Тейлорын цувралын стандарт өргөтгөлүүд. Маклаурин цуврал ба зарим функцүүдийн өргөтгөл

Хэрэв функц f(x)цэг агуулсан зарим интервалтай байна гэхдээ, бүх дарааллын деривативууд, тэгвэл Тэйлорын томъёог түүнд хэрэглэж болно:

хаана rn- үлдэгдэл гишүүн гэж нэрлэгддэг эсвэл цувралын үлдсэн хэсгийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.

, энд x тоо хавсаргасан байна XТэгээд гэхдээ.

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд x r n®0 цагт n®¥, дараа нь хязгаарт энэ утгын Тейлорын томъёо нь нийлэх томьёо болж хувирна Тейлорын цуврал:

Тиймээс функц f(x)авч үзсэн цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно X, хэрэв:

1) бүх захиалгын деривативтай;

2) баригдсан цувралууд энэ цэг дээр нийлдэг.

At гэхдээ=0 гэж нэрлэгддэг цуврал гарч ирнэ Маклаурины ойролцоо:

Жишээ 1 f(x)= 2х.

Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0

f(x) = 2х, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2х ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2х ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2х ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -¥-д хүчинтэй байна.<х<+¥.

Жишээ 2 X+4) функцийн хувьд f(x)=д х.

Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e хболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.

f(x)= e х, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e х, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e х, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e х, f(n)( -4) = e -4 .

Тиймээс функцийн хүссэн Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ задрал нь -¥-д мөн хүчинтэй<х<+¥.

Жишээ 3 . Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln хградусаар цувралаар ( X- 1),

(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативуудыг олдог.

Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлорын цувралыг авна.

Д'Аламберын тестийн тусламжтайгаар цувралууд хэзээ нэгдэж байгааг шалгаж болно

½ X- 1½<1. Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При X=2 Бид Лейбницийн тестийн нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авдаг. At X=0 функц тодорхойлогдоогүй байна. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Маклаурины цувралд (өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоо) ийм аргаар олж авсан өргөтгөлүүдийг танилцуулъя. X=0) зарим энгийн функцүүдийн хувьд:

(2) ,

(3) ,

(сүүлчийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг бином цуврал)

Жишээ 4 . Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү

Шийдэл. Задаргаа (1) -д бид солино Xдээр - X 2, бид дараахыг авна:

Жишээ 5 . Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл. Бидэнд байгаа

Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

оронд нь орлуулах Xтомъёонд оруулна -Х, бид авах:

Эндээс бид олж мэднэ:

Хаалтуудыг өргөжүүлж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг бууруулснаар бид олж авна.

Энэ цуврал интервалд нийлдэг

(-1;1) учир нь тус бүр нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас гаралтай.

Сэтгэгдэл .

Формула (1)-(5) нь мөн Тейлорын цувралын харгалзах функцуудыг өргөтгөхөд ашиглагдаж болно, өөрөөр хэлбэл. эерэг бүхэл тоон дахь функцуудыг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1) - (5) функцүүдийн аль нэгийг авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо юм. Хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теоремыг харуулсан болно. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ 6 . Тейлорын цувралын функцийг цэгийн ойролцоо өргөжүүл X=3.

Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцүүдийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай болно. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа задралыг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):

Үр дүнд нь цуваа нийлдэг эсвэл -3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Жишээ 7 . Тэйлорын цувааг хүчээр бичнэ үү ( X-1) онцлог .

Шийдэл.

Цуврал нэгдэн нийлдэг , эсвэл 2< х£5.

Хэрэв f(x) функц нь а цэгийг агуулсан зарим интервал дахь бүх эрэмбийн деривативтай бол түүнд Тейлорын томъёог хэрэглэж болно.
,
хаана rn- үлдэгдэл гишүүн гэж нэрлэгддэг эсвэл цувралын үлдсэн хэсгийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.
, энд x тоо нь x ба a хооронд байрладаг.

Функцийг оруулах дүрэм:

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд X rn→ 0 цагт n→∞, тэгвэл хязгаарт Тейлорын томъёо нь энэ утгыг нэгтгэгч болгон хувиргадаг Тейлорын цуврал:
,
Иймд f(x) функцийг авч үзсэн x цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно, хэрэв:
1) бүх захиалгын деривативтай;
2) баригдсан цувралууд энэ цэг дээр нийлдэг.

a = 0-ийн хувьд бид нэртэй цувралыг авна Маклаурины ойролцоо:
,
Маклаурин цувралын хамгийн энгийн (анхны) функцүүдийн өргөтгөл:
экспоненциал функцууд
, R=∞
Тригонометрийн функцууд
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx функц нь х-ийн зэрэглэлээр тэлэхгүй, учир нь ctg0=∞
Гиперболын функцууд

Логарифм функцууд
, -1
Бином цуврал
.

Жишээ №1. Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү f(x)= 2х.
Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0
f(x) = 2х, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2х ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2х ln 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2х ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ цувралын нийлэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ тэлэлт нь -∞-д хүчинтэй байна.<х<+∞.

Жишээ №2. Тэйлорын цувааг хүчээр бичнэ үү ( X+4) функцийн хувьд f(x)=д х.
Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e хболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.
f(x)= e х, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e х, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e х, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e х, f(n)( -4) = e -4 .
Тиймээс функцийн хүссэн Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ өргөтгөл нь -∞-д мөн хүчинтэй<х<+∞.

Жишээ №3. Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln хградусаар цувралаар ( X- 1),
(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).
Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативуудыг олдог.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлорын цувралыг авна.

Д'Аламбертын тестийн тусламжтайгаар цувралууд ½x-1½-д нийлдэг эсэхийг шалгаж болно.<1 . Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При X=2 Бид Лейбницийн тестийн нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авдаг. x=0-ийн хувьд функц тодорхойлогдоогүй байна. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Жишээ №4. Хүчин чадлын цуваа дахь функцийг өргөжүүлэх.
Шийдэл. Задаргаа (1)-д бид x-г -x 2-оор сольж, бид дараахь зүйлийг авна.
, -∞

Жишээ дугаар 5. Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх.
Шийдэл. Бидэнд байгаа
Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

-x томъёонд x-ийн оронд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Эндээс бид олдог: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Хаалтуудыг өргөжүүлж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг бууруулснаар бид олж авна.
. Энэ цуваа нь (-1;1) интервалд нийлдэг, учир нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цуваанаас авсан.

Сэтгэгдэл .
Формула (1)-(5) нь мөн Тейлорын цувралын харгалзах функцуудыг өргөтгөхөд ашиглагдаж болно, өөрөөр хэлбэл. эерэг бүхэл тоон дахь функцуудыг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1) - (5) функцүүдийн аль нэгийг авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо юм. Хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теорем дээр суурилдаг. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ № 5a. Маклаурины цувралын функцийг өргөжүүлж, нэгдэх талбарыг заана уу.
Шийдэл. Эхлээд бид 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
бага ангид:

3/(1-3x) бутархайг |3x| бол 3х хуваарьтай, хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр гэж үзэж болно.< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

нийлэх мужтай |x|< 1/3.

Жишээ дугаар 6. x = 3 цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралын функцийг өргөжүүл.
Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцүүдийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай болно. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа задралыг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):
=
Үүссэн цуваа нь -3-т нийлдэг

Жишээ №7. ln(x+2) функцийн (x -1) зэрэглэлээр Тейлорын цувааг бич.
Шийдэл.

Цуврал нь , эсвэл -2-д нийлдэг< x < 5.

Жишээ дугаар 8. Тейлорын цуваа дахь f(x)=sin(πx/4) функцийг x =2 цэгийн эргэн тойронд өргөжүүл.
Шийдэл. t=x-2 орлуулалтыг хийцгээе:

Бид x-ийн оронд π / 4 t-ийг орлуулах өргөтгөлийг (3) ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь өгөгдсөн функцэд -∞ дээр нийлнэ< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Энэ замаар,
, (-∞

Хүч чадлын цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Эрчим хүчний цувааг ойролцоогоор тооцоололд өргөн ашигладаг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та язгуур, тригонометрийн функц, тоон логарифм, тодорхой интегралын утгуудыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Цувралыг дифференциал тэгшитгэлийг интеграцид бас ашигладаг.
Хүч чадлын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийг авч үзье.

Өгөгдсөн цэг дэх функцийн ойролцоо утгыг тооцоолох X, заасан цувралын нэгдэх бүсэд хамаарах, эхний nгишүүд ( nнь хязгаарлагдмал тоо), үлдсэн нэр томъёог хассан:

Олж авсан ойролцоо утгын алдааг тооцоолохын тулд хаясан үлдэгдэл r n (x) -ийг тооцоолох шаардлагатай. Үүний тулд дараах аргуудыг ашигладаг.

Хэрэв гарсан цуврал тэмдэгт ээлжлэн байвал дараах шинж чанарыг ашиглана. Лейбницийн нөхцөлийг хангасан ээлжлэн цувааны хувьд үлдсэн цувралын үнэмлэхүй утга нь хасагдсан эхний гишүүнээс хэтрэхгүй.
хэрэв өгөгдсөн цуваа тогтмол тэмдэгтэй бол хасагдсан гишүүдээс бүрдсэн цувааг хязгааргүй буурах геометр прогресстой харьцуулна.
ерөнхий тохиолдолд, Тейлорын цувралын үлдэгдлийг тооцоолохын тулд та Лагранжийн томъёог ашиглаж болно: a х ).

Жишээ №1. ln(3)-ыг 0.01-д багтаан тооцоол.
Шийдэл. x=1/2 гэсэн задралыг ашиглая (өмнөх сэдвийн 5-р жишээг үзнэ үү):

Өргөлтийн эхний гурван гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгая, үүний тулд бид үүнийг хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрээр үнэлнэ.

Тиймээс бид энэ үлдэгдлийг хаяж, авах боломжтой

Жишээ №2. 0.0001-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл. Хоёр гишүүний цувааг ашиглая. 5 3 нь 130-д хамгийн ойр бүхэл тоон шоо учраас 130-ын тоог 130=5 3 +5 гэж илэрхийлэх нь зүйтэй.

Лейбницийн тестийг хангасан тэмдэгт ээлжлэн авсан цувралын дөрөв дэх гишүүн нь шаардлагатай нарийвчлалаас аль хэдийн бага байна.
, тиймээс үүнийг болон түүний дараах нэр томъёог хаяж болно.
Практикт шаардлагатай олон тодорхой буюу буруу интегралыг Ньютон-Лейбницийн томьёог ашиглан тооцоолох боломжгүй, учир нь түүний хэрэглээ нь эсрэг дериватив олохтой холбоотой бөгөөд ихэнхдээ элементар функцэд илэрхийлэлгүй байдаг. Эсрэг деривативыг олох нь боломжтой боловч шаардлагагүй их хөдөлмөр шаарддаг. Гэсэн хэдий ч хэрэв интегралыг хүчирхэг цуваа болгон өргөжүүлж, интегралын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах бол урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар интегралыг ойролцоогоор тооцоолох боломжтой.

Жишээ №3. ∫ 0 1 4 sin (x) x интегралыг 10 -5 дотор тооцоол.
Шийдэл. Харгалзах тодорхойгүй интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл. нь "боломжгүй интеграл" юм. Ньютон-Лейбницийн томъёог энд хэрэглэх боломжгүй. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолъё.
Нүглийн цувралыг нэр томъёогоор хуваах хдээр х, бид авах:

Энэ цувралын нэр томьёог нэр томъёогоор нэгтгэж (интеграцын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах тул энэ нь боломжтой) бид дараах зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь Лейбницийн нөхцлийг хангаж байгаа тул өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар хүссэн утгыг авахын тулд эхний хоёр гишүүний нийлбэрийг авахад хангалттай.
Тиймээс бид олдог
.

Жишээ №4. 0.001 доторх ∫ 0 1 4 e x 2 интегралыг тооцоол.
Шийдэл.
. Үр дүнгийн цувралын хоёр дахь гишүүний дараа үлдсэн хэсгийг хаяж чадах эсэхийг шалгацгаая.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Функциональ цувралын онолд функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхэд зориулагдсан хэсэг нь гол байр суурийг эзэлдэг.

Тиймээс, өгөгдсөн функцийн хувьд асуудал гарч ирнэ ийм чадлын цуваа олох шаардлагатай

аль нэг интервал дээр нийлсэн бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байв
, тэдгээр.

= ..

Энэ даалгавар гэж нэрлэдэг функцийг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх асуудал.

Функцийг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх зайлшгүй нөхцөлТүүний ялгах чадвар нь хязгааргүй олон удаа байдаг - энэ нь нийлсэн хүчний цувааны шинж чанараас үүдэлтэй. Энэ нөхцөл нь дүрмээр бол тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээнд үндсэн функцүүдийн хувьд хангагдсан байдаг.

Тиймээс функц гэж үзье
ямар ч дарааллын деривативтай. Үүнийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлж болох уу, хэрэв тийм бол энэ цувралыг хэрхэн олох вэ? Асуудлын хоёр дахь хэсэг нь шийдвэрлэхэд хялбар тул үүнээс эхэлье.

функц гэж үзье
цэг агуулсан интервалд нийлдэг чадлын цувааны нийлбэрээр илэрхийлж болно X 0 :

= .. (*)

хаана гэхдээ 0 , гэхдээ 1 , гэхдээ 2 ,...,гэхдээ П ,... – тодорхой бус (хараахан) коэффициентүүд.

Тэгш (*) утгыг оруулъя x = x 0 , тэгвэл бид авна

Бид хүчин чадлын цуваа (*) гишүүнийг нэр томъёогоор нь ялгадаг

= ..

мөн энд тавих x = x 0 , бид авдаг

Дараагийн ялгаагаар бид цувралыг авдаг

= ..

гэж таамаглаж байна x = x 0 , бид авдаг
, хаана
.

Дараа нь П- дахин ялгах бид олж авдаг

Сүүлийн тэгш байдлыг харгалзан үзвэл x = x 0 , бид авдаг
, хаана

Тиймээс коэффициентүүд олддог

,
,
, …,
,….,

алийг нь эгнээнд (*) орлуулснаар бид авна

Үр дүнд нь цуврал гэж нэрлэдэг Тейлорын ойролцоо функцийн хувьд
.

Тиймээс бид үүнийг тогтоосон хэрэв функцийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлж чадвал (x - x 0 ), тэгвэл энэ өргөтгөл нь өвөрмөц бөгөөд үр дүнд нь гарсан цуврал нь заавал Тейлорын цуврал байх болно.

Тухайн цэг дээр дурын дарааллын деривативтай ямар ч функцийн хувьд Тейлорын цувралыг авч болно гэдгийг анхаарна уу x = x 0 . Гэхдээ энэ нь функц ба үр дүнгийн цувралын хооронд тэнцүү тэмдэг тавьж болно гэсэн үг биш юм. цувралын нийлбэр нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Нэгдүгээрт, ийм тэгш байдал нь зөвхөн нийлэх мужид л утга учиртай байх ба функцийн хувьд олж авсан Тейлорын цуваа зөрөх, хоёрдугаарт, хэрэв Тейлорын цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь анхны функцтэй давхцахгүй байж болно.

3.2. Функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх хангалттай нөхцөл

Тодорхойлсон асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах мэдэгдлийг боловсруулцгаая.

Хэрэв функц
x цэгийн зарим хөршид 0 хүртэлх деривативтай (n+ 1)-р дараалал хамааруулсан, дараа нь энэ хөрш нь бид байнатомъёо Тейлор

хаанаР n (X)-Тейлорын томъёоны үлдэгдэл гишүүн - хэлбэртэй байна (Лагранж хэлбэр)

хаана цэгξ x ба x хооронд оршдог 0 .

Тейлорын цуврал ба Тейлорын томъёоны хооронд ялгаа байгааг анхаарна уу: Тейлорын томъёо нь хязгаарлагдмал нийлбэр, i.e. P -тогтмол тоо.

Цувралын нийлбэр гэдгийг санаарай С(х) хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн функциональ дарааллын хязгаар гэж тодорхойлж болно С П (х) тодорхой интервалаар X:

Үүний дагуу функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх нь аль ч цувралыг олох гэсэн үг юм XX

Бид Тейлорын томъёог хаана хэлбэрээр бичнэ

анзаараарай, тэр
бидний олж авсан алдааг тодорхойлж, функцийг солино е(х) олон гишүүнт С n (х).

Хэрэв
, тэгвэл
,тэдгээр. функц нь Тейлорын цуврал болж өргөждөг. Харин эсрэгээр, хэрэв
, тэгвэл
.

Тиймээс бид нотолсон функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх шалгуур.

Үүний тулд тодорхой интервалд функце(x) Тейлорын цувралд тэлэх нь энэ интервалд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
, хаанаР n (х) нь Тейлорын цувралын үлдсэн хэсэг юм.

Томъёолсон шалгуурын тусламжтайгаар хүн олж авах боломжтой хангалттайфункцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх нөхцөл.

Хэрэв орволx цэгийн зарим хөрш 0 функцийн бүх деривативын үнэмлэхүй утгууд нь ижил M тоогоор хязгаарлагддаг≥ 0, өөрөөр хэлбэл.

, Тo энэ хөршид функц нь Тейлорын цуврал болж өргөждөг.

Дээрхээс харахад дараах байдалтай байна алгоритмфункцийг өргөтгөх е(х) Тейлорын цувралдцэгийн ойролцоо X 0 :

1. Дериватив функцийг олох е(х):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Бид цэг дээрх функцийн утга ба түүний деривативын утгыг тооцоолно X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f'"(x 0 ), f (n) (х 0 ),…

3. Бид Тейлорын цувааг албан ёсоор бичиж, үүссэн чадлын цувааны нийлэх мужийг олно.

4. Бид хангалттай нөхцлийн биелэлтийг шалгадаг, i.e. үүний төлөө тогтоох Xнийлэх мужаас, үлдэгдэл хугацаа Р n (х) үед тэглэх хандлагатай байна
эсвэл
.

Энэ алгоритмын дагуу Тейлорын цувралын функцүүдийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг Тейлорын цуврал дахь функцийг тодорхойлолтоор өргөтгөхэсвэл шууд задрал.

16.1. Тейлорын цувралын энгийн функцүүдийн өргөтгөл ба

Маклаурин

Хэрэв олонлог дээр дурын функц тодорхойлогдсон бол гэдгийг харуулъя
, цэгийн ойролцоо
нь олон деривативтай ба зэрэглэлийн цувааны нийлбэр юм:

Дараа нь та энэ цувралын коэффициентүүдийг олох боломжтой.

Хүч чадлын цувралд орлуулах
. Дараа нь
.

Функцийн эхний деривативыг ол
:

At
:
.

Хоёр дахь деривативын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

At
:
.

Энэ процедурыг үргэлжлүүлнэ nнэг удаа бид:
.

Тиймээс бид дараах хэлбэрийн чадлын цувралыг авсан.

гэж нэрлэдэг Тейлорын ойролцоофункцийн хувьд
цэгийн эргэн тойронд
.

Тейлорын цувралын онцгой тохиолдол бол Маклаурин цувралцагт
:

Тейлор (Маклаурин) цувралын үлдсэн хэсгийг үндсэн цувралаас татгалзсанаар олж авдаг nэхний нөхцлүүд ба гэж тэмдэглэнэ
. Дараа нь функц
нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно nцувралын анхны гишүүд
болон үлдсэн
:,

Үлдсэн хэсэг нь ихэвчлэн байдаг
янз бүрийн томъёогоор илэрхийлэгддэг.

Тэдний нэг нь Лагранж хэлбэртэй байна.

, хаана
.
.

Практикт Maclaurin цувралыг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Тиймээс функцийг бичихийн тулд
Эрчим хүчний цувралын нийлбэр хэлбэрээр дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) Маклаурин (Тейлор) цувралын коэффициентийг олох;

2) үүссэн чадлын цувааны нийлэх мужийг олох;

3) өгөгдсөн цуваа функцэд нийлдэг болохыг батал
.

Теорем1 (Маклаурины цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Цувралын нэгдэх радиусыг үзье
. Энэ цуваа интервалд нийлэхийн тулд
ажиллах
Дараах нөхцлийг хангасан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
заасан интервал дотор.

Теорем 2.Хэрэв функцийн аль нэг эрэмбийн дериватив
тодорхой интервалд
үнэмлэхүй утгаараа ижил тоогоор хязгаарлагдана М, өөрөөр хэлбэл
, дараа нь энэ интервалд функц
Маклаурин цувралаар өргөжүүлж болно.

Жишээ1 . Цэгийн эргэн тойронд Тейлорын цувралыг дэлгэнэ үү
функц.

Шийдэл.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Нэгдсэн талбар
.

Жишээ2 . Функцийг өргөжүүлэх цэгийн эргэн тойронд Тейлорын цувралд
.

Шийдэл:

Функцийн утга ба түүний деривативыг бид олох болно
.

,
;

...........……………………………

,
.

Эдгээр утгыг дараалан орлуулна уу. Бид авах:

эсвэл
.

Энэ цувралын нэгдэх мужийг олцгооё. d'Alembert тестийн дагуу, хэрэв цуврал нийлдэг

Тиймээс, аливаад Энэ хязгаар нь 1-ээс бага тул цувралын нэгдэх талбар нь:
.

Маклаурины үндсэн үндсэн функцүүдийн цуврал болгон өргөжүүлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье. Маклаурин цувралыг эргэн санацгаая.

интервал дээр нийлдэг
ажиллах
.

Функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатайг анхаарна уу.

a) өгөгдсөн функцийн Маклаурин цувралын коэффициентийг олох;

б) үүссэн цувралын нийлэгжилтийн радиусыг тооцоолох;

в) гарсан цуваа нь функцэд нийлдэг болохыг нотол
.

Жишээ 3Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативыг тооцоолъё
.

Дараа нь цувралын тоон коэффициентүүд дараах хэлбэртэй байна.

хэний ч төлөө n.Бид Маклаурины цувралд олсон коэффициентүүдийг орлуулж, дараахь зүйлийг авна.

Үүссэн цувааны нэгдэх радиусыг ол, тухайлбал:

Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг аливаа үнэт зүйлсийн хувьд , учир нь дурын интервал дээр
функц ба түүний үнэмлэхүй утгын дериватив нь тоогоор хязгаарлагддаг .

Жишээ4 . Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Тэгш эрэмбийн дериватив гэдгийг харахад хялбар байдаг
, мөн сондгой эрэмбийн дериватив. Бид Маклаурин цувралд олсон коэффициентүүдийг орлуулж, өргөтгөлийг авна.

Энэ цувралын нийлэх интервалыг олцгооё. d'Alembert-ийн хэлснээр:

хэний ч төлөө . Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

Жишээ5 .
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Тиймээс энэ цувралын коэффициентүүд:
Тэгээд
, Үүний үр дүнд:

Өмнөх цувралын нэгэн адил нэгдэх талбар
. Цуврал нь функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

функц гэдгийг анхаарна уу
сондгой ба цувралын өргөтгөл, функц
– тэгш болон тэгш эрх бүхий цуврал тэлэлт.

Жишээ6 . бином цуврал:
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Энэ нь харуулж байна:

Бид Маклаурины цуврал дахь коэффициентүүдийн эдгээр утгыг орлуулж, энэ функцийг хүчирхэг цувралд өргөтгөж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиусыг олъё.

Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
. Хязгаарлалтын цэгүүдэд
Тэгээд
зэрэглэлээс хамааран цуваа нийлэх эсвэл нийлэхгүй байж болно
.

Судалгаанд хамрагдсан цувралууд интервал дээр нийлдэг
ажиллах
, өөрөөр хэлбэл цувралын нийлбэр
цагт
.

Жишээ7 . Маклаурин цувралын функцийг өргөжүүлье
.

Шийдэл.

Энэ функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхийн тулд бид хоёрын цувааг ашигладаг
. Бид авах:

Эрчим хүчний цувралын шинж чанарт үндэслэн (цахилгаан цувааг нийлэх бүсэд нэгтгэж болно) бид энэ цувралын зүүн ба баруун хэсгүүдийн салшгүй хэсгийг олно.

Энэ цувралын нэгдэх талбайг ол:
,

өөрөөр хэлбэл энэ цувралын нийлэх муж нь интервал юм
. Интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг тодорхойлъё. At

. Энэ цуврал нь гармоник цуврал бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь хуваагддаг. At
Бид нийтлэг нэр томъёо бүхий тооны цувралыг авдаг
.

Лейбницийн цуврал нэгдэж байна. Тиймээс энэ цувралын нийлэх муж нь интервал юм
.

16.2. Хүч чадлын цувааг ойролцоо тооцоонд хэрэглэх

Эрчим хүчний цуваа нь ойролцоогоор тооцоололд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтүүд, логарифмын хүснэгтүүд, мэдлэгийн янз бүрийн салбарт, жишээлбэл магадлалын онол, математик статистикт ашиглагддаг бусад функцүүдийн утгын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Нэмж дурдахад хүчин чадлын цуваа дахь функцүүдийн өргөтгөл нь тэдний онолын судалгаанд ашигтай байдаг. Ойролцоогоор тооцоололд чадлын цуваа ашиглах гол асуудал бол цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солих үед гарсан алдааг тооцоолох асуудал юм. nгишүүд.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

функцийг ээлжлэн цуврал болгон өргөжүүлсэн;

функцийг тогтмол тэмдгийн цуврал болгон өргөжүүлсэн.

Ээлжит цуваа ашиглан тооцоолох

Функцийг зөвшөөр
ээлжлэн эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлсэн. Дараа нь энэ функцийг тодорхой утгыг тооцоолохдоо Бид Лейбницийн тестийг ашиглаж болох тооны цувралыг авдаг. Энэ шалгуурын дагуу цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр сольсон бол nгишүүд байвал үнэмлэхүй алдаа нь энэ цувралын үлдсэн хэсгийн эхний гишүүнээс хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл:
.

Жишээ8 . Тооцоол
0.0001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид Маклаурин цувралыг ашиглах болно
, радиан дахь өнцгийн утгыг орлуулах:

Хэрэв бид цувралын нэг ба хоёрдугаар гишүүдийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар харьцуулж үзвэл: .

Гурав дахь өргөтгөлийн хугацаа:

тогтоосон тооцооны нарийвчлалаас бага. Тиймээс тооцоолох
цувралын хоёр нөхцлийг үлдээхэд хангалттай, i.e.

Энэ замаар
.

Жишээ9 . Тооцоол
0.001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид бином цуврал томъёог ашиглана. Үүний тулд бид бичдэг
зэрэг:
.

Энэ илэрхийлэлд
,

Цувралын нөхцөл бүрийг өгөгдсөн нарийвчлалтай харьцуулж үзье. Энэ нь ойлгомжтой
. Тиймээс тооцоолох
цувралын гурван гишүүнийг үлдээхэд хангалттай.

эсвэл
.

Эерэг тэмдэгт цуваа ашиглан тооцоо хийх

Жишээ10 . Тооцоолох 0.001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Функцын эгнээнд
орлуулах
. Бид авах:

Цувралын нийлбэрийг эхнийхийн нийлбэрээр солиход гарах алдааг тооцоолъё гишүүд. Илэрхий тэгш бус байдлыг бичье:

өөрөөр хэлбэл 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй nДараахь тэгш бус байдал үүснэ.
эсвэл
.

Үүнийг хэзээ шалгах нь амархан n= 6:
.

Үүний үр дүнд,
.

Жишээ11 . Тооцоол
0.0001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Логарифмыг тооцоолохын тулд функцийн цувралыг ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу
, гэхдээ энэ цуврал нь маш удаан нийлдэг бөгөөд өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэхийн тулд 9999 нэр томъёог авах шаардлагатай болно! Тиймээс логарифмыг тооцоолохдоо дүрмээр бол функцийн цувралыг ашигладаг
, энэ нь интервал дээр нийлдэг
.

Тооцоолох
энэ эгнээтэй. Байцгаая
, тэгвэл .

Үүний үр дүнд,
,

Тооцоолохын тулд
Өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар эхний дөрвөн гишүүний нийлбэрийг авна.
.

Үлдсэн эгнээ
хаях. Алдаагаа тооцоод үзье. Энэ нь ойлгомжтой

эсвэл
.

Тиймээс, тооцоололд ашигласан цувралд функцийн цувралд 9999-ийн оронд зөвхөн эхний дөрвөн гишүүнийг авахад хангалттай байсан.
.

Өөрийгөө оношлох асуултууд

1. Тейлорын цуврал гэж юу вэ?

2. Маклаурин ямар төрлийн цувралтай байсан бэ?

3. Тейлорын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийн теоремыг томъёол.

4. Үндсэн функцүүдийн Маклаурины цувралын өргөтгөлийг бич.

5. Үзэж буй цувааны нийлэх талбаруудыг заана уу.

6. Хүчний цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцооллын алдааг хэрхэн тооцох вэ?

Функциональ цувралуудын дунд хамгийн чухал байрыг цахилгаан цуваа эзэлдэг.

Хүчтэй цувааг цуврал гэж нэрлэдэг

гишүүд нь сөрөг бус бүхэл тоог нэмэгдүүлэх замаар зохион байгуулагдсан чадлын функцууд юм х, гэхдээ в0 , в 1 , в 2 , в n тогтмол утгууд юм. Тоонууд в1 , в 2 , в n - цувралын гишүүдийн коэффициент; в0 - чөлөөт гишүүн. Эрчим хүчний цувааны нөхцлүүд нь бүх тооны шугам дээр тодорхойлогддог.

Ингээд ойлголттой танилцацгаая чадлын цувааны ойртох муж. Энэ бол хувьсах утгуудын багц юм хүүний төлөө цуврал нийлдэг. Эрчим хүчний цуваа нь нийлмэл байдлын нэлээд энгийн мужтай байдаг. Хувьсагчийн бодит утгуудын хувьд хнийлэх хэсэг нь нэг цэгээс бүрдэх, эсвэл тодорхой интервал (нийтэлтийн интервал) эсвэл бүх тэнхлэгтэй давхцах Үхэр .

Хүч чадлын цуваагаар орлуулах үед утгууд х= 0 тоон цуваа авах болно

в0 +0+0+...+0+... ,

нийлдэг.

Тиймээс, at х= 0 нь аливаа чадлын цувралыг нэгтгэдэг тул түүний нэгдэх талбар хоосон багц байж болохгүй. Бүх чадлын цувааг нэгтгэх бүсийн бүтэц ижил байна. Үүнийг дараах теоремыг ашиглан тогтоож болно.

Теорем 1 (Абелийн теорем). Хэрэв чадлын цуваа ямар нэг утгаар нийлбэл х = х 0 , тэгээс ялгаатай бол энэ нь нийлдэг бөгөөд үүнээс гадна бүх утгын хувьд туйлын хувьд |х| < |х 0 | . Анхаарна уу: "x нь тэг" гэсэн эхлэлийн утга ба эхлэлтэй харьцуулсан "x"-ийн аль ч утгыг модулиар авна - тэмдгийг харгалзахгүйгээр.

Үр дагавар. Хэрэв хүчний цуваа зөрүүтэй байна ямар нэг үнэ цэнээр х = х 1 , дараа нь энэ нь бүх утгын хувьд ялгаатай байна |х| > |х 1 | .

Бидний өмнө нь олж мэдсэнээр аливаа хүч чадлын цуваа утгаараа нийлдэг х= 0. Зөвхөн нийлдэг хүчний цуваа байдаг х= 0 ба бусад утгуудын хувьд ялгаатай X. Энэ тохиолдлыг авч үзэхээс хассанаар бид чадлын цуваа ямар нэг утгаар нийлдэг гэж таамаглаж байна х = х 0 , тэгээс ялгаатай. Дараа нь Абелийн теоремоор ]-| интервалын бүх цэгүүдэд нийлдэг х0 |, |х 0 |[ (интервал, зүүн ба баруун хил нь х-ийн утгууд бөгөөд хүч чадлын цуваа нийлдэг, хасах тэмдэг болон нэмэх тэмдгээр тус тус авсан), гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв чадлын цуваа ямар нэгэн утгаар зөрөөд байвал х = х 1 , тэгвэл Абелын теоремын үр дүнд үндэслэн энэ нь [-| х1 |, |х 1 |] . Үүнээс үзэхэд аливаа чадлын цувааны хувьд гарал үүсэлтэй холбоотой тэгш хэмтэй интервал гэж нэрлэгддэг нийлэх интервал , цуваа нийлдэг цэг бүрт хил дээр нийлдэг, эсвэл зөрөөтэй байж болох ба заавал нэгэн зэрэг биш, харин сегментийн гадна талд, цуваа нь хуваагддаг. Тоо Рхүчийг цуваа нийлэх радиус гэнэ.

Онцгой тохиолдолд хүчний цуваа нийлэх интервал цэг хүртэл доройтож болно (дараа нь цуваа зөвхөн нийлдэг х= 0 гэсэн таамаг байна Р= 0) эсвэл бүхэл тооны шулууныг төлөөлнө (дараа нь тоон шулууны бүх цэгүүдэд цуваа нийлдэг ба ).

Тиймээс зэрэглэлийн цувааны нийлэх мужийг тодорхойлох нь түүнийг тодорхойлох явдал юм нэгдэх радиус Рба нийлбэрийн интервалын хил дээрх цувааны нийлэлтийг судлах (for ).

Теорем 2.Хэрэв тодорхой нэгээс эхлэн чадлын цувралын бүх коэффициентүүд тэгээс ялгаатай бол түүний нэгдэх радиус нь цувралын ерөнхий дараах гишүүдийн коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна, жишээлбэл.

Жишээ 1. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Энд

(28) томъёог ашиглан бид энэ цувралын нэгдэх радиусыг олно.

Нэгтгэлийн интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг судалъя. Жишээ 13-аас харахад энэ цуврал нь нийлдэг х= 1 ба зөрүүтэй байна х= -1. Тиймээс нэгдэх муж нь хагас интервал юм.

Жишээ 2. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Цувралын коэффициентүүд эерэг, ба

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё, өөрөөр хэлбэл. чадлын цуваа нийлэх радиус:

Бид интервалын төгсгөлд цуваа нийлэх байдлыг судалдаг. Үнэ цэнийг орлуулах х= -1/5 ба хЭнэ цувралын = 1/5 нь:

Эдгээр цувралын эхнийх нь нийлдэг (5-р жишээг үз). Харин дараа нь "Үнэмлэхүй нэгдэл" гэсэн догол мөрийн теоремын дагуу хоёр дахь цуваа бас нийлдэг бөгөөд түүний нийлэх муж нь сегмент юм.

Жишээ 3. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Энд

Томъёо (28) ашиглан бид цувралын нэгдэх радиусыг олно.

Цувралуудын утгын нийлэлтийг судалцгаая. Энэ цувралд тэдгээрийг орлуулж, бид олж авна

Шаардлагатай нийлэх нөхцөл хангагдаагүй тул хоёр цуваа зөрөөд байна (тэдгээрийн нийтлэг нөхцөл нь тэг байх хандлагатай байдаггүй). Тиймээс, нийлэх интервалын хоёр төгсгөлд энэ цуваа салж, түүний нийлэх муж нь интервал болно.

Жишээ 5. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Бид хаана, ба гэсэн хамаарлыг олдог :

Томъёоны дагуу (28) энэ цувралын нэгдэх радиус

тэр үед л цуваа нийлдэг х= 0 ба бусад утгуудын хувьд ялгаатай X.

Жишээнүүдээс харахад цуваа нийлэх интервалын төгсгөлд өөр өөрөөр ажилладаг. 1-р жишээнд цуваа нь нийлэх интервалын нэг төгсгөлд нийлж, нөгөө талдаа хуваагддаг, жишээ 2-т хоёр төгсгөлд, жишээ 3-т хоёр төгсгөлд нийлдэг.

Цувралын нөхцлүүдийн заримаас эхлэн бүх коэффициентүүд тэгээс өөр байна гэсэн таамаглалаар чадлын цувааны нийлэх радиусын томъёог олж авна. Тиймээс (28) томъёог зөвхөн эдгээр тохиолдолд хэрэглэхийг зөвшөөрнө. Хэрэв энэ нөхцөл зөрчигдсөн бол хүч чадлын цуваа нийлэх радиусыг ашиглан хайх хэрэгтэй. д'Аламберын тэмдэг, эсвэл хувьсагчийн өөрчлөлт хийх замаар цувааг заасан нөхцөл хангагдсан хэлбэрт шилжүүлэх замаар.

Жишээ 6. Хүчний цувааны нийлэх интервалыг ол

Шийдэл. Энэ цувралд сондгой зэрэгтэй нэр томъёо агуулаагүй болно X. Тиймээс бид цувралыг тохируулж өөрчилдөг. Дараа нь бид цувралыг авна

(28) томъёог ашиглан тэдгээрийн нэгдэх радиусыг олох боломжтой. , ба , дараа нь энэ цувааны нийлэх радиус

Бидний олж авсан тэгш байдлын дагуу энэ цуврал интервал дээр нийлдэг.

Хүч чадлын цувааны нийлбэр. Эрчим хүчний цувааг ялгах, нэгтгэх

Эрчим хүчний цувралыг үзье

нэгдэх радиус Р> 0, өөрөөр хэлбэл. энэ цуваа интервал дээр нийлдэг.

Дараа нь утга бүр Xнийлбэрийн интервалаас цувааны зарим нийлбэртэй тохирч байна. Тиймээс чадлын цувааны нийлбэр нь функц юм Xнэгдэх интервал дээр. Үүнийг дамжуулан тэмдэглэж байна е(х), бид тэгш байдлыг бичиж болно

цэг бүр дэх цувааны нийлбэр гэсэн утгаар ойлгох Xнийлэх интервалаас функцийн утгатай тэнцүү байна е(х) энэ үед. Үүнтэй ижил утгаараа бид чадлын цуваа (29) функцэд нийлдэг гэж хэлэх болно е(х) нэгдэх интервал дээр.

Нийцэх интервалаас гадна тэгш байдал (30) ямар ч утгагүй болно.

Жишээ 7Хүч чадлын цувааны нийлбэрийг ол

Шийдэл. Энэ бол геометрийн цуврал юм а= 1, ба q= х. Тиймээс түүний нийлбэр нь функц юм . Цуврал нийлдэг бол , ба түүний нийлэх интервал юм. Тиймээс тэгш байдал

функц хэдий ч зөвхөн утгуудад хүчинтэй бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон X, бусад X= 1.

Хүч чадлын цувааны нийлбэр болохыг харуулж болно е(х) нь нийлэх интервал доторх аль ч интервалд, тухайлбал цувааны нийлэх интервалын аль ч цэгт тасралтгүй ба дифференциал болно.

Хүчний цувааг гишүүнээр нь ялгах, интеграци хийх теоремуудыг танилцуулъя.

Теорем 1.Нэгдэх интервал дахь чадлын цувааг (30) гишүүнчлэлээр хязгааргүй олон удаа ялгаж болох ба үр дүнд бий болсон чадлын цуваа нь анхны цуваатай ижил нийлэх радиустай бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь тус тус тэнцүү байна.

Теорем 2.Эрчим хүчний цувралыг (30) 0-ээс хязгааргүй олон удаа нэр томъёогоор нэгтгэж болно. X, хэрэв , ба үр дүнгийн зэрэглэлийн цуваа нь анхны цуваатай ижил нийлэх радиустай бөгөөд тэдгээрийн нийлбэрүүд нь тус тус тэнцүү байна.