Kaip išspręsti identiškai lygias išraiškas. Identiškos išraiškos konversijos
Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.
Sudėjimo poslinkio savybė: sumos vertė nesikeičia keičiant terminus. Bet kurių skaičių a ir b lygybė
Sudėties derinio savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė
Daugybos poslinkio savybė: sandaugos vertė nekinta nuo faktorių permutacijos. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė
Daugybos derinio savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti pirmąjį skaičių iš antrojo ir trečiojo sandaugos.
Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė
Paskirstomoji savybė: norėdami padauginti skaičių iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir sudėti rezultatus. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė
Iš perkeliamų ir kombinuojamųjų sudėjimo savybių išplaukia: bet kokia suma galite pertvarkyti terminus, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.
1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23 + 13,5 + 4,27.
Tam patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Iš perkeliamų ir kombinuojamų daugybos savybių išplaukia: bet kuriame gaminyje galite pertvarkyti veiksnius, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.
2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8 · 0,25 · 64 · 0,5.
Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gausime:
1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.
Paskirstymo savybė taip pat teisinga, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.
Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė
a (b + c + d) = ab + ac + skelbimas.
Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant priešingą skaičių atimtam skaičiui prie atimtojo:
Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikykime skaičių a ir -b sumą, formos a + bcd skaitine išraiška laikoma skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Tokioms sumoms galioja ir nagrinėjamos veiksmų savybės. .
3 pavyzdys Raskite reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5 + 1,73.
Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėtines savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (- 6,5-2,5) = 5 + (- 9) = -4.
4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36 · ().
Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos paskirstymo savybę, gauname:
36 () = 36 -36 = 9-10 = -1.
Tapatybės
Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.
Apibrėžimas. Lygybė, tinkama bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.
Raskite reiškinių 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmes, kai x = 5, y = 4:
3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 9 = 27,
3x + 3y = 3 5 + 3 4 = 15 + 12 = 27.
Gavome tą patį rezultatą. Iš pasiskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.
Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:
Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada
Išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y yra vienodos, bet išraiškos 2x + y ir 2xy nėra identiškos.
Lygybė 3 (x + y) = x + 3y, teisinga bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.
Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.
Taigi, tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:
a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c),
ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) = ab + ac.
Galima paminėti kitus tapatybių pavyzdžius:
a + 0 = a, a + (- a) = 0, a-b = a + (- b),
a 1 = a, a (-b) = - ab, (-a) (- b) = ab.
Identiškos išraiškos konversijos
Vadinamas vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte identiška transformacija arba tiesiog konvertuojant išraišką.
Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis veiksmų skaičiais savybėmis.
Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, jei x = 2,3, y = 0,8, z = 0,2, gauname:
xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.
Šį rezultatą galima gauti atlikus tik du veiksmus, jei naudosime išraišką x (y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:
xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiškai lygia išraiška x (y-z).
Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų išplėtimas. Prisiminkime šių transformacijų atlikimo taisykles:
norint pateikti tokius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendros raidžių dalies;
jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, paliekant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;
jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.
1 pavyzdys Pateikime panašius terminus suma 5x + 2x-3x.
Taikysime tokių terminų mažinimo taisyklę:
5x + 2x-3x = (5 + 2-3) x = 4x.
Ši transformacija pagrįsta daugybos pasiskirstymo savybe.
2 pavyzdys Išskleiskite skliaustus reiškinyje 2a + (b-3c).
Skliaustų, prieš kuriuos rašomas pliuso ženklas, išplėtimo taisyklės taikymas:
2a + (b-3c) = 2a + b-3c.
Atlikta transformacija remiasi kombinacine sudėjimo savybe.
3 pavyzdys Išskleiskite skliaustus išraiškoje a- (4b-c).
Naudokime taisyklę skliaustų išplėtimui prieš minuso ženklą:
a- (4b-c) = a-4b + c.
Atlikta transformacija pagrįsta daugybos pasiskirstymo savybe ir sudėties kombinacijos savybe. Parodykime. Šioje išraiškoje antrąjį terminą - (4b-c) reprezentuojame kaip produktą (-1) (4b-c):
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c).
Taikydami nurodytas veiksmo savybes, gauname:
a- (4b-c) = a + (- 1) (4b-c) = a + (- 4b + c) = a-4b + c.
Šiame straipsnyje pateikiamas inicialas tapatybių samprata... Čia apibrėžiame tapatybę, pristatome naudojamą žymėjimą ir, žinoma, pateikiame įvairius tapatybių pavyzdžius.
Puslapio naršymas.
Kas yra tapatybė?
Logiška medžiagos pristatymą pradėti nuo tapatybės apibrėžimai... Yu.N. Makarychevo vadovėlyje 7 klasių algebra tapatybės apibrėžimas pateikiamas taip:
Apibrėžimas.
Tapatybė- tai yra lygybė bet kurioms kintamųjų reikšmėms; bet kuri galiojanti skaitinė lygybė taip pat yra tapatybė.
Šiuo atveju autorius iš karto nustato, kad ateityje šis apibrėžimas bus patikslintas. Šis patikslinimas vyksta 8 klasėje, susipažinus su leistinų kintamųjų verčių ir OVS apibrėžimu. Apibrėžimas tampa toks:
Apibrėžimas.
Tapatybės- tai tikrosios skaitinės lygybės, taip pat lygybės, kurios galioja visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms.
Taigi kodėl, apibrėždami tapatybę, 7 klasėje mes kalbame apie bet kokias kintamųjų reikšmes, o 8 klasėje pradedame kalbėti apie kintamųjų reikšmes iš jų ODZ? Iki 8 klasės darbas atliekamas tik su sveikųjų skaičių išraiškomis (ypač su mononomais ir daugianariais), ir jie turi prasmę bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Todėl 7 klasėje sakome, kad tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms. O 8 klasėje atsiranda išraiškų, kurios jau turi prasmę ne visoms kintamųjų reikšmėms, o tik reikšmėms iš jų ODZ. Todėl tapatybes pradedame vadinti lygybėmis, kurios yra teisingos visoms leistinoms kintamųjų reikšmėms.
Taigi tapatybė yra ypatinga byla lygybė. Tai yra, bet kokia tapatybė yra lygybė. Tačiau ne kiekviena lygybė yra tapatybė, o tik tokia lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms iš jų leistinų verčių diapazono.
Tapatybės ženklas
Yra žinoma, kad lygybių žymėjime naudojamas „=“ formos lygybės ženklas, kurio kairėje ir dešinėje yra keletas skaičių ar posakių. Jei prie šio ženklo pridėsime dar vieną horizontalią liniją, gausime tapatybės ženklas„≡“ arba kaip jis dar vadinamas tapatybės ženklas.
Tapatybės ženklas dažniausiai naudojamas tik tada, kai reikia pabrėžti, kad susiduriame ne tik su lygybe, bet su tapatybe. Kitais atvejais tapatybių žymėjimas forma nesiskiria nuo lygybių.
Tapatybių pavyzdžiai
Atėjo laikas vadovauti tapatybių pavyzdžiai... Tam mums padės pirmoje pastraipoje pateiktas tapatybės apibrėžimas.
Skaitinės lygybės 2 = 2 ir yra tapatybių pavyzdžiai, nes šios lygybės yra teisingos, o bet kuri tikroji skaitinė lygybė pagal apibrėžimą yra tapatybė. Jie gali būti parašyti kaip 2≡2 ir.
Skaitinės lygybės 2 + 3 = 5 ir 7−1 = 2 · 3 taip pat yra tapatybės, nes šios lygybės yra teisingos. Tai yra, 2 + 3≡5 ir 7–1≡2 · 3.
Pereikime prie tapatybių pavyzdžių, kurių žymėjime yra ne tik skaičiai, bet ir kintamieji.
Apsvarstykite lygybę 3 (x + 1) = 3 x + 3. Bet kuriai kintamojo x reikšmei įrašyta lygybė yra teisinga dėl daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, todėl pradinė lygybė yra tapatumo pavyzdys. Štai dar vienas tapatybės pavyzdys: y (x - 1) ≡ (x - 1) x: x y 2: y, čia kintamųjų x ir y leistinų verčių diapazoną sudaro visos poros (x, y), kur x ir y yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį.
Tačiau lygybės x + 1 = x − 1 ir a + 2 b = b + 2 a nėra tapatybės, nes yra kintamųjų reikšmės, kurioms šios lygybės bus neteisingos. Pavyzdžiui, x = 2 lygybė x + 1 = x − 1 virsta klaidinga lygybe 2 + 1 = 2−1. Be to, lygybė x + 1 = x − 1 iš viso nepasiekiama jokioms kintamojo x reikšmėms. Ir lygybė a + 2 b = b + 2 a virsta neteisinga lygybe, jei imame bet kokias skirtingas kintamųjų a ir b reikšmes. Pavyzdžiui, jei a = 0 ir b = 1, gauname neteisingą lygybę 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0. Lygybė | x | = x, kur | x | - kintamasis x taip pat nėra tapatybė, nes tai netinka neigiamoms x reikšmėms.
Garsiausių tapatybių pavyzdžiai yra sin 2 α + cos 2 α = 1 ir a log a b = b.
Baigdamas šį straipsnį norėčiau pažymėti, kad studijuodami matematiką nuolat susiduriame su tapatybėmis. Veiksmų su skaičiais nuosavybės įrašai yra tapatybės, pavyzdžiui, a + b = b + a, 1 a = a, 0 a = 0 ir a + (- a) = 0. Taip pat tapatybės yra
§ 2. Identiškos išraiškos, tapatybė. Identiškas išraiškos konvertavimas. Tapatybės įrodymai
Raskite reiškinių 2 (x - 1) 2x - 2 reikšmes nurodytoms kintamojo x reikšmėms. Rezultatus surašykime į lentelę:
Galite padaryti išvadą, kad reiškinių 2 (x - 1) 2x - 2 reikšmės kiekvienai nurodytai kintamojo x reikšmei yra lygios viena kitai. Pagal daugybos pasiskirstymo savybę atimties 2 atžvilgiu (x - 1) = 2x - 2. Todėl bet kuriai kitai kintamojo x reikšmei išraiškos 2 (x - 1) 2x - 2 reikšmė taip pat bus lygi. vienas kitam. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygiomis.
Pavyzdžiui, išraiškos 2x + 3x ir 5x yra sinonimai, nes kiekvienai kintamojo x vertei šios išraiškos įgyja tos pačios vertybės(tai išplaukia iš daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, nes 2x + 3x = 5x).
Dabar apsvarstykite išraiškas 3x + 2y ir 5xy. Jei x = 1 ir b = 1, tada atitinkamos šių išraiškų reikšmės yra lygios viena kitai:
3x + 2y = 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Tačiau galite nurodyti tokias x ir y reikšmes, kurių šių išraiškų reikšmės nebus lygios viena kitai. Pavyzdžiui, jei x = 2; y = 0, tada
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6,5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Todėl yra kintamųjų reikšmių, kurių atitinkamos reiškinių 3x + 2y ir 5xy reikšmės nėra lygios viena kitai. Todėl išraiškos 3x + 2y ir 5xy nėra identiškos.
Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, tapatybės, visų pirma, yra lygybės: 2 (x - 1) = 2x - 2 ir 2x + 3x = 5x.
Tapatybė yra kiekviena lygybė, kurioje yra žinomos veiksmų su skaičiais savybės. Pavyzdžiui,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a (b + c) = ab + ac;
ab = bа; (ab) c = a (bc); a (b - c) = ab - ac.
Taip pat yra tokios lygybės kaip tapatybės:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Jei reiškinyje -5x + 2x - 9 sumažintume panašius terminus, gautume, kad 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Šiuo atveju sakoma, kad išraiška 5x + 2x - 9 buvo pakeista išraiška 7x - 9 tai yra identiška.
Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos naudojant veiksmų su skaičiais savybes. Visų pirma, identiškos transformacijos su skliaustų išplėtimu, panašių terminų konstravimas ir panašiai.
Supaprastinant išraišką reikia atlikti identiškas transformacijas, tai yra pakeičiant kurią nors išraišką jai identiškai lygiaverte išraiška, kuri turėtų būti trumpesnė.
1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 min;
2) 2 (3x 4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.
Norėdami įrodyti, kad lygybė yra tapatybė (kitaip tariant, įrodyti tapatybę, naudoti identiškas išraiškų transformacijas.
Tapatybę galima įrodyti vienu iš šių būdų:
- atlikti identiškas kairiosios pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki dešinės pusės;
- atlikti identiškas dešinės pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki kairiosios pusės;
- atlikti identiškas abiejų jo dalių transformacijas, taip pakeliant abi dalis į tas pačias išraiškas.
2 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 – 4а = 5 (2а – 3b) – 7 (2а – 5b);
3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.
Skyrius
1) Transformuojame kairiąją šios lygybės pusę:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - NS- 5 - 11 = x - 16.
Identiškais pakeitimais kairėje lygybės pusėje esanti išraiška buvo sumažinta iki dešinės pusės ir taip įrodė, kad ši lygybė yra tapatybė.
2) Transformuojame dešinę šios lygybės pusę:
5 (2а - 3b) - 7 (2а - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.
Identiškomis transformacijomis dešinė lygybės pusė buvo redukuota į kairiosios formos formą ir taip įrodyta, kad ši lygybė yra tapatybė.
3) Šiuo atveju patogu supaprastinti tiek kairę, tiek dešinę lygybės puses ir palyginti rezultatus:
2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13 (2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Identiškomis transformacijomis kairioji ir dešinioji lygybės pusės buvo sumažintos iki vienodos formos: 26x - 44. Todėl ši lygybė yra tapatybė.
Kokios išraiškos vadinamos tapačiomis? Pateikite identiškų posakių pavyzdį. Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite tapatybės pavyzdį. Kas vadinama išraiškos tapatybės konvertavimu? Kaip įrodyti tapatybę?
- (Žodžiu) Ar yra posakių, kurie yra vienodi:
1) 2a + a ir 3a;
2) 7x + 6 ir 6 + 7x;
3) x + x + x ir x 3;
4) 2 (x - 2) ir 2x - 4;
5) m - n ir n - m;
6) 2a ∙ p ir 2p ∙ a?
- Ar posakiai:
1) 7x - 2x ir 5x;
2) 5а - 4 ir 4 - 5а;
3) 4m + n ir n + 4m;
4) a + a ir a 2;
5) 3 (a – 4) ir 3a – 12;
6) 5m ∙ n ir 5m + n?
- (Žodžiu) yra melo tapatybė:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7p - 1 = -1 + 7p;
3) 3 (x - y) = 3x - 5y?
- Atidaryti skliaustelį:
- Atidaryti skliaustelį:
- Sujunkite panašius terminus:
- Įvardink keletą posakių, identiškos išraiškos 2a + 3a.
- Supaprastinkite savo išraišką naudodami daugybos permutaciją ir jungiamąsias savybes:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4p ∙ (-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 g);
4) - x ∙<-7у).
- Supaprastinkite išraišką:
1) -2p ∙ 3,5;
2) 7a ∙ (-1,2);
3) 0,2 x ∙ (-3 m);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Žodžiu) Supaprastinkite posakį:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7а - 3b + 2а + 3b;
4) 4а ∙ (-2b).
- Sujunkite panašius terminus:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;
2) 2 (7 - 9а) - (4 - 18а);
3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);
4) - (3m - 5) + 2 (3m - 7).
- Išskleiskite skliaustus ir sumažinkite panašius terminus:
1) 3 (8а - 4) + 6а;
2) 7p - 2 (3p - 1);
3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);
4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).
1) 0,6 x + 0,4 (x - 20), jei x = 2,4;
2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, jei a = 10;
3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jei m = -3,7;
4) 2x - 3 (x + y) + 4y, jei x = -1, y = 1.
- Supaprastinkite posakį ir suraskite jo reikšmę:
1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), jei x = -0,7;
2) 1,7 (y – 11) – 16,3, jei b = 20;
3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jei a = -1;
4) 5 (m - n) - 4m + 7n, jei m = 1,8; n = -0,9.
- Įrodykite tapatybę:
1) – (2x – y) = y – 2x;
2) 2 (x - 1) - 2x = -2;
3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;
4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).
- Įrodykite tapatybę:
1) - (m - 3n) = 3n - m;
2) 7 (2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);
4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.
- Vienos iš trikampio kraštinių ilgis yra cm, o kiekvienos iš kitų dviejų kraštinių ilgis yra 2 cm ilgesnis už jį. Užrašykite trikampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.
- Stačiakampio plotis x cm, o ilgis 3 cm ilgesnis už plotį. Užrašykite stačiakampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a - b) - (4 a - 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Išskleiskite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).
- Įrodykite tapatybę:
1) 10x - (- (5x + 20)) = 5 (3x + 4);
2) - (- 3p) - (- (8 - 5p)) = 2 (4 - d);
3) 3 (a – b – c) + 5 (a – b) + 3c = 8 (a – b).
- Įrodykite tapatybę:
1) 12а - ((8а - 16)) = -4 (4 - 5а);
2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Įrodykite, kad išraiškos reikšmė
1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2m) nepriklauso nuo kintamojo reikšmės.
- Įrodykite, kad bet kurios kintamojo reikšmės išraiškos reikšmė
a – (a – (5a + 2)) – 5 (a – 8)
yra tas pats numeris.
- Įrodykite, kad trijų iš eilės einančių lyginių skaičių suma dalijasi iš 6.
- Įrodykite, kad jei n yra natūralusis skaičius, tai reiškinio -2 (2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) reikšmė yra lyginis skaičius.
Kartojimo pratimai
- 1,6 kg sveriančiame lydinyje yra 15% vario. Kiek kg vario yra šiame lydinyje?
- Kiek procentų yra savas skaičius 20:
1) kvadratas;
- Turistas vaikščiojo 2 valandas ir važinėjo dviračiu 3 valandas. Iš viso turistas įveikė 56 km. Raskite greitį, kuriuo turistas važiavo dviračiu, jei jis yra 12 km/h didesnis nei greitis, kuriuo jis ėjo.
Įdomios užduotys tingiems mokiniams
- Miesto futbolo čempionate dalyvauja 11 komandų. Kiekviena komanda žaidžia po vienerias rungtynes su kitomis. Įrodykite, kad bet kuriuo varžybų momentu yra komanda, kuri iki šios akimirkos yra sužaidusi lyginį rungtynių skaičių arba dar nesužaidusi nei vieno.
Išnagrinėję tapatybių sampratą, galime pereiti prie identiškų posakių tyrimo. Šio straipsnio tikslas yra paaiškinti, kas tai yra, ir pavyzdžiais parodyti, kurie posakiai bus identiški kitiems.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Identiškai lygios išraiškos: apibrėžimas
Identiškų posakių samprata dažniausiai nagrinėjama kartu su pačia tapatumo samprata mokyklinio algebros kurso rėmuose. Štai pagrindinis apibrėžimas, paimtas iš vieno vadovėlio:
1 apibrėžimas
Identiškai lygus viena kita bus tokios išraiškos, kurių reikšmės bus vienodos visoms galimoms kintamųjų, įtrauktų į jų sudėtį, reikšmėms.
Be to, tokios skaitinės išraiškos laikomos identiškai lygiomis, jei atitiks tos pačios reikšmės.
Tai gana platus apibrėžimas, kuris bus teisingas visoms sveikųjų skaičių išraiškoms, kurių reikšmė nesikeičia, kai keičiasi kintamųjų reikšmės. Tačiau vėliau reikia patikslinti šį apibrėžimą, nes be sveikųjų skaičių yra ir kitų tipų išraiškų, kurios neturės prasmės tam tikriems kintamiesiems. Dėl to atsiranda tam tikrų kintamųjų verčių priimtinumo ir nepriimtinumo samprata, taip pat poreikis nustatyti leistinų verčių diapazoną. Suformuluosime tikslesnį apibrėžimą.
2 apibrėžimas
Identiškai lygios išraiškos Ar yra tos išraiškos, kurių reikšmės yra lygios viena kitai bet kurioms leistinoms kintamųjų, įtrauktų į jų sudėtį, reikšmėms. Skaitinės išraiškos bus identiškos viena kitai, jei jų reikšmės yra vienodos.
Frazė „bet kurioms galiojančioms kintamųjų reikšmėms“ reiškia visas tas kintamųjų reikšmes, kurioms abi išraiškos bus prasmingos. Šią poziciją paaiškinsime vėliau, kai pateiksime identiškų posakių pavyzdžių.
Taip pat galite nurodyti tokį apibrėžimą:
3 apibrėžimas
Lygiai vienodos išraiškos yra išraiškos, esančios vienoje tapatybėje kairėje ir dešinėje pusėse.
Posakių, kurie yra identiški vienas kitam, pavyzdžiai
Naudodami aukščiau pateiktus apibrėžimus, pažvelkime į keletą tokių posakių pavyzdžių.
Pradėkime nuo skaitinių išraiškų.
1 pavyzdys
Taigi 2 + 4 ir 4 + 2 bus identiški vienas kitam, nes jų rezultatai bus lygūs (6 ir 6).
2 pavyzdys
Lygiai taip pat 3 ir 30 išraiškos yra vienodos: 10, (2 2) 3 ir 2 6 (norint apskaičiuoti paskutinės išraiškos reikšmę, reikia žinoti laipsnio savybes).
3 pavyzdys
Tačiau išraiškos 4 - 2 ir 9 - 1 nebus lygios, nes jų reikšmės skiriasi.
Pereikime prie pažodinių posakių pavyzdžių. A + b ir b + a bus identiškai lygūs, ir tai nepriklauso nuo kintamųjų reikšmių (reiškinių lygybę šiuo atveju lemia pridėjimo poslinkio savybė).
4 pavyzdys
Pavyzdžiui, jei a lygus 4, o b lygus 5, tada rezultatai vis tiek bus tokie patys.
Kitas identiškų išraiškų su raidėmis pavyzdys yra 0 x y z ir 0. Kad ir kokios būtų kintamųjų reikšmės šiuo atveju, padauginus iš 0, jie duos 0. Nelygios išraiškos yra 6 x ir 8 x, nes jos nebus lygios jokiam x.
Tuo atveju, jei kintamųjų leistinų verčių diapazonai sutampa, pavyzdžiui, išraiškose a + 6 ir 6 + a arba ab 0 ir 0, arba x 4 ir x, ir pačių reiškinių reikšmės bus lygus bet kokiems kintamiesiems, tada tokios išraiškos laikomos identiškai lygiomis. Taigi, a + 8 = 8 + a bet kuriai a reikšmei ir a b 0 = 0, nes padauginus bet kurį skaičių iš 0, galiausiai gaunamas 0. Išraiškos x 4 ir x bus identiškos bet kuriam x iš intervalo [0, + ∞).
Tačiau vienos išraiškos galiojimo diapazonas gali skirtis nuo kitos.
5 pavyzdys
Pavyzdžiui, paimkime dvi išraiškas: x - 1 ir x - 1 x x. Pirmajam iš jų x leistinų reikšmių diapazonas bus visa realiųjų skaičių rinkinys, o antrajam - visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus nulį, nes tada vardiklyje gauname 0 , ir toks skirstymas nėra apibrėžtas. Šios dvi išraiškos turi bendrą diapazoną, kurį sudaro dviejų atskirų sričių susikirtimas. Galime daryti išvadą, kad abi išraiškos x - 1 x x ir x - 1 bus prasmingos bet kurioms realioms kintamųjų reikšmėms, išskyrus 0.
Pagrindinė trupmenos savybė taip pat leidžia daryti išvadą, kad x - 1 x x ir x - 1 bus lygūs bet kuriam x, kuris nėra 0. Tai reiškia, kad bendrame leistinų verčių diapazone šios išraiškos bus identiškos viena kitai, o bet kokiam realiam x neįmanoma kalbėti apie identišką lygybę.
Jei vieną išraišką pakeisime kita, kuri jai identiškai lygi, tai šis procesas vadinamas tapatybės transformacija. Ši koncepcija yra labai svarbi, ir mes apie tai išsamiai pakalbėsime atskirame straipsnyje.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter
Turint idėją apie tapatybes, logiška pereiti prie pažinties. Šiame straipsnyje atsakysime į klausimą, kas yra identiškos išraiškos, taip pat naudosime pavyzdžius, kad išsiaiškintume, kurios išraiškos yra identiškos, o kurios ne.
Puslapio naršymas.
Kas yra identiškos vienodos išraiškos?
Identiškai vienodų posakių apibrėžimas pateikiamas lygiagrečiai su tapatybės apibrėžimu. Tai vyksta 7 klasės algebros pamokose. Autoriaus Yu.N. Makarychevo 7 klasių algebros vadovėlyje pateikiama tokia formuluotė:
Apibrėžimas.
Tai išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kurioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Skaitmeninės išraiškos, turinčios vienodas reikšmes, taip pat vadinamos identiškai lygiomis.
Šis apibrėžimas naudojamas iki 8 klasės, jis galioja sveikųjų skaičių išraiškoms, nes jos turi prasmę bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. O 8 klasėje identiškai vienodų posakių apibrėžimas patikslinamas. Paaiškinkime, kodėl tai susiję.
8 klasėje pradedama mokytis kitų tipų išraiškų, kurios, skirtingai nei sveikųjų skaičių išraiškos, kai kurioms kintamųjų reikšmėms gali būti nereikšmingos. Tai verčia mus įvesti leistinų ir nepriimtinų kintamųjų reikšmių apibrėžimus, taip pat leistinų kintamojo ODZ reikšmių diapazoną ir dėl to patikslinti vienodai vienodų išraiškų apibrėžimą.
Apibrėžimas.
Dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai vienodos išraiškos... Dvi skaitinės išraiškos, turinčios tą pačią reikšmę, taip pat vadinamos identiškai lygiomis.
Šiame identiškai vienodų posakių apibrėžime verta paaiškinti frazės „visoms leistinoms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms“ reikšmę. Tai reiškia visas tokias kintamųjų reikšmes, kurių abi identiškos išraiškos turi prasmę tuo pačiu metu. Mes paaiškinsime šią mintį kitoje pastraipoje, apsvarstydami pavyzdžius.
Identiškai vienodų posakių apibrėžimas A.G.Mordkovičiaus vadovėlyje pateiktas kiek kitaip:
Apibrėžimas.
Identiškai lygios išraiškos Tai išraiškos kairėje ir dešinėje tapatybės pusėse.
Šio ir ankstesnių apibrėžimų reikšmė sutampa.
Identiškai vienodų posakių pavyzdžiai
Ankstesnėje pastraipoje pateikti apibrėžimai leidžia mums tai padaryti identiškų posakių pavyzdžiai.
Pradėkime nuo identiškų skaitinių išraiškų. Skaitinės išraiškos 1 + 2 ir 2 + 1 yra identiškos, nes atitinka lygias reikšmes 3 ir 3. Be to, išraiškos 5 ir 30: 6 yra vienodos, kaip ir išraiškos (2 2) 3 ir 2 6 (paskutinių išraiškų reikšmės yra vienodos). Tačiau skaitinės išraiškos 3 + 2 ir 3−2 nėra identiškos, nes jos atitinka atitinkamai reikšmes 5 ir 1 ir nėra lygios.
Dabar pateiksime identiškų išraiškų su kintamaisiais pavyzdžius. Tai yra išraiškos a + b ir b + a. Iš tiesų, bet kurioms kintamųjų a ir b reikšmėms parašytos išraiškos įgyja tas pačias reikšmes (tai išplaukia iš skaičių). Pavyzdžiui, jei a = 1 ir b = 2, turime a + b = 1 + 2 = 3 ir b + a = 2 + 1 = 3. Bet kurioms kitoms kintamųjų a ir b reikšmėms taip pat gauname vienodas šių išraiškų reikšmes. Išraiškos 0 x y z ir 0 taip pat yra vienodos bet kurioms kintamųjų x, y ir z reikšmėms. Tačiau išraiškos 2 x ir 3 x nėra identiškai lygios, nes, pavyzdžiui, kai x = 1, jų reikšmės nėra lygios. Iš tiesų, kai x = 1, išraiška 2 x yra lygi 2 1 = 2, o išraiška 3 x yra lygi 3 1 = 3.
Kai kintamųjų galiojančių verčių diapazonai išraiškose sutampa, kaip, pavyzdžiui, išraiškose a + 1 ir 1 + a, arba ab · 0 ir 0, arba ir, o šių išraiškų reikšmės yra lygios visos kintamųjų reikšmės iš šių sričių, tada čia viskas aišku - šios išraiškos yra vienodos visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Taigi a + 1≡1 + a bet kuriam a, išraiškos a · b · 0 ir 0 yra vienodos bet kurioms kintamųjų a ir b reikšmėms, o išraiškos ir yra vienodos visiems x nuo; red. S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008 .-- 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
