Шалгалтанд дериватив бүхий даалгаварууд. Мастер анги "Шалгалтын даалгавар дахь функцийн дериватив. деривативын геометрийн болон физикийн утга, функцын графикт шүргэгчийн тэгшитгэл, дериватив ашиглан функцийг судлах

Функцийн дериватив нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг юм. Дериватив гэж юу вэ гэсэн асуултад төгсөгч бүр хариулдаггүй.

Энэ нийтлэл нь дериватив гэж юу болох, яагаад хэрэгтэй болохыг энгийн бөгөөд тодорхой тайлбарласан болно.. Бид одоо илтгэлийн математикийн нарийн ширийнийг хичээхгүй. Хамгийн гол нь утгыг нь ойлгох хэрэгтэй.

Тодорхойлолтыг санацгаая:

Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм.

Зурагт гурван функцийн графикийг харуулав. Таны бодлоор аль нь илүү хурдан ургадаг вэ?

Хариулт нь ойлгомжтой - гурав дахь нь. Энэ нь хамгийн их өөрчлөлтийн хурдтай, өөрөөр хэлбэл хамгийн том дериватив юм.

Өөр нэг жишээ энд байна.

Костя, Гриша, Матвей нар нэгэн зэрэг ажилд орсон. Жилийн туршид тэдний орлого хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая.

Та график дээрх бүх зүйлийг шууд харж болно, тийм ээ? Костягийн орлого зургаан сарын дотор хоёр дахин нэмэгджээ. Гришагийн орлого бас нэмэгдсэн, гэхдээ бага зэрэг. Мөн Маттьюгийн орлого тэг болж буурсан. Эхлэх нөхцөл нь ижил боловч функцийн өөрчлөлтийн хурд, i.e. дериватив, - өөр. Матвейгийн хувьд түүний орлогын дериватив нь ерөнхийдөө сөрөг байдаг.

Зөн совингоор бид функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хялбархан тооцоолж чадна. Гэхдээ бид үүнийг яаж хийх вэ?

Бидний харж байгаа зүйл бол функцийн график хэрхэн огцом дээшлэх (эсвэл доошоо) юм. Өөрөөр хэлбэл, у нь x-тэй хэр хурдан өөрчлөгддөг. Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр цэгүүдэд ижил функц нь деривативын өөр утгатай байж болно - өөрөөр хэлбэл энэ нь илүү хурдан эсвэл удаан өөрчлөгдөж болно.

Функцийн деривативыг -ээр тэмдэглэнэ.

График ашиглан хэрхэн олохыг үзүүлье.

Зарим функцийн графикийг зурсан. Үүн дээр абсцисса ашиглан цэг аваарай. Энэ цэг дээр функцийн график руу шүргэгч зур. Функцийн график хэр огцом дээшлэхийг бид үнэлэхийг хүсч байна. Энэ нь ашигтай үнэ цэнэ юм тангенсийн налуугийн тангенс.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуугийн тангенстай тэнцүү байна.

Анхаарна уу - шүргэгчийн налуу өнцгийн хувьд бид тангенс ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийг авдаг.

Заримдаа оюутнууд функцийн графикт шүргэгч хэд вэ гэж асуудаг. Энэ бол бидний зурагт үзүүлсэнчлэн энэ хэсгийн графиктай цорын ганц нийтлэг цэгтэй шулуун шугам юм. Энэ нь тойрогтой шүргэгч шиг харагдаж байна.

Олъё. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна. Гурвалжингаас:

Функцийн томъёог ч мэдэхгүй байж график ашиглан деривативыг олсон. Ийм даалгаврыг математикийн шалгалтанд ихэвчлэн дугаарын доор олдог.

Өөр нэг чухал хамаарал бий. Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгсөн гэдгийг санаарай

Энэ тэгшитгэл дэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг шулуун шугамын налуу. Энэ нь шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

.

Бид үүнийг ойлгодог

Энэ томъёог санацгаая. Энэ нь деривативын геометрийн утгыг илэрхийлдэг.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл дериватив нь шүргэгчийн налуугийн тангенстай тэнцүү байна.

Нэг функц өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр деривативтай байж болно гэж бид аль хэдийн хэлсэн. Дериватив нь функцийн үйлдэлтэй хэрхэн холбоотой болохыг харцгаая.

Зарим функцийн графикийг зурцгаая. Энэ функц нь зарим хэсэгт нэмэгдэж, заримд нь буурч, өөр өөр хурдаар явцгаая. Мөн энэ функц нь хамгийн их ба хамгийн бага оноотой байг.

Нэгэн цагт функц нэмэгдэж байна. Тухайн цэг дээр зурсан графикт шүргэгч нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэдэг. Тэгэхээр дериватив нь тухайн цэг дээр эерэг байна.

Энэ үед бидний үйл ажиллагаа буурч байна. Энэ цэг дэх шүргэгч нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг. Мохоо өнцгийн тангенс сөрөг тул цэг дээрх дериватив сөрөг байна.

Энд юу болох вэ:

Хэрэв функц нэмэгдэж байвал түүний дериватив эерэг байна.

Хэрэв энэ нь буурвал дериватив нь сөрөг байна.

Мөн дээд ба доод цэг дээр юу болох вэ? Бид (хамгийн их цэг) ба (хамгийн бага цэг) шүргэгч хэвтээ байгааг харж байна. Иймд эдгээр цэгүүд дэх шүргэгчийн налуугийн тангенс тэг, дериватив нь мөн тэг байна.

Цэг бол хамгийн дээд цэг юм. Энэ үед функцын өсөлт бууралтаар солигдоно. Үүний үр дүнд деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" цэгт өөрчлөгддөг.

Энэ цэг дээр - хамгийн бага цэг - дериватив нь мөн тэгтэй тэнцүү боловч түүний тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг.

Дүгнэлт: деривативын тусламжтайгаар та функцийн зан үйлийн талаар бидний сонирхож буй бүх зүйлийг олж мэдэх боломжтой.

Хэрэв дериватив эерэг байвал функц нэмэгдэж байна.

Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурч байна.

Хамгийн их цэг дээр дериватив нь тэг бөгөөд тэмдгийг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчилдөг.

Хамгийн бага цэг дээр дериватив нь мөн тэг бөгөөд тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг.

Бид эдгээр үр дүнг хүснэгт хэлбэрээр бичнэ.

	нэмэгддэг	хамгийн дээд цэг	буурдаг	хамгийн бага цэг	нэмэгддэг
+	0	-	0	+

Хоёр жижиг тодруулга хийцгээе. Шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд танд тэдгээрийн аль нэг нь хэрэг болно. Өөр нэг нь - эхний жилдээ функц, деривативын талаар илүү нухацтай судалж үзсэн.

Функцийн дериватив нь аль нэг цэгт тэгтэй тэнцүү байх тохиолдол байж болох ч энэ үед функц нь максимум эсвэл минимумгүй байна. Энэ гэж нэрлэгддэг :

Нэг цэгт графикт шүргэгч нь хэвтээ, дериватив нь тэг байна. Гэсэн хэдий ч, цэгээс өмнө функц нэмэгдэж, цэгийн дараа энэ нь нэмэгдсээр байна. Деривативын тэмдэг өөрчлөгдөөгүй - энэ нь эерэг хэвээр байна.

Хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэг дээр дериватив байхгүй байх тохиолдол бас тохиолддог. График дээр энэ нь өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурах боломжгүй үед огцом завсарлагатай тохирч байна.

Гэхдээ функцийг графикаар бус томъёогоор өгсөн бол деривативыг хэрхэн олох вэ? Энэ тохиолдолд энэ нь хамаарна

Өгөгдсөн цэгт $y = f(x)$ функцийн дериватив $x_0$ нь функцийн өсөлтийг түүний аргументийн харгалзах өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар бөгөөд сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байна.

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Дифференциал гэдэг нь дериватив олох үйл ажиллагаа юм.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

Чиг үүрэг	Дериватив
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Ялгах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ деривативыг ол

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Деривативын физик утга

Материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь $x(t)$ хуулийн дагуу цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгддөг бол энэ цэгийн агшин зуурын хурд нь функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Цэг нь $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ хуулийн дагуу координатын шугамын дагуу хөдөлдөг бөгөөд $x(t)$ нь $t$ үеийн координат юм. Цаг хугацааны аль үед цэгийн хурд $12$-тэй тэнцэх вэ?

1. Хурд нь $x(t)$-ын дериватив тул өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё.

$v(t) = x"(t) = 1.5 2т -3 = 3т -3$

2. $t$ цаг хугацааны ямар үед хурд $12$-тай тэнцэж байсныг олохын тулд тэгшитгэлийг зохиож шийднэ.

Деривативын геометрийн утга

Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель биш шулуун шугамын тэгшитгэлийг $y = kx + b$ гэж бичиж болно гэдгийг санаарай, $k$ нь шулуун шугамын налуу юм. $k$ коэффициент нь $Ox$ тэнхлэгийн шулуун ба эерэг чиглэлийн хоорондох налуугийн тангенстай тэнцүү байна.

$x_0$ цэг дээрх $f(x)$ функцийн дериватив нь тухайн цэг дээрх графикт шүргэгчийн $k$ налуутай тэнцүү байна.

Тиймээс бид ерөнхий тэгш байдлыг бий болгож чадна:

$f"(x_0) = k = tgα$

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нэмэгдэж байгаа тул $k > 0$ коэффициент байна. $k > 0$ тул $f"(x_0) = tgα > 0$ байна. Тангенс ба эерэг чиглэл $Ox$ хоорондох $α$ өнцөг хурц байна.

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч буурч байгаа тул $k коэффициент< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нь $Ох$ тэнхлэгтэй параллель байх тул коэффициент нь $k = 0$, иймээс $f"(x_0) = tg α = 0$ байна. $ цэг. x_0$ үед $f "(x_0) = 0$ гэж дуудагдана экстремум.

Зурагт $y=f(x)$ функцийн график ба энэ графикт $x_0$ абсциссатай цэг дээр зурсан шүргэгчийг харуулав. $f(x)$ функцийн деривативын утгыг $x_0$ цэг дээр ол.

Графикийн шүргэгч нэмэгдэх тул $f"(x_0) = tg α > 0$

$f"(x_0)$-г олохын тулд $Ox$ тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох налуугийн тангенсыг олно. Үүнийг хийхийн тулд $ABC$ гурвалжны тангенсыг гүйцээнэ.

$BAC$ өнцгийн тангенсыг ол. (Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа юм.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0.25$

$f"(x_0) = тг ТА = $0.25

Хариулт: 0.25 доллар

Үүсмэлийг мөн нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн интервалыг олоход ашигладаг.

Хэрэв интервал дээр $f"(x) > 0$ байвал энэ интервалд $f(x)$ функц нэмэгдэж байна.

Хэрэв $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Зурагт $y = f(x)$ функцийн графикийг үзүүлэв. $х_1,х_2,х_3...х_7$ цэгүүдийн дотроос функцийн дериватив сөрөг утгатай цэгүүдийг ол.

Хариуд нь өгөгдлийн цэгүүдийн тоог бичнэ үү.

ХӨТӨЛБӨРГҮЙ ХӨТӨЛБӨРИЙН ПРАКТИКИЙН АЖИЛ 2

Функцийн графикийг хувиргах.

Зорилтот

Төрөл бүрийн хувиргалтыг ашиглан функцийн графикийг зурж, асуудлын асуултанд хариулна уу.

Ажлыг дуусгах

Удирдамж

Уг ажил нь 10 сонголтод зориулагдсан бөгөөд сонголтын дугаар нь жагсаалтын серийн дугаарын сүүлийн оронтой тохирч байна. Жишээлбэл, 1, 11, 21, 31 ... 1 хувилбарыг гүйцэтгэх, 2,12, 22 ... - 2 сонголт гэх мэт.

Энэхүү ажил нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: 1-5-р даалгаврын эхний хэсэг, эдгээр нь кредит авахын тулд дуусгах ёстой ажлууд бөгөөд хэрэв эдгээр ажлыг алдаатай гүйцэтгэсэн бол та засч залруулж, дахин баталгаажуулалтанд оруулах шаардлагатай. . Хоёрдахь хэсэг нь даалгавруудыг багтаасан бөгөөд эдгээрийг гүйцэтгэснээр та нэмэлт үнэлгээ авах боломжтой: үндсэн хэсэг +2 даалгавар - "4", үндсэн хэсэг +3 даалгавар - "5".

Даалгавар 1. Шугаман функцийн график нь шулуун шугам бөгөөд үүнийг байгуулахад хоёр цэг хангалттай. (бид x аргументын утгуудыг дур зоргоороо авч, y функцийн утгыг томъёонд орлуулахыг авч үзнэ).

Функцийн график заасан цэгээр дамжиж байгаа эсэхийг шалгахын тулд та x ба y-ийн оронд цэгийн координатыг орлуулах хэрэгтэй, хэрэв та зөв тэгшитгэлтэй бол шугам нь заасан цэгээр дамждаг, эс тэгвээс энэ нь өнгөрөхгүй. .

Даалгавар 2, 3, 4. Заасан функцүүдийн графикийг функцүүдийн графикаас авна. , х эсвэл у тэнхлэгийн дагуу шилжилтийг ашиглан.

, эхлээд функцийг зур эсвэл , дараа нь бид "a" нэгжээр баруун эсвэл зүүн тийш (+ a - зүүн тийш, - a баруун тийш), дараа нь "b" нэгжээр дээш эсвэл доош (+ дотор - дээш, - дотор) шилжүүлнэ. - доош)

Бусад функцүүдийн нэгэн адил:

Даалгавар 5 Функцийн график зурахын тулд: , та: 1) функцийн графикийг бүтээх хэрэгтэй , 2) графикийн х тэнхлэгээс дээш байгаа хэсгийг өөрчлөхгүй, 3) графикийн х тэнхлэгээс доогуур байгаа хэсгийг толин тусгалтай болгоно.

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

Заавал биелүүлэх хэсэг

Даалгавар 1. Шугаман функцийн графикийг зурж, функцийн график заасан цэгээр дамжин өнгөрөх эсэхийг тодорхойлно уу.

Даалгавар 2. Квадрат функцийн графикийг зурж, энэ функцийн утгуудын багцыг заана уу.

Даалгавар 3. Функцийн график байгуулж, заасан функц нэмэгдэж, буурч байгааг тодорхойл.

Даалгавар 4. Функцийн график байгуул, даалгаврын асуултад хариул.

Даалгавар 5. Модулийн тэмдгийг агуулсан функцийн графикийг байгуул.

Нэмэлт үнэлгээ хийх даалгавар.

Даалгавар 6. Өгөгдсөн функцийн графикийг хэсэгчлэн зурж, энэ функц тасрах цэгтэй эсэхийг тодорхойлно уу.

Даалгавар 7. Тэгшитгэлийн систем хэдэн шийдэлтэй болохыг тодорхойлж, хариултыг зөвтгөөрэй. Асуултанд хариулж дүгнэлт гарга.

Та энэ ажилд ямар функцийн графикуудыг барьсан бэ?

Шугаман функцийн графикийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Квадрат функцийн графикийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Та ямар график хувиргалтыг мэддэг вэ?

Координатын системд тэгш функцийн график хэрхэн байрласан бэ? Хачирхалтай функцийн график?

Суурь түвшний математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 13-р даалгаварт та функцийн зан үйлийн тухай ойлголтуудын нэг болох нэг цэгийн дериватив эсвэл өсөлт, бууралтын хурдны ур чадвар, мэдлэгийг харуулах шаардлагатай болно. Энэ даалгаврын онолыг бага зэрэг дараа нэмэх болно, гэхдээ энэ нь хэд хэдэн ердийн хувилбаруудыг нарийвчлан шинжлэхэд саад болохгүй.

Суурь түвшний математикийн №14 ХЭРЭГЛЭХ даалгаврын ердийн хувилбаруудын дүн шинжилгээ

Сонголт 14MB1

График нь машины хөдөлгүүрийг халаах явцад температурын цаг хугацааны хамаарлыг харуулж байна. Хэвтээ тэнхлэг нь хөдөлгүүрийг ажиллуулснаас хойш минутаар өнгөрсөн хугацааг заана; босоо тэнхлэг дээр хөдөлгүүрийн температурыг Цельсийн градусаар илэрхийлнэ.

Графикийг ашиглан цаг хугацааны интервал бүрийг энэ интервал дахь хөдөлгүүрийг халаах үйл явцын шинж чанаруудтай тохирно.

Хүснэгтэнд үсэг бүрийн доор харгалзах тоог заана уу.

Гүйцэтгэлийн алгоритм:

1. Температур буурсан хугацааны интервалыг сонгоно уу.
2. Захирагчийг 30 ° С-т холбож, 30 ° С-аас доош температуртай байсан хугацааны интервалыг тодорхойлно.

Шийдэл:

Температур буурсан хугацааны интервалыг сонгоцгооё. Энэ хэсэг нь энгийн нүдээр харагддаг бөгөөд энэ нь хөдөлгүүр асаалтаас хойш 8 минутын дараа эхэлдэг.

Захирагчийг 30 хэмд хэрэглэж, 30 хэмээс доош температуртай байсан хугацааны интервалыг тодорхойлно.

Захирагчийн доор 0 - 1 минутын хугацааны интервалд тохирох хэсэг байх болно.

Харандаа ба захирагчийн тусламжтайгаар бид температур ямар хугацаанд 40 ° C-аас 80 ° C хооронд байсныг олж мэдэв.

40 ° C ба 80 ° C-д тохирох цэгүүдээс бид перпендикуляруудыг график дээр буулгаж, олж авсан цэгүүдээс бид перпендикуляруудыг цаг хугацааны тэнхлэгт буулгадаг.

Энэ температурын интервал нь 3 - 6.5 минутын хугацаатай тохирч байгааг бид харж байна. Өөрөөр хэлбэл, 3-6 минутын нөхцөлд өгсөн хүмүүсээс.

Алга болсон хариултыг арилгах аргыг ашиглан сонгоно уу.

Сонголт 14MB2

Шийдэл:

А функцийн графикт дүн шинжилгээ хийцгээе. Хэрэв функц өсвөл дериватив эерэг ба эсрэгээр байна. Функцийн дериватив нь экстремум цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.

Нэгдүгээрт, А функц нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. дериватив эерэг байна. Энэ нь дериватив 2 ба 3-ын графиктай тохирч байна. x = -2 функцийн хамгийн их цэг дээр, өөрөөр хэлбэл, энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь графикийн дугаар 3-тай тохирч байна.

Нэгдүгээрт, В функц буурч, өөрөөр хэлбэл. дериватив нь сөрөг байна. Энэ нь дериватив 1 ба 4-ийн графиктай тохирч байна. X \u003d -2 функцийн хамгийн их цэг, өөрөөр хэлбэл энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь 4-р графиктай тохирч байна.

Нэгдүгээрт, В функц нэмэгддэг, i.e. дериватив эерэг байна. Энэ нь дериватив 2 ба 3-ын графиктай тохирч байна. Функцийн хамгийн их цэг нь x = 1, өөрөөр хэлбэл энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь 2-р графиктай тохирч байна.

Арилгах аргын дагуу Г функцийн график нь 1-р дугаарт байгаа деривативын графиктай тохирч байгааг тодорхойлж болно.

Хариулт: 3421.

Сонголт 14MB3

Функц тус бүрийн гүйцэтгэх алгоритм:

1. Өсөх, буурах функцүүдийн интервалыг тодорхойлох.
2. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг тодорхойлно.
3. Дүгнэлт гаргах, санал болгож буй хуваарьтай тааруулах.

Шийдэл:

А функцийн графикт дүн шинжилгээ хийцгээе.

Хэрэв функц нэмэгдэж байвал дериватив эерэг ба эсрэгээр байна. Функцийн дериватив нь экстремум цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү байна.

Экстремум цэг нь функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгад хүрэх цэг юм.

Нэгдүгээрт, А функц нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл. дериватив эерэг байна. Энэ нь дериватив 3 ба 4-ийн графиктай тохирч байна. x=0 функцийн хамгийн их цэг дээр, өөрөөр хэлбэл энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь 4-р графиктай тохирч байна.

В функцийн графикт дүн шинжилгээ хийцгээе.

Нэгдүгээрт, В функц буурч, өөрөөр хэлбэл. дериватив нь сөрөг байна. Энэ нь дериватив 1 ба 2-ын графиктай тохирч байна. функцийн хамгийн бага цэг нь x=-1, өөрөөр хэлбэл энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь 2-р графиктай тохирч байна.

В функцийн графикт дүн шинжилгээ хийцгээе.

Нэгдүгээрт, В функц буурч, өөрөөр хэлбэл. дериватив нь сөрөг байна. Энэ нь дериватив 1 ба 2-ын графиктай тохирч байна. Функцийн хамгийн бага цэг нь x \u003d 0, өөрөөр хэлбэл энэ үед дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ нөхцөл нь графикийн дугаар 1-тэй тохирч байна.

Арилгах аргын тусламжтайгаар Г функцийн график нь деривативын 3 дугаартай графиктай тохирч байгааг тодорхойлж болно.

Хариулт: 4213.

Сонголт 14MB4

Зурагт A, B, C, D абсциссатай цэгүүдэд функц ба шүргэгчийн графикийг үзүүлэв.Баруун баганад деривативын утгыг A, B, C, D цэгүүдээр харуулав. График ашиглан цэг бүрийг тухайн функцийн деривативын утгатай тохирно.

ОНОО
ГЭХДЭЭ
IN
FROM
Д

ҮҮСЭЛ УТГА УТГА
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Дериватив нь юу гэсэн үг болохыг, тухайлбал тухайн цэг дэх үнэ цэнээ санаарай. цэг дэх дериватив функцийн утга нь шүргэгчийн налуугийн (коэффициент) тангенстай тэнцүү байна.

Хариултуудад бид хоёр эерэг, хоёр сөрөг сонголттой. Бидний санаж байгаагаар хэрэв коэффициент нь шууд байвал (график y = kx + b) эерэг байвал шугам нэмэгдэж байна, сөрөг бол шугам буурч байна.

Бидэнд хоёр өсөх шугам байна - A ба D цэг дээр. Одоо k коэффициентийн утга ямар утгатай болохыг санацгаая?

k коэффициент нь функц хэр хурдан нэмэгдэж, буурч байгааг харуулдаг (үнэндээ k коэффициент нь y = kx + b функцийн дериватив юм).

Тиймээс k \u003d 2/3 нь илүү зөөлөн шулуун шугамтай тохирч байна - D, k \u003d 3 - A.

Үүний нэгэн адил сөрөг утгын хувьд: B цэг нь k = -4, C цэг - -1/2-тэй илүү эгц шулуун шугамтай тохирч байна.

Сонголт 14MB5

Зураг дээр цэгүүд нь гэр ахуйн цахилгаан хэрэгслийн дэлгүүрт халаагчийн сарын борлуулалтын хэмжээг харуулж байна. Саруудыг хэвтээ байдлаар, борлуулсан халаагуурын тоог босоо байдлаар зааж өгсөн болно. Тодорхой болгохын тулд цэгүүдийг шугамаар холбосон.

Зургийг ашиглан заасан хугацаа бүрийг халаагчийн борлуулалтын шинж чанартай тааруулна уу.

Гүйцэтгэлийн алгоритм

Бид янз бүрийн улиралд тохирох график хэсгүүдэд дүн шинжилгээ хийдэг. Бид график дээр харуулсан нөхцөл байдлыг томъёолдог. Бид тэдэнд хамгийн тохиромжтой хариултуудыг олдог.

Шийдэл:

Өвлийн улиралд борлуулалтын тоо сард 120 ширхэгээс давж, байнга нэмэгдэж байна. Энэ нөхцөл байдал 3-р хариулттай тохирч байна. Тэдгээр. бид авах: А-3.

Хаврын улиралд борлуулалт нь сард 120 халаагуураас 50 болж буурчээ. Сонголт No2 нь энэ томъёололд хамгийн ойр байдаг. Бидэнд байгаа: B–2.

Зуны улиралд борлуулалтын тоо өөрчлөгдөөгүй бөгөөд хамгийн бага байсан. Энэ үгийн 2-р хэсэг нь хариултуудад тусгагдаагүй бөгөөд эхнийх нь зөвхөн №4-т тохиромжтой. Тиймээс бидэнд байна: AT 4.

Намрын улиралд борлуулалт өссөн боловч аль ч сард тэдний тоо 100 ширхэгээс хэтрээгүй. Энэ нөхцөл байдлыг №1 хувилбарт тайлбарласан болно. Бид авах: G–1.

Сонголт 14MB6

График нь ердийн автобусны хурд нь цаг хугацаанаас хамааралтай болохыг харуулж байна. Босоо тэнхлэгт автобусны хурдыг км/цаг, хэвтээ тэнхлэгт автобус хөдөлж эхэлснээс хойшхи цагийг минутаар харуулна.

График ашиглан цаг хугацааны интервал бүрийг энэ интервал дахь автобусны хөдөлгөөний шинж чанартай тохирно.

Гүйцэтгэлийн алгоритм

1. Бид хуваах үнийг хэвтээ болон босоо масштабаар тодорхойлдог.
2. Бид баруун баганаас санал болгож буй мэдэгдлүүдийг 1-4-т ("Шинж чанар") ээлжлэн дүн шинжилгээ хийнэ. Бид тэдгээрийг хүснэгтийн зүүн баганаас цаг хугацааны интервалтай харьцуулж, хариултын хувьд "үсэг-тоо" хосыг олдог.

Шийдэл:

Хэвтээ хуваарийн хуваах утга нь 1 секунд, босоо хуваарь нь 20 км / цаг байна.

1. Автобус зогсоход хурд нь 0. 2 минут дараалан автобус зөвхөн 9-11 дэх минут хүртэл тэг хурдтай байсан. Энэ хугацаа нь 8-12 минутын зайд ордог. Тиймээс бидэнд хариулт өгөх хос байна: B–1.
2. Автобус хэд хэдэн хугацаанд 20 км/цаг ба түүнээс дээш хурдтай байсан. Түүгээр ч барахгүй, А сонголт энд тохиромжгүй, учир нь жишээлбэл, 7 дахь минутад хурд 60 км / цаг байсан, В хувилбар - аль хэдийн хэрэгжсэн тул D сонголт - интервалын эхэн ба төгсгөлд автобус тэг хурдтай байсан. Энэ тохиолдолд В сонголт тохиромжтой (12-16 минут); Энэ завсарт автобус 40 км/цагийн хурдтай хөдөлж, дараа нь 100 км/м хүртэл хурдалж, дараа нь хурдыг аажмаар 20 км / цаг хүртэл бууруулна. Тиймээс бидэнд байна: ДАХЬ 2.
3. Энд л хурдны хязгаарыг тогтоодог. Бид В, С хувилбаруудыг авч үзэхгүй. Үлдсэн A ба G интервалууд хоёулаа тохиромжтой. Тиймээс эхлээд 4-р хувилбарыг авч үзээд дараа нь 3-р хувилбар руу буцах нь зөв байх болно.
4. Үлдсэн хоёр интервалаас зөвхөн 4-8 минут нь №4 шинж чанарт тохиромжтой, учир нь энэ интервалд (6 дахь минутад) зогсолт байсан. 18-22 минутын завсарлагааны үеэр ямар ч зогсолт байхгүй. Бид авах: А-4. Үүнээс үзэхэд №3 шинж чанарын хувьд Г интервалыг авах шаардлагатай, i.e. хос болж хувирав G–3.

Сонголт 14MB7

Тасалсан тоо нь 2004-2013 оны хооронд Хятадын хүн амын өсөлтийг харуулж байна. Оныг хэвтээ байдлаар, хүн амын өсөлтийг хувиар (өмнөх жилтэй харьцуулахад хүн амын өсөлт) босоо байдлаар заана. Тодорхой болгохын тулд цэгүүдийг шугамаар холбосон.

Диаграммыг ашиглан заасан хугацаа бүрийг тухайн үеийн Хятадын хүн амын өсөлтийн онцлогтой тааруулж бичнэ үү..

Гүйцэтгэлийн алгоритм

1. Зургийн босоо масштабыг хуваах утгыг тодорхойлно уу. Энэ нь 2-т хуваагдсан зэргэлдээх хуваарийн утгуудын хоорондох зөрүү гэж олддог (учир нь хоёр зэргэлдээ утгын хооронд 2 хуваагдал байдаг).
2. Бид нөхцөл байдалд (зүүн хүснэгтийн багана) өгөгдсөн 1-4-р шинж чанаруудыг дараалан шинжилдэг. Бид тус бүрийг тодорхой цаг хугацаатай харьцуулдаг (хүснэгтийн баруун багана).

Шийдэл:

Босоо хуваарийн хуваах утга нь 0.01% байна.

1. 2004 оноос 2010 он хүртэл өсөлтийн бууралт тасралтгүй үргэлжилсэн. 2010-2011 онд тогтмол өсөлт хамгийн бага байсан бол 2012 оноос эхлэн нэмэгдсээр байна. Тэдгээр. 2010 онд өсөлт зогссон. Энэ жил 2009-2011 он. Үүний дагуу бид: 1-Д.
2. Өсөлтийн хамгийн том уналтыг зураг дээрх графикийн хамгийн "эгц" унасан шугам гэж үзэх ёстой. Энэ нь 2006-2007 оны үе юм. бөгөөд жилд 0.04% (2006 онд 0.59–0.56=0.04%, 2007 онд 0.56–0.52=0.04%) байна. Эндээс бид дараахь зүйлийг авна. А-2.
3. 3-р үзүүлэлтэд заасан өсөлт 2007 онд эхэлж, 2008 онд үргэлжилж, 2009 онд дууссан. Энэ нь B хугацаатай тохирч байна, i.e. бидэнд байгаа: B–3.
4. Хүн амын өсөлт 2011 оноос хойш нэмэгдэж эхэлсэн, өөрөөр хэлбэл. 2012-2013 онд Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна. G–4.

Сонголт 14MB8

Зураг дээр A, B, C, D абсциссатай цэгүүд дээр зурсан функцийн график ба шүргэгчийг харуулав.

Баруун талын баганад функцийн деривативын утгыг A, B, C, D цэгүүдээр харуулав. График ашиглан цэг бүрийг тухайн функцийн деривативын утгатай тохирно.

Гүйцэтгэлийн алгоритм

1. Бид x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөгтэй хос шүргэгчийг авч үздэг. Бид тэдгээрийг харьцуулж, деривативуудын харгалзах хос утгуудын хооронд тохирохыг олдог.
2. Бид x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг хос шүргэгчийг авч үздэг. Бид тэдгээрийг модулиар харьцуулж, баруун баганад үлдсэн хоёрын деривативын утгатай тохирч байгааг тодорхойлно.

Шийдэл:

X тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг нь t.B ба t.C дахь деривативуудаар үүсгэгддэг. Эдгээр деривативууд эерэг утгатай байна. Тиймээс энд №1 ба 3-ын утгуудын хооронд сонголт хийх хэрэгтэй. Хэрэв өнцөг нь 45 0-ээс бага бол дериватив нь 1-ээс бага, хэрэв их бол 1-ээс их байна гэсэн дүрмийг баримталбал, Бид дүгнэж байна: tB-д модулийн дериватив нь t.C-д 1-ээс их - 1-ээс бага. Энэ нь та хариултыг хос болгож болно гэсэн үг юм: ДАХЬ 3Тэгээд S-1.

t.A ба t.D дахь деривативууд нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг. Энд бид ижил дүрмийг хэрэглэж, үүнийг бага зэрэг тайлбарлах болно: цэг дээрх шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгийн шугам руу (түүний сөрөг чиглэлд) "дарагдах" тусам үнэмлэхүй утгаараа их байх болно. Дараа нь бид дараахь зүйлийг олж авна: А цэг дээрх дериватив нь D цэг дээрх деривативаас үнэмлэхүй утгаараа бага байна. Эндээс бидэнд хариулт өгөх хосууд байна: А-2Тэгээд D-4.

Сонголт 14MB9

Зураг дээрх цэгүүд нь 2011 оны 1-р сард Москвагийн өдрийн дундаж агаарын температурыг харуулж байна. Сарын огноог хэвтээ байдлаар, температурыг Цельсийн градусаар босоо байдлаар зааж өгсөн болно. Тодорхой болгохын тулд цэгүүдийг шугамаар холбосон.

Зургийг ашиглан заасан хугацаа бүрийг температурын өөрчлөлтийн шинж чанарт тохируулна уу.

Гүйцэтгэлийн алгоритм

Бид зураг дээрх графикийг ашиглан 1-4 (баруун багана) шинж чанаруудыг дараалан шинжилнэ. Бид тус бүрийг тодорхой хугацааны дагуу (зүүн багана) тавьдаг.

Шийдэл:

1. Температурын өсөлт зөвхөн 1-р сарын 22-28-нд хугацааны эцэст ажиглагдсан. Энд 27, 28-нд 1, 2 градусаар тус тус нэмэгдсэн байна. Хугацааны эцсээр 1-7-нд агаарын температур тогтвортой (-10 градус), 1-р сарын 8-14, 15-21-ний сүүлчээр буурсан (-1-ээс -2, -11-ээс -12 градус хүртэл) зэрэг). Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна. G–1.
2. Хугацаа бүр 7 хоногийг хамардаг тул сарын тэмдэг бүрийн 4 дэх өдрөөс эхлэн температурыг шинжлэх хэрэгтэй. Зөвхөн 1-р сарын 4-7-ны хооронд температур 3-4 хоног өөрчлөгдөөгүй байна. Тиймээс бид хариултыг авна: А-2.
3. Сарын хамгийн бага температур 1-р сарын 17-нд ажиглагдсан. Энэ тоо нэгдүгээр сарын 15-21-ний хооронд байна. Эндээс бид хосууд байна: ДАХЬ 3.
4. Хамгийн их температур 1-р сарын 10-нд буурч, +1 хэм байв. Энэ өдөр нь 1-р сарын 8-14-ний хооронд тохиож байна. Тиймээс бидэнд байна: В-4.

Сонголт 14MB10

Гүйцэтгэлийн алгоритм

1. Хэрэв энэ цэг Окс тэнхлэгээс дээш байрласан бол тухайн цэг дээрх функцийн утга эерэг байна.
2. Хэрэв тухайн цэгт хүрэх шүргэгч нь x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэвэл тухайн цэг дээрх дериватив тэгээс их байна.

Шийдэл:

А цэг. Энэ нь Ox тэнхлэгээс доогуур байгаа бөгөөд энэ нь түүний функцийн утга сөрөг байна гэсэн үг юм. Хэрэв бид түүнд шүргэгч зурвал Үхрийн эерэг чиглэл ба түүний хоорондох өнцөг нь ойролцоогоор 90 0 байх болно, өөрөөр хэлбэл. хурц өнцөг үүсгэдэг. Тиймээс, энэ тохиолдолд шинж чанарын дугаар 3 тохиромжтой. Тэдгээр. бидэнд байгаа: А-3.

B цэг. Энэ нь Ox тэнхлэгээс дээш байрладаг, i.e. цэг нь эерэг функцийн утгатай байна. Энэ цэг дэх шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгт нэлээд ойрхон байх бөгөөд эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг (180 0-ээс бага зэрэг) үүсгэнэ. Үүний дагуу энэ үеийн дериватив нь сөрөг байна. Тиймээс 1-р шинж чанар энд тохиромжтой. Бид дараах хариултыг авна. 1-Д.

Цэг C. Цэг нь Үхрийн тэнхлэгийн доор байрладаг, түүний шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй том мохоо өнцөг үүсгэдэг. Тэдгээр. t.C-д функц ба деривативын аль алиных нь утга сөрөг байх ба энэ нь 2-р шинж чанартай тохирч байна. Хариулт: S-2.

Цэг D. Цэг нь Үхрийн тэнхлэгээс дээш байрлах ба түүний шүргэгч нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэдэг. Эндээс функцийн утга болон деривативын утга хоёулаа тэгээс их байгааг харуулж байна. Хариулт: D-4.

Сонголт 14MB11

Зураг дээр цэгүүд нь гэр ахуйн цахилгаан хэрэгслийн дэлгүүрт хөргөгчний сарын борлуулалтын хэмжээг харуулж байна. Саруудыг хэвтээ байдлаар, борлуулсан хөргөгчний тоог босоо байдлаар зааж өгсөн болно. Тодорхой болгохын тулд цэгүүдийг шугамаар холбосон.

Зургийг ашиглан заасан хугацаа бүрийг хөргөгчний борлуулалтын шинж чанартай тааруулж бичнэ үү.

Эхлээд функцийн хамрах хүрээг олохыг хичээ:

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудыг харьцуулж үзье:

Зүгээр үү? Сайн хийлээ!

Одоо функцийн хүрээг олохыг хичээцгээе:

Олдсон уу? Харьцуулах:

Зөвшөөрсөн үү? Сайн хийлээ!

Графикуудтай дахин ажиллацгаая, зөвхөн одоо энэ нь арай илүү хэцүү байна - функцийн домэйн болон функцийн мужийг хоёуланг нь олох.

Функцийн домэйн болон мужийг хоёуланг нь хэрхэн олох вэ (дэвшилтэт)

Юу болсныг энд харуулав.

Графикийн тусламжтайгаар та үүнийг ойлгосон гэж бодож байна. Одоо томъёоны дагуу функцийн домэйныг олохыг хичээцгээе (хэрэв та үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байгаа бол дараах хэсгийг уншина уу):

Та удирдаж чадсан уу? Шалгаж байна хариултууд:

1. , учир нь язгуур илэрхийлэл нь тэгээс их буюу тэнцүү байх ёстой.
2. , учир нь тэгээр хуваах боломжгүй бөгөөд радикал илэрхийлэл нь сөрөг байж болохгүй.
3. , оноос хойш, тус тус, бүх.
4. Учир нь та тэгээр хувааж болохгүй.

Гэсэн хэдий ч бидэнд шийдэгдээгүй өөр нэг мөч байна ...

Тодорхойлолтыг дахин давтаж, үүн дээр анхаарлаа хандуулъя:

Анхаарсан уу? "Зөвхөн" гэдэг үг нь бидний тодорхойлолтын маш чухал элемент юм. Би та нарт хуруугаараа тайлбарлахыг хичээх болно.

Шулуун шугамаар өгөгдсөн функц байна гэж бодъё. . Хэзээ, бид энэ утгыг "дүрэм"-дээ орлуулж, үүнийг авна. Нэг утга нь нэг утгатай тохирч байна. Бид үүнийг шалгахын тулд янз бүрийн утгын хүснэгтийг хийж, өгөгдсөн функцийг зурж болно.

"Хараач! - чи "" хоёр удаа уулздаг!" Тэгэхээр парабола функц биш юм болов уу? Үгүй энэ бол!

"" хоёр удаа тохиолдсон нь параболыг хоёрдмол утгатай гэж буруутгах үндэслэл биш юм!

Тооцоолоход бид нэг тоглолттой болсон. Тооцоолоход бид нэг тоглоом авсан. Энэ нь зөв, парабол бол функц юм. Графикийг харна уу:

Авчихсан? Хэрэв тийм биш бол энд танд математикаас хол амьдралын жишээ байна!

Бичиг баримтаа бүрдүүлж өгөхдөө уулзсан өргөдөл гаргагчид тус бүр нь хаана амьдардаг тухай яриандаа хэлсэн гэж бодъё.

Хэд хэдэн залуус нэг хотод амьдардаг нь бодитой зүйл боловч нэг хүн хэд хэдэн хотод нэгэн зэрэг амьдрах боломжгүй юм. Энэ бол бидний "парабол" -ын логик дүрслэл юм. Хэд хэдэн өөр x нь ижил y-тэй тохирч байна.

Одоо хамаарал нь функц биш болох жишээг гаргая. Эдгээр залуус ямар мэргэжлээр бүртгүүлсэн тухайгаа хэлье гэж бодъё.

Энд бид огт өөр нөхцөл байдалтай байна: нэг хүн нэг эсвэл хэд хэдэн чиглэлд хялбархан өргөдөл гаргаж болно. өөрөөр хэлбэл нэг элементбагцыг захидал харилцаанд оруулсан болно олон элементбагц. тус тус, Энэ нь функц биш юм.

Таны мэдлэгийг практик дээр туршиж үзье.

Функц гэж юу вэ, юу нь болохгүй вэ гэдгийг зургуудаас тодорхойл.

Авчихсан? Тэгээд энд байна хариултууд:

• Функц нь - B, E.
• Функц биш - A, B, D, D.

Та яагаад гэж асууж байна уу? Тийм ээ, яагаад гэвэл:

Бусад бүх тоогоор IN)Тэгээд E)нэг нь хэд хэдэн байна!

Одоо та функцийг функцгүйгээс хялбархан ялгаж, аргумент гэж юу болох, хамааралтай хувьсагч гэж юу болохыг хэлэх, мөн аргументийн хүрээ, функцийн хамрах хүрээг тодорхойлох боломжтой гэдэгт би итгэлтэй байна. Дараагийн хэсэг рүү шилжье - функцийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Функцийг тохируулах арга замууд

Энэ үгс нь ямар утгатай гэж та бодож байна "функцийг тохируулах"? Энэ нь зөв, энэ тохиолдолд бид ямар функцийг ярьж байгааг хүн бүрт тайлбарлахыг хэлнэ. Түүнээс гадна хүн бүр таныг зөвөөр ойлгох, таны тайлбарын дагуу хүмүүсийн зурсан функцүүдийн графикууд ижил байхаар тайлбарла.

Би яаж үүнийг хийх вэ? Функцийг хэрхэн тохируулах вэ?Энэ нийтлэлд нэгээс олон удаа ашиглагдсан хамгийн хялбар арга бол - томъёог ашиглан.Бид томьёо бичиж, түүнд утгыг орлуулж утгыг тооцоолно. Таны санаж байгаагаар томьёо бол хууль, дүрэм бөгөөд үүний дагуу X нь хэрхэн Y болж хувирдаг нь бидэнд болон өөр хүнд тодорхой болно.

Ихэвчлэн энэ нь тэдний хийдэг зүйл юм - даалгаврууд дээр бид томъёогоор тодорхойлогдсон бэлэн функцүүдийг хардаг, гэхдээ хүн бүр мартдаг функцийг тохируулах өөр аргууд байдаг тул "өөр функцийг яаж тохируулах вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирдэг. төөрөгдүүлдэг. Бүгдийг дарааллаар нь авч үзээд аналитик аргаар эхэлье.

Функцийг тодорхойлох аналитик арга

Аналитик арга нь томьёо ашиглан функцийн даалгавар юм. Энэ бол хамгийн түгээмэл бөгөөд өргөн хүрээтэй, хоёрдмол утгагүй арга юм. Хэрэв танд томьёо байгаа бол та функцийн талаар бүх зүйлийг мэддэг - та үүн дээр утгуудын хүснэгт хийж, график байгуулж, функц хаана нэмэгдэж, хаана буурч байгааг тодорхойлох боломжтой. бүрэн.

Функцийг авч үзье. Ямар хамаатай юм бэ?

"Юу гэсэн үг вэ?" - Та асуух. Би одоо тайлбарлая.

Тэмдэглэгээнд хаалтанд байгаа илэрхийллийг аргумент гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Мөн энэ аргумент нь энгийн байх албагүй ямар ч илэрхийлэл байж болно. Үүний дагуу, ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид илэрхийлэлд оронд нь бичнэ.

Бидний жишээнд энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Шалгалтанд өгөх функцийг тодорхойлох аналитик аргатай холбоотой өөр нэг ажлыг авч үзье.

илэрхийллийн утгыг ол, at.

Та ийм илэрхийлэлийг хараад эхэндээ айж байсан гэдэгт би итгэлтэй байна, гэхдээ үүнд ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй!

Өмнөх жишээн дээрх бүх зүйл ижил байна: ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид үүнийг илэрхийлэлд бичнэ. Жишээлбэл, функцийн хувьд.

Бидний жишээн дээр юу хийх ёстой вэ? Үүний оронд та бичих хэрэгтэй бөгөөд оронд нь -:

үүссэн илэрхийллийг богиносго:

Тэгээд л болоо!

Бие даасан ажил

Одоо дараах хэллэгүүдийн утгыг өөрөө олохыг хичээ.

1. , хэрэв
2. , хэрэв

Та удирдаж чадсан уу? Хариултаа харьцуулж үзье: Функц нь хэлбэртэй байдагт бид дассан

Бидний жишээн дээр ч гэсэн функцийг ийм байдлаар тодорхойлдог, гэхдээ аналитик байдлаар функцийг далд хэлбэрээр тодорхойлох боломжтой.

Энэ функцийг өөрөө бүтээж үзээрэй.

Та удирдаж чадсан уу?

Би үүнийг хэрхэн бүтээсэн талаар эндээс үзнэ үү.

Бид ямар тэгшитгэлтэй болсон бэ?

Зөв! Шугаман, энэ нь график нь шулуун шугам болно гэсэн үг юм. Манай шугамд аль цэгүүд хамаарахыг хүснэгт үүсгэцгээе.

Энэ бол бидний ярьж байсан зүйл ... Нэг нь хэд хэдэнтэй тохирч байна.

Юу болсныг зурахыг хичээцгээе:

Бидэнд байгаа зүйл функц мөн үү?

Энэ нь зөв, үгүй! Яагаад? Энэ асуултад зургаар хариулахыг хичээгээрэй. Та юу авсан бэ?

"Учир нь нэг утга нь хэд хэдэн утгатай тохирч байна!"

Үүнээс бид ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Энэ нь зөв, функцийг үргэлж тодорхой илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд функцээр "далдлагдсан" зүйл нь үргэлж функц биш юм!

Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга

Нэрнээс нь харахад энэ арга нь энгийн хавтан юм. Тийм тийм. Бидний аль хэдийн хийсэн шиг. Жишээлбэл:

Энд та тэр даруй хэв маягийг анзаарсан - Y нь X-ээс гурав дахин том. Одоо "маш сайн бодох" даалгавар: Хүснэгт хэлбэрээр өгөгдсөн функц нь функцтэй тэнцүү гэж та бодож байна уу?

Удаан ярихгүй, харин зурцгаая!

Тэгэхээр. Бид өгөгдсөн функцийг хоёр аргаар зурна:

Та ялгааг харж байна уу? Энэ нь тэмдэглэсэн цэгүүдийн тухай биш юм! Ойролцоогоор харна уу:

Та одоо харсан уу? Функцийг хүснэгт хэлбэрээр тохируулахдаа бид зөвхөн хүснэгтэд байгаа цэгүүдийг график дээр тусгадаг бөгөөд шугам нь (бидний тохиолдлын адил) зөвхөн тэдгээрээр дамждаг. Бид функцийг аналитик аргаар тодорхойлохдоо дурын цэгүүдийг авч болох бөгөөд бидний үүрэг тэдгээрээр хязгаарлагдахгүй. Энд ийм онцлог байна. Санаж байна уу!

Функцийг бүтээх график арга

Функцийг бүтээх график арга нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Бид функцээ зурж, өөр нэг сонирхсон хүн тодорхой x дээр y нь ямар тэнцүү болохыг олж чадна гэх мэт. График болон аналитик аргууд нь хамгийн түгээмэл арга юм.

Гэсэн хэдий ч, энд та бидний эхэнд юу ярьж байсныг санаж байх хэрэгтэй - координатын системд зурсан "зайлбар" бүр функц биш юм! Санаж байна уу? Ямар ч тохиолдолд би функц гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг энд хуулах болно.

Дүрмээр бол хүмүүс бидний дүн шинжилгээ хийсэн функцийг тодорхойлох гурван аргыг ихэвчлэн нэрлэдэг - аналитик (томьёог ашиглан), хүснэгт болон график, функцийг амаар тайлбарлаж болно гэдгийг бүрэн мартдаг. Үүн шиг? Тийм ээ, маш амархан!

Функцийн аман тайлбар

Функцийг амаар хэрхэн тайлбарлах вэ? Саяхны жишээг авч үзье - . Энэ функцийг "х-ийн бодит утга бүр түүний гурвалсан утгатай тохирч байна" гэж тодорхойлж болно. Тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Мэдээжийн хэрэг, та эсэргүүцэх болно - "ийм нарийн төвөгтэй функцууд байдаг тул амаар тохируулах боломжгүй!" Тийм ээ, зарим нь байдаг, гэхдээ томъёогоор тохируулахаас илүү амаар тайлбарлахад хялбар функцууд байдаг. Жишээ нь: "х-ийн натурал утга бүр нь түүний бүрдэх цифрүүдийн хоорондох зөрүүтэй тохирч байгаа бол тооны оруулгад агуулагдах хамгийн том цифрийг хасах тэмдэг болгон авна." Одоо функцын аман тайлбарыг практикт хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг авч үзье.

Өгөгдсөн тооны хамгийн том цифрийг - тус тус багасгавал:

Функцийн үндсэн төрлүүд

Одоо хамгийн сонирхолтой зүйл рүү шилжье - бид таны ажиллаж байсан / ажиллаж байсан функцүүдийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх бөгөөд сургууль, институтийн математикийн хичээлд ажиллах болно, өөрөөр хэлбэл бид тэдэнтэй танилцах болно. тэдэнд товч тайлбар өгнө үү. Холбогдох хэсгээс функц бүрийн талаар дэлгэрэнгүй уншина уу.

Шугаман функц

Бодит тоонууд болох хэлбэрийн функц.

Энэ функцийн график нь шулуун шугам тул шугаман функцийг байгуулах ажлыг хоёр цэгийн координатыг олох хүртэл багасгасан.

Координатын хавтгай дээрх шулуун шугамын байрлал нь налуугаас хамаарна.

Функцийн хамрах хүрээ (аргументын муж) - .

Утгын хүрээ нь .

квадрат функц

Маягтын функц, хаана

Функцийн график нь параболын мөчрүүд доош чиглэсэн үед, харин дээшээ.

Квадрат функцийн олон шинж чанар нь дискриминантын утгаас хамаардаг. Дискриминантыг томъёогоор тооцоолно

Утга ба коэффициенттэй харьцуулахад координатын хавтгай дээрх параболын байрлалыг зурагт үзүүлэв.

Домэйн

Утгын хүрээ нь өгөгдсөн функцийн экстремум (параболын орой) ба коэффициент (параболын мөчрүүдийн чиглэл) -ээс хамаарна.

Урвуу пропорциональ байдал

Томъёогоор өгөгдсөн функц, энд

Энэ тоог урвуу пропорциональ хүчин зүйл гэж нэрлэдэг. Ямар утгаас хамааран гиперболын мөчрүүд өөр өөр квадратуудад байна.

Домэйн - .

Утгын хүрээ нь .

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОМЪЁО

1. Функц гэдэг нь олонлогийн элемент бүрд олонлогийн өвөрмөц элементийг хуваарилах дүрэм юм.

• - энэ нь функцийг илэрхийлдэг томъёо, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн нөгөөгөөс хамаарах хамаарлыг илэрхийлдэг;
• - хувьсагч эсвэл аргумент;
• - хамааралтай утга - аргумент өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл нэг утгын нөгөө утгын хамаарлыг тусгасан тодорхой томъёоны дагуу.

2. Аргументуудын хүчинтэй утгууд, эсвэл функцийн хамрах хүрээ нь функц нь утга учиртай болох боломжтой холбоотой зүйл юм.

3. Функцийн утгын хүрээ- энэ бол хүчинтэй үнэ цэнийг шаарддаг зүйл юм.

4. Функцийг тохируулах 4 арга байдаг:

• аналитик (томьёог ашиглах);
• хүснэгт;
• график
• аман тайлбар.

5. Функцийн үндсэн төрлүүд:

• : , хаана, бодит тоонууд;
• : , хаана;
• : , хаана.