متغیرهای تصادفی. قانون توزیع یک متغیر تصادفی
یک سری توزیع های یک متغیر تصادفی گسسته ارائه شده است. احتمال از دست رفته را بیابید و تابع توزیع را رسم کنید. انتظار و واریانس ریاضی این مقدار را محاسبه کنید.
متغیر تصادفی X فقط چهار مقدار را در نظر می گیرد: -4 ، -3 ، 1 و 2. هر یک از این مقادیر را با احتمال خاصی می گیرد. از آنجا که مجموع همه احتمالات باید برابر 1 باشد ، احتمال از دست رفته برابر است با:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
بیایید تابع توزیع متغیر تصادفی X را بسازیم. مشخص است که تابع توزیع ، سپس:
در نتیجه،
بیایید تابع را رسم کنیم اف(ایکس) .
انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع محصولات حاصل از مقدار متغیر تصادفی با احتمال مربوطه ، یعنی
واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را با فرمول پیدا می کنیم:
کاربرد
عناصر ترکیبی در اینجا: فاکتوریل یک عدد است |
||||||||||
اقدامات مربوط به رویدادهارویداد هر واقعیتی است که ممکن است در نتیجه تجربه اتفاق بیفتد یا رخ ندهد. ترکیب رویدادها ولیو V- این رخداد باکه از یک ظاهر یا یک رویداد تشکیل شده است ولی، یا رویدادها V، یا هر دو رویداد به طور همزمان. تعیین: تقاطع رویدادها ولیو V- این رخداد با، که شامل ظاهر همزمان هر دو رویداد است. تعیین:  |
||||||||||
تعریف کلاسیک احتمالاحتمال رویداد ولیآیا نسبت تعداد آزمایش است
|
||||||||||
فرمول ضرب احتمالاحتمال رویداد
اگر رویدادهای A و B مستقل باشند (ظاهر یکی بر ظاهر دیگری تأثیر نمی گذارد) ، احتمال وقوع برابر است با: |
||||||||||
فرمول افزودن احتمالاتاحتمال رویداد احتمال رویداد آ، احتمال رویداد که در،
اگر رویدادهای A و B ناسازگار باشند (نمی توانند همزمان ظاهر شوند) ، پس احتمال وقوع عبارت است از: |
||||||||||
فرمول احتمال کلبگذار رویداد ولیمی تواند همزمان با یکی از رویدادها رخ دهد |
||||||||||
طرح برنولیاجازه دهید n آزمایش مستقل انجام شود. احتمال وقوع (موفقیت) رویداد ولیدر هر یک از آنها ثابت و برابر است پ، احتمال شکست (یعنی نه وقوع یک رویداد ولی) س = 1 - پ... سپس احتمال وقوع کموفقیت ها در nآزمایشات را می توان با استفاده از فرمول برنولی یافت:
به احتمال زیاد تعداد موفقیت ها |
||||||||||
متغیرهای تصادفیگسسته پیوسته (به عنوان مثال ، تعداد دختران در یک خانواده با 5 فرزند) (به عنوان مثال ، ساعت کار کتری) ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی گسستهاجازه دهید یک مقدار گسسته توسط یک سری توزیع داده شود:
، ... ، - مقادیر یک متغیر تصادفی NS; ،… ، آیا مقادیر مربوط به احتمالات هستند. عملکرد توزیعتابع توزیع یک متغیر تصادفی NSتابعی است که در خط عدد کامل تعریف شده و برابر با احتمال آن است NSکمتر خواهد بود NS: |
;
;
مطلوب برای وقوع رویداد ولی، به تعداد کل آزمایشات 
:
را می توان با فرمول یافت:
- احتمال وقوع یک رویداد آ،
- احتمال وقوع یک رویداد که در،
- احتمال وقوع یک رویداد Vبه شرط آنکه این رویداد ولیقبلاً اتفاق افتاده است
را می توان با فرمول یافت:
- احتمال وقوع مشترک رویدادها ولیو V.
,
,
…,
- بگذارید آنها را فرضیه بنامیم. همچنین شناختهشده است 
- احتمال تحقق منفرضیه -th و 
- احتمال وقوع رویداد A هنگام اجرا من-فرضیه دهم سپس احتمال وقوع ولیرا می توان با فرمول یافت:
در طرح برنولی ، این تعداد وقایع یک رویداد خاص است که با بیشترین احتمال مطابقت دارد. با فرمول یافت می شود:
سوالات امتحانی
رویداد. عملیات روی رویدادهای تصادفی
مفهوم احتمال یک رویداد.
قوانین جمع و ضرب احتمالات. احتمالات مشروط
فرمول احتمال کل. فرمول بیز
طرح برنولی
یک متغیر تصادفی ، تابع توزیع و سری توزیع آن.
خواص اساسی تابع توزیع
مقدار مورد انتظار ویژگیهای انتظار ریاضی
پراکندگی خواص پراکندگی
چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی تک بعدی.
انواع توزیع: توزیع یکنواخت ، نمایی ، عادی ، دو جمله ای و پواسون.
قضایای محلی و انتگرالی موویر لاپلاس.
قانون و عملکرد توزیع یک سیستم از دو متغیر تصادفی.
تراکم توزیع یک سیستم از دو متغیر تصادفی
قوانین توزیع مشروط ، انتظار ریاضی مشروط
متغیرهای تصادفی وابسته و مستقل. ضریب همبستگی.
نمونه. پردازش نمونه چند ضلعی و هیستوگرام فرکانس ها. عملکرد توزیع تجربی
مفهوم برآورد پارامترهای توزیع الزامات ارزیابی فاصله اطمینان. ترسیم فواصل زمانی برای ارزیابی انتظار ریاضی و انحراف معیار
فرضیه های آماری معیارهای رضایت
تعریف 2.3. یک متغیر تصادفی ، که با X مشخص می شود ، گسسته نامیده می شود اگر مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر را بگیرد ، به عنوان مثال. مجموعه - مجموعه ای محدود یا قابل شمارش
بیایید نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.
1.
دو سکه یکبار پرتاب می شود. تعداد نمادها در این آزمایش یک متغیر تصادفی است NS... مقادیر احتمالی آن 0،1،2 است ، یعنی 
مجموعه ای محدود است
2. تعداد تماس های آمبولانس برای مدت زمان معینی ثبت می شود. ارزش تصادفی NS- تعداد تماس ها مقادیر احتمالی آن 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، یعنی = (0،1،2،3، ...) یک مجموعه قابل شمارش است.
3. 25 دانش آموز در یک گروه وجود دارد. در برخی از روزها ، تعداد دانش آموزانی که به کلاس ها آمده اند ثبت می شود - یک متغیر تصادفی NS... مقادیر احتمالی آن عبارتند از: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 25 یعنی = (0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 25).
اگرچه همه 25 نفر در مثال 3 نمی توانند از کلاس ها بگذرند ، اما متغیر تصادفی NSمی تواند این مقدار را بگیرد این بدان معناست که مقادیر یک متغیر تصادفی احتمالات متفاوتی دارند.
یک مدل ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته در نظر بگیرید.
اجازه دهید یک آزمایش تصادفی انجام شود ، که مربوط به فضای محدود یا قابل شمارش رویدادهای ابتدایی است. نگاشت این فضا را بر روی مجموعه اعداد واقعی در نظر بگیرید ، یعنی به هر رویداد ابتدایی تعدادی عدد واقعی را مرتبط می کنیم. در این حالت ، مجموعه اعداد می تواند محدود یا قابل شمارش باشد ، به عنوان مثال. 
یا
یک سیستم از زیر مجموعه ها ، که شامل هر زیر مجموعه ای ، از جمله یک نقطه ای می شود ، جبر یک مجموعه عددی (-البته یا قابل شمارش) را تشکیل می دهد.
از آنجا که هر رویداد ابتدایی به احتمالات خاصی اختصاص داده شده است p i(در مورد همه محدود) ، علاوه بر این ، هر مقدار متغیر تصادفی را می توان با احتمال خاصی مرتبط کرد p i، به طوری که.
بگذار باشد NS- یک عدد واقعی دلخواه نشان می دهیم P x (x)احتمال اینکه یک متغیر تصادفی باشد NSمقداری برابر با NS، یعنی P X (x) = P (X = x)... سپس تابع P x (x)می تواند ارزشهای مثبت را فقط برای آن ارزشها در نظر بگیرد NSکه به مجموعه ای محدود یا قابل شمارش تعلق دارند 
، و برای همه مقادیر دیگر احتمال این مقدار وجود دارد P X (x) = 0.
بنابراین ، ما مجموعه ای از مقادیر ، -جبر را به عنوان سیستم هر زیر مجموعه و هر رویداد تعریف کرده ایم ( X = x) احتمال را مقایسه کرد برای هر ، یعنی یک فضای احتمالی ساخته است
به عنوان مثال ، فضای رویدادهای ابتدایی یک آزمایش متشکل از پرتاب دوگانه یک سکه متقارن شامل چهار رویداد ابتدایی است:
وقتی سکه دوبار پرتاب شد ، دو مشبک افتاد. هنگامی که سکه دو بار پرتاب شد ، دو نشان افتاده بود.
در اولین پرتاب سکه ، رنده افتاد و در دوم ، نشان ملی.
در اولین پرتاب سکه ، نشان ملی افتاد و در دوم - مشبک.
اجازه دهید متغیر تصادفی باشد NS- تعداد ریزش های شبکه. در بسیاری از معانی آن تعریف شده است 
... همه زیرمجموعه های احتمالی ، از جمله موارد تک نقطه ای ، یک جبر را تشکیل می دهند ، یعنی = (Ø ، (1) ، (2) ، (0،1) ، (0،2) ، (1،2) ، (0،1،2)).
احتمال وقوع یک رویداد ( X = x i}, і = 1،2،3 ، ما احتمال وقوع یک رویداد را که نمونه اولیه آن است تعریف می کنیم:
بنابراین ، در رویدادهای ابتدایی ( X = x i) یک تابع عددی تنظیم کنید P X، بنابراین 
.
تعریف 2.4. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته مجموعه ای از جفت اعداد (x i ، p i) است که در آن x i مقادیر احتمالی متغیر تصادفی و p i احتمالاتی است که این مقادیر را با آنها می گیرد و.
ساده ترین شکل برای تنظیم قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ، جدولی است که مقادیر احتمالی متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه را لیست می کند:
| … | … | ||||
| … | … |
چنین جدولی را مجموعه توزیع می نامند. برای جلوه بیشتر بصری سری توزیع ، به صورت گرافیکی به تصویر کشیده شده است: در محور اوهنقطه x iو عمود بر طول از آنها بکشید p i... نقاط حاصله متصل شده و چند ضلعی به دست می آورند که یکی از اشکال قانون توزیع است (شکل 2.1).
بنابراین ، برای تنظیم یک متغیر تصادفی گسسته ، باید مقادیر آن و احتمالات مربوطه را تنظیم کنید.
مثال 2.2.گیرنده پول دستگاه هر بار که یک سکه با احتمال پایین می افتد فعال می شود ر... پس از فعال شدن ، سکه ها پایین نمی آیند. بگذار باشد NS- تعداد سکه هایی که باید قبل از فعال شدن کشو نقد دستگاه کاهش یابد. یک سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته بسازید NS.
راه حل.مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی NS: x 1 = 1 ، x 2 = 2 ، ... ، x k = k ، ...بیایید احتمالات این مقادیر را بیابیم: ص 1- احتمال اینکه گیرنده پول در اولین کاهش کار کند ، و p 1 = p ؛ ص 2 -احتمال اینکه دو تلاش انجام شود برای انجام این کار ، لازم است که: 1) گیرنده پول در اولین تلاش کار نکند. 2) در تلاش دوم - کار کرد. احتمال این رویداد است (1 - p) p... به همین ترتیب 
و غیره، 
... سری توزیع NSشکل خواهد گرفت
| 1 | 2 | 3 | … | به | … | |
| ر | qp | q 2 p | q r -1 p |
توجه داشته باشید که احتمالات p بهیک پیشرفت هندسی با مخرج ایجاد کنید: 1 - p = q, س<1, بنابراین ، چنین توزیع احتمال نامیده می شود هندسی.
further فرض کنید که یک مدل ریاضی ساخته شده است 
آزمایشی که توسط یک متغیر تصادفی گسسته توصیف شده است NS، و محاسبه احتمال وقوع حوادث دلخواه را در نظر بگیرید.
اجازه دهید یک رویداد دلخواه حاوی مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از مقادیر باشد x i: A = {x 1 ، x 2 ، ... ، x i ، ...) .رویداد ولیمی تواند به عنوان ترکیبی از رویدادهای ناسازگار شکل نشان داده شود :. سپس ، با استفاده از اصل 3 Kolmogorov , ما گرفتیم
از آنجا که احتمال وقوع حوادث را برابر با احتمال وقوع رویدادهایی که نمونه اولیه آنها هستند تعیین کردیم. این بدان معناست که احتمال هر رویدادی وجود دارد 
، می توان با فرمول محاسبه کرد ، زیرا این رویداد می تواند به عنوان ترکیبی از رویدادها نمایش داده شود ، جایی که .
سپس تابع توزیع F (x) = P (-<Х<х) با فرمول یافت می شود بنابراین نتیجه می گیرد که تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته NSناپیوسته است و در جهش ها افزایش می یابد ، یعنی یک تابع مرحله ای است (شکل 2.2):
اگر مجموعه محدود باشد ، تعداد اصطلاحات فرمول محدود است ؛ اگر قابل شمارش باشد ، تعداد اصطلاحات نیز قابل شمارش است.
مثال 2.3.دستگاه فنی شامل دو عنصر است که مستقل از یکدیگر کار می کنند. احتمال شکست عنصر اول در زمان T 0.2 و احتمال شکست عنصر دوم 0.1 است. ارزش تصادفی NS- تعداد عناصر شکست خورده در زمان T. تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کرده و نمودار آن را بسازید.
راه حل.فضای رویدادهای ابتدایی آزمایش ، که شامل بررسی قابلیت اطمینان دو عنصر یک دستگاه فنی است ، توسط چهار رویداد ابتدایی تعیین می شود ،،: - هر دو عنصر در نظم مناسبی قرار دارند. - اولین عنصر عملیاتی است ، دومی معیوب است ؛ - عنصر اول معیوب است ، دومی عملیاتی است ؛ - هر دو عنصر معیوب هستند. هر یک از رویدادهای ابتدایی را می توان بر اساس رویدادهای ابتدایی فضاها بیان کرد 
و 
، جایی که - اولین عنصر عملیاتی است ؛ - اولین عنصر از کار افتاده است ؛ - عنصر دوم قابل سرویس است ؛ - عنصر دوم از کار افتاده است. سپس ، و از آنجا که عناصر یک دستگاه فنی مستقل از یکدیگر کار می کنند ، پس
8. احتمال اینکه مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته به فاصله مربوط باشد چقدر است؟
با مقدار تصادفی یک متغیر نامیده می شود که بسته به شرایط مختلف می تواند مقادیر خاصی را دریافت کند و به نوبه خود یک متغیر تصادفی نامیده می شود گسسته اگر مجموعه مقادیر آن محدود یا قابل شمارش باشد.
علاوه بر متغیرهای تصادفی گسسته ، متغیرهای تصادفی پیوسته نیز وجود دارد.
بیایید مفهوم یک متغیر تصادفی را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. در عمل ، اغلب مقادیری وجود دارد که می توانند مقادیری را به خود اختصاص دهند ، اما نمی توان با اطمینان پیش بینی کرد که هر یک از آنها در تجربه ، پدیده ، مشاهده مورد نظر چه ارزشی خواهند داشت. به عنوان مثال ، تعداد پسرانی که روز بعد در مسکو متولد می شوند ممکن است متفاوت باشد. می تواند برابر با صفر باشد (حتی یک پسر متولد نمی شود: همه دختران متولد می شوند یا اصلاً نوزادی وجود نخواهد داشت) ، یک ، دو و غیره تا یک عدد محدود n... چنین مقادیری عبارتند از: جرم محصول ریشه چغندر قند در محل ، محدوده پرواز پوسته توپخانه ، تعداد قطعات معیوب در دسته ، و غیره. ما چنین مقادیری را تصادفی می نامیم. آنها همه نتایج احتمالی یک آزمایش یا مشاهده را از نظر کمی توصیف می کنند.
نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته با تعداد محدودی از مقادیر ، تعداد کودکان متولد شده در طول روز در یک شهرک ، تعداد مسافران اتوبوس ، تعداد مسافران منتقل شده روزانه با مترو مسکو و غیره.
تعداد مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته می تواند نامتناهی باشد ، اما یک مجموعه قابل شمارش است. اما در هر صورت ، می توان آنها را به ترتیبی شماره گذاری کرد ، یا به عبارت دقیق تر ، تناسب یک به یک بین مقادیر متغیر تصادفی و اعداد طبیعی 1 ، 2 ، 3 ، ... ، n.
توجه: مفهوم جدید و بسیار مهم نظریه احتمال - قانون توزیع
... بگذار باشد ایکسمی توانید nارزش های:. فرض می کنیم که همه آنها متفاوت هستند (در غیر این صورت ، یکسان باید ترکیب شوند) و به ترتیب صعودی مرتب شده اند. برای توصیف کامل یک متغیر تصادفی گسسته نه تنها تمام مقادیر آن ، بلکه احتمالات نیز باید تعیین شوند
، که با آن متغیر تصادفی هر یک از مقادیر را می گیرد ، به عنوان مثال 
.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته هر قانون (تابع ، جدول) نامیده می شود پ(ایکس) ، که به شما امکان می دهد احتمال وقوع انواع رویدادهای مرتبط با یک متغیر تصادفی را بیابید (به عنوان مثال ، احتمال اینکه نمونه ای از مقداری باشد یا در فاصله ای قرار گیرد).
ساده ترین و راحت ترین قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی گسسته در قالب جدول زیر آورده شده است:
| معنی | ... | |||
| احتمال | ... |
چنین جدولی نامیده می شود توزیع یک متغیر تصادفی گسسته... در ردیف بالای سری توزیع ، همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته (x) به ترتیب صعودی و در ردیف پایین ، احتمالات این مقادیر ( پ).
توسعه ها 
ناسازگار و تنها امکان پذیر هستند: آنها یک سیستم کامل از رویدادها را تشکیل می دهند. بنابراین ، مجموع احتمالات آنها برابر یک است:
.
مثال 1قرعه کشی در گروه دانش آموزی برگزار می شود. دو چیز با 1000 روبل بازی می شود. و یکی به ارزش 3000 روبل. یک قانون توزیع برای میزان سود خالص دانش آموزی که یک بلیط را به قیمت 100 روبل خریداری کرده است ، تنظیم کنید. در مجموع 50 بلیت فروخته شده است.
راه حل. متغیر تصادفی مورد علاقه ما ایکسمی تواند سه ارزش داشته باشد: - 100 روبل. (اگر دانش آموز برنده نشود ، اما در واقع 100 روبل پرداخت شده برای بلیط را از دست بدهد) ، 900 روبل. و 2900 روبل (برنده واقعی 100 روبل - با هزینه بلیط کاهش می یابد). نتیجه اول 47 مورد از 50 مورد ، مورد دوم 2 مورد و مورد سوم را نشان می دهد. بنابراین ، احتمالات آنها به شرح زیر است: پ(ایکس=-100)=47/50=0,94 , پ(ایکس=900)=2/50=0,04 , پ(ایکس=2900)=1/50=0,02 .
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفرم دارد
| مبلغ برنده | -100 | 900 | 2900 |
| احتمال | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته: ساخت
یک سری توزیع فقط برای یک متغیر تصادفی گسسته ساخته می شود (برای یک متغیر تصادفی غیر گسسته ، نمی توان آن را ساخت ، اگر فقط به دلیل این که مجموعه مقادیر احتمالی چنین متغیری تصادفی غیر قابل شمارش است ، نمی توان آنها را در ردیف بالای جدول).
عمومی ترین شکل قانون توزیع ، مناسب برای همه متغیرهای تصادفی (اعم از گسسته و غیر گسسته) ، تابع توزیع است.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهیا عملکرد یکپارچهتابع نامیده می شود 
، که احتمال تعیین مقدار متغیر تصادفی را تعیین می کند ایکسکمتر یا مساوی مقدار محدود NS.
تابع توزیع هر متغیر تصادفی گسسته یک تابع گام ناپیوسته است که جهش های آن در نقاط مربوط به مقادیر احتمالی متغیر تصادفی رخ می دهد و با احتمالات این مقادیر برابر است.
مثال 2متغیر تصادفی گسسته ایکس- تعداد امتیازات هنگام پرتاب تاس کاهش یافته است. عملکرد توزیع او را ارسال کنید
راه حل. سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسبه نظر می رسد:
| معنی | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| احتمال | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
عملکرد توزیع اف(ایکس) دارای 6 پرش برابر قدر 1/6 (در شکل زیر).
مثال 3در گلدان 6 توپ سفید و 4 توپ سیاه وجود دارد. 3 توپ از گلدان خارج می شود. تعداد توپ های سفید در بین توپ های خارج شده یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس... یک قانون توزیع متناسب با آن تهیه کنید.
ایکسمی تواند مقادیر 0 ، 1 ، 2 ، 3 را بگیرد قانون ضرب احتمالات... ما قانون توزیع زیر را برای یک متغیر تصادفی گسسته به دست می آوریم:
| معنی | 0 | 1 | 2 | 3 |
| احتمال | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
مثال 4قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را ترسیم کنید - تعداد ضربه ها به هدف با چهار شلیک ، اگر احتمال ضربه با یک ضربه 0.1 باشد.
راه حل. متغیر تصادفی گسسته ایکسمی تواند پنج مقدار مختلف را در نظر بگیرد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5. احتمالات مربوطه توسط فرمول برنولی
... در
n = 4 ,
پ = 1,1 ,
س = 1 - پ = 0,9 ,
متر = 0, 1, 2, 3, 4
ما گرفتیم
در نتیجه ، قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته ایکسفرم دارد
اگر احتمالات مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته را می توان با فرمول برنولی تعیین کرد ، متغیر تصادفی دارای است توزیع دو جمله ای .
اگر تعداد آزمایشات به اندازه کافی بزرگ باشد ، احتمالاً در این آزمایشات رویداد مورد علاقه دقیقاً رخ می دهد متربارها از قانون اطاعت می کند توزیع پواسون .
تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته: محاسبه
برای محاسبه تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته اف(NS) ، لازم است احتمالات همه آن مقادیر را که کمتر یا مساوی مقدار مرزی هستند ، اضافه کنیم NS.
مثال 5این جدول شامل داده هایی در مورد وابستگی تعداد ازدواج های مطلقه در طول سال به مدت زمان ازدواج است. این احتمال را بیابید که ازدواج مطلقه بعدی کمتر یا مساوی 5 سال باشد.
| مدت ازدواج (سال) | عدد | احتمال | اف(ایکس) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 و بیشتر | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| جمع | 6010 | 1 |
راه حل. احتمالات با تقسیم تعداد ازدواج های مطلقه مطلق بر تعداد کل 6010 محاسبه می شود. احتمال اینکه ازدواج طلاق بعدی 5 ساله باشد 0.056 است. احتمال اینکه مدت ازدواج بعدی طلاق کمتر یا مساوی 5 سال باشد ، 186/0 است. با افزودن مقدار به آن دست یافتیم اف(ایکس) برای ازدواج هایی با مدت زمان 4 سال ، احتمالی برای ازدواج با مدت 5 سال.
رابطه بین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته و انتظارات واریانس ریاضی
اغلب همه مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته شناخته نمی شوند ، اما برخی مقادیر یا احتمالات از سری مشخص هستند و همچنین انتظار ریاضی و (یا) واریانس یک متغیر تصادفی، که به یک درس جداگانه اختصاص داده شده است.
ما در اینجا چند فرمول از این درس ارائه می دهیم که می تواند هنگام تنظیم قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته به شما کمک کند و نمونه هایی از حل چنین مسائلی را تجزیه و تحلیل می کنیم.
انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته مجموع محصولات تمام مقادیر ممکن آن بر اساس احتمالات این مقادیر است:
(1)
فرمول پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته با تعریف:
فرمول واریانس زیر اغلب برای محاسبات راحت تر است:
, (2)
جایی که 
.
مثال 6متغیر تصادفی گسسته ایکسفقط می تواند دو مقدار را دریافت کند با احتمال مقدار کمتری می گیرد پ= 0.6 قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید ایکس، اگر مشخص باشد که انتظارات واریانس ریاضی آن است.
راه حل. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقدار بیشتری بگیرد ایکس2 ، برابر 1 - 0.6 = 4 است. با استفاده از فرمول (1) انتظار ریاضی ، ما معادله ای را ایجاد می کنیم که در آن مجهولات مقادیر متغیر گسسته تصادفی ما هستند:
با استفاده از فرمول پراکندگی (2) ، معادله دیگری را ایجاد می کنیم که در آن مجهولات نیز مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته هستند:
سیستم دو معادله بدست آمده
ما با روش جایگزینی حل می کنیم از معادله اول به دست می آوریم
جایگزینی این عبارت در معادله دوم ، پس از دگرگونی های ساده به دست می آوریم معادله ی درجه دو
,
که دو ریشه دارد: 7/5 و −1. از آنجا که اولین ریشه شرایط مشکل را برآورده نمی کند ایکس2 < ایکس 1 ... بنابراین ، مقادیری که یک متغیر تصادفی گسسته می تواند دریافت کند ایکسبا توجه به شرایط مثال ما ، برابر هستند ایکس1 = −1 و ایکس2 = 2 .
معروف، متغیر تصادفی یک متغیر نامیده می شود که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی را دریافت کند. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین (X ، Y ، Z) و مقادیر آنها- با حروف کوچک مربوطه (x ، y ، z) تعیین می شوند. متغیرهای تصادفی به ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.
متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی است که فقط مجموعه ای محدود یا نامحدود (قابل شمارش) از مقادیر با احتمالات غیر صفر خاص را می گیرد.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابعی که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوطه متصل می کند ، نامیده می شود. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.
1 . قانون توزیع را می توان با جدول نشان داد:
جایی که λ> 0 ، k = 0 ، 1 ، 2 ،….
v)با استفاده از تابع توزیع F (x) ، که برای هر مقدار x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x دریافت کند ، یعنی F (x) = P (X< x).
خواص تابع F (x)
3 . قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی تنظیم کرد - توزیع چند ضلعی (چند ضلعی) (کار 3 را ببینید).
توجه داشته باشید که برای حل برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد ، کافی است یک یا چند عدد را که نشان دهنده مهمترین ویژگیهای قانون توزیع است ، بدانید. می تواند عددی باشد که معنی "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد یا عددی باشد که میانگین انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط آن را نشان می دهد. اعدادی از این دست را ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.
ویژگیهای عددی اساسی یک متغیر تصادفی گسسته :
- انتظار ریاضی
(مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی گسسته M (X) = Σ x i p i.
برای توزیع دو جمله ای M (X) = np ، برای توزیع Poisson M (X) = λ - پراکندگی
متغیر تصادفی گسسته D (X) = M 2یا D (X) = M (X 2) - 2... تفاوت X - M (X) انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن نامیده می شود.
برای توزیع دو جمله ای D (X) = npq ، برای توزیع Poisson D (X) = λ - انحراف معیار (انحراف معیار) σ (X) = √D (X).
نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته"
هدف 1
1000 بلیط بخت آزمایی صادر شد: 5 نفر از آنها 500 روبل ، 10 - برد 100 روبل ، 20 - برد 50 روبل ، 50 - برد 10 روبل. قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X - بازدهی در هر بلیط را تعیین کنید.
راه حل. با توجه به شرایط مشکل ، مقادیر زیر متغیر تصادفی X ممکن است: 0 ، 10 ، 50 ، 100 و 500.
تعداد بلیط های بدون برد 1000 است - (5 + 10 + 20 + 50) = 915 ، سپس P (X = 0) = 915/1000 = 0.915.
به طور مشابه ، ما همه احتمالات دیگر را پیدا می کنیم: P (X = 0) = 50/1000 = 0.05 ، P (X = 50) = 20/1000 = 0.02 ، P (X = 100) = 10/1000 = 0.01 ، P (X = 500) = 5/1000 = 0.005. ما قانون حاصله را در قالب یک جدول نشان می دهیم:
بیایید انتظار ریاضی مقدار X را پیدا کنیم: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3.5
هدف 3
این دستگاه از سه عنصر مستقل کار می کند. احتمال شکست هر عنصر در یک آزمایش 0.1 است. یک قانون توزیع برای تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش تهیه کنید ، یک چند ضلعی توزیع بسازید. تابع توزیع F (x) را بیابید و نمودار آن را رسم کنید. انتظارات ریاضی ، واریانس و انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید.
راه حل. 1. یک متغیر تصادفی گسسته X = (تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش) دارای مقادیر احتمالی زیر است: x 1 = 0 (هیچ یک از عناصر دستگاه خراب نشد) ، x 2 = 1 (یک عنصر ناموفق) ، x 3 = 2 ( دو عنصر شکست خورده است) و x 4 = 3 (سه عنصر شکست خورده است).
شکست عناصر مستقل از یکدیگر هستند ، احتمال خرابی هر عنصر برابر یکدیگر است ، بنابراین قابل اجرا است فرمول برنولی
... با توجه به اینکه ، با شرایط n = 3 ، p = 0.1 ، q = 1-p = 0.9 ، احتمالات مقادیر را تعیین می کنیم:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729 ؛
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243 ؛
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0.1 2 * 0.9 = 0.027 ؛
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0.1 3 = 0.001 ؛
بررسی کنید: ip i = 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.
بنابراین ، قانون توزیع دو جمله ای مورد نظر برای X به شکل زیر است:
در محور آبسیسه مقادیر احتمالی x i و در محور مرتب - احتمالات مربوط p i را ترسیم می کنیم. بیایید نقاط M 1 (0 ؛ 0.729) ، M 2 (1 ؛ 0.243) ، M 3 (2 ؛ 0.027) ، M 4 (3 ؛ 0.001) را بسازیم. با اتصال این نقاط به بخش های خط ، ما چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.
3. بیایید تابع توزیع F (x) = P (X را پیدا کنیم
برای x ≤ 0 ، ما F (x) = P (X داریم<0) = 0;برای 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
برای 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
برای 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
برای x> 3 F (x) = 1 خواهد بود ، زیرا رویداد معتبر است
 |
نمودار تابع F (x)
4.
برای توزیع دو جمله ای X:
- انتظار ریاضی M (X) = np = 3 * 0.1 = 0.3 ؛
- واریانس D (X) = npq = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27 ؛
- انحراف استاندارد σ (X) = √D (X) = -0.27 ≈ 0.52 √.
یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال ، مفهوم است متغیر تصادفی.
تصادفینامیده می شوند اندازه، که در نتیجه آزمایشات ، مقادیر احتمالی خاصی را می گیرد ، که از قبل ناشناخته و بسته به دلایل تصادفی است که نمی توان از قبل آنها را در نظر گرفت.
متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین تعیین می شوند ایکس, Y, Zو غیره یا با حروف بزرگ الفبای لاتین با زیرنویس مناسب و مقادیری که می توانند مقادیر تصادفی به خود بگیرند- حروف کوچک مربوط به الفبای لاتین ایکس, y, zو غیره.
مفهوم متغیر تصادفی با مفهوم یک رویداد تصادفی ارتباط تنگاتنگی دارد. ارتباط با یک رویداد تصادفیدر این واقعیت نهفته است که پذیرش یک مقدار عددی خاص توسط یک متغیر تصادفی یک رویداد تصادفی است که با احتمال مشخص می شود 
.
در عمل ، دو نوع اصلی متغیرهای تصادفی وجود دارد:
1. متغیرهای تصادفی گسسته.
2. متغیرهای تصادفی پیوسته.
متغیر تصادفی یک تابع عددی از رویدادهای تصادفی است.
به عنوان مثال ، یک متغیر تصادفی تعداد نقاطی است که با پرتاب تاس انداخته می شود ، یا قد دانش آموزی است که به طور تصادفی از گروه مطالعه انتخاب شده است.
متغیرهای تصادفی گسستهمتغیرهای تصادفی نامیده می شوند که فقط مقادیری را که از یکدیگر فاصله دارند می گیرند ، که می توان آنها را از قبل برشمرد.
قانون توزیع(تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) رفتار یک متغیر تصادفی را به طور کامل توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل کافی است برخی از ویژگی های عددی کمیت مورد بررسی (به عنوان مثال ، مقدار متوسط آن و انحراف احتمالی از آن) را برای پاسخ به س posال مطرح شده بدانیم. ویژگیهای عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستههر نسبت نامیده می شود , ایجاد ارتباط بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه .
قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان به صورت زیر نشان داد جداول:
| … | … | ||||
| … | … |
مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی برابر یک است ، یعنی
قانون توزیع را می توان به تصویر کشید به صورت گرافیکی: در محور آبسیسه مقادیر احتمالی متغیر تصادفی رسم شده است و در محور مختصات - احتمالات این مقادیر ؛ نقاط حاصله توسط بخش هایی به هم متصل می شوند. polyline ساخته شده نامیده می شود چند ضلعی توزیع.
مثال. یک شکارچی با 4 دور بازی را شلیک می کند تا اولین ضربه یا تمام دورها مصرف شود. احتمال ضربه زدن به شوت اول 0.7 است و در هر شلیک بعدی 0.1 بار کاهش می یابد. قانون توزیع تعداد کارتریج های مصرف شده توسط شکارچی را تنظیم کنید.
راه حل.از آنجا که یک شکارچی ، با داشتن 4 گلوله ، می تواند چهار شلیک کند ، سپس یک متغیر تصادفی ایکس- تعداد فشنگ مصرف شده توسط شکارچی می تواند مقادیر 1 ، 2 ، 3 ، 4 را به خود اختصاص دهد. برای یافتن احتمالات مربوطه ، ما رویدادها را معرفی می کنیم:
- "وقتی ضربه بزنید من -اه شات ”،
- “miss at من -شات "، و رویدادها و از نظر زوجی مستقل هستند.
با توجه به شرایط مشکل ، موارد زیر را داریم:
, 
با قضیه ضرب برای رویدادهای مستقل و قضیه جمع برای رویدادهای ناسازگار ، به موارد زیر می رسیم:
(شکارچی با اولین شلیک به هدف اصابت کرد) ؛
(شکارچی با شلیک دوم به هدف اصابت کرد) ؛
(شکارچی با شلیک سوم به هدف اصابت کرد) ؛
(شکارچی با شلیک چهارم به هدف اصابت کرد یا هر چهار بار آن را از دست داد).
بررسی کنید: - درست است.
بنابراین ، قانون توزیع متغیر تصادفی ایکسبه نظر می رسد:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
مثال.یک کارگر با سه دستگاه کار می کند. احتمال اینکه دستگاه اول در مدت یک ساعت نیازی به تنظیم نداشته باشد 0.9 ، دومی 0.8 و سومی 0.7 است. یک قانون توزیع برای تعداد ماشین هایی که نیاز به تنظیم در عرض یک ساعت دارند تهیه کنید.
راه حل.ارزش تصادفی ایکس- تعداد ماشین هایی که در عرض یک ساعت نیاز به تنظیم دارند می توانند مقادیر 0،1 ، 2 ، 3 را به خود بگیرند. برای یافتن احتمالات مربوط ، ما رویدادها را معرفی می کنیم:
- “من- دستگاه th ظرف یک ساعت نیاز به تنظیم دارد "،
- “من- دستگاه ماشین ظرف یک ساعت نیاز به تنظیم ندارد "،.
با توجه به مشکل ، ما داریم:
, 
.
