Herleitung der Parabelgleichung. Drei-Punkte-Gleichung: Wie man den Scheitelpunkt einer Parabel findet, Formel

Stufe III

3.1. Übertreibung berührt Linien 5 x – 6j – 16 = 0, 13x – 10j– – 48 = 0. Geben Sie die Gleichung der Hyperbel an, vorausgesetzt, dass ihre Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.

3.2. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel

1) durch einen Punkt gehen EIN(4, 1), B(5, 2) und C(5, 6);

2) parallel zu einer geraden Linie 10 x – 3j + 9 = 0;

3) senkrecht zur Geraden 10 x – 3j + 9 = 0.

Parabel ist der Ort der Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen

Parabelparameter:

Punkt F(p/2, 0) aufgerufen Fokus Parabeln, Größe p – Parameter , Punkt Ö(0, 0) – Gipfel . Gleichzeitig die direkte VON, um die die Parabel symmetrisch ist, definiert die Achse dieser Kurve.

Wert wo M(x, j) ein beliebiger Punkt der Parabel ist, heißt Fokusradius , gerade D: x = –p/2 – Schulleiterin (es schneidet nicht das Innere der Parabel). Wert heißt Exzentrizität der Parabel.

Die wichtigste charakteristische Eigenschaft einer Parabel: Alle Punkte der Parabel sind gleich weit von Leitlinie und Brennpunkt entfernt (Abb. 24).

Es gibt andere Formen der kanonischen Gleichung der Parabel, die andere Richtungen ihrer Äste im Koordinatensystem bestimmen (Abb. 25):

Zum parametrische Definition einer Parabel als Parameter t Der Wert der Ordinate des Parabelpunktes kann genommen werden:

wo t eine beliebige reelle Zahl ist.

Beispiel 1 Bestimmen Sie die Parameter und Form der Parabel aus ihrer kanonischen Gleichung:

Lösung. 1. Gleichung j 2 = –8x definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt an einem Punkt Ö Ochse. Seine Zweige sind nach links gerichtet. Vergleichen gegebene Gleichung mit der Gleichung j 2 = –2px, finden wir: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(–2; 0), Directrix-Gleichung D: x= 2 (Abb. 26).

2. Gleichung x 2 = –4j definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt an einem Punkt Ö(0; 0), symmetrisch um die Achse Ey. Seine Zweige sind nach unten gerichtet. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung x 2 = –2py, finden wir: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Daher liegt der Fokus auf dem Punkt F(0; –1), Directrix-Gleichung D: j= 1 (Abb. 27).

Beispiel 2 Parameter und Kurventyp definieren x 2 + 8x – 16j– 32 = 0. Fertige eine Zeichnung an.

Lösung. Wir transformieren die linke Seite der Gleichung mit der Methode der vollständigen Quadrate:

x 2 + 8x– 16j – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16j – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16j – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(j + 3).

Als Ergebnis erhalten wir

(x + 4) 2 = 16(j + 3).

Dies ist die kanonische Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt (–4; –3), dem Parameter p= 8, Äste nach oben (), Achse x= -4. Der Fokus liegt auf dem Punkt F(–4; –3 + p/2), d.h. F(–4; 1) Schulleiterin D ist durch die Gleichung gegeben j = –3 – p/2 bzw j= -7 (Abb. 28).

Beispiel 4 Stellen Sie die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt an einem Punkt auf v(3; –2) und fokussieren Sie auf den Punkt F(1; –2).

Lösung. Scheitelpunkt und Brennpunkt dieser Parabel liegen auf einer Geraden parallel zur Achse Ochse(gleiche Ordinaten), die Äste der Parabel sind nach links gerichtet (die Abszisse des Fokus ist kleiner als die Abszisse des Scheitels), der Abstand vom Fokus zum Scheitel ist p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Daher die gesuchte Gleichung

(j+ 2) 2 = –2 4( x– 3) oder ( j + 2) 2 = = –8(x – 3).

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Ich nivelliere

1.1. Bestimme die Parameter der Parabel und konstruiere sie:

1) j 2 = 2x; 2) j 2 = –3x;

3) x 2 = 6j; 4) x 2 = –j.

1.2. Schreiben Sie die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung, wenn Sie das wissen:

1) Die Parabel liegt in der linken Halbebene symmetrisch zur Achse Ochse und p = 4;

2) die Parabel ist symmetrisch um die Achse angeordnet Ey und geht durch den Punkt M(4; –2).

3) Leitlinie ist durch Gleichung 3 gegeben j + 4 = 0.

1.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve, deren Punkte alle gleich weit vom Punkt (2; 0) und der Geraden entfernt sind x = –2.

II. Niveau

2.1. Definieren Sie den Typ und die Parameter der Kurve.

Jeder weiß, was eine Parabel ist. Aber wie man es richtig und kompetent bei der Lösung verschiedener praktischer Probleme einsetzt, werden wir weiter unten verstehen.

Lassen Sie uns zunächst die grundlegenden Konzepte bezeichnen, die Algebra und Geometrie diesem Begriff geben. Betrachten Sie alles mögliche Typen dieses Diagramm.

Wir lernen alle Hauptmerkmale dieser Funktion kennen. Lassen Sie uns die Grundlagen der Konstruktion einer Kurve (Geometrie) verstehen. Lassen Sie uns lernen, wie Sie die oberen, anderen Grundwerte des Diagramms dieses Typs finden.

Wir finden heraus: wie die benötigte Kurve nach der Gleichung richtig aufgebaut ist, worauf Sie achten müssen. Sehen wir uns das Wichtigste an praktischer Nutzen dieser einzigartige Wert im menschlichen Leben.

Was ist eine Parabel und wie sieht sie aus?

Algebra: Dieser Begriff bezieht sich auf den Graphen einer quadratischen Funktion.

Geometrie: Dies ist eine Kurve zweiter Ordnung, die eine Reihe spezifischer Merkmale aufweist:

Kanonische Parabelgleichung

Die Figur zeigt ein rechtwinkliges Koordinatensystem (XOY), ein Extremum, die Richtung der Funktionszeichnungszweige entlang der Abszissenachse.

Die kanonische Gleichung lautet:

y 2 \u003d 2 * p * x,

wobei der Koeffizient p der Fokusparameter der Parabel (AF) ist.

In der Algebra wird es anders geschrieben:

y = a x 2 + b x + c (erkennbares Muster: y = x 2).

Eigenschaften und Graph einer quadratischen Funktion

Die Funktion hat eine Symmetrieachse und ein Zentrum (Extremum). Der Definitionsbereich sind alle Werte der x-Achse.

Der Wertebereich der Funktion - (-∞, M) oder (M, +∞) hängt von der Richtung der Kurvenäste ab. Der Parameter M bedeutet hier den Wert der Funktion ganz oben in der Zeile.

So bestimmen Sie, wohin die Äste einer Parabel gerichtet sind

Um die Richtung einer solchen Kurve aus einem Ausdruck zu ermitteln, müssen Sie das Vorzeichen vor dem ersten Parameter angeben Algebraischer Ausdruck. Ist a ˃ 0, dann sind sie nach oben gerichtet. Ansonsten runter.

So finden Sie den Scheitelpunkt einer Parabel mit der Formel

Das Finden des Extremums ist der Hauptschritt bei der Lösung vieler praktischer Probleme. Natürlich können Sie Sonderangebote öffnen Online-Rechner aber es ist besser, es selbst tun zu können.

Wie kann man es definieren? Es gibt eine spezielle Formel. Wenn b ungleich 0 ist, müssen wir die Koordinaten dieses Punktes suchen.

Formeln zum Finden der Spitze:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Beispiel.

Es gibt eine Funktion y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Lassen Sie uns die Scheitelpunkte dieser Funktion finden.

Für eine solche Zeile:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Wir erhalten die Koordinaten des Scheitelpunkts (-2, -41).

Parabelversatz

Der klassische Fall ist, wenn in einer quadratischen Funktion y = a x 2 + b x + c der zweite und der dritte Parameter 0 sind und = 1 - der Scheitelpunkt am Punkt (0; 0) ist.

Die Bewegung entlang der Abszissen- oder Ordinatenachse erfolgt aufgrund einer Änderung der Parameter b bzw. c. Die Verschiebung der Linie in der Ebene erfolgt genau um die Anzahl der Einheiten, die dem Wert des Parameters entspricht.

Beispiel.

Wir haben: b = 2, c = 3.

Das bedeutet, dass sich die klassische Ansicht der Kurve entlang der Abszissenachse um 2 Einheitssegmente und entlang der Ordinatenachse um 3 Einheitssegmente verschiebt.

Wie man eine Parabel mit einer quadratischen Gleichung baut

Für Schulkinder ist es wichtig zu lernen, wie man eine Parabel gemäß den angegebenen Parametern richtig zeichnet.

Durch die Analyse von Ausdrücken und Gleichungen können Sie Folgendes sehen:

Der Schnittpunkt der gewünschten Linie mit dem Ordinatenvektor hat einen Wert gleich c.
Alle Punkte des Diagramms (entlang der x-Achse) sind symmetrisch in Bezug auf das Hauptextremum der Funktion.

Außerdem können die Schnittpunkte mit OX gefunden werden, indem man die Diskriminante (D) einer solchen Funktion kennt:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Dazu müssen Sie den Ausdruck mit Null gleichsetzen.

Das Vorhandensein von Parabelwurzeln hängt vom Ergebnis ab:

D ˃ 0, dann x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, dann x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, dann gibt es keine Schnittpunkte mit dem Vektor OX.

Wir erhalten den Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel:

bestimmen Sie die Richtung der Äste;
finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts;
finde den Schnittpunkt mit der y-Achse;
Finden Sie den Schnittpunkt mit der x-Achse.

Beispiel 1

Gegeben eine Funktion y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Es ist notwendig, eine Parabel zu bauen. Wir handeln nach dem Algorithmus:

a \u003d 1, daher sind die Äste nach oben gerichtet;
Extremumkoordinaten: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
schneidet die y-Achse beim Wert y = 4;
Finde die Diskriminante: D = 25 - 16 = 9;
Wurzeln suchen

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (zehn).

Beispiel 2

Für die Funktion y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 müssen Sie eine Parabel bauen. Wir handeln nach obigem Algorithmus:

a \u003d 3, daher sind die Äste nach oben gerichtet;
Extremumkoordinaten: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
mit der y-Achse schneidet sich beim Wert y \u003d -1;
Finde die Diskriminante: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Also die Wurzeln:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Aus den erhaltenen Punkten kannst du eine Parabel bauen.

Directrix, Exzentrizität, Brennpunkt einer Parabel

Basierend auf der kanonischen Gleichung hat der Fokus F Koordinaten (p/2, 0).

Die Gerade AB ist eine Leitlinie (eine Art Parabelsehne bestimmter Länge). Ihre Gleichung ist x = -p/2.

Exzentrizität (konstant) = 1.

Fazit

Wir haben uns mit dem Thema befasst, in dem die Studenten studieren weiterführende Schule. Jetzt wissen Sie, wenn Sie sich die quadratische Funktion einer Parabel ansehen, wie Sie ihren Scheitelpunkt finden, in welche Richtung die Zweige gerichtet sind, ob es einen Versatz entlang der Achsen gibt, und mit einem Konstruktionsalgorithmus können Sie ihren Graphen zeichnen.

Eine Parabel ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind.(Fokus)und von einer gegebenen Linie, die nicht durch einen gegebenen Punkt verläuft (Schulleiterinnen)in der gleichen Ebene befinden(Abb.5).

Dabei wird das Koordinatensystem so gewählt, dass die Achse
verläuft senkrecht zur Leitlinie durch den Fokus, ihre positive Richtung wird von der Leitlinie zum Fokus hin gewählt. Die y-Achse verläuft parallel zur Leitlinie, in der Mitte zwischen der Leitlinie und dem Fokus, daher die Leitliniengleichung
, Fokuskoordinaten
. Der Koordinatenursprung ist der Scheitelpunkt der Parabel, und die Abszissenachse ist ihre Symmetrieachse. Exzentrizität der Parabel
.

In einer Reihe von Fällen sind Parabeln durch die Gleichungen gegeben

b)
(für alle Fälle
)

in)
.

Im Fall a) ist die Parabel achsensymmetrisch
und an sie gerichtet negative Seite(Abb. 6).

In den Fällen b) und c) ist die Symmetrieachse die Achse
(Abb. 6). Fokuskoordinaten für diese Fälle:

a)
b)
in)
.

Directrix-Gleichung:

a)
b)
in)
.

Beispiel 4 Eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung geht durch einen Punkt
und symmetrisch um die Achse
. Schreibe ihre Gleichung auf.

Lösung:

Da die Parabel symmetrisch zur Achse ist
und geht durch den Punkt mit positiver Abszisse, dann hat sie die in Fig.5 gezeigte Form.

Ersetzen von Punktkoordinaten in die Gleichung einer solchen Parabel
, wir bekommen
, d.h.
.

Daher die gesuchte Gleichung

Fokus dieser Parabel
, Directrix-Gleichung
.

4. Transformation der Liniengleichung zweiter Ordnung in die kanonische Form.

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades hat die Form

wo Koeffizienten
verschwinden nicht gleichzeitig.

Jede durch Gleichung (6) definierte Linie wird als Linie zweiter Ordnung bezeichnet. Mittels einer Koordinatensystemtransformation lässt sich die Geradengleichung zweiter Ordnung auf die einfachste (kanonische) Form zurückführen.

1. In Gleichung (6)
. In diesem Fall hat Gleichung (6) die Form

Sie wird durch Parallelverschiebung der Koordinatenachsen gemäß den Formeln in die einfachste Form transformiert

(8)

wo
- Koordinaten des Neuanfangs
(im alten Koordinatensystem). Neue Achsen
und
parallel zu den alten. Punkt
ist der Mittelpunkt einer Ellipse oder Hyperbel und ein Scheitelpunkt im Fall einer Parabel.

Es ist praktisch, Gleichung (7) auf ihre einfachste Form zu reduzieren, indem man perfekte Quadrate auf die gleiche Weise auswählt, wie es für einen Kreis gemacht wurde.

Beispiel 5 Reduziere die Liniengleichung zweiter Ordnung auf ihre einfachste Form. Bestimmen Sie Art und Ort dieser Leitung. Finden Sie Koordinaten von Tricks. Fertige eine Zeichnung an.

Lösung:

Gruppieren von Mitgliedern, die nur enthalten und nur , Herausnehmen der Koeffizienten bei und für Klammern:

Wir ergänzen die Ausdrücke in Klammern zu ganzen Quadraten:

Somit wird diese Gleichung in die Form transformiert

Wir benennen

oder

Beim Vergleich mit den Gleichungen (8) sehen wir, dass diese Formeln die Parallelverschiebung der Koordinatenachsen zum Punkt bestimmen
. BEI neues System Koordinaten wird die Gleichung wie folgt geschrieben:

Wenn wir den freien Term nach rechts verschieben und durch ihn dividieren, erhalten wir:

Diese Gerade zweiter Ordnung ist also eine Ellipse mit Halbachsen
,
. Der Mittelpunkt der Ellipse liegt am neuen Ursprung
, und seine Brennachse ist die Achse
. Entfernung der Brennpunkte vom Zentrum, damit die neuen Koordinaten des richtigen Fokus
. Die alten Koordinaten desselben Fokus ergeben sich aus den parallelen Übersetzungsformeln:

Ebenso die neuen Koordinaten des linken Fokus
,
. Seine alten Koordinaten:
,
.

Um diese Ellipse zu zeichnen, setzen wir die alte und die neue Koordinatenachse auf die Zeichnung. Auf beiden Seiten des Punktes
entlang der Achse bewegen
Längensegmente
, und entlang der Achse
- Länge
; Nachdem wir so die Eckpunkte der Ellipse erhalten haben, zeichnen wir die Ellipse selbst (Abb. 7).

Kommentar. Zur Verfeinerung der Zeichnung ist es sinnvoll, die Schnittpunkte dieser Linie (7) mit den alten Koordinatenachsen zu finden. Dazu müssen wir in Formel (7) zuerst setzen
, Und danach
und löse die resultierenden Gleichungen.

Das Auftreten komplexer Wurzeln bedeutet, dass die Linie (7) die entsprechende Koordinatenachse nicht schneidet.

Beispielsweise werden für die Ellipse des gerade analysierten Problems die folgenden Gleichungen erhalten:

Die zweite dieser Gleichungen hat komplexe Wurzeln, also ist die Ellipse die Achse
kreuzt nicht. Die Wurzeln der ersten Gleichung:

An Punkten
und
Ellipse schneidet Achse
(Abb. 7).

Beispiel 6 Bringen Sie die Gleichung der Geraden zweiter Ordnung auf die einfachste Form. Bestimmen Sie den Typ und die Position der Linie, finden Sie die Fokuskoordinaten.

Lösung:

Seit Mitglied bei fehlt, dann ist es notwendig, nur ein volles Quadrat auszuwählen :

Wir nehmen auch den Koeffizienten in Klammern heraus

Wir benennen

oder

Dadurch erfolgt eine parallele Übertragung des Koordinatensystems auf den Punkt
. Nach der Übersetzung nimmt die Gleichung die Form an

Daraus folgt, dass diese Linie eine Parabel ist (Abb. 8), der Punkt
ist sein Höhepunkt. Die Parabel ist auf die negative Seite der Achse gerichtet
und symmetrisch um diese Achse. Wert ihr gleich.

Daher hat der Fokus neue Koordinaten

Seine alten Koordinaten

Wenn wir in dieser Gleichung setzen
oder
, dann stellen wir fest, dass die Parabel die Achse schneidet
am Punkt
, und die Achse
es kreuzt sich nicht.

2. In Gleichung (1)
. Die allgemeine Gleichung (1) zweiten Grades wird in die Form (2) transformiert, d.h. zu dem in Absatz 1 betrachteten. Gelegenheit, indem die Koordinatenachsen um einen Winkel gedreht werden
Formeln

(9)

wo
– neue Koordinaten. Ecke
wird aus der Gleichung gefunden

Die Koordinatenachsen werden dann so gedreht, dass die neuen Achsen
und
Linien zweiter Ordnung waren parallel zu den Symmetrieachsen.

Wissen
, kann gefunden werden
und
durch trigonometrische Formeln

,
.

Wenn der Drehwinkel
Stimmen Sie zu, scharf zu betrachten, dann müssen wir in diesen Formeln das Pluszeichen und für nehmen
wir müssen auch eine positive Lösung von Gleichung (5) nehmen.

Vor allem wann
das Koordinatensystem muss um einen Winkel gedreht werden
. Die Formeln zum Einschalten von Kohlen sehen folgendermaßen aus:

(11)

Beispiel 7 Reduziere die Liniengleichung zweiter Ordnung auf ihre einfachste Form. Legen Sie den Typ und die Position dieser Linie fest.

Lösung:

In diesem Fall
, 1
,
, also der Drehwinkel
wird aus der Gleichung gefunden

Lösung dieser Gleichung
und
. Beschränkt auf einen spitzen Winkel
, wir nehmen den ersten von ihnen. Dann

,
.

Ersetzen dieser Werte und in diese Gleichung

Wenn wir Klammern öffnen und ähnliche geben, erhalten wir

Wenn wir schließlich durch den freien Term dividieren, erhalten wir die Ellipsengleichung

Daraus folgt das
,
, und die Hauptachse der Ellipse ist entlang der Achse gerichtet
, und klein - entlang der Achse
.

Einen Punkt kriegen
, dessen Radius
zur Achse geneigt
in einem Winkel
, wofür
. Daher durch diesen Punkt
und eine neue x-Achse wird passieren. Markieren Sie dann auf den Achsen
und
die Eckpunkte der Ellipse und zeichnen Sie eine Ellipse (Abb. 9).

Beachten Sie, dass diese Ellipse die alten Koordinatenachsen an Punkten schneidet, die aus quadratischen Gleichungen gefunden werden (wenn wir diese Gleichung einsetzen
oder
):

und
.

Vorlesungen über Algebra und Geometrie. Semester 1.

Vorlesung 17. Parabel.

Kapitel 17

Gegenstand 1. Grundlegende Definitionen.

Definition. Eine Parabel ist eine GMT einer Ebene, die von einem festen Punkt der Ebene, genannt Brennpunkt, und einer festen geraden Linie, genannt Leitlinie, gleich weit entfernt ist.

Definition. Der Abstand von einem beliebigen Punkt M der Ebene zum Brennpunkt der Parabel heißt Brennradius des Punktes M.

Bezeichnungen: F- Fokus der Parabel, r- Fokusradius Punkte M,d ist der Abstand vom Punkt M zur Leitlinie D.

Nach der Definition einer Parabel ist ein Punkt M genau dann ein Punkt der Parabel
.

Per Definition einer Parabel sind ihr Fokus und ihre Leitlinie feste Objekte, daher ist der Abstand vom Fokus zur Leitlinie ein konstanter Wert für diese Parabel.

Definition. Der Abstand vom Brennpunkt der Parabel zu ihrer Leitlinie wird als Brennpunktparameter der Parabel bezeichnet.

Bezeichnung:
.

Führen wir ein Koordinatensystem auf der gegebenen Ebene ein, das wir für die Parabel kanonisch nennen wollen.

Definition. Die senkrecht zur Leitlinie durch den Brennpunkt der Parabel gezogene Achse wird als Brennachse der Parabel bezeichnet.

Lassen Sie uns die kanonische PDSC für die Parabel konstruieren, siehe Abb.2.

Als Abszissenachse wählen wir die Fokusachse, die Richtung, in der wir von der Leitlinie zum Fokus wählen.

Die Ordinatenachse ist durch die Mitte des Segments FN senkrecht zur Fokusachse gezogen. Dann hat der Fokus Koordinaten
.

Artikel 2. Die kanonische Gleichung einer Parabel.

Satz. Im kanonischen Koordinatensystem für eine Parabel hat die Parabelgleichung die Form:

. (1)

Nachweisen. Wir werden den Beweis in zwei Stufen führen. Im ersten Schritt werden wir beweisen, dass die Koordinaten jedes auf der Parabel liegenden Punktes die Gleichung (1) erfüllen. Im zweiten Schritt werden wir beweisen, dass jede Lösung der Gleichung (1) die Koordinaten eines Punktes liefert, der auf einer Parabel liegt. Daraus folgt, dass Gleichung (1) von den Koordinaten derjenigen und nur der Punkte der Koordinatenebene erfüllt wird, die auf der Parabel liegen.

Daraus und aus der Definition der Kurvengleichung folgt, dass Gleichung (1) die Gleichung einer Parabel ist.

1) Der Punkt M(x, y) sei ein Punkt der Parabel, d.h.

Wir verwenden die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Koordinatenebene und finden den Fokusradius eines gegebenen Punktes M mit dieser Formel:

Aus Abbildung 2 sehen wir, dass der Punkt der Parabel keine negative Abszisse haben kann, weil in diesem Fall
. Deshalb
und
. Daher erhalten wir die Gleichheit

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

und nach Reduktion erhalten wir:

2) Nun soll ein Zahlenpaar (x, y) die Gleichung (1) erfüllen und M(x, y) der entsprechende Punkt auf der Oxy-Koordinatenebene sein.

Dann setzen wir Gleichheit (1) in den Ausdruck für den Brennradius des Punktes M ein:

, woraus nach Definition einer Parabel folgt, dass der Punkt M(x, y) auf der Parabel liegt.

Hier haben wir die Tatsache verwendet, dass Gleichheit (1) dies impliziert
und daher
.

Der Satz ist bewiesen.

Definition. Gleichung (1) wird die kanonische Gleichung einer Parabel genannt.

Definition. Der Ursprung des kanonischen Koordinatensystems einer Parabel wird Scheitelpunkt der Parabel genannt.

Artikel 3. Parabel Eigenschaften.

Satz. (Eigenschaften einer Parabel.)

1. Im kanonischen Koordinatensystem für die Parabel, im Streifen

keine Parabelpunkte.

2. Im kanonischen Koordinatensystem einer Parabel liegt der Scheitelpunkt der Parabel O(0; 0) auf der Parabel.

3. Eine Parabel ist eine um die Brennachse symmetrische Kurve.

Nachweisen. 1, 2) Folgt unmittelbar aus der kanonischen Parabelgleichung.

3) Sei M(x, y) ein beliebiger Punkt der Parabel. Dann erfüllen seine Koordinaten die Gleichung (1). Aber dann die Koordinaten des Punktes
erfüllen auch Gleichung (1), und folglich ist dieser Punkt auch ein Punkt der Parabel, woraus die Behauptung des Theorems folgt.

Der Satz ist bewiesen.

Artikel 4. Konstruktion einer Parabel.

Aus Symmetriegründen genügt es, im ersten Quadranten eine Parabel zu konstruieren, wo es sich um den Graphen der Funktion handelt

und dann den resultierenden Graphen symmetrisch um die x-Achse anzeigen.

Wir erstellen einen Graphen dieser Funktion, da diese Funktion im Intervall ansteigt
.

Artikel 5. Fokusparameter einer Hyperbel.

Satz. Der Brennpunktparameter einer Parabel ist gleich der Länge der Senkrechten zu ihrer Symmetrieachse, die im Brennpunkt der Parabel auf den Schnittpunkt mit der Parabel zurückgesetzt wird.

Nachweisen. Seit dem Punkt
ist der Schnittpunkt der Parabel
mit einer Senkrechten
(siehe Abb. 3), dann erfüllen seine Koordinaten die Parabelgleichung:

Ab hier finden wir
, woraus die Behauptung des Satzes folgt.

Der Satz ist bewiesen.

Artikel 6. Einheitliche Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Unter Verwendung der bewährten Eigenschaften von Ellipse und Hyperbel und der Definition einer Parabel kann man eine einzige Definition für alle drei Kurven geben.

Definition. GMT einer Ebene, für die das Verhältnis des Abstands zu einem festen Punkt der Ebene, genannt Brennpunkt, zum Abstand zu einer festen geraden Linie, genannt Leitlinie, eine Konstante ist, heißt:

a) eine Ellipse, wenn diese Konstante kleiner als 1 ist;

b) eine Hyperbel, wenn dieser konstante Wert größer als 1 ist;

c) eine Parabel, wenn diese Konstante gleich 1 ist.

Diese in der Definition genannte Konstante wird als Exzentrizität bezeichnet und mit , der Abstand vom gegebenen Punkt zum Fokus ist sein Fokusradius r, der Abstand vom gegebenen Punkt zur Leitlinie wird mit d bezeichnet.

Aus der Definition folgt, dass diejenigen Punkte der Ebene, für die das Verhältnis Je nach Wert dieses Verhältnisses ergibt sich ein konstanter Wert aus einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel.

Wenn ein
, dann erhalten wir eine Ellipse, wenn
, dann erhalten wir eine Hyperbel, wenn
, dann erhalten wir eine Parabel.

Artikel 7. Tangente an eine Parabel.

Satz. Lassen
ein beliebiger Punkt der Parabel ist

Dann die Gleichung der Tangente an diese Parabel

am Punkt
sieht aus wie:

. (2)

Nachweisen. Es genügt, den Fall zu betrachten, wenn der Kontaktpunkt im ersten Quadranten liegt. Dann hat die Parabelgleichung die Form:

und es kann als Graph einer Funktion angesehen werden
.

Lassen Sie uns die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion verwenden
am Punkt
:

wo
ist der Wert der Ableitung dieser Funktion an diesem Punkt
.

Finden wir die Ableitung der Funktion
und sein Wert am Kontaktpunkt:

,
.

Hier haben wir uns zunutze gemacht, dass der Touchpoint
ist ein Punkt der Parabel und daher erfüllen seine Koordinaten die Parabelgleichung, d.h.

Wir setzen den gefundenen Wert der Ableitung in die Tangentengleichung ein:

woher wir bekommen:

Seit dem Punkt
zu einer Parabel gehört, dann erfüllen ihre Koordinaten ihre Gleichung, d.h.
, woher wir kommen

oder
.

dies impliziert

Der Satz ist bewiesen.

Artikel 8. Spiegeleigenschaft einer Parabel.

Satz. Die Tangente an die Parabel bildet mit ihrer Symmetrieachse und mit dem Brennradius des Tangentenpunktes gleiche Winkel.

Nachweisen. Lassen
- Anlaufstelle ist sein Brennradius. Bezeichne mit N den Schnittpunkt der Tangente mit der Abszissenachse. Die Ordinate des Punktes N ist gleich Null und der Punkt N liegt auf der Tangente, daher erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung. Setzen wir die Koordinaten des Punktes N in die Tangentengleichung ein, erhalten wir:

woher die Abszisse des Punktes N ist
.

Betrachten Sie ein Dreieck
. Wir beweisen, dass es gleichschenklig ist.

Wirklich,
. Hier haben wir die bei der Herleitung der kanonischen Parabelgleichung erhaltene Gleichheit verwendet:

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. Von hier

, etc.

Der Satz ist bewiesen.

Kommentar. Der bewiesene Satz kann als Spiegeleigenschaft einer Parabel formuliert werden.

Ein vom Brennpunkt der Parabel emittierter Lichtstrahl verläuft nach Reflexion am Spiegel der Parabel parallel zur Symmetrieachse der Parabel.

Da der Einfallswinkel des Strahls auf die Tangente gleich dem Reflexionswinkel von ihr ist, ist der Winkel zwischen der Tangente und dem reflektierten Strahl gleich dem Winkel zwischen der Tangente und der Abszissenachse, was impliziert, dass der reflektierte Strahl ist parallel zur Abszissenachse.

Kommentar. Diese Eigenschaft der Parabel ist in der Technik weit verbreitet. Dreht man eine Parabel um ihre Symmetrieachse, so erhält man eine Fläche, die Rotationsparaboloid genannt wird. Wenn die reflektierende Oberfläche in Form eines Rotationsparaboloids ausgeführt ist und eine Lichtquelle im Brennpunkt angeordnet ist, verlaufen die reflektierten Strahlen parallel zur Symmetrieachse des Paraboloids. So sind Suchscheinwerfer und Autoscheinwerfer angeordnet. Stellt man im Fokus ein Gerät, das elektromagnetische Schwingungen (Wellen) empfängt, so werden diese von der Oberfläche des Paraboloids reflektiert und gelangen in dieses Empfangsgerät. So funktionieren Satellitenschüsseln.

Es gibt eine Legende, dass in der Antike ein Kommandant seine Krieger entlang der Küste aufstellte und ihnen die Form einer Parabel gab. Sonnenlicht, das von den glänzend polierten Schilden der Krieger reflektiert wurde, sammelte sich zu einem Strahl (im Brennpunkt der konstruierten Parabel). So wurden die Schiffe des Feindes verbrannt. Einige Quellen schreiben dies Archimedes zu. So oder so, aber die Araber nannten das Paraboloid der Revolution „einen Brandspiegel“.

Das Wort „Fokus“ ist übrigens lateinisch und bedeutet übersetzt Feuer, Herd. An einem sonnigen Tag können Sie mit Hilfe eines "Brandspiegels" ein Feuer anzünden und Wasser kochen. Damit wird der Ursprung dieses Begriffs deutlich.

Das Wort "Fokus" bedeutet auch eine Art Trick- oder Listgerät. Früher wurde der Zirkus als Stand bezeichnet. So nutzten sogar Farce-Künstler die Spiegeleigenschaft der Ellipse und beleuchteten das Licht in einem Brennpunkt der Ellipse, sie entzündeten etwas Entzündliches, das in ihrem anderen Brennpunkt platziert wurde. Dieses Spektakel wurde auch als Trick bekannt. (Lesen Sie das wunderbare Buch von Vilenkin N.Ya. "Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs")

Artikel 9. Polargleichung von Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Gegeben sei ein Punkt F in der Ebene, den wir Fokus nennen, und eine Gerade D, die wir Leitlinie nennen. Ziehen wir eine Gerade senkrecht zur Leitlinie (Brennachse) durch den Fokus und führen das Polarkoordinatensystem ein. Wir platzieren den Pol im Brennpunkt und nehmen als Polarstrahl den Teil der Geraden, der die Leitlinie nicht schneidet (siehe Abb. 5).

Der Punkt M liege auf einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel. Im Folgenden bezeichnen wir eine Zlips-Hyperbel oder -Parabel einfach als Kurve.

Satz. Lassen
– Polarkoordinaten eines Kurvenpunktes (Ellipse, Hyperbel oder Parabel). Dann

, (3)

wobei p der Fokusparameter der Kurve ist, ist die Exzentrizität der Kurve (für eine Parabel nehmen wir an
).

Nachweisen. Sei Q die Projektion des Punktes Ì auf die Brennachse der Kurve, Â – auf die Leitlinie der Kurve. Lassen Sie den Polarwinkel Punkt M ist stumpf, wie in Abbildung 5. Dann

wo durch Konstruktion,
ist der Abstand vom Punkt M zur Leitlinie, und

. (4)

Andererseits ist nach der einheitlichen Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel das Verhältnis

(5)

gleich der Exzentrizität der entsprechenden Kurve für jeden Punkt M auf der gegebenen Kurve ist. Lassen Sie den Punkt
ist der Schnittpunkt der Kurve mit der Senkrechten zur Fokusachse, die im Fokus F wiederhergestellt wird, und A ist ihre Projektion auf die Leitlinie. Dann

, wo
. Aber
, wo

und durch Einsetzen in Gleichheit (4) erhalten wir

oder unter Berücksichtigung der Gleichheit (5),

woraus die geforderte Gleichheit (3) folgt.

Beachten Sie, dass Gleichheit (4) auch dann gilt, wenn der Polarwinkel Punkt M ist scharf, weil in diesem Fall liegt der Punkt Q rechts vom Brennpunkt F und

Der Satz ist bewiesen.

Definition. Gleichung (3) wird die Polargleichung der Ellipse, Hyperbel und Parabel genannt.

Eine Parabel ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt F gleich weit entfernt ist und von einer gegebenen Linie d nicht durchquert wird gegebener Punkt. Diese geometrische Definition drückt aus parabola Verzeichniseigenschaft.

Die Verzeichniseigenschaft einer Parabel

Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel, die Linie d heißt Leitlinie der Parabel, der Mittelpunkt O der vom Brennpunkt auf die Leitlinie fallenden Senkrechten ist der Scheitelpunkt der Parabel, der Abstand p vom Brennpunkt zur Leitlinie ist der Parameter der Parabel und der Abstand \frac(p)(2) vom Scheitelpunkt der Parabel zu ihrem Fokus - Brennweite (Abb. 3.45, a). Die senkrecht zur Leitlinie verlaufende und durch den Brennpunkt verlaufende Gerade wird Parabelachse (Brennachse der Parabel) genannt. Das Segment FM, das einen beliebigen Punkt M der Parabel mit seinem Brennpunkt verbindet, wird als Brennpunktradius des Punktes M bezeichnet. Die Strecke, die zwei Punkte der Parabel verbindet, wird Sehne der Parabel genannt.

Für einen beliebigen Punkt der Parabel ist das Verhältnis der Entfernung zum Brennpunkt zur Entfernung zur Leitlinie gleich eins. Wenn wir die Verzeichniseigenschaften von , und Parabeln vergleichen, kommen wir zu dem Schluss Parabel Exzentrizität ist per Definition gleich eins (e=1) .

Geometrische Definition einer Parabel, das seine Verzeichniseigenschaft ausdrückt, entspricht seiner analytischen Definition - der Linie, die durch die kanonische Gleichung der Parabel gegeben ist:

Führen wir tatsächlich ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (Abb. 3.45, b). Nehmen wir den Scheitelpunkt O der Parabel als Ursprung des Koordinatensystems; die gerade Linie, die senkrecht zur Leitlinie durch den Brennpunkt verläuft, nehmen wir als Abszissenachse (positive Richtung darauf vom Punkt O zum Punkt F); als Ordinatenachse nehmen wir eine Gerade, die senkrecht zur Abszissenachse steht und durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft (die Richtung auf der Ordinatenachse ist so gewählt, dass das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy richtig ist).

Lassen Sie uns die Gleichung einer Parabel unter Verwendung ihrer geometrischen Definition aufstellen, die die Richtungseigenschaft der Parabel ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten des Fokus F\!\links(\frac(p)(2);\,0\rechts) und die Leitgleichung x=-\frac(p)(2) . Für einen beliebigen Punkt M(x,y), der zu einer Parabel gehört, gilt:

FM=MM_d,

wo M_d\!\links(\frac(p)(2);\,y\rechts)- orthogonale Projektion des Punktes M(x,y) auf die Leitlinie. Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Wenn wir ähnliche Begriffe bringen, erhalten wir Kanonische Parabelgleichung

y^2=2\cdot p\cdot x, diese. das gewählte Koordinatensystem ist kanonisch.

In umgekehrter Reihenfolge kann gezeigt werden, dass alle Punkte, deren Koordinaten die Gleichung (3.51) erfüllen, und nur sie, zu dem Ort der Punkte gehören, der als Parabel bezeichnet wird. Somit ist die analytische Definition einer Parabel äquivalent zu ihrer geometrischen Definition, die die Verzeichniseigenschaft einer Parabel ausdrückt.

Parabelgleichung in Polarkoordinaten

Die Parabelgleichung im Polarkoordinatensystem Fr \ varphi (Abb. 3.45, c) hat die Form

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), wobei p der Parameter der Parabel und e=1 ihre Exzentrizität ist.

Tatsächlich wählen wir als Pol des Polarkoordinatensystems den Fokus F der Parabel und als Polarachse einen Strahl mit dem Ursprung im Punkt F, der senkrecht zur Leitlinie steht und sie nicht kreuzt (Abb. 3.45, c). Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi), der zu einer Parabel gehört, gemäß der geometrischen Definition (Richtungseigenschaft) einer Parabel MM_d=r . Weil die MM_d=p+r\cos\varphi erhalten wir die Parabelgleichung in Koordinatenform:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Beachten Sie, dass in Polarkoordinaten die Gleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel zusammenfallen, aber unterschiedliche Geraden beschreiben, da sie sich in der Exzentrizität unterscheiden (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 für ).

Die geometrische Bedeutung des Parameters in der Parabelgleichung

Lassen Sie uns erklären geometrische Bedeutung des Parameters p rein kanonische gleichung Parabeln. Durch Einsetzen von x=\frac(p)(2) in Gleichung (3.51) erhalten wir y^2=p^2 , d.h. y=\pm p . Daher ist der Parameter p die halbe Länge der Parabelsehne, die durch ihren Brennpunkt senkrecht zur Achse der Parabel verläuft.

Der Fokusparameter der Parabel, sowie für eine Ellipse und für eine Hyperbel, wird die halbe Länge der Sehne genannt, die durch ihren Fokus senkrecht zur Fokusachse verläuft (siehe Abb. 3.45, c). Aus der Parabelgleichung in Polarkoordinaten bei \varphi=\frac(\pi)(2) wir bekommen r=p , d.h. Parabelparameter fällt mit seinem Fokusparameter zusammen.

Bemerkungen 3.11.

1. Der Parameter p einer Parabel charakterisiert ihre Form. Je größer p, desto breiter die Parabeläste, je näher p an Null, desto schmaler die Parabeläste (Abb. 3.46).

2. Die Gleichung y^2=-2px (für p>0) definiert eine Parabel, die links von der y-Achse liegt (Abb. 3.47, a). Diese Gleichung wird durch Richtungsänderung der x-Achse (3.37) auf die kanonische zurückgeführt. Auf Abb. 3.47,a zeigt das gegebene Koordinatensystem Oxy und das kanonische Ox"y" .

3. Gleichung (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 definiert eine Parabel mit Scheitelpunkt O "(x_0, y_0), deren Achse parallel zur Abszissenachse ist (Abb. 3.47.6). Diese Gleichung wird durch Paralleltranslation (3.36) auf die kanonische zurückgeführt.

Die gleichung (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, definiert ebenfalls eine Parabel mit Scheitelpunkt O "(x_0, y_0) , deren Achse parallel zur y-Achse verläuft (Abb. 3.47, c). Diese Gleichung wird durch Parallelverschiebung (3.36) und Umbenennung der Koordinate auf die kanonische zurückgeführt Achsen (3.38) In Abb. 3.47 zeigen b, c die gegebenen Koordinatensysteme Oxy und die kanonischen Koordinatensysteme Ox "y" .

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 ist eine Parabel mit Scheitelpunkt an der Spitze O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), deren Achse parallel zur y-Achse liegt, sind die Äste der Parabel nach oben (für a>0) oder nach unten (für a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

die auf die kanonische Form (y")^2=2px" reduziert wird, wobei p=\links|\frac(1)(2a)\rechts|, Durch Ersetzen y"=x+\frac(b)(2a) und x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Das Vorzeichen wird so gewählt, dass es mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a übereinstimmt. Diese Ersetzung entspricht der Komposition: Parallelübersetzung (3.36) mit x_0=-\frac(b)(2a) und y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), Umbenennung der Koordinatenachsen (3.38), und im Fall von a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 und ein<0 соответственно.

5. Die Abszissenachse des kanonischen Koordinatensystems ist Symmetrieachse der Parabel, da die Änderung der Variablen y auf -y Gleichung (3.51) nicht ändert. Mit anderen Worten, die Koordinaten des Punktes M (x, y), der zu der Parabel gehört, und die Koordinaten des Punktes M "(x, -y), symmetrisch zum Punkt M um die Abszissenachse, erfüllen die Gleichung (3. S1) Die Achsen des kanonischen Koordinatensystems werden aufgerufen die Hauptachsen der Parabel.

Beispiel 3.22. Zeichne eine Parabel y^2=2x in das kanonische Koordinatensystem Oxy . Finden Sie den Fokusparameter, die Fokuskoordinaten und die Directrix-Gleichung.

Lösung. Wir bauen eine Parabel unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie um die Abszissenachse (Abb. 3.49). Bei Bedarf bestimmen wir die Koordinaten einiger Punkte der Parabel. Wenn wir zum Beispiel x=2 in die Parabelgleichung einsetzen, erhalten wir y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Daher gehören die Punkte mit den Koordinaten (2;2),\,(2;-2) zur Parabel.

Durch Vergleich der gegebenen Gleichung mit der kanonischen (3.S1) bestimmen wir den Fokusparameter: p=1 . Fokuskoordinaten x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, d.h. F\!\links(\frac(1)(2),\,0\rechts). Wir bilden die Leitlinie x=-\frac(p)(2) , d.h. x=-\frac(1)(2) .

Allgemeine Eigenschaften einer Ellipse, Hyperbel, Parabel

1. Die Verzeichniseigenschaft kann als einzelne Definition einer Ellipse, Hyperbel, Parabel verwendet werden (siehe Abb. 3.50): die Ortskurve von Punkten in der Ebene, für die jeweils das Verhältnis des Abstands zu einem gegebenen Punkt F (Brennpunkt) zum Abstand zu einer gegebenen geraden Linie d (Leitlinie), die nicht durch einen gegebenen Punkt verläuft, konstant und gleich ist die Exzentrizität e, heißt:

a) wenn 0\leqslant e<1 ;

b) wenn e>1 ;

c) Parabel falls e=1.

2. Ellipse, Hyperbel, Parabel werden in Abschnitten eines Kreiskegels durch Ebenen erhalten und daher genannt Kegelschnitte. Diese Eigenschaft kann auch als geometrische Definition einer Ellipse, Hyperbel, Parabel dienen.

3. Gemeinsame Eigenschaften einer Ellipse, Hyperbel und Parabel umfassen Halbierende Eigenschaft ihre Tangenten. Unter Tangente zu der Geraden an einem Punkt K wird als Grenzlage der Sekante KM verstanden, wenn der auf der betrachteten Geraden verbleibende Punkt M gegen den Punkt K strebt. Eine Linie, die senkrecht zur Tangente steht und durch den Berührungspunkt verläuft, heißt normal zu dieser Zeile.

Die Bisektorialeigenschaft von Tangenten (und Normalen) an eine Ellipse, Hyperbel und Parabel wird wie folgt formuliert: die Tangente (Normale) an eine Ellipse oder Hyperbel bildet mit den Brennradien des Tangentenpunktes gleiche Winkel(Abb. 3.51, a, b); Die Tangente (Normale) an die Parabel bildet mit dem Brennradius des Tangentenpunktes und der von ihm auf die Leitlinie fallenden Senkrechten gleiche Winkel(Abb. 3.51, c). Mit anderen Worten, die Tangente an die Ellipse am Punkt K ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels F_1KF_2 des Dreiecks (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels F_1KF_2 des Dreiecks); die Tangente an die Hyperbel ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks F_1KF_2 (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels); die Tangente an die Parabel ist die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks FKK_d (und die Normale ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels). Die Halbierungseigenschaft einer Tangente an eine Parabel lässt sich wie bei einer Ellipse und einer Hyperbel formulieren, wenn wir davon ausgehen, dass die Parabel einen zweiten Brennpunkt im Unendlichen hat.

4. Bisektorielle Eigenschaften implizieren optische Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel, die die physikalische Bedeutung des Begriffs "Fokus" erklärt. Stellen wir uns Flächen vor, die durch Rotation einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel um die Brennachse entstehen. Bringt man auf diese Flächen eine reflektierende Beschichtung auf, so erhält man elliptische, hyperbolische und parabolische Spiegel. Nach dem optischen Gesetz ist der Einfallswinkel eines Lichtstrahls auf einem Spiegel gleich dem Ausfallswinkel, d.h. die einfallenden und reflektierten Strahlen bilden gleiche Winkel mit der Normalen zur Oberfläche, und beide Strahlen und die Rotationsachse liegen in derselben Ebene. Daraus erhalten wir folgende Eigenschaften:

- Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte des elliptischen Spiegels, werden die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen in einem anderen Brennpunkt gesammelt (Abb. 3.52, a);

- Befindet sich die Lichtquelle in einem der Brennpunkte des hyperbolischen Spiegels, divergieren die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen, als ob sie von einem anderen Brennpunkt kämen (Abb. 3.52, b);

- Befindet sich die Lichtquelle im Brennpunkt eines Parabolspiegels, verlaufen die vom Spiegel reflektierten Lichtstrahlen parallel zur Brennachse (Abb. 3.52, c).

5. Diametrale Eigenschaft Ellipse, Hyperbel und Parabel lassen sich wie folgt formulieren:

– die Mittelpunkte der parallelen Sehnen der Ellipse (Hyperbel) liegen auf derselben Geraden, die durch den Mittelpunkt der Ellipse (Hyperbel) verläuft;

– die Mittelpunkte der parallelen Sehnen der Parabel liegen auf einer geraden Linie, kollinear zur Symmetrieachse der Parabel.

Der Ort der Mittelpunkte aller parallelen Sehnen einer Ellipse (Hyperbel, Parabel) wird genannt Ellipsendurchmesser (Hyperbeln, Parabeln) zu diesen Akkorden konjugieren.

Dies ist die Definition von Durchmesser im engeren Sinne (siehe Beispiel 2.8). Früher wurde der Durchmesser im weitesten Sinne definiert, wobei der Durchmesser einer Ellipse, Hyperbel, Parabel und anderer Linien zweiter Ordnung eine gerade Linie ist, die die Mittelpunkte aller parallelen Sehnen enthält. Im engeren Sinne ist der Durchmesser einer Ellipse jede Sehne, die durch ihren Mittelpunkt verläuft (Abb. 3.53, a); der Durchmesser einer Hyperbel ist jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt der Hyperbel verläuft (mit Ausnahme von Asymptoten), oder ein Teil einer solchen geraden Linie (Abb. 3.53.6); Der Durchmesser einer Parabel ist jeder Strahl, der von einem Punkt der Parabel ausgeht und kollinear mit der Symmetrieachse ist (Abb. 3.53, c).

Zwei Durchmesser, von denen jeder alle Sehnen parallel zum anderen Durchmesser halbiert, werden konjugiert genannt. In Abb. 3.53 zeigen dicke Linien die konjugierten Durchmesser einer Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Die Tangente an eine Ellipse (Hyperbel, Parabel) im Punkt K kann als Grenzlage der parallelen Sekanten M_1M_2 definiert werden, wenn die auf der betrachteten Geraden verbleibenden Punkte M_1 und M_2 zum Punkt K tendieren. Aus dieser Definition folgt, dass die Tangente parallel zu den Sehnen durch das Ende des zu diesen Sehnen konjugierten Durchmessers verläuft.

6. Ellipse, Hyperbel und Parabel haben zusätzlich zu den oben genannten zahlreiche geometrische Eigenschaften und physikalische Anwendungen. Beispielsweise kann Abb. 3.50 zur Veranschaulichung der Bewegungsbahnen von Weltraumobjekten dienen, die sich in der Nähe des Anziehungszentrums F befinden.