس ها صحبت نمی کنم) ما را به عملیات ضرب ارجاع می دهد. حتی در برنامه درسی مدرسه، ضرب به عنوان یک عملیات پیچیده در نظر گرفته می شود، و ضرب ماتریسی به طور کلی یک موضوع جداگانه است، که من یک پاراگراف و یک آموزش ویدیویی کامل به آن اختصاص داده ام.

ما امروز وارد جزئیات محاسبات ماتریسی نمی شویم. فقط به یاد داشته باشید: ماتریس ها چگونه نشان داده می شوند، چگونه ضرب می شوند و چه چیزی از این نتیجه می شود.

تکرار: ضرب ماتریس

اول از همه، بیایید در مورد نماد به توافق برسیم. ماتریس $ A $ به اندازه $ \ چپ [m \ بار n \ راست] $ به سادگی جدولی از اعداد است که در آن دقیقاً $ m $ ردیف و $ n $ ستون وجود دارد:

\ = \ زیربند (\ چپ [\ شروع (ماتریس) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( الف) _ (21)) و ((الف) _ (22)) و ... و (الف) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & ((a) _ (mn)) \\\ انتهای (ماتریس) \ راست]) _ (n) \]

برای اینکه به طور تصادفی ردیف ها و ستون ها را در مکان ها اشتباه نگیرید (باور کنید، می توانید در امتحان 1 را با 2 مخلوط کنید - در مورد برخی از خطوط در آنجا چه می توانیم بگوییم)، فقط به تصویر نگاه کنید:

تعیین شاخص برای سلول های ماتریس

چه اتفاقی می افتد؟ اگر سیستم مختصات استاندارد $ OXY $ را در گوشه سمت چپ بالا قرار دهیم و محورها را طوری هدایت کنیم که کل ماتریس را بپوشانند، آنگاه هر سلول از این ماتریس می تواند به طور منحصر به فرد با مختصات $ \ چپ (x; y \ سمت راست) مرتبط شود. $ - این شماره ردیف و شماره ستون خواهد بود.

چرا سیستم مختصات در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد؟ زیرا از آنجاست که ما شروع به خواندن هر متنی می کنیم. به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

چرا محور $ x $ به سمت پایین و نه به سمت راست است؟ باز هم، همه چیز ساده است: سیستم مختصات استاندارد را بردارید (محور $ x $ به سمت راست می رود، محور $ y $ بالا می رود) و آن را بچرخانید تا ماتریس را محصور کند. این یک چرخش 90 درجه در جهت عقربه های ساعت است - ما می توانیم نتیجه آن را در تصویر مشاهده کنیم.

به طور کلی، نحوه تعیین شاخص های عناصر ماتریس را فهمیدیم. حال به ضرب می پردازیم.

تعریف. ماتریس‌های $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ بار k \ راست] $، وقتی تعداد ستون‌های ستون اول با تعداد ردیف‌های دوم برابر باشد. ، سازگار نامیده می شوند.

به این ترتیب. می توانید تردید کنید و بگویید، آنها می گویند، ماتریس های $ A $ و $ B $ یک جفت مرتب شده $ \ چپ (A; B \ right) $ را تشکیل می دهند: اگر آنها در این ترتیب سازگار باشند، کاملاً غیر ضروری است که $ B $ و $ A $، آن ها. جفت $ \ چپ (B؛ A \ راست) $ نیز مطابقت دارد.

فقط ماتریس های همسان را می توان ضرب کرد.

تعریف. حاصلضرب ماتریس های همسان $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $ و $ B = \ چپ [n \ بار k \ راست] $ یک ماتریس جدید است $ C = \ چپ [m \ بار k \ راست ] $، که عناصر آن $ ((c) _ (ij)) $ با فرمول محاسبه می شود:

\ [((ج) _ (ij)) = \ مجموع \ حدها_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]

به عبارت دیگر: برای به دست آوردن عنصر $ ((c) _ (ij)) $ ماتریس $ C = A \ cdot B $، باید ردیف $ i $ اولین ماتریس، $ j $ را بگیرید. ستون -مین ماتریس دوم، و سپس عناصر را به صورت جفت از این سطر و ستون ضرب کنید. نتایج را جمع کنید.

بله، این چنین تعریف سختی است. چندین واقعیت بلافاصله از آن نتیجه می شود:

ضرب ماتریس، به طور کلی، غیر تعویضی است: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
با این حال، ضرب پیوندی است: $ \ چپ (A \ cdot B \ راست) \ cdot C = A \ cdot \ چپ (B \ cdot C \ راست) $;
و حتی به صورت توزیعی: $ \ چپ (A + B \ راست) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
و بار دیگر به صورت توزیعی: $ A \ cdot \ چپ (B + C \ راست) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

فقط به دلیل غیرقابل تعویض بودن عملیات ضرب، توزیع ضرب باید برای مجموع ضریب چپ و راست جداگانه توضیح داده شود.

با این وجود، اگر معلوم شود که $ A \ cdot B = B \ cdot A $ ، به این ماتریس ها ماتریس جایگشت گفته می شود.

در بین همه ماتریس هایی که در آنجا در چیزی ضرب می شوند ، موارد خاصی وجود دارد - آنهایی که وقتی در هر ماتریس $ A $ ضرب می شوند ، دوباره $ A $ می دهند:

تعریف. ماتریس $ E $ اگر $ A \ cdot E = A $ یا $ E \ cdot A = A $ ، ماتریس هویت نامیده می شود. در مورد ماتریس مربع $ A $، می توانیم بنویسیم:

ماتریس واحد هنگام حل معادلات ماتریس مهمان مکرر است. و به طور کلی، یک بازدید کننده مکرر از دنیای ماتریس ها. :)

و همچنین به دلیل این $ E $، یک نفر با تمام بازی هایی که در ادامه نوشته خواهد شد، آمد.

ماتریس معکوس چیست؟

از آنجایی که ضرب ماتریس یک عملیات بسیار وقت گیر است (شما باید دسته ای از سطرها و ستون ها را ضرب کنید)، مفهوم ماتریس معکوس نیز بی اهمیت ترین مفهوم نیست. و نیاز به توضیح دارد.

تعریف کلیدی

خوب، وقت آن است که حقیقت را بیاموزیم.

تعریف. ماتریس $ B $ معکوس ماتریس $ A $ if نامیده می شود

ماتریس معکوس با $ ((A) ^ (- 1)) $ نشان داده می شود (با درجه اشتباه نشود!)، بنابراین تعریف را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

به نظر می رسد که همه چیز بسیار ساده و واضح است. اما هنگام تجزیه و تحلیل چنین تعریفی، بلافاصله چندین سؤال مطرح می شود:

آیا ماتریس معکوس همیشه وجود دارد؟ و اگر نه همیشه، پس چگونه تعیین کنیم: چه زمانی وجود دارد و چه زمانی وجود ندارد؟
و چه کسی گفته است که دقیقاً یک چنین ماتریسی وجود دارد؟ اگر برای برخی از ماتریس های اولیه $ A $ تعداد زیادی از ماتریس های معکوس وجود داشته باشد چه؟
همه این معکوس ها چه شکلی هستند؟ و در واقع چگونه باید آنها را شمارش کرد؟

در مورد الگوریتم های محاسبه - کمی بعد در مورد این صحبت خواهیم کرد. اما ما همین الان به بقیه سوالات پاسخ خواهیم داد. اجازه دهید آنها را در قالب گزاره-لم های جداگانه شکل دهیم.

خواص اساسی

بیایید با اینکه ماتریس $ A $ چگونه باید باشد شروع کنیم تا $ ((A) ^ (- 1)) $ داشته باشد. اکنون مطمئن خواهیم شد که هر دوی این ماتریس‌ها باید مربع باشند و به یک اندازه باشند: $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $.

لم 1. با توجه به ماتریس $ A $ و معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $. سپس هر دوی این ماتریس ها مربع هستند، با همان ترتیب $ n $.

اثبات ساده است. اجازه دهید ماتریس $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ چپ [a \ بار b \ راست] $. از آنجایی که محصول $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ طبق تعریف وجود دارد، ماتریس های $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ به ترتیب مشخص شده سازگار هستند:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ بار n \ راست] \ cdot \ چپ [a \ بار b \ راست] = \ چپ [m \ بار b \ راست] \\ & n = a \ پایان ( تراز کردن) \]

این نتیجه مستقیم الگوریتم ضرب ماتریس است: ضرایب $ n $ و $ a $ "گذرا" هستند و باید برابر باشند.

در همان زمان، ضرب معکوس نیز تعریف می شود: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $، بنابراین ماتریس های $ ((A) ^ (- 1)) $ و $ A $ هستند همچنین به ترتیب مشخص شده مطابقت دارد:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [a \ بار b \ راست] \ cdot \ چپ [m \ بار n \ راست] = \ چپ [a \ بار n \ راست] \\ & b = m \ پایان ( تراز کردن) \]

بنابراین، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که $ A = \ چپ [m \ بار n \ راست] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ چپ [n \ بار m \ راست] $. با این حال، طبق تعریف، $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $، بنابراین اندازه ماتریس ها کاملاً یکسان است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [m \ بار n \ راست] = \ چپ [n \ بار m \ راست] \\ & m = n \ پایان (تراز کردن) \]

بنابراین معلوم می شود که هر سه ماتریس - $ A $، $ ((A) ^ (- 1)) $ و $ E $ - اندازه مربع $ \ چپ [n \ ضربدر n \ راست] $ هستند. لم ثابت می شود.

خب، از قبل بد نیست. می بینیم که فقط ماتریس های مربعی معکوس هستند. حالا بیایید مطمئن شویم که معکوس همیشه یکسان است.

لم 2. با توجه به ماتریس $ A $ و معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $. سپس این معکوس تنها یکی است.

اثبات بیایید از نقطه مقابل برویم: اجازه دهید ماتریس $ A $ حداقل دو نسخه از معکوس داشته باشد - $ B $ و $ C $. سپس با توجه به تعریف، برابری های زیر صادق است:

\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

از لم 1 نتیجه می گیریم که هر چهار ماتریس - $ A $، $ B $، $ C $ و $ E $ - مربعی به یک ترتیب هستند: $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $. بنابراین، محصول تعریف می شود:

از آنجایی که ضرب ماتریس تداعی کننده است (اما نه جابجایی!)، می توانیم بنویسیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & B \ cdot A \ cdot C = \ چپ (B \ cdot A \ راست) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ چپ (A \ cdot C \ راست) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ فلش راست B = C. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ما تنها گزینه ممکن را دریافت کردیم: دو نسخه از ماتریس معکوس برابر هستند. لم ثابت می شود.

استدلال بالا تقریبا کلمه به کلمه اثبات منحصر به فرد بودن معکوس را برای همه اعداد واقعی $ b \ ne 0 $ تکرار می کند. تنها اضافه ضروری در نظر گرفتن ابعاد ماتریس ها است.

با این حال، ما هنوز چیزی در مورد معکوس بودن هر ماتریس مربعی نمی دانیم. در اینجا تعیین کننده به کمک ما می آید - این یک ویژگی کلیدی برای همه ماتریس های مربع است.

لم 3. به شما یک ماتریس $ A $ داده می شود. اگر ماتریس معکوس آن $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود داشته باشد، تعیین کننده ماتریس اصلی غیر صفر است:

\ [\ چپ | A \ راست | \ ne 0 \]

اثبات ما قبلاً می دانیم که $ A $ و $ ((A) ^ (- 1)) $ ماتریس های مربعی با اندازه $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $ هستند. بنابراین، برای هر یک از آنها، می توانید تعیین کننده را محاسبه کنید: $ \ left | A \ راست | $ و $ \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | $. با این حال، تعیین کننده حاصل برابر با حاصل ضرب عوامل تعیین کننده است:

\ [\ چپ | A \ cdot B \ راست | = \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | B \ راست | \ فلش راست \ چپ | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ راست | = \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | \]

اما طبق تعریف، $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $، و تعیین کننده $ E $ همیشه 1 است، بنابراین

\ [\ شروع (تراز کردن) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E; \\ & \ چپ | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ راست | = \ چپ | E \ سمت راست |; \\ & \ چپ | A \ راست | \ cdot \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | = 1. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

حاصل ضرب دو عدد تنها در صورتی برابر است که هر یک از این اعداد با صفر متفاوت باشند:

\ [\ چپ | A \ راست | \ ne 0؛ \ چهار \ چپ | ((A) ^ (- 1)) \ راست | \ ne 0. \]

بنابراین معلوم می شود که $ \ left | A \ راست | \ ne 0 $. لم ثابت می شود.

در واقع این الزام کاملاً منطقی است. اکنون الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - و کاملاً مشخص خواهد شد که چرا با یک تعیین کننده صفر، در اصل هیچ ماتریس معکوس نمی تواند وجود داشته باشد.

اما ابتدا بیایید یک تعریف "کمکی" را فرموله کنیم:

تعریف. ماتریس انحطاط یک ماتریس مربع به اندازه $ \ چپ [n \ بار n \ راست] $ است که دترمینان آن صفر است.

بنابراین، ما می توانیم ادعا کنیم که هر ماتریس معکوس غیر انحطاط است.

چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا کنیم

اکنون یک الگوریتم جهانی برای یافتن ماتریس های معکوس در نظر خواهیم گرفت. به طور کلی، دو الگوریتم به طور کلی پذیرفته شده وجود دارد، و ما امروز مورد دوم را نیز در نظر خواهیم گرفت.

موردی که اکنون مورد بحث قرار خواهد گرفت برای ماتریس‌های اندازه $ \ چپ [2 \ برابر 2 \ راست] $ و - تا حدی - اندازه $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ بسیار کارآمد است. اما با شروع از اندازه $ \ چپ [4 \ برابر 4 \ راست] $ بهتر است از آن استفاده نکنید. چرا - حالا شما خودتان همه چیز را خواهید فهمید.

مکمل های جبری

آماده شدن. اکنون درد وجود خواهد داشت. نه، نگران نباشید: یک پرستار زیبا با دامن، جوراب با توری و به شما تزریق در باسن انجام نمی دهد. همه چیز بسیار ساده تر است: اضافات جبری و اعلیحضرت "Union Matrix" به سراغ شما می آیند.

بیایید با موضوع اصلی شروع کنیم. اجازه دهید یک ماتریس مربع به اندازه $ A = \ چپ [n \ بار n \ راست] $ وجود داشته باشد که عناصر آن $ ((a) _ (ij)) $ نامیده می شوند. سپس برای هر یک از این عناصر می توان یک مکمل جبری تعریف کرد:

تعریف. مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $ به عنصر $ ((a) _ (ij)) $ واقع در $ i $ -مین ردیف و $ j $ -مین ستون ماتریس $ A = \ left [n \ times n \ right] $ ساختاری از فرم است

\ [((A) _ (ij)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

جایی که $ M_ (ij) ^ (*) $ تعیین کننده ماتریس است که از $ A $ اصلی با حذف همان $ i $ -مین ردیف و $ j $ -مین ستون بدست می آید.

از نو. مکمل جبری عنصر ماتریس با مختصات $ \ چپ (i; j \ راست) $ به عنوان $ ((A) _ (ij)) $ نشان داده می شود و طبق این طرح محاسبه می شود:

ابتدا خط $ i $ و ستون $ j $ -th را از ماتریس اصلی حذف کنید. ما یک ماتریس مربع جدید دریافت می کنیم و تعیین کننده آن را به صورت $ M_ (ij) ^ (*) $ نشان می دهیم.
سپس این دترمینان را در $ ضرب می کنیم ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (i + j)) $ - در ابتدا این عبارت ممکن است خسته کننده به نظر برسد، اما در واقع ما فقط علامت مقابل را پیدا می کنیم. $ M_ (ij) ^ (*) $.
ما می شماریم - یک عدد خاص به دست می آوریم. آن ها متمم جبری دقیقاً یک عدد است، نه یک ماتریس جدید و غیره.

ماتریس $ M_ (ij) ^ (*) $ خود جزئی مکمل عنصر $ ((a) _ (ij)) $ نامیده می شود. و از این نظر، تعریف فوق از متمم جبری یک مورد خاص از یک تعریف پیچیده تر است - آنچه در درس در مورد تعیین کننده در نظر گرفتیم.

یادداشت مهم. به طور کلی در ریاضیات «بزرگسالان» اضافات جبری به صورت زیر تعریف می شود:

در یک ماتریس مربع، ردیف‌های $k $ و ستون‌های $k$ می‌گیریم. در تقاطع آنها، ماتریسی به اندازه $ \ چپ [k \ بار k \ راست] $ به دست می آوریم - تعیین کننده آن یک جزئی از مرتبه $ k $ نامیده می شود و با $ ((M) _ (k)) $ نشان داده می شود.

سپس این خطوط "مورد علاقه" $ k $ و ستون $ k $ را حذف می کنیم. دوباره یک ماتریس مربع به دست می آوریم - تعیین کننده آن جزئی مکمل نامیده می شود و با آن $ M_ (k) ^ (*) $ نشان داده می شود.

$ M_ (k) ^ (*) $ را در $ ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (t)) $ ضرب کنید، که $ t $ است (اکنون توجه!) مجموع اعداد تمام خطوط انتخاب شده و ستون ها... این جمع جبری خواهد بود.

به مرحله سوم نگاهی بیندازید: در واقع مبلغی معادل 2000 دلار وجود دارد! چیز دیگر این است که برای $ k = 1 $ ما فقط 2 عبارت دریافت می کنیم - اینها همان $ i + j $ خواهند بود - "مختصات" عنصر $ ((a) _ (ij)) $، که ما به دنبال آن هستیم. برای مکمل جبری

بنابراین، امروز ما از یک تعریف کمی ساده شده استفاده می کنیم. اما همانطور که بعدا خواهیم دید، بیش از حد کافی خواهد بود. مورد بعدی بسیار مهمتر است:

تعریف. ماتریس الحاقی $ S $ به ماتریس مربع $ A = \ left [n \ بار n \ راست] $ یک ماتریس جدید به اندازه $ \ left [n \ بار n \ راست] $ است که از $ A $ به دست می آید. با جایگزینی $ ((a) _ (ij)) $ با مکمل های جبری $ ((A) _ (ij)) $:

\\ فلش راست S = \ چپ [\ شروع (ماتریس) ((A) _ (11)) & ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ (( الف) _ (21)) و ((الف) _ (22)) و ... و ((الف) _ (2n)) \\ ... و ... و ... و ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ انتهای (ماتریس) \ راست] \]

اولین فکری که در لحظه تحقق این تعریف به وجود می آید این است که "این چقدر باید بشماری!" آرام باش: باید بشماری، اما نه آنقدر. :)

خوب، این همه بسیار خوب است، اما چرا لازم است؟ در اینجا دلیل آن است.

قضیه اصلی

کمی به عقب برگردیم. به یاد داشته باشید، در لمای 3 بیان شد که یک ماتریس معکوس $ A $ همیشه غیر منحط است (یعنی تعیین کننده آن غیر صفر است: $ \ چپ | A \ راست | \ ne 0 $).

بنابراین، برعکس نیز صادق است: اگر ماتریس $ A $ منحط نباشد، آنگاه همیشه معکوس است. و حتی یک طرح جستجوی $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود دارد. آن را بررسی کنید:

قضیه ماتریس معکوس اجازه دهید یک ماتریس مربع $ A = \ left [n \ بار n \ راست] $ داده شود و تعیین کننده آن غیر صفر باشد: $ \ left | A \ راست | \ ne 0 $. سپس ماتریس معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ وجود دارد و با فرمول محاسبه می شود:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فراک (1) (\ چپ | A \ راست |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]

و اکنون - همه چیز یکسان است، اما با خط خوانا. برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس، شما نیاز دارید:

تعیین کننده $ \ left | را محاسبه کنید A \ right | $ و مطمئن شوید که غیر صفر است.
ماتریس اتحاد $ S $ را بسازید، یعنی. 100500 مکمل جبری $ ((A) _ (ij)) $ را بشمارید و آنها را به جای $ ((a) _ (ij)) $ قرار دهید.
این ماتریس $ S $ را جابجا کنید و سپس آن را در مقداری $ q = (1) / (\ چپ | A \ راست |) \؛ $ ضرب کنید.

و بس! ماتریس معکوس $ ((A) ^ (- 1)) $ پیدا می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

\ [\ چپ [\ شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \ راست] \]

راه حل. بیایید برگشت پذیری را بررسی کنیم. بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم:

\ [\ چپ | A \ راست | = \ چپ | \ شروع (ماتریس) 3 و 1 \\ 5 و 2 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

تعیین کننده غیر صفر است. بنابراین، ماتریس معکوس است. بیایید ماتریس اتحاد را بسازیم:

بیایید اضافات جبری را بشماریم:

\ [\ start (تراز کردن) & ((A) _ (11)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ چپ | 2 \ راست | = 2; \\ & ((A) _ (12)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | 5 \ راست | = -5; \\ & ((A) _ (21)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ چپ | 1 \ راست | = -1; \\ & ((A) _ (22)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ چپ | 3 \ راست | = 3. \\ \ پایان (تراز کردن) \]

لطفاً توجه داشته باشید: عوامل تعیین کننده | 2 |، | 5 |، | 1 | و | 3 | - اینها عوامل تعیین کننده ماتریس های اندازه $ \ چپ [1 \ برابر 1 \ راست] $ هستند، نه ماژول ها. آن ها اگر تعیین کننده ها دارای اعداد منفی بودند، حذف "منهای" ضروری نیست.

در کل، ماتریس اتحادیه ما به این صورت است:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فراک (1) (\ چپ | A \ راست |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ فرک (1) (1) \ cdot ( (\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ پایان (آرایه) \ راست]) ^ (T)) = \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

پس این همه است. مشکل حل شده است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ پایان (آرایه) \ راست] $

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست] \]

راه حل. مجدداً تعیین کننده را در نظر می گیریم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ | \ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست | = \ شروع (ماتریس ) \ چپ (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ چپ (-1 \ راست) \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ راست) - \\ - \ چپ (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ cdot 0 \ راست) \\\ انتهای (ماتریس) = \ \ & = \ چپ (2 + 1 + 0 \ راست) - \ چپ (4 + 0 + 0 \ راست) = - 1 \ ne 0. \\ \ انتهای (تراز کردن) \]

تعیین کننده غیر صفر است - ماتریس معکوس است. اما اکنون سخت‌ترین موارد وجود خواهد داشت: باید 9 (نه، لعنت به آنها!) اضافات جبری را بشمارید. و هر یک از آنها شامل واجد شرایط $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ خواهد بود. پرواز کرد:

\ [\ شروع (ماتریس) ((A) _ (11)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 2; \\ ((A) _ (12)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = -1; \\ ((A) _ (13)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 0 و 2 \\ 1 و 0 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = -2; \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ چپ (-1 \ راست)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ چپ | \ شروع (ماتریس) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ پایان (ماتریس) \ سمت راست | = 2; \\ \ پایان (ماتریس) \]

به طور خلاصه، ماتریس متفقین به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، معکوس ماتریس به صورت زیر خواهد بود:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ فرک (1) (- 1) \ cdot \ چپ [\ شروع (ماتریس) 2 & -1 و -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ پایان (ماتریس) \ راست] = \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) - 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \]

خوب، این همه است. در اینجا پاسخ است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست ] دلار

همانطور که می بینید، در پایان هر مثال، ما یک بررسی انجام دادیم. در این رابطه یک نکته مهم:

برای بررسی تنبلی نکنید. ماتریس اصلی را در معکوس یافت شده ضرب کنید - باید E $ را دریافت کنید.

انجام این بررسی بسیار ساده تر و سریعتر از جستجوی خطا در محاسبات بعدی است، برای مثال زمانی که در حال حل یک معادله ماتریسی هستید.

راه جایگزین

همانطور که گفتم، قضیه ماتریس معکوس برای اندازه های $ \ چپ [2 \ برابر 2 \ راست] $ و $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ عالی کار می کند (در مورد دوم، آنقدرها "عالی" نیست. )، اما برای ماتریس های بزرگ، غم شروع می شود.

اما نگران نباشید: یک الگوریتم جایگزین وجود دارد که می توان از آن برای یافتن آرام معکوس حتی برای ماتریس $ \ چپ [10 \ ضربدر 10 \ راست] $ استفاده کرد. اما، همانطور که اغلب اتفاق می‌افتد، برای در نظر گرفتن این الگوریتم، به کمی پیش‌زمینه نظری نیاز داریم.

تحولات ابتدایی

در میان تبدیل های مختلف ماتریس، چندین مورد خاص وجود دارد - آنها ابتدایی نامیده می شوند. دقیقاً سه تغییر از این قبیل وجود دارد:

ضرب. می توانید سطر (ستون) $ i $ را بگیرید و آن را در هر عدد $ k \ ne 0 $ ضرب کنید.
اضافه به $ i $ -th ردیف (ستون) $ j $ -امین سطر (ستون) ضرب در هر عدد $ k \ ne 0 $ را اضافه کنید (البته می توانید $ k = 0 $، اما نکته چیست؟ هیچ چیز تغییر نخواهد کرد).
جایگشت. ردیف های $ i $ th و $ j $ th (ستون ها) را بردارید و آنها را عوض کنید.

چرا این تبدیل ها ابتدایی نامیده می شوند (برای ماتریس های بزرگ آنها چندان ابتدایی به نظر نمی رسند) و چرا فقط سه مورد از آنها وجود دارد - این سؤالات خارج از محدوده درس امروز هستند. بنابراین وارد جزئیات نمی شویم.

یک چیز دیگر مهم است: ما باید همه این انحرافات را روی ماتریس پیوست انجام دهیم. بله، بله: درست شنیدید. اکنون یک تعریف دیگر وجود خواهد داشت - آخرین مورد در درس امروز.

ماتریس پیوست شده

مطمئناً در مدرسه سیستم های معادلات را با استفاده از روش جمع حل کردید. خوب، در آنجا، رشته دیگری را از یک رشته کم کنید، یک رشته را در یک عدد ضرب کنید - همین.

بنابراین: اکنون همه چیز یکسان خواهد بود، اما در حال حاضر "به روش بزرگسالان". آماده؟

تعریف. اجازه دهید ماتریس $ A = \ چپ [n \ بار n \ راست] $ و ماتریس هویت $ E $ به همان اندازه $ n $ داده شود. سپس ماتریس الحاقی $ \ left [A \ left | E \ درست است. \ right] $ یک ماتریس $ \ left [n \ times 2n \ right] $ جدید است که به شکل زیر است:

\ [\ چپ [A \ چپ | E \ درست است. \ راست] = \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

به طور خلاصه ، ماتریس $ A $ را می گیریم ، در سمت راست ماتریس هویت $ E $ را با اندازه مورد نیاز به آن اختصاص می دهیم ، آنها را با یک نوار عمودی برای زیبایی از هم جدا می کنیم - این همون الحاقی است. :)

گرفتاری چیست؟ این چیزی است که:

قضیه. اجازه دهید ماتریس $ A $ معکوس باشد. ماتریس الحاقی $ \ left [A \ left | را در نظر بگیرید E \ درست است. \ راست] $. در صورت استفاده از تبدیل رشته های ابتداییآن را به شکل $ \ left [E \ left | بیاورید B \ درست است. \ راست] $، یعنی. با ضرب، تفریق و مرتب کردن مجدد سطرها از $ A $ ماتریس $ E $ در سمت راست بدست می آید، سپس ماتریس $ B $ بدست آمده در سمت چپ، معکوس $ A $ است:

\ [\ چپ [A \ چپ | E \ درست است. \ راست] \ به \ چپ [E \ چپ | B \ درست است. \ راست] \ فلش راست B = ((A) ^ (- 1)) \]

ساده است! به طور خلاصه، الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوس به صورت زیر است:

ماتریس ضمیمه $ \ left [A \ left | را بنویسید E \ درست است. \ راست] $;
تبدیل رشته های ابتدایی را تا زمانی که $ E $ به جای $ A $ ظاهر شود، انجام دهید.
البته، چیزی در سمت چپ نیز ظاهر می شود - مقداری ماتریس $ B $. این برعکس خواهد بود.
سود! :)

البته گفتن این کار بسیار ساده تر از انجام آن است. بنابراین بیایید به چند مثال نگاه کنیم: برای اندازه‌های $ \ چپ [3 \ برابر 3 \ راست] $ و $ \ چپ [4 \ برابر 4 \ راست] $.

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ ]

راه حل. ماتریس پیوست را می سازیم:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 و 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

از آنجایی که آخرین ستون ماتریس اصلی پر شده است، ردیف اول را از بقیه کم کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 و 1 و 0 و 0 و 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ پایین \\ -1 \\ -1 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

هیچ مورد دیگری وجود ندارد، به جز خط اول. اما ما آن را لمس نمی کنیم، در غیر این صورت در ستون سوم واحدهای تازه حذف شده شروع به "تکثیر" می کنند.

اما می‌توانیم خط دوم را دو بار از خط آخر کم کنیم - یکی را در گوشه پایین سمت چپ دریافت می‌کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ پایین \\ -2 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون می توانیم آخرین خط را از اولین و دو بار از دوم کم کنیم - به این ترتیب ستون اول را "صفر" می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست] \ شروع (ماتریس) -1 \\ -2 \\ \ بالا پایین \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ردیف دوم را در 1- ضرب کنید، سپس آن را 6 بار از ردیف اول کم کنید و 1 بار به آخرین ردیف اضافه کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) -6 \\ \ بالا باریک \\ +1 \\\ پایان ( ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ \ 1 و 0 و 0 و 4 و -7 و 3 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

تنها چیزی که باقی می ماند تعویض خطوط 1 و 3 است:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\ انتهای (آرایه) \ سمت راست] \]

آماده! در سمت راست ماتریس معکوس مورد نظر است.

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (آرایه) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ پایان (آرایه) \ سمت راست ] دلار

وظیفه. معکوس ماتریس را پیدا کنید:

\ [\ سمت چپ [\ شروع (ماتریس) 1 و 4 و 2 و 3 \\ 1 و -2 و 1 و -2 \\ 1 و -1 و 1 و 1 \\ 0 و -10 و -2 و -5 \\\ انتهای (ماتریس) \ سمت راست] \]

راه حل. باز هم ضمیمه را می سازیم:

\ [\ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ انتها (آرایه) \ سمت راست] \]

بیا کمی خواب آلود شویم، غصه بخوریم که الان چقدر باید بشماریم... و شروع به شمارش کنیم. ابتدا ستون اول را با کم کردن ردیف 1 از ردیف های 2 و 3 صفر می کنیم:

\ [\ شروع (تراز کردن) & \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 و 0 و 0 \\ 1 و -1 و 1 و 1 و 0 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ رو به پایین \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 و 2 و 3 و 1 و 0 و 0 و 0 \\ 0 و -6 و -1 و -5 و -1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

ما در خطوط 2-4 "معایب" زیادی می بینیم. هر سه سطر را در -1 ضرب کنید و سپس با کم کردن ردیف 3 از بقیه، ستون سوم را بسوزانید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 و 1 و 0 و 0 \\ 0 و -5 و -1 و -2 و -1 و 0 و 1 و 0 \\ 0 و -10 و -2 و -5 و 0 و 0 و 0 و 1 \\ \ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) \ \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\ \ چپ | \ cdot \ چپ (-1 \ راست) \ راست. \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 و 1 و -1 و 0 و 0 \\ 0 و 5 و 1 و 2 و 1 و 0 و -1 و 0 \\ 0 و 10 و 2 و 5 و 0 و 0 و 0 و -1 \\ \ پایان (آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) -2 \\ -1 \\\ رو به پایین \\ -2 \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) ( rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

اکنون زمان "سرخ کردن" آخرین ستون ماتریس اصلی است: ردیف 4 را از بقیه کم کنید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ انتهای (آرایه ) \ راست] \ شروع (ماتریس) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ بالا رو \\\ انتهای (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 و -6 و 0 و 0 و -3 و 0 و 4 و -1 \\ 0 و 1 و 0 و 0 و 6 و -1 و -5 و 3 \\ 0 و 5 و 1 و 0 و 5 و 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ انتهای (آرایه) \ راست] \\ \ پایان (تراز) \]

رول نهایی: ستون دوم را با کم کردن ردیف 2 از ردیف های 1 و 3 بسوزانید:

\ [\ شروع (تراز کردن) و \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end ( آرایه) \ راست] \ شروع (ماتریس) 6 \\ \ رو به پایین \\ -5 \\ \ \\\ پایان (ماتریس) \ به \\ & \ به \ چپ [\ شروع (آرایه) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end (آرایه) \ سمت راست] \\ \ پایان (تراز کردن) \]

و دوباره در سمت چپ ماتریس هویت قرار دارد که به این معنی است که عکس آن در سمت راست است. :)

پاسخ. $ \ چپ [\ شروع (ماتریس) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ انتهای (ماتریس) \ سمت راست] $

ماتریس معکوس برای یک معکوس، چنین ماتریسی است، که با ضرب ماتریس اصلی، ماتریس هویت به دست می‌آید: شرط اجباری و کافی برای وجود ماتریس معکوس این است که تعیین کننده اصلی برابر با صفر نباشد. به نوبه خود نشان می دهد که ماتریس باید مربع باشد). اگر تعیین کننده یک ماتریس برابر با صفر باشد، آن را منحط می گویند و چنین ماتریسی معکوس ندارد. در ریاضیات عالی، ماتریس های معکوس مهم هستند و برای حل تعدادی از مسائل استفاده می شوند. به عنوان مثال، در پیدا کردن ماتریس معکوسیک روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات ساخته شده است. سایت خدمات ما اجازه می دهد محاسبه ماتریس معکوس به صورت آنلایندو روش: روش گاوس-جردن و استفاده از ماتریس متمم های جبری. اولی شامل تعداد زیادی تبدیل اولیه در ماتریس است، دومی - محاسبه مکمل های تعیین کننده و جبری برای همه عناصر. برای محاسبه تعیین کننده ماتریس به صورت آنلاین، می توانید از سرویس دیگر ما استفاده کنید - محاسبه تعیین کننده ماتریس به صورت آنلاین

ماتریس معکوس سایت را پیدا کنید

سایتبه شما امکان می دهد پیدا کنید ماتریس معکوس آنلاینسریع و رایگان در سایت، محاسبات توسط سرویس ما انجام می شود و نتیجه با یک راه حل دقیق برای یافتن صادر می شود ماتریس معکوس... سرور همیشه فقط یک پاسخ دقیق و صحیح ارائه می دهد. در وظایف بر اساس تعریف ماتریس معکوس آنلاین، لازم است که تعیین کننده ماتریس هاغیر صفر بود وگرنه سایتعدم امکان یافتن ماتریس معکوس را به دلیل برابری عامل تعیین کننده ماتریس اصلی به صفر گزارش می دهد. وظیفه یافتن ماتریس معکوسدر بسیاری از شاخه های ریاضیات یافت می شود و یکی از اساسی ترین مفاهیم جبر و ابزار ریاضی در مسائل کاربردی است. مستقل تعریف ماتریس معکوسبه تلاش زیاد، زمان زیاد، محاسبات و دقت زیادی نیاز دارد تا از اشتباه یا اشتباه در محاسبات جلوگیری شود. بنابراین، خدمات ما برای پیدا کردن ماتریس معکوس به صورت آنلاینکار شما را تا حد زیادی تسهیل می کند و به ابزاری ضروری برای حل مسائل ریاضی تبدیل می شود. حتی اگر شما معکوس ماتریس را پیدا کنیدبه تنهایی، توصیه می کنیم راه حل خود را در سرور ما بررسی کنید. ماتریس اصلی خود را در محاسبه ماتریس معکوس آنلاین ما وارد کنید و پاسخ خود را بررسی کنید. سیستم ما هرگز شکست نمی خورد و پیدا می کند ماتریس معکوسیک بعد معین در حالت برخطفورا! در سایت سایتورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، در این مورد ماتریس معکوس آنلاینبه صورت نمادین کلی ارائه خواهد شد.

اگر شرط $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ برآورده شود، ماتریس $ A ^ (- 1) $ نسبت به ماتریس مربع $ A $ معکوس نامیده می شود. ، که در آن $ E $ ماتریس هویت است که ترتیب آن برابر با ترتیب ماتریس $ A $ است.

ماتریس غیر منحط - ماتریسی که تعیین کننده آن برابر با صفر نیست. بر این اساس، یک ماتریس منحط، ماتریسی است که تعیین کننده آن برابر با صفر است.

ماتریس معکوس $ A ^ (- 1) $ اگر و فقط در صورتی وجود دارد که ماتریس $ A $ منحط نباشد. اگر ماتریس معکوس $ A ^ (- 1) $ وجود داشته باشد، یکتا است.

چندین راه برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد که ما به دو مورد از آنها خواهیم پرداخت. در این صفحه روش ماتریس الحاقی که در اکثر دروس ریاضیات عالی استاندارد در نظر گرفته می شود، بحث خواهد شد. روش دوم برای یافتن ماتریس معکوس (روش تبدیل های ابتدایی) که شامل استفاده از روش گاوس یا روش گاوس-جردن است، در قسمت دوم مورد بحث قرار گرفته است.

روش ماتریس الحاقی (الحاقی).

اجازه دهید ماتریس $ A_ (n \ بار n) $ داده شود. برای پیدا کردن معکوس ماتریس $ A^ (- 1) سه مرحله لازم است:

تعیین کننده ماتریس $ A $ را بیابید و مطمئن شوید که $ \ دلتا A \ neq 0 $ ، یعنی. که ماتریس A غیر منحط است.
مکمل های جبری $ A_ (ij) $ از هر عنصر ماتریس $ A $ را بسازید و ماتریس $ A_ (n \ بار n) ^ (*) = \ چپ (A_ (ij) \ راست) $ را از مکمل های جبری پیدا کرد.
ماتریس معکوس را با در نظر گرفتن فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $ بنویسید.

ماتریس $ (A ^ (*)) ^ T $ اغلب به عنوان الحاق (متقابل، الحاق) به ماتریس $ A $ نامیده می شود.

اگر راه حل به صورت دستی انجام شود، روش اول فقط برای ماتریس های سفارشات نسبتا کوچک خوب است: دوم ()، سوم ()، چهارم (). روش های دیگری برای یافتن معکوس یک ماتریس مرتبه بالاتر استفاده می شود. برای مثال روش گاوس که در قسمت دوم به آن پرداخته شده است.

مثال شماره 1

معکوس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 و -9 و 0 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $.

از آنجایی که تمام عناصر ستون چهارم برابر با صفر هستند، پس $ \ دلتا A = 0 $ (یعنی ماتریس $ A $ منحط است). از آنجایی که $ \ دلتا A = 0 $، ماتریس معکوس به ماتریس $ A $ وجود ندارد.

مثال شماره 2

معکوس ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

ما از روش ماتریس الحاقی استفاده می کنیم. ابتدا، ما تعیین کننده ماتریس داده شده $ A $ را پیدا می کنیم:

$$ \ دلتا A = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) -5 و 7 \\ 9 و 8 \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

از آنجایی که $ \ دلتا A \ neq 0 $ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. یافتن مکمل های جبری

\ شروع (تراز شده) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9؛ \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ انتهای (تراز شده)

ما یک ماتریس از مکمل های جبری می سازیم: $ A ^ (*) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $.

ماتریس حاصل را جابه‌جا کنید: $ (A ^ (*)) ^ T = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ پایان (آرایه) \ راست) $ (نتیجه ماتریس اغلب به عنوان ماتریس الحاقی یا الحاقی به ماتریس $ A $ نامیده می شود. با استفاده از فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $، داریم:

$$ A ^ (- 1) = \ فرک (1) (- 103) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 و -5 \ پایان (آرایه) \ راست) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ پایان (آرایه) \ راست) $$

بنابراین معکوس پیدا می شود: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (آرایه) \ راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ یا $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. اجازه دهید برابری $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $ A ^ (- 1) $ را جایگزین می کنیم نه به شکل $ \ left (\ begin (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (آرایه) \ راست) $، و به صورت $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) 8 & -7 \\ -9 و -5 \ پایان (آرایه) \ سمت راست) $:

پاسخ: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ پایان (آرایه) \ راست) $.

مثال شماره 3

معکوس ماتریس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (آرایه) \ سمت راست) $ را بیابید.

بیایید با محاسبه تعیین کننده ماتریس $ A $ شروع کنیم. بنابراین، تعیین کننده ماتریس $ A $ به شرح زیر است:

$$ \ دلتا A = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ سمت راست | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

از آنجایی که $ \ دلتا A \ neq 0 $ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. ما مکمل های جبری هر عنصر از ماتریس داده شده را پیدا می کنیم:

ماتریسی از متمم های جبری می سازیم و آن را جابجا می کنیم:

$$ A ^ * = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ پایان (آرایه) \ سمت راست); \; (A ^ *) ^ T = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ پایان (آرایه) \ راست) $$

با استفاده از فرمول $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $، به دست می آوریم:

$$ A ^ (- 1) = \ فراک (1) (26) \ cdot \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 و 37 \ پایان (آرایه) \ راست) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ انتهای (آرایه) \ سمت راست) $$

بنابراین $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (آرایه) \ سمت راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ یا $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. اجازه دهید برابری $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $ A ^ (- 1) $ را جایگزین می کنیم نه به شکل $ \ left (\ begin (آرایه) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (آرایه) \ سمت راست) $ و به صورت $ \ فراک (1) (26) \ cdot \ چپ ( \ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (آرایه) \ سمت راست) $:

بررسی موفقیت آمیز بود، معکوس $ A ^ (- 1) $ به درستی پیدا شد.

پاسخ: $ A ^ (- 1) = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

مثال شماره 4

معکوس $ A = \ چپ (\ شروع (آرایه) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 را پیدا کنید & -8 & -3 \ end (آرایه) \ سمت راست) $.

برای یک ماتریس مرتبه چهارم، یافتن ماتریس معکوس با استفاده از مکمل های جبری تا حدودی دشوار است. با این حال، چنین نمونه هایی در مقالات آزمون یافت می شود.

برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس $ A $ را محاسبه کنید. بهترین راه برای انجام این کار در این شرایط این است که تعیین کننده را به ردیف (ستون) بسط دهید. هر سطر یا ستونی را انتخاب می کنیم و مکمل های جبری هر عنصر سطر یا ستون انتخاب شده را پیدا می کنیم.

ما در مورد اقدامات با ماتریس صحبت می کنیم. یعنی - در طول مطالعه این سخنرانی، نحوه یافتن ماتریس معکوس را یاد خواهید گرفت. فرا گرفتن. حتی اگر ریاضی تنگ باشد.

ماتریس معکوس چیست؟ در اینجا می توانید یک قیاس با اعداد متقابل رسم کنید: به عنوان مثال، عدد خوش بینانه 5 و معکوس آن را در نظر بگیرید. حاصل ضرب این اعداد برابر با یک است:. با ماتریس ها، همه چیز مشابه است! حاصل ضرب یک ماتریس با ماتریس معکوس آن برابر است با - ماتریس هویت، که آنالوگ ماتریسی یک واحد عددی است. با این حال، ابتدا یک مسئله کاربردی مهم را حل خواهیم کرد، یعنی یاد خواهیم گرفت که چگونه این ماتریس بسیار معکوس را پیدا کنیم.

برای یافتن ماتریس معکوس چه چیزی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ شما باید بتوانید تصمیم بگیرید عوامل تعیین کننده... باید بفهمی چیه ماتریسو بتوانید برخی از اعمال را با آنها انجام دهید.

دو روش اصلی برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد:
با استفاده از مکمل های جبریو با استفاده از تبدیل های ابتدایی.

امروز اولین راه ساده تر را بررسی خواهیم کرد.

بیایید با وحشتناک ترین و غیر قابل درک ترین شروع کنیم. در نظر گرفتن مربعماتریس ماتریس معکوس را می توان با فرمول زیر پیدا کرد:

جایی که تعیین کننده ماتریس است، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس است.

مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربع وجود دارد، ماتریس های «دو در دو»، «سه در سه» و غیره.

تعیین ها: همانطور که احتمالا قبلاً متوجه شده اید، معکوس ماتریس با یک بالانویس نشان داده می شود

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم - یک ماتریس دو در دو. البته اغلب اوقات "سه در سه" مورد نیاز است، اما، با این وجود، برای تسلط بر اصل کلی راه حل، اکیداً مطالعه یک کار ساده تر را توصیه می کنم.

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

ما تصمیم گرفتیم. توالی اقدامات را می توان به راحتی به نقاط تقسیم کرد.

1) ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.

اگر درک شما از این عمل به اندازه کافی خوب نیست، مطالب را بخوانید چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مهم!در صورتی که تعیین کننده ماتریس باشد صفر- ماتریس معکوس وجود ندارد.

در مثال مورد بررسی، همانطور که معلوم شد، به این معنی است که همه چیز مرتب است.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

برای حل مشکل ما نیازی به دانستن اینکه مینور چیست، توصیه می شود مقاله را مطالعه کنید نحوه محاسبه تعیین کننده.

ماتریس مینورها همان ابعاد ماتریس را دارد، یعنی در این مورد.
موضوع کوچک است، باید چهار عدد را پیدا کرد و آنها را به جای ستاره گذاشت.

بازگشت به ماتریس ما
ابتدا به عنصر سمت چپ بالا نگاه می کنیم:

چگونه آن را پیدا کنیم جزئی?
و این کار به این صورت انجام می شود: با تفکر روی سطر و ستونی که این عنصر در آن قرار دارد خط بزنید:

تعداد باقی مانده است جزئی از این عنصر، که در ماتریس مینورها می نویسیم:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

ما به طور ذهنی ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد خط می زنیم:

چیزی که باقی می ماند مینور این عنصر است که در ماتریس خود می نویسیم:

به همین ترتیب، عناصر خط دوم را در نظر می گیریم و جزئی های آنها را پیدا می کنیم:

آماده.

ساده است. در ماتریس خردسالان، شما نیاز دارید تغییر علائمدو عدد:

این اعدادی هستند که من دایره آنها را زده ام!

- ماتریس مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس.

و این فقط ...

4) ماتریس جابجایی متمم های جبری را بیابید.

- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس.

5) پاسخ دهید.

به یاد فرمول ما
همه چیز پیدا شد!

بنابراین معکوس ماتریس برابر است با:

پاسخ بهتر است همان طور که هست باقی بماند. لازم نیستهر عنصر ماتریس را بر 2 تقسیم کنید، زیرا اعداد کسری به دست می آید. این تفاوت ظریف در همان مقاله با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گرفته است. عملیات ماتریسی.

چگونه می توانم راه حل را بررسی کنم؟

انجام ضرب ماتریس یا ضروری است

معاینه:

مواردی که قبلا ذکر شد ماتریس هویتیک ماتریس با موارد روشن است مورب اصلیو صفر در جاهای دیگر

بنابراین، عکس آن صحیح است.

اگر عملی را انجام دهید، نتیجه نیز ماتریس هویت خواهد بود. این یکی از معدود مواردی است که ضرب ماتریس قابل تغییر است، اطلاعات بیشتری را می توان در مقاله یافت ویژگی های عملیات روی ماتریس ها عبارات ماتریسی... همچنین توجه داشته باشید که در حین بررسی، ثابت (کسر) در انتها - پس از ضرب ماتریس - به جلو آورده و پردازش می شود. این یک تکنیک استاندارد است.

بیایید به یک مورد رایج تر در عمل برویم - ماتریس "سه در سه":

مثال:

معکوس یک ماتریس را پیدا کنید

الگوریتم دقیقاً مشابه حالت دو در دو است.

ماتریس معکوس را با فرمول: پیدا کنید، ماتریس جابجا شده مکمل های جبری عناصر متناظر ماتریس کجاست.

1) تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید.

در اینجا تعیین کننده آشکار می شود در خط اول.

همچنین، این را فراموش نکنید، به این معنی که همه چیز خوب است - ماتریس معکوس وجود دارد.

2) ماتریس مینورها را بیابید.

ماتریس مینورها دارای ابعاد "سه در سه" است. و ما باید نه عدد را پیدا کنیم.

من به جزئیات جزئی می پردازم:

عنصر ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

فکر می کنم ردیف و ستونی را که این عنصر در آن قرار دارد حذف کنید:

چهار عدد باقیمانده در تعیین کننده "دو در دو" نوشته می شود.

این واجد شرایط «دو در دو» است و جزئی این عنصر است... باید محاسبه شود:

همین است، مینور پیدا می شود، آن را در ماتریس مینورهای خود می نویسیم:

همانطور که ممکن است حدس بزنید، 9 عامل تعیین کننده دو در دو وجود دارد که باید محاسبه شوند. روند، البته، خسته کننده است، اما مورد دشوارترین نیست، می تواند بدتر باشد.

خوب، برای ادغام - پیدا کردن جزئی دیگر در تصاویر:

سعی کنید بقیه خردسالان را خودتان محاسبه کنید.

نتیجه نهایی:
- ماتریس مینورهای عناصر مربوطه ماتریس.

این واقعیت که همه خردسالان منفی بودند تصادفی محض است.

3) ماتریس متمم های جبری را بیابید.

در ماتریس مینورها لازم است تغییر علائمبه طور دقیق برای عناصر زیر:

در این مورد:

یافتن ماتریس معکوس برای ماتریس "چهار در چهار" در نظر گرفته نمی شود، زیرا چنین وظیفه ای فقط می تواند توسط یک معلم سادیست انجام شود (به طوری که دانش آموز یک تعیین کننده "چهار در چهار" و 16 تعیین کننده "سه در سه" را محاسبه می کند. ”). من در تمرین خود فقط با یک مورد از این دست ملاقات کردم و مشتری آزمایش تاوان عذاب من را بسیار گران پرداخت =).

در تعدادی از کتاب‌های درسی، راهنماها، می‌توانید رویکرد کمی متفاوت برای یافتن ماتریس معکوس پیدا کنید، با این حال، من استفاده از الگوریتم حل بالا را توصیه می‌کنم. چرا؟ زیرا احتمال گیج شدن در محاسبات و نشانه ها بسیار کمتر است.

پیدا کردن ماتریس معکوس

در این مقاله به مفهوم ماتریس معکوس، خواص و روش های یافتن آن می پردازیم. اجازه دهید به تفصیل در مورد حل مثال هایی صحبت کنیم که در آنها لازم است برای یک ماتریس معکوس ساخته شود.

پیمایش صفحه.

ماتریس معکوس - تعریف.

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از متمم های جبری.

ویژگی های ماتریس معکوس

یافتن ماتریس معکوس به روش گاوس-جردن.

یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی.

ماتریس معکوس - تعریف.

مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی معرفی شده است که تعیین کننده آن غیر صفر است، یعنی برای ماتریس های مربع غیر منحط.

تعریف.

ماتریسمعکوس ماتریس نامیده می شود، که در صورت تساوی، تعیین آن غیر صفر است ، جایی که Eماتریس ترتیب واحد است nبر n.

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از متمم های جبری.

چگونه معکوس یک ماتریس معین را پیدا می کنید؟

ابتدا به مفاهیم نیاز داریم ماتریس جابجا شده، مینور ماتریس و مکمل جبری عنصر ماتریس.

تعریف.

جزئیk-th سفارشماتریس ها آسفارش متربر nتعیین کننده ماتریس ترتیب است کبر ک، که از عناصر ماتریس به دست می آید آواقع در انتخاب شده است کخطوط و کستون ها. ( کاز کوچکترین اعداد تجاوز نمی کند متریا n).

جزئی (n-1) thترتیبی که از عناصر همه رشته ها تشکیل شده است به جز i-th، و تمام ستون ها به جز j-th، ماتریس مربع آسفارش nبر nبه عنوان نشان می دهد.

به عبارت دیگر مینور از ماتریس مربع به دست می آید آسفارش nبر nحذف عناصر i-thرشته ها و j-thستون

به عنوان مثال، بیایید بنویسیم، جزئی 2به ترتیبی که از ماتریس به دست می آید انتخاب عناصر ردیف های دوم، سوم و ستون های اول، سوم ... مینوری که از ماتریس به دست می آید را نیز نشان می دهیم حذف سطر دوم و ستون سوم ... اجازه دهید ساخت این خردسالان را نشان دهیم: و.

تعریف.

متمم جبریعنصری از ماتریس مربع را مینور می نامند (n-1) thبه ترتیبی که از ماتریس به دست می آید آ، عناصر آن را حذف می کند i-thرشته ها و j-thستون ضرب در

متمم جبری یک عنصر به صورت نشان داده می شود. به این ترتیب، .

به عنوان مثال، برای ماتریس مکمل جبری عنصر است.

ثانیاً ما به دو خاصیت دترمینانت نیاز داریم که در بخش به آن پرداختیم محاسبه دترمینان یک ماتریس:

بر اساس این ویژگی های تعیین کننده، تعریف عملیات ضرب ماتریسو مفهوم یک ماتریس معکوس، برابری ، ماتریس جابجا شده کجاست که عناصر آن مکمل های جبری هستند.

ماتریس در واقع معکوس ماتریس است آاز برابری ها ... بیایید آن را نشان دهیم

بسازیم الگوریتم ماتریس معکوسبا استفاده از برابری .

اجازه دهید الگوریتم را برای یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

با توجه به یک ماتریس ... ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل.

ما تعیین کننده ماتریس را محاسبه می کنیم آبا گسترش آن به عناصر ستون سوم:

دترمینان غیر صفر است، بنابراین ماتریس آبرگشت پذیر

بیایید یک ماتریس از متمم های جبری پیدا کنیم:

از همین رو

بیایید ماتریس را از متمم های جبری جابه جا کنیم:

اکنون ماتریس معکوس را به عنوان پیدا می کنیم :

بررسی نتیجه:

برابری راضی هستند، بنابراین، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود.

ویژگی های ماتریس معکوس

مفهوم ماتریس معکوس، برابری ، تعاریف عملیات روی ماتریس ها و ویژگی های تعیین کننده یک ماتریس به ما امکان می دهد موارد زیر را توجیه کنیم. خواص ماتریس معکوس:

یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی.

راه دیگری را برای یافتن ماتریس معکوس برای یک ماتریس مربع در نظر بگیرید آسفارش nبر n.

این روش بر اساس راه حل است nسیستم های معادلات جبری ناهمگن خطی با nناشناس. متغیرهای مجهول در این سیستم معادلات، عناصر ماتریس معکوس هستند.

این ایده بسیار ساده است. اجازه دهید ماتریس معکوس را به صورت نشان دهیم ایکس، به این معنا که، ... از آنجایی که با تعریف ماتریس معکوس، پس

با معادل سازی عناصر مربوطه توسط ستون، به دست می آوریم nسیستم های معادلات خطی

ما آنها را به هر طریقی حل می کنیم و از مقادیر یافت شده ماتریس معکوس را می سازیم.

بیایید با استفاده از یک مثال نگاهی به این روش بیندازیم.

مثال.

با توجه به یک ماتریس ... ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل.

قبول خواهیم کرد ... تساوی سه سیستم معادلات جبری ناهمگن خطی را به ما می دهد:

راه حل این سیستم ها را شرح نمی دهیم، در صورت لزوم به قسمت مراجعه کنید حل سیستم معادلات جبری خطی.

از اولین سیستم معادلات داریم، از دومی -، از سومی -. بنابراین، ماتریس معکوس جستجو شده دارای فرم است ... توصیه می کنیم برای اطمینان از صحت نتیجه یک بررسی انجام دهید.

خلاصه کنید.

مفهوم ماتریس معکوس، خواص آن و سه روش برای یافتن آن را بررسی کردیم.

نمونه ای از راه حل ها به روش ماتریس معکوس

تمرین 1. SLAE را با روش ماتریس معکوس حل کنید. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + × 4 = 4

شروع فرم

پایان فرم

راه حل... ماتریس را به این شکل می نویسیم: بردار B: BT = (1،2،3،4) تعیین کننده اصلی جزئی برای (1،1): = 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 جزئی برای (2،1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 جزئی برای (3، 1): = 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) = 3 جزئی برای (4،1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) = 3 تعیین کننده جزئی ∆ = 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 = -3

ماتریس را جابجا کنیدمکمل های جبری ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2، 3 = -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2) -2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2 4) + 1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3) -6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4 -7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) = -3 ماتریس معکوس بردار نتیجه X X = A -1 ∙ B X T = (2، -1، -0.33،1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

را نیز ببینید حل SLAEها به روش ماتریس معکوسبرخط. برای این کار مشخصات خود را وارد کنید و با نظرات دقیق راه حلی دریافت کنید.

تکلیف 2... سیستم معادلات را به صورت ماتریس بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. محلول دریافتی را بررسی کنید. راه حل:xml:xls

مثال 2... سیستم معادلات را به صورت ماتریس بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. راه حل:xml:xls

مثال... یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول داده شده است. لازم است: 1) راه حل آن را با استفاده از آن بیابید فرمول های کرامر; 2) سیستم را به صورت ماتریسی بنویسید و با حساب ماتریسی حل کنید. رهنمودها... پس از حل به روش کرامر، دکمه «راه حل ماتریس معکوس برای داده های اصلی» را پیدا کنید. راه حل مناسبی دریافت خواهید کرد. بنابراین، شما مجبور نیستید دوباره داده ها را پر کنید. راه حل... اجازه دهید با A نشان دهیم - ماتریس ضرایب مجهولات. X - ماتریس-ستون مجهولات؛ B یک ماتریس ستونی از اعضای آزاد است:

بردار B: BT = (4، -3، -3) با در نظر گرفتن این نمادها، این سیستم معادلات شکل ماتریس زیر را به خود می گیرد: A * X = B. اگر ماتریس A غیر منحط باشد (تعیین کننده آن غیر صفر است، سپس دارای یک ماتریس معکوس A -1 است. با ضرب دو طرف معادله در A -1، به دست می آید: A -1 * A * X = A -1 * B، A -1 * A = E. این برابری نامیده می شود. نماد ماتریسی حل سیستم معادلات خطی... برای یافتن راه حل برای سیستم معادلات، باید ماتریس معکوس A -1 را محاسبه کرد. اگر تعیین کننده ماتریس A غیر صفر باشد، سیستم راه حلی خواهد داشت. بیایید تعیین کننده اصلی را پیدا کنیم. ∆ = -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) = 14 بنابراین، تعیین کننده 14 ≠ 0، پس ما ادامه راه حل برای این کار، ماتریس معکوس را بر حسب متمم های جبری پیدا می کنیم. اجازه دهید یک ماتریس غیر منحط A داشته باشیم:

محاسبه مکمل های جبری

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T = (- 1،1،2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14/14 = 1 x 3 = 28/14 = 2 معاینه. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 سند:xml:xls پاسخ: -1,1,2.