Интеграци хэсэгчлэн- нэг интеграл нь амархан интегралдах, нөгөө нь дифференциалагдах үед тодорхой ба тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэх арга. Тодорхой бус ба тодорхой интегралыг олох нэлээд түгээмэл арга. Үүнийг ашиглах шаардлагатай үед гол тэмдэг нь хоёр функцийн үржвэрээс бүрдэх тодорхой функц бөгөөд үүнийг нэгтгэж болохгүй.

Томъёо

Энэ аргыг амжилттай ашиглахын тулд та томъёог задлан шинжилж сурах хэрэгтэй.

Тодорхой бус интеграл дахь хэсгүүдээр интеграцийн томъёо:

$$ \ int udv = uv - \ int vdu $$

Тодорхой интегралд хэсгүүдээр интегралдах томъёо:

$$ \ int \ limits_ (a) ^ (b) udv = uv \ bigg | _ (а) ^ (б) - \ int \ limits_ (a) ^ (б) vdu $$

Шийдлийн жишээ

Туршилтын материалд багш нарын санал болгодог хэсгүүдээр нэгтгэх шийдлүүдийн жишээг практик дээр авч үзье. Интеграл тэмдгийн дор хоёр функцийн үржвэр байгааг анхаарна уу. Энэ нь өгөгдсөн арга нь шийдэлд тохиромжтой гэдгийг харуулж байна.

Жишээ 1

$ \ int xe ^ xdx $ интегралыг ол

Шийдэл

Интеграл нь хоёр функцээс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн нэг нь ялгах үед шууд нэгж болж хувирдаг, нөгөө нь амархан нэгтгэгддэг болохыг бид харж байна. Интегралыг шийдэхийн тулд бид хэсгүүдээр интегралдах аргыг ашиглана. $ u = x \ rightarrow du = dx $ ба $ dv = e ^ x dx \ баруун сум v = e ^ x $ тавина. Олдсон утгыг эхний интеграцийн томьёонд орлуулж, дараахийг авна уу: $$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - \ int e ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь кредит авахад тусална!

Хариулах

$$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$

Жишээ 4

Интегралыг үнэлэх $ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx $

Шийдэл

Өмнөх шийдэгдсэн жишээнүүдийн адилаар бид ямар функцийг асуудалгүйгээр нэгтгэх, алийг нь ялгахыг олж мэдэх болно. Хэрэв бид $ (x + 5) $-г ялгах юм бол энэ илэрхийлэл автоматаар нэг болж хувирах бөгөөд энэ нь бидэнд сайн байх болно гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс бид үүнийг хийдэг: $$ u = x + 5 \ баруун сум du = dx, dv = 3 ^ x dx \ баруун сум v = \ frac (3 ^ x) (ln3) $$ Одоо бүх үл мэдэгдэх функцууд олдсон бөгөөд тэдгээрийг тодорхой интегралын хэсгүүдээр хоёр дахь интегралын томъёонд оруулж болно. $$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = (x + 5) \ frac (3 ^ x) (\ ln 3) \ bigg | _0 ^ 1 - \ int \ limits_0 ^ 1 \ frac (3 ^ x dx) (\ ln 3) = $$ $$ = \ frac (18) (\ ln 3) - \ frac (5) (\ ln 3) - \ frac (3 ^ x) (\ ln ^ 2 3) \ том | _0 ^ 1 = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (3) (\ ln ^ 2 3) + \ frac (1) (\ ln ^ 2 3) = \ frac (13) (\ ln 3) ) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Хариулах

$$ \ int \ limits_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Комплекс интеграл

Энэ нийтлэл нь тодорхойгүй интегралын сэдвийг дүүргэж, надад нэлээд хэцүү гэж үзсэн интегралуудыг багтаасан болно. Хичээлийг илүү хэцүү жишээнүүдийг сайт дээр задлан шинжлэхийг хүсч байгаагаа илэрхийлсэн зочдын давтан хүсэлтийн дагуу бүтээсэн.

Энэ бичвэрийг уншигч сайн бэлтгэгдсэн, нэгтгэх үндсэн арга техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг гэж үздэг. Дамми болон интегралын талаар тийм ч итгэлтэй биш хүмүүс хамгийн эхний хичээлд хандах хэрэгтэй - Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ, та сэдвийг эхнээс нь практикт эзэмших боломжтой. Илүү туршлагатай оюутнууд миний нийтлэлд хараахан гараагүй байгаа нэгтгэх арга, аргуудтай танилцаж болно.

Ямар интегралуудыг авч үзэх вэ?

Нэгдүгээрт, бид шийдэлд дараалан ашигладаг үндэстэй интегралуудыг авч үзэх болно хувьсах солихболон хэсгүүдээр нэгтгэх... Өөрөөр хэлбэл, нэг жишээнд хоёр техникийг нэгэн зэрэг хослуулсан болно. Тэгээд бүр илүү.

Дараа нь бид сонирхолтой, эх сурвалжтай танилцах болно интегралыг өөртөө багасгах арга... Интеграл ийм байдлаар шийдэгддэггүй.

Хөтөлбөрийн гурав дахь дугаар нь өмнөх нийтлэлүүд дээр гарч байсан нийлмэл бутархайн интеграл руу орох болно.

Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нэмэлт интегралд дүн шинжилгээ хийнэ. Ялангуяа цаг хугацаа их шаарддаг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх аргууд байдаг.

(2) Интегралд бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана.

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Сүүлчийн интегралд нэн даруй Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.

(4) Үлдсэн интегралуудыг авна. Учир нь модуль биш, харин логарифмд хаалт хэрэглэж болно гэдгийг анхаарна уу.

(5) Бид урвуу орлуулалтыг хийж, "te" шууд орлуулалтаас илэрхийлнэ:

Масохист оюутнууд хариултаа ялгаж, миний хийсэн шиг анхны интегралыг гаргаж чадна. Үгүй ээ, би шалгалтыг зөв утгаар нь хийсэн =)

Таны харж байгаагаар шийдлийн явцад хоёроос илүү шийдлийн аргыг ашиглах шаардлагатай байсан тул ийм интегралтай харьцахын тулд хамгийн бага туршлага биш өөртөө итгэлтэй интеграцийн ур чадвар шаардагдана.

Практикт мэдээжийн хэрэг квадрат язгуур илүү түгээмэл байдаг тул бие даасан шийдлийн гурван жишээ энд байна.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол

Эдгээр жишээнүүд нь ижил төрлийнх тул өгүүллийн төгсгөлд байгаа бүрэн шийдэл нь зөвхөн 2-р жишээ, 3-4-р жишээнд нэг хариулт байх болно. Шийдлүүдийн эхэнд аль орлуулалтыг ашиглах нь ойлгомжтой гэж бодож байна. Би яагаад ижил төрлийн жишээг авсан юм бэ? Тэд ихэвчлэн дүрээрээ уулздаг. Илүү олон удаа, магадгүй, зүгээр л нэг зүйл .

Гэхдээ үргэлж биш, шугаман функцын үндэс нь артангенс, синус, косинус, экспонент болон бусад функцүүдийн доор олдвол хэд хэдэн аргыг нэгэн зэрэг хэрэглэх шаардлагатай болдог. Хэд хэдэн тохиолдолд "амархан буух" боломжтой, өөрөөр хэлбэл орлуулсны дараа шууд энгийн интегралыг олж авдаг бөгөөд үүнийг энгийн аргаар авч болно. Дээр санал болгож буй ажлуудын хамгийн хялбар нь 4-р жишээ бөгөөд үүнийг орлуулсны дараа харьцангуй энгийн интегралыг олж авдаг.

Интегралыг өөртөө багасгах замаар

Ухаалаг, үзэсгэлэнтэй арга. Нэн даруй энэ төрлийн сонгодог бүтээлүүдийг харцгаая.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор квадрат binomial байдаг бөгөөд энэ жишээг нэгтгэх гэж оролдох үед данх хэдэн цагийн турш зовж шаналж болно. Ийм интегралыг хэсэг хэсгээр нь авч, өөртөө багасгадаг. Зарчмын хувьд хэцүү биш. Хэрэв та яаж гэдгийг мэддэг бол.

Харж байгаа интегралыг латин үсгээр тэмдэглээд шийдлийг эхлүүлье.

Бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг:

(1) Нэр томьёо хуваах интеграл функцийг бэлтгэ.

(2) Бид интегралыг нэр томъёогоор хуваана. Магадгүй хүн бүр ойлгодоггүй байх, би илүү дэлгэрэнгүй бичих болно.

(3) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг.

(4) Сүүлийн интегралыг ("урт" логарифм) ав.

Одоо бид шийдлийн эхэн үеийг харж байна:

Тэгээд эцэст нь:

Юу болсон бэ? Бидний заль мэхний үр дүнд интеграл өөрөө багассан!

Эхлэл ба төгсгөлийг тэнцүүлж үзье:

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр зүүн тийш шилжинэ:

Мөн бид дэнжийг баруун талд нь авч явдаг. Үр дүнд нь:

Тогтмол, хатуухан хэлэхэд өмнө нь нэмэх ёстой байсан ч төгсгөлд нь нэмсэн. Эндээс юу хатуу байгааг уншихыг танд зөвлөж байна:

Жич: Илүү хатуугаар шийдлийн эцсийн шат дараах байдалтай байна.

Тиймээс:

Тогтмолыг дахин нэрлэж болно. Та яагаад дахин томилж болох вэ? Учир нь энэ нь хүлээн зөвшөөрч байна ямар чутгууд ба энэ утгаараа тогтмол ба хоёрын хооронд ялгаа байхгүй.
Үр дүнд нь:

Үүнтэй төстэй байнгын дахин төлөвлөлтийн заль мэхийг өргөн ашигладаг дифференциал тэгшитгэл... Тэнд би хатуу байх болно. Чамайг шаардлагагүй зүйлээр төөрөгдүүлэхгүй байх, нэгтгэх аргад анхаарлаа хандуулахын тулд л би ийм эрх чөлөөг зөвшөөрч байна.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол

Бие даасан шийдлийн өөр нэг ердийн интеграл. Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу. Өмнөх жишээн дээрх хариултаас ялгаатай байх болно!

Хэрэв квадрат язгуур дор дөрвөлжин гурвалсан байвал шийдлийг ямар ч тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн хоёр жишээ болгон бууруулна.

Жишээлбэл, интегралыг авч үзье ... Таны хийх ёстой зүйл бол урьдчилан хийх явдал юм бүтэн квадрат сонгоно уу:
.
Цаашилбал, шугаман солих ажлыг "ямар ч үр дагаваргүйгээр" хийдэг.
, үр дүнд нь интеграл үүснэ. Танил зүйл байна, тийм үү?

Эсвэл квадрат хоёр гишүүнтэй ийм жишээ:
Бүрэн квадратыг сонгоно уу:
Шугаман орлуулалтын дараа бид интеграл авдаг бөгөөд үүнийг аль хэдийн авч үзсэн алгоритмын дагуу шийддэг.

Интегралыг өөртөө хэрхэн бууруулах талаар өөр хоёр ердийн жишээг авч үзье.
- синусаар үржүүлсэн илтгэгчийн интеграл;
Энэ нь косинустай үржүүлсэн илтгэгчийн интеграл юм.

Бүртгэгдсэн интегралуудад бид аль хэдийн хоёр удаа интегралдах шаардлагатай болно:

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол

Интеграл нь синусыг үржүүлсэн илтгэгч юм.

Бид хэсэг хэсгээр нь хоёр удаа нэгтгэж, интегралыг өөртөө багасгадаг.

Хэсэгчилсэн давхар интегралын үр дүнд интеграл өөрөө буурчээ. Шийдлийн эхлэл ба төгсгөлийг тэгшитгэе:

Тэмдгийн өөрчлөлтөөр зүүн тийш хөдөлж, интегралыг илэрхийлнэ үү:

Бэлэн. Замдаа баруун талыг самнахыг зөвлөж байна, i.e. экспонентийг хаалтны гадна талд байрлуулж, хаалтанд синус ба косинусыг "сайхан" дарааллаар байрлуул.

Одоо жишээний эхэнд, эс тэгвээс хэсэгчлэн нэгтгэх рүү буцъя:

Учир нь бид үзэсгэлэнд оролцогчийг томилсон. Асуулт гарч ирнэ, яг илтгэгчийг үргэлж дараах байдлаар тэмдэглэх ёстой юу? Хэрэгцээгүй. Үнэн хэрэгтээ, авч үзсэн интегралд үндсэндээ хамаагүй, юуг илэрхийлэх вэ гэвэл өөр замаар явах боломжтой байсан:

Энэ яагаад боломжтой вэ? Экспонент нь өөрөө болж хувирдаг (дифференциал болон интегралын үед хоёулаа) синус болон косинус харилцан бие биедээ хувирдаг (дахин ялгах ба интегралчлалын үед).

Өөрөөр хэлбэл, та мөн тригонометрийн функцийг тодорхойлж болно. Гэхдээ авч үзсэн жишээн дээр фракцууд гарч ирэх тул энэ нь оновчтой биш юм. Хэрэв та хүсвэл энэ жишээг хоёр дахь аргаар шийдэхийг оролдож болно, хариултууд нь ижил байх ёстой.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Шийдвэрлэхээсээ өмнө энэ тохиолдолд экспонент эсвэл тригонометрийн функцийг тодорхойлох нь илүү ашигтай юу вэ гэдгийг бодоорой. Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.

Мэдээжийн хэрэг, энэ хичээлийн ихэнх хариултыг ялгахад хангалттай хялбар гэдгийг санаарай!

Жишээнүүдийг хамгийн хэцүү биш гэж үзсэн. Практикт интеграл нь илүү түгээмэл байдаг бөгөөд тогтмол нь экспонент болон тригонометрийн функцийн аргументуудад хоёуланд нь байдаг, жишээлбэл:. Олон хүмүүс ийм интегралд төөрөх хэрэгтэй болно, би өөрөө ихэвчлэн эргэлздэг. Уусмал дахь фракц үүсэх магадлал өндөр бөгөөд анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ямар нэг зүйлийг алдах нь маш амархан байдаг. Нэмж дурдахад, тэмдгүүдэд алдаа гарах магадлал өндөр байдаг тул экспонент нь хасах тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь нэмэлт хүндрэл учруулж байгааг анхаарна уу.

Эцсийн шатанд энэ нь ихэвчлэн дараах байдалтай болдог.

Шийдлийн төгсгөлд ч гэсэн та маш болгоомжтой байж, фракцуудыг чадварлаг харьцах хэрэгтэй.

Нийлмэл бутархайн интеграл

Бид хичээлийн экватор руу аажмаар ойртож, бутархайн интегралуудыг авч үзэж эхлэв. Дахин хэлэхэд, бүгд тийм ч төвөгтэй биш, зүгээр л нэг шалтгааны улмаас жишээнүүд нь бусад нийтлэлд бага зэрэг "сэдвээс гадуур" байсан.

Үндэсийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Үндэс дор хуваагч нь "х" хэлбэрийн "хавсралт" язгуурын гадна талд дөрвөлжин гурвалжин нэмсэн байна. Энэ төрлийн интегралыг стандарт орлуулалт ашиглан шийддэг.

Бид шийднэ:

Орлуулах нь энгийн:

Бид орлуулалтын дараах амьдралыг хардаг:

(1) Орлуулалтын дараа бид язгуурын доорх нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчирдаг.
(2) Бид үндэснээс нь гаргаж авдаг.
(3) Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар багасга. Үүний зэрэгцээ, үндэс дор би нөхцөлүүдийг тохиромжтой дарааллаар дахин зохион байгуулав. Зарим туршлагатай бол тайлбар хийсэн үйлдлүүдийг амаар хийснээр (1), (2) алхмуудыг алгасаж болно.
(4) Үр дүнгийн интеграл, та хичээлээс санаж байна Зарим бутархайн интеграл, шийдсэн бүтэн квадратыг сонгох аргаар... Бүрэн квадратыг сонгоно уу.
(5) Интеграцид бид ердийн "урт" логарифмыг авдаг.
(6) Бид урвуу солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Хэрэв эхэндээ, дараа нь буцаж:.
(7) Эцсийн үйлдэл нь үр дүнгийн үс засалтанд чиглэгддэг: үндэс дор бид нэр томъёог дахин нэг нийтлэг зүйл рүү авчирч, тэдгээрийг үндэснээс нь гаргаж авдаг.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Энд ганцаардсан X дээр тогтмолыг нэмсэн бөгөөд орлуулалт нь бараг ижил байна:

Нэмэлт хийх ёстой цорын ганц зүйл бол орлуулалтаас "x" -ийг илэрхийлэх явдал юм.

Бүрэн шийдэл, зааварчилгааны төгсгөлд хариулна уу.

Заримдаа ийм интегралд язгуур дор дөрвөлжин бином байж болох бөгөөд энэ нь шийдлийг өөрчлөхгүй, бүр илүү хялбар байх болно. Ялгааг мэдэр:

Жишээ 11

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 12

Тодорхойгүй интегралыг ол

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариултууд. Жишээ 11 нь яг таарч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй бином интеграл, шийдвэрлэх аргыг хичээл дээр авч үзсэн Иррационал функцүүдийн интегралууд.

2 зэрэгтэй салшгүй олон гишүүнтийн интеграл

(хүлээгч дэх олон гишүүнт)

Илүү ховор, гэхдээ практик жишээн дээр интегралын хэлбэрийг олж мэдсэн.

Жишээ 13

Тодорхойгүй интегралыг ол

Гэхдээ азтай 13 дугаартай жишээ рүү буцъя (үнэнийг хэлэхэд би буруу таамаглаагүй). Энэ интеграл нь хэрвээ та үүнийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй бол өөрийгөө маш ихээр зовоож чадах хүмүүсийн ангилалд багтдаг.

Шийдэл нь хиймэл өөрчлөлтөөс эхэлдэг:

Хүн бүр тоологчийг хуваагч гишүүнээр хуваахыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна.

Үүссэн интегралыг хэсэг хэсгээр нь авна.

Маягтын интегралын хувьд (натурал тоо) давтагдахЗэрэг бууруулах томъёо:
, хаана - интеграл нэг градусаар бага.

Шийдвэрлэсэн интегралын хувьд энэ томьёоны үнэн зөвийг шалгацгаая.
Энэ тохиолдолд:,, бид томъёог ашиглана:

Таны харж байгаагаар хариултууд ижил байна.

Жишээ 14

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Загварын шийдэл нь дээрх томъёог хоёр удаа дараалан ашигладаг.

Хэрэв зэрэгтэй байгаа бол задрах боломжгүйдөрвөлжин гурвалсан, дараа нь бүрэн квадратыг сонгох замаар уусмалыг хоёр гишүүн болгон бууруулна, жишээлбэл:

Тоолуурт нэмэлт олон гишүүнт байвал яах вэ? Энэ тохиолдолд тодорхойгүй коэффициентийн аргыг хэрэглэж, интегралыг бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ. Гэхдээ миний практикт ийм жишээ байдаг хэзээ ч уулзаагүй, тиймээс би энэ хэргийг нийтлэлдээ алгассан Бутархай рационал функцийн интегралууд, Би үүнийг одоо алгасах болно. Хэрэв ийм интеграл хэвээр байвал сурах бичгийг үзнэ үү - тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Уулзах магадлал нь тэг болох хандлагатай материалыг (бүр энгийн зүйлсийг) оруулах нь зохисгүй гэж би үзэж байна.

Нарийн төвөгтэй тригонометрийн функцүүдийн интеграцчлал

Ихэнх жишээнүүдийн хувьд "хэцүү" гэсэн нэр томъёо нь ихэвчлэн нөхцөлтэй байдаг. Өндөр зэрэглэлийн тангенс ба котангенсаас эхэлье. Тангенс ба котангенсыг шийдвэрлэх аргуудын үүднээс авч үзвэл тэдгээр нь бараг адилхан тул би тангенсийн талаар илүү ихийг ярих болно, ингэснээр интегралыг шийдэх үзүүлсэн арга нь котангентын хувьд ч хүчинтэй байна гэсэн үг юм.

Дээрх хичээл дээр бид үзсэн бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалттригонометрийн функцүүдийн тодорхой төрлийн интегралыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын сул тал нь үүнийг ашиглах үед тооцоолол хийхэд хэцүү төвөгтэй интегралууд ихэвчлэн гарч ирдэг. Мөн зарим тохиолдолд бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтаас зайлсхийх боломжтой!

Нэгдмэл байдлын интегралыг синусаар хуваасан өөр нэг каноник жишээг авч үзье.

Жишээ 17

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энд та ерөнхий тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж, хариултыг авч болно, гэхдээ илүү оновчтой арга бий. Би алхам бүрийн тайлбар бүхий бүрэн шийдлийг өгөх болно:

(1) Бид давхар өнцгийн синусын тригонометрийн томъёог ашигладаг.
(2) Бид зохиомол хувиргалт хийдэг: хуваагчийг хувааж, үржүүлнэ.
(3) Хуваагч дахь сайн мэддэг томъёоны дагуу бид бутархайг шүргэгч болгон хувиргадаг.
(4) Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг.
(5) Интегралыг ав.

Бие даасан шийдлийн хэд хэдэн энгийн жишээ:

Жишээ 18

Тодорхойгүй интегралыг ол

Анхаар: Хамгийн эхний алхам бол цутгамал томъёог ашиглах явдал юм өмнөх жишээтэй төстэй алхмуудыг анхааралтай хийх хэрэгтэй.

Жишээ 19

Тодорхойгүй интегралыг ол

За, энэ бол маш энгийн жишээ юм.

Хичээлийн төгсгөлд шийдлүүд болон хариултуудыг бөглөнө үү.

Одоо хэн ч интегралтай холбоотой асуудал гарахгүй гэж би бодож байна:
гэх мэт.

Аргын цаад санаа юу вэ? Энэхүү санаа нь зөвхөн шүргэгч ба шүргэгчийн деривативыг хувиргалт, тригонометрийн томъёо ашиглан интегралд зохион байгуулах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, бид солих тухай ярьж байна: ... Жишээ 17-19-д бид энэ орлуулалтыг бодитоор ашигласан боловч интегралууд нь маш энгийн байсан тул асуудлыг ижил төстэй үйлдлээр авч үзсэн - функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирсан.

Би дээр дурдсанчлан ижил төстэй үндэслэлийг котангентын хувьд хийж болно.

Дээр дурдсан орлуулалтыг хэрэглэх албан ёсны урьдчилсан нөхцөл бас бий.

Косинус ба синусын зэрэглэлийн нийлбэр нь сөрөг бүхэл ТЭГШ тоо юм, Жишээлбэл:

интегралын хувьд - сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо.

! Анхаарна уу : хэрэв интегралд ЗӨВХӨН синус эсвэл ЗӨВХӨН косинус байвал интегралыг мөн сөрөг сондгой градусаар авна (хамгийн энгийн тохиолдлуудыг жишээ №17, 18-д үзүүлэв).

Энэ дүрмийн хувьд хэд хэдэн илүү утга учиртай ажлыг авч үзье:

Жишээ 20

Тодорхойгүй интегралыг ол

Синус ба косинусын зэрэглэлийн нийлбэр: 2 - 6 = –4 нь сөрөг бүхэл тоо EVEN тоо бөгөөд энэ нь интегралыг шүргэгч болон түүний дериватив болгон бууруулж болно гэсэн үг юм.

(1) Хугацагчийг хувирга.
(2) Бид сайн мэддэг томъёоны дагуу олж авдаг.
(3) хуваагчийг хувирга.
(4) Бид томъёог ашигладаг .
(5) Бид дифференциалын тэмдгийн дор функцийг авчирдаг.
(6) Бид солих ажлыг гүйцэтгэдэг. Илүү туршлагатай оюутнууд орлуулалтыг хийхгүй байж болох ч шүргэгчийг нэг үсгээр солих нь дээр - төөрөгдөлд орох эрсдэл бага байдаг.

Жишээ 21

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм.

Хүлээгээрэй, аваргын тойрог эхэллээ =)

Ихэнхдээ интегралд "hodgepodge" байдаг:

Жишээ 22

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэхүү интеграл нь эхлээд шүргэгчийг агуулдаг бөгөөд энэ нь аль хэдийн танил болсон бодлыг нэн даруй төрүүлдэг.

Зохиомол өөрчлөлтийг хамгийн эхэнд болон бусад алхмуудыг дээр дурдсан тул би тайлбаргүйгээр орхих болно.

Өөрийгөө шийдэх хэд хэдэн бүтээлч жишээ:

Жишээ 23

Тодорхойгүй интегралыг ол

Жишээ 24

Тодорхойгүй интегралыг ол

Тийм ээ, тэдгээрт мэдээжийн хэрэг та синус, косинусын градусыг бууруулж, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтыг ашиглаж болно, гэхдээ шүргэгчээр дамжуулан шийдэл нь илүү үр дүнтэй бөгөөд богино байх болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариултууд

Хэсэгчилсэн интеграци гэж юу вэ? Энэ төрлийн интеграцийг эзэмшихийн тулд эхлээд бүтээгдэхүүний деривативыг эргэн санацгаая.

$ ((\ зүүн (f \ cdot g \ баруун)) ^ (\ prime)) = (f) "\ cdot g + f \ cdot (g)" $

Асуулт бол интегралтай ямар холбоотой вэ? Одоо энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье. Тиймээс бид бичих болно:

$ \ int (((\ зүүн (f \ cdot g \ баруун)) ^ (\ prime)) \ text (d) x =) \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g) "\, \ text (d) x)) $

Гэхдээ цус харвалт гэж юу вэ? Энэ нь зөвхөн цус харвалтын дотор байгаа функц өөрөө юм. Тиймээс бид бичих болно:

$ f \ cdot g = \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Энэ тэгшитгэлд би нэр томъёог илэрхийлэхийг санал болгож байна. Бидэнд байгаа:

$ \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x = f \ cdot g- \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Ийм л байна хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх... Тиймээс бид үндсэндээ дериватив болон функцийг сольж байна. Хэрэв бид эхлээд анхны тоог ямар нэг зүйлээр үржүүлсэн интегралтай байсан бол шинэ зүйлийг анхны тоогоор үржүүлсэн интегралыг авна. Энэ бол бүх дүрэм. Өнгөц харахад энэ томъёо нь төвөгтэй, утгагүй мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулж чадна. Харцгаая.

Интегралыг тооцоолох жишээ

Бодлого 1. Тооцоол:

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) \] \ [\]

Логарифм 1-ийн өмнө нэмж илэрхийллийг дахин бичье.

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) = \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) \]

Тоо, функц өөрчлөгдөхгүй тул бид үүнийг хийх эрхтэй. Одоо энэ илэрхийллийг томъёонд бичсэн зүйлтэй харьцуулж үзье. $ (f) -ийн үүрэг "$ нь 1 тул бичье:

$ \ эхлэл (зэрэгцүүлэх) & (f) "= 1 \ Баруун сум f = x \\ & g = \ ln x \ Баруун сум (g)" = \ frac (1) (x) \\\ төгсгөл (эгцлэх) $

Эдгээр бүх функцийг хүснэгтэд үзүүлэв. Одоо бид илэрхийлэлд орсон бүх элементүүдийг тайлбарласны дараа бид энэ интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэх томъёоны дагуу дахин бичих болно.

\ [\ эхлэх (эгцлэх) & \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) = x \ ln x- \ int (x \ cdot \ frac (1) (x) \ текст (d) ) x) = x \ ln x- \ int (\ текст (г) x) = \\ & = x \ ln xx + C = x \ зүүн (\ ln x-1 \ баруун) + C \\\ төгсгөл ( тэгшлэх) \]

Бүх зүйл, интеграл олддог.

Бодлого 2. Тооцоол:

$ \ int (x ((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x = \ int (x \ cdot ((e) ^ (- x)) \, \ text (d) ) x)) $

Хэрэв бид одоо эсрэг деривативыг олох ёстой деривативын дүрд бид $ x $-г авбал $ ((x) ^ (2)) $ авах ба эцсийн илэрхийлэл нь $ ((x) -ийг агуулна. ^ (2)) ( (\ текст (д)) ^ (- x)) $.

Мэдээжийн хэрэг, даалгавар нь хялбаршаагүй тул бид интеграл тэмдгийн дор хүчин зүйлсийг солино.

$ \ int (x \ cdot ((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) = \ int (((\ текст (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) $

Одоо бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна:

$ (f) "= ((\ текст (д)) ^ (- x)) \ Баруун сум f = \ int (((\ текст (e)) ^ (- x)) \, \ текст (г) x) = - ((\ текст (e)) ^ (- x)) $

$ ((\ текст (e)) ^ (- x)) $ ялгах:

$ ((\ зүүн (((\ текст (д)) ^ (- x)) \ баруун)) ^ (\ үндсэн)) = ((\ текст (e)) ^ (- x)) \ cdot ((\ зүүн (-x \ баруун)) ^ (\ үндсэн)) = - ((\ текст (e)) ^ (- x)) $

Өөрөөр хэлбэл эхлээд хасахыг нэмж, дараа нь хоёр талыг нэгтгэнэ.

\ [\ эхлэх (зэрэгцүүлэх) & ((\ зүүн (((\ текст (д)) ^ (- x)) \ баруун)) ^ (\ үндсэн)) = - ((\ текст (д)) ^ (- x)) \ Баруун сум ((\ текст (д)) ^ (- x)) = - ((\ зүүн (((\ текст (e)) ^ (- x)) \ баруун)) ^ (\ үндсэн)) \\ & \ int (((\ текст (д)) ^ (- x)) \, \ текст (г) x) = - \ int (((\ зүүн (((\ текст (д)) ^ (- x)) \ баруун)) ^ (\ prime)) \ text (d) x) = - ((\ text (e)) ^ (- x)) + C \\\ төгсгөл (зохицуулах) \]

Одоо $ g $ функцийг авч үзье:

$ g = x \ Баруун сум (g) "= 1 $

Бид интегралыг авч үздэг:

$ \ эхлэл (зохицуулах) & \ int (((\ текст (д)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) = x \ cdot \ үлдсэн (- ((\ текст (e) )) ^ (- x)) \ баруун) - \ int (\ зүүн (- ((\ текст (д)) ^ (- x)) \ баруун) \ cdot 1 \ cdot \ text (d) x) = \ \ & = -x ((\ text (e)) ^ (- x)) + \ int (((\ text (e)) ^ (- x)) \, \ text (d) x) = - x ( (\ текст (д)) ^ (- x)) - ((\ текст (д)) ^ (- x)) + C = - ((\ текст (д)) ^ (- x)) \ орхисон (x) +1 \ баруун) + C \\\ төгсгөл (зохицуулах) $

Тиймээс бид хоёр дахь интеграцийг хэсэг хэсгээр нь гүйцэтгэсэн.

Бодлого 3. Тооцоол:

$ \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) $

Энэ тохиолдолд $ (f) "$, $ g $ гэж юуг авах вэ? Хэрэв $ x $ нь дериватив бол интеграл нь $ \ frac (((x) ^ (2)) болно. 2 ) $, эхний хүчин зүйл нь хаана ч алга болохгүй - энэ нь $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) \ cdot \ cos 3x $ байх болно. Тиймээс бид үржүүлэгчийг дахин өөрчлөх болно:

$ \ start (зохицуулах) & \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) = \ int (\ cos 3x \ cdot x \, \ text (d) x) \\ & (f) "= \ cos 3x \ Rightarrow f = \ int (\ cos 3x \, \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \\ & g = x \ Баруун сум (g) "= 1 \\\ дуусгах (тэгцүүлэх) $

Бид анхны илэрхийлэлээ дахин бичиж, интеграцийн томъёоны дагуу хэсэг хэсгээр нь өргөжүүлнэ.

\ [\ эхлэх (зохицуулах) & \ int (\ cos 3x \ cdot x \ \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \ cdot x- \ int (\ frac (\ sin 3x) (3) \ text (d) x) = \\ & = \ frac (x \ sin 3x) (3) - \ frac (1) (3) \ int (\ sin 3x \, \ text (d) x) = \ frac (x \ sin 3x) (3) + \ frac (\ cos 3x) (9) + C \\\ төгсгөл (эгцлэх) \]

Ингээд л гурав дахь асуудал шийдэгдлээ.

Эцэст нь хэлэхэд дахин нэг хараарай хэсгүүдийн томъёогоор нэгтгэх... Аль хүчин зүйл нь дериватив, аль нь бодит функц болохыг бид хэрхэн сонгох вэ? Энд зөвхөн нэг шалгуур бий: бидний ялгах элемент нь "сайхан" илэрхийлэл өгөх ёстой бөгөөд дараа нь багасах эсвэл ялгах явцад бүрмөсөн алга болно. Үүгээр хичээл дуусна.

Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх. Шийдлийн жишээ

Дахин сайн уу. Өнөөдөр хичээл дээр бид хэсэг хэсгээр нь хэрхэн нэгтгэх талаар сурах болно. Хэсэгчилсэн интеграл нь интеграл тооцооллын тулгын чулуунуудын нэг юм. Шалгалт, шалгалтын үеэр оюутнуудаас дараахь төрлийн интегралуудыг шийдэхийг бараг үргэлж хүсдэг: хамгийн энгийн интеграл. (нийтлэлийг үзнэ үү)эсвэл хувьсагчийн өөрчлөлтийн интеграл (нийтлэлийг үзнэ үү)эсвэл интеграл зүгээр л асаалттай байна хэсгүүдээр нэгтгэх арга.

Таны гарт үргэлж байх ёстой: Интеграл хүснэгтболон Деривативын хүснэгт... Хэрэв танд байхгүй бол миний вэбсайтын агуулах руу зочилно уу: Математикийн томъёо, хүснэгт... Би давтахаас залхахгүй - бүгдийг хэвлэх нь дээр. Би бүх материалыг тууштай, энгийн бөгөөд хялбархан танилцуулахыг хичээх болно, хэсгүүдийг нэгтгэхэд онцгой бэрхшээл байхгүй.

Хэсэгээр нэгтгэх арга нь ямар асуудлыг шийддэг вэ? Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх арга нь маш чухал асуудлыг шийддэг бөгөөд энэ нь хүснэгтэд байхгүй зарим функцийг нэгтгэх боломжийг олгодог. ажилфункцууд, зарим тохиолдолд - мөн quotient. Бидний санаж байгаагаар тохиромжтой томьёо байдаггүй: ... Гэхдээ энэ байна: - биечлэн хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо. Би мэднэ, би мэднэ, чи цорын ганц хүн - бид түүнтэй бүх хичээлийн турш ажиллах болно (энэ нь аль хэдийн хялбар болсон).

Тэгээд тэр даруй студид жагсаалт. Дараах төрлийн интегралуудыг хэсгүүдээр авна.

1) , , - логарифм, логарифмийг зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн.

2) ,- зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн экспоненциал функц. Үүнд олон гишүүнтээр үржүүлсэн экспоненциал функц гэх мэт интегралууд багтаж болно, гэхдээ бодит байдал дээр хувь нь 97, интегралын доор "e" гэсэн сайхан үсэг байдаг. ... нийтлэл нь уянгалаг зүйл болж хувирав, өө тийм ... хавар ирлээ.

3) , , - тригонометрийн функцийг зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн.

4), - урвуу тригонометрийн функцууд ("нуман хаалга"), "нуман хаалга", зарим олон гишүүнтээр үржүүлсэн.

Түүнчлэн, зарим бутархай хэсгүүдийг хэсэг хэсгээр нь авсан бөгөөд бид холбогдох жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Логарифмын интегралууд

Жишээ 1

Сонгодог. Энэ интегралыг үе үе хүснэгтээс олж болно, гэхдээ багш хаврын витамины дутагдалтай тул хатуу тангараг өргөх тул бэлэн хариултыг ашиглах нь зохисгүй юм. Учир нь авч үзэж буй интеграл нь ямар ч хүснэгт биш юм - үүнийг хэсэг хэсгээр нь авдаг. Бид шийднэ:

Бид завсрын тайлбарын шийдлийг тасалдаг.

Бид хэсгүүдээр нэгтгэх томъёог ашигладаг.

Томъёог зүүнээс баруун тийш хэрэглэнэ

Бид зүүн тал руугаа харна:. Мэдээжийн хэрэг, бидний жишээн дээр (мөн бидний авч үзэх бусад бүх зүйлд) ямар нэг зүйлийг төлөө, ямар нэг зүйлийг төлөөлөх шаардлагатай.

Харгалзан үзэж буй төрлийн интегралд логарифмыг үргэлж гэж тэмдэглэдэг.

Техникийн хувьд шийдлийн дизайныг дараах байдлаар хэрэгжүүлсэн бөгөөд бид баганад бичнэ.

Энэ нь бид логарифмыг тэмдэглэсэн бөгөөд - үлдсэн хэсэгинтеграл илэрхийлэл.

Дараагийн алхам: дифференциалыг олох:

Дифференциал нь деривативтай бараг ижил бөгөөд үүнийг хэрхэн олох талаар бид өмнөх хичээлүүдэд аль хэдийн дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо бид функцийг олно. Функцийг олохын тулд нэгтгэх шаардлагатай баруун талтэгш бус байдал:

Одоо бид шийдлээ нээж, томъёоны баруун талыг байгуулна:.
Дашрамд хэлэхэд, цөөн хэдэн тэмдэглэл бүхий цэвэр шийдлийн дээжийг энд оруулав.

Бүтээгдэхүүний цорын ганц мөчийг би нэн даруй газар дахин зохион байгуулж, логарифмын өмнө үржүүлэгчийг бичих нь заншилтай байдаг.

Таны харж байгаагаар хэсэг хэсгээр интегралдах томъёог хэрэглэснээр бидний шийдлийг хоёр энгийн интеграл болгон бууруулсан.

Зарим тохиолдолд үүнийг анхаарна уу баруун хойшҮлдсэн интегралын дагуу томъёоны хэрэглээг хялбарчлах шаардлагатай - авч үзэж буй жишээн дээр бид интегралыг "x" -ээр багасгасан.

Шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд та хариултын деривативыг авах хэрэгтэй.

Анхны интегралыг олж авсан нь интеграл зөв шийдэгдсэн гэсэн үг юм.

Шалгалтын явцад бид бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигласан. ... Мөн энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Хэсгийн томъёогоор нэгтгэх болон томъёо Энэ нь бие биенээсээ урвуу хоёр дүрэм юм.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Интеграл нь олон гишүүнт логарифмын үржвэр юм.
Бид шийднэ.

Дахин нэг удаа би дүрмийг хэрэгжүүлэх дарааллыг нарийвчлан тайлбарлах болно, ирээдүйд жишээнүүдийг илүү товч тайлбарлах болно, хэрэв та өөрөө шийдэхэд хүндрэлтэй байгаа бол та эхний хоёр жишээ рүү буцах хэрэгтэй. хичээл.

Өмнө дурьдсанчлан, логарифмыг тодорхойлох шаардлагатай (энэ нь эрх мэдэлтэй байх нь хамаагүй). Зориулалтын хувьд үлдсэн хэсэгинтеграл илэрхийлэл.

Бид баганад бичнэ:

Эхлээд бид дифференциалыг олно:

Энд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг ... Энэ сэдвийн эхний хичээл дээр санамсаргүй биш юм Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээИнтегралыг эзэмшихийн тулд дериватив дээр "бариул авах" шаардлагатай гэдгийг би анхаарлыг татсан. Деривативыг нэгээс олон удаа шийдвэрлэх шаардлагатай болно.

Одоо бид функцийг олж, үүний тулд бид нэгтгэдэг баруун талтэгш бус байдал:

Интеграцийн хувьд бид хамгийн энгийн хүснэгтийн томъёог ашигласан

Одоо бүх зүйл томъёог хэрэглэхэд бэлэн боллоо. ... Үүнийг одоор нээгээд баруун талын дагуу шийдлийг "барина".

Интегралын доор бид дахин логарифмын олон гишүүнт байна! Тиймээс шийдэл дахин тасалдаж, хэсгүүдээр нэгтгэх дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэнэ. Үүнтэй төстэй тохиолдолд логарифмыг үргэлж тэмдэглэдэг гэдгийг бүү мартаарай.

Энэ мөчид та хамгийн энгийн интеграл болон деривативуудыг амаар олж чадвал сайхан байх болно.

(1) Шинж тэмдгүүдэд бүү андуур! Маш олон удаа тэд энд хасахыг алддаг, мөн хасах нь энд байгааг анхаарна уу бүгдэд ньхаалт , мөн эдгээр хаалтуудыг зөв өргөтгөх шаардлагатай.

(2) Хаалтуудыг өргөжүүлнэ. Бид сүүлчийн интегралыг хялбаршуулдаг.

(3) Бид сүүлчийн интегралыг авдаг.

(4) Хариултыг "самнах".

Интеграцийн дүрмийг хоёр удаа (эсвэл бүр гурван удаа) ашиглах хэрэгцээ тийм ч ховор биш юм.

Одоо бие даасан шийдлийн хэд хэдэн жишээ:

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ жишээг хувьсагчийг өөрчлөх замаар (эсвэл дифференциал тэмдгийн дор нэгтгэн дүгнэж) шийддэг! Тэгээд яагаад болохгүй гэж - та үүнийг хэсэг хэсгээр нь авахыг оролдож болно, танд инээдтэй зүйл гарч ирнэ.

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Гэхдээ энэ интеграл нь хэсгүүдээр (амласан бутархай) нэгтгэгддэг.

Эдгээр нь хичээлийн төгсгөлд байгаа өөртөө туслах жишээ, шийдэл, хариултууд юм.

3,4-р жишээн дээр интегралууд ижил төстэй боловч шийдвэрлэх арга нь өөр байна! Энэ бол интегралыг эзэмшихэд тулгардаг гол бэрхшээл бөгөөд хэрэв та интеграл шийдэх аргыг буруу сонговол жинхэнэ оньсого шиг олон цагаар эргэлзэж болно. Тиймээс, та төрөл бүрийн интегралуудыг хэдий чинээ их шийднэ, төдий чинээ сайн, шалгалт, шалгалтыг амархан давах болно. Үүнээс гадна, хоёр дахь жилдээ дифференциал тэгшитгэлүүд байх болно, интеграл, деривативыг шийдвэрлэх туршлагагүйгээр тэнд хийх зүйл байхгүй.

Логарифмын хувьд, магадгүй хангалттай. Зууш идэхийн тулд технологийн оюутнууд эмэгтэй хөхийг дууддаг гэдгийг би санаж байна =). Дашрамд хэлэхэд, синус, косинус, артангенс, экспонент, гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнт гэх мэт үндсэн үндсэн функцүүдийн графикийг цээжээр мэдэх нь ашигтай байдаг. Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, дэлхий дээрх бэлгэвч
Би сунгахгүй, гэхдээ одоо та энэ хэсгээс маш их зүйлийг санах болно График ба функцууд =).

Олон гишүүнтээр үржүүлсэн илтгэгчийн интеграл

Ерөнхий дүрэм:

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Танил алгоритмыг ашиглан бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг.

Хэрэв танд интегралтай холбоотой ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал нийтлэл рүү буцах хэрэгтэй Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Таны хийж чадах цорын ганц зүйл бол хариултыг самнах явдал юм:

Гэхдээ таны тооцоолох техник тийм ч сайн биш бол хамгийн ашигтай сонголт бол хариултаа үлдээх явдал юм эсвэл бүр

Өөрөөр хэлбэл, сүүлчийн интегралыг авах үед жишээ нь шийдэгдсэн гэж тооцогддог. Энэ нь алдаа биш байх болно, энэ нь багш хариултыг хялбарчлахыг хүсч болох өөр асуудал юм.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Энэ интеграл нь хэсгүүдээр хоёр удаа интегралдсан. Тэмдгүүдэд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй - энд тэдгээрийг төөрөлдүүлэхэд хялбар байдаг, энэ нь нарийн төвөгтэй функц гэдгийг бид бас санаж байна.

Үзэсгэлэн худалдаанд оролцогчийн талаар өөр хэлэх зүйл алга. Экспонент ба натурал логарифм нь харилцан урвуу функцууд гэдгийг л нэмж хэлж чадна, энэ бол би дээд математикийн хөгжилтэй графикуудын сэдвийн хувьд =) Зогс-зогс, бүү санаа зов, багш ухаантай.

Тригонометрийн функцүүдийн интеграл олон гишүүнт үржвэр

Ерөнхий дүрэм: Учир нь үргэлж олон гишүүнтийг илэрхийлдэг

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг:

Хммм ... бас сэтгэгдэл бичих зүйл алга.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол

Бутархайтай өөр нэг жишээ. Өмнөх хоёр жишээний нэгэн адил олон гишүүнтийг тэмдэглэв.

Бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг:

Хэрэв танд интеграл олоход бэрхшээл, үл ойлголцол байгаа бол би хичээлд зочлохыг зөвлөж байна Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм.

Зөвлөмж: Хэсэгчилсэн интеграцийн аргыг ашиглахаасаа өмнө хоёр тригонометрийн функцийн үржвэрийг нэг функц болгон хувиргах зарим тригонометрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Томьёог хэсэгчлэн нэгтгэх аргыг хэрэглэх явцад ашиглаж болно, учир нь энэ нь хэн бүхэнд илүү тохиромжтой.

Энэ нь магадгүй энэ догол мөрөнд байгаа юм. Яагаад ч юм би физик, математикийн сүлд дууны "Синусын графикийн абсцисс дагуу долгион гүйдэг" гэсэн мөрийг санав.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн интегралууд.
Урвуу тригонометрийн функцүүдийн интегралыг олон гишүүнтээр үржүүлсэн

Ерөнхий дүрэм: for нь үргэлж урвуу тригонометрийн функцийг илэрхийлдэг.

Урвуу тригонометрийн функцууд нь арксинус, урвуу косинус, арктангенс, урвуу котангенсуудыг агуулдаг гэдгийг сануулъя. Товчхондоо би тэднийг "нуман хаалга" гэж нэрлэх болно.

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо нь:
.

Хэсэгээр нэгтгэх арга нь энэ томьёог хэрэглэхээс бүрдэнэ. Практик хэрэглээнд u ба v нь интегралчлалын хувьсагчийн функцууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Интегралын хувьсагчийг x (интегралын төгсгөл дэх дифференциал d тэмдгийн дараах тэмдэг) гэж тэмдэглэе. Дараа нь u ба v нь x функцууд болно: u (x) ба v (x).
Дараа нь
, .
Мөн хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.

Өөрөөр хэлбэл интеграл нь хоёр функцийн үржвэрээс бүрдэх ёстой.
,
нэгийг нь бид u гэж тэмдэглэдэг: g (x) = u, нөгөө нь интегралыг тооцоолох ёстой (илүү нарийвчлалтай, эсрэг деривативыг олох ёстой):
, дараа нь dv = f (x) dx.

Зарим тохиолдолд f (x) = 1 ... Энэ нь интегралд
,
бид g (x) = u, x = v тавьж болно.

Дүгнэлт

Тиймээс, энэ аргын хувьд хэсгүүдийг нэгтгэх томъёог санаж, хоёр хэлбэрээр ашиглах ёстой.
;
.

Хэсгээр интегралаар тооцоолсон интеграл

Логарифм ба урвуу тригонометрийн (гипербол) функцийг агуулсан интегралууд

Логарифм болон урвуу тригонометрийн эсвэл гипербол функцийг агуулсан интегралуудыг ихэвчлэн хэсгүүдээр нэгтгэдэг. Энэ тохиолдолд логарифм эсвэл урвуу тригонометрийн (гипербол) функцийг агуулсан хэсгийг u, үлдсэн хэсгийг dv гэж тэмдэглэнэ.

Хэсэгчилсэн интегралын аргаар тооцоолсон ийм интегралуудын жишээ энд байна.
, , , , , , .

Олон гишүүнт ба sin x, cos x, e x-ийн үржвэрийг агуулсан интегралууд

Интегралчлалын томъёоны дагуу хэсгүүд нь дараах хэлбэрийн интеграл болохыг олж мэдэв.
, , ,
Энд P (x) нь х дахь олон гишүүнт юм. Интегралд P (x) олон гишүүнтийг u, e ax dx гэж тэмдэглэнэ. cos ax dxэсвэл нүгэл сүх dx- dv-ээр дамжуулан.

Ийм интегралуудын жишээ энд байна:
, , .

Интегралыг хэсгүүдээр нэгтгэх аргаар тооцоолох жишээ

Логарифм болон урвуу тригонометрийн функцуудыг агуулсан интегралуудын жишээ

Жишээ

Интегралыг тооцоолох:

Нарийвчилсан шийдэл

Энд интеграл нь логарифмийг агуулна. Сэлгээ хийх
у = ln x,
dv = x 2 dx.
Дараа нь
,
.

Бид үлдсэн интегралыг тооцоолно:
.
Дараа нь
.
Тооцооллын төгсгөлд тодорхойгүй интеграл нь бүх эсрэг деривативуудын олонлог тул та тогтмол C-г нэмэх ёстой. Үүнийг мөн завсрын тооцоонд нэмж болох боловч энэ нь зөвхөн тооцооллыг гацаана.

Богино шийдэл

Та шийдлийг богино хувилбараар танилцуулж болно. Үүнийг хийхийн тулд та u болон v-ээр орлуулалт хийх шаардлагагүй, харин хүчин зүйлсийг бүлэглэж, хоёр дахь хэлбэрээр интеграцийн томъёог хэсэгчлэн хэрэглэж болно.

.

Хариулах

Олон гишүүнт ба sin x, cos x эсвэл ex-ийн үржвэрийг агуулсан интегралын жишээ

Жишээ

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Дифференциал тэмдгийн дор илтгэгчийг танилцуулъя:
e - x dx = - e - x d (-x) = - d (e - x).

Бид хэсгүүдээр нь нэгтгэдэг.
.
Бид мөн хэсгүүдээр нэгтгэх аргыг ашигладаг.
.
.
.
Эцэст нь, бид байна.