Хязгаарлагдмал хэлбэрийн талбайг онлайнаар тооцоол. Тодорхой интеграл. Хэлбэрийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Асуудлын дугаар 3. Зургийг зурж, шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхэд нэгдсэн хэрэглээ

Талбайг тооцоолох

Үргэлжилсэн сөрөг бус функцийн тодорхой интеграл f (x) нь тоон хувьд тэнцүү байна y = f (x) муруйгаар хязгаарлагдсан муруй трапецын талбай, O x тэнхлэг ба x = a ба x = b шулуун шугамууд. Үүний дагуу талбайн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Хавтгай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох зарим жишээг авч үзье.

Бодлого No1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн талбайг тооцоол.

Шийдэл.Талбайг нь тооцоолох шаардлагатай дүрсийг бүтээцгээе.

y = x 2 + 1 нь салбарууд нь дээшээ чиглэсэн парабол бөгөөд парабол нь O y тэнхлэгтэй харьцуулахад нэг нэгжээр дээш шилждэг (Зураг 1).

Зураг 1. y = x 2 + 1 функцийн график

Бодлогын дугаар 2. 0-ээс 1 хүртэлх зайд y = x 2 - 1, y = 0 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн талбайг тооцоол.

Шийдэл.Энэ функцийн график нь дээшээ чиглэсэн салбар парабол болох ба парабол нь O y тэнхлэгтэй харьцуулахад нэг нэгжээр доошоо шилжсэн байна (Зураг 2).

Зураг 2. y = x 2 - 1 функцийн график

Асуудлын дугаар 3. Зургийг зурж, шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

y = 8 + 2x - x 2 ба y = 2x - 4.

Шийдэл.Эдгээр хоёр шугамын эхнийх нь х 2 дахь коэффициент нь сөрөг, хоёр дахь шугам нь хоёр координатын тэнхлэгийг огтолж буй шулуун шугам тул салбарууд нь доош чиглэсэн парабол юм.

Парабол барихын тулд түүний оройн координатыг олно: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - оройн абсцисса; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 нь түүний ординат, N (1; 9) нь орой юм.

Одоо бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар парабол ба шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олох болно.

Тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлэх, зүүн тал нь тэнцүү байна.

Бид 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 эсвэл x 2 - 12 = 0-ийг авдаг. .

Тиймээс цэгүүд нь парабол ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд юм (Зураг 1).

Зураг 3 y = 8 + 2x - x 2 ба y = 2x - 4 функцын графикууд

y = 2x - 4 шулуун шугамыг байгуулъя. Энэ нь координатын тэнхлэгүүдийн (0; -4), (2; 0) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг.

Параболыг бүтээхийн тулд та түүний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдтэй байж болно, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн язгуур 8 + 2x - x 2 = 0 эсвэл x 2 - 2x - 8 = 0. Виетийн теоремоор бол амархан. түүний үндсийг олохын тулд: x 1 = 2, x 2 = 4.

Зураг 3-т эдгээр шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг (параболик сегмент M 1 N M 2) үзүүлэв.

Даалгаврын хоёр дахь хэсэг бол энэ зургийн талбайг олох явдал юм. Түүний талбайг томъёогоор тодорхой интеграл ашиглан олж болно .

Энэ нөхцлийн хувьд бид интегралыг олж авна.

2 Хувьсгалын биеийн эзэлхүүний тооцоо

O x тэнхлэгийг тойрон y = f (x) муруйг эргүүлснээр олж авсан биеийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

O y тэнхлэгийг тойрон эргэх үед томъёо нь дараах байдалтай байна.

Асуудлын дугаар 4. O x тэнхлэгийн эргэн тойронд x = 0 x = 3 шулуун ба y = муруйн шугамаар хүрээлэгдсэн муруй трапецын эргэлтээс олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тодорхойл.

Шийдэл.Зураг бүтээцгээе (Зураг 4).

Зураг 4. y = функцийн график

Шаардлагатай хэмжээ нь

Асуудлын дугаар 5. O y тэнхлэгийг тойрон y = x 2 муруй ба y = 0, y = 4 шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруй трапецын эргэлтээс олж авсан биеийн эзэлхүүнийг тооцоол.

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Хяналтын асуултууд

Бид давхар интегралыг тооцоолох бодит үйл явцыг авч үзэж, түүний геометрийн утгатай танилцаж эхэлдэг.

Давхар интеграл нь хавтгай дүрсийн талбайтай (интегралын бүс) тоон хувьд тэнцүү байна. Энэ нь хоёр хувьсагчийн функц нэгтэй тэнцүү байх үед давхар интегралын хамгийн энгийн хэлбэр юм.

Эхлээд асуудлыг ерөнхийд нь авч үзье. Энэ нь үнэхээр энгийн болохыг та одоо гайхах болно! Шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолъё. Тодорхой байхын тулд бид сегмент дээр үүнийг таамаглаж байна. Энэ зургийн талбай нь тоон хувьд тэнцүү байна:

Зурган дээрх талбайг зурцгаая.

Талбайг туулах эхний аргыг сонгоцгооё:

Энэ замаар:

Тэгээд тэр даруй чухал техникийн заль мэх: давтагдсан интегралуудыг тусад нь авч үзэж болно... Эхлээд дотоод интеграл, дараа нь гаднах интеграл. Энэ аргыг цайны аяганы сэдвээр эхлэгчдэд зөвлөж байна.

1) Бид дотоод интегралыг тооцдог бол интеграл нь "тоглоом" хувьсагч дээр хийгддэг.

Тодорхой бус интеграл энд хамгийн энгийн бөгөөд дараа нь энгийн Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигласан бөгөөд цорын ганц ялгаа нь: Интеграцийн хязгаар нь тоо биш, харин функцууд юм... Нэгдүгээрт, дээд хязгаарыг "тоглоом" (эсрэг үүсмэл функц), дараа нь доод хязгаарыг сольсон.

2) Эхний догол мөрөнд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулах ёстой:

Бүх шийдлийн илүү нягт нямбай бичлэг дараах байдалтай байна.

Үр дүнгийн томъёо Энэ бол "ердийн" тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох ажлын томъёо юм! Хичээлээ үзээрэй Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох, тэр эргэлт бүрт байдаг!

Тэр бол, давхар интеграл ашиглан талбайг тооцоолох бодлого нэг их ялгаатай биштодорхой интеграл ашиглан талбайг олох бодлогоос!Үнэндээ тэд ижил зүйл юм!

Үүний дагуу ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй! Та үнэндээ энэ даалгавартай олон удаа тулгарч байсан тул би тийм ч олон жишээ авч үзэхгүй.

Жишээ 9

Шийдэл:Зурган дээрх талбайг зурцгаая.

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Эхний догол мөрөнд маш нарийвчилсан тайлбарыг өгсөн тул би цаашид газар нутгийг хэрхэн яаж хийх талаар ярихгүй.

Энэ замаар:

Өмнө дурьдсанчлан, эхлэгчдэд давтагдсан интегралыг тусад нь тооцоолох нь дээр бөгөөд би ижил аргыг баримтлах болно.

1) Нэгдүгээрт, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид дотоод интегралыг авч үздэг.

2) Эхний алхамд олж авсан үр дүнг гадаад интегралд орлуулна.

2-р цэг нь тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг олох явдал юм.

Хариулт:

Энд ийм тэнэг, гэнэн даалгавар байна.

Бие даасан шийдлийн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 10

Давхар интеграл ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

9-10-р жишээнд талбайг туулах эхний аргыг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг; сониуч уншигчид, дашрамд хэлэхэд, аяллын дарааллыг өөрчилж, талбайг хоёр дахь аргаар тооцоолох боломжтой. Хэрэв та алдаа гаргахгүй бол мэдээжийн хэрэг тухайн газруудын ижил утгатай байх болно.

Гэхдээ хэд хэдэн тохиолдолд энэ газрыг тойрч гарах хоёрдахь арга нь илүү үр дүнтэй байдаг бөгөөд залуу тэнүүлчийн хичээлийн төгсгөлд энэ сэдвээр хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 11

Давхар интеграл ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл:Бид нэг талд байрлах хачирхалтай хоёр параболыг тэсэн ядан хүлээж байна. Та инээмсэглэх шаардлагагүй, олон интеграл дахь ижил төстэй зүйлүүд нийтлэг байдаг.

Зураг зурах хамгийн хялбар арга юу вэ?

Бид параболыг хоёр функц хэлбэрээр төлөөлдөг.
- дээд салбар ба - доод салбар.

Үүний нэгэн адил бид параболыг дээд ба доод хэлбэрээр илэрхийлдэг салбарууд.

Дараа нь нэг цэгийн графикийн дүрмүүд, үүний үр дүнд ийм хачирхалтай дүрс гарч ирдэг.

Давхар интеграл ашиглан зургийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв бид энэ газрыг туулах эхний замыг сонговол юу болох вэ? Нэгдүгээрт, энэ талбайг хоёр хэсэгт хуваах хэрэгтэй. Хоёрдугаарт, бид маш гунигтай дүр зургийг ажиглах болно. ... Интеграл нь мэдээжийн хэрэг хэт төвөгтэй түвшин биш, гэхдээ ... эртний математикийн зүйр үг байдаг: үндэстэй нөхөрсөг хүмүүст тест хэрэггүй.

Тиймээс, нөхцөл дэх буруу ойлголтоос бид урвуу функцийг илэрхийлнэ.

Энэ жишээн дээрх урвуу функцууд нь параболыг бүхэлд нь навч, царс, мөчир, үндэсгүйгээр нэг дор байрлуулдгаараа давуу талтай.

Хоёрдахь аргын дагуу талбайг туулах нь дараах байдалтай байна.

Энэ замаар:

Тэдний хэлснээр ялгааг мэдэр.

1) Дотоод интегралтай харьцах:

Үр дүнг гадаад интегралд орлуулна уу:

"Игрек" хувьсагчтай холбоотой интеграци нь ичмээр зүйл биш байх ёстой, хэрэв "siu" үсэг байсан бол түүн дээр нэгтгэх нь маш сайн байх болно. Хичээлийн хоёр дахь догол мөрийг хэн уншсан ч гэсэн Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэр "тоглоом" -ын дагуу интеграцид өчүүхэн ч эвгүй байдалд орохоо больсон.

Мөн эхний алхамд анхаарлаа хандуулаарай: интеграл нь тэгш, интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй байна. Тиймээс сегментийг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой. Энэ техникийг хичээл дээр нарийвчлан тайлбарласан болно. Тодорхой интегралыг тооцоолох үр дүнтэй аргууд.

Юу нэмэх вэ... Бүх зүйл!

Хариулт:

Интеграцийн техникээ шалгахын тулд та тооцоолж болно ... Хариулт нь яг адилхан байх ёстой.

Жишээ 12

Давхар интегралыг ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Сонирхолтой нь, хэрэв та талбайг туулах эхний аргыг ашиглахыг оролдвол зургийг хоёр биш, харин гурван хэсэгт хуваах шаардлагатай болно! Үүний дагуу та гурван хос давтагдсан интеграл авах болно. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог.

Мастер анги дуусч, их мастерын түвшинд шилжих цаг болжээ. Давхар интегралыг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдлийн жишээ... Хоёрдахь нийтлэлдээ тийм их маньяк болохгүйг хичээх болноо =)

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл: Талбайг зурцгаая зураг дээр:

Бүс нутгийг туулах дараах дарааллыг сонгоцгооё.

Энэ замаар:
Урвуу функцууд руу шилжье:

Энэ замаар:
Хариулт:

Жишээ 4:Шийдэл: Шууд функцууд руу шилжье:

Зургийг гүйцэтгье:

Талбайг туулах дарааллыг өөрчилье:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг шаардагдахгүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү тулгамдсан асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын санах ойг сэргээж, ядаж шулуун шугам, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Муруйн трапец гэдэг нь тэнхлэг, шулуун шугам, энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй сегмент дээрх тасралтгүй функцын графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага бишабсцисса тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна... Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд зарим дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгээс дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн томъёолол юм. Шийдлийн эхний бөгөөд хамгийн чухал цэг бол зургийн барилгын ажил юм... Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зураг зуръя (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Даалгаврыг дуусгасны дараа зураг төслийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг тооцоолох нь үргэлж тустай байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - за, 9 орчим нь бичигдэх болно, энэ нь үнэн юм шиг харагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - авч үзэж буй зураг нь 20 нүд, хамгийн ихдээ арван нүдэнд тохирохгүй байна. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн байна.

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зургийг гүйцэтгье:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн дор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая авч үзсэн томъёонд хасах тэмдэг гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлуудаас бид илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид тухайн талбай дээрх асуудлын зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабол болон шугамын огтлолцох цэгүүдийг ол. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга бол аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Эндээс интеграцийн доод хязгаар, интеграцийн дээд хязгаар.

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Интеграцийн хил хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болж байхад шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан юм. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийн бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Бидний асуудал руу буцах нь: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зургийг гүйцэтгье:

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр ямар нэг тасралтгүй функц түүнээс их буюу тэнцүүТасралтгүй функцүүдийн тоо, дараа нь эдгээр функцүүдийн график ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, ДЭЭД БАЙДАЛ ямар хуваарь байгаа нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Шаардлагатай дүрс нь дээд талд нь парабол, доод талд нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Жишээ 4

,,, шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зургийг гүйцэтгье:

Бидний олох ёстой талбайг цэнхэр өнгөөр будсан байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг нь юугаар хязгаарлагдаж байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гажиг" гарч ирдэг бөгөөд та ногоон өнгөөр сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй болдог!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас хэрэгтэй.

Үнэхээр:

1) Шугаман график нь тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр байрладаг;

2) Гиперболын график нь тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр байрладаг.

Талбайг нэмж оруулах боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Энэ нийтлэл нь интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг хэрхэн олохыг харуулах болно. Тодорхой интегралын судалгаа дөнгөж дуусч, практик дээр олж авсан мэдлэгийнхээ геометрийн тайлбарыг эхлүүлэх цаг болсон үед бид ахлах сургуульд ийм бодлого боловсруулахтай анх удаа таарч байна.

Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхэд юу шаардлагатай вэ:

Зургийг чадварлаг бүтээх чадвартай;
Ньютон-Лейбницийн сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхой интегралыг шийдвэрлэх чадвар;
Илүү ашигтай шийдлийг "харах" чадвар, өөрөөр хэлбэл, Энэ эсвэл тэр тохиолдолд интеграцчлалыг явуулах нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгохын тулд? x тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
За, зөв тооцоололгүйгээр хаана байна вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

1. Бид зураг зурдаг. Үүнийг том хэмжээтэй торонд цаасан дээр хийхийг зөвлөж байна. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. Графикийн гарын үсэг нь зөвхөн цаашдын тооцоолол хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь шууд харагдах болно. Тиймээс бид асуудлыг графикаар шийддэг. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.

2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол бид графикуудын бие биетэйгээ огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэл аналитик шийдэлтэй давхцаж байгаа эсэхийг харна.

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран зургийн талбайг олох янз бүрийн арга байдаг. Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох янз бүрийн жишээг авч үзье.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. (y = 0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б... Түүнээс гадна, энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд абсцисса тэнхлэгийн доор байрладаггүй. Энэ тохиолдолд муруйн трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Дүрсийг хязгаарласан шугамууд юу вэ? Бидэнд парабол байна y = x2 - 3x + 3тэнхлэгээс дээш байрладаг Өө, энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд эерэг байна. Цаашилбал, шулуун шугамууд x = 1болон x = 3тэнхлэгтэй параллель гүйдэг OU, зүүн ба баруун талд байгаа дүрсийг хязгаарлах шугамууд юм. За y = 0, энэ нь х тэнхлэг бөгөөд дүрсийг доороос нь хязгаарладаг. Үүссэн хэлбэр нь зүүн талын зурган дээр харагдаж байгаа шиг сүүдэртэй байна. Энэ тохиолдолд та тэр даруй асуудлыг шийдэж эхлэх боломжтой. Бидний өмнө муруй шугаман трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд бид үүнийг Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.

3.2. Өмнөх 3.1-д бид муруй шугаман трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. Ньютон-Лейбницийн стандарт томьёонд хасах нь нэмэгддэг. Үүнтэй төстэй асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид цаашид авч үзэх болно.

Жишээ 2 ... Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Энэ жишээнд бид парабола байна y = x2 + 6x + 2тэнхлэгийн доороос үүсдэг Өө, Чигээрээ x = -4, x = -1, y = 0... Энд y = 0дээрээс хүссэн хэлбэрээ хязгаарлана. Шууд x = -4болон x = -1Эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь жишээний дугаар 1-тэй бараг бүрэн давхцаж байна. Ганц ялгаа нь өгөгдсөн функц эерэг биш бөгөөд интервал дээр үргэлжилсээр байна. [-4; -1] ... Ямар эерэг гэсэн үг биш вэ? Зургаас харахад заасан x-ийн дотор байгаа зураг нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд нь хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл бүрэн бус байна.

Тодорхой интеграл. Хэлбэрийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Одоо бид интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзэх болно. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно. - тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг хэрхэн тооцоолох... Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бид энгийн функцээр хотын захын бүсийг амьдралд ойртуулж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлтэй танилцах хэрэгтэй Үгүй ээ.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээр тодорхой интегралтай халуун дотно нөхөрлөлийг бий болгож чадна Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг шаардагдахгүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар илүү тулгамдсан асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын санах ойг сэргээж, ядаж шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг арга зүйн материал, графикийн геометрийн хувиргалтуудын тухай өгүүллийн тусламжтайгаар хийж болно (олон хүнд хэрэгтэй).

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох асуудлыг сургуулиасаа хойш хүн бүр мэддэг бөгөөд бид сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс нэг их хол явахгүй. Энэ нийтлэл огт байхгүй байж магадгүй ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан дээд математикийн хичээлийг эзэмших хүсэл тэмүүллээр үзэн ядагдсан цамхагт зовж шаналж байх үед асуудал гардаг.

Энэхүү семинарын материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан болно.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй трапецтэнхлэг, шулуун шугам, сегмент дээрх тасралтгүй функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага бишабсцисса тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна... Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБи тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо бас нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд зарим дүрсийн талбайтай тохирч байна... Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгээс дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг хийхийг зөвлөж байна. эхлээдбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгийн дагуу, нэг цэгийн барилгын техникийг лавлах материалаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд... Тэнд та манай хичээлтэй холбоотой маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан барих вэ.

Би муруй трапецийг гаргахгүй, энд бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэхэд хүндрэлтэй байгаа хүмүүс , лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Жишээ 2

Шугаман болон тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн дор?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зургийг гүйцэтгье:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн дор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

Жишээ 4

Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Эндээс интеграцийн доод хязгаар, интеграцийн дээд хязгаар.
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Интеграцийн хил хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болж байхад шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан юм. Төрөл бүрийн диаграммд зориулж цэг тус бүрээр зурах арга техникийг тусламжид нарийвчлан авч үзсэн болно. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд... Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийн бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Бидний асуудал руу буцах нь: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зургийг гүйцэтгье:

Цэгтэй барилгын хувьд интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автомат" олж мэддэг гэдгийг би давтан хэлье.

Шийдлийг дуусгах нь дараах байдалтай байж болно.

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. ... Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн тул функцийн график байрладаг өндөр биштэгвэл тэнхлэг

Одоо өөрийгөө шийдэх хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Зургийн шугамаар хүрээлэгдсэн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэх явцад заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоолол зөв, гэхдээ анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ... буруу зургийн талбай олдлоо, таны даруухан зарц хэд хэдэн удаа ингэж мулталлаа. Энд бодит амьдрал дээр тохиолдсон тохиолдол байна:

Жишээ 7

,,, шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зургийг гүйцэтгье:

...Ээ, муухай зураг гарч ирсэн ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас хэрэгтэй. Үнэхээр:

1) Шугаман график нь тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр байрладаг;

2) Гиперболын график нь тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр байрладаг.

Талбайг нэмж оруулах боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руу орцгооё.

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургуулийн" хэлбэрээр төлөөлүүлье, бид цэгэн зургийг гүйцэтгэнэ.

Манай дээд хязгаар "сайн" байгаа нь зурагнаас харагдаж байна:.
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ аль нь вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна, энэ нь магадгүй юм. Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг огт буруу зурсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар интеграцийн хязгаарыг сайжруулах хэрэгтэй.

Шугаман ба параболын огтлолцох цэгүүдийг ол.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн бөгөөд гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй, тооцоолол нь энд хамгийн хялбар биш юм.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлийн төгсгөлд бид өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзэх болно.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,

Шийдэл: Энэ дүрсийг зурган дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартсан, гэхдээ зургийг дахин хийх гэж уучлаарай, hotts биш. Зураг зурахгүй, товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Цэг бүрээр барихын тулд та синусоидын дүр төрхийг мэдэх хэрэгтэй (мөн ерөнхийдөө үүнийг мэдэх нь ашигтай байдаг. бүх энгийн функцүүдийн графикууд), түүнчлэн зарим синус утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт... Хэд хэдэн тохиолдолд (үүнтэй адил) бүдүүвч зураг зурахыг зөвшөөрдөг бөгөөд үүнд график, интеграцийн хязгаарыг зарчмын хувьд зөв харуулах ёстой.

Интеграцийн хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөлөөс шууд дагаж мөрддөг: - "x" нь тэгээс "pi" болж өөрчлөгддөг. Бид нэмэлт шийдвэр гаргадаг:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул: