Мохоо өнцгийн тэмдэглэгээ. Шулуун ба өнцөгтэй

Өнцөг нь үндсэн геометрийн дүрс бөгөөд бид энэ сэдвээр дүн шинжилгээ хийх болно. Өнцгийн тодорхойлолт, тогтоох арга, тэмдэглэгээ, хэмжилт. Зураг дээрх булангуудыг сонгох зарчмуудад дүн шинжилгээ хийцгээе. Онолыг бүхэлд нь дүрсэлсэн бөгөөд олон тооны харааны зурагтай.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1

Тарилга- геометрийн энгийн чухал дүр. Өнцөг нь цацрагийн тодорхойлолтоос шууд хамаардаг бөгөөд энэ нь цэг, шулуун, хавтгай гэсэн үндсэн ойлголтуудаас бүрддэг. Нарийвчилсан судалгаа хийхийн тулд та сэдвүүдийг сайтар судлах хэрэгтэй хавтгай дээрх шулуун шугам - шаардлагатай мэдээлэлТэгээд онгоц - шаардлагатай мэдээлэл.

Өнцгийн тухай ойлголт нь энэ хавтгайд дүрслэгдсэн цэг, хавтгай, шулуун шугам гэсэн ойлголтуудаас эхэлдэг.

Тодорхойлолт 2

Онгоцонд a шугам өгөгдсөн. Үүн дээр ямар нэг O цэгийг тэмдэглэ. Шугам нь нэг цэгээр хоёр хэсэгт хуваагддаг бөгөөд тус бүр нь нэртэй байдаг Рэй, мөн O цэг нь байна цацрагийн эхлэл.

Өөрөөр хэлбэл цацраг эсвэл хагас шугам -энэ нь өгөгдсөн шугамын цэгүүдээс бүрдэх шугамын нэг хэсэг бөгөөд эхлэлийн цэг, өөрөөр хэлбэл О цэгийн нэг талд байрладаг.

Цацрагийн тэмдэглэгээг хоёр хувилбараар зөвшөөрнө: Латин цагаан толгойн нэг жижиг эсвэл хоёр том үсэг. Хоёр үсгээр тэмдэглэсэн бол цацраг нь хоёр үсгээс бүрдэх нэртэй байна. Зургийг нарийвчлан авч үзье.

Өнцгийг тодорхойлох ухагдахуун руу шилжье.

Тодорхойлолт 3

Тарилга- энэ нь нийтлэг гарал үүсэлтэй таарахгүй хоёр цацрагаас үүссэн өгөгдсөн хавтгайд байрлах дүрс юм. хажуугийн буланцацраг юм орой- талуудын нийтлэг эхлэл.

Өнцгийн талууд нь шулуун шугамын үүрэг гүйцэтгэх тохиолдол байдаг.

Тодорхойлолт 4

Хэрэв өнцгийн хоёр тал нь нэг шулуун дээр байрладаг эсвэл талууд нь нэг шулуун шугамын нэмэлт хагас шугам болж байвал ийм өнцгийг гэнэ. байрлуулсан.

Доорх зураг нь хавтгайрсан буланг харуулж байна.

Шулуун шугам дээрх цэг нь өнцгийн орой юм. Ихэнхдээ үүнийг О цэгээр тэмдэглэдэг.

Математикийн өнцгийг "∠" тэмдгээр тэмдэглэнэ. Өнцгийн талуудыг жижиг латинаар тэмдэглэсэн тохиолдолд өнцгийг зөв тодорхойлохын тулд талуудын дагуу үсгүүдийг дараалан бичнэ. Хэрвээ хоёр талыг k ба h гэж тэмдэглэсэн бол өнцгийг ∠ k h эсвэл ∠ h k гэж тэмдэглэнэ.

Том үсгээр тэмдэглэгээ байгаа тохиолдолд булангийн талууд нь O A ба O B гэсэн нэртэй байна. Энэ тохиолдолд өнцөг нь ∠ A O B ба ∠ B O A гэсэн оройтой төв хэсэгт дараалан бичсэн латин цагаан толгойн гурван үсгийн нэртэй байна. Булангууд нь нэр, үсэггүй үед тоон хэлбэрээр тэмдэглэгээ байдаг. Доорх нь өнцгийг янз бүрийн аргаар харуулсан зураг юм.

Өнцөг нь хавтгайг хоёр хэсэгт хуваадаг. Хэрэв өнцөг нь хөгжөөгүй бол онгоцны нэг хэсэг нь нэртэй байна дотоод булангийн талбай, бусад - гадна булангийн талбай. Онгоцны аль хэсэг нь гаднах, аль нь дотоод болохыг тайлбарласан зургийг доор харуулав.

Хавтгай дээр шулуун өнцгөөр хуваагдвал түүний аль нэг хэсгийг шулуун өнцгийн дотоод хэсэг гэж үзнэ.

Булангийн дотоод хэсэг нь булангийн хоёр дахь тодорхойлолтод үйлчилдэг элемент юм.

Тодорхойлолт 5

буланнийтлэг гарал үүсэлтэй, өнцгийн харгалзах дотоод мужтай давхцдаггүй хоёр цацрагаас бүрдэх геометрийн дүрсийг нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолт нь илүү олон нөхцөлтэй тул өмнөхөөсөө илүү хатуу юм. Хоёр тодорхойлолтыг тусад нь авч үзэхийг зөвлөдөггүй, учир нь өнцөг нь нэг цэгээс гарах хоёр цацрагийг ашиглан хувиргасан геометрийн дүрс юм. Хэрэв өнцгөөр үйлдэл хийх шаардлагатай бол тодорхойлолт нь нийтлэг гарал үүсэл, дотоод бүстэй хоёр туяа байгааг илтгэнэ.

Тодорхойлолт 6

Хоёр буланг гэж нэрлэдэг холбоотой, хэрэв нийтлэг тал байгаа бол нөгөө хоёр нь нэмэлт хагас шугам эсвэл шулуун өнцөг үүсгэдэг.

Зэргэлдээх булангууд нь бие биенийхээ үргэлжлэл тул бие биенээ нөхөж байгааг зураг харуулж байна.

Тодорхойлолт 7

Хоёр буланг гэж нэрлэдэг босоо, хэрэв нэг талын талууд нь нөгөөгийнхөө нэмэлт хагас шугам эсвэл нөгөөгийн хажуугийн өргөтгөл бол. Доорх зурагт босоо булангийн зургийг харуулав.

Шугамыг огтлох үед 4 хос зэргэлдээ, 2 хос босоо өнцгийг олж авна. Доорх зурган дээр харуулав.

Өгүүлэлд тэгш ба тэгш бус өнцгийн тодорхойлолтыг харуулав. Бид аль өнцгийг том, аль нь бага гэж үздэг, өнцгийн бусад шинж чанарыг шинжлэх болно. Хоёр тоог давхарласан үед бүрэн давхцаж байвал тэнцүү гэж үзнэ. Үүнтэй ижил шинж чанар нь өнцгийг харьцуулахад хамаарна.

Хоёр өнцөг өгөгдсөн. Эдгээр өнцгүүд тэнцүү байна уу, үгүй ​​юу гэдэг дүгнэлтэд хүрэх шаардлагатай.

Хоёр булангийн орой ба эхний булангийн тал нь хоёр дахь булангийн аль ч талтай давхцдаг гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, бүрэн давхцах тохиолдолд өнцгийг давхарласан тохиолдолд өгөгдсөн өнцгийн талууд бүрэн давхцах болно. тэнцүү.

Энэ нь хажуу талыг нь нэгтгэж болохгүй, дараа нь булангуудыг давхарлах үед байж болно тэгш бус, жижигөөр нэгээс бүрдэх ба илүүбүрэн өөр өнцгийг агуулсан. Доорх нь давхардсан үед тэгш бус өнцгүүд юм.

Хөгжүүлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өнцгийн хэмжилт нь хэмжсэн өнцгийн тал ба түүний дотоод бүсийг хэмжихээс эхэлдэг бөгөөд тэдгээрийг нэгж өнцгөөр дүүргэж, бие биедээ хэрэглэнэ. Овоолсон булангийн тоог тоолох шаардлагатай бөгөөд тэдгээр нь хэмжсэн өнцгийн хэмжүүрийг урьдчилан тодорхойлдог.

Өнцгийн нэгжийг ямар ч хэмжигдэхүйц өнцгөөр илэрхийлж болно. Шинжлэх ухаан, технологид ашигладаг нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэмжилтийн нэгжүүд байдаг. Тэд бусад цол хэргэмээр мэргэшсэн.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг ойлголт зэрэг.

Тодорхойлолт 8

нэг зэрэгшулуун өнцгийн зуун наян нэгтэй өнцөг гэнэ.

Зэрэглэлийн стандарт тэмдэглэгээ нь "°", дараа нь нэг градус нь 1 ° байна. Тиймээс шулуун өнцөг нь нэг градусаас бүрдэх 180 ийм өнцгөөс бүрддэг. Боломжтой бүх булангуудыг бие биентэйгээ нягт овоолж, өмнөх булангуудын хажуу талууд нь дараагийнхтай тохирч байна.

Өнцөг дэх градусын тоо нь өнцгийн хэмжүүртэй ижил байдаг нь мэдэгдэж байна. Боловсруулсан булан нь найрлагадаа 180 овоолсон булантай. Доорх зурагт өнцгийг 30 удаа, өөрөөр хэлбэл өргөтгөсөн зургаагийн нэг, 90 удаа, хагасыг нь тавьсан жишээг харуулав.

Өнцгийн хэмжилтийг үнэн зөв тодорхойлохын тулд минут, секундыг ашигладаг. Эдгээрийг өнцгийн утга нь бүхэл градусын тэмдэглэгээ биш тохиолдолд ашигладаг. Зэрэглэлийн ийм хэсгүүд нь илүү нарийвчлалтай тооцоо хийх боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт 9

минутградусын жарны нэг гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 10

хоёрдугаартминутын жарны нэгийг дуудлаа.

Нэг зэрэг нь 3600 секундийг агуулдаг. Минут нь """, секунд """-г илэрхийлнэ. Тэмдэглэгээ нь дараах байдлаар явагдана.

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

17 градус 3 минут 59 секундын өнцгийн тэмдэглэгээ нь 17° 3 "59"" байна.

Тодорхойлолт 11

17 ° 3 "59" "тэй тэнцүү өнцгийн хэмжүүрийн тэмдэглэгээний жишээг өгье. Бичлэг нь 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600 гэсэн өөр хэлбэртэй байна.

Өнцгийг нарийн хэмжихийн тулд хэмжих хэрэгсэл, тухайлбал протектор ашигладаг. ∠ A O B өнцөг ба түүний хэмжигдэхүүнийг 110 градусаар тодорхойлохдоо "A O B өнцөг нь 110 градустай тэнцүү" гэж бичсэн ∠ A O B \u003d 110 ° гэсэн илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг ашигладаг.

Геометрийн хувьд (0 , 180 ] интервалаас авсан өнцгийн хэмжүүрийг ашигладаг бөгөөд тригонометрт дурын градусын хэмжүүрийг нэрлэдэг. эргэх өнцөг.Өнцгийн утгыг үргэлж бодит тоогоор илэрхийлдэг. Зөв өнцөгнь 90 градустай өнцөг юм. Хурц буланнь 90 градусаас бага өнцөг, ба тэнэг- илүү.

Хурц өнцгийг (0, 90), мохоо өнцгийг (90, 180) интервалаар хэмждэг. Гурван төрлийн өнцгийг доор тодорхой харуулав.

Аливаа өнцгийн хэмжүүр нь ижил утгатай байна. Том өнцөг нь жижиг өнцөгөөс илүү том градусын хэмжигдэхүүнтэй байдаг. Нэг өнцгийн хэмжүүр нь дотоод өнцгийн боломжтой бүх хэмжүүрүүдийн нийлбэр юм. Доорх зурагт AOC, COD, DOB өнцгөөс бүрдэх AOB өнцгийг харуулж байна. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Үүний үндсэн дээр ингэж дүгнэж болно нийлбэрбүгд зэргэлдээх өнцөг нь 180 градус байнаУчир нь тэдгээр нь бүгд өргөтгөсөн өнцгийг бүрдүүлдэг.

Үүнээс үзэхэд аливаа босоо өнцөг нь тэнцүү байна. Хэрэв бид үүнийг жишээгээр авч үзвэл A O B ба C O D өнцөг нь босоо байна (зураг дээр), A O B ба B O C, C O D ба B O C хос өнцгийг зэргэлдээ гэж үзнэ. Ийм тохиолдолд ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° -ийн ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° -ийн тэгш байдлыг онцгой үнэн гэж үзнэ. Тиймээс бидэнд ∠ A O B = ∠ C O D байна. Доорх нь босоо барих дүрс, тэмдэглэгээний жишээ юм.

градус, минут, секундээс гадна хэмжилтийн өөр нэгжийг ашигладаг. гэж нэрлэдэг радиан. Ихэнх тохиолдолд олон өнцөгтийн өнцгийг тодорхойлохдоо үүнийг тригонометрээс олж болно. Радиан гэж юу вэ.

Тодорхойлолт 12

Нэг радиан өнцөгнумын урттай тэнцүү тойргийн радиустай төв өнцөг гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр радианыг тойрог хэлбэрээр дүрсэлсэн бөгөөд төв нь цэгээр тэмдэглэгдсэн, тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, OA ба O B радиус болгон хувиргасан. Тодорхойлолтоор энэ гурвалжин AOB нь тэгш талт байна. AB нумын урт нь OB ба Oh A радиусуудын урттай тэнцүү байна.

Өнцгийн тэмдэглэгээг "рад" гэж авна. Өөрөөр хэлбэл, 5 радиан дахь оруулгыг 5 рад гэж товчилно. Заримдаа та pi нэртэй тэмдэглэгээг олж болно. Радианууд нь өгөгдсөн тойргийн уртаас хамаардаггүй, учир нь дүрсүүд нь өгөгдсөн өнцгийн орой дээр байрлах төвтэй өнцөг ба нумын тусламжтайгаар ямар нэгэн хязгаарлалттай байдаг. Тэдгээрийг ижил төстэй гэж үздэг.

Радианууд нь градустай ижил утгатай бөгөөд зөвхөн ялгаа нь тэдгээрийн хэмжээ юм. Үүнийг тодорхойлохын тулд төв өнцгийн нумын тооцоолсон уртыг түүний радиусын уртаар хуваах шаардлагатай.

Практикт тэд ашигладаг градусыг радиан, радианыг градус болгон хувиргахасуудлыг илүү хялбар шийдвэрлэхийн тулд. Заасан нийтлэлд градусын хэмжигдэхүүн ба радиан хоорондын холболтын талаархи мэдээлэл байгаа бөгөөд та градусаас радиан руу болон эсрэгээр орчуулгыг нарийвчлан судлах боломжтой.

Нуман, өнцөг, зургийг харааны болон тохиромжтой дүрслэхийн тулд ашигладаг. Тодорхой өнцөг, нум, нэрийг зөв дүрсэлж, тэмдэглэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэнцүү өнцөг нь ижил тооны нуман хэлбэртэй, тэгш бус өөр өөр хэлбэртэй байдаг. Зураг нь хурц, тэгш, тэгш бус өнцгийн зөв тэмдэглэгээг харуулж байна.

3-аас дээш буланг тэмдэглэх шаардлагатай бол нуман хэлбэртэй тусгай тэмдэглэгээг ашиглана. Энэ нь тийм ч чухал биш. Доорх зурагт тэдгээрийн тэмдэглэгээг харуулав.

Бусад утгуудад саад учруулахгүйн тулд өнцгийн тэмдэглэгээ нь энгийн байх ёстой. Асуудлыг шийдэхдээ зургийг бүхэлд нь эмх замбараагүй болгохгүйн тулд зөвхөн шийдвэрлэхэд шаардлагатай булангуудыг сонгохыг зөвлөж байна. Энэ нь шийдэл, нотолгоонд саад болохгүй, мөн зурган дээр гоо зүйн дүр төрхийг өгөх болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Өнцөг гэж юу вэ?

Өнцөг гэдэг нь нэг цэгээс гарах хоёр цацрагаас үүссэн дүрс юм (Зураг 160).
Үүссэн цацрагууд тарилга, өнцгийн талууд, тэдгээрийн гарах цэгийг өнцгийн орой гэж нэрлэдэг.
Зураг 160-д өнцгийн талууд нь OA ба OB цацрагууд бөгөөд түүний орой нь О цэг юм. Энэ өнцгийг дараах байдлаар тэмдэглэв: AOB.

Дунд хэсэгт өнцгийг бичихдээ оройг нь тэмдэглэсэн үсэг бичнэ. Мөн өнцгийг нэг үсгээр тэмдэглэж болно - түүний оройн нэр.

Жишээлбэл, "AOB өнцөг"-ийн оронд тэд богино бичдэг: "өнцөг O".

"Булан" гэдэг үгийн оронд тэмдэг бичдэг.

Тухайлбал, АОБ, О.

161-р зурагт C ба D цэгүүд AOB өнцгийн дотор, X ба Y цэгүүд энэ өнцгийн гадна талд, мөн оноо M ба H - булангийн хажуу тал дээр.

Бүх геометрийн хэлбэрийн нэгэн адил өнцгийг давхарлан ашиглан харьцуулдаг.

Хэрэв нэг өнцгийг өөр өнцгөөр давхцуулж болох юм бол эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 162-р зурагт ABC = MNK.

SOK өнцгийн оройноос (Зураг 163) цацраг OR зурсан. Тэрээр SOC өнцгийг COP болон ROCK гэсэн хоёр өнцөгт хуваадаг. Эдгээр өнцөг бүр нь ROC өнцгөөс бага байна.

Бичсэн: COP< COK и POK < COK.

Шулуун ба өнцөгтэй

Бие биенээ нөхдөг хоёр цацрагатираат булан үүсгэнэ. Энэ өнцгийн талууд хамтдаа шулуун шугамыг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь өргөссөн өнцгийн дээд хэсэгт байрладаг (Зураг 164).

Цагийн цаг, минутын зүүнүүд нь 6 цагт хөгжсөн өнцөг үүсгэдэг (Зураг 165).

Цаасан хуудсыг хоёр удаа нугалж, дараа нь нээцгээе (Зураг 166).

Эвхэх шугамууд нь 4 тэнцүү өнцөг үүсгэдэг. Эдгээр өнцөг бүр нь шулуун өнцгийн хагастай тэнцүү байна. Ийм өнцгийг зөв өнцөг гэж нэрлэдэг.

Тэгш өнцөг гэдэг нь хагас шулуун өнцөг юм.

гурвалжин зурах

Зөв өнцгийг бий болгохын тулд зургийг ашиглана уу гурвалжин(Зураг 167). Нэг тал нь OL туяа болох тэгш өнцөг үүсгэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

a) зургийн гурвалжинг тэгш өнцөгтийн орой нь О цэгтэй давхцаж, талуудын аль нэг нь OA цацрагийн дагуу явагдахаар байрлуул;

б) гурвалжны хоёр дахь талын дагуу OB туяа зурна.

Үүний үр дүнд бид AOB зөв өнцгийг олж авдаг.

Сэдвийн асуултууд

1. Өнцөг гэж юу вэ?
2. Ямар өнцгийг байрлуулсан гэж нэрлэдэг вэ?
3. Ямар өнцгийг тэнцүү гэж нэрлэдэг вэ?
4. Ямар өнцгийг зөв гэж нэрлэдэг вэ?
5. Зурах гурвалжинг ашиглан зөв өнцгийг хэрхэн барих вэ?

Аливаа өнцөг нь онгоцыг хоёр хэсэгт хуваадаг гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Гэхдээ хэрэв өнцгөөр хоёр тал ижил шулуун шугам дээр байрладаг бол ийм өнцгийг байрлуулсан гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, хөгжсөн өнцгөөр түүний нэг тал нь нөгөө талын өнцгийн үргэлжлэл юм.

Одоо зөвхөн боловсруулсан О өнцгийг харуулсан зургийг харцгаая.

Хэрэв бид шулуун өнцгийн оройноос туяа авч зурвал энэ шулуун өнцгийг дахин хоёр өнцөгт хувааж, нэг нийтлэг талтай, нөгөө хоёр өнцөг нь шулуун шугам үүсгэнэ. Өөрөөр хэлбэл, нэг задалсан булангаас бид хоёр зэргэлдээх буланг авсан.

Хэрэв бид шулуун өнцгийг аваад биссектриса зурвал энэ биссектрис шулуун өнцгийг хоёр тэгш өнцөгт хуваана.

Хэрэв бид боловсруулсан өнцгийн оройгоос биссектрис биш дурын туяа зурах юм бол ийм туяа нь өргөссөн өнцгийг хоёр өнцөгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо байх болно.

Хавтгай булангийн шинж чанарууд

Өргөтгөсөн өнцөг нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Нэгдүгээрт, шулуун өнцгийн талууд нь эсрэг параллель бөгөөд шулуун шугам үүсгэдэг;
хоёрдугаарт, боловсруулсан өнцөг нь 180 °;
гуравдугаарт, хоёр зэргэлдээ өнцөг нь шулуун өнцөг үүсгэдэг;
дөрөвдүгээрт, боловсруулсан өнцөг нь бүтэн өнцгийн хагас;
тавдугаарт, бүтэн өнцөг нь боловсруулсан хоёр өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байх болно;
зургаадугаарт, тэгшитгэсэн өнцгийн хагас нь зөв өнцөг юм.

Өнцгийн хэмжилт

Аливаа өнцгийг хэмжихийн тулд хэмжилтийн нэгж нь нэг градус байдаг протекторыг ихэвчлэн эдгээр зорилгоор ашигладаг. Өнцгийг хэмжихдээ аливаа өнцөг нь өөрийн гэсэн хэмжигдэхүүнтэй байдаг бөгөөд энэ хэмжигдэхүүн нь тэгээс их байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. Бидний мэдэж байгаагаар боловсруулсан өнцөг нь 180 градустай тэнцүү юм.

Өөрөөр хэлбэл, тойргийн аль нэг хавтгайг аваад радиусаар 360 тэнцүү хэсэгт хуваавал энэ тойргийн 1/360 нь өнцгийн зэрэг болно. Та аль хэдийн мэдэж байгаагаар зэрэг нь "°" гэсэн тодорхой дүрсээр илэрхийлэгддэг.

Одоо бид тойргийн нэг градус 1° = 1/360 гэдгийг бас мэднэ. Хэрэв өнцөг нь тойргийн хавтгайтай тэнцүү бөгөөд 360 градус байвал ийм өнцөг дүүрэн байна.

Одоо бид тойргийн хавтгайг нэг шулуун дээр байрлах хоёр радиусын тусламжтайгаар хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Дараа нь энэ тохиолдолд хагас тойргийн хавтгай нь бүтэн өнцгийн хагас, өөрөөр хэлбэл 360: 2 = 180 ° байна. Бид тойргийн хагас хавтгайтай тэнцүү, 180 ° өнцгийг хүлээн авсан. Энэ бол эрчилсэн өнцөг юм.

Практик даалгавар

1613. 168-р зурагт үзүүлсэн өнцгүүдийг нэрлэнэ үү. Тэдний тэмдэглэгээг бич.

1614. OA, OB, OS, OD гэсэн дөрвөн цацрагийг зур. Талууд нь эдгээр туяа болох зургаан өнцгийн нэрийг бич. Эдгээр цацрагууд хэдэн хэсэгт хуваагддаг вэ? онгоц?

1615. 169-р зурагт аль цэгүүд KOM өнцгийн дотор байгааг заана уу.Энэ өнцгийн гадна талд аль цэгүүд байна вэ? Аль цэг нь OK талд, аль нь OM талд байна вэ?

1616. MOD өнцгийг зурж, дотор нь OT туяаг зур. Энэ туяа MOD өнцгийг хуваах өнцгүүдийг нэрлэж, шошго.

1617. 10 минутын дотор минутын гар нь AOB өнцөгт, дараагийн 10 минутанд - BOC өнцөгт, өөр 15 минутын дотор - COD өнцөгт эргэв. AOB ба BOC, BOC ба COD, AOC ба AOB, AOC ба COD өнцгүүдийг харьцуулна (Зураг 170).

1618. Зурах гурвалжинг ашиглан 4 зөв өнцгийг янз бүрийн байрлалаар зур.

1619. Зурах гурвалжинг ашиглан 171-р зурагт тэгш өнцөгтүүдийг ол. Тэдний тэмдэглэгээг бич.

1620. Анги доторх зөв өнцгийг заа.

a) 0.09 200; b) 208 0.4; в) 130 0.1 + 80 0.1.

1629. 400-ын хэдэн хувь нь 200 тоо вэ; нэг зуу; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Алга болсон тоог ол.

a) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Тал нь дэвтрийн 10 нүдний урттай тэнцүү квадрат зур. Энэ квадрат талбарыг илэрхийлнэ. Талбайн 12%-ийг хөх тариа, 8%-ийг овъёос, 64%-ийг улаан буудай, үлдсэн талбайг Сагаган эзэлдэг. Тариалангийн талбайн хэсэг бүрийг зурган дээр харуул. Талбайн хэдэн хувийг Сагаган эзэлдэг вэ?

1632. Хичээлийн жилд Петя оны эхэнд худалдаж авсан дэвтэрийнхээ 40%-ийг ашиглаж, 30 дэвтэр үлдсэн байв. Хичээлийн жилийн эхэнд Петяд хэдэн дэвтэр худалдаж авсан бэ?

1633. Хүрэл нь цагаан тугалга, зэсийн хайлш юм. 6 кг цагаан тугалга, 34 кг зэсээс бүрдэх хүрэл хэсэг дэх зэс хайлшийн хэдэн хувийг эзэлдэг вэ?

1634. Дэлхийн долоон гайхамшгийн нэг гэгддэг эртний үед баригдсан Александрын гэрэлт цамхаг нь Москвагийн Кремлийн цамхгуудаас 1,7 дахин өндөр боловч Москвагийн их сургуулийн барилгаас 119 м-ээр намхан, өндрийг ол. Москвагийн Кремлийн цамхагууд Александрийн гэрэлт цамхагаас 49 м-ээс доош байвал эдгээр байгууламж тус бүрийн хувьд.

1635. Микрокалькуляторын тусламжтайгаар ол.

a) 168-ийн 4.5%; в) 569.8-ийн 28.3%;
b) 2500-ийн 147.6%; d) 456,800-ийн 0.09%.

1636. Асуудлыг шийд:

1) Цэцэрлэгийн талбайн хэмжээ 6.4 а. Эхний өдөр цэцэрлэгийн 30%, хоёр дахь өдөр цэцэрлэгийн 35% ухсан байна. Ухахад хэдэн талбай үлдсэн бэ?

2) Сережа 4.8 цаг чөлөөт цагтай байсан. Тэрээр нийт цагийнхаа 35%-ийг ном уншиж, 40%-ийг нь телевизийн нэвтрүүлэг үзэхэд зарцуулжээ. Түүнд хэр хугацаа үлдсэн бэ?

1637. Дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 BAC өнцгийг зурж, өнцгийн дотор, өнцгийн гадна болон хажуу талууд дээр тус бүр нэг цэгийг тэмдэглэ.

1639. 172-р зурагт тэмдэглэсэн цэгүүдийн аль нь AMK өнцгийн дотор байх вэ.Аль цэг нь AMB> өнцгийн дотор, харин AMK өнцгийн гадна талд байна.АМК өнцгийн хажуу талуудад аль цэг нь байрлах вэ?

1640. Зургийн гурвалжинг ашиглан 173-р зураг дээрх зөв өнцгийг ол.

1641. 43 мм талтай дөрвөлжин байгуул. Түүний периметр ба талбайг тооцоол.

1642. Илэрхийллийн утгыг ол.

a) 14.791: a + 160.961: b, хэрэв a = 100, b = 10;
b) 361.62s + 1848: d хэрэв c = 100, d = 100.

1643. Ажилчин 450 эд анги хийх ёстой байв. Эхний өдөр тэрээр эд ангиудын 60%, үлдсэн хэсгийг хоёр дахь өдөр хийсэн. Хэдэн хэсэг хийсэн ажилчинхоёр дахь өдөр?

1644. Номын санд 8000 ном байсан. Жилийн дараа тэдний тоо 2000 номоор нэмэгджээ. Номын сангийн номын тоо хэдэн хувиар нэмэгдсэн бэ?

1645. Ачааны машин эхний өдөр төлөвлөсөн замын 24%, хоёр дахь өдөр замын 46%, гурав дахь өдөр үлдсэн 450 км замыг туулсан. Эдгээр ачааны машинууд хэдэн км явсан бэ?

1646. Хэдэн болохыг ол:

a) тоннын 1%; в) 7 тоннын 5%;
б) литрийн 1%; d) 80 км-ийн 6%.

1647. Морин бамбаруушны жин насанд хүрсэн моржны массаас 9 дахин бага. Насанд хүрсэн морж бамбарууштай хамт 0.9 тонн жинтэй бол түүний масс хэд вэ?

1648. Захиргааны үеэр захирагч нийт цэргээсээ 0,3-ыг гарамыг хамгаалахаар үлдээж, үлдсэнийг нь 2 отрядад хувааж хоёр өндөрлөгийг хамгаалжээ. Эхний отряд хоёр дахь отрядаас 6 дахин их цэрэгтэй байв. Нэгдүгээр отрядад нийт 200 цэрэг байсан бол хэдэн цэрэг байсан бэ?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, В.И.ЖОХОВ, А.С.ЧЕСНОКОВ, С.И.ШВАРЦБУРД, Математикийн 5-р анги, Боловсролын байгууллагад зориулсан сурах бичиг

"Бяцхан хүү аав дээрээ ирээд Бяцханаас: "Ямар булангууд байна вэ?" гэж асуув. Гэвч аав хариултаа мартжээ. Энэ маш муу!"

Манай нийтлэлд бид математикийн хичээлүүдийг эргэн санаж, хүүхдийн асуултын хариултыг олохыг санал болгож байна.

Өнцөг гэж юу вэ

Өнцөг гэж юу болохыг тайлбарлахаас илүү харуулах нь мэдээжийн хэрэг. Бага ангиасаа бид хавтгай өнцөг гэдгийг мэддэг.

1. Энэ бол геометрийн дүрс юм.
2. Энэ нь хоёр талаас үүсдэг - туяа.
3. Цацраг нь нэг орой - цэгээс гарч ирдэг.
4. градусаар хэмждэг.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та ямар ч хавтгай дээр цэг тавиад, дараа нь энэ цэгээс хоёр туяа зурвал (туяа нь эхлэлтэй боловч төгсгөлгүй шулуун шугам юм) бид нэг биш, харин хоёр өнцөг авна. Учир нь цацрагууд онгоцыг хоёр хэсэгт хуваасан. Бид дотоод болон гадаад гэсэн хоёр буланг бий болгосон.

Өнцгийн тэмдэглэгээ

Математикт өнцгийг ийм тэмдгээр тэмдэглэдэг - "˪" ба Грек үсгээр: β, δ, φ. Та мөн жижиг эсвэл том латин үсгээр өнцгийг тодорхойлж болно. Жижиг үсгээр (d, c, b) өнцгийг үүсгэсэн цацрагийг илэрхийлдэг тул нэр нь хоёр үсэг, ˪ab гэсэн дүрсээс бүрдэнэ. Латин том үсэг нь өнцгийн гурван цэгийг илэрхийлдэг: хоёр тал ба нэг орой (˪DEF). Түүнээс гадна, дээд талын үсэг нь үргэлж нэрний дунд байх бөгөөд DEF эсвэл FED-ийг хэрхэн унших нь ямар ч ялгаагүй.

Булангийн төрлүүд

Зэрэг (хэмжсэн утга) -аас хамааран өнцгийг дараахь байдлаар хуваана.

• Цочмог (> 90 градус);
• Шууд (яг 90);
• Тэнэг (180);
• Өргөтгөсөн (180-тай тэнцүү);
• Гүдгэр бус (180-аас дээш, гэхдээ 360-аас бага);
• Бүрэн (360);

Зөв эсвэл шулуун биш бүх өнцгийг ташуу гэж нэрлэдэг.

Мөн булангууд нь юу вэ?

• Зэргэлдээ - тэд нэг талдаа нийтлэг байдаг бол бусад нь давхцахгүй, нэг хавтгайд хэвтдэг. Эдгээр өнцгүүдийн нийлбэр нь үргэлж 180 байх болно.
• Босоо - хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцөг ба тэдгээр нь нийтлэг талуудгүй боловч тэдгээрийн цацраг нь нэг цэгээс гарч ирдэг. Өөрөөр хэлбэл, нэг булангийн тал нь нөгөө булангийн үргэлжлэл юм. Эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна.
• Төв - Орой нь тойргийн төв болох өнцөг.
• Бичсэн өнцөг. Түүний орой нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд түүнийг үүсгэсэн цацрагууд энэ тойрогтой огтлолцдог.

Одоо та зөв өнцөг гэж юу болохыг мэдэж байгаа бөгөөд аль өнцөг нь хурц болохыг бас хэлж чадна. Үүнийг санах нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд бусад төрлийн өнцгүүд нь мөн онцлог нэртэй байдаг.

Энэ нийтлэлд бид геометрийн гол хэлбэрүүдийн нэг болох өнцгийг нарийвчлан шинжлэх болно. Биднийг өнцгийн тодорхойлолтод хүргэх туслах ойлголт, тодорхойлолтуудаас эхэлье. Үүний дараа бид өнцгийг тодорхойлох хүлээн зөвшөөрөгдсөн аргуудыг өгдөг. Дараа нь бид өнцгийг хэмжих үйл явцыг нарийвчлан авч үзэх болно. Дүгнэж хэлэхэд бид зураг дээрх булангуудыг хэрхэн яаж тэмдэглэж болохыг харуулах болно. Материалыг илүү сайн цээжлэхийн тулд бид бүх онолыг шаардлагатай зураг, график дүрслэлээр хангасан.

Хуудасны навигаци.

Өнцгийн тодорхойлолт.

Өнцөг бол геометрийн хамгийн чухал үзүүлэлтүүдийн нэг юм. Өнцгийн тодорхойлолтыг цацрагийн тодорхойлолтоор өгдөг. Эргээд цэг, шулуун, хавтгай гэх мэт геометрийн дүрсийг мэдэхгүй бол цацрагийн санааг олж авах боломжгүй юм. Тиймээс, өнцгийн тодорхойлолттой танилцахаасаа өмнө онолыг хэсгүүдээс шинэчлэхийг зөвлөж байна.

Тиймээс бид цэг, хавтгай дээрх шулуун шугам, хавтгай гэсэн ойлголтуудаас эхэлнэ.

Эхлээд цацрагийн тодорхойлолтыг өгье.

Бидэнд хавтгай дээр шулуун шугам өгье. Үүнийг а үсгээр тэмдэглэе. O шугамын зарим цэгийг a . О цэг нь a шулууныг хоёр хэсэгт хуваана. Эдгээр хэсэг бүрийг О цэгийн хамт гэж нэрлэдэг цацраг, мөн O цэгийг дуудна цацрагийн эхлэл. Та мөн цацраг гэж нэрлэгддэгийг сонсож болно хагас шууд.

Товч бөгөөд хялбар байх үүднээс цацрагийн дараах тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн: цацрагийг жижиг латин үсгээр (жишээлбэл, ray p эсвэл ray k) эсвэл хоёр том латин үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд эхнийх нь эхлэлтэй тохирч байна. туяа, хоёр дахь нь энэ цацрагийн зарим цэгийг илэрхийлдэг (жишээлбэл, туяа OA эсвэл CD цацраг). Зурган дээрх цацрагийн дүрс, тэмдэглэгээг харуулъя.

Одоо бид өнцгийн анхны тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт.

Тарилга- энэ бол нийтлэг гарал үүсэлтэй таарахгүй хоёр цацрагаас бүрдэх хавтгай геометрийн дүрс (өөрөөр хэлбэл тодорхой хавтгайд бүхэлдээ хэвтэж байгаа) юм. Цацраг бүрийг нэрлэдэг булангийн тал, өнцгийн талуудын нийтлэг эхлэл гэж нэрлэдэг дээд булан.

Өнцгийн талууд нь шулуун шугам үүсгэх боломжтой. Энэ өнцөг нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг.

Тодорхойлолт.

Хэрэв өнцгийн хоёр тал нэг шулуун дээр байвал өнцгийг гэнэ байрлуулсан.

Бид таны анхааралд боловсруулсан өнцгийн график дүрслэлийг хүргэж байна.

Өнцгийн тэмдэглэгээг өнцгийг илэрхийлэхэд ашигладаг. Хэрэв өнцгийн талуудыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэсэн бол (жишээлбэл, өнцгийн нэг тал нь k, нөгөө нь h) бол энэ өнцгийг тодорхойлохын тулд өнцгийн дүрсний дараа талуудад тохирох үсгүүдийг бичнэ. эгнээ, бичлэг хийх дараалал нь хамаагүй (энэ нь, эсвэл). Хэрэв өнцгийн талуудыг хоёр том латин үсгээр (жишээлбэл, OA өнцгийн нэг тал, OB өнцгийн хоёр дахь тал) тэмдэглэсэн бол өнцгийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: өнцгийн тэмдгийн дараа гурван үсэг байна. өнцгийн талуудын тэмдэглэгээнд оролцдог бичээс, дунд хэсэгт байрлах өнцгийн оройд харгалзах үсэг (бидний тохиолдолд өнцгийг эсвэл гэж тэмдэглэнэ). Хэрэв өнцгийн орой нь өөр өнцгийн орой биш бол ийм өнцгийг өнцгийн оройд харгалзах үсгээр тэмдэглэж болно (жишээлбэл, ). Заримдаа зураг дээрх булангуудыг тоогоор (1, 2 гэх мэт) тэмдэглэж, эдгээр булангуудыг ингэж тэмдэглэж байгааг харж болно. Тодорхой болгохын тулд бид булангуудыг харуулж, зааж өгсөн зургийг толилуулж байна.

Аливаа өнцөг нь онгоцыг хоёр хэсэгт хуваадаг. Түүнээс гадна, хэрэв өнцөг нь хөгжөөгүй бол онгоцны нэг хэсгийг дуудна дотоод булангийн талбай, болон бусад гадна булангийн талбай. Дараах зураг нь онгоцны аль хэсэг нь булангийн дотор талд, аль хэсэг нь гадна талд тохирохыг тайлбарлав.

Хавтгай өнцөг нь хавтгайг хуваах хоёр хэсгийн аль нэгийг хавтгайрсан өнцгийн дотоод муж гэж үзэж болно.

Өнцгийн дотоод байдлын тодорхойлолт нь биднийг өнцгийн хоёр дахь тодорхойлолт руу хөтөлдөг.

Тодорхойлолт.

Тарилга- энэ нь нийтлэг гарал үүсэлтэй таарахгүй хоёр цацраг, өнцгийн харгалзах дотоод мужаас бүрдэх геометрийн дүрс юм.

Өнцгийн хоёр дахь тодорхойлолт нь илүү олон нөхцлийг агуулсан тул эхнийхээс илүү хатуу байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч өнцгийн анхны тодорхойлолтыг үгүйсгэх ёсгүй, мөн өнцгийн эхний болон хоёр дахь тодорхойлолтыг тусад нь авч үзэх ёсгүй. Энэ санааг тайлбарлая. Геометрийн дүрс гэж өнцгийн тухай ярих юм бол өнцгийг нийтлэг гарал үүсэлтэй хоёр цацрагаас бүрдсэн дүрс гэж ойлгодог. Хэрэв энэ өнцгөөр ямар нэгэн үйлдэл хийх шаардлагатай бол (жишээлбэл, өнцгийг хэмжих) өнцгийг нийтлэг гарал үүсэлтэй хоёр туяа, дотоод бүс гэж аль хэдийн ойлгох хэрэгтэй (эс тэгэхгүй бол хоёр дахин нөхцөл байдал үүсэх болно. өнцгийн дотоод болон гадаад аль аль нь байгаа эсэх).

Зэргэлдээх болон босоо өнцгийн талаар илүү олон тодорхойлолт өгье.

Тодорхойлолт.

Хажуугийн булангууд- эдгээр нь нэг тал нь нийтлэг, нөгөө хоёр нь шулуун өнцөг үүсгэдэг хоёр өнцөг юм.

Тодорхойлолтоос харахад зэргэлдээх өнцөг нь шулуун өнцөг хүртэл бие биенээ нөхдөг.

Тодорхойлолт.

Босоо өнцөгнэг өнцгийн талууд нь нөгөө өнцгийн талуудын өргөтгөл болох хоёр өнцөг юм.

Зураг нь босоо өнцгийг харуулж байна.

Хоёр огтлолцсон шугам нь дөрвөн хос зэргэлдээ өнцөг, хоёр хос босоо өнцгийг үүсгэдэг нь ойлгомжтой.

Өнцгийн харьцуулалт.

Өгүүллийн энэ догол мөрөнд бид тэгш ба тэгш бус өнцгийн тодорхойлолтыг авч үзэх бөгөөд тэгш бус өнцгийн хувьд аль өнцгийг том, аль нь жижиг гэж үзэхийг тайлбарлах болно.

Хоёр геометрийн дүрсийг давхарлаж чадвал тэнцүү гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай.

Бидэнд хоёр өнцгийг өгье. "Эдгээр хоёр өнцөг тэнцүү үү, үгүй ​​юу" гэсэн асуултад хариулахад туслах үндэслэлүүдийг хэлье.

Мэдээжийн хэрэг, бид хоёр булангийн оройг, мөн эхний булангийн нэг талыг хоёр дахь булангийн аль ч талтай тааруулж чадна. Булангийн үлдсэн талууд нь булангийн хосолсон талууд байрлах шулуун шугамын нэг талд байхаар эхний булангийн хажуу талыг хоёр дахь булангийн тэр талтай нэгтгэж үзье. Дараа нь булангийн нөгөө хоёр тал нь таарч байвал булангуудыг дуудна тэнцүү.

Хэрэв өнцгийн нөгөө хоёр тал таарахгүй бол өнцгийг дуудна тэгш бус, ба жижигөнцөг нь өөр нэг хэсэг гэж тооцогддог ( томөөр өнцгийг бүрэн агуулсан өнцөг).

Хоёр шулуун өнцөг нь тэнцүү байх нь ойлгомжтой. Боловсруулсан өнцөг нь хөгжөөгүй ямар ч өнцгөөс илүү байх нь ойлгомжтой.

Өнцгийн хэмжилт.

Өнцгийн хэмжилт нь хэмжсэн өнцгийг хэмжүүрийн нэгж болгон авсан өнцөгтэй харьцуулах явдал юм. Өнцгийг хэмжих үйл явц нь иймэрхүү харагдаж байна: хэмжсэн өнцгийн аль нэг талаас эхлэн түүний дотоод хэсгийг нэг өнцгөөр дараалан дүүргэж, тэдгээрийг нэг нэгээр нь наа. Үүний зэрэгцээ овоолсон булангийн тоог санаж байгаа бөгөөд энэ нь хэмжсэн өнцгийн хэмжүүрийг өгдөг.

Үнэн хэрэгтээ аливаа өнцгийг өнцгийн хэмжих нэгж болгон авч болно. Гэсэн хэдий ч шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбартай холбоотой өнцгийг хэмжих нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн олон нэгж байдаг бөгөөд тэдгээр нь тусгай нэрээр нэрлэгддэг.

Өнцгийг хэмжих нэгжүүдийн нэг нь зэрэг.

Тодорхойлолт.

нэг зэрэгшулуун өнцгийн зуун наянтай тэнцэх өнцөг юм.

Зэрэг нь "" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн тул нэг зэрэг нь гэж тэмдэглэгдсэн байна.

Тиймээс хөгжсөн өнцгөөр бид 180 өнцгийг нэг градуст багтааж чадна. Энэ нь 180 тэнцүү хэсэг болгон хуваасан хагас дугуй бялуу шиг харагдах болно. Маш чухал: "бялууны хэсгүүд" нь хоорондоо нягт уялдаатай (өөрөөр хэлбэл, булангийн талууд нь тэгшлэв), эхний булангийн тал нь хавтгайрсан булангийн нэг талтай, сүүлчийн нэгжийн булангийн хажуу талтай нийцдэг. хавтгайрсан булангийн нөгөө талтай давхцсан.

Өнцгийг хэмжихдээ хэмжсэн өнцгийн дотоод хэсгийг бүрэн бүрхэх хүртэл хэмжсэн өнцөгт хэдэн удаа градус (эсвэл өнцгийн хэмжилтийн бусад нэгж) таарч байгааг олж хардаг. Бид аль хэдийн харсан шиг, хөгжсөн өнцгөөр градус нь яг 180 удаа таарч байна. Нэг градусын өнцөг нь яг 30 удаа (ийм өнцөг нь шулуун өнцгийн зургаа дахь хэсэг), яг 90 дахин (хагас шулуун өнцөг) таарах өнцгийн жишээг доор харуулав.

Нэг градусаас бага өнцгийг (эсвэл өөр өнцгийн хэмжих нэгж) хэмжихийн тулд өнцгийг бүхэл тооны градусаар (хэмжилтийн нэгжээр) хэмжих боломжгүй тохиолдолд та градусын хэсгүүдийг (авсан хэсгүүдийг) ашиглах хэрэгтэй. хэмжилтийн нэгж). Зэрэглэлийн зарим хэсэг нь тусгай нэр авсан. Хамгийн түгээмэл нь минут, секунд гэж нэрлэгддэг.

Тодорхойлолт.

Минутградусын жарны нэг юм.

Тодорхойлолт.

Хоёрдугаартминутын жарны нэг юм.

Өөрөөр хэлбэл, минутанд жаран секунд, градуст жаран минут (3600 секунд) байна. "" тэмдэг нь минутыг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг ба "" тэмдэг нь секундыг илэрхийлэхэд ашиглагддаг (үүсмэл болон хоёр дахь деривативын шинж тэмдгүүдтэй андуурч болохгүй). Дараа нь танилцуулсан тодорхойлолт, тэмдэглэгээгээр бид , 17 градус 3 минут 59 секунд багтах өнцгийг гэж тэмдэглэж болно.

Тодорхойлолт.

Өнцгийн хэмжүүрградус ба түүний хэсгүүд өгөгдсөн өнцөгт хэдэн удаа багтаж байгааг харуулдаг эерэг тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, шулуун өнцгийн хэмжүүр нь зуун наян, өнцгийн хэмжүүр нь .

Өнцгийг хэмжихийн тулд тусгай хэмжих хэрэгсэл байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамгийн алдартай нь протектор юм.

Хэрэв өнцгийн тэмдэглэгээ (жишээ нь), түүний градусын хэмжигдэхүүн (110) хоёулаа мэдэгдэж байвал маягтын товч тэмдэглэгээг ашиглана уу. "AOB өнцөг нь зуун арван градус" гэж хэлээрэй.

Өнцгийн болон өнцгийн градусын хэмжүүрийн тодорхойлолтоос үзэхэд геометрт өнцгийн хэмжүүрийг градусаар (0, 180) интервалаас (тригонометрт дурын градусын хэмжигдэхүүнтэй өнцөг) бодит тоогоор илэрхийлдэг. гэж үздэг, тэдгээрийг нэрлэдэг).Ерэн градусын өнцөг нь тусгай нэртэй байдаг, үүнийг нэрлэдэг зөв өнцөг. 90 градусаас бага өнцгийг гэж нэрлэдэг хурц өнцөг. Ерэн градусаас дээш өнцгийг гэж нэрлэдэг мохоо өнцөг. Тиймээс, хурц өнцгийн хэмжүүрийг градусаар (0, 90) интервалаас авсан тоогоор, мохоо өнцгийн хэмжүүрийг (90, 180) интервалаас авсан тоогоор, тэгш өнцөг нь ерэнтэй тэнцүү байна. градус. Энд хурц өнцөг, мохоо өнцөг, зөв ​​өнцгийн дүрслэлүүд байна.

Өнцгийг хэмжих зарчмаас харахад тэнцүү өнцгийн градусын хэмжигдэхүүн нь ижил, том өнцгийн градусын хэмжүүр нь жижиг, хэд хэдэн өнцгөөс бүрдэх өнцгийн градусын хэмжүүрээс их байна. бүрэлдэхүүн хэсгийн өнцгийн хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Доорх зурагт AOC, COD, DOB өнцгүүдээс бүрдэх AOB өнцгийг харуулж байна.

Энэ замаар, зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь зуун наян градус байна, учир нь тэдгээр нь шулуун өнцөг үүсгэдэг.

Энэ мэдэгдлээс харахад . Үнэн хэрэгтээ, хэрэв AOB ба COD өнцөг нь босоо байвал AOB ба BOC өнцөгүүд нь зэргэлдээ, COD ба BOC өнцөгүүд нь мөн зэрэгцэн оршдог тул тэгш байдал нь хүчинтэй байна.

Зэрэглэлийн зэрэгцээ өнцгийг хэмжих тохиромжтой нэгжийг дууддаг радиан. Радиан хэмжигдэхүүнийг тригонометрт өргөн ашигладаг. Радианыг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт.

Нэг радиан өнцөг- энэ төв булан, энэ нь харгалзах тойргийн радиусын урттай тэнцүү нумын урттай тохирч байна.

Нэг радианы өнцгийн график дүрслэлийг өгье. Зураг дээр OA радиусын урт (түүнчлэн OB радиус) нь нумын урттай тэнцүү байна AB , Тиймээс тодорхойлолтоор AOB өнцөг нь нэг радиантай тэнцүү байна.

"Рад" гэсэн товчлол нь радианыг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг. Жишээ нь 5 рад гэж бичвэл 5 радиан гэсэн үг. Гэсэн хэдий ч бичгээр "рад" гэсэн тэмдэглэгээг ихэвчлэн орхигдуулдаг. Жишээ нь, өнцөг нь pi-тэй тэнцүү гэж бичвэл пи рад гэсэн үг.

Радианаар илэрхийлсэн өнцгийн утга нь тойргийн радиусын уртаас хамаардаггүй гэдгийг тусад нь тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь өгөгдсөн өнцгөөр хязгаарлагдсан дүрсүүд болон өгөгдсөн өнцгийн орой дээр төвлөрсөн тойргийн нумууд хоорондоо төстэй байдагтай холбоотой юм.

Радианаар өнцгийг хэмжих нь өнцгийг градусаар хэмжихтэй ижил аргаар хийж болно: нэг радианы өнцөг (болон түүний хэсгүүд) өгөгдсөн өнцөгт хэдэн удаа тохирохыг олоорой. Мөн та харгалзах төв өнцгийн нумын уртыг тооцоолж, дараа нь радиусын уртаар хувааж болно.

Практикийн хэрэгцээнд зориулж зэрэг болон радианы хэмжүүрүүд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг мэдэх нь ашигтай байдаг, учир нь нэлээд хэсгийг хийх шаардлагатай байдаг. Энэ өгүүлэлд өнцгийн градус ба радиан хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг тогтоож, градусыг радиан болон эсрэгээр хөрвүүлэх жишээг өгсөн болно.

Зураг дээрх булангийн тэмдэглэгээ.

Тохиромжтой, тодорхой болгохын тулд зураг дээр булангуудыг нумаар тэмдэглэж болох бөгөөд энэ нь ихэвчлэн булангийн дотоод хэсэгт булангийн нэг талаас нөгөө тал руу зурдаг. Тэнцүү өнцгийг ижил тооны нумаар, тэгш бус өнцгийг өөр тооны нумаар тэмдэглэнэ. Зурган дээрх зөв өнцгийг "" хэлбэрийн тэмдгээр тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь булангийн нэг талаас нөгөө тал руу чиглэсэн зөв өнцгийн дотоод хэсэгт дүрслэгдсэн байдаг.

Хэрэв та зураг дээр олон янзын өнцгийг (ихэвчлэн гурваас дээш) тэмдэглэх шаардлагатай бол өнцгийг тодорхойлохдоо энгийн нумуудаас гадна тусгай төрлийн нумуудыг ашиглахыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл, та хошуутай нум эсвэл үүнтэй төстэй зүйлийг дүрсэлж болно.

Зурган дээрх өнцгийн тэмдэглэгээнд анхаарлаа хандуулж, зураг зурах хэрэггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зөвхөн шийдвэрлэх эсвэл нотлох явцад шаардлагатай өнцгүүдийг тэмдэглэхийг зөвлөж байна.

Ном зүй.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометр. 7-9-р анги: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометр. ЕБС-ийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Погорелов А.В., Геометр. Боловсролын байгууллагын 7-11-р ангийн сурах бичиг.

Энэ нийтлэлд геометрийн гол хэлбэрүүдийн нэг болох өнцгийг авч үзэх болно. Энэ үзэл баримтлалын ерөнхий танилцуулга хийсний дараа бид ийм дүрсийн тодорхой төрөлд анхаарлаа хандуулах болно. Шулуун өнцөг нь геометрийн чухал ойлголт бөгөөд энэ өгүүллийн гол сэдэв байх болно.

Геометрийн өнцгийн тухай ойлголтын танилцуулга

Геометрийн хувьд бүх шинжлэх ухааны үндэс суурийг бүрдүүлдэг хэд хэдэн объект байдаг. Өнцөг нь зөвхөн тэдэнд хамаарах бөгөөд туяа гэсэн ойлголтыг ашиглан тодорхойлогддог тул үүнээс эхэлье.

Түүнчлэн, өнцгийн тодорхойлолтыг үргэлжлүүлэхээсээ өмнө геометрийн ижил төстэй хэд хэдэн объектыг санах хэрэгтэй - энэ бол цэг, хавтгай дээрх шулуун шугам, хавтгай өөрөө юм. Шулуун шугам бол эхлэл ч, төгсгөл ч байдаггүй хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Хавтгай нь хоёр хэмжээст гадаргуу юм. Геометрийн туяа (эсвэл хагас шугам) нь эхлэлтэй боловч төгсгөлгүй шулуун шугамын нэг хэсэг юм.

Эдгээр ойлголтуудыг ашиглан бид өнцөг нь тодорхой хавтгайд бүрэн оршдог, нийтлэг гарал үүсэлтэй таарахгүй хоёр цацрагаас бүрдэх геометрийн дүрс юм гэж мэдэгдэнэ. Ийм цацрагийг өнцгийн талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд талуудын нийтлэг эхлэл нь түүний орой юм.

Өнцөг ба геометрийн төрлүүд

Өнцөг нь огт өөр байж болохыг бид мэднэ. Тиймээс жижиг ангиллыг арай доогуур өгөх бөгөөд энэ нь өнцгийн төрөл, тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг илүү сайн ойлгоход тусална. Тиймээс геометрт хэд хэдэн төрлийн өнцөг байдаг:

1. Зөв өнцөг. Энэ нь 90 градусын утгаараа тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь түүний талууд нь бие биентэйгээ үргэлж перпендикуляр байдаг гэсэн үг юм.
2. Хурц булан. Эдгээр өнцгүүд нь 90 градусаас бага хэмжээтэй бүх төлөөлөгчдийг багтаадаг.
3. Мохоо өнцөг. 90-180 градусын утгатай бүх өнцөг энд байж болно.
4. Өргөтгөсөн булан. Энэ нь хатуу 180 градусын хэмжээтэй бөгөөд гадна тал нь нэг шулуун шугам үүсгэдэг.

Шулуун өнцгийн тухай ойлголт

Одоо боловсруулсан өнцгийг илүү нарийвчлан авч үзье. Энэ нь хоёр тал нь нэг шулуун дээр хэвтэж байх үед тохиолддог бөгөөд энэ нь бага зэрэг доогуур зурган дээр тодорхой харагдаж байна. Энэ нь түүний нэг тал нь үнэн хэрэгтээ нөгөө талын үргэлжлэл гэдгийг бид итгэлтэйгээр хэлж чадна гэсэн үг юм.

Ийм өнцгийг оройноос нь гарч буй туяа ашиглан үргэлж хувааж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүний үр дүнд бид геометрийн хувьд зэргэлдээ гэж нэрлэгддэг хоёр өнцгийг олж авдаг.

Мөн боловсруулсан өнцөг нь хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг. Тэдний эхнийх нь талаар ярихын тулд та "өнцгийн биссектрис" гэсэн ойлголтыг санах хэрэгтэй. Энэ бол ямар ч өнцгийг хагасаар нь хуваадаг туяа гэдгийг санаарай. Шулуун өнцгийн хувьд түүний биссектрис нь 90 градусын хоёр тэгш өнцөг үүсгэх байдлаар хуваагдана. Үүнийг математикийн хувьд тооцоолоход маш хялбар байдаг: 180˚ (шулуун өнцгийн зэрэг): 2 = 90˚.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид боловсруулсан өнцгийг бүрэн дурын туяагаар хуваах юм бол үр дүнд нь бид үргэлж хоёр өнцөг авах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо байх болно.

Хавтгай булангийн шинж чанарууд

Энэ жагсаалтад оруулсан бүх үндсэн шинж чанаруудыг нэгтгэн энэ өнцгийг авч үзэх нь тохиромжтой байх болно.

1. Шулуун өнцгийн талууд нь эсрэг параллель бөгөөд шулуун шугам үүсгэдэг.
2. Боловсруулсан өнцгийн утга нь үргэлж 180˚ байна.
3. Хоёр зэргэлдээ өнцөг нь нийлээд үргэлж шулуун өнцөг үүсгэдэг.
4. Бүтэн өнцөг буюу 360˚ нь байрлуулсан хоёр өнцөгөөс бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
5. Хагас шулуун өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Тиймээс, энэ төрлийн өнцгийн эдгээр бүх шинж чанаруудыг мэдсэнээр бид геометрийн хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Шулуун булантай холбоотой асуудлууд

Шулуун өнцгийн тухай ойлголтыг эзэмшсэн эсэхээ ойлгохын тулд дараах хэдэн асуултанд хариулахыг хичээгээрэй.

1. Хажуу талууд нь босоо шугам үүсгэдэг бол шулуун өнцөг гэж юу вэ?
2. Эхнийх нь 72˚, нөгөө нь 118˚ бол хоёр өнцөг зэргэлдээ байх уу?
3. Бүтэн өнцөг нь хоёр шулуун өнцгөөс тогтвол хэдэн тэгш өнцөгтэй байх вэ?
4. Шулуун өнцгийг цацрагаар хоёр өнцөгт хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн градусын хэмжигдэхүүн нь 1:4 харьцаатай байдаг. Хүлээн авсан өнцгийг тооцоол.

Шийдэл ба хариултууд:

1. Шулуун өнцөг хэрхэн байрлаж байгаагаас үл хамааран энэ нь үргэлж 180˚-тэй тэнцүү байдаг.
2. Зэргэлдээх булангууд нь нэг нийтлэг талтай. Тиймээс тэдгээрийн нийлүүлсэн өнцгийн хэмжээг тооцоолохын тулд та тэдгээрийн градусын хэмжүүрийн утгыг нэмэх хэрэгтэй. Тэгэхээр, 72 +118 = 190. Гэхдээ тодорхойлолтоор шулуун өнцөг нь 180˚ бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хоёр өнцөг нь зэргэлдээ байж болохгүй гэсэн үг юм.
3. Шулуун өнцөг нь хоёр зөв өнцгийг агуулдаг. Бүтэн нэгд нь хоёр байрлуулсан байгаа тул энэ нь 4 шулуун шугам байх болно гэсэн үг юм.
4. Хэрэв бид хүссэн өнцгүүдийг a ба b гэж нэрлэвэл x нь тэдгээрийн пропорциональ байдлын коэффициент байх ёстой бөгөөд энэ нь a \u003d x, үүний дагуу b \u003d 4x гэсэн үг юм. Шулуун өнцөг нь градусаар 180˚ байна. Өнцгийн хэмжүүр нь түүний талуудын хооронд дамждаг дурын туяанд хуваагдсан өнцгүүдийн градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байдаг шинж чанарын дагуу бид x + 4x = 180 гэж дүгнэж болно. ˚, энэ нь 5x = 180˚ гэсэн үг. Эндээс бид олох болно: x=a=36˚ ба b = 4x = 144˚. Хариулт: 36˚ ба 144˚.

Хэрэв та эдгээр бүх асуултанд ямар ч шуурхай, хариултыг хайхгүйгээр хариулж чадсан бол дараагийн геометрийн хичээл рүү шилжихэд бэлэн байна.