Квадрат матрицын хувийн вектор нь өгөгдсөн матрицаар үржүүлснээр коллинеар вектор гарч ирдэг. Энгийнээр хэлбэл, матрицыг хувийн вектороор үржүүлэхэд сүүлийнх нь хэвээр үлдэнэ, гэхдээ зарим тоогоор үржүүлнэ.

Тодорхойлолт

Өвөрмөц вектор нь тэгээс ялгаатай V вектор бөгөөд M квадрат матрицаар үржүүлснээр тодорхой λ тоогоор нэмэгдэж өөрөө болж хувирдаг. Алгебрийн тэмдэглэгээнд дараах байдлаар харагдана.

M × V = λ × V,

Энд λ нь M матрицын хувийн утга юм.

Тоон жишээг авч үзье. Тохиромжтой болгох үүднээс матриц дахь тоонуудыг цэг таслалаар тусгаарлана. Матрицтай болцгооё:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Үүнийг баганын вектороор үржүүлье:

• V = -2;

Матрицыг баганын вектороор үржүүлэхэд мөн баганын вектор гарч ирнэ. Математикийн хатуу утгаараа 2х2 матрицыг баганын вектороор үржүүлэх томъёо дараах байдалтай байна.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 гэдэг нь эхний мөр ба эхний баганад байрлах M матрицын элемент, M22 - хоёр дахь мөр ба хоёр дахь баганад байрлах элементийг хэлнэ. Манай матрицын хувьд эдгээр элементүүд нь M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10-тай тэнцүү байна. Баганын векторын хувьд эдгээр утгууд нь V11 = –2, V21 = 1. Энэ томьёоны дагуу бид олж авна. квадрат матрицыг вектороор үржүүлсний дараах үр дүн:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Тохиромжтой болгох үүднээс баганын векторыг мөрөнд бичье. Тиймээс бид квадрат матрицыг вектороор (-2; 1) үржүүлснээр вектор (4; -2) гарлаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь λ = -2-оор үржүүлсэн ижил вектор юм. Энэ тохиолдолд ламбда нь матрицын хувийн утгыг илэрхийлнэ.

Матрицын хувийн вектор нь коллинеар вектор, өөрөөр хэлбэл матрицаар үржүүлэхэд орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй объект юм. Вектор алгебр дахь коллинеар байдал нь геометрийн параллелизмтэй төстэй. Геометрийн тайлбарт коллинеар векторууд нь өөр өөр урттай зэрэгцээ чиглэлтэй шугамын хэсгүүд юм. Евклидийн үеэс хойш бид нэг шулуун нь хязгааргүй тооны зэрэгцээ шулуун шугамтай гэдгийг мэддэг тул матриц бүр хязгааргүй тооны хувийн вектортой гэж үзэх нь логик юм.

Өмнөх жишээнээс харахад хувийн векторууд нь (-8; 4), (16; -8), (32, -16) байж болохыг харж болно. Эдгээр нь бүгд λ = -2 хувийн утгатай тохирох коллинеар векторууд юм. Эдгээр векторуудаар анхны матрицыг үржүүлэхэд бид анхныхаас 2 дахин ялгаатай векторыг хүлээн авах болно. Ийм учраас хувийн векторыг олох асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн шугаман бие даасан вектор объектуудыг олох шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд n × n матрицын хувьд n-р тооны хувийн векторууд байдаг. Манай тооцоолуур нь хоёр дахь эрэмбийн квадрат матрицыг шинжлэхэд зориулагдсан тул давхцсан тохиолдлоос бусад тохиолдолд бараг үргэлж хоёр хувийн вектор олдох болно.

Дээрх жишээн дээр бид анхны матрицын хувийн векторыг урьдчилан мэдэж, ламбдагийн тоог тодорхой тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл эсрэгээрээ тохиолддог: хувийн утгууд нь эхэндээ олддог бөгөөд зөвхөн дараа нь хувийн векторууд байдаг.

Шийдвэрлэх алгоритм

Анхны M матрицыг эргэн харж, түүний өмч векторуудыг хоёуланг нь олохыг хичээцгээе. Тиймээс матриц дараах байдалтай байна.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Эхлээд бид λ хувийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бид дараах матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй.

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 - λ).

Энэхүү матрицыг үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс үл мэдэгдэх λ-ийг хасч гаргана. Тодорхойлогчийг стандарт томъёогоор тодорхойлно.

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

Бидний вектор тэг байх ёсгүй тул үүссэн тэгшитгэлийг шугаман хамааралтай гэж авч, тодорхойлогч detA-г тэгтэй тэнцүүлнэ.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

Хаалтуудыг нээж, матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг авцгаая.

λ 2 - 10λ - 24 = 0

Энэ бол дискриминант ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай стандарт квадрат тэгшитгэл юм.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Дискриминантийн язгуур нь sqrt (D) = 14, тиймээс λ1 = -2, λ2 = 12. Одоо lambda утга бүрийн хувьд та өөрийн векторыг олох хэрэгтэй. λ = -2 үед системийн коэффициентүүдийг илэрхийлье.

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Энэ томъёонд E нь таних матриц юм. Үүссэн матриц дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

2x + 4y = 6x + 12y,

Энд x ба у нь хувийн векторын элементүүд юм.

Зүүн талд байгаа бүх X, баруун талд байгаа бүх тоглогчдыг цуглуул. Мэдээжийн хэрэг - 4x = 8y. Илэрхийлэлийг - 4-т хувааж, x = –2y гарна. Одоо бид үл мэдэгдэх бүх утгыг авч матрицын эхний хувийн векторыг тодорхойлж болно (шугаман хамааралтай хувийн векторуудын хязгааргүйг санаарай). y = 1, тэгвэл x = –2 гэж авъя. Тиймээс эхний хувийн вектор нь V1 = (–2; 1) шиг харагдаж байна. Өгүүллийн эхэнд буцаж оч. Чухам энэ вектор объект дээр бид матрицыг үржүүлж, хувийн векторын тухай ойлголтыг харуулсан.

Одоо бид λ = 12-ын хувийн векторыг олох болно.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Шугаман тэгшитгэлийн ижил системийг зохиоё;

• -12x + 4y = 6x - 2y
• -18х = -6ж
• 3х = у.

Одоо x = 1, тэгэхээр у = 3 гэж авъя. Иймд хоёр дахь хувийн вектор нь V2 = (1; 3) шиг харагдаж байна. Анхны матрицыг энэ вектороор үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж ижил векторыг 12-оор үржүүлсэн байх болно. Энэ нь шийдлийн алгоритмыг дуусгана. Та одоо матрицын хувийн векторыг хэрхэн гараар тодорхойлохыг мэддэг болсон.

• тодорхойлогч;
• ул мөр, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр;
• зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл шугаман бие даасан мөр / баганын хамгийн их тоо.

Хөтөлбөр нь дээрх алгоритмын дагуу ажиллаж, шийдлийн процессыг багасгадаг. Хөтөлбөрт lambda-г "c" үсгээр тэмдэглэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоон жишээ авч үзье.

Програмын жишээ

Дараах матрицын хувийн векторуудыг тодорхойлохыг хичээцгээе.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Эдгээр утгыг тооцоолуурын нүдэнд оруулаад дараах хэлбэрээр хариултыг авцгаая.

• Матрицын зэрэглэл: 2
• Матрицын тодорхойлогч: 18;
• Матрицын мөр: 19;
• Өвөрмөц векторын тооцоо: c 2 - 19.00c + 18.00 (шинж чанарын тэгшитгэл);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 18 (эхний ламбда утга);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 1 (хоёр дахь ламбда утга);
• 1-р векторын тэгшитгэлийн систем: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• 2-р векторын тэгшитгэлийн систем: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Өвөрмөц вектор 1: (1; 1);
• Өвөрмөц вектор 2: (-3.25; 1).

Тиймээс бид хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг олж авлаа.

Дүгнэлт

Шугаман алгебр болон аналитик геометр нь инженерийн чиглэлээр суралцаж буй аливаа нэгдүгээр курсын стандарт хичээл юм. Олон тооны вектор, матрицууд нь аймшигтай бөгөөд ийм нүсэр тооцоололд алдаа гаргахад амархан байдаг. Манай программ нь оюутнуудад тооцоогоо шалгах эсвэл өөрийн векторыг олох асуудлыг автоматаар шийдэх боломжийг олгоно. Манай каталогид бусад шугаман алгебрийн тооцоолуурууд байдаг тул тэдгээрийг хичээл, ажилдаа ашиглаарай.

". Эхний хэсэг нь химометрийг ойлгоход шаардагдах хамгийн бага заалтуудыг тусгасан бөгөөд хоёр дахь хэсэгт олон хувьсагчийн шинжилгээний аргуудын талаар илүү гүнзгий ойлголттой болохын тулд мэдэх шаардлагатай баримтуудыг багтаасан болно. Илтгэлийг Excel-ийн ажлын дэвтэрт гүйцэтгэсэн жишээн дээр харуулсан болно. Matrix.xlsЭнэ баримт бичигт дагалддаг.

Жишээнүүдийн эшлэлийг текстэнд Excel объект хэлбэрээр байрлуулсан болно. Эдгээр жишээнүүд нь хийсвэр шинж чанартай бөгөөд тэдгээр нь аналитик химийн асуудалтай ямар ч холбоогүй юм. Хемометрийн салбарт матрицын алгебр ашиглах бодит жишээг янз бүрийн химометрийн хэрэглээнд зориулагдсан бусад бичвэрүүдэд авч үзсэн болно.

Аналитик химийн чиглэлээр хийсэн ихэнх хэмжилтүүд нь шууд биш, харин шууд бус... Энэ нь туршилтын явцад хүссэн аналитийн С (концентраци) утгын оронд өөр утгыг олж авна гэсэн үг юм. х(дохио) холбоотой боловч C-тэй тэнцүү биш, i.e. х(C) ≠ C. Дүрмээр бол хамаарлын төрөл х(C) тодорхойгүй боловч аналитик химийн хувьд азаар ихэнх хэмжилтүүд пропорциональ байдаг. Энэ нь C-ийн концентраци ихсэх тусам гэсэн үг юм аудаад X дохио ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно. х(а C) = а х(C). Нэмж дурдахад дохионууд нь нэмэлт шинж чанартай байдаг тул C 1 ба C 2 концентрацитай хоёр бодис агуулсан дээжийн дохио нь бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн дохионы нийлбэртэй тэнцүү байх болно. х(C 1 + C 2) = х(C 1) + х(C 2). Пропорциональ байдал ба нэмэлт нь хамтдаа өгдөг шугаман байдал... Шугаман байдлын зарчмыг харуулах олон жишээ байдаг боловч хамгийн гайхалтай хоёр жишээ болох хроматографи ба спектроскопиыг дурдахад хангалттай. Аналитик химийн туршилтын хоёр дахь шинж чанар олон суваг... Орчин үеийн аналитик төхөөрөмж нь олон сувгийн дохиог нэгэн зэрэг хэмждэг. Жишээлбэл, гэрлийн дамжуулалтын эрчмийг нэг дор хэд хэдэн долгионы уртаар хэмждэг, i.e. спектр. Тиймээс туршилтын явцад бид олон дохиотой харьцдаг х 1 , х 2 ,...., х n, судалж буй системд агуулагдах бодисын C 1, C 2, ..., C m агууламжийн багцыг тодорхойлдог.

Цагаан будаа. 1 спектр

Тиймээс аналитик туршилт нь шугаман болон олон хэмжээст шинж чанартай байдаг. Иймд туршилтын өгөгдлийг вектор, матриц гэж үзэж, матрицын алгебрын аппаратыг ашиглан тэдгээрийг удирдах нь тохиромжтой. Энэхүү аргын үр өгөөжийг 4000-аас 4796 см-1 хүртэлх 200 долгионы уртад бүртгэсэн гурван спектрийг харуулсан жишээн дээр харуулав. Эхлээд ( х 1) ба хоёр дахь ( х 2) А ба В хоёр бодисын концентрацийг мэддэг стандарт дээжийн спектрийг авсан: эхний дээжинд [A] = 0.5, [B] = 0.1, хоёр дахь дээжинд [A] = 0.2, [B байна. ] = 0.6. Спектр нь тодорхойлогдсон шинэ, үл мэдэгдэх дээжийн талаар юу хэлж болох вэ х 3 ?

Гурван туршилтын спектрийг авч үзье х 1 , х 2 ба х 3-ыг 200 хэмжигдэхүүнтэй гурван вектор. Шугаман алгебрын тусламжтайгаар үүнийг хялбархан харуулж чадна х 3 = 0.1 х 1 +0.3 х 2; тиймээс гурав дахь дээжинд [A] = 0.5 × 0.1 + 0.2 × 0.3 = 0.11 ба [B] = 0.1 × 0.1 + 0.6 × 0.3 = 0.19 концентрацид зөвхөн А ба В бодис агуулагдах нь ойлгомжтой.

1. Үндсэн мэдээлэл

1.1 Матрицууд

Матрицжишээлбэл тэгш өнцөгт тооны хүснэгт гэж нэрлэдэг

Цагаан будаа. 2 матриц

Матрицуудыг тод том үсгээр тэмдэглэв ( А), тэдгээрийн элементүүд - индекс бүхий харгалзах жижиг үсгүүд, i.e. а ij. Эхний индекс нь мөрүүдийг дугаарлаж, хоёр дахь нь баганыг дугаарлана. Хемометрийн хувьд индексийн хамгийн их утгыг индекстэй ижил үсгээр тэмдэглэх нь заншилтай байдаг, гэхдээ том үсгээр бичсэн байдаг. Тиймээс матриц Агэж бас бичиж болно ( а ij , би = 1,..., I; ж = 1,..., Ж). Жишээнд үзүүлсэн матрицын хувьд I = 4, Ж= 3 ба а 23 = −7.5.

Хос тоо Iболон Жматрицын хэмжээс гэж нэрлэгддэг ба гэж тэмдэглэнэ I× Ж... Хемометрийн матрицын жишээ бол олж авсан спектрийн багц юм Iдээжүүд дээр Ждолгионы урт.

1.2. Энгийн матрицын үйлдлүүд

Матрицууд боломжтой тоогоор үржүүлнэ... Энэ тохиолдолд элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл -

Цагаан будаа. 3 Матрицыг тоогоор үржүүлэх

Ижил хэмжээтэй хоёр матриц нь элементийн хувьд байж болно нугалахболон хасах... Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 4 Матриц нэмэх

Тоогоор үржүүлж, нэмсний үр дүнд ижил хэмжээтэй матрицыг олж авна.

Тэг матриц нь тэгээс бүрдэх матриц юм. Үүнийг тэмдэглэсэн байна О... Энэ нь ойлгомжтой А+О = А, А−А = Оба 0 А = О.

Матриц байж болно шилжүүлэн суулгах... Энэ үйлдлийн явцад матрицыг эргүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. мөр, баганыг сольсон. Transpose нь цус харвалтаар тодорхойлогддог. А"эсвэл индекс Ат. Тэгэхээр хэрэв А = {а ij , би = 1,..., I; ж = 1,...,Ж), дараа нь А t = ( а жи , ж = 1,...,Ж; i = 1, ..., I). Жишээлбэл

Цагаан будаа. 5 Матрицыг шилжүүлэх

Энэ нь ойлгомжтой ( А t) t = А, (А+Б) т = А t + Бт.

1.3. Матрицын үржүүлэх

Матрицууд боломжтой үржүүлэх, гэхдээ тэдгээр нь зохих хэмжээстэй байвал л. Яагаад ийм байгаа нь тодорхойлолтоос тодорхой болно. Матрицын бүтээгдэхүүн А, хэмжээс I× К, болон матрицууд Б, хэмжээс К× Жматриц гэж нэрлэдэг C, хэмжээс I× Жэлементүүд нь тоо юм

Тиймээс үйлдвэрлэх ABзүүн матриц дахь баганын тоо байх шаардлагатай Абаруун матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байв Б... Матрицын бүтээгдэхүүний жишээ -

Зураг 6 Матрицын бүтээгдэхүүн

Матрицыг үржүүлэх дүрмийг дараах байдлаар томъёолж болно. Матрицын элементийг олох Cуулзвар дээр зогсож байна би-р мөр ба ж-р багана ( в ij) элементээр үржүүлсэн байх ёстой биэхний матрицын 3-р эгнээ Адээр жхоёр дахь матрицын th багана Бмөн бүх үр дүнг нэгтгэ. Тиймээс үзүүлсэн жишээн дээр гурав дахь эгнээ ба хоёр дахь баганын элементийг гурав дахь эгнээний элементийн бүтээгдэхүүний нийлбэрээр олж авна. Аба хоёр дахь багана Б

Зураг 7 Матрицын бүтээгдэхүүний элемент

Матрицын бүтээгдэхүүн нь дарааллаас хамаарна, өөрөөр хэлбэл. AB ≠ БА, хэрэв зөвхөн хэмжээсийн шалтгаанаар бол. Үүнийг солигддоггүй гэдэг. Гэсэн хэдий ч матрицын бүтээгдэхүүнүүд ассоциатив байдаг. Энэ нь тийм гэсэн үг ABC = (AB)C = А(МЭӨ). Үүнээс гадна, энэ нь бас түгээх, i.e. А(Б+C) = AB+АС... Энэ нь ойлгомжтой А.О = О.

1.4. Квадрат матрицууд

Хэрэв матрицын баганын тоо нь түүний мөрүүдийн тоотой тэнцүү бол ( I = J = N), ийм матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг. Энэ хэсэгт бид зөвхөн ийм матрицуудыг авч үзэх болно. Эдгээр матрицуудаас онцгой шинж чанартай матрицуудыг ялгаж салгаж болно.

Ганц биематриц (тэмдэглэсэн би,мөн заримдаа Э) нь диагональ элементүүдээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц бөгөөд 1-тэй тэнцүү, i.e.

Мэдээжийн хэрэг Ай = IA = А.

Матриц гэж нэрлэдэг диагональХэрэв диагональ элементүүдээс бусад бүх элементүүд ( а ii) тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл

Цагаан будаа. 8 Диагональ матриц

Матриц Адээд гэж нэрлэдэг гурвалжинхэрэв диагональ доорх бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. а ij= 0, хувьд би>ж... Жишээлбэл

Цагаан будаа. 9 Дээд гурвалжин матриц

Доод гурвалжин матрицыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Матриц Адуудсан тэгш хэмтэй, хэрэв А t = А... Өөрөөр хэлбэл а ij = а жи... Жишээлбэл

Цагаан будаа. 10 Симметрик матриц

Матриц Адуудсан ортогональ, хэрэв

Ат А = АА t = I.

Матриц гэж нэрлэдэг хэвийнхэрэв

1.5. Мөр ба тодорхойлогч

Дагаж байнаквадрат матриц А(Tr гэж тэмдэглэсэн ( А) эсвэл Sp ( А)) нь диагональ элементүүдийн нийлбэр,

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 11 Матрицын ул мөр

Энэ нь ойлгомжтой

Sp (α А) = α Sp ( А) ба

Sp ( А+Б) = Sp ( А) + Sp ( Б).

Үүнийг харуулж болно

Sp ( А) = Sp ( А t), Sp ( I) = Н,

бас тэр

Sp ( AB) = Sp ( БА).

Квадрат матрицын өөр нэг чухал шинж чанар нь түүний хэмжээ юм тодорхойлогч(детээр тэмдэглэсэн ( А)). Ерөнхий тохиолдолд тодорхойлогчийг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү тул бид хамгийн энгийн хувилбар болох матрицаас эхэлнэ. Ахэмжээс (2 × 2). Дараа нь

(3 × 3) матрицын хувьд тодорхойлогч нь байх болно

матрицын хувьд ( Н× Н) тодорхойлогчийг 1 2 3 ... нийлбэрээр тооцно. Н= Н! нэр томъёо тус бүр нь тэнцүү байна

Индексүүд к 1 , к 2 ,..., к Нбүх боломжит эрэмбэлэгдсэн орлуулалтууд гэж тодорхойлогддог rбагц дахь тоонууд (1, 2, ..., Н). Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох нь практикт тусгай програм ашиглан хийгддэг нарийн төвөгтэй процедур юм. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 12 Матрицын тодорхойлогч

Бид зөвхөн тодорхой шинж чанаруудыг тэмдэглэж байна:

det ( I) = 1, det ( А) = det ( А t),

det ( AB) = det ( А) det ( Б).

1.6. Векторууд

Хэрэв матриц нь зөвхөн нэг баганаас бүрдэх бол ( Ж= 1), тэгвэл ийм объектыг дуудна вектор... Илүү нарийн, баганын вектор. Жишээлбэл

Жишээлбэл, нэг мөрөөс бүрдэх матрицуудыг авч үзэж болно

Энэ объект нь мөн вектор боловч эгнээ вектор... Өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхдээ бид аль вектортой харьцаж байгааг ойлгох нь чухал юм - багана эсвэл мөр. Тиймээс нэг дээжинд авсан спектрийг эгнээний вектор гэж үзэж болно. Дараа нь бүх дээжийн хувьд тодорхой долгионы урттай спектрийн эрчмийн багцыг баганын вектор гэж үзэх ёстой.

Векторын хэмжээс нь түүний элементүүдийн тоо юм.

Аливаа баганын векторыг шилжүүлэн суулгах замаар эгнээний вектор болгон хувиргах нь ойлгомжтой.

Векторын хэлбэрийг тусгайлан заагаагүй, зүгээр л вектор гэж хэлсэн тохиолдолд тэдгээр нь баганын вектор гэсэн үг юм. Бид ч гэсэн энэ дүрмийг баримтална. Векторыг жижиг шулуун тод үсгээр тэмдэглэнэ. Тэг вектор нь бүх элементүүд нь тэг байх вектор юм. Энэ нь томилогдсон 0 .

1.7. Векторуудтай хийх үндсэн үйлдлүүд

Векторуудыг матрицтай адил тоогоор нэмж, үржүүлж болно. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 13 Вектор үйлдлүүд

Хоёр вектор хболон yгэж нэрлэдэг колинеарийм α тоо байвал

1.8. Векторуудын бүтээгдэхүүн

Ижил хэмжээтэй хоёр вектор Нүржүүлж болно. Хоёр вектор байг х = (х 1 , х 2 ,...,х N) t ба y = (y 1 , y 2 ,...,y N) т. "Мөр багана" үржүүлэх дүрмийг удирдан бид тэдгээрээс хоёр бүтээгдэхүүнийг бүрдүүлж болно. хт yболон xyт. Эхний хэсэг

дуудсан скалярэсвэл дотоод... Үүний үр дүн нь тоо юм. Энэ нь мөн тэмдэглэгээг ашигладаг ( х,y)= хт y... Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 14 Дотоод бүтээгдэхүүн (цэг бүтээгдэхүүн)

Хоёр дахь хэсэг

дуудсан гадна... Үүний үр дүн нь хэмжээсийн матриц юм ( Н× Н). Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 15 Гадаад ажил

Скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү векторуудыг дууддаг ортогональ.

1.9. Вектор норм

Векторын скаляр үржвэрийг скаляр квадрат гэнэ. Энэ үнэ цэнэ

квадратыг тодорхойлдог уртвектор х... Уртыг илэрхийлэхийн тулд (мөн гэж нэрлэдэг нормвектор), тэмдэглэгээг ашиглана

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 16 Вектор норм

Нэгж урттай вектор (|| х|| = 1) нормчлогдсон гэж нэрлэдэг. Тэг биш вектор ( х ≠ 0 ) уртаар хуваах замаар хэвийн болгож болно, i.e. х = ||х|| (x /||х||) = ||х|| д... Энд д = x /||х|| нь нормчлогдсон вектор юм.

Хэрэв векторууд бүгд нормчлогдсон, хосоороо ортогональ байвал ортонормаль гэж нэрлэдэг.

1.10. Векторуудын хоорондох өнцөг

Цэгийн бүтээгдэхүүн нь ба тарилгаХоёр векторын хоорондох φ хболон y

Хэрэв векторууд ортогональ бол cosφ = 0 ба φ = π / 2, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал cosφ = 1 ба φ = 0 болно.

1.11. Матрицын вектор дүрслэл

Матриц бүр Ахэмжээ I× Жвекторуудын багц хэлбэрээр төлөөлүүлж болно

Энд вектор бүр а жнь жбагана, мөрийн вектор б бинь би- матрицын 1-р эгнээ А

1.12. Шугаман хамааралтай векторууд

Ижил хэмжээтэй векторууд ( Н)-ийг матрицтай адил тоогоор нэмж, үржүүлж болно. Үр дүн нь ижил хэмжээтэй вектор байх болно. Ижил хэмжээтэй хэд хэдэн вектор байг х 1 , х 2 ,...,х K ба ижил тооны α α ​​1, α 2, ..., α К... Вектор

y= α 1 х 1 + α 2 х 2 + ... + α К х К

дуудсан шугаман хослолвекторууд х к .

Хэрэв тэгээс өөр тоо байвал α к ≠ 0, к = 1,..., К, юу y = 0 , дараа нь ийм векторуудын багц х кдуудсан шугаман хамааралтай... Үгүй бол векторуудыг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, векторууд х 1 = (2, 2) t ба х 2 = (−1, −1) t нь шугаман хамааралтай, учир нь х 1 +2х 2 = 0

1.13. Матрицын зэрэглэл

багцыг авч үзье Квекторууд х 1 , х 2 ,...,х Кхэмжээсүүд Н... Энэ векторын системийн зэрэглэл нь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо юм. Жишээлбэл, багцад

жишээ нь зөвхөн хоёр шугаман бие даасан вектор байдаг х 1 ба х 2, тиймээс түүний зэрэглэл 2 байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв олонлогт тэдгээрийн хэмжээсээс олон вектор байгаа бол ( К>Н), тэгвэл тэдгээр нь заавал шугаман хамааралтай байна.

Матрицын зэрэглэлээр(зэрэглэлээр тэмдэглэсэн ( А)) нь түүний бүрдэх векторуудын системийн зэрэг юм. Хэдийгээр аливаа матрицыг хоёр аргаар (баганын вектор эсвэл мөр) төлөөлж болох боловч энэ нь зэрэглэлийн утгад нөлөөлөхгүй.

1.14. урвуу матриц

Квадрат матриц Аөвөрмөц шинж чанартай бол доройтдоггүй гэж нэрлэдэг урвууматриц А-1 нөхцөлөөр тодорхойлогддог

АА −1 = А −1 А = I.

Урвуу матриц бүх матрицад байдаггүй. Ядардаггүй байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл

det ( А) ≠ 0 эсвэл зэрэглэл ( А) = Н.

Матрицын урвуулалт нь тусгай програмууд байдаг нарийн төвөгтэй процедур юм. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 17 Матрицын урвуу

Хамгийн энгийн тохиолдлын томьёог танилцуулъя - 2 × 2 матриц

Хэрэв матрицууд Аболон Бтэгвэл доройтдоггүй

(AB) −1 = Б −1 А −1 .

1.15. Псевдоурвуу матриц

Хэрэв матриц Адоройтсон бөгөөд урвуу матриц байхгүй бол зарим тохиолдолд та ашиглаж болно псевдо-урвууийм матриц гэж тодорхойлсон матриц А+ тэр

АА + А = А.

Псевдо урвуу матриц нь цорын ганц биш бөгөөд түүний төрөл нь барилгын аргаас хамаарна. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт матрицын хувьд та Мур-Пенроузын аргыг ашиглаж болно.

Хэрэв баганын тоо мөрийн тооноос бага байвал

А + =(Ат А) −1 Ат

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 17a Матрицын псевдо-инверси

Хэрэв баганын тоо мөрийн тооноос их байвал

А + =А t ( ААт) −1

1.16. Векторыг матрицаар үржүүлэх

Вектор хматрицаар үржүүлж болно Атохиромжтой хэмжээс. Энэ тохиолдолд баганын векторыг баруун талд үржүүлнэ Сүхмөн эгнээний вектор зүүн талд байна хт А... Хэрэв векторын хэмжээс Ж, мөн матрицын хэмжээс I× Жтэгвэл үр дүн нь хэмжээсийн вектор болно I... Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 18 Матрицын үржүүлэх замаар вектор

Хэрэв матриц А- дөрвөлжин ( I× I), дараа нь вектор y = Сүххэмжээтэй ижил хэмжээтэй байна х... Энэ нь ойлгомжтой

А(α 1 х 1 + α 2 х 2) = α 1 Сүх 1 + α 2 Сүх 2 .

Тиймээс матрицуудыг векторуудын шугаман хувиргалт гэж үзэж болно. Тухайлбал Ix = х, Үхэр = 0 .

2. Нэмэлт мэдээлэл

2.1. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Байцгаая А- матрицын хэмжээ I× Ж, a б- хэмжээсийн вектор Ж... Тэгшитгэлийг авч үзье

Сүх = б

векторын хувьд х, хэмжээс I... Үнэндээ энэ бол систем юм Iшугаман тэгшитгэлүүд Жүл мэдэгдэх х 1 ,...,х Ж... Шийдэл нь зөвхөн хэрэв байгаа бол л бий

зэрэглэл ( А) = зэрэглэл ( Б) = Р,

хаана Бнь өргөтгөсөн хэмжээсийн матриц юм I×( J + 1) матрицаас бүрдэнэ Абаганаар бүрхэгдсэн б, Б = (А б). Үгүй бол тэгшитгэлүүд хоорондоо зөрчилддөг.

Хэрэв Р = I = Ж, тэгвэл шийдэл нь өвөрмөц юм

х = А −1 б.

Хэрэв Р < I, тэгвэл шугаман хослолоор илэрхийлэгдэх олон янзын шийдлүүд байдаг Ж−Рвекторууд. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн систем Сүх = 0 квадрат матриц А (Н× Н) чухал биш шийдэлтэй ( х ≠ 0 ) хэрэв зөвхөн хэрэв det ( А) = 0. Хэрэв Р= зэрэглэл ( А)<Ндараа нь оршино Н−Ршугаман бие даасан шийдлүүд.

2.2. Хоёр шугаман ба квадрат хэлбэрүүд

Хэрэв Ань квадрат матриц бөгөөд хболон yнь харгалзах хэмжээсийн векторууд, дараа нь хэлбэрийн скаляр үржвэр юм хт Айдуудсан хоёр шугаманматрицаар тодорхойлсон хэлбэр А... At х = yилэрхийлэл хт Сүхдуудсан квадратхэлбэр.

2.3. Эерэг тодорхой матрицууд

Квадрат матриц Адуудсан эерэгээр тодорхойлсонхэрэв тэгээс өөр векторын хувьд х ≠ 0 ,

хт Сүх > 0.

Үүний нэгэн адил, сөрөг (хт Сүх < 0), сөрөг бус (хт Сүх≥ 0) ба эерэг биш (хт Сүх≤ 0) тодорхой матрицууд.

2.4. Холескийн задрал

Хэрэв тэгш хэмтэй матриц Аэерэг тодорхой бол өвөрмөц гурвалжин матриц байна Уэерэг элементүүдтэй, үүний тулд

А = Ут У.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 19 Холескийн задрал

2.5. Туйлын задрал

Байцгаая Ахэмжээс нь доройтдоггүй квадрат матриц юм Н× Н... Дараа нь нэгийг харьцах гэж байна туйлгүйцэтгэл

А = SR,

хаана Снь сөрөг бус тэгш хэмтэй матриц бөгөөд Рнь ортогональ матриц юм. Матрицууд Сболон Ртодорхой тодорхойлж болно:

С 2 = ААт эсвэл С = (АА t) ½ ба Р = С −1 А = (АА t) −1 А.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 20 Туйлын задрал

Хэрэв матриц Адоройтсон бол өргөтгөл нь өвөрмөц биш юм - тухайлбал: Сганцаараа, гэхдээ Рмагадгүй маш их. Туйлын задрал нь матрицыг илэрхийлдэг Ашахалт / сунгалтын хослол хэлбэрээр Сболон эргэх Р.

2.6. Хувийн вектор ба хувийн утга

Байцгаая Аквадрат матриц юм. Вектор vдуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв

Av = λ v,

λ тоог хаана дууддаг өөрийн гэсэн утгатайматрицууд А... Тиймээс матрицын гүйцэтгэдэг хувиргалт Агаруй вектор v, λ коэффициенттэй энгийн суналт эсвэл шахалтаар багасдаг. Өвөрмөц векторыг α ≠ 0 тогтмолоор үржүүлэх хүртэл тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. хэрэв vнь хувийн вектор, дараа нь α vнь мөн хувийн вектор юм.

2.7. Хувийн үнэ цэнэ

Матриц А, хэмжээс ( Н× Н) илүү байж болохгүй Нхувийн үнэ цэнэ. Тэд сэтгэл хангалуун байдаг шинж чанарын тэгшитгэл

det ( А − λ I) = 0,

Энэ нь алгебрийн тэгшитгэл юм Нр захиалга. Ялангуяа 2х2 матрицын хувьд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 21 Хувийн утга

Хувийн утгуудын багц λ 1, ..., λ Нматрицууд Адуудсан спектр А.

Спектр нь янз бүрийн шинж чанартай байдаг. Тухайлбал

det ( А) = λ 1 × ... × λ Н, Sp ( А) = λ 1 + ... + λ Н.

Дурын матрицын хувийн утга нь нарийн төвөгтэй тоо байж болно, гэхдээ матриц нь тэгш хэмтэй бол ( А t = А), тэгвэл түүний хувийн утга бодит байна.

2.8. Өөрийн векторууд

Матриц А, хэмжээс ( Н× Н) илүү байж болохгүй Нөөрийн векторууд тус бүр өөрийн гэсэн утгатай тохирч байна. Өвөрмөц векторыг тодорхойлох v nТа нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй

(А − λ n I)v n = 0 .

Энэ нь энгийн шийдэлтэй, учир нь det ( А -λ n I) = 0.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 22 хувийн векторууд

Тэгш хэмт матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.

Тодорхойлолт 9.3.Вектор NS дуудсан өөрийн векторматрицууд Аийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: А NS= λ NS, гэж өргөдөл гаргасны үр дүн NS матрицаар өгөгдсөн шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ ... Тоо нь өөрөө λ дуудсан өөрийн дугаарматрицууд А.

Томьёонд орлуулах (9.3) x` j = λx j,Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

. (9.5)

Энэхүү шугаман нэгэн төрлийн систем нь үндсэн тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм) байвал л чухал бус шийдэлтэй байх болно. Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл... Үүнийг дараах байдлаар товч танилцуулж болно.

| A - λE | = 0, (9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE... -тай холбоотой олон гишүүнт λ | A - λE| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнт шинж чанарууд:

1) Шугаман хувиргалтын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Баталгаа. (9.4-ийг үзнэ үү), гэхдээ иймээс, . Тиймээс энэ нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Тиймээс, мөн | A-λE| шинэ суурь руу шилжихэд өөрчлөгдөхгүй.

2) Хэрэв матриц Ашугаман хувиргалт юм тэгш хэмтэй(тэдгээр. ба ij = a ji), тэгвэл (9.6) шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит тоо байна.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Хэрэв бид хувийн векторуудын суурийг сонговол x 1, x 2, x 3 хувийн утгатай харгалзах λ 1, λ 2, λ 3матрицууд А, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

2) Хэрэв өөрчлөлтийн хувийн утга Аялгаатай бол харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

3) Хэрэв матрицын шинж чанарын олон гишүүнт Агурван өөр үндэстэй, дараа нь ямар нэг үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё. Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя. (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв NS (1) ={x 1, x 2, x 3) Хувийн вектор харгалзах уу λ 1 = -2, тэгвэл

- хамтын ажиллагаатай боловч тодорхойгүй систем. Үүний шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно NS (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | х (1) |=1, NS (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 = 3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна. х (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, хаана NS (2) ={б, -б, б) эсвэл |-д хамаарна х (2) |=1, х (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол х (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, х (3) ={в,2c, c) эсвэл хэвийн хувилбарт

x (3) = Та үүнийг харж болно NS (1) NS (2) = ab - ab= 0, х (1) х (3) = ac - ac= 0, х (2) х (3) = МЭӨ- 2МЭӨ + МЭӨ= 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.

Лекц 10.

Квадрат хэлбэр ба тэдгээрийн тэгш хэмтэй матрицтай хамаарал. Тэгш хэмт матрицын хувийн вектор ба хувийн утгуудын шинж чанарууд. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тодорхойлолт 10.1.Квадрат хэлбэрбодит хувьсагч x 1, x 2, ..., x nнь эдгээр хувьсагчдад хамаарах хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд нэгдүгээр зэргийн чөлөөт гишүүн, гишүүнчлэл агуулаагүй.

Квадрат хэлбэрийн жишээ:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Сүүлийн лекцэд өгсөн тэгш хэмтэй матрицын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 10.2.Квадрат матриц гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв, өөрөөр хэлбэл, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матрицын элементүүд тэнцүү байвал.

Симметрик матрицын хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.

Нотолгоо (for n = 2).

Матрицыг үзье Ахарагдаж байна: ... Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя:

(10.2) Ялгаварлагчийг ол:

Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн бодит үндэстэй.

2) Симметрик матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.

Нотолгоо (for n= 2).

Өвөрмөц векторуудын координат ба тэгшитгэлийг хангах ёстой.

А матрицтай бол AX = lX байх l тоо байвал.

Түүнээс гадна l тоог дууддаг өөрийн гэсэн утгатайХ векторт тохирох оператор (А матриц).

Өөрөөр хэлбэл, өөрийн вектор нь шугаман операторын үйлчлэлээр коллинеар вектор болж хувирдаг вектор, өөрөөр хэлбэл. зүгээр л зарим тоогоор үржүүлсэн. Үүний эсрэгээр, зохисгүй векторыг хувиргахад илүү хэцүү байдаг.

Өвөрмөц векторын тодорхойлолтыг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичье.

Бүх нэр томъёог зүүн тал руу зөөнө үү:

Сүүлчийн системийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

(A - lE) X = O

Үүссэн систем нь үргэлж тэг шийдэлтэй X = O. Бүх чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү ийм системийг гэнэ. нэгэн төрлийн... Хэрэв ийм системийн матриц нь квадрат бөгөөд тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол Крамерын томъёог ашиглан бид үргэлж өвөрмөц шийдлийг авдаг - тэг. Энэ матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л систем тэгээс өөр шийдлүүдтэй болохыг баталж болно.

| A - LE | = = 0

Үл мэдэгдэх l-тэй энэ тэгшитгэлийг гэнэ шинж чанарын тэгшитгэл (онцлог олон гишүүнт) матрицын А (шугаман оператор).

Шугаман операторын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүйг харуулж болно.

Жишээлбэл, А = матрицаар өгөгдсөн шугаман операторын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олъё.

Үүний тулд бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиодог | A - lЕ | = = (1 - л) 2 - 36 = 1 - 2л + л 2 - 36 = л 2 - 2л - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; хувийн утга l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; l 2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Өвөрмөц векторуудыг олохын тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийддэг

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Тэдний эхнийх нь хувьд өргөтгөсөн матриц хэлбэрийг авдаг

,

эндээс x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = - (2/3) с, өөрөөр хэлбэл. X (1) = (- (2/3) с; с).

Тэдний хоёр дахь нь өргөтгөсөн матриц хэлбэрийг авдаг

,

эндээс x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, i.e. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Иймд энэ шугаман операторын хувийн векторууд нь хувийн утга (-5) бүхий (- (2/3) с; с) хэлбэрийн бүх векторууд ба ((2/3) с 1; с 1) хэлбэрийн бүх векторууд юм. хувийн утга нь 7 ...

А операторын матриц нь түүний хувийн векторуудаас бүрдэх суурь нь диагональ бөгөөд дараах хэлбэртэй болохыг баталж болно.

,

Энд l i нь энэ матрицын хувийн утга юм.

Үүний эсрэгээр нь бас үнэн: хэрэв зарим суурь дахь А матриц диагональ байвал энэ суурийн бүх векторууд нь энэ матрицын хувийн векторууд болно.

Хэрэв шугаман оператор нь n хос өөр хувийн утгатай байвал харгалзах хувийн векторууд нь шугаман хамааралгүй, харгалзах суурь дахь энэ операторын матриц диагональ хэлбэртэй болохыг батлах боломжтой.

Үүнийг өмнөх жишээн дээр тайлбарлая. Бид с ба с 1-ийг дурын тэгээс өөр утгыг авдаг, гэхдээ X (1) ба X (2) векторууд шугаман бие даасан байхаар, өөрөөр хэлбэл. суурь бүрдүүлэх болно. Жишээлбэл, c = c 1 = 3, дараа нь X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Эдгээр векторуудын шугаман бие даасан байдлыг шалгая:

12 ≠ 0. Энэхүү шинэ суурь дээр А матриц нь A * = хэлбэрийг авна.

Үүнийг шалгахын тулд бид A * = C -1 AC томъёог ашиглана. Эхлээд бид C -1-ийг олно.

С -1 = ;

Квадрат хэлбэрүүд

Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f (x 1, x 2, xn) -ийг нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат, эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр юм: f (x 1) , x 2, xn) = (a ij = a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг нэрлэнэ матрицквадрат хэлбэр. Үргэлж л тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij = a ji).

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь f (X) = X T AX, энд байна

Үнэхээр

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг матриц хэлбэрээр бичье.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь хувьсагчийн квадратуудын коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Y матриц баганын доройтоогүй шугаман хувиргалтаар Х хувьсагчийн матриц-баганыг олъё, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд С нь n дарааллын доройтдоггүй матриц юм. Дараа нь f (X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y квадрат хэлбэр.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман хувиргалт C-ийн хувьд квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэрийг авна: A * = C T AC.

Жишээлбэл, f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс олж авсан f (y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(Байсан каноник үзэл) хэрэв i ≠ j-ийн хувьд түүний бүх коэффициент a ij = 0 бол, өөрөөр хэлбэл,
f (x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(энд нотлох баримт байхгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, бид квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулж болно
f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд x 1 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно уу.

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5х 2 2 - х 2 х 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10) x 3 and y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f (y 1, y 2) каноник хэлбэрт оруулдаг. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20) y 3 2.

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу (нэг ижил квадрат хэлбэрийг янз бүрийн аргаар каноник хэлбэрт оруулж болно). Гэсэн хэдий ч янз бүрийн аргаар олж авсан каноник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн нийтлэг шинж чанартай байдаг. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно) . Энэ шинж чанарыг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль гэж нэрлэдэг.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар буулгах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Х 2 хувьсагчаар хувиргалтыг эхлүүлье:

f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, энд у 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, у 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 1-ийн хувьд сөрөг коэффициент -3, y 2 ба y 3-ийн хоёр эерэг коэффициент 3 ба 2 (мөн өөр аргыг ашиглах үед бид y 2-ийн сөрөг коэффициент (-5) ба хоёр эерэг коэффициентийг авсан: y 1-ийн хувьд 2. ба y 3-ийн хувьд 1/20).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f (X) квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг эерэгээр (сөрөг) тодорхойХэрэв тэгтэй тэнцүү биш хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл. f (X)> 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл.
f (X)< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 нь сөрөг тодорхойлогддог тул үүнийг f 2 (X) = - (x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой байдлыг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул дараахь теоремуудын аль нэгийг ашиглана (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем... Квадрат хэлбэр нь түүний матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байвал эерэг (сөрөг) тодорхой байна.

Теорем(Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх том жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр эерэг тодорхой байна.

Их (булангийн) бага n-р эрэмбийн А матрицын k-р эрэмбийг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ба А матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдэх ().

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрүүдийн хувьд томоохон насанд хүрээгүй хүмүүсийн тэмдэг ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн минор сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг шинж тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 - л) *
* (3 - л) - 4 = (6 - 2л - 3л + л 2) - 4 = л 2 - 5л + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. Матрицын 1-р эрэмбийн гол минор А D 1 = a 11 = 2> 0. Хоёрдахь эрэмбийн гол минор D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

f (x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 гэсэн тэмдгийн тодорхой байдлын өөр квадрат хэлбэрийг судалж үзье.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлогийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (-2 - л) *
* (- 3 - л) - 4 = (6 + 2л + 3л + л 2) - 4 = л 2 + 5л + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.

Арга 2. A D 1 = a 11 = матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Иймээс Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхой (хасахаас эхлээд гол насанд хүрээгүй хүмүүсийн тэмдэг ээлжлэн солигдоно).

Өөр нэг жишээ болгон тэмдэглэгээний тодорхой байдлын хувьд f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг авч үзье.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлогийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (2 - л) *
* (- 3 - л) - 4 = (-6 - 2л + 3л + л 2) - 4 = л 2 + л - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Эдгээр тоонуудын нэг нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байна. Хувийн утгын шинж тэмдгүүд нь өөр өөр байдаг. Иймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг эсвэл эерэг тодорхойлогч байж болохгүй, i.e. энэ квадрат хэлбэр нь тодорхой биш (энэ нь ямар ч тэмдгийн утгыг авч болно).

Арга 2. А матрицын 1-р эрэмбийн гол минор D 1 = a 11 = 2> 0. Хоёрдугаар эрэмбийн матрицын гол минор D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Диагональ матрицууд нь хамгийн энгийн. Шугаман операторын матриц диагональ хэлбэртэй байх үндэслэлийг олох боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Ийм суурь бий.
Шугаман орон зай R n ба түүн дээр ажиллаж байгаа шугаман оператор А өгөгдсөн байг; энэ тохиолдолд A оператор R n-ийг өөртөө авна, өөрөөр хэлбэл A: R n → R n.

Тодорхойлолт. Хэрэв А оператор өөрт нь коллинеар вектор болж хувирвал тэгээс өөр векторыг А операторын хувийн вектор гэнэ, өөрөөр хэлбэл. λ тоог хувийн векторт харгалзах А операторын хувийн утга буюу хувийн утга гэнэ.
Хувийн утга ба хувийн векторуудын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
1. Хувийн векторуудын дурын шугаман хослол ижил хувийн утгатай λ харгалзах операторын А нь ижил хувийн утгатай хувийн вектор байна.
2. Хувийн векторууд λ 1, λ 2,..., λ m хосоор өөр өөр хувийн утгатай A операторын шугаман хамааралгүй.
3. Хэрэв хувийн утга λ 1 = λ 2 = λ m = λ байвал хувийн утга λ нь хамгийн ихдээ m шугаман бие даасан хувийн векторуудтай тохирч байна.

Тэгэхээр шугаман бие даасан n хувийн вектор байвал λ 1, λ 2,…, λ n өөр өөр хувийн утгатай тохирч байвал тэдгээр нь шугаман хамааралгүй тул R n орон зайн үндэс болгон авч болно. Шугаман A операторын матрицын хэлбэрийг түүний хувийн векторуудын үндсэн дээр олъё, үүний тулд бид А операторын үндсэн векторууд дээр ажилладаг. тэгээд .
Тиймээс шугаман А операторын матриц нь өөрийн векторуудын үндсэн дээр диагональ хэлбэртэй бөгөөд A операторын хувийн утгууд диагональ дээр байрладаг.
Матриц диагональ байх өөр үндэслэл бий юу? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Суурийн (i = 1..n) шугаман операторын матриц нь суурийн бүх векторууд нь А операторын хувийн векторууд байх тохиолдолд диагональ хэлбэртэй байна.

Хувийн утга ба хувийн векторыг олох дүрэм

Вектор өгье , энд x 1, x 2, ..., x n нь суурьтай харьцуулахад векторын координатууд юм. ба λ хувийн утгад харгалзах шугаман операторын хувийн вектор, өөрөөр хэлбэл. Энэ хамаарлыг матриц хэлбэрээр бичиж болно

. (*)

(*) тэгшитгэлийг олох тэгшитгэл гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл, хувийн вектор нь тэг байх боломжгүй тул бид энгийн бус шийдлүүдийг сонирхож байна. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн ач холбогдолгүй шийдлүүд нь зөвхөн det (A - λE) = 0 тохиолдолд л байдаг гэдгийг мэддэг. Тиймээс λ нь A операторын хувийн утга байхын тулд det (A -) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. λE) = 0.
Хэрэв (*) тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр нарийвчлан бичсэн бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг авна.

(1)
хаана шугаман операторын матриц юм.

Хэрэв тодорхойлогч D нь тэгтэй тэнцүү бол систем (1) нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна

Хувийн утгыг олох тэгшитгэлийг хүлээн авлаа.
Энэ тэгшитгэлийг шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба түүний зүүн талыг А матрицын (оператор) шинж чанарын олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Хэрэв шинж чанарын олон гишүүнт бодит үндэсгүй бол А матриц нь хувийн векторгүй бөгөөд диагональ хэлбэрт оруулах боломжгүй. .
λ 1, λ 2,…, λ n нь шинж чанарын тэгшитгэлийн бодит язгуур байх ба тэдгээрийн дунд олон үндэс байж болно. Эдгээр утгыг систем (1) болгон орлуулснаар бид хувийн векторуудыг олно.

Жишээ 12. Шугаман оператор A нь хуулийн дагуу R 3-т үйлчилдэг ба энд x 1, x 2, .., x n нь суурь дээрх векторын координатууд юм. , , ... Энэ операторын хувийн утга ба хувийн векторыг ол.
Шийдэл. Бид энэ операторын матрицыг бүтээдэг:
.
Бид хувийн векторуудын координатыг тодорхойлох системийг бүрдүүлдэг.

Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг гаргаж, үүнийг шийднэ.

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Системд λ = -1-ийг орлуулбал бид:
эсвэл
Учир нь , дараа нь хоёр хамааралтай хувьсагч, нэг чөлөөт хувьсагч байна.
Тэгвэл x 1 нь чөлөөт үл мэдэгдэх болно Бид энэ системийг ямар ч аргаар шийдэж, энэ системийн ерөнхий шийдлийг олдог: n - r = 3 - 2 = 1 тул шийдлийн үндсэн систем нь нэг шийдлээс бүрдэнэ.
Хувийн утга λ = -1-д харгалзах хувийн векторуудын багц нь: хэлбэртэй байна, энд x 1 нь ямар ч тэгээс өөр тоо юм. Энэ олонлогоос нэг векторыг сонгоод, жишээ нь x 1 = 1-ийг тавиад: .
Үүнтэй адилаар бид хувийн утга λ = 3-д тохирох хувийн векторыг олно. .
R 3 орон зайд суурь нь шугаман бие даасан гурван вектороос бүрдэх боловч бид зөвхөн хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг хүлээн авсан бөгөөд R 3-ийн суурийг бүрдүүлэх боломжгүй. Иймээс шугаман операторын А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулах боломжгүй.

Жишээ 13. Матриц өгөгдсөн .
1. Вектор гэдгийг батал нь А матрицын хувийн вектор. Энэ хувийн векторт тохирох хувийн утгыг ол.
2. А матриц диагональ хэлбэртэй байх суурийг ол.
Шийдэл.
1. Хэрэв, тэгвэл - хувийн вектор

.
Вектор (1, 8, -1) нь хувийн вектор юм. Хувийн утга λ = -1.
Матриц нь хувийн векторуудаас бүрдэх суурь нь диагональ хэлбэртэй байна. Тэдний нэг нь алдартай. Үлдсэнийг нь олъё.
Бид системээс өөрийн векторуудыг хайдаг:

Онцлог тэгшитгэл: ;
(3 + λ) [- 2 (2-λ) (2 + λ) +3] = 0; (3 + λ) (λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Хувийн утга λ = -3-д тохирох хувийн векторыг олъё.

Энэ системийн матрицын зэрэглэл нь хоёртой тэнцүү ба үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тул энэ систем нь зөвхөн тэг шийдэлтэй байна x 1 = x 3 = 0. Энд x 2 нь тэгээс өөр ямар ч байж болно, жишээлбэл, x 2 = 1. Тиймээс (0 , 1,0) вектор нь λ = -3-д харгалзах хувийн вектор байна. Шалгацгаая:
.
Хэрэв λ = 1 бол бид системийг олж авна
Матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг устгана.
x 3 нь чөлөөт үл мэдэгдэх зүйл байг. Дараа нь x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Тохиргоо x 3 = 1, бид (-3, -9,1) - хувийн утга λ = 1-д тохирох хувийн вектор байна. Баталгаажуулалт:

.
Хувийн утгууд нь бодит бөгөөд өөр байдаг тул тэдгээрт харгалзах векторууд нь шугаман бие даасан байдаг тул тэдгээрийг R 3-д үндэс болгон авч болно. Тиймээс, үндсэн дээр , , А матриц нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Зарим шугаман операторуудын хувьд шугаман бие даасан хувийн векторууд нь n-ээс бага байж болох тул шугаман операторын A: R n → R n матриц бүрийг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй. Гэсэн хэдий ч матриц нь тэгш хэмтэй бол яг m шугаман бие даасан векторууд m үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурт тохирно.

Тодорхойлолт. Тэгш хэмтэй матриц гэдэг нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй элементүүд нь тэнцүү байх дөрвөлжин матриц юм.
Тайлбар. 1. Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.
2. Хосоор ялгаатай хувийн утгуудад тохирох тэгш хэмт матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.
Судалгаанд хамрагдсан аппаратын олон хэрэглээний нэг болохын хувьд хоёр дахь эрэмбийн муруйн хэлбэрийг тодорхойлох асуудлыг авч үзье.