Finden Sie online die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte geht. Gleichung einer durch einen Punkt verlaufenden Geraden, Gleichung einer durch zwei Punkte verlaufenden Geraden, der Winkel zwischen zwei Geraden, die Steigung einer Geraden

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Der Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, die zweite Methode zur Lösung der vorgestellten Probleme des Findens der Ableitung für einen gegebenen Graphen einer Funktion und einer Tangente an diesen Graphen zu analysieren. Wir werden diese Methode in analysieren , nicht verpassen! Warum im nächsten?

Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten Sie diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären - woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Es ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, dann stellen Sie es schnell wieder herwird nicht schwer sein. Im Folgenden wird alles detailliert beschrieben. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die Formel für die Gerade:

* Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y = kx + b.

** Wenn diese Formel einfach "gezackt" ist, besteht eine hohe Verwechslungswahrscheinlichkeit mit den Indizes bei x... Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun zum Schluss dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF sind im spitzen Winkel ähnlich (das erste Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken). Daraus folgt, dass die Beziehungen der jeweiligen Elemente gleich sind, d. h.:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich gibt es keinen Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Korrespondenz bleibt):

Das Ergebnis ist die gleiche Geradengleichung. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, finden Sie immer die Gleichung einer Geraden.

Die Formel kann aus den Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, aber das Inferenzprinzip bleibt dasselbe, da wir über die Proportionalität ihrer Koordinaten sprechen. In diesem Fall funktioniert der gleiche Anschein von rechtwinkligen Dreiecken. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Ausgabe klarer)).

Ausgabe durch Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Auf der Koordinatenebene sei eine Gerade gebaut, die durch zwei gegebene Punkte A (x 1; y 1) und B (x 2; y 2) geht. Markieren wir auf der Geraden einen beliebigen Punkt C mit Koordinaten ( x; ja). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf einer Geraden) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, dh:

- wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:

Betrachten wir ein Beispiel:

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2; 5) und (7: 3) verläuft.

Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst bauen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie die Korrespondenz bei der Erstellung des Verhältnisses erfassen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie aufschreiben:

Antwort: y = -2 / 5x + 29/5 gehen y = -0,4x + 5,8

Um sicherzustellen, dass die erhaltene Gleichung richtig gefunden wird, führen Sie unbedingt eine Überprüfung durch - ersetzen Sie die Koordinaten der Daten in der Bedingung der Punkte. Sie sollten korrekte Gleichheiten erhalten.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

PS: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie uns in den sozialen Netzwerken etwas über die Site erzählen könnten.

Lassen Sie die Linie durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) gehen. Die Gleichung der durch den Punkt M 1 verlaufenden Gerade hat die Form y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) geht, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).

Von hier aus finden wir Ersetzen des gefundenen Wertes k in Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 geht:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 = x 2, dann ist die Gerade, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) geht, parallel zur Ordinatenachse. Seine Gleichung hat die Form x = x 1 .

Wenn y 2 = y I, dann kann die Geradengleichung als y = y 1 geschrieben werden, die Gerade M 1 M 2 ist parallel zur Abszissenachse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die Gerade die Ox-Achse im Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - im Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
jene.
... Diese Gleichung heißt die Gleichung einer Geraden in Segmenten, da die Zahlen a und b geben an, welche Segmente durch eine gerade Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten sind.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Finden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B) verläuft.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M (x; y) auf einer Geraden und betrachten Sie den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt null, d. h.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) heißt die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B), senkrecht zur Geraden, heißt normal Normalenvektor dieser Geraden .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C = -Aх о - Ву о - freier Term. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb. 2).

Abb. 1 Abb. 2

Kanonische Gleichungen der Geraden

Wo
- Koordinaten des Punktes, durch den die Gerade verläuft, und
ist der Richtungsvektor.

Kreis der Kurven zweiter Ordnung

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, der Mittelpunkt genannt wird, gleich weit entfernt sind.

Die kanonische Gleichung eines Kreises mit Radius R zentriert auf Punkt
:

Insbesondere wenn die Mitte des Pfahls mit dem Ursprung übereinstimmt, sieht die Gleichung wie folgt aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, die Summe der Entfernungen von jedem zu zwei gegebenen Punkten und , die Brennpunkte genannt werden, haben einen konstanten Wert
größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Koordinatenursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
g de ein die Länge der großen Halbachse; B - die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).

Lektion aus der Reihe "Geometrische Algorithmen"

Hallo lieber Leser!

Heute werden wir damit beginnen, Algorithmen im Zusammenhang mit Geometrie zu erforschen. Tatsache ist, dass es in der Informatik viele Olympia-Probleme im Zusammenhang mit der Computergeometrie gibt und die Lösung solcher Probleme oft Schwierigkeiten bereitet.

In einigen Lektionen werden wir uns eine Reihe elementarer Teilprobleme ansehen, auf denen die Lösung der meisten Computergeometrieprobleme basiert.

In dieser Lektion erstellen wir ein Programm für Finden der Geradengleichung durch das Gegebene gehen zwei Punkte... Um geometrische Probleme zu lösen, benötigen wir einige Kenntnisse der Computergeometrie. Wir werden einen Teil des Unterrichts dem Kennenlernen widmen.

Einblicke in die Computergeometrie

Computergestützte Geometrie ist ein Teilgebiet der Informatik, das Algorithmen zur Lösung geometrischer Probleme untersucht.

Die Ausgangsdaten für solche Aufgaben können eine Menge von Punkten auf einer Ebene, eine Menge von Segmenten, ein Polygon (z. B. durch eine Liste seiner Scheitelpunkte im Uhrzeigersinn angegeben) usw. sein.

Das Ergebnis kann entweder eine Antwort auf eine Frage sein (zB ob ein Punkt zu einem Segment gehört, ob sich zwei Segmente schneiden, ...) oder ein geometrisches Objekt (zB das kleinste konvexe Polygon, das gegebene Punkte verbindet, die Fläche von ein Polygon usw.) ...

Wir werden Probleme der Computergeometrie nur in einer Ebene und nur in einem kartesischen Koordinatensystem betrachten.

Vektoren und Koordinaten

Um die Methoden der Computergeometrie anwenden zu können, ist es notwendig, geometrische Bilder in die Sprache der Zahlen zu übersetzen. Wir gehen davon aus, dass auf der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem angegeben ist, in dem die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn als positiv bezeichnet wird.

Geometrische Objekte werden jetzt analytisch ausgedrückt. Um einen Punkt zu setzen, genügt es, seine Koordinaten anzugeben: ein Zahlenpaar (x; y). Ein Segment kann durch Angabe der Koordinaten seiner Enden angegeben werden, eine Gerade kann durch Angabe der Koordinaten eines Paars seiner Punkte angegeben werden.

Das wichtigste Werkzeug zur Lösung von Problemen werden jedoch Vektoren sein. Lassen Sie mich Sie daher an einige Informationen zu ihnen erinnern.

Abschnitt AB, an welchem Punkt EIN als Anfang (Anwendungspunkt) und als Punkt betrachtet V- das Ende heißt Vektor AB und bezeichnet entweder oder einen fetten Kleinbuchstaben, zum Beispiel ein .

Um die Länge eines Vektors (also die Länge des entsprechenden Segments) anzugeben, verwenden wir (zum Beispiel) das Modulus-Symbol.

Ein beliebiger Vektor hat Koordinaten, die der Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten seines Endes und seines Anfangs entsprechen:

hier die punkte EIN und B Koordinaten haben bzw.

Für Berechnungen verwenden wir das Konzept ausgerichteter Winkel, also der Winkel, der die relative Lage der Vektoren berücksichtigt.

Orientierter Winkel zwischen Vektoren ein und B positiv, wenn Drehung weg vom Vektor ein vektorisieren B erfolgt in positiver Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) und ansonsten negativ. Siehe Abb.1a, Abb.1b. Sie sagen auch, dass ein Paar von Vektoren ein und B positiv (negativ) orientiert.

Somit hängt der Wert des orientierten Winkels von der Reihenfolge ab, in der die Vektoren aufgelistet sind und kann Werte im Bereich annehmen.

Viele rechnergestützte Geometrieprobleme verwenden das Konzept von Vektorprodukten (schief oder pseudoskalar) von Vektoren.

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist das Produkt der Längen dieser Vektoren mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:

Vektorprodukt von Vektoren in Koordinaten:

Der rechte Ausdruck ist eine Determinante zweiter Ordnung:

Im Gegensatz zur Definition in der analytischen Geometrie ist es ein Skalar.

Das Kreuzproduktzeichen bestimmt die Lage der Vektoren zueinander:

ein und B positiv orientiert.

Wenn ein Wert, dann ein Paar von Vektoren ein und B negativ orientiert.

Das Vektorprodukt von Vektoren ungleich Null ist genau dann gleich Null, wenn sie kollinear sind ( ). Das heißt, sie liegen auf einer Geraden oder auf Parallelen.

Betrachten wir einige der einfachsten Aufgaben, die beim Lösen komplexerer Aufgaben erforderlich sind.

Definieren wir die Gleichung einer Geraden durch die Koordinaten zweier Punkte.

Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei verschiedene Punkte verläuft, gegeben durch ihre Koordinaten.

Auf einer Geraden seien zwei nicht übereinstimmende Punkte gegeben: mit Koordinaten (x1; y1) und mit Koordinaten (x2; y2). Dementsprechend hat ein Vektor mit einem Anfang an einem Punkt und einem Ende an einem Punkt Koordinaten (x2-x1, y2-y1). Wenn P (x, y) ein beliebiger Punkt auf unserer Linie ist, dann sind die Vektorkoordinaten (x-x1, y - y1).

Mit dem Vektorprodukt kann die Kollinearitätsbedingung für Vektoren und wie folgt geschrieben werden:

Jene. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Wir schreiben die letzte Gleichung wie folgt um:

ax + um + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Eine Gerade kann also durch eine Gleichung der Form (1) gesetzt werden.

Aufgabe 1. Die Koordinaten von zwei Punkten sind gegeben. Finden Sie seine Darstellung als ax + by + c = 0.

In dieser Lektion haben wir uns mit einigen Informationen aus der Computergeometrie vertraut gemacht. Wir haben das Problem gelöst, die Gleichung einer Geraden durch die Koordinaten zweier Punkte zu finden.

In der nächsten Lektion werden wir ein Programm erstellen, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, die durch unsere Gleichungen gegeben sind.

Dieser Artikel setzt das Thema der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene fort: Betrachten Sie eine solche Gleichungsform als die allgemeine Gleichung einer Geraden. Wir definieren einen Satz und geben seinen Beweis; Lassen Sie uns herausfinden, was eine unvollständige allgemeine Gleichung einer geraden Linie ist und wie man von einer allgemeinen Gleichung zu anderen Arten von Gleichungen einer geraden Linie übergeht. Wir werden die ganze Theorie mit Illustrationen festigen und praktische Probleme lösen.

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Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y gegeben.

Satz 1

Jede Gleichung ersten Grades mit der Form A x + B y + C = 0, wobei A, B, C einige reelle Zahlen sind (A und B sind gleichzeitig ungleich Null) definiert eine Gerade in a rechtwinkliges Koordinatensystem auf einer Ebene. Jede gerade Linie in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene wird wiederum durch eine Gleichung bestimmt, die die Form A x + B y + C = 0 für einen bestimmten Satz von Werten A, B, C hat.

Nachweisen

der angegebene Satz besteht aus zwei Punkten, die wir jeweils beweisen werden.

Zeigen wir, dass die Gleichung A x + B y + C = 0 eine Gerade in der Ebene definiert.

Es gebe einen Punkt М 0 (x 0, y 0), dessen Koordinaten der Gleichung A x + B y + C = 0 entsprechen. Also: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtrahieren Sie von der linken und rechten Seite der Gleichungen A x + B y + C = 0 die linke und rechte Seite der Gleichung A x 0 + B y 0 + C = 0, erhalten wir eine neue Gleichung der Form A ( x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Es entspricht A x + B y + C = 0.

Die resultierende Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Somit definiert die Punktmenge M (x, y) eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem senkrecht zur Richtung des Vektors n → = (A, B). Wir können annehmen, dass dies nicht der Fall ist, aber dann wären die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nicht senkrecht, und die Gleichheit A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 wäre nicht wahr.

Daher definiert die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 eine gerade Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene, und daher definiert die äquivalente Gleichung A x + B y + C = 0 die gleiche gerade Linie. Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen.

Zeigen wir, dass jede Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch eine Gleichung ersten Grades A x + B y + C = 0 definiert werden kann.

Setzen wir die Gerade a in ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf der Ebene; Punkt M 0 (x 0, y 0) durch den diese Linie geht, sowie der Normalenvektor dieser Linie n → = (A, B).

Es gebe auch einen Punkt M (x, y) - einen Gleitkomma einer Geraden. In diesem Fall stehen die Vektoren n → = (A, B) und M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) senkrecht aufeinander und ihr Skalarprodukt ist Null:

n →, M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Schreiben Sie die Gleichung A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 um, definieren Sie C: C = - A x 0 - B y 0 und am Ende erhalten wir die Gleichung A x + B y + C = 0.

Wir haben also den zweiten Teil des Satzes bewiesen, und wir haben den ganzen Satz als Ganzes bewiesen.

Definition 1

Eine Gleichung der Form A x + B y + C = 0 - Das allgemeine Geradengleichung auf einer Ebene in einem rechtwinkligen KoordinatensystemO x y.

Aus dem bewiesenen Satz können wir schließen, dass eine Gerade und ihre allgemeine Gleichung auf einer Ebene in einem festen rechtwinkligen Koordinatensystem untrennbar miteinander verbunden sind. Mit anderen Worten, die anfängliche Gerade entspricht ihrer allgemeinen Gleichung; die allgemeine Gleichung einer Geraden entspricht einer gegebenen Geraden.

Aus dem Beweis des Satzes folgt auch, dass die Koeffizienten A und B für die Variablen x und y die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden sind, der durch die allgemeine Geradengleichung A x + B y + . gegeben ist C = 0.

Betrachten Sie ein spezielles Beispiel für eine allgemeine Gleichung einer Geraden.

Gegeben sei die Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0, die einer Geraden in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem entspricht. Der Normalenvektor dieser Geraden ist der Vektor n → = (2, 3). Zeichnen Sie eine gegebene gerade Linie in die Zeichnung.

Man kann auch folgendes behaupten: Die Gerade, die wir in der Zeichnung sehen, wird durch die allgemeine Gleichung 2 x + 3 y - 2 = 0 bestimmt, da die Koordinaten aller Punkte einer gegebenen Geraden dieser Gleichung entsprechen.

Die Gleichung · A x + λ · B y + λ · C = 0 erhalten wir, indem wir beide Seiten der allgemeinen Geradengleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl λ multiplizieren. Die resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen allgemeinen Gleichung, daher beschreibt sie dieselbe Gerade in der Ebene.

Definition 2

Vollständige allgemeine Gleichung der Geraden- eine solche allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, in der die Zahlen A, B, C ungleich Null sind. Andernfalls lautet die Gleichung unvollständig.

Untersuchen wir alle Variationen der unvollständigen allgemeinen Geradengleichung.

Wenn A = 0, B 0, C ≠ 0 ist, wird die allgemeine Gleichung B y + C = 0. Eine solche unvollständige allgemeine Gleichung definiert in einem rechtwinkligen Koordinatensystem O x y eine gerade Linie, die parallel zur O x -Achse verläuft, da für jeden reellen Wert von x die Variable y den Wert annimmt - CB. Mit anderen Worten, die allgemeine Gleichung der Geraden A x + B y + C = 0, wenn A = 0, B ≠ 0, definiert den Ort der Punkte (x, y), deren Koordinaten gleich der gleichen Zahl sind - CB.
Wenn A = 0, B ≠ 0, C = 0 ist, hat die allgemeine Gleichung die Form y = 0. Diese unvollständige Gleichung definiert die Abszissenachse O x.
Wenn A 0, B = 0, C ≠ 0 ist, erhalten wir eine unvollständige allgemeine Gleichung A x + C = 0, die eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse definiert.
Sei A ≠ 0, B = 0, C = 0, dann hat die unvollständige allgemeine Gleichung die Form x = 0, und dies ist die Gleichung der Koordinatenlinie O y.
Schließlich hat die unvollständige allgemeine Gleichung für A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 die Form A x + B y = 0. Und diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Tatsächlich entspricht das Zahlenpaar (0, 0) der Gleichheit A x + B y = 0, da A · 0 + B · 0 = 0.

Lassen Sie uns alle oben genannten Typen der unvollständigen allgemeinen Gleichung einer Geraden grafisch veranschaulichen.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass eine gegebene Gerade parallel zur Ordinatenachse verläuft und durch den Punkt 2 7, - 11 geht. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Eine zur Ordinatenachse parallele Gerade ist durch eine Gleichung der Form A x + C = 0 gegeben, in der A ≠ 0 ist. Außerdem gibt die Bedingung die Koordinaten des Punktes an, durch den die Linie verläuft, und die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Bedingungen der unvollständigen allgemeinen Gleichung A x + C = 0, d.h. die Gleichheit ist wahr:

A · 2 7 + C = 0

Es ist möglich, C daraus zu bestimmen, indem man A einen von Null verschiedenen Wert gibt, zum Beispiel A = 7. In diesem Fall erhalten wir: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Wir kennen beide Koeffizienten A und C, setzen sie in die Gleichung A x + C = 0 ein und erhalten die erforderliche Geradengleichung: 7 x - 2 = 0

Antworten: 7 x - 2 = 0

Beispiel 2

Die Zeichnung zeigt eine gerade Linie, es ist notwendig, ihre Gleichung aufzuschreiben.

Lösung

Die gegebene Zeichnung ermöglicht es uns, die Ausgangsdaten zur Lösung des Problems leicht zu entnehmen. Wir sehen in der Zeichnung, dass die gegebene Linie parallel zur O x -Achse ist und durch den Punkt (0, 3) geht.

Die zu den Augen der Abszisse parallele Gerade bestimmt die unvollständige allgemeine Gleichung B y + C = 0. Lassen Sie uns die Werte von B und C finden. Die Koordinaten des Punktes (0, 3) erfüllen, da eine gegebene Gerade durch sie geht, die Gleichung der Geraden B y + C = 0, dann gilt die Gleichheit: B · 3 + C = 0. Setzen wir für B einen anderen Wert als Null. Angenommen B = 1, in diesem Fall finden wir aus der Gleichheit B 3 + C = 0 C: C = - 3. Wir verwenden die bekannten Werte von B und C, wir erhalten die erforderliche Gleichung der Geraden: y - 3 = 0.

Antworten: j - 3 = 0.

Allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt der Ebene verläuft

Lassen Sie die gegebene Linie durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) gehen, dann entsprechen ihre Koordinaten der allgemeinen Gleichung der Linie, d.h. die Gleichheit gilt: A x 0 + B y 0 + C = 0. Wir subtrahieren die linke und rechte Seite dieser Gleichung von der linken und rechten Seite der allgemeinen vollständigen Geradengleichung. Wir erhalten: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, diese Gleichung entspricht der ursprünglichen allgemeinen, geht durch den Punkt М 0 (x 0, y 0) und hat einen Normalenvektor n → = (A, B).

Das Ergebnis, das wir erhalten haben, ermöglicht es, die allgemeine Gleichung der Geraden mit den bekannten Koordinaten des Normalenvektors der Geraden und den Koordinaten eines bestimmten Punktes dieser Geraden aufzuschreiben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein Punkt М 0 (- 3, 4), durch den eine Gerade verläuft, und ein Normalenvektor dieser Geraden n → = (1, - 2). Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen erlauben uns, die notwendigen Daten für die Aufstellung der Gleichung zu erhalten: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Dann:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Das Problem hätte anders gelöst werden können. Die allgemeine Geradengleichung hat die Form A x + B y + C = 0. Ein gegebener Normalenvektor ermöglicht es Ihnen, die Werte der Koeffizienten A und B zu erhalten, dann:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Nun finden wir den Wert von C, indem wir den durch die Problembedingung spezifizierten Punkt M 0 (- 3, 4) verwenden, durch den die Gerade verläuft. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen der Gleichung x - 2 y + C = 0, d.h. - 3 - 2 4 + C = 0. Daher C = 11. Die erforderliche Geradengleichung hat die Form: x - 2 y + 11 = 0.

Antworten: x - 2 y + 11 = 0.

Beispiel 4

Gegeben sind eine Gerade 2 3 x - y - 1 2 = 0 und ein auf dieser Geraden liegender Punkt М 0. Nur die Abszisse dieses Punktes ist bekannt und ist gleich - 3. Es ist notwendig, die Ordinate des gegebenen Punktes zu bestimmen.

Lösung

Setzen wir die Bezeichnung der Koordinaten des Punktes М 0 als x 0 und y 0. Die Anfangsdaten zeigen, dass x 0 = - 3. Da ein Punkt zu einer bestimmten Geraden gehört, entsprechen seine Koordinaten der allgemeinen Gleichung dieser Geraden. Dann gilt die Gleichheit:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 bestimmen: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Antworten: - 5 2

Der Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu anderen Geradengleichungen und umgekehrt

Wie wir wissen, gibt es mehrere Arten von Gleichungen für dieselbe Gerade in der Ebene. Die Wahl des Gleichungstyps hängt von den Bedingungen des Problems ab; Es ist möglich, diejenige zu wählen, die für die Lösung bequemer ist. Hier kommt die Fähigkeit zum Einsatz, eine Gleichung einer Art in eine Gleichung einer anderen Art umzuwandeln.

Betrachten Sie zunächst den Übergang von der allgemeinen Gleichung der Form A x + B y + C = 0 zur kanonischen Gleichung x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ist А ≠ 0, dann übertragen wir den Term B y auf die rechte Seite der allgemeinen Gleichung. Platzieren Sie auf der linken Seite A außerhalb der Klammern. Als Ergebnis erhalten wir: A x + C A = - B y.

Diese Gleichheit kann als Proportion geschrieben werden: x + C A - B = y A.

Wenn В ≠ 0, belassen wir nur den Term A x auf der linken Seite der allgemeinen Gleichung, übertragen den Rest auf die rechte Seite, wir erhalten: A x = - B y - C. Wir nehmen - B außerhalb der Klammern heraus, dann: A x = - B y + C B.

Lassen Sie uns Gleichheit als Proportion umschreiben: x - B = y + C B A.

Die resultierenden Formeln müssen natürlich nicht auswendig gelernt werden. Es genügt, den Aktionsalgorithmus beim Übergang von der allgemeinen zur kanonischen Gleichung zu kennen.

Beispiel 5

Die allgemeine Gleichung der Geraden lautet: 3 y - 4 = 0. Es ist notwendig, es in eine kanonische Gleichung umzuwandeln.

Lösung

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung um als 3 y - 4 = 0. Als nächstes verfahren wir nach dem Algorithmus: Der Term 0 x bleibt auf der linken Seite; und auf der rechten Seite nehmen wir - 3 außerhalb der Klammern heraus; wir erhalten: 0 x = - 3 y - 4 3.

Schreiben wir die resultierende Gleichheit als Proportion: x - 3 = y - 4 3 0. Wir haben also eine Gleichung der kanonischen Form erhalten.

Antwort: x - 3 = y - 4 3 0.

Um die allgemeine Geradengleichung in parametrische umzuwandeln, geht man zuerst in die kanonische Form über und dann von der kanonischen Geradengleichung zu den parametrischen Gleichungen.

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung 2 x - 5 y - 1 = 0. Schreiben Sie die parametrischen Gleichungen dieser Geraden auf.

Lösung

Machen wir den Übergang von der allgemeinen Gleichung zur kanonischen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Nun nehmen wir beide Seiten der resultierenden kanonischen Gleichung gleich λ, dann:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Antworten:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Die allgemeine Gleichung kann in eine Geradengleichung mit der Steigung y = k x + b umgewandelt werden, jedoch nur, wenn B 0 ist. Für den Übergang links belassen wir den Term B y, der Rest wird nach rechts übertragen. Wir erhalten: B y = - A x - C. Teilen Sie beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch B, verschieden von Null: y = - A B x - C B.

Beispiel 7

Die allgemeine Geradengleichung lautet: 2 x + 7 y = 0. Sie müssen diese Gleichung in eine Steigungsgleichung umwandeln.

Lösung

Führen wir die erforderlichen Aktionen gemäß dem Algorithmus aus:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Antworten: y = - 2 7 x.

Aus der allgemeinen Geradengleichung genügt es, einfach eine Gleichung in Segmenten der Form x a + y b = 1 zu erhalten. Um einen solchen Übergang zu machen, übertragen wir die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit, dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch - und übertragen schließlich die Koeffizienten für die Variablen x und y auf die Nenner:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Beispiel 8

Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung der Geraden x - 7 y + 1 2 = 0 in die Gleichung der Geraden in Segmenten umzuwandeln.

Lösung

Verschiebe 1 2 nach rechts: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Antworten: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Im Allgemeinen ist auch der umgekehrte Übergang einfach: von anderen Gleichungstypen auf die allgemeine.

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten und eine Gleichung mit einem Steigungskoeffizienten kann leicht in eine allgemeine umgewandelt werden, indem man einfach alle Terme auf der linken Seite der Gleichheit sammelt:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Die kanonische Gleichung wird nach folgendem Schema in die allgemeine Gleichung umgewandelt:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Um von parametrisch zu wechseln, wird zuerst der Übergang zum Kanonischen und dann zum Allgemeinen durchgeführt:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Beispiel 9

Gegeben sind parametrische Gleichungen der Geraden x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es ist notwendig, die allgemeine Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Machen wir den Übergang von parametrischen Gleichungen zu kanonischen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kommen wir vom Kanonischen zum Allgemeinen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Antworten: y - 4 = 0

Beispiel 10

Die Gleichung einer Geraden in Segmenten x 3 + y 1 2 = 1 ist gegeben. Es ist notwendig, auf die allgemeine Form der Gleichung überzugehen.

Lösung:

Schreiben wir die Gleichung einfach in die erforderliche Form um:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Antworten: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Aufstellen der allgemeinen Geradengleichung

Oben haben wir gesagt, dass die allgemeine Gleichung mit den bekannten Koordinaten des Normalenvektors und den Koordinaten des Punktes geschrieben werden kann, durch den die Gerade verläuft. Eine solche Gerade wird durch die Gleichung A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 bestimmt. Dort haben wir auch das entsprechende Beispiel analysiert.

Nun betrachten wir komplexere Beispiele, bei denen zuerst die Koordinaten des Normalenvektors bestimmt werden müssen.

Beispiel 11

Gegeben ist eine Gerade parallel zur Geraden 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ebenfalls bekannt ist der Punkt M 0 (4, 1), durch den die gegebene Gerade verläuft. Es ist notwendig, die Gleichung einer gegebenen Geraden aufzuschreiben.

Lösung

Die Anfangsbedingungen sagen uns, dass die Geraden parallel sind, dann nehmen wir als Normalenvektor der Geraden, deren Gleichung geschrieben werden soll, den Richtungsvektor der Geraden n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Jetzt kennen wir alle notwendigen Daten, um die allgemeine Gleichung der Geraden zusammenzustellen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Antworten: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Beispiel 12

Die angegebene Linie geht durch den Ursprung senkrecht zur Linie x - 2 3 = y + 4 5. Es ist notwendig, eine allgemeine Gleichung für eine gegebene Gerade aufzustellen.

Lösung

Der Normalenvektor der gegebenen Linie ist der Richtungsvektor der Linie x - 2 3 = y + 4 5.

Dann ist n → = (3, 5). Die Gerade geht durch den Ursprung, d.h. durch den Punkt O (0, 0). Stellen wir die allgemeine Gleichung einer gegebenen Geraden zusammen:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Antworten: 3 x + 5 y = 0.

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Die allgemeine Geradengleichung:

Sonderfälle der allgemeinen Geradengleichung:

und wenn C= 0, Gleichung (2) hat die Form

Axt + Durch = 0,

und die durch diese Gleichung definierte Gerade geht durch den Ursprung, da die Koordinaten des Ursprungs x = 0, ja= 0 diese Gleichung erfüllen.

b) Wenn in der allgemeinen Geradengleichung (2) B= 0, dann hat die Gleichung die Form

Axt + MIT= 0, oder.

Gleichung enthält keine Variable ja, und die durch diese Gleichung definierte Gerade ist parallel zur Achse Oy.

c) Wenn in der allgemeinen Geradengleichung (2) EIN= 0, dann hat diese Gleichung die Form

Durch + MIT= 0, oder;

die Gleichung enthält keine Variable x, und die von ihr definierte Gerade ist parallel zur Achse Ochse.

Es sollte daran erinnert werden: Wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenachse verläuft, gibt es in ihrer Gleichung keinen Begriff, der die gleichnamige Koordinate mit dieser Achse enthält.

d) Wann C= 0 und EIN= 0, Gleichung (2) hat die Form Durch= 0, oder ja = 0.

Dies ist die Gleichung der Achse Ochse.

e) Wann C= 0 und B= 0 Gleichung (2) kann geschrieben werden als Axt= 0 oder x = 0.

Dies ist die Gleichung der Achse Oy.

Gegenseitige Anordnung von Geraden auf einer Ebene. Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene. Die Bedingung für Parallelität von Linien. Rechtwinkligkeitsbedingung für gerade Linien.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Die Vektoren S 1 und S 2 werden als Hilfslinien für ihre Linien bezeichnet.

Der Winkel zwischen den Geraden l 1 und l 2 wird durch den Winkel zwischen den Richtungsvektoren bestimmt.
Satz 1: cos-Winkel zwischen l 1 und l 2 = cos (l 1; l 2) =

Satz 2: Damit 2 Geraden gleich sind, ist es notwendig und ausreichend:

Satz 3: damit 2 Geraden senkrecht stehen ist es notwendig und ausreichend:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Allgemeine Gleichung der Ebene und ihre Spezialfälle. Gleichung der Ebene in Segmenten.

Allgemeine Gleichung der Ebene:

Ax + By + Cz + D = 0

Sonderfälle:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - die Ebene geht durch den Ursprung

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - Ebene || OZ

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - Ebene || OY

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - Ebene || OCHSE

5.A = 0 und D = 0 By + Cz = 0 - die Ebene geht durch OX

6.B = 0 und D = 0 Ax + Cz = 0 - die Ebene geht durch OY

7.C = 0 und D = 0 Ax + By = 0 - die Ebene geht durch OZ

Gegenseitige Anordnung von Ebenen und Geraden im Raum:

1. Der Winkel zwischen geraden Linien im Raum ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren.

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) = =

2. Der Winkel zwischen den Ebenen wird durch den Winkel zwischen ihren Normalenvektoren definiert.

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) = =

3. Der Kosinus des Winkels zwischen Linie und Ebene kann durch den Sinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der Linie und dem Normalenvektor der Ebene bestimmt werden.

4. 2 Geraden || im Weltraum, wenn ihre || Vektoranleitungen

5. 2 Flugzeuge || wenn || Normalenvektoren

6. Die Begriffe der Rechtwinkligkeit von Geraden und Ebenen werden auf ähnliche Weise eingeführt.

Frage Nummer 14

Verschiedene Arten von Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene (Gleichung einer Geraden in Segmenten, mit einer Steigung usw.)

Gleichung einer Geraden in Segmenten:
Angenommen, in der allgemeinen Gleichung der Geraden gilt:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - die Gerade geht durch den Ursprung.

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

Gleichung einer Geraden mit Steigung:

Jede Gerade, die ungleich der OE-Achse (B nicht = 0) ist, kann in die nächste geschrieben werden. bilden:

k = tgα α ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer positiv gerichteten Geraden OX

b - der Schnittpunkt der Geraden mit der OY-Achse

Doc:

Ax + Wu + C = 0

Wu = -Ah-C |: B

Gleichung einer Geraden an zwei Punkten:

Frage Nummer 16

Der endliche Grenzwert der Funktion am Punkt und als x → ∞

Endgültige Grenze bei Punkt x 0:

Die Zahl A heißt die Grenze der Funktion y = f (x) als x → x 0, falls für jedes E> 0 ein b> 0 existiert, so dass für x ≠ x 0 die Ungleichung |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Der Grenzwert wird bezeichnet: = A

Die letzte Grenze am Punkt + ∞:

Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion y = f (x) bei x → + ∞ falls für jedes E> 0 C> 0 existiert, so dass für x> C die Ungleichung |f (x) - A |< Е

Der Grenzwert wird bezeichnet: = A

Endgrenze bei -∞:

Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion y = f (x) für x → -∞, wenn für irgendein E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е