Finden Sie online das Volumen eines durch Linien begrenzten Rotationskörpers. Wie man das Volumen eines Rotationskörpers mit einem bestimmten Integral berechnet

Wie bei dem Problem, die Fläche zu finden, benötigen Sie sichere Zeichenfähigkeiten - dies ist fast das Wichtigste (da die Integrale selbst oft einfach sind). Lernen Sie kompetent u schnelle Technik Charting kann mit durchgeführt werden Lehrmaterial und Transformationen geometrischer Graphen. Tatsächlich habe ich jedoch wiederholt über die Bedeutung von Zeichnungen im Unterricht gesprochen.

Im Allgemeinen gibt es viele interessante Anwendungen in der Integralrechnung mit Hilfe von bestimmtes Integral Sie können die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche einer Umdrehung und vieles mehr berechnen. Es wird also Spaß machen, bitte seien Sie optimistisch!

Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Repräsentiert? ... Ich frage mich, wer was präsentiert hat ... =))) Wir haben bereits seinen Bereich gefunden. Aber zusätzlich kann diese Figur auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

- um die Abszissenachse;
- um die y-Achse.

In diesem Artikel werden beide Fälle diskutiert. Die zweite Rotationsmethode ist besonders interessant, sie bereitet die größten Schwierigkeiten, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen das Problem, die Fläche einer Figur zu finden, und sagen Ihnen, wie Sie den Bereich auf dem zweiten Weg finden - entlang der Achse. Nicht einmal so sehr ein Bonus, da das Material gut in das Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

flache Figur um eine Achse

Beispiel 1

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie die durch Linien begrenzte Figur um die Achse drehen.

Entscheidung: Wie beim Bereichsproblem, Die Lösung beginnt mit dem Zeichnen einer flachen Figur. Das heißt, in der Ebene ist es notwendig, eine durch Linien begrenzte Figur zu bauen , , wobei nicht zu vergessen ist, dass die Gleichung die Achse definiert . Wie Sie eine Zeichnung rationeller und schneller erstellen, finden Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen und Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet. Dies ist eine chinesische Erinnerung, und so weiter dieser Moment Ich höre nicht mehr auf.

Die Zeichnung hier ist ziemlich einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert und dreht sich um die Achse.Durch die Drehung erhält man eine solche leicht eiförmige fliegende Untertasse, die symmetrisch um die Achse ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber es ist zu faul, etwas im Nachschlagewerk anzugeben, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Das Volumen eines Rotationskörpers kann mit der Formel berechnet werden:

In der Formel muss vor dem Integral eine Zahl stehen. Es ist einfach so passiert - alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Wie man die Integrationsgrenzen "a" und "be" festlegt, ist meiner Meinung nach anhand der fertigen Zeichnung leicht zu erraten.

Funktion... was ist das für eine Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die flache Figur wird von oben durch den Parabelgraphen begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Das ändert nichts - der Integrand in der Formel wird quadriert: , also Integral ist immer nicht negativ, was ganz logisch ist.

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit diese Formel:

Wie ich schon bemerkt habe, stellt sich das Integral fast immer als einfach heraus, Hauptsache man muss aufpassen.

Antworten:

In der Antwort muss die Dimension angegeben werden - Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 "Würfel". Warum genau kubisch Einheiten? Weil die universellste Formulierung. Es können Kubikzentimeter, Kubikmeter, Kubikkilometer usw. sein, so viele kleine grüne Männchen passen in eine fliegende Untertasse.

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch Drehung um die Achse der Figur gebildet wird, die durch die Linien begrenzt wird , ,

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten Sie zwei weitere herausfordernde Aufgaben die in der Praxis oft anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , , und begrenzten Figur drehen

Entscheidung: Zeichnen Sie eine flache Figur in die Zeichnung, begrenzt durch die Linien , , , , und vergessen Sie dabei nicht, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau hinterlegt. Wenn es sich um die Achse dreht, erhält man einen solchen surrealen Donut mit vier Ecken.

Das Volumen des Rotationskörpers berechnet sich zu Unterschied des Körpervolumens.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um die Achse dreht, wird ein Kegelstumpf erhalten. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes als .

Betrachten Sie die eingekreiste Figur in grün. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich ist der Volumenunterschied genau das Volumen unseres „Donuts“.

Wir verwenden die Standardformel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

1) Die rot eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

2) Die grün eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

3) Das Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antworten:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung mit der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft verkürzt, etwa so:

Lassen Sie uns jetzt eine Pause machen und über geometrische Illusionen sprechen.

Menschen haben oft Illusionen, die mit Volumen verbunden sind, was Perelman (ein anderer) in dem Buch bemerkte Interessante Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an - sie scheint eine kleine Fläche zu haben, und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch in seinem ganzen Leben eine Flüssigkeit mit dem Volumen eines Raumes mit einer Fläche von 18 Quadratmeter, die im Gegenteil zu klein erscheint.

Im Allgemeinen war das Bildungssystem in der UdSSR wirklich das beste. Dasselbe Buch von Perelman, das bereits 1950 veröffentlicht wurde, entwickelt sich sehr gut, wie der Humorist argumentierte, und lehrt Sie, nach Originalen zu suchen Nicht standardisierte Lösungen Probleme. Kürzlich habe ich einige Kapitel mit großem Interesse erneut gelesen, ich empfehle es, es ist sogar für Menschenfreunde zugänglich. Nein, Sie müssen nicht schmunzeln, dass ich vorgeschlagen habe, einen spontanen Zeitvertreib, Gelehrsamkeit und eine breite Perspektive in der Kommunikation sind eine großartige Sache.

Nach einem lyrischen Exkurs ist es nur angebracht, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Bitte beachten Sie, dass alle Dinge im Band passieren, also vorgefertigte Integrationsgrenzen tatsächlich vorgegeben sind. Holen Sie sich die richtige Grafik trigonometrische Funktionen, erinnern Sie sich an das Material der Lektion über geometrische Transformationen von Graphen: wenn das Argument durch zwei teilbar ist: , dann werden die Graphen zweimal entlang der Achse gestreckt. Es ist wünschenswert, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen um die Zeichnung genauer zu vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Übrigens kann die Aufgabe rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
flache Figur um eine Achse

Der zweite Absatz wird noch interessanter als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse zu berechnen, ist ein recht häufiger Gast in Kontrollarbeit. Im Vorbeigehen wird berücksichtigt Problem, die Fläche einer Figur zu finden Der zweite Weg - die Integration entlang der Achse. Dadurch können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern Ihnen auch beibringen, wie Sie die rentabelste Lösung finden. Es hat auch eine praktische Bedeutung! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik schmunzelnd erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen unsere Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich auch ihr meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen zweckentsprechend einsetze =).

Ich empfehle es jedem zu lesen, sogar kompletten Dummies. Darüber hinaus wird das assimilierte Material des zweiten Absatzes eine unschätzbare Hilfe bei der Berechnung von Doppelintegralen sein.

Beispiel 5

Gegeben sei eine flache Figur, die durch Linien , , begrenzt ist.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die von diesen Linien begrenzt wird.
2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine von diesen Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Beachtung! Auch wenn Sie zuerst nur den zweiten Absatz lesen möchten Notwendig Lies den ersten!

Entscheidung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Es ist leicht zu sehen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel definiert. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gesuchte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau hinterlegt.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die "übliche" Weise gefunden werden, die in der Lektion berücksichtigt wurde. Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet. Darüber hinaus ergibt sich die Fläche der Figur als Summe der Flächen:
- auf dem Segment ;
- auf dem Segment.

So:

Was ist in diesem Fall falsch an der üblichen Lösung? Erstens gibt es zwei Integrale. Zweitens sind Wurzeln unter Integralen und Wurzeln in Integralen kein Geschenk, außerdem kann man verwirrt werden, wenn man die Grenzen der Integration ersetzt. Tatsächlich sind die Integrale natürlich nicht tödlich, aber in der Praxis ist alles viel trauriger, ich habe einfach „bessere“ Funktionen für die Aufgabe herausgegriffen.

Es gibt eine rationellere Lösung: Sie besteht im Übergang zu Umkehrfunktionen und Integration entlang der Achse.

Wie geht man zu Umkehrfunktionen über? Grob gesagt müssen Sie "x" bis "y" ausdrücken. Beschäftigen wir uns zunächst mit der Parabel:

Das ist genug, aber stellen wir sicher, dass die gleiche Funktion vom unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Mit einer geraden Linie ist alles einfacher:

Schauen Sie sich jetzt die Achse an: Bitte neigen Sie Ihren Kopf während der Erklärung regelmäßig um 90 Grad nach rechts (das ist kein Scherz!). Die benötigte Figur liegt auf dem Segment, das durch die rot gepunktete Linie gekennzeichnet ist. Gleichzeitig befindet sich auf dem Segment die gerade Linie über der Parabel, was bedeutet, dass die Fläche der Figur mit der Ihnen bereits bekannten Formel ermittelt werden sollte: . Was hat sich an der Formel geändert? Nur ein Brief, mehr nicht.

! Notiz: Integrationsgrenzen entlang der Achse sollen gesetzt werden streng von unten nach oben!

Bereich finden:

Auf dem Segment also:

Achten Sie darauf, wie ich die Integration durchgeführt habe, dies ist der rationalste Weg, und im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Der ursprüngliche Integrand wird erhalten, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wird.

Antworten:

2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine eigene Achse dreht.

Um das Volumen des Rotationskörpers zu finden, integrieren wir entlang der Achse. Zuerst müssen wir uns den Umkehrfunktionen zuwenden. Dies wurde bereits im vorherigen Absatz ausgeführt und ausführlich beschrieben.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen des Rotationskörpers als Differenz zwischen den Volumina gefunden werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, wodurch ein Kegelstumpf entsteht. Lassen Sie uns dieses Volumen mit bezeichnen.

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen sie durch das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings ist gleich der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

Wie unterscheidet es sich von der Formel des vorherigen Absatzes? Nur in Buchstaben.

Und hier ist der Vorteil der Integration, über den ich vor einer Weile gesprochen habe, es ist viel einfacher zu finden als den Integranden in die 4. Potenz zu erheben.

Antworten:

Allerdings ein kränklicher Schmetterling.

Beachten Sie, dass, wenn dieselbe flache Figur um die Achse gedreht wird, ein völlig anderer Rotationskörper mit einem anderen natürlich Volumen entsteht.

Beispiel 6

Gegeben sei eine durch Linien begrenzte flache Figur und eine Achse.

1) Gehen Sie zu Umkehrfunktionen und finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch diese Linien begrenzt wird, indem Sie über die Variable integrieren.
2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, den Sie erhalten, indem Sie eine von diesen Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Wer möchte, kann den Bereich der Figur auch auf "übliche" Weise finden und damit den Test von Punkt 1) abschließen. Aber wenn man, ich wiederhole, eine flache Figur um die Achse dreht, dann bekommt man einen ganz anderen Rotationskörper mit einem anderen Volumen, übrigens die richtige Antwort (auch für die, die gerne lösen).

Die vollständige Lösung der beiden vorgeschlagenen Punkte der Aufgabe am Ende der Lektion.

Oh, und vergessen Sie nicht, Ihren Kopf nach rechts zu neigen, um Rotationskörper und Integration zu verstehen!

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers mit einem bestimmten Integral?

Außer, abgesondert, ausgenommen Finden der Fläche einer flachen Figur mit einem bestimmten Integral Die wichtigste Anwendung des Themas ist Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers. Das Material ist einfach, aber der Leser muss vorbereitet sein: Es ist notwendig, es lösen zu können unbestimmte Integrale mittlerer Komplexität und wenden Sie die Newton-Leibniz-Formel an bestimmtes Integral . Wie bei dem Problem, die Fläche zu finden, benötigen Sie sichere Zeichenfähigkeiten - dies ist fast das Wichtigste (da die Integrale selbst oft einfach sind). Sie beherrschen die kompetente und schnelle Technik des Zeichnens von Graphen mit Hilfe von methodischem Material . Tatsächlich habe ich jedoch wiederholt über die Bedeutung von Zeichnungen im Unterricht gesprochen. .

Im Allgemeinen gibt es viele interessante Anwendungen in der Integralrechnung; mit einem bestimmten Integral können Sie die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche berechnen des Körpers und vieles mehr. Es wird also Spaß machen, bitte seien Sie optimistisch!

– um die x-Achse; - um die y-Achse.

In diesem Artikel werden beide Fälle diskutiert. Die zweite Rotationsmethode ist besonders interessant, sie bereitet die größten Schwierigkeiten, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen das Problem, die Fläche einer Figur zu finden , und sagen Ihnen, wie Sie den Bereich auf dem zweiten Weg finden - entlang der Achse. Nicht einmal so sehr ein Bonus, da das Material gut in das Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

Beispiel 1

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Entscheidung: Wie bei dem Problem, den Bereich zu finden, Die Lösung beginnt mit dem Zeichnen einer flachen Figur. Das heißt, in einer Ebene muss eine durch Linien begrenzte Figur aufgebaut werden, wobei nicht zu vergessen ist, dass die Gleichung die Achse festlegt. Wie Sie eine Zeichnung rationeller und schneller erstellen, finden Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen und Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet . Dies ist eine chinesische Erinnerung und ich höre an dieser Stelle nicht auf.

Die Zeichnung hier ist ziemlich einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert, sie dreht sich um die Achse. Durch Rotation erhält man diese leicht eiförmige fliegende Untertasse, die achsensymmetrisch ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber es ist zu faul, sich etwas im Nachschlagewerk anzusehen, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Das Volumen eines Rotationskörpers kann nach folgender Formel berechnet werden:

In der Formel muss vor dem Integral eine Zahl stehen. Es ist einfach so passiert - alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Wie man die Integrationsgrenzen "a" und "be" festlegt, ist meiner Meinung nach anhand der fertigen Zeichnung leicht zu erraten.

Funktion... was ist das für eine Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die flache Figur wird durch den parabolischen Graphen oben begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Das ändert nichts - die Funktion in der Formel ist quadriert:, also das Volumen eines Rotationskörpers ist immer nicht negativ, was ganz logisch ist.

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich schon bemerkt habe, stellt sich das Integral fast immer als einfach heraus, Hauptsache man muss aufpassen.

Antworten:

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse der durch Linien begrenzten Figur gebildet wird,

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Entscheidung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch Linien begrenzt ist ,,,, wobei wir nicht vergessen, dass die Gleichung die Achse festlegt:

Die gewünschte Figur ist blau hinterlegt. Wenn es sich um die Achse dreht, erhält man einen solchen surrealen Donut mit vier Ecken.

Das Volumen des Rotationskörpers berechnet sich zu Unterschied des Körpervolumens.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um die Achse dreht, wird ein Kegelstumpf erhalten. Bezeichne das Volumen dieses Kegelstumpfes mit .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich ist der Volumenunterschied genau das Volumen unseres „Donuts“.

Wir verwenden die Standardformel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

1) Die rot eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

2) Die grün eingekreiste Figur wird von oben durch eine Gerade begrenzt, also:

3) Das Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antworten:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung mit der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft verkürzt, etwa so:

Lassen Sie uns jetzt eine Pause machen und über geometrische Illusionen sprechen.

Menschen haben oft Illusionen, die mit Volumen verbunden sind, was Perelman (nicht dasselbe) in dem Buch bemerkte Interessante Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an - sie scheint eine kleine Fläche zu haben, und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch in seinem ganzen Leben eine Flüssigkeit mit einem Volumen von 18 Quadratmetern Raum, was im Gegenteil ein zu kleines Volumen zu sein scheint.

Im Allgemeinen war das Bildungssystem in der UdSSR wirklich das beste. Dasselbe Buch von Perelman, das er bereits 1950 geschrieben hat, entwickelt sich sehr gut, wie der Humorist sagte, argumentierend und lehrt Sie, nach originellen, nicht standardmäßigen Lösungen für Probleme zu suchen. Kürzlich habe ich einige Kapitel mit großem Interesse erneut gelesen, ich empfehle es, es ist sogar für Menschenfreunde zugänglich. Nein, Sie müssen nicht schmunzeln, dass ich vorgeschlagen habe, einen spontanen Zeitvertreib, Gelehrsamkeit und eine breite Perspektive in der Kommunikation sind eine großartige Sache.

Nach einem lyrischen Exkurs ist es nur angebracht, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien begrenzt wird, wobei.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Bitte beachten Sie, dass alle Dinge im Band passieren, also quasi vorgefertigte Integrationsgrenzen vorgegeben sind. Versuchen Sie auch, die Graphen trigonometrischer Funktionen korrekt zu zeichnen, wenn das Argument durch zwei geteilt wird:, dann werden die Graphen zweimal entlang der Achse gestreckt. Versuchen Sie, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen und machen Sie die Zeichnung genauer. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Übrigens kann die Aufgabe rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Berechnung des Volumens eines Körpers, der durch Rotation einer flachen Figur um eine Achse entsteht

Der zweite Absatz wird noch interessanter als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse zu berechnen, ist ein häufiger Gast in Tests. Im Vorbeigehen wird berücksichtigt Problem, die Fläche einer Figur zu finden Der zweite Weg - die Integration entlang der Achse. Dadurch können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern Ihnen auch beibringen, wie Sie die rentabelste Lösung finden. Es hat auch eine praktische Bedeutung! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik schmunzelnd erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen unsere Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich auch ihr meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen zweckentsprechend einsetze =).

Beispiel 5

Gegeben sei eine durch Linien begrenzte flache Figur ,,.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die von diesen Linien begrenzt wird. 2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine von diesen Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Beachtung! Auch wenn Sie zuerst nur den zweiten Absatz lesen möchten Notwendig Lies den ersten!

Entscheidung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Es ist leicht zu sehen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel definiert. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gesuchte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau hinterlegt.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die "übliche" Weise gefunden werden, die in der Lektion berücksichtigt wurde. Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet . Darüber hinaus wird die Fläche der Figur als Summe der Flächen gefunden: - auf dem Segment ; - auf dem Segment.

So:

Es gibt eine rationellere Lösung: Sie besteht im Übergang zu Umkehrfunktionen und Integration entlang der Achse.

Wie geht man zu Umkehrfunktionen über? Grob gesagt müssen Sie "x" bis "y" ausdrücken. Beschäftigen wir uns zunächst mit der Parabel:

Das ist genug, aber stellen wir sicher, dass die gleiche Funktion vom unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Mit einer geraden Linie ist alles einfacher:

! Hinweis: Die Integrationsgrenzen entlang der Achse sollten eingestellt werdenstreng von unten nach oben !

Bereich finden:

Auf dem Segment also:

Achten Sie darauf, wie ich die Integration durchgeführt habe, dies ist der rationalste Weg, und im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Der ursprüngliche Integrand wird erhalten, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wird.

Antworten:

2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine eigene Achse dreht.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen des Rotationskörpers als Differenz zwischen den Volumina gefunden werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, wodurch ein Kegelstumpf entsteht. Lassen Sie uns dieses Volumen mit bezeichnen.

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen durch das Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings ist gleich der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden:

Wie unterscheidet es sich von der Formel des vorherigen Absatzes? Nur in Buchstaben.

Und hier ist der Vorteil der Integration, über den ich vor einer Weile gesprochen habe, es ist viel einfacher zu finden als den Integranden vorläufig in die 4. Potenz zu erheben.

Bestimmung 3. Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht, die die Figur nicht schneidet und mit ihr in derselben Ebene liegt.

Die Rotationsachse kann die Figur auch schneiden, wenn sie die Symmetrieachse der Figur ist.

Satz 2.
, Achse
und gerade Liniensegmente
und

dreht sich um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers nach der Formel berechnet werden

(2)

Nachweisen. Für einen solchen Körper der Schnitt mit der Abszisse ist ein Kreis mit Radius
, meint
und Formel (1) ergibt das gewünschte Ergebnis.

Wenn die Figur durch die Graphen zweier stetiger Funktionen begrenzt ist
und
, und Liniensegmente
und
, Außerdem
und
, dann erhalten wir beim Drehen um die Abszissenachse einen Körper, dessen Volumen

Beispiel 3 Berechnen Sie das Volumen eines Torus, den Sie erhalten, indem Sie einen von einem Kreis begrenzten Kreis drehen

um die x-achse.

R Lösung. Der angegebene Kreis wird von unten durch den Graphen der Funktion begrenzt
, und darüber -
. Die Differenz der Quadrate dieser Funktionen:

Gewünschtes Volumen

(Der Graph des Integranden ist der obere Halbkreis, also ist das oben geschriebene Integral die Fläche des Halbkreises).

Beispiel 4 Parabelsegment mit Sockel
, und Höhe , dreht sich um die Basis. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden Körpers ("Zitrone" von Cavalieri).

R Lösung. Platzieren Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt. Dann seine Gleichung
, und
. Suchen wir den Wert des Parameters :
. Also die gewünschte Lautstärke:

Satz 3. Lassen Sie ein krummliniges Trapez durch den Graphen einer kontinuierlichen nicht negativen Funktion begrenzt
, Achse
und gerade Liniensegmente
und
, Außerdem
, rotiert um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers durch die Formel gefunden werden

(3)

Beweis Idee. Teilen des Segments
Punkte

, in Teile und zeichne gerade Linien
. Das gesamte Trapez wird in Streifen zerlegt, die ungefähr als Rechtecke mit einer Basis betrachtet werden können
und Höhe
.

Der aus der Drehung eines solchen Rechtecks entstehende Zylinder wird entlang der Mantellinie geschnitten und entfaltet. Wir erhalten ein „fast“ Parallelepiped mit den Abmessungen:
,
und
. Sein Volumen
. Für das Volumen eines Rotationskörpers haben wir also eine ungefähre Gleichheit

Um exakte Gleichheit zu erhalten, müssen wir zum Grenzwert bei übergehen
. Die oben geschriebene Summe ist die Integralsumme für die Funktion
, daher erhalten wir im Grenzwert das Integral aus Formel (3). Der Satz ist bewiesen.

Bemerkung 1. In Satz 2 und 3 ist die Bedingung
weggelassen werden: Formel (2) ist im Allgemeinen vorzeichenunempfindlich
, und in Formel (3) ist es ausreichend
ersetzt durch
.

Beispiel 5 Parabelsegment (Basis
, Höhe ) dreht sich um die Höhe. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Entscheidung. Ordnen Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt an. Und obwohl die Rotationsachse die Figur schneidet, ist sie – die Achse – die Symmetrieachse. Daher sollte nur die rechte Hälfte des Segments betrachtet werden. Parabelgleichung
, und
, meint
. Wir haben für Volumen:

Bemerkung 2. Wenn die krummlinige Grenze eines krummlinigen Trapezes durch die parametrischen Gleichungen gegeben ist
,
,
und
,
dann können die Formeln (2) und (3) mit der Ersetzung verwendet werden auf der
und
auf der
wenn es sich ändert t aus
Vor .

Beispiel 6 Die Figur wird durch den ersten Bogen der Zykloide begrenzt
,
,
, und die Abszissenachse. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie diese Figur drehen um: 1) die Achse
; 2) Achsen
.

Entscheidung. 1) Allgemeine Formel
In unserem Fall:

2) Allgemeine Formel
Für unsere Figur:

Wir ermutigen die Schüler, alle Berechnungen selbst durchzuführen.

Bemerkung 3. Lassen Sie einen krummlinigen Sektor durch eine durchgehende Linie begrenzt
und Strahlen
,

, dreht sich um die Polachse. Das Volumen des resultierenden Körpers kann nach der Formel berechnet werden.

Beispiel 7 Teil einer Figur, begrenzt durch eine Niere
, außerhalb des Kreises liegend
, dreht sich um die Polachse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Entscheidung. Beide Linien und damit die von ihnen begrenzte Figur sind symmetrisch zur Polachse. Daher ist es notwendig, nur den Teil zu betrachten, für den
. Die Kurven schneiden sich bei
und

beim
. Darüber hinaus kann die Zahl als Differenz zweier Sektoren betrachtet werden, und daher kann das Volumen als Differenz zweier Integrale berechnet werden. Wir haben:

Aufgaben für eine eigenständige Lösung.

1. Ein Kreissegment, dessen Basis
, Höhe , dreht sich um die Basis. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

2. Finden Sie das Volumen eines Rotationsparaboloids, dessen Basis , und die Höhe ist .

3. Figur, die von einem Astroiden begrenzt wird
,
rotiert um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Körpers, das in diesem Fall erhalten wird.

4. Figur durch Linien begrenzt
und
rotiert um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Verwenden von Integralen, um Volumen von Rotationskörpern zu finden

Der praktische Nutzen der Mathematik liegt darin begründet, dass ohne

Spezifische mathematische Kenntnisse erschweren das Verständnis der Prinzipien des Geräts und der Verwendung Moderne Technologie. Jeder Mensch muss in seinem Leben ziemlich komplexe Berechnungen durchführen, häufig verwendete Geräte verwenden, die notwendigen Formeln in Nachschlagewerken finden und einfache Algorithmen zur Lösung von Problemen zusammenstellen. BEIM moderne Gesellschaft mehr Spezialitäten erfordern hohes Level Bildung ist mit der direkten Anwendung von Mathematik verbunden. So wird Mathematik für ein Schulkind zu einem beruflich bedeutsamen Fach. Die führende Rolle kommt der Mathematik bei der Bildung des algorithmischen Denkens zu, sie bringt die Fähigkeit hervor, nach einem gegebenen Algorithmus zu handeln und neue Algorithmen zu entwerfen.

Beim Studium des Themas der Verwendung des Integrals zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern schlage ich vor, dass sich die Schüler in Wahlfächern mit dem Thema befassen: "Volumen von Rotationskörpern unter Verwendung von Integralen". Hier einige Hinweise zum Umgang mit diesem Thema:

1. Die Fläche einer flachen Figur.

Aus dem Studium der Algebra wissen wir, dass praktische Probleme zum Konzept eines bestimmten Integrals führten..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden, der durch die Rotation eines krummlinigen Trapezes um die Ox-Achse gebildet wird, die durch eine unterbrochene Linie y=f(x), die Ox-Achse, die geraden Linien x=a und x=b begrenzt ist, berechnen wir nach der Formel

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Das Volumen des Zylinders.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Den Kegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck ABC(C=90) um die Ox-Achse dreht, auf der das Bein AC liegt.

Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wo https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegels), dann Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Das Volumen eines Kegelstumpfes.

Ein Kegelstumpf kann durch Drehen eines rechteckigen Trapezes ABCD (CDOx) um die Ox-Achse erhalten werden.

Das Segment AB liegt auf der Linie y=kx+c, wobei , c=r.

Da die Gerade durch den Punkt A (0; r) geht.

Die gerade Linie sieht also so aus: https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Sei a=0, b=H (H ist die Höhe des Kegelstumpfes), dann https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Das Volumen des Balls.

Die Kugel erhält man, indem man einen Kreis mit Mittelpunkt (0;0) um die x-Achse dreht. Der über der x-Achse liegende Halbkreis ist durch die Gleichung gegeben

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Thema: "Berechnung der Volumina von Rotationskörpern mit einem bestimmten Integral"

Unterrichtsart: kombiniert.

Das Ziel des Unterrichts: lernen, die Volumina von Rotationskörpern mit Integralen zu berechnen.

Aufgaben:

die Fähigkeit zu festigen, krummlinige Trapeze aus einer Reihe geometrischer Formen auszuwählen und die Fähigkeit zu entwickeln, die Flächen krummliniger Trapeze zu berechnen;

sich mit dem Konzept einer dreidimensionalen Figur vertraut machen;

lernen, das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen;

zur Entwicklung beitragen logisches Denken, kompetente mathematische Rede, Genauigkeit bei der Konstruktion von Zeichnungen;

Interesse am Thema kultivieren, mit mathematischen Konzepten und Bildern operieren, Willen, Unabhängigkeit, Ausdauer beim Erreichen des Endergebnisses kultivieren.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

Gruppenbegrüßung. Kommunikation der Ziele des Unterrichts an die Schüler.

Ich möchte die heutige Lektion mit einem Gleichnis beginnen. „Es war ein weiser Mann, der alles wusste. Eine Person wollte beweisen, dass der Weise nicht alles weiß. Er hielt den Schmetterling in seinen Händen und fragte: „Sag mir, Weiser, welcher Schmetterling ist in meinen Händen: tot oder lebendig?“ Und er selbst denkt: „Wenn die Lebende sagt, töte ich sie, wenn die Tote sagt, lasse ich sie raus.“ Der Weise antwortete, nachdem er nachgedacht hatte: "Alles liegt in deinen Händen."

Lassen Sie uns deshalb heute fruchtbar arbeiten, neuen Wissensschatz aneignen und die erworbenen Fähigkeiten und Fertigkeiten im späteren Leben und in der Praxis anwenden: „Alles liegt in Ihrer Hand.“

II. Wiederholung von zuvor gelerntem Stoff.

Erinnern wir uns an die Hauptpunkte des zuvor untersuchten Materials. Dazu erledigen wir die Aufgabe „Löschen Sie das zusätzliche Wort“.

(Die Schüler sagen ein zusätzliches Wort.)

Korrekt "Differential". Versuchen Sie, die verbleibenden Wörter in einem gemeinsamen Wort zu benennen. (Integralrechnung.)

Erinnern wir uns an die wichtigsten Stufen und Konzepte im Zusammenhang mit der Integralrechnung.

Die Übung. Pässe wiederherstellen. (Der Schüler kommt heraus und schreibt die notwendigen Wörter mit einem Marker.)

Arbeiten Sie in Notizbüchern.

Die Newton-Leibniz-Formel wurde von dem englischen Physiker Isaac Newton (1643-1727) und dem deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646-1716) entwickelt. Und das ist nicht verwunderlich, denn Mathematik ist die Sprache der Natur selbst.

Überlegen Sie, wie diese Formel zur Lösung praktischer Aufgaben verwendet wird.

Beispiel 1: Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Entscheidung: Konstruieren wir auf der Koordinatenebene die Graphen der Funktionen . Wählen Sie den zu findenden Bereich der Figur aus.

III. Neues Material lernen.

Achten Sie auf den Bildschirm. Was ist auf dem ersten Bild zu sehen? (Die Abbildung zeigt eine flache Figur.)

Was ist auf dem zweiten Bild zu sehen? Ist diese Figur flach? (Die Abbildung zeigt eine dreidimensionale Figur.)

Im Weltall, auf der Erde und drinnen Alltagsleben Wir treffen uns nicht nur mit flachen Figuren, sondern auch mit dreidimensionalen, aber wie berechnet man das Volumen solcher Körper? Zum Beispiel: das Volumen eines Planeten, Kometen, Meteoriten usw.

Sie denken an das Volumen, wenn sie Häuser bauen und Wasser von einem Gefäß zum anderen gießen. Regeln und Methoden zur Berechnung des Volumens hätten entstehen müssen, eine andere Sache ist, wie genau und gerechtfertigt sie waren.

Das Jahr 1612 war für die Einwohner der österreichischen Stadt Linz, in der der damals berühmte Astronom Johannes Kepler lebte, vor allem für Trauben sehr fruchtbar. Die Leute präparierten Weinfässer und wollten wissen, wie man praktisch deren Volumen bestimmt.

So markierten die betrachteten Arbeiten von Kepler den Beginn einer ganzen Reihe von Forschungsarbeiten, die in letztes Vierteljahr 17. Jahrhundert Design in den Werken von I. Newton und G.V. Leibniz Differential- und Integralrechnung. Seitdem hat die Mathematik der Größenvariablen einen führenden Platz im System der mathematischen Erkenntnis eingenommen.

Heute werden wir uns also mit solchen praktischen Aktivitäten beschäftigen, daher

Das Thema unserer Lektion: "Berechnung des Volumens von Rotationskörpern mit einem bestimmten Integral."

Sie lernen die Definition eines Rotationskörpers, indem Sie die folgende Aufgabe lösen.

"Labyrinth".

Die Übung. Finden Sie einen Ausweg aus der verwirrenden Situation und schreiben Sie die Definition auf.

IVBerechnung von Volumina.

Mit einem bestimmten Integral kann man das Volumen eines Körpers, insbesondere eines Rotationskörpers, berechnen.

Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehen eines krummlinigen Trapezes um seine Basis entsteht (Abb. 1, 2).

Das Volumen eines Rotationskörpers wird durch eine der Formeln berechnet:

1. um die x-achse.

2. , wenn die Drehung des krummlinigen Trapezes um die y-achse.

Die Schüler schreiben die Grundformeln in ein Heft.

Der Lehrer erklärt die Lösung der Beispiele an der Tafel.

1. Finden Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die y-Achse eines krummlinigen Trapezes drehen, das durch Linien begrenzt ist: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Entscheidung.

Antwort: 1163 cm3.

2. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie ein parabolisches Trapez um die Abszissenachse drehen y = , x = 4, y = 0.

Entscheidung.

v. Mathe-Simulator.

2. Die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion wird aufgerufen

SONDERN) unbestimmtes Integral,

B) Funktion,

B) Differenzierung.

7. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse eines durch Linien begrenzten krummlinigen Trapezes drehen:

D/Z. Fixieren von neuem Material

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung des Blütenblatts um die x-Achse entsteht y=x2, y2=x.

Zeichnen wir die Graphen der Funktion. y=x2, y2=x. Der Graph y2 = x wird in die Form y = transformiert.

Wir haben V = V1 - V2 Lassen Sie uns das Volumen jeder Funktion berechnen:

Fazit:

Ein bestimmtes Integral ist eine Art Grundlage für das Studium der Mathematik, die einen unverzichtbaren Beitrag zur Lösung von Problemen praktischer Inhalte leistet.

Das Thema „Integral“ zeigt deutlich die Verbindung zwischen Mathematik und Physik, Biologie, Wirtschaft und Technik.

Entwicklung moderne Wissenschaft undenkbar ohne die Verwendung des Integrals. In diesem Zusammenhang ist es notwendig, das Studium im Rahmen der weiterführenden Fachausbildung zu beginnen!

VI. Benotung.(Mit Kommentar.)

Great Omar Khayyam - Mathematiker, Dichter, Philosoph. Er ruft dazu auf, Meister seines Schicksals zu sein. Hören Sie einen Auszug aus seiner Arbeit:

Du sagst, dieses Leben ist nur ein Moment.
Schätzen Sie es, lassen Sie sich davon inspirieren.
Wie du es ausgibst, so wird es vergehen.
Vergiss nicht: sie ist deine Schöpfung.

Finden Sie online das Volumen eines durch Linien begrenzten Rotationskörpers. Wie man das Volumen eines Rotationskörpers mit einem bestimmten Integral berechnet

flache Figur um eine Achse

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpersflache Figur um eine Achse

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
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