Онлайнаар шугамаар хязгаарлагдсан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг ол. Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ

Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байдаг). Чадварлаг сурах ба хурдан техникашиглан графикийг хийж болно сургалтын материалба геометрийн графикийн хувиргалт. Гэхдээ үнэндээ би хичээл дээр зургийн ач холбогдлын талаар олон удаа ярьсан.

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг тодорхой интегралТа дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, эргэлтийн гадаргуугийн талбай болон бусад олон зүйлийг тооцоолж болно. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

Координатын хавтгай дээр ямар нэгэн хавтгай дүрсийг төсөөлөөд үз дээ. төлөөлсөн үү? ... Хэн юу бэлэглэв гэж гайхаж байна ... =))) Бид аль хэдийн талбайг нь олчихсон. Гэхдээ үүнээс гадна энэ зургийг хоёр аргаар эргүүлж, эргүүлж болно.

- абсцисса тэнхлэгийн эргэн тойронд;
- y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёуланг нь хоёуланг нь авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж ирнэ дүрсийн талбайг олох асуудал, мөн хоёр дахь аргаар - тэнхлэгийн дагуу талбайг хэрхэн олохыг танд хэлээрэй. Материал нь сэдэвт сайн нийцдэг тул тийм ч их урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлцгээе.

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Жишээ 1

Тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Бүс нутгийн асуудлын нэгэн адил, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Зургийг хэрхэн илүү оновчтой, хурдан болгох талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанаруудТэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Энэ бол Хятадын сануулга, цаашлаад Энэ мөчБи дахиж зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг.Эргүүлсний үр дүнд ийм бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг бөгөөд энэ нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математик нэртэй боловч лавлах номонд ямар нэг зүйлийг зааж өгөх нь хэтэрхий залхуу тул бид цаашаа явна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно:

Томъёонд интегралын өмнө заавал тоо байх ёстой. Ийм зүйл болсон - амьдралд эргэдэг бүх зүйл энэ тогтмолтой холбоотой байдаг.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээрээс параболын графикаар хязгаарлагддаг. Энэ нь томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь интеграл нь квадрат: , ингэснээр интеграл нь үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм.

Хувьсгалын биеийн эзлэхүүнийг ашиглан тооцоол энэ томъёо:

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулах:

Хариултанд хэмжээсийг - куб нэгжийг зааж өгөх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, бидний эргэлтийн биед ойролцоогоор 3.35 "шоо" байдаг. Яагаад яг куб гэж нэгж? Учир нь хамгийн түгээмэл жор. Куб сантиметр байж болно, шоо метр байж болно, шоо километр ч байж болно, энэ бол таны төсөөлөл нисдэг таваганд хичнээн жижигхэн ногоон эрчүүд багтах болно.

Жишээ 2

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Өөр хоёрыг авч үзье сорилттой даалгаваруудпрактикт ихэвчлэн тулгардаг.

Жишээ 3

, болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл: Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог гэдгийг мартахгүйгээр , , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс зур.

Хүссэн дүрс нь цэнхэр өнгөөр будагдсан байна. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед дөрвөн булантай ийм сюрреал гурилан бүтээгдэхүүн олж авдаг.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ таслагдсан конусын эзэлхүүнийг гэж тэмдэглэе.

Дугуйлсан зургийг анхаарч үзээрэй ногоон өнгөтэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх юм бол та бас тайрсан конус авах болно, зөвхөн бага зэрэг жижиг. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулах:

Энэ тохиолдолд тайрсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох сургуулийн томъёог ашиглан шийдлийг шалгаж болох нь сонин байна.

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Перелман (өөр нэг) номноос анзаарсан хүмүүс ботьтай холбоотой хуурмаг зүйлтэй байдаг Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудал дахь хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь ердөө 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 талбайтай өрөөний эзэлхүүнтэй шингэн уудаг. метр квадрат, энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд хэвлэгдсэн тэр ном нь хошин шогийн зохиолчийн хэлснээр маш сайн хөгжиж, эх сурвалжийг хайж олохыг заадаг. стандарт бус шийдлүүдасуудлууд. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг зөвлөж байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

, , , шугамаар хязгаарлагдах хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог гэдгийг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл бэлэн интеграцийн хязгаарыг үнэндээ өгсөн. Графикийг зөв хий тригонометрийн функцууд, тухай хичээлийн материалыг эргэн санах графикийн геометрийн хувиргалт: хэрэв аргумент нь хоёрт хуваагддаг бол: , дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олох нь зүйтэй тригонометрийн хүснэгтийн дагуузургийг илүү нарийвчлалтай дуусгах. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. У тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох ажил нь бас нэлээд байнгын зочин юм. хяналтын ажил. Цаашид авч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудалхоёр дахь арга - тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх, энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийг хэрхэн олохыг танд заах болно. Энэ нь бас практик утгатай! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд болсон, ажилтнуудаа оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархал илэрхийлж байв. Энэ завшааныг ашиглан би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашиглаж байгаадаа =).

Би үүнийг хүн бүр, бүр бүрэн дамми хүртэл уншихыг зөвлөж байна. Түүнчлэн, хоёр дахь догол мөрний шингэсэн материал нь давхар интегралыг тооцоолоход үнэлж баршгүй туслах болно..

Жишээ 5

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл: Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Функц нь параболын дээд салбарыг, функц нь параболын доод салбарыг тодорхойлж байгааг харахад хялбар байдаг. Бидний өмнө "хажуу талд нь хэвтэж буй" өчүүхэн парабол байна.

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр будна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хичээл дээр авч үзсэн "ердийн" аргаар олж болно. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно.
- сегмент дээр ;
- сегмент дээр.

Тийм учраас:

Энэ тохиолдолд ердийн шийдэлд юу буруу байна вэ? Нэгдүгээрт, хоёр интеграл байна. Хоёрдугаарт, интеграл дахь үндэс, интеграл дахь үндэс нь бэлэг биш, үүнээс гадна интегралын хязгаарыг орлуулахдаа андуурч болно. Үнэн хэрэгтээ интегралууд нь мэдээжийн хэрэг үхэлд хүргэдэггүй, гэхдээ практик дээр бүх зүйл илүү гунигтай байдаг тул би даалгаврын хувьд "илүү сайн" функцуудыг сонгов.

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Товчхондоо бол "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Түүнээс гадна сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь тухайн зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Анхаарна уу: Тэнхлэгийн дагуух интеграцийн хязгаарыг тогтоох шаардлагатай хатуу доороос дээш!

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Би интеграцийг хэрхэн гүйцэтгэсэнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ бол хамгийн оновчтой арга бөгөөд даалгаврын дараагийн догол мөрөнд яагаад гэдгийг тодорхой харуулах болно.

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулах:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Тиймээс цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн дүрс нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүний үр дүнд тэнхлэгээ тойрон эргэлддэг "давган эрвээхэй" гарч ирнэ.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх болно. Эхлээд бид урвуу функцууд руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг аль хэдийн хийсэн бөгөөд өмнөх догол мөрөнд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Одоо бид толгойгоо дахин баруун тийш хазайлгаж, дүр төрхөө судалж байна. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг эзлэхүүний зөрүүгээр олох нь ойлгомжтой.

Бид улаанаар дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, үр дүнд нь таслагдсан конус үүсгэдэг. Энэ эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлж, эргэлтийн биетийн эзлэхүүнээр тэмдэглэнэ.

Манай эрвээхэйний эзэлхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьж байсан интеграцчлалын давуу тал нь үүнийг олоход илүү хялбар юм интегралыг 4-р зэрэглэлд хүргэхээс илүү.

Хариулах:

Гэсэн хэдий ч өвчтэй эрвээхэй.

Хэрэв ижил хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэвэл огт өөр эргэлтийн бие, байгалийн жамаар өөр эзэлхүүнтэй болохыг анхаарна уу.

Жишээ 6

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс , тэнхлэг өгөгдсөн .

1) Урвуу функцууд руу орж, хувьсагчийг нэгтгэн эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг ол.
2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хүссэн хүмүүс мөн зургийн талбайг "ердийн" аргаар олох боломжтой бөгөөд ингэснээр 1-р цэгийн тестийг бөглөж болно). Гэхдээ би давтан хэлэхэд, хэрэв та тэнхлэгийн эргэн тойронд хавтгай дүрсийг эргүүлбэл, та өөр эзэлхүүнтэй огт өөр эргэлтийн биеийг авах болно, дашрамд хэлэхэд, зөв хариулт (мөн шийдвэрлэх дуртай хүмүүст).

Хичээлийн төгсгөлд санал болгож буй даалгаврын хоёр зүйлийн бүрэн шийдэл.

Өө, эргэлтийн бие болон интеграцчлалыг ойлгохын тулд толгойгоо баруун тийш хазайхаа бүү мартаарай!

Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Үүнээс гадна тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох сэдвийн хамгийн чухал хэрэглээ нь эргэлтийн биеийн эзлэхүүний тооцоо. Материал нь энгийн, гэхдээ уншигч бэлтгэлтэй байх ёстой: үүнийг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагатай тодорхойгүй интегралууд дунд зэргийн нарийн төвөгтэй байх ба Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ тодорхой интеграл . Талбайг олох асуудлын нэгэн адил танд өөртөө итгэлтэй зурах ур чадвар хэрэгтэй - энэ нь бараг хамгийн чухал зүйл юм (учир нь интеграл нь өөрөө амархан байдаг). Та арга зүйн материалын тусламжтайгаар график зурах чадварлаг, хурдан техникийг эзэмших боломжтой . Гэхдээ үнэндээ би хичээл дээр зургийн ач холбогдлын талаар олон удаа ярьсан. .

Ерөнхийдөө интеграл тооцоололд маш олон сонирхолтой програмууд байдаг бөгөөд тодорхой интеграл ашиглан та дүрсийн талбай, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн, нумын урт, гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно. биеийн болон бусад олон зүйл. Тиймээс хөгжилтэй байх болно, өөдрөг байгаарай!

– x тэнхлэгийн эргэн тойронд; - y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Энэ нийтлэлд хоёуланг нь хоёуланг нь авч үзэх болно. Эргэлтийн хоёр дахь арга нь ялангуяа сонирхолтой бөгөөд энэ нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэн хэрэгтээ шийдэл нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд илүү түгээмэл эргэлттэй бараг ижил байдаг. Бонус болгон би буцаж ирнэ дүрсийн талбайг олох асуудал , мөн хоёр дахь аргаар - тэнхлэгийн дагуу талбайг хэрхэн олохыг танд хэлээрэй. Материал нь сэдэвт сайн нийцдэг тул тийм ч их урамшуулал биш юм.

Хамгийн алдартай эргэлтийн төрлөөс эхэлцгээе.

Жишээ 1

Нэг тэнхлэгийн эргэн тойронд шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Талбайг олох асуудал шиг, шийдэл нь хавтгай дүрс зурахаас эхэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тогтоодог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээх шаардлагатай. Зургийг хэрхэн илүү оновчтой, хурдан болгох талаар хуудаснаас олж болно Анхан шатны функцүүдийн график ба шинж чанарууд Тэгээд Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Энэ бол Хятадын сануулга бөгөөд би энэ мөчид зогсохгүй.

Энд байгаа зураг нь маш энгийн:

Хүссэн хавтгай дүрсийг цэнхэр өнгөөр будсан бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Эргэлтийн үр дүнд тэнхлэгт тэгш хэмтэй, бага зэрэг өндөг хэлбэртэй нисдэг таваг олж авдаг. Үнэн хэрэгтээ, бие нь математикийн нэртэй боловч лавлах номноос ямар нэг зүйлийг харахад хэтэрхий залхуу байдаг тул бид цаашаа явна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

"А" ба "байх" интеграцийн хязгаарыг хэрхэн тогтоох вэ гэдгийг би зурсан зургаас таахад хялбар гэж бодож байна.

Функц... энэ функц юу вэ? Зургийг харцгаая. Хавтгай дүрс нь дээд талын параболик графикаар хязгаарлагддаг. Энэ нь томьёонд тусгагдсан функц юм.

Практик даалгаврын хувьд хавтгай дүрсийг заримдаа тэнхлэгийн доор байрлуулж болно. Энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүй - томьёо дахь функц нь квадрат:, иймээс Хувьсгалын биеийн эзэлхүүн үргэлж сөрөг биш байдаг, энэ нь нэлээд логик юм.

Энэ томъёог ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн интеграл нь бараг үргэлж энгийн байдаг, гол зүйл бол болгоомжтой байх явдал юм.

Хариулт:

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол,,

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг өөр хоёр төвөгтэй асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

, ба шугамаар хязгаарлагдсан зургийн абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл:Зураг дээр тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тогтоодог гэдгийг мартаж болохгүй, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийг дүрсэлцгээе.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг дараах байдлаар тооцоолно биеийн эзэлхүүний зөрүү.

Эхлээд улаанаар дугуйлсан дүрсийг харцгаая. Энэ нь тэнхлэгийг тойрон эргэх үед таслагдсан конусыг олж авна. Энэ тайрсан конусын эзэлхүүнийг үүгээр тэмдэглэ.

Ногооноор дугуйлсан дүрсийг анхаарч үзээрэй. Хэрэв та энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэх юм бол та бас тайрсан конус авах болно, зөвхөн бага зэрэг жижиг. Түүний эзлэхүүнийг -ээр тэмдэглэе.

Мэдээжийн хэрэг, эзлэхүүний ялгаа нь бидний "пончик" -ийн хэмжээ юм.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид стандарт томъёог ашигладаг.

1) Улаанаар дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

2) Ногооноор дугуйлсан дүрс нь дээрээс шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тул:

3) Хүссэн эргэлтийн биеийн хэмжээ:

Хариулт:

Шийдвэрийг өөрөө ихэвчлэн богиносгодог, үүнтэй төстэй зүйл:

Одоо завсарлага аваад геометрийн хуурмаг байдлын талаар ярилцъя.

Хүмүүс ихэвчлэн ботьтой холбоотой хуурмаг төсөөлөлтэй байдаг бөгөөд үүнийг Перелман (ижил биш) номонд анзаарчээ Сонирхолтой геометр. Шийдвэрлэсэн асуудал дахь хавтгай дүрсийг хараарай - энэ нь талбайн хувьд жижиг юм шиг санагдаж, хувьсгалын биеийн эзэлхүүн нь ердөө 50 шоо нэгжээс илүү байгаа нь хэтэрхий том юм шиг санагддаг. Дашрамд хэлэхэд, дундаж хүн амьдралынхаа туршид 18 хавтгай дөрвөлжин метр талбайтай шингэнийг уудаг бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ хэтэрхий жижиг хэмжээтэй юм шиг санагддаг.

Ер нь ЗХУ-ын боловсролын систем үнэхээр хамгийн шилдэг нь байсан. Перелманы 1950 онд бичсэн тэр ном нь хошин шогийн ярьснаар маш сайн хөгжиж, асуудлын анхны стандарт бус шийдлүүдийг хайж олохыг зааж өгдөг. Саяхан би зарим бүлгийг маш их сонирхож уншсан, би үүнийг зөвлөж байна, энэ нь хүмүүнлэгийн хүмүүст ч хүртээмжтэй байна. Үгүй ээ, миний санал болгож буй хөгжилтэй зугаа цэнгэл, мэдлэг, харилцааны өргөн цар хүрээтэй байдал нь гайхалтай зүйл гэж та инээмсэглэх хэрэггүй.

Уянгын ухралт хийсний дараа бүтээлч даалгаврыг шийдэх нь зөв юм.

Жишээ 4

Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол,,.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хамтлагт бүх зүйл тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бараг бэлэн интеграцийн хязгаарыг өгсөн гэдгийг анхаарна уу. Мөн тригонометрийн функцүүдийн графикийг зөв зурахыг хичээ, хэрэв аргумент нь хоёр хуваагдвал:, дараа нь графикуудыг тэнхлэгийн дагуу хоёр удаа сунгана. Хамгийн багадаа 3-4 оноо олохыг хичээ тригонометрийн хүснэгтийн дагуу мөн зургийг илүү нарийвчлалтай болгох. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дашрамд хэлэхэд, даалгаврыг оновчтой биш харин оновчтой шийдэж болно.

Хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо

Хоёр дахь догол мөр нь эхнийхээс ч илүү сонирхолтой байх болно. У тэнхлэгийн эргэн тойрон дахь эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг тооцоолох даалгавар нь туршилтанд нэлээд олон удаа ирдэг. Цаашид авч үзэх болно дүрсийн талбайг олох асуудал хоёр дахь арга - тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх, энэ нь ур чадвараа дээшлүүлэх төдийгүй хамгийн ашигтай шийдлийг хэрхэн олохыг танд заах болно. Энэ нь бас практик утгатай! Математикийн заах аргын багш маань инээмсэглэн дурсахад олон төгсөгчид "Таны хичээл бидэнд маш их тусалсан, одоо бид үр дүнтэй менежерүүд болж, ажилтнуудаа оновчтой удирдаж байна" гэж түүнд талархаж байсан. Энэ завшааныг ашиглан би түүнд маш их талархаж байгаагаа илэрхийлж байна, ялангуяа олж авсан мэдлэгээ зориулалтын дагуу ашиглаж байгаадаа =).

Жишээ 5

,, шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс өгөгдсөн.

1) Эдгээр шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол. 2) Эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Анхаар!Хэдийгээр та зөвхөн хоёр дахь догол мөрийг уншихыг хүсч байсан ч эхлээд зайлшгүйэхнийхийг нь унш!

Шийдэл:Даалгавар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Дөрвөлжин талбайгаас эхэлье.

1) Зургийг гүйцэтгье:

Хүссэн дүрс, талбайг нь цэнхэр өнгөөр сүүдэрлэсэн байна.

Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хичээл дээр авч үзсэн "ердийн" аргаар олж болно. Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ . Түүнээс гадна, зургийн талбайг талбайн нийлбэрээр олно: - сегмент дээр ; - сегмент дээр.

Тийм учраас:

Илүү оновчтой шийдэл байдаг: энэ нь урвуу функц руу шилжих, тэнхлэгийн дагуу нэгтгэхээс бүрдэнэ.

Урвуу функц руу хэрхэн шилжих вэ? Товчхондоо бол "х"-ийг "y"-ээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Эхлээд параболыг авч үзье:

Энэ нь хангалттай, гэхдээ ижил функцийг доод мөчрөөс гаргаж авах боломжтой эсэхийг шалгацгаая:

Шулуун шугамаар бүх зүйл илүү хялбар болно:

Одоо тэнхлэгээ хараарай: тайлбарлахдаа толгойгоо үе үе баруун 90 градусаар хазайлгана уу (энэ нь хошигнол биш!). Бидэнд хэрэгтэй зураг нь улаан тасархай шугамаар тэмдэглэгдсэн сегмент дээр байрладаг. Үүний зэрэгцээ, сегмент дээр шулуун шугам нь параболын дээгүүр байрладаг бөгөөд энэ нь зургийн талбайг танд аль хэдийн танил болсон томъёог ашиглан олох ёстой гэсэн үг юм. . Томъёонд юу өөрчлөгдсөн бэ? Зөвхөн захидал, өөр юу ч биш.

! Тайлбар: Тэнхлэгийн дагуу нэгтгэх хязгаарыг тогтоох шаардлагатайхатуу доороос дээш !

Талбайг олох нь:

Тиймээс сегмент дээр:

Интеграцийн зөв эсэхэд эргэлзэж буй уншигчдын хувьд би деривативуудыг олох болно.

Анхны интегралыг олж авсан нь интеграцчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Хариулт:

2) Энэ дүрсийг тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Би зургийг арай өөр загвараар дахин зурах болно.

Бид ногооноор дугуйлсан дүрсийг тэнхлэгийн дагуу эргүүлж, үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг тодорхойлно.

Манай эрвээхэйний эзэлхүүн нь эзлэхүүний зөрүүтэй тэнцүү байна.

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Өмнөх догол мөрийн томъёоноос юугаараа ялгаатай вэ? Зөвхөн үсгээр.

Эндээс би хэсэг хугацааны өмнө ярьж байсан интеграцчлалын давуу тал нь үүнийг олоход илүү хялбар юм Интегралыг 4-р зэрэглэлд урьдчилж өсгөхөөс илүү.

Тодорхойлолт 3. Хувьсгалын бие гэдэг нь тухайн дүрстэй огтлолцохгүй, түүнтэй нэг хавтгайд байрлах хавтгай дүрсийг тэнхлэгийн дагуу эргүүлснээр олж авсан бие юм.

Эргэлтийн тэнхлэг нь тухайн зургийн тэгш хэмийн тэнхлэг бол дүрсийг огтолж болно.

Теорем 2.
, тэнхлэг
ба шулуун шугамын сегментүүд
Тэгээд

тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг
. Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно

(2)

Баталгаа. Ийм биеийн хувьд abscissa бүхий хэсэг радиустай тойрог юм
, гэсэн үг
ба томъёо (1) нь хүссэн үр дүнг өгнө.

Хэрэв зураг нь хоёр тасралтгүй функцийн графикаар хязгаарлагддаг
Тэгээд
, болон шугамын сегментүүд
Тэгээд
, үүнээс гадна
Тэгээд
, дараа нь абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэх үед бид эзэлхүүнтэй биеийг авдаг

Жишээ 3 Тойргоор хязгаарлагдсан тойргийг эргүүлснээр олж авсан торусын эзэлхүүнийг тооцоол

x тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Р шийдэл. Заасан тойрог нь доороос функцийн графикаар хязгаарлагдана
, ба түүнээс дээш -
. Эдгээр функцүүдийн квадратуудын ялгаа:

Хүссэн хэмжээ

(интегралын график нь дээд хагас тойрог тул дээр бичсэн интеграл нь хагас тойргийн талбай юм).

Жишээ 4 Суурьтай параболик сегмент
, ба өндөр , суурийн эргэн тойронд эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолно (Кавалиери "нимбэг").

Р шийдэл. Зурагт үзүүлсэн шиг параболыг байрлуул. Дараа нь түүний тэгшитгэл
, ба
. Параметрийн утгыг олъё :
. Тиймээс хүссэн хэмжээ:

Теорем 3. Тасралтгүй сөрөг бус функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецийг үзье
, тэнхлэг
ба шулуун шугамын сегментүүд
Тэгээд
, үүнээс гадна
, тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг
. Дараа нь үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор олж болно

(3)

нотлох санаа. Сегментийг хуваах
цэгүүд

, хэсгүүдэд хувааж, шулуун шугамыг зур
. Трапецийг бүхэлд нь тууз болгон задлах бөгөөд үүнийг суурьтай тэгш өнцөгт гэж үзэж болно
ба өндөр
.

Ийм тэгш өнцөгтийг эргүүлсний үр дүнд үүссэн цилиндрийг generatrix-ийн дагуу зүсэж, задалдаг. Бид хэмжээс бүхий "бараг" параллелепипед авдаг.
,
Тэгээд
. Түүний эзлэхүүн
. Тиймээс, хувьсгалын биеийн эзлэхүүний хувьд бид ойролцоогоор тэнцүү байх болно

Яг тэгш байдлыг хангахын тулд бид хязгаарыг давах ёстой
. Дээр бичсэн нийлбэр нь функцийн интеграл нийлбэр юм
, тиймээс хязгаарт бид (3) томъёоноос интегралыг олж авна. Теорем нь батлагдсан.

Тайлбар 1. 2 ба 3-р теоремуудад нөхцөл
орхигдуулж болно: томьёо (2) нь ерөнхийдөө тэмдгээр мэдрэгддэггүй
, мөн (3) томъёонд энэ нь хангалттай
-ээр сольсон
.

Жишээ 5 Параболик сегмент (суурь
, өндөр ) өндрийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл. Зурагт үзүүлсэн шиг параболыг байрлуул. Эргэлтийн тэнхлэг нь дүрсийг гаталж байгаа ч энэ нь тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Тиймээс сегментийн зөвхөн баруун талыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Параболын тэгшитгэл
, ба
, гэсэн үг
. Бидэнд эзлэхүүн байна:

Тайлбар 2. Хэрэв муруйн трапецын муруйн хилийг параметрийн тэгшитгэлээр өгвөл
,
,
Тэгээд
,
дараа нь (2) ба (3) томъёог орлуулан ашиглаж болно дээр
Тэгээд
дээр
өөрчлөгдөх үед т-аас
өмнө .

Жишээ 6 Зураг нь циклоидын эхний нумаар хязгаарлагддаг
,
,
, мөн абсцисса тэнхлэг. Энэ дүрсийг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол: 1) тэнхлэг
; 2) тэнхлэг
.

Шийдэл. 1) Ерөнхий томъёо
Манай тохиолдолд:

2) Ерөнхий томъёо
Бидний зургийн хувьд:

Бид оюутнуудыг бүх тооцоог өөрсдөө хийхийг зөвлөж байна.

Тайлбар 3. Тасралтгүй шугамаар хязгаарлагдсан муруйн сектор байг
ба туяа
,

, туйлын тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг томъёогоор тооцоолж болно.

Жишээ 7 Кардиоидоор хязгаарлагдсан дүрсийн хэсэг
, тойргийн гадна хэвтэж байна
, туйлын тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл. Хоёр шугам, тиймээс тэдгээрийн хязгаарласан дүрс нь туйлын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Тиймээс зөвхөн аль хэсгийг нь авч үзэх хэрэгтэй
. Муруйнууд нь огтлолцдог
Тэгээд

цагт
. Цаашилбал, энэ зургийг хоёр салбарын зөрүү гэж үзэж болох тул эзлэхүүнийг хоёр интегралын зөрүү гэж тооцож болно. Бидэнд байгаа:

Даалгаврууд бие даасан шийдлийн хувьд.

1. Суурь нь дугуй хэлбэртэй сегмент
, өндөр , суурийн эргэн тойронд эргэлддэг. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг ол.

2. Суурь нь эргэлтийн параболоидын эзэлхүүнийг ол , мөн өндөр нь .

3. Асроидоор хүрээлэгдсэн зураг
,
х тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Энэ тохиолдолд олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

4. Шугамаар хязгаарлагдсан зураг
Тэгээд
х тэнхлэгийг тойрон эргэлддэг. Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг ол.

Хувьсгалын хатуу биетүүдийн эзлэхүүнийг олохын тулд интеграл ашиглах

Математикийн практик ач тус нь ямар ч биш байгаатай холбоотой юм

тодорхой математикийн мэдлэг нь төхөөрөмж, ашиглалтын зарчмуудыг ойлгоход хэцүү болгодог орчин үеийн технологи. Хүн бүр амьдралынхаа туршид нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийх, түгээмэл хэрэглэгддэг төхөөрөмжийг ашиглах, лавлах номноос шаардлагатай томъёог олох, асуудлыг шийдвэрлэх энгийн алгоритмуудыг зохиох шаардлагатай болдог. IN орчин үеийн нийгэмилүү олон мэргэжил шаарддаг өндөр түвшинболовсрол нь математикийн шууд хэрэглээтэй холбоотой байдаг. Тиймээс сургуулийн сурагчдын хувьд математик нь мэргэжлийн хувьд чухал сэдэв болж хувирдаг. Алгоритм сэтгэлгээг бий болгоход математик тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн алгоритмын дагуу ажиллах, шинэ алгоритм зохиох чадварыг бий болгодог.

Хувьсгалын биетүүдийн эзэлхүүнийг тооцоолоход интеграл ашиглах сэдвийг судлахдаа би нэмэлт ангийн оюутнуудад "Интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүн" сэдвийг авч үзэхийг санал болгож байна. Энэ сэдвийг шийдвэрлэх зарим удирдамж энд байна:

1. Хавтгай дүрсийн талбай.

Алгебрийн хичээлээс харахад практик асуудлууд нь тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг бий болгосныг бид мэднэ..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" өргөн "127" өндөр "25 src=">.

y=f(x) хугархай шугам, Ox тэнхлэг, x=a, x=b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн муруйн трапецийг Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид тооцоолно. томъёогоор

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" өргөн "352" өндөр "283 src=">Y

3. Цилиндрийн эзэлхүүн.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Төв өнцөгт ABC(C=90) гурвалжинг АС хөл байрлах Үхрийн тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр конусыг олж авна.

AB сегмент нь y=kx+c шугаман дээр байрладаг бөгөөд https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> байна.

a=0, b=H (H нь конусын өндөр), дараа нь Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" гэж үзье. ">.

5. Таслагдсан конусын эзэлхүүн.

Үхрийн тэнхлэгийн эргэн тойронд ABCD (CDOx) тэгш өнцөгт трапецийг эргүүлснээр таслагдсан конусыг олж авч болно.

AB хэрчим нь y=kx+c шулуун дээр байрладаг ба энд , c=r.

Шугам нь А цэгийг дайран өнгөрдөг тул (0; r).

Тиймээс шулуун шугам нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> шиг харагдаж байна.

a=0, b=H (H нь таслагдсан конусын өндөр), дараа нь https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" гэж бичнэ. ="> = .

6. Бөмбөгний эзэлхүүн.

Бөмбөгийг x тэнхлэгийн эргэн тойронд төвтэй (0;0) тойргийг эргүүлснээр олж авч болно. X тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" өргөн "13" өндөр "16 src=">x R.

Сэдэв: "Хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тодорхой интеграл ашиглан тооцоолох"

Хичээлийн төрөл:нэгтгэсэн.

Хичээлийн зорилго:интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзэлхүүнийг тооцоолж сурах.

Даалгаварууд:

хэд хэдэн геометрийн хэлбэрээс муруйн трапецийг сонгох чадварыг нэгтгэх, муруйн трапецын талбайг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх;

гурван хэмжээст дүрсийн тухай ойлголттой танилцах;

хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолж сурах;

хөгжилд хувь нэмрээ оруулна логик сэтгэлгээ, чадварлаг математикийн яриа, зураг зурах нарийвчлал;

тухайн сэдвийн сонирхлыг төлөвшүүлэх, математикийн ойлголт, дүр төрхтэй ажиллах, эцсийн үр дүнд хүрэх хүсэл эрмэлзэл, бие даасан байдал, тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Бүлгийн мэндчилгээ. Хичээлийн зорилгыг оюутнуудад хүргэх.

Би өнөөдрийн хичээлээ сургаалт зүйрлэлээр эхэлмээр байна. “Бүхнийг мэддэг нэгэн мэргэн хүн байжээ. Мэргэн бүхнийг мэддэггүй гэдгийг нэг хүн батлахыг хүссэн юм. Тэр эрвээхэйг гартаа атган: "Мэргэн минь, надад хэлээч, аль эрвээхэй миний гарт байна: үхсэн эсвэл амьд уу?" Тэгээд тэр өөрөө: "Амьд нь хэлвэл би түүнийг ална, үхсэн нь хэлвэл би түүнийг гаргана" гэж боддог. Мэргэн бодсоны эцэст: "Бүх зүйл чиний гарт" гэж хариулав.

Иймд өнөөдрөөс эхлэн үр бүтээлтэй ажиллаж, шинэ мэдлэг хуримтлуулж, олж авсан ур чадвар, чадвараа хожим амьдрал, практик үйл ажиллагаандаа хэрэгжүүлцгээе.“Бүх зүйл таны гарт”.

II. Өмнө нь сурсан материалыг давтах.

Өмнө нь судалсан материалын гол санааг эргэн санацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид "Нэмэлт үгийг устгах" даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

(Оюутнууд нэмэлт үг хэлдэг.)

Зөв "Диференциал".Үлдсэн үгсийг нэг нийтлэг үгээр нэрлэхийг хичээ. (Интеграл тооцоо.)

Интеграл тооцоололтой холбоотой үндсэн үе шат, ойлголтуудыг санацгаая.

Даалгавар.Тасалбарыг сэргээх. (Оюутан гарч ирээд маркераар шаардлагатай үгсийг бичнэ.)

Тэмдэглэлийн дэвтэр дээр ажиллах.

Ньютон-Лейбницийн томьёог Английн физикч Исаак Ньютон (1643-1727), Германы гүн ухаантан Готфрид Лейбниц (1646-1716) нар боловсруулсан. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь математик бол байгалиасаа ярьдаг хэл юм.

Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд энэ томъёог хэрхэн ашигладаг талаар авч үзье.

Жишээ 1: Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл:Координатын хавтгай дээр функцүүдийн графикийг байгуулъя . Олдох зургийн талбайг сонгоно уу.

III. Шинэ материал сурах.

Дэлгэц дээр анхаарлаа хандуулаарай. Эхний зурган дээр юу харагдаж байна вэ? (Зураг нь хавтгай дүрсийг харуулж байна.)

Хоёр дахь зураг дээр юу харагдаж байна вэ? Энэ зураг тэгш үү? (Зураг нь гурван хэмжээст дүрсийг харуулж байна.)

Сансарт, дэлхий дээр, дотор Өдөр тутмын амьдралБид зөвхөн хавтгай дүрсүүдтэй төдийгүй гурван хэмжээст дүрсүүдтэй уулздаг, гэхдээ ийм биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Жишээ нь: гариг, сүүлт од, солир гэх мэт эзэлхүүн.

Тэд байшин барих, нэг савнаас нөгөөд ус асгахдаа эзлэхүүнийг боддог. Эзлэхүүнийг тооцоолох дүрэм, арга бий болох ёстой байсан бол өөр нэг зүйл бол тэдгээр нь хэр үнэн зөв, үндэслэлтэй байсан юм.

1612 он тухайн үеийн алдарт одон орон судлаач Иоганнес Кеплерийн амьдарч байсан Австрийн Линц хотын оршин суугчдын хувьд, ялангуяа усан үзмийн хувьд маш үр өгөөжтэй жил байв. Хүмүүс дарсны торх бэлтгэж, түүний хэмжээг хэрхэн бодитоор тодорхойлохыг мэдэхийг хүсч байв.

Ийнхүү Кеплерийн авч үзсэн бүтээлүүд нь судалгааны бүхэл бүтэн урсгалын эхлэлийг тавьсан бөгөөд төгсгөлд нь хүрсэн сүүлийн улирал 17-р зуун I. Newton, G.V нарын бүтээлүүд дэх дизайн. Лейбницийн дифференциал ба интегралын тооцоо. Тэр цагаас хойш хэмжигдэхүүн хувьсагчийн математик нь математикийн мэдлэгийн системд тэргүүлэх байр суурийг эзэлсээр ирсэн.

Тиймээс өнөөдөр бид ийм практик үйл ажиллагаанд оролцох болно, тиймээс,

Бидний хичээлийн сэдэв: "Тодорхой интеграл ашиглан хувьсгалын биетүүдийн эзлэхүүнийг тооцоолох."

Та дараах даалгаврыг гүйцэтгэснээр хувьсгалын биетийн тодорхойлолтыг сурах болно.

"Лабиринт".

Даалгавар.Төөрөгдөлтэй нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж, тодорхойлолтыг бич.

IVЭзлэхүүнийг тооцоолох.

Тодорхой интеграл ашиглан та биеийн эзэлхүүнийг, тухайлбал, эргэлтийн биеийг тооцоолж болно.

Муруйн трапецийг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан биеийг эргэлтийн бие гэнэ (Зураг 1, 2).

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг томъёоны аль нэгээр нь тооцоолно:

1. x тэнхлэгийн эргэн тойронд.

2. , хэрэв муруйн трапецын эргэлт y тэнхлэгийн эргэн тойронд.

Сурагчид үндсэн томъёог дэвтэрт бичдэг.

Багш самбар дээрх жишээнүүдийн шийдлийг тайлбарлана.

1. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын у тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Шийдэл.

Хариулт: 1163 см3.

2. Парабол трапецийг абсцисса тэнхлэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол. y = , x = 4, y = 0.

Шийдэл.

В. Математикийн симулятор.

2. Өгөгдсөн функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг нэрлэнэ

ГЭХДЭЭ) тодорхойгүй интеграл,

B) функц,

B) ялгах.

7. Шулуунаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг ол.

Д/З. Шинэ материалыг засах

Дэлбээний х тэнхлэгийг тойрон эргэснээр үүссэн биеийн эзэлхүүнийг тооцоол y=x2, y2=x.

Функцийн графикуудыг зуръя. y=x2, y2=x. y2 = x графикийг y = хэлбэрт шилжүүлнэ.

Бидэнд V = V1 - V2 байна. Функц бүрийн эзлэхүүнийг тооцоолъё:

Гаралт:

Тодорхой интеграл нь практик агуулгын асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй хувь нэмэр оруулдаг математикийн судалгааны нэг төрлийн суурь юм.

"Интеграл" сэдэв нь математик ба физик, биологи, эдийн засаг, технологийн хоорондын уялдаа холбоог тодорхой харуулж байна.

Хөгжил орчин үеийн шинжлэх ухаанинтегралыг ашиглахгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй. Үүнтэй холбогдуулан дунд мэргэжлийн боловсролын хүрээнд үүнийг судалж эхлэх шаардлагатай байна!

VI. Дүгнэлт.(Тайлбарын хамт.)

Агуу Омар Хайям - математикч, яруу найрагч, гүн ухаантан. Тэрээр хувь заяаныхаа эзэн байхыг уриалдаг. Түүний бүтээлээс эш татсан хэсгийг сонсоно уу:

Чи энэ амьдралыг хоромхон зуур гэж хэлдэг.
Үүнийг үнэлж, түүнээс урам зориг аваарай.
Үүнийг зарцуулах тусам энэ нь өнгөрөх болно.
Бүү март: тэр бол таны бүтээл.

Онлайнаар шугамаар хязгаарлагдсан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг ол. Тодорхой интеграл ашиглан эргэлтийн биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ

тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоотэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс

Эргэлтийн үед үүссэн биеийн эзэлхүүний тооцоо
тэнхлэгийг тойрсон хавтгай дүрс